专题03 图形的相似（期末复习讲义）九年级数学上学期冀教版

该初中数学讲义以“图形的相似”为核心，通过表格系统梳理比例线段、相似三角形判定与性质等六大核心考点，明确复习目标与考情规律，结合知识点模块构建知识脉络，突出黄金分割、位似变换等重难点的内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，涵盖比例计算、平行线分线段成比例等基础题型及实际测量应用等综合题，例题与变式题结合培养推理能力与模型意识，配套基础通关与重难突破练习，助力学生分层提升，为教师精准教学提供系统支持。

专题03 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与比例性质（含黄金分割） 能熟练进行线段比化简与比例运算，掌握比例基本性质、比例中项计算，准确运用黄金分割解决简单问题 基础必考点，以选择、填空题为主；命题趋势是结合实际情境（如建筑设计）考查黄金分割 平行线分线段成比例定理 能准确识别平行线截线段的模型，运用定理求线段比例或长度，快速判断截得的三角形与原三角形的相似关系 高频基础考点，覆盖选择、填空、解答题第一问；易错点是对应线段找错（混淆截得线段与原线段）、忽略“平行线”前提条件 相似三角形的判定 能根据题目条件灵活选择4种判定方法（平行、两角、两边及夹角、三边），准确找准对应角和对应边，完成相似证明 核心重点考点，解答题必考；易错点是“两边及夹角”中误将非夹角作为条件、对应顶点顺序颠倒导致判定错误 相似三角形的性质应用 能运用性质求对应线段（高、中线、角平分线）、周长，熟练掌握“面积比=相似比的平方”并解决面积计算问题 重点计算考点，与判定配套考查（先判定再用性质）；易错点是将面积比等同于相似比、对应线段找错导致计算失误 位似图形 能准确识别位似图形，确定位似中心和相似比，运用坐标法进行位似变换（横纵坐标缩放） 中档基础考点，以选择、填空题为主；易错点是坐标位似变换时符号出错（忽略负比例系数的反向变换）、混淆位似与相似的区别 相似三角形的实际应用 能从实际问题中建立相似三角形模型，解决测量物体高度、距离等实际问题 中档大题考点，偶尔出现在期中解答题；命题趋势是结合生活场景，考查建模能力和计算能力 知识点01 比例线段与比例性质 1．线段的比：两条线段长度的比。 例：线段AB=2cm，CD=6cm，則AB:CD=2:6=1:3。 2．成比例线段：四条线段中，两条线段的比等于另外两条线段的比（如a:b=c:d，则a、b、c、d成比例）。 3．比例的基本性质： 若a:b=c:d，则ad=bc； 若b是a和c的比例中项，则b²=ac。 例：若3:x=x:12，则x²=3×12=36，解得x=6（x>0）。 知识点02 黄金分割 1．定义：点P将线段AB分成AP和PB两段，若AP:AB=PB:AP（即AP²=AB·PB），则点P是AB的黄金分割点，黄金比为。 例：若线段AB=10cm，P是其黄金分割点（AP>PB），则AP=10×cm，PB=10-6.18≈3.82cm。 知识点03 平行线相关定理 1．平行线等分线段定理：一组平行线截一条直线得相等线段，截其他直线也得相等线段。 2．平行线分线段成比例定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），对应线段成比例； 截得的三角形与原三角形相似。 例：在△ABC中，DE∥BC，則AD:AB=AE:AC=DE:BC；△ADE∽△ABC。 知识点04 相似三角形的概念与表示 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2．表示方法：用“∽”表示，对应点需写在对应位置，相似比为对应边的比。 例：△ABC∽△DEF，说明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，AB:DE=BC:EF=AC:DF=k（k为相似比）；若k=1，则△ABC≌△DEF（全等是相似的特殊情况）。 知识点05 相似三角形的判定（4种核心方法） 1．平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成的三角形与原三角形相似。 2．两角判定：两个角对应相等的两个三角形相似（最常用）。 例：△ABC中∠A=60°、∠B=45°，△DEF中∠D=60°、∠E=45°，则△ABC∽△DEF。 3．两边及夹角判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（注意“夹角”必须是两边的夹角）。 例：△ABC中AB:AC=2:3，∠A=50°；△DEF中DE:DF=2:3，∠D=50°，则△ABC∽△DEF。 4．三边判定：三组对应边成比例的两个三角形相似。 例：△ABC的三边为2、3、4，△DEF的三边为4、6、8（对应比1:2），则△ABC∽△DEF。 知识点06 相似三角形的性质 1．对应角相等，对应边成比例； 2．对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比； 例：△ABC∽△DEF，相似比2:3，△ABC的高AD=4cm，则△DEF的对应高DH=6cm（4:DH=2:3）。 3．周长比等于相似比； 4．面积比等于相似比的平方； 例：上述两三角形面积比为2²:3²=4:9（若△ABC面积为12cm²，则△DEF面积为27cm²）。 知识点07 位似图形 1．定义：两个相似多边形的对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2．坐标法位似：平面直角坐标系中，顶点横、纵坐标同乘k（k≠0），位似中心为原点，相似比为|k|。 例：△ABC顶点A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)，各顶点坐标乘2得A’(2,4)、B’(6,8)、C’(10,12)，则△A’B’C’与△ABC位似，相似比2:1。 题型一 比例的性质 【例1】已知：，则 ． 【答案】 【详解】解：由，设，（其中）， 则； 故答案为． 【例2】已知且，则的值为 ． 【答案】 18 【详解】解：设， 则，，． 代入， 得 ， 即， 解得， ∴． 故答案为：18． 【变式1-1】若且，则 ． 【答案】/ 【详解】解：设，则，，， ∴， 故答案为：． 【变式1-2】若，则 ． 【答案】 【详解】解：∵， ∴，即， 将其代入，得 ． 故答案为：． 【变式1-3】已知，求的值． 【答案】 【详解】解：， 可设，，， ． 题型二 比例线段 【例3】下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【答案】D 【分析】 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意， 故选：D． 【例4】在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为 ． 【答案】135 【详解】解：比例尺为，表示地图上1厘米代表实际距离1500000厘米． 设实际长度为x厘米， 则， 解得：厘米， 由于 厘米， 因此实际长度， 故答案为：135． 【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段不成比例，该选项不符合题意； 、，四条线段成比例，该选项符合题意； 故选：． 【变式2-2】线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，则 ． 【答案】4 【分析】 【详解】解：因为线段是线段和的比例中项， 所以， 解得（负值舍去）． 故答案为：． 【变式2-3】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 【答案】C 【详解】设长为， ∵，， ∴， ∵四条线段、、、是成比例线段， ∴，即 解得或3， ∴的长为2或． 故选：C． 题型三 黄金分割 【例5】已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵ P是线段的黄金分割点，且， ∴ ， 故选：C． 【例6】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵点为线段的黄金分割点， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选D． 【变式3-1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【答案】 【详解】解：∵P为的黄金分割点，且的长度为， ∴， 即， 故答案为：． 【变式3-2】唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【答案】 【详解】解： ∵点P为靠近点B的黄金分割点，的长约为， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式3-3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 【答案】/ 【分析】 【详解】解：设，则， 点为的黄金分割点， ，即， 则， 解得， （大于长，舍去），， 则， 故答案为：． 题型四 平行线分线段成比例 【例7】如图，两条直线，被三条平行线，，所截．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 故选：B． 【例8】如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】 【详解】解：∵三条直线互相平行， ∴，即， 解得． 故选：C． 【变式4-1】如图，，，，那么的长为 ． 【答案】3 【分析】 【详解】解：， ， 又， ， 故答案为：3． 【变式4-2】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】 【详解】解：A.∵，， ∴， 该选项正确； B. ∵，， ∴， ∴； 该选项正确； C. ∵，， ∴， ∴， 该选项正确； D.根据给出条件无法得出， 该选项不一定正确； 故选：D． 【变式4-3】已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，不能判断，本选项不符合题意； B、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； C、，即，能判断，本选项符合题意； D、，可以判断，不能判断，本选项不符合题意； 故选：C． 题型五 相似图形及相似多边形的性质 【例9】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【答案】D 【详解】解：依题意，用放大镜观察该分子结构：原图形与放大后的图形是相似图形， ∴的长度变大，六边形的周长变大，面积变大，的度数保持不变． 故选：D 【例10】如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【答案】(1) (2)． 【分析】 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：四边形与四边形相似， ， ， ， 解得：． 【变式5-1】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【详解】解：∵ ①两个矩形对应角相等（均为），但对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ②两个正方形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ③两个等腰三角形对应角不一定相等（如顶角可能不同），对应边不一定成比例， ∴ 不一定相似； ∵ ④两个等边三角形对应角相等（均为），且对应边成比例（边长比相同）， ∴ 一定相似； ∵ ⑤两个菱形有一个角为，则所有对应角相等（均为、、、），且对应边成比例（四边相等，边长比相同）， ∴ 一定相似． ∴ 一定相似的有②、④、⑤，共3个． 故选：C． 【变式5-2】如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 【答案】18 【分析】 【详解】解：∵四边形 四边形， ∴，即， ∴， 故答案为：18． 【变式5-3】如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：四边形是平行四边形， ， ，，， ， ， ． 题型六 相似三角形的判定 【例11】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A. 如图， ∵， ∴，故A选项不合题意； B. 如图， ∵， ∴，故B选项不合题意； C.如图， ∵ ∴， ∵， ∴，故C选项不合题意； D. 如图， ∵， ∴， 但不一定等于， ∴无法判定与相似，故D选项符合题意． 故选：D 【例12】人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【答案】见解析 【详解】证明：由题意可知，点是线段的黄金分割点，， ， 又，， ，即， ． 【变式6-1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解：，， A、当时，，能证明相似，故选项A不符合题目要求， B、当时，，能证明相似，故选项B不符合题目要求， C、当时，不能判定与相似，故选项C符合题目要求， D、当时，，能证明相似，故选项D不符合题目要求． 故选：C． 【变式6-2】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（   ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题 【答案】B 【详解】解：依题意，，添加一组对应角相等，可以使得，故天翼的做法以及过程没有问题， 佳琛的做法添加的条件有问题，应为，故B选项符合题意， 故选：B． 【变式6-3】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：∵， ， ， 。 （2）证明：， ， ， ． ， ． 又， ． 题型七 相似三角形的判定与性质 【例13】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【答案】C 【详解】解：，由题意可得：， 根据题意，当△△时， ， ， ． 当△△时， ， ， ． 故选：C． 【例14】已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ，， ， ， ． 【变式7-1】如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则 ， ． 【答案】 【分析】 【详解】解：过点作于点，如图， 为等腰直角三角形， ， ，， 在中，， ， ， 在中，， 线段逆时针旋转到线段， ， 为等腰直角三角形， ， 又， ， ， 即， ． 故答案为：，． 【变式7-2】如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 【答案】2 【详解】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟知相似三角形的判定与性质是解题的关键．根据题意，得出，再结合相似三角形的性质即可解决问题． 【解答】解：由题知，， ， ， ， ∴， 则， ， ， 又， ∴， ∴， 故答案为：2． 【变式7-3】已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)3 【分析】 【详解】（1）证明： 平分， ． ，为边上的高， ， ， ． ，， ； （2）解：如图，过点作于点， 平分，，， ． 在和中， ， ， ． ， ． 在中， ，， ． 设，则， 即， 在中， ， ， 解得， ． 由（1）得， ， 即， ． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． 题型八 相似三角形的应用 【例15】在物理课上同学们曾学过小孔成像（图1）．如图2，如果蜡烛火焰的高度为，倒立的像的高度为，小孔O到火焰的距离为，则小孔O到像的距离为 ，计算依据是 ． 【答案】 10 相似三角形对应高的比等于相似比 【详解】解：由题意，， ∴， ∴相似比为， ∴两个三角形的对应边的高的比为， ∴点O到的距离， 计算的依据为：相似三角形对应高的比等于相似比 故答案为：10；相似三角形对应高的比等于相似比． 【例16】如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【答案】50米 【分析】 【详解】由题意得，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， 解得． ∴塔的高度为50米． 【变式8-1】如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是 ． 【答案】3 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， 根据两个三角形相似，对应边上的高的比等于相似比可知：， ∴； 故答案为：． 【变式8-2】祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【答案】(1)见解析 (2)38米 【分析】 【详解】（1）解：过A作，交于C，即为所求： （2）解：， ， ，， ， ， ，即， （米）， 祈年殿的实际高度为38米． 【变式8-3】滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 【答案】(1)2 (2)700米 【分析】 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴. （2）解：过点E作垂足为，如图所示： 由题意得：米， ∵，，， ∴， ∴， ∴米. 题型九 作图——相似变换 【例17】图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，点、即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【例18】如图，小正方形的边长为1，在中，点，，为格点．利用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中作的一条中位线； (2)在图2中作的三等分点． 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图1所示，中位线即为所求； 或 （2）解：如图2所示，三等分点即为所求． 或 【变式9-1】如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图所示：即为所求作， （2）解：根据网格图可得：， ， ， ∵，， ， ∴2，， ∴． 【变式9-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：在线段上找一个点，使，如图所示： 【变式9-3】如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） (1)在图1中，画出的外心； (2)在图2中，在线段上找一点，使得． 【答案】(1)作图见详解 (2)作图见详解 【分析】 【详解】（1）解：找格点，连接，找格点，连接交于点，如图所示： 是线段的垂直平分线，是线段的垂直平分线， 的外心即为所求； （2）解：找格点，连接交于点，如图所示： ， ， 则， ， 线段上点即为所求． 题型十 位似变换 【例19】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵，，与位似，原点是位似中心． ∴位似比为， ∵的周长表示为，则的周长表示为． 故选：A． 【例20】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． (3)在（2）的条件下，此时的面积是多少？ 【答案】(1)图见解析，点E的坐标为． (2)见解析 (3)30 【分析】 【详解】（1）解：点E的位置如下图所示： 由图知，点E的坐标为． （2）解：得到如图所示： （3）． 【变式10-1】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】 【详解】解：∵ 以原点O为位似中心，相似比为， ∴ 点的对应点的坐标为或， ∴ 或． 故选：D． 【变式10-2】如图，图中小方格都是边长为1的小正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心O； (2)与的相似比为_________； (3)以点O为位似中心，在网格中将按相似比缩小． 【答案】(1)作图见解析 (2) (3)作图见解析 【分析】 【详解】（1）解：如图，点为位似中心； （2）解：∵， 则与的相似比为． （3）解：如图，为缩小后的图： 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； (2)直接写出和的面积之比为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）解：根据题意，画图如下： 则即为所求． （2）解：面积之比等于位似比的平方， 和的面积之比为， 故答案为：． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴； 故选A． 2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 【答案】D 【详解】解：如图，连接、，交点即为位似中心， ， 由图形可得位似中心是点， 故选：D． 3．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】 【详解】解：∵为一个小正方形的对角线， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 4．如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：由题意可得：米，米，米，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴米， 即点A的坐标为， 故选：C． 5．如图，点，均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点，，连接，交线段于点．要求：点把线段分成的两部分．下列关于方案、的可行性判断正确的是（   ） A．方案和均可行 B．只有方案可行 C．只有方案可行 D．方案和均不可行 【答案】A 【详解】解：方案：由图可知， ，， ， 点把线段分成的两部分，即方案可行． 方案：如图，连接，， 观察图形可知， ，，， ， ， ， 点把线段分成的两部分，即方案可行． 综上，方案和均可行． 故选：A． 6．在比例尺为的地图上量出A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是 m． 【答案】30 【分析】 【详解】解：设A、B两地的实际距离是， 则根据比例尺有， 解得， 经检验：是原方程的解， ． 故答案为：30． 7．如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．正方形的边长为 ． 【答案】 【详解】解：设正方形的边长为， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵是的高， ∴， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， ∴正方形的边长为， 故答案为：． 8．如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为 ． 【答案】 【详解】解：∵与位似，点为位似中心， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 9．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】 【详解】解：∵矩形矩形， ∴，，， ∴， ∴， 故答案为：． 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出，并写出三个顶点坐标； (2)的面积为 【答案】(1)见解析；，， (2)22 【分析】 【详解】（1）解：如图所示，点，，． （2）解：的面积为： ． 11．如图，在中，，求证：． 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：∵， ∴，， ∴． 12．如图，在和中，，且，求证：． 【答案】见解析 【分析】 【详解】证明：， ， ， ，即， ， ， 又， ， ∵， ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在等边中，点D，E分别在边上，，若，，则的长度为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】 【详解】解：∵为等边三角形， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 2．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 【详解】解： ，， ， ， ， ． ， ， ， ， ． 点是的中点， 是的中位线， ． ， ， ， ． ， ， ， ， ， 故选C． 3．在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为 ． 【答案】 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分交于点，于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 在中，由勾股定理，得； 故答案为：． 4．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 【答案】 0或4 5或2 【分析】 【详解】解：（1）由题意得，， 则， ∵，点，相距， ∴， 即， 化简得， 解得：，， 故答案为：或； （2）当时， ∴， ∴， 解得：； 当时， ∴， ∴， 解得：． 故答案为：5或2． 5．如图，点M是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点D落在边上，记作点N． (1)求证：； (2)若与的相似比为，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)15 【分析】 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 沿翻折得到， ， ， ， ， ， ； （2）解：设， ∵矩形性质可知， 由翻折的性质可知， ∵与的相似比为， ，得， ， 在中，， ，解得， ． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 图形的相似（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 比例线段与比例性质（含黄金分割） 能熟练进行线段比化简与比例运算，掌握比例基本性质、比例中项计算，准确运用黄金分割解决简单问题 基础必考点，以选择、填空题为主；命题趋势是结合实际情境（如建筑设计）考查黄金分割 平行线分线段成比例定理 能准确识别平行线截线段的模型，运用定理求线段比例或长度，快速判断截得的三角形与原三角形的相似关系 高频基础考点，覆盖选择、填空、解答题第一问；易错点是对应线段找错（混淆截得线段与原线段）、忽略“平行线”前提条件 相似三角形的判定 能根据题目条件灵活选择4种判定方法（平行、两角、两边及夹角、三边），准确找准对应角和对应边，完成相似证明 核心重点考点，解答题必考；易错点是“两边及夹角”中误将非夹角作为条件、对应顶点顺序颠倒导致判定错误 相似三角形的性质应用 能运用性质求对应线段（高、中线、角平分线）、周长，熟练掌握“面积比=相似比的平方”并解决面积计算问题 重点计算考点，与判定配套考查（先判定再用性质）；易错点是将面积比等同于相似比、对应线段找错导致计算失误 位似图形 能准确识别位似图形，确定位似中心和相似比，运用坐标法进行位似变换（横纵坐标缩放） 中档基础考点，以选择、填空题为主；易错点是坐标位似变换时符号出错（忽略负比例系数的反向变换）、混淆位似与相似的区别 相似三角形的实际应用 能从实际问题中建立相似三角形模型，解决测量物体高度、距离等实际问题 中档大题考点，偶尔出现在期中解答题；命题趋势是结合生活场景，考查建模能力和计算能力 知识点01 比例线段与比例性质 1．线段的比：两条线段长度的比。 例：线段AB=2cm，CD=6cm，則AB:CD=2:6=1:3。 2．成比例线段：四条线段中，两条线段的比等于另外两条线段的比（如a:b=c:d，则a、b、c、d成比例）。 3．比例的基本性质： 若a:b=c:d，则ad=bc； 若b是a和c的比例中项，则b²=ac。 例：若3:x=x:12，则x²=3×12=36，解得x=6（x>0）。 知识点02 黄金分割 1．定义：点P将线段AB分成AP和PB两段，若AP:AB=PB:AP（即AP²=AB·PB），则点P是AB的黄金分割点，黄金比为。 例：若线段AB=10cm，P是其黄金分割点（AP>PB），则AP=10×cm，PB=10-6.18≈3.82cm。 知识点03 平行线相关定理 1．平行线等分线段定理：一组平行线截一条直线得相等线段，截其他直线也得相等线段。 2．平行线分线段成比例定理： 平行于三角形一边的直线截其他两边（或延长线），对应线段成比例； 截得的三角形与原三角形相似。 例：在△ABC中，DE∥BC，則AD:AB=AE:AC=DE:BC；△ADE∽△ABC。 知识点04 相似三角形的概念与表示 1．定义：对应角相等、对应边成比例的两个三角形叫做相似三角形。 2．表示方法：用“∽”表示，对应点需写在对应位置，相似比为对应边的比。 例：△ABC∽△DEF，说明∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F，AB:DE=BC:EF=AC:DF=k（k为相似比）；若k=1，则△ABC≌△DEF（全等是相似的特殊情况）。 知识点05 相似三角形的判定（4种核心方法） 1．平行判定：平行于三角形一边的直线截其他两边，构成的三角形与原三角形相似。 2．两角判定：两个角对应相等的两个三角形相似（最常用）。 例：△ABC中∠A=60°、∠B=45°，△DEF中∠D=60°、∠E=45°，则△ABC∽△DEF。 3．两边及夹角判定：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似（注意“夹角”必须是两边的夹角）。 例：△ABC中AB:AC=2:3，∠A=50°；△DEF中DE:DF=2:3，∠D=50°，则△ABC∽△DEF。 4．三边判定：三组对应边成比例的两个三角形相似。 例：△ABC的三边为2、3、4，△DEF的三边为4、6、8（对应比1:2），则△ABC∽△DEF。 知识点06 相似三角形的性质 1．对应角相等，对应边成比例； 2．对应线段（高、中线、角平分线）的比等于相似比； 例：△ABC∽△DEF，相似比2:3，△ABC的高AD=4cm，则△DEF的对应高DH=6cm（4:DH=2:3）。 3．周长比等于相似比； 4．面积比等于相似比的平方； 例：上述两三角形面积比为2²:3²=4:9（若△ABC面积为12cm²，则△DEF面积为27cm²）。 知识点07 位似图形 1．定义：两个相似多边形的对应顶点连线交于同一点（位似中心），对应点到位似中心的距离比等于相似比。 2．坐标法位似：平面直角坐标系中，顶点横、纵坐标同乘k（k≠0），位似中心为原点，相似比为|k|。 例：△ABC顶点A(1,2)、B(3,4)、C(5,6)，各顶点坐标乘2得A’(2,4)、B’(6,8)、C’(10,12)，则△A’B’C’与△ABC位似，相似比2:1。 题型一 比例的性质 【例1】已知：，则 ． 【例2】已知且，则的值为 ． 【变式1-1】若且，则 ． 【变式1-2】若，则 ． 【变式1-3】已知，求的值． 题型二 比例线段 【例3】下列各组中的四条线段成比例的是（  ） A．1，2，3，4 B．2，3，4，5 C．1，2，3，5 D．2，3，4，6 【例4】在比例尺为的江苏地图上，无锡到上海的长度约为，它的实际长度约为 ． 【变式2-1】下列各组中的四条线段成比例的是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】线段c是线段a，b的比例中项线段，已知，则 ． 【变式2-3】在线段上取C、D两点，已知，，且四条线段、、、是成比例线段，则线段的长为（    ）． A．4 B．3 C．2或3 D．4或3 题型三 黄金分割 【例5】已知P是线段的黄金分割点，且，那么值为（    ） A． B． C． D． 【例6】大自然是美的设计师，即使是一个小小的盆景，经常也会产生最具美感的黄金分割比．如图，点为线段的黄金分割点，若，则的长为（　　）． A． B． C． D． 【变式3-1】大自然是美的设计师，即使是一片小小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，P为的黄金分割点，如果的长度为，那么的长度为 ． 【变式3-2】唢呐是榆林地区具有代表性的传统乐器之一，具有鲜明的地域特色．如图，一个唢呐的长约为，若在唢呐上喇叭端的一个黄金分割点处进行装饰，且，则该装饰与吹口的距离的长度为 ． 【变式3-3】黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“衡”稳重、美观．已知点为的黄金分割点，若，则的长为 ．（结果保留根号） 题型四 平行线分线段成比例 【例7】如图，两条直线，被三条平行线，，所截．若，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【例8】如图，已知三条直线，，互相平行，直线与，，分别交于，，三点，直线与，，分别交于，，三点，若，，，则的长为（ ） A．4 B．5 C．6 D．7 【变式4-1】如图，，，，那么的长为 ． 【变式4-2】如图，在梯形中，，对角线交于点，过点作，分别交于点．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】已知：如图，中，点、、分别在边、和上，下列条件能判定的是（    ） A． B． C． D． 题型五 相似图形及相似多边形的性质 【例9】某物质的分子结构如图所示，所有六边形都是正六边形，用放大镜观察该分子结构，则保持不变的是（    ） A．的长度 B．六边形的周长 C．六边形的面积 D．的度数 【例10】如图，已知四边形与四边形相似，点的对应点分别为． (1)___________； (2)求边的长度． 【变式5-1】下列各组图形中，一定相似的有（    ） ①两个矩形；②两个正方形；③两个等腰三角形；④两个等边三角形；⑤有一个角为的两个菱形． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式5-2】如图所示，若四边形 四边形，，，四边形的面积是，则四边形的面积是 ． 【变式5-3】如图，已知，点在边的延长线上，点在边的延长线上，，，且． (1)的度数为______； (2)若，求的长． 题型六 相似三角形的判定 【例11】如图，在中，，，，将沿图中的虚线剪开，剪下的阴影三角形．原三角形不相似的是（   ） A． B． C． D． 【例12】人们把黄金分割誉为“天赋”的比例法则．如图，在中，若点M是线段的黄金分割点（），，求证：． 【变式6-1】如图，已知，添加一个条件后，仍不能判定与相似的是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】如图，点D在的边上，添加一个条件，使得．以下是天翼和佳琛的做法，下列说法不正确的是（   ） 天翼的做法： 添加条件． 证明：，， （两角分别相等的两个三角形相似）． 佳琛的做法：添加条件． 证明：，（两组对应边成比例及一组对应角相等的两个三角形相似）． A．天翼的做法证明过程没有问题 B．佳琛的做法证明过程没有问题 C．天翼的做法添加的条件没有问题 D．佳琛的做法添加的条件有问题 【变式6-3】如图，在中，点，分别在边，上，连接，且，点在上，且． (1)试说明； (2)若，求证：． 题型七 相似三角形的判定与性质 【例13】如图，在中，，，点P是边的中点，点Q是边上一个动点，当与相似时，长为（    ） A．4 B．1 C．1或4 D．2 【例14】已知：如图，在中，，，垂足为． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【变式7-1】如图，点D在等腰的斜边上，以点C为旋转中心将线段逆时针旋转到线段，连接交于点F，若，则 ， ． 【变式7-2】如图，在中，，D是上一点，，，则的长为 ． 【变式7-3】已知：如图，中，，为边上的高，的平分线分别交，于点，． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 题型八 相似三角形的应用 【例15】在物理课上同学们曾学过小孔成像（图1）．如图2，如果蜡烛火焰的高度为，倒立的像的高度为，小孔O到火焰的距离为，则小孔O到像的距离为 ，计算依据是 ． 【例16】如图，小林和小明想利用所学知识测量塔的高度，由于观测点与该塔底部间的距离不易测量，因此经过研究需要进行两次测量，他们首先利用阳光下的影子进行测量，方法如下：某一时刻，小林在该塔影子的顶端D处竖直立一个标杆，并测得此时标杆的影长为2.4米；然后，小明在的延长线上找一点F，使得A、C、F三点在同一直线上，并测得为2.5米，已知图中所有点均在同一平面内，标杆高为2米，，，根据以上测量数据，求该塔的高度． 【变式8-1】如图是装满了液体的高脚杯示意图（如图①），用去一部分液体后如图②所示，此时液面的宽度是 ． 【变式8-2】祈年殿是北京天坛的主体建筑（图1）．晓宇和同学们在国庆放假期间，到天坛公园开展数学综合实践活动．由于太阳光近似于平行光线，所以他们计划通过测量影子的方法来计算祈年殿的高度．如图2所示，祈年殿的高为，测得其在地面上的影长为37米．同一时刻，竖一根高度为1.9米的标杆，测得标杆的影长为1.85米． (1)在图中画出此时在阳光下的投影（提示：投影应从点B开始，方向与标杆影子一致）； (2)根据测量数据，计算祈年殿的实际高度． 【变式8-3】滹沱河是石家庄的“母亲河”，滋养着冀中平原．嘉嘉为测量滹沱河某段的宽度，采用如下方法：如图，该段河道两岸平行，他在对岸选定目标点，在靠近自己的河岸取点和，并在，的延长线上分别取点，，使，经测量米，米，点到的距离为350米，于点． (1)求的值； (2)求滹沱河该段的宽度． 题型九 作图——相似变换 【例17】图①、图②均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．的顶点均在格点上．仅用无刻度的直尺，在给定的网格中，按下列要求画图，并保留必要的作图痕迹． (1)在图①中，分别在边、上找到点、，连接，使，且相似比为； (2)在图②中，在边上找一点，连接，使． 【例18】如图，小正方形的边长为1，在中，点，，为格点．利用无刻度直尺完成以下作图： (1)在图1中作的一条中位线； (2)在图2中作的三等分点． 【变式9-1】如图，是边长为1的正方形网格，的顶点均在格点上． (1)在该网格中画出（顶点均在格点上），使（不包含全等）； (2)请说明． 【变式9-2】如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，点均在格点上，仅用无刻度的直尺作图． (1)在图①中画一个格点三角形与原三角形相似且有一条公共边； (2)在图②中的线段上找一个点，使． 【变式9-3】如图是由边长为1的小正方形构成的的网格，的顶点均在格点上．（仅用无刻度直尺作图，作图请保留痕迹，涂上黑点，注上字母） (1)在图1中，画出的外心； (2)在图2中，在线段上找一点，使得． 题型十 位似变换 【例19】如图，在平面直角坐标系中，已知，，与位似，原点是位似中心．若的周长表示为，则的周长表示为（   ） A． B． C． D． 【例20】如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． (1)与是位似图形，位似中心是点E，请在图中标出点E的位置，并写出点E的坐标； (2)以点为位似中心，将放大为原来的2倍得到（其中与A，与B，与C是对应点，并且每对对应点分别在点D的同侧）． (3)在（2）的条件下，此时的面积是多少？ 【变式10-1】在平面直角坐标系中，已知点，，以原点O为位似中心，相似比为，把缩小，则点的对应点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【变式10-2】如图，图中小方格都是边长为1的小正方形，与是以点O为位似中心的位似图形，它们的顶点都在小正方形的顶点上． (1)画出位似中心O； (2)与的相似比为_________； (3)以点O为位似中心，在网格中将按相似比缩小． 【变式10-3】如图，在平面直角坐标系中，的顶点都在网格点上． (1)在所给网格中，以点为位似中心，画出，使得与位似，且位似比为，点的对应点为点，点的对应点为点； (2)直接写出和的面积之比为___________． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格图中，与是位似图形，且和的顶点均在格点上，则位似中心是（    ） A．点 B．点 C．点 D．点 3．如图，在由完全相同的小正方形组成的网格中，已知，则的度数是（    ） A． B． C． D． 4．如图，小强在地面上N处站立，距离垂直于地面的墙8米，在距离小强2米的点B处放置平面镜，小强用激光笔从点M向点B发出一束光，光在经过点B反射后照射在墙上A处，此时激光笔的发光点M距离地面1.5米．以所在的水平线为x轴，所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系，点M的坐标为，则点A的坐标为（   ） A． B． C． D． 5．如图，点，均在方格纸的格点上．在方格纸内另取格点，，连接，交线段于点．要求：点把线段分成的两部分．下列关于方案、的可行性判断正确的是（   ） A．方案和均可行 B．只有方案可行 C．只有方案可行 D．方案和均不可行 6．在比例尺为的地图上量出A、B两地的距离是，那么A、B两地的实际距离是 m． 7．如图所示，要在高，底边的三角形余料中截出一个正方形板材．正方形的边长为 ． 8．如图，与位似，点为位似中心．已知，若的面积为，则的面积为 ． 9．如图，已知矩形矩形，点，分别在线段，上，若，则线段的长为 ． 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，． (1)以点O为位似中心，将放大为原来的2倍，得到，请在平面直角坐标系中画出，并写出三个顶点坐标； (2)的面积为 11．如图，在中，，求证：． 12．如图，在和中，，且，求证：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．如图，在等边中，点D，E分别在边上，，若，，则的长度为（   ） A．3 B．2 C． D． 2．如图，已知、，与相交于点，作于点，点是的中点，于点，交于点，若，，则值为（    ） A． B． C． D． 3．在Rt中，，，，平分交于点，于点，过点作的延长线于点，则线段的长为 ． 4．如图所示，在中，，，，动点从点出发，沿方向运动；动点同时从点出发，沿方向运动．设运动时间为，如果点，的运动速度分别为和． （1）当t为 时，点P，Q相距； （2）当t为 时，与相似． 5．如图，点M是矩形的边上一点，沿直线将翻折，使得点D落在边上，记作点N． (1)求证：； (2)若与的相似比为，，求的长． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $