专题03 相似三角形的经典模型（13大模型）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题03 相似三角形的经典模型（13大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、AX字型相似 3 题型四、母子型相似 5 题型五、三角形内接矩形相似 6 题型六、射影定理相似 8 题型七、旋转相似 8 题型八、折叠相似 8 题型九、一线三等角型相似 8 题型十、手拉手型相似 8 题型十一、动态相似 9 题型十二、k字型相似 8 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一 A字型相似 1．如图，在中，，，，则（   ） A．15 B．20 C．25 D．45 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，平行线的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方是解题的关键． 根据平行线的性质证明，根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 2．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查相似三角形的性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方；由相似比为，可求出，即可求解. 【详解】解：∵，且相似比为， ∴， ∴. 故选：A. 3．如图，在中，点D、E分别在边上，，若，则 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是由，得，再由相似三角形的性质得，求出线段的长，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 故答案为：． 4．如图，已知D，E分别为， 上的两点，且，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明，然后根据相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 题型二 8字型相似 5．如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及相似三角形的判定与性质，利用相似三角形的对应边成比例，求出的值是解题的关键．利用平行四边形的性质，可得出且，结合，可得出，由，可得出，再利用相似三角形的性质，即可求出的值． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴且， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 故选：D． 6．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质，根据题意延长交的延长线于点是解答本题的关键．如图，延长交的延长线于点，先证明，可得，则，根据点是的中点，得，，证明，即可证明． 【详解】解：如图，延长交的延长线于点， ∵在中， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 7．如图，已知在平行四边形中，为的中点，，分别交于点，，则 ． 【答案】 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．注意分别求得各线段与的关系是关键． 由在平行四边形中，M为的中点，可证得，根据相似三角形的对应边成比例，可求得，继而求得，，则可求得答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 8．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了相似三角形的性质，三角形内角和定理，对顶角相等，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． (1)根据三角形内角和定理计算，根据，得到即可． (2) 根据，得 ，求得的长即可． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴ ， 解得， ∴． 题型三 AX型相似 9．如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行四边形的性质，根据可得，，证明，从而，代入即可求解，再证明，得到，即可得求出． 【详解】∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． ， ， ， ， ． 10．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题重点考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明、及是解题的关键． （1）由正方形的性质得，，，则，所以，根据相似三角形的性质即可得证； （2）由，证明，得，由，证明，得，则，代入数据求出，进而可求的长． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 11．如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)求证： (2)若的面积为2，求平行四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，熟悉相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质可得，，由平行线的性质得到，根据相似三角形的判定定理即可得证； （2）证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，即可得到四边形的面积，再证明，根据相似三角形的性质，可求出的面积，由此可得平行四边形的面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵，的面积为， ∴， ∴， ∴， ∵的面积为， ∴，， ∴， ∴， ∴平行四边形的面积为． 12．如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、相似三角形的判定与性质等知识；熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得出，，由平行线的性质得出，，即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得出，，证得，得出 ，求出，则，由，得出，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 即：， 解得：， ∴， ∵， ∴， 即， 解得， ∴． 题型四 母子型相似 13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了矩形和平行四边形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，综合性较强，构造全等三角形，一线三直角模型是解题关键．以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形，结合矩形的性质，证明四边形是平行四边形，是等腰直角三角形，从而推出，求出，，再证明，即可求出的长． 【详解】解：如图，以、为邻边作矩形，过点作交于点，过点作交的延长线于点，再过点作的平行线交、的延长线于点、，则四边形是矩形， ，，，，， 是的中点， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ，， ， ， 是等腰直角三角形， ， ，， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 14．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解直角三角形，角直角三角形的性质等知识点，识别基本图形是解题的关键． （1）根据等角的余角相等得到，再结合，即可求证； （2）先根据角直角三角形性质得到，再解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，，而， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）证明，得出，证明四边形为平行四边形，得出，则可得出结论；（2）证明，得出，证明，得，则得出结论；（3）证明，得出，设，解方程求出，则可得出答案． 【详解】（1） 在和中， 又 （SAS） 四边形为平行四边形 （2） 又 ，即 ． 又 ，即 （3） ， ． 设，则有 解得（负值舍去） 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、平行四边形的性质，利用相似三角形的判定和性质是本题解题的关键． 16．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 【答案】(1)为的理想点,理由见解析 (2)或 【分析】（1）由已知可得，从而，，可证点是的“理想点”； （2）由是的“理想点”，分三种情况：当在上时，是边上的高，根据面积法可求长度；当在上时，，对应边成比例即可求长度；不可能在上． 【详解】（1）解：点是的“理想点”，理由如下： 是中点，， ，， ， ， ， ， ， ， ， 点是的“理想点”； （2）①在上时，如图： 是的“理想点”， 或， 当时， ， ， ，即是边上的高， 当时，同理可证，即是边上的高， 在中，，，， ， ， ， ②，， 有， “理想点” 不可能在边上， ③在边上时，如图： 是的“理想点”， ， 又， ， ，即， ， 综上所述，点是的“理想点”， 的长为或． 【点睛】本题主要考查了相似三角形、勾股定理等知识，解题的关键是理解“理想点”的定义． 题型五 三角形内接矩形相似 17．如图，四边形是的内接矩形，是的高，，，求矩形的周长． 【答案】 【分析】此题重点考查矩形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，证明是解题的关键． 设交于点L，由，得，由证明，而，则，可证明，由相似三角形的性质求出的长，进而求出的长，周长公式求出矩形的周长即可． 【详解】解：设交于点L， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，且点D、G分别在上，边在边上， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即： 解得， ∴，， ∴， ∴矩形的周长为． 18．小明利用三角形截取正方形进行了以下操作，其中中，，下面帮小明进行计算：    (1)如图1，四边形为的内接正方形，求正方形的边长； (2)如图2，三角形内有并排的n个相同的正方形，它们组成的矩形内接于，求正方形的边长（用含n的代数式表示）． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是相似三角形及正方形的性质； （1）根据题意画出图形，作，再根据，可知，由相似三角形的性质即可求出正方形的边长； （2）作，同（1）可知，，根据对应边的比等于相似比可求出正方形的边长． 【详解】（1）解：如图所示，作，交于点，交于点，    在中， ， ， 解得， ， ， ， 设正方形边长为， 则， ； （2）解：在图中，作，交于点，交于点，   ， ， ， 设每个正方形边长为， 则 ， ． 19．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）画图见解析， 【分析】（1）根据条件画出矩形PBQH即可． （2）如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．由PH∥BC，推出＝，由DG∥BC，推出＝，由PH＝DG，推出＝，推出AR∥HG，由HG∥BC，即可证明AR∥BC． （3）如图2中，作AR∥BC，BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G．作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F．则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短．由（2）可知BH＝EG，求出BH即可解决问题． 【详解】（1）解：矩形PBQH如图1所示   （2）解：如图1中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR   ∵PH∥BC， ∴ ∵DG∥BC， ∴ ∵PH＝DG， ∴ ∴AR∥HG， ∵HG∥BC， ∴AR∥BC （3）解：如图2中，作AR∥BC．BR⊥BC，连接CR，作BH⊥CR，过点H作PH∥BC交RB于P交AB于D交AC于G，作HQ⊥BC于Q，DE⊥BC于E，GF⊥BC于F   则四边形DEFG是矩形，此时矩形的对角线最短（BH是垂线段，垂线段最短，易证EG＝BH，故此时矩形的对角线EG最短）． ∵AB＝400米，∠ABC＝45°， ∴，即BR＝200m， 在Rt△RBC中， ∵BC＝600m，BR＝200m， ∴CR＝m， ∵， ∴BH＝米 由（2）可知EG＝BH＝米． 【点睛】本题考查相似三角形综合题、平行线分线段成比例定理、勾股定理、垂线段最短等知识，解题的关键是学会利用（2）中的添加辅助线的方法解决问题（3），灵活应用垂线段最短解决最值问题． 20．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 【答案】(1)；小； (2)①；② 【分析】（1）根据所给的例题，应用配方法即可求出的最值； （2）①证明，根据相似三角形的相比等于高的比，可得，分别求出，，即可求矩形的面积的函数表达式； ②根据所给的例题，应用配方法即可求出矩形的面积的最大值． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 即， ∴当，即时，有最小值，其最小值为， 故答案为：；小；； （2）解：①设交于， ∵四边形是矩形，， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，即， ∴， ∴，即， ∵，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴关于的函数关系式为； ②由①知：， ∵， ∴， ∴， 即， ∴当，即时，有最大值，其最大值为， ∴矩形的面积的最大值为． 【点睛】本题考查配方法，非负数的性质，矩形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． 题型六 射影定理相似 21．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，解一元二次方程，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）利用三角形相似证明结论； （2）设长为x，则，根据射影定理可得，求出长，再根据射影定理求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设长为x，则， 根据射影定理可知， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 又∵， ∴． 22．阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 【答案】（1）两角分别相等的两个三角形相似；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据两角分别对应相等的两个三角形相似即可解答； （2）根据两角分别对应相等的两个三角形相似证明，据此即可解答； 任务二：（3）根据射影定理得，，，即可证明． 【详解】（1）是斜边上的高， ． ， ， （两角分别相等的两个三角形相似）， ， 即， 故答案为：两角分别相等的两个三角形相似； （2）选择②，证明：， ， ， ， ， ； 或选择③．证明：， ， ， ， ， ； （3）证明：四边形为正方形， ， ， ， ， ． 23．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，财有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴（依据）， ∴， 即．    任务一：（1）材料中的依据是指________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明________； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为________． 【答案】任务一：（1）两角分别对应相等的两个三角形相似；（2）见解析；任务二：（1）见解析；（2）6 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题关键是熟练运用相似三角形的判定和性质进行推理证明和计算； 任务一：（1）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”即可解答； （2）根据“两角分别对应相等的两个三角形相似”证明，据此即可解答； 任务二：（1）根据射影定理得，，则； （2）先证明，设，用表示出，，，，再利用相似三角形的性质得到，代入数据即可求解． 【详解】解：任务一：（1）∵，， ∴（两角分别对应相等的两个三角形相似）， 故答案为：两角分别对应相等的两个三角形相似； （2）证明：②； 如图， ，， ， 而， ∴， ， ∴； ③， 如图， ，， ， 而， ∴， ， ； 任务二：（1）证明：如图， 四边形为正方形， ，， ， ， ， ； （2）解：设， 而， ，， 在中，， 在中，， ∵，即， 而， ， ， 即， 解得， ∴． 故答案为：6． 24．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定及性质是解题的关键． （1）证明，结合即可得证； （2）根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵是斜边上的高， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 题型七 旋转相似 25．综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)成立，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例的综合运用，掌握相似三角形的判定是解题的关键． （1）根据平行线的性质可证，由此即可求解； （2）根据旋转的性质可证，由此即可求解； （3）根据题意可得，，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴． （2）解：成立，理由如下： 由旋转的性质得， ∴，即， 由（1）得， ∴， ∴， ∴（1）中的结论仍成立． （3）解：由（2）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴． 26．如图，在等腰中，，．将以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，与相交于点F． (1)求证：． (2)求出线段的长度． 【答案】(1)证明见解析 (2)线段的长度为 【分析】（1）利用等腰三角形的性质和旋转的性质得到角的关系和边的关系，即可求证； （2）利用得到对应边的比相等即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 由旋转可知，， ∴，， ∴， ∴． （2）∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴线段的长度为． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质、平行线的判定、相似三角形的判定与性质，解题关键是理解相关概念并能灵活应用． 27．综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 【答案】(1)； (2)线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致，理由见解析 (3) 【分析】（1）由旋转的性质可得，，，继而得到，，，，可得出与的夹角； （2）证明得，，即可得证； （3）利用勾股定理求出的长，证明，求出，由等腰三角形的性质可求出的长． 【详解】（1）解：如图，延长交于， ∵将绕点按顺时针方向旋转得到，，，， ∴，，， ∴，， ，， ∴，， ∴，， ∴线段与的位置关系是，与的数量关系是， 故答案为：；； （2）线段与的数量关系，位置关系与（1）中结论一致． 理由：如图， ∵将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，，，， ∴，，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， 即， ∴， ∴； （3）如图，过点作于， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ∵将绕点旋转一定角度得到，点 落到边上，， ∴， ∴， 由（2）可知：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理等知识，掌握旋转的性质、相似三角形的判定和性质是解题的关键． 28．如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见解析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 题型八 折叠相似 29．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 【答案】B 【分析】本题主要考查矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定及性质．由矩形的性质与折叠可得，，从而证得，根据相似三角形的性质得到，因此，再由矩形的周长等于与的周长之和即可解答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠可得，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴ ∴． 故选：B 30．如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了翻折变换的性质及其应用、等边三角形的性质、相似三角形的性质和判定等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 先证明，由折叠得出，求出的周长为，的周长为，得出与的相似比即可解答． 【详解】解：∵ 设，则， ∵为等边三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴相似比 由折叠的性质可得：， ∴， ∴与的相似比， ∴． 即， 故答案为： 31．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，连接，折叠该纸片，点A落在处，连接，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查翻折变换，正方形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造相似三角形解决问题． 如图，过点作于M交于N．证明，推出，设，则，．，根据，构建方程求出x即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于M交于N．    ∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 由翻折可知，，，， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，则，，， ∵， ∴， ∴， ∴，，， 在中，． 故答案为：． 32．如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． (1)求证：； (2)点H在上，，求证：； (3)若正方形的边长为9，，求的长． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)． 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）过点作于点，证得四边形是矩形，得到，由折叠知，进一步得到，再证明，即可得出结论； （2）由折叠知，进一步得到，证明 ，得到，即可得出结论； （3）连接，由折叠知，，根据勾股定理求出，证明，得到，求出，，得到，同理可证，，即可求解． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点， ， ∵为正方形 ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 由折叠知：， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：由折叠知：， ， ， 在和中， ， ， ， ； （3）解：如图，连接， 由折叠知：，， ， 在中，，即， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， 同理可证：， ， ． 题型九 一线三等角型相似 33．九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 【答案】[一线模型]见解析；[变化模型]；[拓展延伸] 【分析】一线模型：利用三角形外角性质，找到角的等量关系，结合已知的角相等，依据相似三角形判定定理（两角分别相等）证明 ． 变化模型：通过角的关系推导，得出与相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知（即 ），求出的值 ． 拓展延伸：作辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的性质和线段的等量代换，将转化为与已知相关的表达式，进而求解 ． 本题主要考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等判定相似）和性质（对应边成比例），以及通过作辅助线构造相似三角形、利用角的关系和线段等量代换解题是关键． 【详解】解：（1）∵， 且 ∴， ∴， ∴； （2）∵，， 而， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点作， 则：，， ∴， ∵， ∴， 则， 同理可证：， ∴，即， ∴． 34．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定．熟练掌握相似三角形的判定方法，是解题的关键．本题考查一线三等角模型，平时要多积累总结． （1）利用已知得出，以及即可得出； （2）利用已知得出，进而求出; （3）根据相似三角形的判定得出，确定，结合题意得出，再由相似三角形的判定和性质即可证明． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴， ∴． （3）∵，， ∴， ∴． ∴， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 35．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 【答案】（1）见详解（2）成立，理由见详解（3）5 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质综合，勾股定理、三角形外角性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）通过等量代换得到，再结合，证明，则，即可作答． （2）与（1）过程类似，通过等量代换得到，结合，证明，则，即可作答． （3）因为点为直角顶点作等腰，得，与（1）过程类似，通过等量代换得到，证明，得出的值，再证明，列式代入数值，即可作答． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴； （2）成立，理由如下： ∵ ∴ 即 ∵ ∴ ∴ ∴； （3）∵是等腰三角形 ∴ ∵， ∴与（1）、（2）同理，得 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ 即 解得（为线段，负值舍去） ∴． 36．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由直角三角形的性质得出，可证明； （2）过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E，证明，由全等三角形的性质可得出，则可得出答案； （3）过点D作交的延长线于点M，证明，由相似三角形的性质可得出答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴； （2）解：过点D作于点F，过点C作于，交的延长线于点E， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即点C到的距离为； （3）过点D作交的延长线于点M， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十 手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 【答案】（1）（2）成立，理由见解析（3），理由见解析（4） 【分析】（1）证即可求解；（2）作交线段于点M，证得，再证得，，即可求解；（3）作交线段于点N，证得，再证得，，进一步可证，即可求解；（4）作交线段于点，证得，再证得，，进一步可证，即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵和都是等边三角形，点，重合 ∴，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ （2）成立，作交线段于点M    ∵和都是等边三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴， ∵， ∴是等边三角形 ∴， ∴ （3），理由如下： 作交线段于点N，    ∵和都是等腰直角三角形 ∴，， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ （4），理由如下： 作交线段于点，    ∵中，． ∴， ∴即 ∴ ∴ ∵ ∴即 ∴ ∴ ∴， ∵， ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ 【点睛】本题以“手拉手”模型为几何背景，综合考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，旨在考查学生的推理论证能力和“举一反三”的能力． 38．综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)或； 【分析】（1）根据等边三角形的性质可得， 则有，证明，得到，由三角形内角和定理可得，由此即可求解； （2）根据题意可得，由勾股定理可得，则有，可证，由相似三角形的性质可得，，在中，由三角形内角和定理可得，即，由此即可求解； （3）①根据含角的直角三角形的性质可得，，，设，则，，由，运用勾股定理即可求解； ②根据题意可得点在以点为圆心，以为半径的圆上运动，连接，在中，，当点三点共线时，，此时线段的值最小，根据直角三角形斜边中线等于斜边一半可得的值，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，即， ∵和都是直角三角形，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴，即， 综上所述，； （3）解：由（2）可得，， ①如图所示，点在同一条直线上， ∵，，，， ∴， ∴，， 设，则， ∴， ∵， ∴，即， 解得，，， 当时，； 当时，； 故答案为：或； 【点睛】本题主要考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，直线三角形斜边中线等于斜边的一半等知识的综合，掌握旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 39．综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 【答案】(1)① 1；② 40° (2)，，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、相似三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）①利用证明，得出，即可得出答案； ②根据，得出，根据三角形的内角和定理即可得出答案； （2）根据两边的比相等且夹角相等，得出，根据相似三角形的性质及三角形内角和即可得出答案； （3）正确画图形，当点C与点M重合时，有两种情况：图3和图4，同理可证，则有，，根据勾股定理即可得出答案． 【详解】（1）① ， 故答案为：1； ② 在中，故答案为：； （2）解：∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ，， ∵， ∴， ∴； （3）①点C与点M重合时，如图3，同理得：， ∴，， 设，则， ∵，，， ∴， 同理可得； 在中，由勾股定理得：， ，（舍去）， ∴； ②点C与点M重合时，如图4，同理得：， 设，则 在中，由勾股定理得：， （舍去）， ∴ 综上所述，的长为或． 40．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则 ；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）首先过点作，交于，过点作，交于，交于，然后根据正方形的性质以及的判定与性质，即可得出； （2）首先过点作，交于，过点作，交于，然后根据矩形的性质以及的判定与性质，即可得出； （3）首先过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，判定平行四边形是矩形，由（1）结论得出，然后判定，运用其性质和勾股定理构建方程，求解即可. 【详解】（1）解：如图1中，点作，交于，过点作，交于，交于， ∵四边形是正方形， , ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ， . 在和中， ， ， ， . 故答案为：． （2）证明：过点作，交于，过点作，交于，如图2， ∵四边形是矩形， ∴， ∴四边形、四边形都是平行四边形， ． 又， ， ． ∵四边形是矩形， ， ， ， ， ∴， ∴； （3）解：过点作平行于的直线，交过点平行于的直线于，交的延长线于，如图3， 则四边形是平行四边形． ， ∴平行四边形是矩形， ． ， ∴由（1）中的结论可得， 设，则． ， ， ， ， ∴， ． 在中， ， ， 整理得， 解得或（不符合题意舍去）， ，， . 【点睛】本题主要考查平行四边形的判定，矩形的判定和性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理．解题关键是作好辅助线，找出等量关系． 题型十一 动态相似 41．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)点的横坐标为或或 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、待定系数法求解析式、平行线的性质、三角形相似的判定和性质、解方程组，熟练掌握待定系数法、三角形相似的应用是解题的关键． （1）将点的坐标代入直线得出其解析式，点的坐标代入直线的解析式，然后联立两条直线的解析式即可求解； （2）分类讨论，当点在点的上方和当点在点的下方时，过点作于点，过点作于点，证明∽，进而得到，即可解题； （3）分类讨论，当为对角线和当为边时，根据菱形的性质进行计算． 【详解】（1）解：∵直线与轴交于点，与轴交于点，将点的坐标代入得： ， 解得：， ∴， ∵点在轴上点的右边，， ∴，即， ∵经过点的直线与正比例函数的图象平行， 设直线的解析式为：， 代入，有： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 由直线与直线相交于点， 联立得：， 解得：， ∴； （2）解：当点在点的上方时，如图1， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 当点在点的下方时，如图2， ∵， ∴， ∴， 过点作于点，过点作于点， ∴， ∴∽， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴； 综上所述，点的坐标为或； （3）解：存在，证明如下： 设，，由，， 当为对角线时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 当为边时，根据菱形的性质，得， ∴， 解得：； 综上所述，点的横坐标为或或． 42．如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)m的值为6 (3)①或；② 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理． （1）利用矩形性质得，结合，通过角的互余关系推出，从而证明． （2）由等腰直角三角形性质得，结合相似推出全等，得到、，再在中利用勾股定理和三角形面积公式列方程求解． （3）①设，根据点与重合得，结合相似三角形对应边成比例列方程求解．②先由得，再结合推出，利用相似比求出，最后再根据求出． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：为等腰直角三角形， ， ， ， ，， 在中，， ， ， 解得：，（舍去）， 的值为； （3）解：①设，则， 点与点重合， ， ， ， ， 整理得，， 解得，， 当，且点与点重合时，或； ②四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，即， 解得：， ， ， 即， 解得：． 43．如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． (1)求证：点在运动过程中，； (2)连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； (3)当与的面积和为时，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】（1）由四边形是矩形，可得，，则，根据平行线的性质得，由相似三角形的判定可得结论； （2）设的长度为．由勾股定理可求的长，由得，根据相似三角形的性质可求得，由（1）知，可得，根据平行四边形的性质得，则，即可得的值； （3）设的长度为，由（2）得出，，进而分别求得，根据与的面积和为，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：设的长度为． 在中，，，， ， ， ， ， 由（1）知：， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 解得：； 即 （3）解：设的长度为，由（2）可得， 在中，， 在中，， ∵与的面积和为 ∴ ∴ 解得：或 ∴的长度为或． 【点睛】本题考查了矩形，平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的面积等知识，利用相似三角形的判定和性质以及勾股定理得出线段之间的等量关系是本题的关键． 44．综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； 【答案】(1)见解析 (2)或，的面积为4或 (3) 【分析】（1）由正方形性质得出：，因为证得，进而推导和，通过互余关系得，最终利用两角对应相等完成相似证明； （2）分两种情况讨论：①当时，作，设，利用为中线及的比例关系解得，此时为等腰直角三角形，面积，且点共线，故；②当时，作，设    ，通过和的勾股定理（）解得，进而面积，再结合的比例关系：得，故．综合得或，对应面积为或； （3）首先利用，说明点在以中点为圆心的圆上，延长交延长线于，设，推导，进而得，从而．要使最小（即最小），需最大，此时与圆相切（即），设，利用建立方程，解得（舍负值），代入得，最终可求． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ； （2）如图，作于点H， ， ， ， ， 当为等腰三角形时，只有以下两种可能： ①当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， ， ， ， ，即， 解得，， ，为等腰直角三角形， ， ∴此时点A、F、C三点共线， ； ②当时，作于点H，如图所示， 设， ， ， ， ， ， 在中，， ， 解得， ， ， ， ， 即， 解得， ； 综上所述，或2，的面积为或； 【点睛】本题主要考查正方形的性质（如直角、边相等）、三角形相似（AA判定）与全等（AAS）、等腰三角形的分类讨论、勾股定理、圆的性质（点轨迹、切线）及最值问题（通过相似比例和方程求极值）。解决问题的关键在于巧妙构造辅助线（如垂线、延长线）建立几何关系，将动态问题转化为静态模型，利用相似和全等传递边角关系，并通过方程思想求解未知量，同时注意分类讨论避免遗漏（如小问2的等腰三角形情形），最终综合几何变换（折叠）和圆的性质实现最值优化。 题型十二 k字型相似 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 45、【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 【答案】【探究】3；【拓展】4或． 【分析】探究：根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可； 拓展：证明△ACP∽△BPE，分CP=CE、PC=PE、EC=EP三种情况，根据相似三角形的性质计算即可． 【详解】探究：证明：∵是的外角， ∴， 即， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：； 拓展：∵AC=BC， ∴∠A=∠B， ∵∠CPB是△APC的外角， ∴∠CPB=∠A+∠PCA，即∠CPE+∠EPB=∠A+∠PCA， ∵∠A=∠CPE， ∴∠ACP=∠BPE， ∵∠A=∠B， ∴△ACP∽△BPE， 当CP=CE时，∠CPE=∠CEP， ∵∠CEP＞∠B，∠CPE=∠A=∠B， ∴CP=CE不成立； 当PC=PE时，△ACP≌△BPE， 则PB=AC=8， ∴AP=AB-PB=128=4； 当EC=EP时，∠CPE=∠ECP， ∵∠B=∠CPE， ∴∠ECP=∠B， ∴PC=PB， ∵△ACP∽△BPE， ∴， 即， 解得：， ∴AP=ABPB=， 综上所述：△CPE是等腰三角形时，AP的长为4或． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的外角性质，灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 46．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由是等边三角形，＝＝＝60°， 由沿DE折叠C落在AB边上的点F上，，＝＝60°，CD=DF，CE＝EF，由AF：BF=1:2，设AF=m，BF=2m，AB=3m，设AD＝x，CD=DF＝， 由BE=2，BC＝，可得CE＝，可证 ，利用性质 ，即，解方程即可 【详解】解：∵是等边三角形， ∴ ＝＝＝60°， ∵ 沿DE折叠C落在AB边上的点F上， ∴ ， ∴ ＝＝60°，CD=DF，CE＝EF， ∵AF：BF=1:2， 设AF=m，BF=2m，AB=3m， 设＝x，＝DF＝， ∵BE=2，BC＝， ∴ CE＝， ∵ ＝，＝60°， ∴ ＝120°，＝120°， ∴ ＝， ∵ ＝， ∴ ， ∴ ， 即， 解得：，使等式有意义， ∴ ＝， 故选择：A． 【点睛】本题考查等边三角形性质和折叠性质以及相似三角形的性质和判定，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力，题目综合性比较强，有一定的难度． 47．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 【答案】2.4 【分析】根据折叠的性质可得∠EDF=∠A，DF=AF，再由等边三角形的性质可得∠EDF=60°，∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED=120°，从而得到∠CDF=∠BED，进而得到△BDE∽△CFD，再由BD : DE=2 : 3，可得到，即，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠EDF=∠A，DF=AF， ∵△ABC是等边三角形， ∴∠A=∠B=∠C=60°， ∴∠EDF=60°， ∴∠BDE+∠CDF=180°-∠EDF=120°， ∵∠B=60°， ∴∠BDE+∠BED=180°-∠B=120°， ∴∠BDE+∠CDF=∠BDE+∠BED， ∴∠CDF=∠BED， ∴△BDE∽△CFD， ∴ ，即， ∵等边△ABC的边长为6 ， ∴ ，解得： ． 故答案为：2.4 【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质，图形的折叠，相似三角形的判定和性质，熟练掌握等边三角形的性质，图形的折叠的性质，相似三角形的判定和性质是解题的关键． 48．如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)不存在，理由见解析 【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可得，从而可证，可得，即可求解； （2）根据平行线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而证明，可得，即可求解； （3）由（2）可得，，即，当时，设，则，可得，再由，即可得出结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，经检验符合题意， ∴的长为； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：不存在，理由如下： 由（1）可得，， ∴， 当时，设， 则， ∴， 整理得，, ∵， ∴方程无解， 即不存在某一时刻，使得． 【点睛】本题考查平行线的性质、三角形外角的性质、相似三角形的判定与性质、一元二次方程的根与判别式的关系，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 49．【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）过点F作交延长线于点，则，证明，则，故，则，在中，由勾股定理得，继而； （2）在上取点，使得，连接，同上可知，则可证明，则，设，则，设，故，在中，由勾股定理得，解得，那么，故； （3）在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则，可证明，则，，设菱形的边长为，则，在中，，则，，可求出，由，得到，求出，，在中，设，则，，那么，则，故，则． 【详解】解：过点F作交延长线于点，则， 当时，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴在中，由勾股定理得， ∴， 故答案为：； （2）解：在上取点，使得，连接， 同上可知， ∴ ∴， ∴设， 则， ∵， 设， ∴， ∴在中，由勾股定理得， 化简得：， ∴ ∴； （3）解：在上取点，使得，连接，过点作于点，则，过点作的垂线交延长线于点，则 ∵四边形是菱形，， ∴， ∴， 同上可得：， ∵， ∴， ∴， 设菱形的边长为， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得 ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，设 ∵，则， 同上可得， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形和菱形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理解三角形等知识点，难度较大，解题的关键是在于构造全等三角形和相似三角形． 50．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 【答案】(1)点的坐标为，点的坐标为，“度比坐标”为 (2) (3)或 【分析】（1）先求出点的坐标为，点的坐标为，得到，再由，，即可得到答案； （2）如图所示，过点作轴于，连接，根据点到关于点的“度比坐标”为，求出点的坐标为；再由若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同，推出，即可推出，证明，求出，得到点的坐标为，由此求解即可； （3）分两种情况，①如图所示，过点作轴于，过点作轴于，根据点到关于点的“度比坐标”为，得到，；证明，得到，设点的坐标为则，，求出点的坐标为，则，②当在第三象限，在第四象限时，如图过点作轴于点，过作轴于点，同第一种情况，设点的坐标为，则，，同理算出点的坐标为，再代入直线的解析式，得到的值，进而得到点坐标，由此即可得到答案． 【详解】（1）解：∵直线：分别与轴，轴相交于，两点， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∵，， ∴点到关于点的“度比坐标”为； （2）如图所示，过点作轴于，连接， ∵点到关于点的“度比坐标”为． ∴， ∴， ∴点的坐标为； ∵若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同． ∴，且， ∴， ∴， ∵，，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，令，解得， ∴点的坐标为， 设直线的函数表达式为， ∴， ∴， ∴直线的函数表达式为； （3）有两种情况， ①当在第二象限，在第一象限时，如图所示，过点作轴于，过点作轴于， ∴， ∵点到关于点的“度比坐标”为， ∴，； ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设点的坐标为则，， ∴， ∴，， ∴点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ②当在第三象限，在第四象限时，如图，过点作轴于点，过作轴于点， 同第一种情况，可设点的坐标为，则，， 同理可得到点的坐标为， 又∵点在直线上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． ∴综上点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了一次函数与几何综合，相似三角形的性质与判定，勾股定理，坐标与图形等等，解题的关键在于能够准确理解题意并分类讨论求解． 51．如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析． 【分析】（）根据相似三角形的判定与性质即可求解； （）根据相似三角形的判定与性质即可求解； 本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴，，， ∴，，，，，，，， ∴，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，即， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：同理可证：，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ∴． 52．如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 【答案】证明： 分别过点C、E、F作直线AB的垂线，垂足分别是K、H、G 则（模型结论）． 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，以正方形的边为底边作，、分别与交于点、，已知，，若为中点，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 【答案】D 【分析】本题考查勾股定理，相似三角形性质及判定，正方形性质．根据题意可得，继而得到，再得，再利用勾股定理可得，后利用相似性质可得本题答案． 【详解】解：∵正方形， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，垂足为点H，分别交、及的延长线于点E、M、F，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，先证明，得到，再证明，平行线分线段成比例求出，进而求出的值即可． 【详解】解：∵菱形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选C． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（    ） A．2或3 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定、平行线的判定、含30度角的直角三角形的性质等知识；熟记相似三角形的判定方法是解决问题的关键，注意分类讨论． 求出，分两种情况：①当时，，，得出，即可得出；②当时，证出，得出，因此，得出，；即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 分两种情况： ①当时， 则，， ∵D为的中点， ∴，E为的中点，， ∴； ②当时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当以B、D、E为顶点的三角形与相似时，t的值为2或3.5； 故选：C． 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为边上的一点，，，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】该题主要考查了正方形的性质，相似三角形的性质和判定，等腰三角形的判定等知识点，解题的关键是证明三角形相似． 根据四边形是正方形，得出，从而得出，证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得：， 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，点为垂足， ． 【答案】4 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明即求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 6．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形中，对角线交于点，点、分别在、上，连接．若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形判定与性质，根据正方形的性质证明，利用相似三角形的性质即可解答． 【详解】解：∵在正方形中，对角线交于点，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 7．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 【答案】 【分析】此题考查的是正方形的性质、相似三角形的判定与性质等，熟练掌握相关知识是解决问题的关键．易知，的长等于正方形的边长，正方形的边长即的长，已知和的长，可用表示出来，利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】解：设正方形的边长为，则，． 四边形是正方形， ． ． 又， ∴， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ，，，， ， 解得． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为6，连接两点分别在的延长线上，且满足． （1）当平分时，的数量关系为 ． （2）当不平分时， ． 【答案】 72 【分析】（1）证明，利用全等三角形的对应边相等可得结论； （2）证明，利用相似三角形的对应边成比例可得结论． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，又， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵，， ∴，又， ∴， ∴， ∴， 又正方形的边长为6， ∴， ∴， 故答案为：72． 【点睛】本题考查正方形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理、角平分线的定义等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解答的关键． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 【答案】(1)，； (2)； (3)或． 【分析】（1）根据P、Q两点的运动速度可得、的长度； （2）根据勾股定理可得，代入相应数据解方程即可得出的值； （3）分两种情况考虑，根据三角形相似可得对应边成比例，列出方程求解即可． 【详解】（1）解：点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动， ， ， ， 点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动， ； 故答案为：；； （2）由题意得：， 解得： (不合题意舍去)，， 当秒时，的长度等于； （3）在中，，， 又与以B、P、Q为顶点的三角形相似， 或， 即或， 解得：或， 故的值为：或． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质、列代数式、勾股定理、解一元二次方程，解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【分析】（1）利用矩形的性质和三角和定理，求出，通过等量代换即可求出的度数，从而证明. （2）根据矩形的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，求出长度，再证明，即可求出的长. （3）根据正方的性质和平行线的性质定理，利用两个角相等，两个三角形相似证明，得到，设正方形边长为参数，用表示长度，再根据勾股定理求出长度，即可求出的长，从而求出的值. 【详解】（1）证明：矩形， ， ， ， ， ， . （2）解：矩形， ， ，， ， . ， . 矩形， ， ， ， . ，，， ， . 故答案为：. （3）解：正方形， ，， ， . ， . 设正方形的边长为，则， ，， ， ， ，    故答案为：. 【点睛】本题考查了矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，三角形相似的性质，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理和找准相似三角形. 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 相似三角形的经典模型（13大题型） 目录 A题型建模・专项突破 题型一、A字型相似 1 题型二、8字型相似 2 题型三、AX字型相似 3 题型四、母子型相似 5 题型五、三角形内接矩形相似 6 题型六、射影定理相似 8 题型七、旋转相似 8 题型八、折叠相似 8 题型九、一线三等角型相似 8 题型十、手拉手型相似 8 题型十一、动态相似 9 题型十二、k字型相似 8 题型十三、关系型相似（如倒数型、系数型） 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一 A字型相似 1．如图，在中，，，，则（   ） A．15 B．20 C．25 D．45 2．如图，在中，，分别是边，上的点，，且相似比为，则（    ） A． B． C． D． 3．如图，在中，点D、E分别在边上，，若，则 4．如图，已知D，E分别为， 上的两点，且，，，，求的长． 题型二 8字型相似 5．如图，在▱中，点E在上，，与相交于点F，则的值是（　　） A．1 B． C． D． 6．如图，在中，是的中点，交线段、于、两点，若，则的值是（　　） A． B．2 C． D． 7．如图，已知在平行四边形中，为的中点，，分别交于点，，则 ． 8．如图，已知，． (1)求的度数； (2)求的长． 题型三 AX型相似 9．如图：在平行四边形中，E是边上一点，与相交于点O，与的延长线相交于点G，已知，．求的长． 10．如图，在正方形中，点G是对角线上一点，的延长线交于点E，交的延长线于点F，连接．    (1)求证：； (2)若，，求的长． 11．如图，平行四边形中，E是的延长线上一点，与交于点F，． (1)求证： (2)若的面积为2，求平行四边形的面积． 12．如图，在中，G 是 的延长线上一点，连接，分别交和于点 E、F． (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型四 母子型相似 13．如图，在中，，，，是的中点，点在上，分别连接、交于点．若，则 ． 14．如图，在中，，，是边上的高且为2， (1)求证：； (2)求的长． 15．如图，在四边形中，，点在边上，且，点在边上，且，连接，交于点． (1)求证：； (2)如图，若，求证：； (3)如图，若延长恰好经过点，求的值． 16．定义：如图，若点P在三角形的一条边上，且满足，则称点P为这个三角形的“理想点”． (1)如图①，若点D是的边AB的中点，，，试判断点D是不是的“理想点”，并说明理由； (2)如图②，在中，，，，若点D是的“理想点”，求CD的长． 题型五 三角形内接矩形相似 17．如图，四边形是的内接矩形，是的高，，，求矩形的周长． 18．小明利用三角形截取正方形进行了以下操作，其中中，，下面帮小明进行计算：    (1)如图1，四边形为的内接正方形，求正方形的边长； (2)如图2，三角形内有并排的n个相同的正方形，它们组成的矩形内接于，求正方形的边长（用含n的代数式表示）． 19．阅读理解：如图1，在△ABC中，当DE∥BC时可以得到三组成比例线段：① ；② ；③ ．反之，当对应线段成比例时也可以推出DE∥BC． 理解运用：三角形的内接四边形是指顶点在三角形各边上的四边形． （1）如图2，已知矩形DEFG是△ABC的一个内接矩形，将矩形DEFG沿CB方向向左平移得矩形PBQH，其中顶点D、E、F、G的对应点分别为P、B、Q、H，在图2中画出平移后的图形；     （2）在（1）所得的图形中，连接CH并延长交BP的延长线于点R，连接AR．求证：AR∥BC；   （3）如图3，某小区有一块三角形空地，已知△ABC空地的边AB＝400米，BC＝600米，∠ABC＝45°；准备在△ABC内建一个内接矩形广场DEFG（点E、F在边BC上，点D、G分别在边AB和AC上），三角形其余部分进行植被绿化，按要求欲使矩形DEFG的对角线EG最短，请在备用图中画出使对角线EG最短距离（不要求证明）． 20．阅读材料，解决问题：配方法是一种重要的数学方法，我们已经学习了用配方法解一元二次方程，并在此基础上得出了一元二次方程的求根公式．其实配方法还有很多重要的应用，例如我们可以用配方法求函数的最值以及取得最值的条件，见下面的例子： 例：求函数的最大值以及取得最大值的条件．解答过程如下： 解： ∵， ∴， ∴，即． ∴当，即时，有最大值，且最大值为． 仿照上面的方法，请你解决下面的问题： (1)已知函数，当________时，函数有最________值（填“大”或“小”），其最值为________． (2)如图，在中，，高，内接矩形的顶点、在上，、分别在、上，设，矩形的面积为，求： ①关于的函数关系式； ②矩形的面积的最大值． 题型六 射影定理相似 21．材料阅读：直角三角形射影定理又称“欧几里德定理”．定理的内容是：直角三角形中，斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项：每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项．这一定理可以描述如下： 如图，在中，满足条件：，是斜边上的高，则有如下结论成立：①    ②    ③    ④    (1)自主探究：请证明结论③ 已知：在中，是斜边上的高，求证： (2)直接运用：运用射影定理解决下面的问题： 如图，在中，，是斜边上的高，若，求的长． 22．阅读与思考 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理，定理内容为：在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 如图1，在中，，是斜边上的高，则有如下结论：①；②；③．   下面是该定理的证明过程（部分）： 是斜边上的高， ． ， ， （依据）， ， 即． 任务一： （1）材料中的依据是指__________________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明； 任务二：应用： （3）如图2，正方形中，点O是对角线的交点，点E在上，过点C作于点F，连接，证明：． 23．阅读与思考 阅读以下材料，并按要求完成相应任务： 射影定理，又称“欧几里得定理”，是数学图形计算的重要定理．在直角三角形中，斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项，每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项． 射影定理：如图1，在中，，是斜边上的高，财有如下结论：①；②；③． 下面是该定理的证明过程（部分）： ∵是斜边上的高， ∴． ∵，， ∴， ∴（依据）， ∴， 即．    任务一：（1）材料中的依据是指________； （2）选择②或③其中一个定理加以证明________； 任务二：应用： （1）如图2，正方形中，点是对角线、的交点，点在上，过点作于点，连接，证明：； （2）在图2中，若，的长为，则正方形的边长为________． 24．在中，，是斜边上的高． (1)证明：； (2)若，，求的长． 题型七 旋转相似 25．综合与实践-问题情境： 如图1，已知在中，分别是上的点，且． (1)操作发现：求证：． (2)深入探究：在图1的基础上，将绕着点逆时针旋转一个角度得到图2，连接，那么（1）中的结论是否仍然成立？请判断并说明理由． 拓展探究： (3)如图3，当旋转到点在一条直线上时，与交于点，若，，求的值． 26．如图，在等腰中，，．将以C为中心顺时针方向旋转，使得点B的对应点E恰好落在边上，点A的对应点为D，与相交于点F． (1)求证：． (2)求出线段的长度． 27．综合与探究：如图，在中，，，． (1)问题发现：如图，将绕点按顺时针方向旋转得到，连接，，线段与的位置关系是______，与的数量关系是______； (2)类比探究：将绕点按顺时针方向旋转任意角度得到，连接，，线段与的位置关系、数量关系与（1）中结论是否一致？若与交于点，与交于点，请结合图说明理由； (3)拓展延伸：如图，将绕点旋转一定角度得到，当点 落到边上时，连接，求线段的长． 28．如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 题型八 折叠相似 29．如图，四边形是矩形，E为边上一点，将矩形沿向上折叠，使点B落在边的点F处．若的周长为18，，则矩形的周长为（   ） A．20 B．24 C．32 D．48 30．如图，D是等边边上的一点，且，现将折叠，使点C与D重合，折痕为，点E、F分别在和上，则 ． 31．如图，正方形纸片的边长为4，E是边的中点，连接，折叠该纸片，点A落在处，连接，则的长为 ． 32．如图，在正方形中，P，Q分别是上的一点，将正方形沿折叠，点C恰好落在边上的点E处，点D落在点F的位置，交于点G． (1)求证：； (2)点H在上，，求证：； (3)若正方形的边长为9，，求的长． 题型九 一线三等角型相似 33．九年级2201班数学创新小组对三角形中的三等角问题进行深入研究： 已知：等腰中，，的顶点在三边上的不同位置都满足． 【一线模型】如图1：当的顶点在底边上，与两腰，分别交于点，，求证：； 【变化模型】如图2：当的顶点与点重合，与底边及其延长线分别交于点，，求的值； 【拓展延伸】如图3：当的顶点在边上，与底边分别交于点，，且，求的值．（用的代数式表示） 34．阅读材料：几何图形中有很多有趣的模型，“一线三等角”是其中体现几何逻辑推理的典例，已知三点共线，且的情况就称之为“一线三等角”；让我们一起来探究它具有哪些几何图形的性质呢？ (1)【特例探究】如图，已知三点在同一条直线上，，求证： (2)【规律总结】如果，你还能证明这两个三角形相似吗？求证： (3)【实例应用】如果，若点E是的中点，求证： 35．三个等角的顶点在同一条直线上，称一线三等角模型（角度有锐角、直角、钝角，若为直角，则又称一线三垂直模型）．解决此模型问题的一般方法是利用三等角关系找全等或相似三角形所需角的相等条件，利用全等或相似三角形解决问题． 【证明体验】 如图1，在四边形中，点为上一点，，求证：． 【思考探究】 （2）如图2，在四边形中，点为上一点，当时，上述结论是否依然成立？说明理由． 【拓展延伸】 （3）请利用（1）（2）获得的经验解决问题： 如图3，在中，，，以点为直角顶点作等腰，点在上，点在上，点在上，且，若，求的长． 36．感知：数学课上，老师给出了一个模型：如图1，点A在直线上，且，像这种一条直线上的三个顶点含有三个相等的角的模型我们把它称为“一线三等角“模型． 应用： (1)如图2，中，，直线经过点C，过A作于点D，过B作于点E．求证：． (2)如图3，在中，D是上一点， ，求点C到边的距离． (3)如图4，在中，E为边上的一点，F为边上的一点．若 ，求 的值． 题型十 手拉手型相似 37．某数学兴趣小组在探究“手拉手”模型时，等边三角形和按如图1摆放，连接延长交于点F，连接，保持不动，将绕点A旋转．    【初步探究】（1）如图2，当点，重合时，请直接写出之间的数量关系：______； 【深入探究】（2）如图1，当点E，F不重合时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出推理过程；若不成立，请说明理由． 【拓展延伸】（3）如图3，当和都是等腰直角三角形，．连接延长交于点F，连接，试探究之间的数量关系，并说明理由． 【推广应用】（4）如图4，在中，若．连接延长交于点F，连接，请直接写出之间的数量关系：______； 38．综合与实践 在综合实践课上，刘老师组织同学们以“三角形中手拉手模型”为主题开展数学活动． (1)提出问题：若和都是等边三角形，连接和交于点，如图1所示，线段与线段的数量关系是_______，_______； (2)探究证明：若和都是直角三角形，，连接和交于点，如图2所示，试猜想与的关系，并说明理由； (3)拓展延伸： “智慧小组”发现在（2）的条件下，若，使图2中固定不动，将绕顶点旋转，当点在同一条直线上时，则_______； 39．综合与探究 问题情境 小丽在学习全等三角形的知识时，发现这样一个模型：它是由两个共顶点且顶角相等的等腰三角形构成．在相对位置变化时，始终存在一对全等三角形．它们类似大手拉着小手，这种模型称为“手拉手模型”．小丽进行了如下操作： (1)问题发现 如图1，在和中，，，，连接，交于点M．小丽发现这就是手拉手模型，易证，进而可以得知： ①的值为______； ②的度数为______． (2)类比探究 如图2，在和中，若，，连接交的延长线于点M，与交于点P．小丽发现不等腰的三角形也可得到手拉手模型．请你求出此时的值及的度数，并说明理由； (3)拓展延伸 在（2）的条件下，将绕点O在平面内任意旋转，，所在直线交于点M，若，，请直接写出当点C与点M重合时的长． 40．某班“手拉手”数学学习互助小组对矩形内两条互相垂直的线段与矩形两邻边的数量关系进行探究时，遇到以下问题，请你逐一加以解答： (1)如图1，正方形中，，分别交于点分别交于点则 ；（填“>”“=”或“<”） (2)如图2，矩形中，分别交于点分别交于点，求证：； (3)如图3，四边形中，，，，，点分别在边上，求的值． 题型十一 动态相似 41．如图，直线与轴交于点，与轴交于点B，点C在轴上点A的右边，，经过点C的直线与正比例函数的图象平行，直线与直线相交于点D，点P为直线上一动点． (1)求点D坐标； (2)若，请求出P点的坐标； (3)若在平面内存在一点Q，使得四点C、D、P、Q构成菱形，若存在，请直接写出点P横坐标的值，若不存在，请说明理由． 42．如图1，在矩形中，，．点P是上的一个动点（不与点B、C重合），连接，过点P作交于点E． (1)求证：； (2)若是面积为10的等腰直角三角形，求m的值； (3)当时， ①存在点P使得点E与点D重合，求出此时的长； ②如图2，连接，若，求的长． 43．如图，在中是上一动点（不与、重合），过构造矩形，使在上，在上． (1)求证：点在运动过程中，； (2)连结，当四边形是平行四边形时，求的长度； (3)当与的面积和为时，求的长度． 44．综合与探究 在正方形中，，点E是边上的动点，连接． (1)【探索发现】如图1，过点D作，求证：； (2)【类比探究】如图2，过点B作于点F，连接，当是等腰三角形时，求此时的长度与的面积； 题型十二 k字型相似 【模型解读】 (1)“三垂直”模型：如图1，∠B＝∠D＝∠ACE＝90°，则△ABC∽△CDE. (2)“一线三等角”模型：如图2，∠B＝∠ACE＝∠D，则△ABC∽△CDE. 特别地，连接AE，若C为BD的中点，则△ACE∽△ABC∽△CDE. 　　 补充：其他常见的一线三等角图形 45、【感知】如图①，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．易证．（不需要证明） 【探究】如图②，在四边形ABCD中，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），．若，，，求AP的长． 【拓展】如图③，在中，，，点P在边AB上（点P不与点A、B重合），连结CP，作，PE与边BC交于点E，当是等腰三角形时，直接写出AP的长． 46．如图，在等边三角形中，点，分别是边，上的点．将沿翻折，点正好落在线段上的点处，使得．若，则的长度为（    ） A． B． C． D． 47．如图，在边长为6的等边△ABC中，D是边BC上一点，将△ABC沿EF折叠使点A与点D重合，若BD : DE=2 : 3，则CF= ． 48．如图，在中，，，为边上的动点（点不与点，重合），以点为顶点作，射线交边于点． (1)当时，求的长． (2)当时，求的长． (3)点在边上运动的过程中是否存在某一时刻，使得？若存在，请求出此时的长度；若不存在，请说明理由． 题型十三 关系型相似（如倒数型、含系数型等） 49．【问题提出】 如图1，在矩形中，，是边上一动点，连接，过点作，且，求的值． 【问题探究】 （1）如图2，当时，则______； （2）如图1，当为任意数时，求的值． 【问题拓展】 如图3，在菱形中，是边上一点，连接，过点作，且，连接交于点，若，直接写出的值． 50．【阅读理解】 定义：在同一平面内，有不在同一条直线上的三点，，，连接，，设，，则我们把称为点到关于点的“度比坐标”，把称为点到关于点的“度比坐标” 【迁移运用】 如图，直线：分别与轴，轴相交于，两点，过点的直线与在第一象限内相交于点．根据定义，我们知道点到关于点的“度比坐标”为． (1)请分别直接写出，两点的坐标及点到关于点的“度比坐标”； (2)若点到关于点的“度比坐标”与点到关于点的“度比坐标”相同．求直线的函数表达式； (3)在（2）问的条件下，点，分别是直线，上的动点，连接，，若点到关于点的“度比坐标”为，求此时点的坐标． 51．如图，中，，于点，于点，于点． 求证： (1)； (2)． 52．如图，AF∥BC，AC、BF相交于E，过E作ED∥AF交AB于D．求证：． 1．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，以正方形的边为底边作，、分别与交于点、，已知，，若为中点，则的长为（    ） A．12 B．24 C．25 D．26 2．（24-25九年级下·河北衡水·阶段练习）如图，在菱形中，对角线、交于点O，，垂足为点H，分别交、及的延长线于点E、M、F，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北沧州·期中）如图，中，，，，为的中点，若动点以的速度从点出发，沿着的方向运动，设点的运动时间为秒（），连接，当以、、为顶点的三角形与相似时，的值为（    ） A．2或3 B．2.5或3.5 C．2或3.5 D．2或2.5 4．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，在正方形中，为边上的一点，，，过点作，交于点，连接并延长，交的延长线于点，则（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 5．（25-26九年级上·河北石家庄·开学考试）如图，在中，，点为垂足， ． 6．（24-25九年级上·河北承德·期末）如图，在正方形中，对角线交于点，点、分别在、上，连接．若，则 ． 7．如图，正方形内接于，点、在上，点、分别在和边上，且边上的高，，则正方形的边长为 ． 8．（24-25九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，正方形的边长为6，连接两点分别在的延长线上，且满足． （1）当平分时，的数量关系为 ． （2）当不平分时， ． 9．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，___________（用含的代数式表示）； (2)当为何值时，的长度等于？ (3)连接，若与以B、P、Q为顶点的三角形相似，请直接写出的值． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期末）如图1，在矩形中，点为边上不与端点重合的一动点，点是对角线上一点，连接交于点，且． 【模型建立】 （1）求证：； 【模型应用】 （2）若，求的长； 【模型迁移】 （3）如图2，若矩形是正方形，，直接写出的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $