专题01 相似三角形的判定与性质（10大题型）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题01 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定综合 1 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 2 题型三、利用相似三角形的性质求解 3 题型四、利用相似关系求坐标 5 题型五、相似三角形的动点问题 6 题型六、重心的有关性质 8 题型七、相似三角形与旋转问题 8 题型八、相似三角形与翻折问题 8 题型九、相似三角形与函数问题 9 题型十、相似三角形的综合问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定综合 1．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 2．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 3．如题图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且的周长为16，求的周长． 4．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 5．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 7．如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 8．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 9．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 10．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 12．已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 13．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 14．如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 15．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 题型四、利用相似关系求坐标 16．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 18．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 19．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 题型五、相似三角形的动点问题 21．已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)用含有的代数式表示________； (3)当面积是的面积的倍时，求出的值． 22．已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 23．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 24．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 25．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 题型六、重心的有关性质 26．综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 27．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    28．我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 29．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 30． 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 题型七、相似三角形与旋转问题 31．如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 32．如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 33．[问题发现] （1）如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ． [拓展研究] （2）在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明． [问题解决] （3）当，且（2）中的正方形绕点C逆时针旋转到三点共线时，求出线段的长． 34．问题情境：如图1，在四边形中，，，，对角线，过点C作，垂足为E，已知． （1）试判断线段与的数量关系，并证明． 操作探究：将沿直线向右平移，点A，C，D的对应点分别为点，，． （2）①如图2，当点与点E重合时，连接，试判断四边形的形状，说明理由；并求出此时平移的距离． ②当点恰好落在边上时，请在图1中画出平移后的，并求出此时平移的距离． 拓展创新： （3）如图3，在（2）①的条件下，将绕点E旋转，在旋转的过程中，记所在直线与边交于点M，与边交于点N，当时，请直接写出的长． 35．（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 题型八、相似三角形与翻折问题 36．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 37．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 38．综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（）， ． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 39．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 40．如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 题型九、相似三角形与函数问题 41．如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 42．已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 43．如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点E在延长线上，连接、，分别交线段、边、对角线于点F、G，H（点F不与点C、E重合）． (1)当点F是线段的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 44．如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 45．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的负半轴上，将正方形沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标． 题型十、相似三角形的综合问题 46．已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值． 47．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 48．如图2，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图2的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图3）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 49．如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 50．数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 1．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 2．如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是（   ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点A恰落在线段上的点H处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 5．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 6．（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于 ． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在矩形中，为的中点，为上的一点，，连接并延长交于点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若 ①求的值； ②若，直接写出___________． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相似三角形的判定与性质 目录 A题型建模・专项突破 题型一、相似三角形的判定综合 1 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 2 题型三、利用相似三角形的性质求解 3 题型四、利用相似关系求坐标 5 题型五、相似三角形的动点问题 6 题型六、重心的有关性质 8 题型七、相似三角形与旋转问题 8 题型八、相似三角形与翻折问题 8 题型九、相似三角形与函数问题 9 题型十、相似三角形的综合问题 11 B综合攻坚・能力跃升 题型一、相似三角形的判定综合 1．如图，已知等边，点D在的延长线上，，交的延长线于点E． (1)如图1，求证：； (2)如图2，延长交于点F，当时，写出图中所有与相似的三角形． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查等边三角形的性质，相似三角形的判定，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）根据等边三角形的性质，推出，角的和差关系，推出，即可得证； （2）根据相似三角形的判定方法证明，，进而推出，再证明，即可得出结果． 【详解】（1）证明：∵等边， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， 由（1）知：， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即：， 又∵， ∴， ∵， ∴； 综上：与相似的三角形有，，，． 2．如图，，，于点，于点． (1)求证：； (2)已知，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余． 根据直角三角形的两个锐角互余，可证，根据垂直定义可证，利用可证； 根据全等三角形的性质可得：，，利用对顶角相等可知，根据两个角对应相等的两个三角形相似，可证：，根据相似三角形的性质可得：，设，则，从而可得：，解方程求出的值，即为的长． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， 又，， ， 在和中，， ； （2）解：由可知， ， ， ， ，， ， ， 设，则， ， 解得：， ． 3．如题图，已知在中． (1)实践与操作：用尺规作图法在边上找一点，连接，使得；（保留作图痕迹，不写作法，不用证明） (2)应用与求解：若为边上的中线，且的周长为16，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查相似三角形的判定、尺规作图、三角形中线的定义，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据相似三角形的判定定理，两角分别相等的两个三角形相似．在中，已有是和的公共角，所以只需作出 ，就能使△APC∽△BAC成立； （2）根据三角形中线的定义，可得．已知的周长为，，可先求出的值，再利用，可得的值，最后加上的长度，就能得出的周长． 【详解】（1）解：如图，作，则点即为所求．（作法不唯一） （2）解：如图， 为边上的中线， ， 的周长为16，， ， ∴， ， ，即的周长为． 4．如图所示，在矩形中，E是上的一点，过点E作交于点F，交的延长线于点G，且． (1)求证：； (2)若，矩形的周长为48，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)19.5 【分析】本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质，掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键； （1）由矩形的性质得出，再根据角的互余关系证出，根据证明，得出对应边相等即可； （2）设，则，根据矩形的周长列出方程，解方程求出、，得出、，再证明，得出比例式求出，即可得出． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， （2）解：设，则， 矩形的周长为48， ， 解得：， ，，， ， 四边形是矩形， ， ， ， 即， ， ． 5．如图，将矩形纸片沿着过点D的直线折叠，使点A落在边上，落点为F，折痕交边于点E， (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)详见解析 (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理，折叠的性质，熟练掌握相似三角形的判定，矩形的性质，勾股定理是解题的关键． （1）根据矩形的性质可得，从而得到，再根据折叠的性质可得，从而得到，即可求证； （2）根据折叠的性质可得，再由勾股定理可得，在中，利用勾股定理列式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， 根据折叠性质知，， ∴， ∴， ∴； （2）解：由折叠性质知，， ∵， ∴， ∴． 在中，，即， 解得：． 题型二、选择或补充条件使两个三角形相似 6．如图在四边形中，，点，分别在线段上，上，且． (1)求证： (2)请增加一个条件，使．则此条件可以是___________． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的性质可得，再根据三角形的全等的判定可得，然后根据全等三角形的性质即可得证； （2）先根据全等三角形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定添加条件证明即可． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：， ， ，即， 当时， ； 或当时， ； 或当时， ∴， 故答案为：或或 7．如图，与有公共顶点A，．请添加一个条件：______，使得，然后再加以证明． 【答案】或（答案不唯一），证明见详解 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，熟练应用相似三角形的性质是解题关键． 利用两角对应相等的三角形相似进而得出即可； 【详解】解：使，则需添加的条件可以是：或， 理由：①添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； ②添加的条件可以是：时， ∵， ， 即， 又∵， ； 故答案为：或（答案不唯一）． 8．如图，中，点D是边上一点，，连接．从下列条件中，选择一个作为附加条件①；②；③，求证：． 【答案】②，见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 9．在①，②，③这三个条件中选择其中一个，补充在下面的问题中，使命题正确，并证明． 问题：如图，四边形的两条对角线交于点，若 （填序号） 求证：． 【答案】①，证明见解析或②，证明见解析． 【分析】若选择条件①，可利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； 若选择条件②，可利用两角相等的两个三角形相似． 【详解】解：选择条件①的证明为： ∵， ∴， 又∵， ∴； 选择条件②的证明为： ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的判定定理，能熟记相似三角形的判定定理，并正确识图是解题关键． 10．如图，中，点D是边AB上一点，点E为外一点，，连接BE．从下列条件中：①；②．选择一个作为添加的条件，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定是解题的关键．可添加根据有两组角对应相等的两个三角形相似来判定；或添加利用两组对应边的比相等且相应的夹角相等的两个三角形相似来判定其相似． 【详解】证明：选择① ∵， ∴， ∵， ∴． 或选择② ∵， ∴， ∵， ∴． 题型三、利用相似三角形的性质求解 11．如图，． (1)求证：； (2)若，，，求的长度． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质． （1）直接根据，证明即可； （2）根据相似三角形的性质得到，进而根据，，计算即可． 【详解】（1）证明：在和中， ∵，， ∴； （2）∵， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 12．已知如图，平行四边形中，． (1)与相似吗？若相似，请说明理由，并求出相似比． (2)如果的面积等于，求的面积． 【答案】(1)，相似比为，理由见解析 (2)的面积是 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质，解答的关键是熟记相似三角形的性质：相似三角形的周长之比等于相似比，相似三角形的面积之比等于相似比的平方． （1）由平行四边形的性质可得，从而有，则有即可求解； （2）利用相似三角形的面积之比等于相似比的平方即可求解． 【详解】（1）解：，相似比为，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴． ∴． ∴． ， ， ，即相似比为； （2）∵，， ∴． ∵， ∴． 13．如图，在中，点E在的延长线上，与交于点F． (1)求证：； (2)若的面积为4，，求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)25 【分析】本题考查平行四边形的性质与相似三角形的判定及性质．熟练掌握相似三角形的判定定理和性质是解题关键． （1）通过平行四边形对边平行、对角相等的性质，找到两组对应角相等，证明三角形相似； （2）利用平行关系确定相似三角形，结合相似三角形面积比与相似比的平方关系，逐步推导面积． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ； （2）解：∵四边形是平行四边形， ， ， ∵ ∴， ， ， ． 14．如图，，且，E是的中点，F是边上的动点，与相交于点M． (1)求证：； (2)若F是的中点，，求的长； 【答案】(1)证明见解析 (2)4 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定、相似三角形的性质、平行四边形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识是解题的关键． （1）先证明四边形为平行四边形可得，即，再结合即可证明结论； （2）由相似三角形的性质可得，再说明，然后代入计算即可． 【详解】（1）证明：∵，点E是的中点， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∴． ∴． 又∵， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵F是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 15．如图，在中，点D、E分别在边上，的延长线相交于点F，且 如 (1)求证： (2)当时，求的长 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质知识，解题的关键是灵活运用相似三角形的判定解答． （1）根据相似三角形的判定得出，得出，进而证明，再利用相似三角形的性质证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出有关图形之比，进而解答即可． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵ ∴， 即， ∴， ∴． 题型四、利用相似关系求坐标 16．如图，已知两点A（2，0）B（0，4），∠1=∠2，则点C的坐标为（    ） A．（0，1） B．（0，） C．（0，2） D．（0，3） 【答案】A 【分析】根据已知条件，易证△AOC∽△BOA．运用相似三角形的性质求OC即得解 【详解】解：∵∠1=∠2，∠BOA=∠AOC ∴△AOC∽△BOA 即 ∴OC=1 ∴点C的坐标是（0，1）． 故选A 【点睛】求点的坐标的问题可以转化为求线段的长度的问题，本题利用了三角形的相似的性质． 17．如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为、，连接．动点P从点A开始在折线段上以每秒2个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒3个单位长度的速度向点A移动．设点P、Q移动的时间为t秒，当与相似时，点P的坐标是 ． 【答案】或； 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键． 由题意易得，然后可分情况进行讨论：①当时，有；②当时，有；进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，B的坐标分别为、， ∴，， ∴ ，， ①当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； ②当时，有，如图所示： ∴，即， 解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述：当与相似时，或； 18．在方格纸中，每个小格的顶点称为格点，以格点连线为边的三角形叫格点三角形．在如图的方格中，作格点和相似（相似比不为1），则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】要求△ABC与△OAB相似，因为相似比不为1，由三边对应相等的两三角形全等，知△OAB的边AB不能与△ABC的边AB对应，则AB与AC对应或者AB与BC对应并且此时AC或者BC是斜边，分两种情况分析即可． 【详解】根据题意： OA=2，OB=1，AB=， △ABC和△OAB相似应分两种情况讨论， 当∠BAC=90°时，如图，△ABC即为所作 ∵△ABC∽△OBA， AB∶OB=BC∶BA，即：∶1=BC∶， 解得BC=5， ∴OC=4， ∴C点坐标为(4，0)， 当∠ABC=90°时，AB∶OB=∶BA， =，=5， 此时C点坐标为(3，2)， 综上所述，C点坐标为 (4，0)或(3，2)， 故答案为：（4，0）或（3，2）． 【点睛】本题考查了作图-相似变换：两个图形相似，其中一个图形可以看作由另一个图形放大或缩小得到；相似图形的作图在没有明确规定的情况下，我们可以利用相似的基本图形“A”型和“X”型进行简单的相似变换作图． 19．在平面直角坐标系中，点的坐标为，点的坐标为，点在轴上，时，点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】先通过条件证明，然后根据相似三角形对应边成比例即可求出CO，从而得到点C的坐标． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴, 由点的坐标为，点的坐标为，可知AO=4，BO=2， ∴，即CO=1， ∴点C的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，坐标系内点的坐标，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． 20．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，是轴上一点．    (1)在上求作点，使得∽要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹；在 (2)在（1）的条件下，，是的中线，过点的直线交于点，交轴于点，当时，求点的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）作于点即可； （2）求出直线，直线的解析式，构建方程组求解． 【详解】（1）如图，点即为所求；    （2）∽， ：：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ， 直线的解析式为， 由，解得， 【点睛】本题考查作图相似变换，一次函数的应用等知识，解题的关键是学会构建一次函数确定交点坐标． 题型五、相似三角形的动点问题 21．已知：如图，在中，，，．直线从点出发，以的速度向点方向运动，并始终与平行，与线段交于点．同时，点从点出发，以的速度沿向点运动，设运动时间为（）． (1)当为何值时，四边形是矩形？ (2)用含有的代数式表示________； (3)当面积是的面积的倍时，求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查矩形的判定和性质、一元二次方程的应用，相似三角形的性质与判定、三角形的面积、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会构建参数解决问题． （1）根据勾股定理可得的长，由，得出，进而可得可求的长，当时，四边形是矩形，列出方程即可解决问题； （2）根据（1）得出，则，即可表示出的长， （3）求出的面积，根据计算即可． 【详解】（1）解：在中，，，， ， ， ， ， ，， 当时，四边形是矩形， ， 解得：； （2）解：， ， 故答案为：． （3）解： ， ， 解得：． 22．已知如图，在矩形中，，点E从A点出发，以每秒的速度向D点前进，同时点F从D点以每秒的速度向C点前进，若移动的时间为t，且．则以点D、E、F为顶点的三角形能否与相似？若能，请求出所有可能的t的值；若不能，请说明理由． 【答案】能，或 【分析】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，分和，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：能， ∵矩形， ∴，， 由题意，得， ∴， 当时，， ∴，解得； 当时，， ∴，解得； 综上：当或时，点D、E、F为顶点的三角形能与相似． 23．如图，在平面直角坐标系内，已知点、点，动点P从点A开始在线段上以每秒1个单位长度的速度向点O移动，同时动点Q从点B开始在线段上以每秒2个单位长度的速度向点A移动，设点P、Q移动的时间为t秒． (1)当t为何值时，； (2)当t为何值时，与相似． 【答案】(1)当的值为时，； (2)当的值为或时，与相似． 【分析】本题考查了勾股定理，列代数式，相似三角形的性质，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）利用勾股定理求得的长度，，，再根据题意列出代数式求解即可； （2）利用相似三角形的性质，分和两种情况解答即可求解． 【详解】（1）解：∵点，点，， ∴，， ； 由题意，，则， 由题意则有：， 解得， 当时，； （2）解：∵是公共角， ∴①当时，， ∴， 即， 解得； ②当时，， ∴， 即， 解得； 综上，当的值为或时，与相似． 24．如图，已知在矩形中，，，点从点出发，沿线段以每秒的速度向点A方向移动，同时点从点出发，沿射线方向以每秒的速度移动，当、、三点共线时，两点同时停止运动．设点移动的时间为（秒， (1)求证：； (2)求的取值范围； (3)连接，当为何值时，？ 【答案】(1)见解析 (2) (3)秒 【分析】（1）根据矩形的性质和相似三角形的判定方法：两边及其夹角法：两组对应边的比相等且夹角对应相等的两个三角形相似，即可证明； （2）因为当、、三点共线时，两点同时停止运动，所以可用表示出此时的，，的长，利用相似三角形的性质即可求出的最大值，进而求出的取值范围； （3）因为利用相似的性质和矩形的性质可证明，利用勾股定理即可求出的长，进而求出的长，时间也可求出了． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ，， ， ，， ， ， ； （2）解：如图所示： 当、、三点共线时， ， ∴， ， ， ， ， ； （3）解：如图所示， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ， 秒． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，平行线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等内容，解题的关键是熟练掌握以上性质． 25．如图，在中，，，，点从点出发，沿向点以的速度移动，点从点出发，沿向点以的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止移动． (1)问点P、Q同时出发，几秒后可使的长为？ (2)问点P、Q同时出发，几秒后可使与相似？ 【答案】(1)2秒或秒后可使的长为 (2)t的值为秒或秒 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，勾股定理应用，依据题意列出方程求解是解题关键． （1）设秒后，可使的长为，由题意得，，，，根据勾股定理可得，易求出的值， （2）设秒后可使使与相似，他两种情况：当时，当时，依据相似三角形的对应边成比例列方程求解即可． 【详解】（1）解：设秒后，可使的长为，则，， ， ， 根据勾股定理得：， 解得：或， 秒或秒后可使的长为． （2）解：设秒后可使与相似，则，， 当时，，即， 解得：． 秒后可使． 当时，，即， 解得， 综上所述，满足条件的的值为秒或秒． 题型六、重心的有关性质 26．综合与实践 [探究课题]三角形重心性质的探究． [课本重现]三角形三条中线的交点叫作这个三角形的重心，如图1，取一块质地均匀的三角形纸板，如果用一根细线绳从重心O处将三角形提起来，那么纸板就会处于水平状态． [提出问题]探究图1中，的值是多少？ 吴老师为了让同学们更好地解决提出的问题，设置了以下2个任务，请同学们通过完成以下任务解决提出的问题．     [解决问题] （1）若的面积为m，求的面积； （2）在（1）的条件下，求的值； [拓展应用] （3）如图2，在中，点O是的重心．连接并延长，分别交于点 D，E．若，求四边形的面积． （4）已知的中线，中线，则面积的最大值为 ． 【答案】（1）m；（2）3；（3）12；（4）12 【分析】本题考查三角形中线的性质、重心及三角形面积的计算． （1）根据被中线分成的两个三角形“等底等高，面积相等”建立等式，再利用等式的基本性质即可得出； （2）由（1）得：，再由与同高，即可求解； （3）由（1）（2）得：，从而得到，再结合，可得，即可求解； （4）设交于点O，过点B作于点F，由（2）得：，，从而得到，，，进而得到最大时，最大，此时最大，当点O与点F重合时，最大，此时，即可求解． 【详解】解：（1）∵点O是的重心， ∴点D，E，F分别是的中点， ∴， ∴， ∴； （2）根据题意得：， ∴， ∴， ∵与同高， ∴； （3）由（1）（2）得：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （4）如图，设交于点O，过点B作于点F， 由（2）得：，， ∵中线，中线， ∴，，， ∴当最大时，最大， ∵， ∴最大时，最大，此时最大， 当点O与点F重合时，最大，此时， ∴的最大值为． 故答案为：12 27．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务 三角形的重心我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心 我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下：   如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接并延长至，使，交于点． 点是的中点，，  是的中位线． ．（依据1）  即． 同理，．  四边形是平行四边形． 和交于点，  （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： （1）填空：材料中的依据1是指：________________________________； 依据2是指：________________________________； （2）尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； （3）如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等．    【答案】（1）三角形中位线定理，平行四边形对角线互相平分；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了三角形中位线定理，平行四边形的判定与性质，三角形重心的性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质解答即可； （2）根据三角形重心的定义结合等边三角形的性质作图即可； （3）延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，根据三角形面积公式即可得出结论． 【详解】解：（1）依据1：三角形中位线定理， 依据2：平行四边形对角线互相平分， 故答案为：三角形中位线定理， 平行四边形对角线互相平分； （2）如图，点即为的重心．    （3）如图，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点，     ，，， ， ，，， ， ， 即． 28．我们给出如下定义：三角形三条中线的交点称为三角形的重心．一个三角形有且只有一个重心．可以证明三角形的重心与顶点的距离等于它与对边中点的距离的两倍． 可以根据上述三角形重心的定义及性质知识解答下列问题： 如图，的平分线与边上的中线互相垂直，并且． (1)猜想与的数量关系，并说明理由； (2)求的三边长． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，， 【分析】本题考查三角形全等的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心，勾股定理． （1）证明，即可得出结论； （2）延长到F，使，则是等腰三角形，延长交于H点，则垂直平分，易证E是的重心，求出，利用勾股定理即可求出，进而求出，在中，利用勾股定理求出，即可求出． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长到F，使，则是等腰三角形， ∵是的中线， ∴是的一条中位线， 延长交于H点，则垂直平分， ∴E是的重心， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∵在中，， ∴． 29．如图，是的一条中线，为的重心，，交，于点E，F，交于点P． (1)求与的比值． (2)若，求的长． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了三角形重心的性质、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键． （1）先根据三角形的重心可得，则可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得； （2）先求出，再根据三角形的重心可得，则可得，然后证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）解：∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即与的比值为． （2）解：∵是的一条中线，， ∴， ∵为的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 30． 三角形的重心 定义：三角形三条中线相交于一点，这个点称为三角形的重心． 三角形重心的一个重要性质：重心与一边中点的连线的长是对应中线长的． 下面是小亮证明此性质的过程： 已知：如图，在中，D，E分别是边的中点，相交于点． 求证：． 证明：连接． 分别是边、的中点， ， ， ， ． 性质应用： (1)如图①，在中，点是的重心，连接并延长交于点，若，则___________； (2)如图②，在中，中线相交于点，若的面积为96，则的面积为_________． (3)如图③，在中，若的面积为，则的面积为_________． 【答案】(1)9 (2)16 (3) 【分析】本题主要考查了三角形重心性质的应用、相似三角形的判定与性质、三角形中位线的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）根据重心与一边中点的连线的长是对应中线长的即可解答； （2）在中，点G是的重心，，然后求出的面积即可； （3）如图：连接，先证可得，可得可得，最后求出的面积即可． 【详解】（1）解：在中，点G是的重心， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：9． （2）解：∵在中，中线相交于点G， ∴G为的重心． ∴， ∴， ∴． 故答案为：16． （3）解：如图：连接． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 题型七、相似三角形与旋转问题 31．如图1，在正方形中，，在上取一点E，使得以为边作正方形，连接，． 问题发现： （1）的值是 ；直线，所夹锐角的度数是 ； 拓展探究： （2）如图2，正方形绕点A顺时针旋转时，上述结论是否成立？若成立，请结合图2证明；若不成立，请说明理由； 解决问题： （3）在旋转过程中，当点E到直线的距离为时，请直接写出的长． 【答案】（1） ，  （2）结论成立，理由见解析  （3）或 【分析】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，证明三角形相似是解题的关键． （1）通过证明可得 ，即可求解； （2）通过证明可得 ，即可求解； （3）分点在直线的左侧和点在直线的右侧两种情况，过点作于，由勾股定理可求的长，即可求解． 【详解】（1）如图①， 连接， 连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ， 故答案为： ，； （2）结论仍然成立，理由如下：如图②，连接，连接交于， 延长交于， ∵四边形和四边形是正方形， ， ， ， ， 又， ； （3）如图③，当点在直线的左侧时，过点作交的延长线于，则， ， ， ， ， ， ； 如图④，当点在直线的右侧时，过点作于， 则， ， ， ， ， ， ， 综上所述：或． 32．如图，，，，一个以点为顶点的角绕点旋转，角的两边与，分别交于点，，与，的延长线分别交于点，，连接． (1)在旋转的过程中，当时，如图1，求证：； (2)在旋转的过程中，当时，如图2，如果，，求的值，写出解答过程． 【答案】(1)见解析； (2)2，过程见解析． 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，关键在于能够找到相似三角形． （1）先证明，然后再证明即可得； （2）过点C作于点G，先求出的长，再证明，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）解：过点作于点， ，， ， ， ． ， ． 又， ． ． ，即． ． 33．[问题发现] （1）如图1，在中，，，点为的中点，以为一边作正方形，点恰好与点重合，则线段与的数量关系为 ． [拓展研究] （2）在（1）的条件下，如果正方形绕点C旋转，连接，线段与的数量关系有无变化？请仅就图2的情形给出证明． [问题解决] （3）当，且（2）中的正方形绕点C逆时针旋转到三点共线时，求出线段的长． 【答案】（1） （2）无变化，证明见解析 （3）或 【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得出，利用直角三角形斜边中线，得，再结合，即可得出答案； （2）利用两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得，得，从而得出答案； （3）分点落在上或点落在的延长线上两种情形，分别画出图形，利用勾股定理求出的长，进而得出答案． 【详解】解：（1），， ， 点为的中点，， ， ∴， ∴， 四边形是正方形， ， ， 故答案为：； （2）无变化，理由如下： ∵四边形是正方形， ∴，， 又∵，， ∴和是等腰直角三角形， ，， ， ， ， ， 线段和线段的数量关系无变化； （3）由（1）可知，，，， 当点落在上时，如图， 在中，， ， 由（2）知，， ； 当点在的延长线上时， ∴， 同理得， 由（2）知，， ， 综上：或． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了等腰直角三角形的性质，正方形的性质，旋转的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，二次根式等知识，利用（2）的结论是解决问题（3）的关键． 34．问题情境：如图1，在四边形中，，，，对角线，过点C作，垂足为E，已知． （1）试判断线段与的数量关系，并证明． 操作探究：将沿直线向右平移，点A，C，D的对应点分别为点，，． （2）①如图2，当点与点E重合时，连接，试判断四边形的形状，说明理由；并求出此时平移的距离． ②当点恰好落在边上时，请在图1中画出平移后的，并求出此时平移的距离． 拓展创新： （3）如图3，在（2）①的条件下，将绕点E旋转，在旋转的过程中，记所在直线与边交于点M，与边交于点N，当时，请直接写出的长． 【答案】（1），证明见解析；（2）①四边形是菱形，理由见详解；此时平移的距离是； ②图见详解，此时平移的距离是；（3） 【分析】（1）利用“”证明，即可得到结论； （2）①根据平移的性质和菱形的判定即可求解；先证明，由相似三角形的性质得到，再由勾股定理求出的长度，即可求解；②根据平移作图进行作图即可；由平移的性质证明，进行计算即可； （3）先证明，再通过三角形的面积求出的长，设，则，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）． 证明：，， ． 在与中，      ， ． （2）①四边形是菱形． 理由：由平移的性质可知，且， ∴四边形是平行四边形． 由（1）可知，， ∴四边形是菱形． 在中，，， ∴根据勾股定理，得． ，， ， ∴， ， 平移的距离为． ②如图，过点D作，交于点，过点作，交于点，过点作，过点作，交于点，则即所求． 由平移的性质可知，，，， ． ， ． 由（1）知， ， , ， ． 由①可知， ， ， ∴此时平移的距离为． （3）解：当时，． ，， ， ． 由题意可知， ，， ． 又， , ． 设，则， 在中，根据勾股定理，得， 解得， ． 【点睛】本题考查了平移的性质、旋转的性质、勾股定理，全等三角形的判定和性质、相似三角形、菱形的判定，熟练掌握知识点是解题的关键． 35．（1）【问题发现】如图①，正方形，将正方形绕点旋转，直线、交于点，请直接写出线段与之间的数量关系是___________，位置关系是___________． （2）【拓展探究】如图2，矩形，将矩形绕旋转；直线交于点，（1）中线段之间的关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段之间的关系； （3）【解决问题】若，矩形绕旋转过程中当点与点重合时，直接写出线段的长是___________． 【答案】（1），；（2）、的数量关系不成立，位置关系仍成立，、的数量关系为：，理由见解析；（3）或 【分析】本题综合考查了全等三角形及相似三角形的判定及性质，以及勾股定理的应用，根据题意画出符合题意的图形是解决本题的关键． （1）证明得到与的数量关系，通过角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （2）可通过已知对应角，和对应边的比例关系，证明，求得和的数量关系；然后利用角的等量代换，求得，得到和的位置关系； （3）分情况讨论，①当点和点在边上方重合时，②当点和点在边下方重合时，分别求解． 【详解】解：（1），； ∵四边形，都是正方形， ∴，，． ∴， ∴． ∴． ∴，， ∵， ∴． ∴； （2）（1）中数量关系不成立，位置关系成立． ，． 理由如下：由题意知在矩形、中， ， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴，． ∵， ∴． ∴． 综上所述：，； （3）∵ ∴ 如解图①， ； 如解图2，连接，设，则，     ，， 在中，， ， ∴（舍去）． 综上所述，当点与点重合时，线段的长为或． 故答案为：或． 题型八、相似三角形与翻折问题 36．如图，在矩形中，为边上的一点，把沿翻折，使点恰好落在边上的点处，且． (1)求证：． (2)若为的中点，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质、翻折变换的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由矩形的性质得，由翻折得，推导出，则； （2）由为的中点，，得，由，勾股定理求得，进而根据相似三角形的性质求得，在中，勾股定理，即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， 把沿翻折，点落在边上的点处， ， ，， ， ． （2）解：为的中点，， ， ， ， ， ， ， ， ∴在中，， 即 37．【教材呈现】如图是华师版九年级上册数学教材第页的部分内容． 如图（1），先把一张矩形纸片上下对折，设折痕为；如图（2），再把点叠在折痕线上，得到，过点向右折纸片，使、、三点仍保持在一条直线上，得折痕． （1）求证：∽． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【问题解决】 （1）对教材中的第一问写出证明过程． （2）你认为和相似吗？如果相似，给出证明；如果不相似，请说明理由． 【结论应用】 （3）在图的基础上，将纸片按图所示翻折，点恰好落在直线上，得到．若，则的长为______． 【答案】（1）见解析；（2）相似，证明见解析；（3） 【分析】由余角的性质可得，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 作的斜边上的中线，可证为等边三角形，可得，可求，由两组对角对应相等的两三角形相似可证∽； 由“”可证≌，可得，由折叠的性质和直角三角形的性质可得，即可求解． 【详解】证明：四边形为矩形， ． ． 点、、共线， ． ． ． ， ∽． ∽． 证明：作的斜边上的中线，如图所示，则． 由题意得， ． 为等边三角形， ， ， ， 由翻折可知．， ，， ， ， 又， ∽． 解：， ， 又，， ≌， ， ， 由折叠可得， ， ，， ， 故答案为：． 【点睛】本题是相似形综合题，考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，折叠的性质，直角三角形的性质等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 38．综合与实践： 【问题情境】龙实社团叠纸社为了研究折纸过程中蕴涵的数学知识，陈老师发给每位同学完全相同的纸片，纸片形状如图1，在四边形中（）， ． 【探究实践】 陈老师引导同学们在边上任取一点E，连接，将沿翻折，点C的对应点为H，然后将纸片展平，连接并延长，分别交于点M，G．陈老师让同学们探究：当点E在不同位置时，能有哪些发现？经过思考和讨论，小莹、小明向同学们分享了自己的发现． （1）如图2，小莹发现：“当折痕与夹角为时，则四边形是平行四边形”．请你判断小莹的结论是否正确，并说明理由． （2）如图3，小明发现：“当E是的中点时，延长交于点N，连接，则N是的中点”．请你判断小明的结论是否正确，并说明理由． 【拓展应用】 （3）如图4，小慧在小明发现的基础上，经过进一步思考发现：“延长交于点F．当给出和的长时，就可以求出的长”．老师肯定了小慧同学结论的正确性．若，请你帮小慧求出的长． 【答案】（1）正确，理由见解析（2）正确，理由见解析（3） 【分析】对于（1），根据翻折的性质得，进而得出，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形得出答案； 对于（2），连接，由折叠得：，，进而得出，再根据平行线的性质和对顶角相等得，即可得，然后根据中点的定义得，接下来根据等角的余角相等得，可得，则答案可得； 对于（3），由两角对应相等的两个三角形相似得，可得，再求出，然后根据勾股定理得，可求出答案． 【详解】解：（1）小莹的结论正确；理由如下： ∵将沿翻折，点C的对应点为H， ∴， ∴． ∵折痕与夹角为， ∴， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）小明的结论正确；理由如下： 如图3，连接， 由折叠得：，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴N是的中点； （3）解：∵， ∴． 由折叠得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点E是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴． 在中，， 即, 解得． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，平行线的性质，等腰三角形的性质和判定，折叠的性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理，准确作出辅助线是解题的关键． 39．【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，进而证明，可得； （2）设，则，，利用勾股定理解即可； （3）证明，根据对应边成比例求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，边长为， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：设，则， 由折叠得， ， 在中，， ， 解得， 的长度为； （3）解：由（2）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，是解题的关键． 40．如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 题型九、相似三角形与函数问题 41．如图1，中，，，动点P沿按每秒1个单位长度运动，动点Q以相同的速度沿运动，P，Q两点同时运动，当点P运动到点B时，停止运动，点Q也停止运动，在运动过程中，连接，记，运动时间为t秒 (1)直接写出与t的函数关系，并注明自变量t的取值范围； (2)如图2，在给定的平面直角坐标系中画出的函数图像，并写出该函数的一条性质； (3)结合函数图像，若函数与的图像有两个交点，直接写出k的取值范围． 【答案】(1) (2)见解析；当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一） (3) 【分析】（1）分2种情况讨论：①；②，利用相似三角形的性质与判定求出的长，即可解答； （2）描点连线作函数图像即可，再根据函数图像写出该函数的一条性质即可； （3）利用一次函数的性质得到函数经过定点，再求出函数分别经过点和时，对应的值，再结合图像即可确定k的取值范围． 【详解】（1）解：①当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即 ∴ ∴； ②当时，点P在上运动，点Q在上运动， ∴，， 同理可得， ∴，即， ∴， ∴； ∴综上所述，与t的函数关系为； （2）解：如图，的函数图像即为所求： 由图像可知，当时，随着的增大而减小，当时，随着的增大而增大（答案不唯一）； （3）解：当时，， ∴函数经过定点， 当函数经过点时，，解得； 当函数经过点时，，解得； ∵函数与的图像有两个交点， ∴k的取值范围为． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、相似三角形的性质与判定、画一次函数图像，熟练掌握相关知识点，运用数形结合的思想是解题的关键． 42．已知线段和矩形如图①所示（点与点重合），点在边上，，，．如图②，从图①的位置出发，沿方向运动，速度为；动点同时从点D出发，沿方向运动，速度为为的中点，连接与相交于点，设运动时间为．解答下列问题： (1)当时，求的值． (2)设四边形的面积为，求与的函数表达式，并说明是否存在某一时刻，使四边形的面积最大．若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当为何值时，点在的平分线上？ 【答案】(1)即的值为 (2)， (3)当为3时，点在的平分线上 【分析】本题考查矩形上的动点问题，涉及矩形的性质，相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，解一元二次方程； （1）通过等量代换得出，证明，利用相似三角形对应边成比例得，代入数值即可求解； （2），用含的代数式表示出相关线段的长度，进而根据一次函数的性质结合自变量的取值范围，即可求解； （3）连接，根据角平分线的定义可得，进而可得，建立方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解： ， ． ， ． 四边形是矩形， ． ， ， ， 依题意，，，， ， 即， 解得（舍去），， 即的值为． （2）依题意，，，， ． ， 当时，有最大值，此时． （3）如图，连接． 平分， ， ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴， ， ， ． 即当为3时，点在的平分线上． 43．如图，在矩形中，，，对角线交于点O．点E在延长线上，连接、，分别交线段、边、对角线于点F、G，H（点F不与点C、E重合）． (1)当点F是线段的中点时，求的长； (2)设，，求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质. （1）首先利用勾股定理得出的长，证得，得出，进一步得出，利用三角形相似的性质得出、的长，利用勾股定理求得而答案即可； （2）作，垂足分别为M、N，证明，建立、之间的联系，进一步整理得出y关于x的函数解析式，根据，得出x的定义域即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵点F是线段的中点， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）如图，作，垂足分别为M、N， ∵， ∴， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ， ∴， ∴，， 则． 44．如图，等边三角形的边长为3，点、分别是、上的动点（点、与三角形的顶点不重合），且，、相交于点． (1)设线段为，线段为，求关于的函数解析式，并写出定义域； (2)当的面积是的面积的2倍时，求的长； (3)点、分别在、上移动过程中，和能否互相垂直？如能，请指出点的位置；如不能，请说明理由． 【答案】(1)，； (2) (3)不可能互相垂直，见解析 【分析】（1）作，在直角中，利用勾股定理即可得到关于，的方程，即可写出函数关系式； （2）证，根据相似三角形的面积的比等于相似比的平方，即可求解； （3）由，易证得，即可得和不可能互相垂直． 【详解】（1）解：是等边三角形， ，， ∴， 作于 ，， ，，， ，； （2）， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， （舍，， 经检验，是分式方程的解且符合题意， 的长为； （3）， ， ， 是等边三角形， ， 和不可能互相垂直． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、解分式方程和一元二次方程等知识． 45．如图，在平面直角坐标系中，正方形的边在x轴的负半轴上，将正方形沿着x轴向右平移5个单位，得到正方形，且点与原点重合，直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式； (2)求点C的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了相似三角形的判定和性质、求一次函数解析式、平移的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是关键． （1）由平移可知，，利用待定系数法求出函数解析式即可； （2）证明，则，设正方形边长为,则，，代入求出的值即可得到答案． 【详解】（1）解：由平移可知，， 设直线的函数表达式为，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式为 （2）∵， ∴， ∴， 设正方形边长为,则，， ∴， 解得， ∴， ∴点C的坐标为． 题型十、相似三角形的综合问题 46．已知：在矩形中，E为的中点，作于点F． (1)如图（1），求证：； (2)如图（1），若，求的值； (3)如图（2），连结BD交CF于G，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，矩形的性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． （1）证明，即可； （2）根据相似三角形的对应边成比例，求解即可； （3）过点作于点，证明和，根据相似三角形对应边成比例求解即可． 【详解】（1）证明：在矩形中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）在矩形中，， ∵E为的中点， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． （3）过点作于点，如图所示， ∴， 又∵， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，，， ∴，即， ∴， ∴． 47．小刘在学习相似三角形的判定定理1“两角分别相等的两个三角形相似”时，发现当三角形为直角三角形时会产生丰富的比例关系．请你根据小刘的思路，完成下列问题． 【感知】如图①，在中，D、E分别是边、上的点，且，易证． 【探究】如图②，在中，点D与点B重合，且 （1）求证：； （2）如图③，当时，则图中共有_____组相似三角形，线段、、的数量关系为______． 【应用】（3）如图④，在中，作于点D，作于点E、作于点F．若，，则的值为______． 【答案】（1）见解析（2）图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为（3） 【分析】本题考查了相似三角形的性质和判定，熟练掌握并运用相似三角形的性质和判定是解题的关键． （1）根据两角分别相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据两角分别相等的两个三角形相似可依次证得，，，再根据相似三角形的性质可得，即可得解； （3）根据（2）中的结论可得，，即可得解． 【详解】解：（1）解：，， ． （2）解：， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， 图中共有3组相似三角形， 线段、、的数量关系为． （3）解：由（2）可知，，， ， ． 48．如图2，在中，，点在边的延长线上，且． (1)求的值； (2)在图2的基础上作的平分线，交线段于点，交线段于点（如图3）． ①求的度数； ②当时，求线段的长． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，角平分线的定义，勾股定理． （1）根据已知可证，进而得到，求出，即可求出的值； （2）①证明，推出，结合，得到，利用三角形内角和定理即可解答；②由①，推出，进而求出，，利用勾股定理求出，结合，即可解答． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：①由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②由①， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴点是的中点， ∴． 49．如图，在中，平分交于点，点在边上，满足．连接交于点，过点作交于点． (1)求证：； (2)求证：； (3)若，求的值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)． 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定与性质，平行线的性质，熟练掌握以上内容是解题的关键． （）平分，故，因为，则，由，可得，又，，故，可得； （）由平行线的性质可得，，又平分，则有，证明，，即可得结论； （）证明，即可得，又由可得，从而，由，可得． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∴， 又由（）可得， ∴， 由（）知， ∴． 50．数学兴趣小组的同学在学习了图形的相似后，对三角形的相似进行了深入研究．如图1，图2，在中，，，垂足为D． 【观察发现】（1）嘉嘉得出，理由如下： ∵，． ∵，∴，∴，∴ ① ． 又∵，∴ ② ． ② ③ ，∴． 请完成填空：①_________：②_________；③_________； 【探究应用】（2）如图2，F为线段上一点，连接并延长至点E，连接，且． ①若，，求的值； ②求证：． 【答案】（1），，（2）①   ②见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，熟记相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明可推出结论； （2）①证明，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方求解；②由①知，得出．再结合（1），即可推出结论． 【详解】【观察发现】（1）解：嘉嘉得出，理由如下： ， ． ， ， ， ． 又， ． ， ． 故答案为：，，； 【探究应用】（2）①解：，， ， ； ②证明：由①知， ， ． 由（1）得， ， ． 1．（2025·河北秦皇岛·一模）如图，在中，，点为线段上一动点（不与点，重合），连接，作，交线段于点． 下面是某学习小组根据题意得到的结论： 甲同学：； 乙同学：若，则； 丙同学：当时，为的中点． 则下列说法正确的是（   ） A．三个同学都正确 B．只有乙和丙同学正确 C．只有甲和丙同学正确 D．只有甲同学正确 【答案】A 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定，全等三角形的判定和性质，由等腰三角形的性质可得，利用三角形外角性质可得，即可，即可判断甲；证明即可判断乙；证明，由等腰三角形的性质即可判断丙；据此即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故甲同学说法正确； 若， ∵， ∴， ∴，故乙同学说法正确； 当时，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为的中点，故丙同学说法正确； 综上，三个同学说法都正确， 故选：． 2．如图，在中，点D、E分别在边、上，则在下列四个条件中：①；②；③；④，能满足的条件有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查的是相似三角形的判定．根据相似三角形的判定定理对各条件进行逐一判断即可． 【详解】解：①，，则可判断，故①符合题意； ②，则，故②不符合题意； ③，且夹角，能确定，故③符合题意； ④由可得，此时不确定，故不能确定，故④不符合题意． 综上所述，能满足的条件有①③，共2个． 故选：B． 3．如图，是的边上一点，下列结论正确的个数是（   ） ①若，则 ②若，则 ③若，则 ④若，则 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，理解并掌握相似三角形的判定定理是解题关键．两角分别对应相等的两个三角形相似；两边成比例且夹角相等的两个三角形相似．根据相似三角形的判定定理逐一分析判断即可． 【详解】解：∵，， ∴，故结论①正确； ∵， ∴结论②错误； ∵， ∴， ∵， ∴，故结论③正确； 若，仅结合， 无法证明，故结论④错误． 综上所述，结论正确的个数是2． 故选：B． 4．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）如图，在矩形纸片中，，点E在上，将沿折叠，点C恰落在边上的点F处；点G在上，将沿折叠，点A恰落在线段上的点H处．下列结论：①；②；③；④．正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】由矩形的性质得，由折叠得，，则，可判断①正确，证明，可判断②正确，利用勾股定理及折叠性质计算出相应边长度，再利用面积公式即可得到③正确，利用边长关系即可得到④正确． 【详解】解：∵四边形是矩形，， ∴， ∴由折叠得，， ∴，故①正确； ∵，点F在上，点H在上， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵根据折叠可知：，， ∴在中，， ∴，， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， 设， ∴，即，解得：， ∴， ∴， ∴，故③正确； ∵，， ∴，故④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了矩形的性质、轴对称的性质、勾股定理、相似三角形的判定、三角形的面积公式等知识，求得及是解题的关键． 5．（2024·河北·模拟预测）如图，在中，以点C为圆心，任意长为半径画弧，交，于E，F两点，分别以点E，F为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于内部的点P，作射线交于点M，交的延长线于点N．若，，，则的长为（    ） A．9 B．10 C．12 D．14 【答案】C 【分析】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的尺规作图、等腰三角形的判定、相似三角形的性质和判定等知识，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 由题意可得：是的平分线，然后可由角平分线的定义、平行四边形的性质以及等角对等边得出，再证明得成比例的线段即可得出答案． 【详解】解：在中， ， ， 由题意可得：是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ， ， ， ， ， ， ， ； 故选：C． 6．（24-25九年级下·河北衡水·期中）如图，在矩形中，点E在上，，与相交于点O，与相交于点F．    （1）若平分，则与是否垂直？ （填“是”或“否”）； （2）图中与相似的三角形有 （写出两个即可） 【答案】 是 ， 【分析】（1）根据矩形的性质和角平分线的定义即可得出结论； （2）根据判定两个三角形相似的判定定理，找到相应的角度相等即可得出． 【详解】（1）如图，    ∵矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：是； （2）∵， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， 又， ∴； 故答案为：，． 【点睛】本题考查矩形的性质，相似三角形的判定，等边对等角．熟练掌握矩形的性质，是解题的关键． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在平行四边形中，为边上的点，若，交于，若，则等于 ． 【答案】70 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．根据平行四边形的性质得，，则，再证明得到，所以，，再根据，得，，，从而得到的值． 【详解】解：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：70． 8．（24-25九年级上·河北唐山·阶段练习）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段是的“和谐分割线”，为等腰三角形，和相似，，则 ；的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查相似三角形的性质、等腰三角形的性质等知识，由是等腰三角形，，推出，即，分两种情形讨论①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵是等腰三角形，， ∴，即， ①当时，， ∴， ②当时，， ∴， 故答案为：；或． 9．（24-25九年级上·河北唐山·期中）在矩形中，为的中点，为上的一点，，连接并延长交于点，连接并延长交的延长线于点． (1)求证：； (2)若 ①求的值； ②若，直接写出___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质、矩形的性质、平行线分线段成比例等知识；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似及对应线段成比例是解决问题的关键． （1）根据相似三角形判定的方法，判断出即可得出成比例的线段． （2）①设，然后把相关线段用含k的式子表示，再利用平行线分线段成比例得出对应成比例的线段即可．②证出求出的长即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ． ； （2）①解：设，则， 为的中点， ， ，则， ， , ． ②． ∴, , ,即, , ． 10．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，已知的三边长cm，cm，cm，点D在边上，且cm，动点P从A点出发沿方向以的速度向B点匀速运动，设运动时间为t． (1)当点P在线段上时，_________（用含t的代数式表示），当点P在上时，________________；（用含t的代数式表示） (2)在点P运动的过程中，若直线截得的三角形与相似，求t的值． 【答案】(1)，； (2)或或3或 【分析】本题为图形上动点问题，考查了相似三角形判定等知识，注意分类讨论是解题关键﹒ （1）根据题意即可用含t的代数式表示出，； （2）分点在上时，和点在上时，，两种情况讨论，每种情况分别讨论相似，即可求出t的值﹒ 【详解】（1）解：当点P在线段上时，，（用含t的代数式表示），当点P在上时，； 故答案为：，； （2）解：当点在上时，， ①如图1， 当时， ∵， ∴， 此时， 解得：； ②如图2， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得：； 当点在上时，， ③如图3， 若时， ∵， ∴， 此时 解得：； ④如图4， 若时， ∵， ∴， 此时， 解得﹒ 综上可知：或或3或． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $