精品解析：2026届河北省沧州市南皮县第一中学高三一模数学试题

数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据集合交集的概念及运算法则计算即可. 【详解】由题意知. 又， 所以. 故选：B. 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 5 C. D. 45 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量平行的坐标运算得出，再根据向量线性运算的坐标表示以及求模公式计算. 【详解】由题意可得，，得，则， 所以，则. 故选：A. 3. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则，结合充分条件和必要条件的定义进行运算判断即可. 【详解】由题意知， 当时，，复数，是纯虚数，充分性成立； 当复数为纯虚数时，有，必要性成立. 则“”是“复数为纯虚数”的充要条件. 故选：C 4. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用得出，再利用偶函数的定义检验即可. 【详解】因为函数是偶函数，所以， 即，解得， 所以， 又， 且的定义域为关于原点对称， 所以是偶函数，满足题意，所以. 故选：A. 5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种 【答案】B 【解析】 【分析】根据组合的定义，结合分类计数原理进行求解即可. 【详解】由题意可知，使用了3种颜色则只有和颜色相同，或只有和颜色相同， 则涂色方法共有种. 故选：B 6. 记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ） A. 0 B. 40 C. 80 D. 120 【答案】B 【解析】 【分析】由条件，求得，进而得到数列为常数列，求得，得，根据分组求和求出答案. 【详解】当时，由，得， 两式相减得，即， 对取可得， 故数列为常数列，所以，则， 故，易知， 所以. 故选：B. 7. 已知，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据二倍角余弦公式结合和差角余弦公式化简，可得，结合条件求得，再利用和差角的正弦公式求得，进而求得答案. 【详解】因为 ， 所以，又，所以， 又， 解得，所以. 故选：D. 8. 已知为圆上的两点，点，且，则线段的长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用垂径定理和勾股定理，结合坐标运算，求出线段中点的轨迹方程，再结合圆内定点到圆上动点的距离问题转化为到圆心的距离与半径的关系，从而可得到线段的长的取值范围. 【详解】 设的中点为，所以， 又，所以， 化简得，即点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 由，则，且点在圆的内部， 所以圆上动点到定点的取值范围是， 即线段的长的取值范围是. 故选：C. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，则下列说法正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最小值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象有相同的对称中心 【答案】AB 【解析】 【分析】根据正余弦函数的周期，最值，对称轴，对称中心逐一分析即可. 【详解】的最小正周期为的最小正周期为，故A正确； 的最小值为的最小值为，故B正确； 令，解得，所以的图象的对称轴为直线，； 令，解得的图象的对称轴为直线，， 所以与一定不存在相同的对称轴，故C错误； 令，解得，，所以的图象的对称中心为. 令，解得，，所以的图象的对称中心为， 故与的图象一定不存在相同的对称中心，故D错误. 故选：AB. 10. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点，点为上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则周长的最小值为12 D. 当取最小值时， 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据点的坐标直接求判断A，设，由两点间距离公式及二次函数配方求最值可判断B，利用抛物线的定义及三点共线求线段和的最值判断C，由题意转化后，利用直线与抛物线相切求判断D. 【详解】如图， 由抛物线知，所以，故A正确； 设，所以，，当且仅当时等号成立，所以的最小值为，故B错误； 过点作准线的垂线，垂足为，因为， 所以的周长为，当且仅当三点共线时等号成立，所以周长的最小值为12，故C正确； 因为，所以当最小时，最大， 即直线与抛物线相切时，取最小值，此时直线的斜率不为0，设直线的方程为，由，得，则，解得，所以当直线为或时，取最小值，此时，故D正确. 故选：ACD. 11. 已知菱形的边长为2，，将沿着折起至，连接，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积的最大值为1 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若二面角的余弦值为，则三棱锥内切球的体积为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线面垂直的 判定定理及性质定理、三棱锥体积公式、二面角、外接球、内切球等求解方法，逐项计算验证即可. 【详解】选项A：设与交于，连接，则为中点. 因为，，所以，. 又，平面，，所以平面， 又平面，所以，故A正确； 选项B： 当平面时，三棱锥的高最大，三棱锥的体积最大， 此时，, 所以，故B正确； 选项C：若，则，所以，所以. 取的中点，连接，. 所以，即为三棱锥外接球的球心， 所以三棱锥外接球的表面积为，故C错误； 选项D：因为，，所以为二面角的平面角， 所以，所以， 点到平面的距离为， 设三棱锥内切球的半径为，所以 ，解得， 所以三棱锥内切球的体积为，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出等比数列的首项和公比，结合等比数列的求和公式计算. 【详解】设等比数列的公比为，又，所以（否则）， 所以， ，则，结合得到， 所以. 故答案为： 13. 在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为，点是上任意一点，且，则的渐近线方程为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，由点是上任意一点得到，从中解出，利用两点间距离公式得到，，求出，，将其代入计算得解. 【详解】设的焦距为， 点是上任意一点，，， ， ， ， ， ， ，， ，， ， ，， 将代入得到， ， 的渐近线方程为. 故答案为：. 14. 某校有个社团，每个社团均有人，第个社团中有个女生，余下的为男生.在这个社团中任选一个社团，再从该社团中依次选出3人，若第三次选出的人恰为男生的概率是，则__________. 【答案】7 【解析】 【分析】利用古典概型来计算概率，这里要认定为常数，为变量，然后再依次计算可能发生的概率，最后求和即可得方程来求解. 【详解】每个社团被选出的概率为，从第个社团中第三次选出的人为男生的概率与第一次选出的人为男生的概率是相同的， 则第个社团中第三次选出的人为男生的概率， 所以任选一个社团，其第三次选出的人恰为男生的概率 ， ， 解得. 故答案为： 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，，的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据面积公式，正切公式，以及两角和的余弦公式求，并求，即可求解； （2）根据正弦定理，以及（1）的结果，求得，再结合余弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由题意知：，所以， 因为，所以， 所以， 因为，所以， 因为，所以； 【小问2详解】 由正弦定理得：， 由（1）知：，所以， 由余弦定理得： 即，所以， 所以的周长为． 16. 会员足够多的某连锁超市，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取4人，记抽取的4人中对服务质量满意的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 【答案】（1） （2）的分布列为： 0 1 2 3 4 数学期望为 【解析】 【分析】（1）利用全概率公式即可求解； （2）利用二项分布求出对应的概率，进而得分布列，再由数学期望公式即可求解. 【小问1详解】 记事件为“会员为男会员”，为“会员为女会员”，为“对服务质量满意”， 则由题可知， 所以； 【小问2详解】 由题意知的所有可能取值为， 所以 ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 4 所以. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点. （1）若，求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段的长. 【答案】（1） 因为平面平面，所以， 又，所以， 所以，又平面， 所以平面，又平面，所以， 又，点是棱的中点，所以， 又平面， 所以平面， 又平面，所以， 又平面，所以平面， 又平面，所以. （2）或. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质和判定结合已知条件即可证明； （2）通过建立空间直角坐标系求出平面的一个法向量，再设，最后结合已知条件代入公式即可求出. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，垂直方向为轴， 建立如图所示的空间直角坐标系， 则由已知，， 则. 设平面的一个法向量为， 则 令，解得，所以平面的一个法向量为. 又， 设， 则， 设直线与平面所成的角为， 则 整理得，所以，解得或， 又， 当时，，当时.， 则线段的长为或. 18. 已知椭圆的右焦点为，且的离心率为，直线与有两个不同的交点. （1）求的方程； （2）若点在直线上，点是线段的中点，为坐标原点，若上存在点，使得，求直线的斜率； （3）若在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.试判断：直线是否过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由. 【答案】（1） （2）或. （3）直线过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意求出即可求解； （2）当直线的斜率存在或不存在讨论，当直线的斜率存在时，设直线的方程为，椭圆方程联立消元，由韦达定理得，利用中点坐标得点的坐标，又得，进而解出点的坐标代入椭圆方程求解即可； （3）设直线的方程为，设直线的方程为，与椭圆方程联立消元，由解出，进而得，得直线的方程为，同理得，解出的横坐标，又，解出即可求解. 【小问1详解】 由题意知解得 ， 所以的方程为； 【小问2详解】 当直线的斜率不存在时，直线的方程为，易得，此时，不符合题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为， 由得， 则， 所以，又， 所以，又点在上， 所以， 解得，即直线的斜率为或； 【小问3详解】 由题意可知直线的斜率不为0，设直线的方程为. 由题意知直线的斜率存在，设直线的方程为， 由,得， 所以，得， 所以， 所以. 所以直线的方程为，即， 同理可得直线的方程为. 由，解得，可得点的横坐标，即， 又，可得，所以，整理得，即，所以， 所以直线的方程为，即直线过定点. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 【答案】（1）极大值为，无极小值. （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）若，则，利用导数研究函数的单调性即可求解； （2）若对任意的恒成立，即,只需，利用导数研究函数的单调性，求出该函数的最大值，即可求解； （3）存在零点等价于与轴有交点，结合（2）知，当且仅当时等号成立，所以当时，，不符合题意；当时，利用零点存在定理即可判断. 【小问1详解】 （1）若，则，所以， 令，解得，所以当时，，当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得极大值，极大值为，无极小值. 【小问2详解】 若对任意的恒成立，即， 令，所以，所以当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以，所以，即的取值范围是. 【小问3详解】 令，得，令， 令，所以，所以当时，， 当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减，所以， 由（2）知，，即，所以，当且仅当时等号成立， 所以当时，，不符合题意； 当时，， 所以存在，使得，符合题意. 综上，的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 注意事项： 1.本卷满分150分，考试时间120分钟.答题前，先将自己的姓名､准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 3.非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内.写在试题卷､草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量.若，则（ ） A. B. 5 C. D. 45 3. “”是“复数为纯虚数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知函数是偶函数，则（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，为了出黑板报，某班级为黑板四个区域进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域（有公共边）不能用同一种颜色，若只有四种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂色方法共有（ ） A. 24种 B. 48种 C. 72种 D. 84种 6. 记为数列的前项和，，数列的前项和为，则（ ） A. 0 B. 40 C. 80 D. 120 7. 已知，则（ ） A. B. C. 6 D. 7 8. 已知为圆上的两点，点，且，则线段的长的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 对于函数和，则下列说法正确的有（ ） A. 与有相同的最小正周期 B. 与有相同的最小值 C. 与的图象有相同的对称轴 D. 与的图象有相同的对称中心 10. 已知抛物线的焦点为，准线交轴于点 ，点为上的一点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 若，则的最小值为 C. 若，则周长的最小值为12 D. 当取最小值时， 11. 已知菱形的边长为2，，将沿着折起至，连接，得到三棱锥，则下列说法正确的是（ ） A. B. 三棱锥体积的最大值为1 C. 若，则三棱锥外接球的表面积为 D. 若二面角的余弦值为，则三棱锥内切球的体积为 三､填空题；本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 记为等比数列的前项和，若，则__________. 13. 在平面直角坐标系中，双曲线的左､右焦点分别为，点 是上任意一点，且，则的渐近线方程为__________. 14. 某校有个社团，每个社团均有人，第个社团中有个女生，余下的为男生.在这个社团中任选一个社团，再从该社团中依次选出3人，若第三次选出的人恰为男生的概率是，则__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知的内角，，的对边分别为，，， 的面积为，． （1）求角的大小； （2）若，求 的周长． 16. 会员足够多的某连锁超市，男会员占，女会员占.现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为，女会员对服务质量满意的概率为. （1）随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率； （2）从会员中随机抽取4人，记抽取的4人中对服务质量满意的人数为随机变量，求的分布列和数学期望. 17. 如图，在三棱锥中，平面，点是棱的中点，点是棱上的一点. （1）若，求证：； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求线段 的长. 18. 已知椭圆的右焦点为，且的离心率为，直线与有两个不同的交点. （1）求的方程； （2）若点在直线上，点 是线段的中点，为坐标原点，若上存在点，使得，求直线的斜率； （3）若在点处的切线分别为与交于点，点在直线上.试判断：直线是否过定点？若是，则求出该定点；若不是，请说明理由. 19. 已知函数. （1）若，求的极值； （2）若对任意的恒成立，求的取值范围； （3）若存在零点，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $