专题04 整式的乘法（3个知识点+7个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题04 整式的乘法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 幂的运算】 【同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【同底数幂的除法】 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【知识点2 整式的乘法】 【单项式与单项式相乘】 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【单项式与多项式相乘】 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 【多项式与多项式相乘】 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 【单项式除以单项式】 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【多项式除以单项式】 多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【知识点3 乘法公式】 【平方差公式】 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 【完全平方公式】 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 考点一：整式乘法相关计算 例1．计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了幂的混合运算，同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，完全平方公式，正确进行计算是解题的关键． （1）先进行同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方，然后进行合并同类项； （2）利用完全平方公式进行简化运算即可； （3）先利用完全平方公式、平方差公式进行运算，然后合并同类项即可； （4）先构造平方差公式，然后利用平方差公式进行运算，再运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：， ， ， ； （4）解：， ， ， 【变式1-1】计算 (1)． (2) (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了整式的混合运算： （1）先计算同底数幂相乘，积的乘方，同底数幂除法，再合并，即可求解； （2）先计算单项式乘以多项式，积的乘方，再合并，即可求解； （3）先计算幂的乘方，再计算同底数幂相乘，即可求解； （4）先计算多项式乘以多项式，多项式除以单项式，再合并，即可求解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【变式1-2】（1）计算： ①     ② （2）先化简再求值：，其中． 【答案】（1）①；②；（2），2 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式的乘法、多项式除以单项式以及乘法公式等知识，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； （1）先计算积的乘方，再计算单项式的乘法即可； ②根据多项式除以单项式的法则求解即可； （2）先计算多项式的乘法、同时根据完全平方公式和平方差公式展开，再计算整式的加减即可． 【详解】解：（1）① ； ② ； （2） ， 当时， 原式． 【变式1-3】（1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）①；②1；（2）；4 【分析】本题主要考查整式的混合运算、有理数的混合运算，熟记完全平方公式、平方差公式，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）①先计算积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可；②根据平方差公式进行计算即可； （2）根据整式混合运算法则结合平方差公式和完全平方公式进行计算化简，再代值求解即可． 【详解】解：（1）①原式 ； ②原式 ； （2）原式 ， 当，时，原式． 考点二：巧用幂的运算求值 例2.求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解： ， ， 即， ， 解得； （2）解： ， ， 原式 ． 【变式2-1】已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 【答案】(1) (2)60 (3)见解析 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用、同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用、同底数幂的乘法，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据幂的乘方的逆用可得，代入计算即可得； （2）根据同底数幂除法的逆用、同底数幂乘法的逆用可得，代入计算即可得； （3）根据可得，再根据同底数幂的乘法法则计算即可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ． （2）解：∵，， ∴ ． （3）解：∵，，，， ∴， ∴， ∴． 【变式2-2】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了同底数幂的乘除法，幂的乘方，积的乘方，逆用这些法则是解题的关键． （1）根据同底数幂的除法法则解答即可； （2）根据同底数幂的乘法法则求得，结合（1）所求即可解答； （3）逆用积的乘方法则解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （3）解：∵，， ∴ ． 【变式2-3】根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 【答案】(1) (2)；过程见解析 (3) 【分析】（1）逆用幂的乘方运算法则进行计算即可； （2）逆用幂的乘方运算法则，得出，，根据，即可得出答案 （3）同底数幂乘法和除法逆用，幂的乘方逆用，求出，，再代入，解关于s的方程即可． 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解：∵，， ∴， ， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵，， ∴ ， 把，代入得： ， 解得：． 考点三：整式乘法中的不含某项问题 例3.（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【答案】（1）1；（2）见解析 【分析】本题考查了整式的运算，涉及单项式与多项式的乘法、多项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）通过展开多项式乘积，合并同类项后令项的系数为零，即可求解n； （2）通过展开并化简多项式，得到其值为常数，故与x无关． 【详解】解：（1） ∵的结果中不含项， ∴， ∴； （2）∵ ∴多项式的值与x的取值无关． 【变式3-1】若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查多项式不含某项、代数式化简求值等知识，熟记整式运算法则是解决问题的关键． （1）先由多项式乘以多项式运算法则展开，再根据的展开式中不含和的项，得到，，解方程即可得到答案； （2）由（1）知，，先化简代数式得到，再将，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ， 的展开式中不含和的项， ，， 解得； （2）解：由（1）知，， ， ， 原式 ． 【变式3-2】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式，解题的关键是掌握多项式相乘的法则． （1）利用多项式乘多项式的法则进行计算即可； （2）设被遮住的一次项系数为，利用多项式乘多项式的法则展开，利用不含一次项得出，求解即可． 【详解】（1）解：由题意知： ； （2）解：设被遮住的一次项系数为， 即， 因为这个题目的正确答案是不含一次项的， 所以，所以， 所以被遮住的一次项系数为． 【变式3-3】若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，根据多项式乘以多项式的计算法则得到，则，进而可得，再根据是定值，得到，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵无论为何值，的值始终为一个定值， ∴， ∴， ∴， 故答案为：4． 考点四：整式乘法中的规律问题 例4. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【答案】B 【分析】本题考查了数字类规律探索，多项式乘法中的规律性问题，解题关键是从式子中找出其中的变化规律． 根据题意可以得出规律：展开式中所有项的系数为，则展开式中所有项的系数和是，以此求解． 【详解】解：由题可知， 展开式中所有项的系数为1； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； 展开式中所有项的系数为； … 得出规律：展开式中所有项的系数为， ∴展开式中所有项的系数和为：， 故选：B． 【变式4-1】阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）根据给定的等式规律，，其中为多项式中最高次项的指数，直接应用此规律； （2）令，利用规律将求和部分化简，再计算表达式值． 【详解】解：（1）由规律可知，， 此处，故， 故答案为：； （2）根据规律，， 即， 故原式， 故答案为：． 【变式4-2】观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 【变式4-3】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2)二 (3)2 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键： （1）根据给出的等式，得出规律，故的展开式共有项，观察规律可知，的展开式共有6项，三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余数则是等于它其上方左右两数之和，即可解答； （2）利用7天为一个周期，的最后一项是1， 则的余数是1，即可得出答案； （3）分别令和，进行求解即可． 【详解】（1）解：观察可知：的展开式有2项，的展开式有3项，的展开式有4项，的展开式有5项，依次类推，共有项， 观察可知的展开式的系数分别为1，5，10，10，5，1 则； （2）解：依题意，，其展开式的最后一项为1， ∴的余数为1， ∵今天是星期一， ∴经过天后是星期二； （3）解：∵， ∴当时，， 即：； 当时，，即：， ∴， ∴ 考点五：巧用乘法公式求值 例5. 已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式的变形应用，解题关键是将所求式子转化为含和的形式． （1）将结合完全平方公式转化为，代入，计算． （2）将变形为，代入已知值求出，再对其平方得到结果． 【详解】（1）∵，， ∴． （2）∵，， ∴， ∴． 【变式5-1】已知，若，求的值． 【答案】 【分析】本题考查利用完全平方式进行配方，消元法的应用，代入求值，掌握相关知识是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ∵， ， ， ， ． ，， ，， ∴， ． 【变式5-2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，代数式求值．解题的关键在于对完全平方公式的熟练掌握与灵活运用．由题意知，，，，根据 ，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 则，，， ． 故选：D． 【变式5-3】若x满足，则的值为 ． 【答案】2019 【分析】本题考查利用完全平方公式变形求值，设，，则已知 ，且．利用完全平方公式 ，代入已知值求解即可． 【详解】解：设，，则，； ∵， ∴，即 ∴ ∴ 故； 故答案为：2019． 考点六：平方差公式与几何图形 例6. 已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【答案】(1) (2)①；② 【分析】（）根据图形表示出阴影部分的面积即可求解； （）①利用平方差公式计算即可求解；②利用平方差公式可得计算结果为，再找出个位数字的变化规律即可求解； 本题考查了平方差公式的几何背景以及数字的变化规律，正确计算是解题的关键． 【详解】（1）解：由图可得，阴影部分的面积为；由图可得，阴影部分的面积为， ∴得到的等式是， 故答案为：； （2）解：① ； ②原式 ， ∵，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ，个位数字是， ， ∴个位数字以，，，的规律重复出现， ∵， ∴的个位数字为， 即的结果的个位数字为． 【变式6-1】【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【答案】【探究】【应用】（1）3，（2）；【扩展】 【分析】本题主要考查了平方差公式，解题的关键是掌握平方差公式的灵活应用． 探究：利用图形的面积得出平方差公式； 应用：（1）利用平方差公式进行求解即可； （2）利用平方差公式进行求解即可； 扩展：先利用平方差公式进行整理，再进行计算即可． 【详解】解：【探究】， 故答案为：； 【应用】（1）由得，， 即， 将代入上式得，； 故答案为：3； （2）原式 ； 【扩展】 ． 【变式6-2】数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【答案】(1)①②③ (2)1 (3)见解析， (4) 【分析】本题考查了平方差公式与图形面积、完全平方公式与图形面积，熟练掌握乘法公式是解题关键． （1）根据四个图形中，阴影部分的面积的计算方法即可得； （2）将原式变形为，利用平方差公式计算即可得； （3）画出一个边长为大正方形，根据大正方形的面积的两种计算方法即可得； （4）利用（3）的结果进行计算即可得． 【详解】（1）解：图①中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于边长为，且这条边上的高等于的平行四边形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图②中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图③中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于2个上底等于，下底等于，高等于的直角梯形的面积， 则，可以验证平方差公式； 图④中，阴影部分的面积等于大正方形的面积减去小正方形的面积，也等于长为、宽为的长方形的面积， 则，不可以验证平方差公式； 故答案为：①②③． （2）解： ． （3）解：由题意画出图形如下： 由图可知，大正方形的面积等于3个小正方形的面积与6个小长方形的面积之和， 则． （4）解： ． 【变式6-3】综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 【答案】（1）①②（2）（3）32 【分析】本题考查了平方差公式与面积，等腰三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）①观察图中的信息，得出阴影面积等于长乘宽，即可作答． ②观察图1，图2，运用面积公式表达出图1的空白部分面积以及割补法得出图2的空白部分面积，再由拼接过程，空白部分面积不会变化，进行列式，即可作答． （2）理解题意，设，结合，得，由阴影部分的面积为18，进行列式，整理得，然后把数值代入进行计算，即可作答． （3）先整理得，再模仿（1）的过程，作图，与（1）同理得，当时，该长方形是边长为4的正方形，得边长是和的长方形的最大面积16，即可作答． 【详解】解：（1）①如图所示： 依题意，， ∴， 则图2中的阴影部分的面积是； ②观察图1，图2，得出图1的空白部分面积， 得出图2的空白部分面积， ∴用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式； （2）如图3， 设， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵阴影部分的面积为18， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）依题意，， 我们把和看作是长方形的两条边长， 此时这个长方形的周长， 根据“周长一定的长方形中，正方形的面积最大” 如图4，当时，阴影部分是边长为的正方形 ∴与（1）同理得， 当时，该长方形是边长为4的正方形， ∴边长是和的长方形的最大面积16， ∴当时，代数式的最大值是． 考点七：完全平方公式与几何图形 例7. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； (1)①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 【答案】(1)①；② (2)图见解析， 【分析】本题考查了利用完全平方公式求图形面积，多项式的乘法，熟练对完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）①结合图形，即可解答：②根据各部分的面积和等于大长方形的面积，两种方法即可解答； （2）根据长方形面积为，由长为宽为列等式，即可求解． 【详解】（1）①解：结合图形可得大正方形的边长为，是由两个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，一个边长为b的小正方形组成， 故答案为：； ②解：结合图形可得大长方形的长为，宽为，是由三个长为a，宽为b的小长方形和一个边长为a，两个边长为b的小正方形组成， ∴； 故答案为：； （2）解：面积为的长方形的长为，宽为； 如图所示： 拼成的长方形由7个长为a，宽为b的小长方形和2个边长为a，3个边长为b的小正方形组成， ， 故答案为：； 【变式7-1】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【答案】(1)120 (2)2020.5 (3)长方形的面积为192． 【分析】本题考查完全平方公式的意义和应用，理解公式的变形和结构特征是正确应用的前提． （1）根据题中提供方法进行计算即可； （2）设，，计算出的值，利用，进行计算即可； （3）由题意知，．利用计算的值即可； 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴的值， 故答案为：120； （2）解：设，， 则， ∵， ∴， 则， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （3）解：设，，则，． 由题意知，，， ∴． ∴ ∴， 解得． ∴长方形的面积为． 即：． 【变式7-2】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【答案】（1），，；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题考查的是利用几何图形的面积推导代数公式． （1）第一次求解阴影部分的边长，再计算面积，第二次利用大的正方形的面积减去四个长方形的面积，从而可建立等式； （2）将，代入计算即可； （3）根据大正方形面积等于九个小图形的面积和列等式计算即可； （4）将，代入计算即可． 【详解】（1）解：因为小正方形的边长为：， 所以第一次计算的面积为：， 第二次计算的面积为：， 所以：； 故答案为：，，； （2）解： ； （3）解：由图3可得：； 故答案为：； （4）解：∵，， ∴， 即． 故答案为：． 【变式7-3】【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 【答案】（1），12；（2）（3） 【分析】本题考查了单项式乘多项式的应用，整式的加减无关型问题，完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）观察图1和图2即可表示出4个小长方形的面积即可得到；然后根据题意得到，将代入求解即可； （2）设由题意得，， ，则，最后根据求解即可； （3）根据长方形的面积得，结合不论的长为何值时，永远为定值，且，得到的值与无关，即，即可作答． 【详解】解：（1）通过观察图1可知图1中4个小长方形的面积为， 通过观察图2可知图2中4个长方形的面积为， ∵图1和图2的面积相等，由此可得； ∵， 根据题意得， ∴， ∴； （2）设， ∵以为边向上分别作等腰 和等腰， ∴ ∴， ， ∴， ∴， ∴； （3）∵长方形的面积为，长方形的面积为， ∴，， ∴， ∵不论的长为何值时，永远为定值，且， ∴的值与无关， ∴， ∴与之间的数量关系为． 1．已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式中的无关型问题，代数求值，解题的关键是明确不含x的二次项，则二次项的系数为0． 先展开两个多项式的乘积，根据不含二次项和常数项的条件列出方程，求解和的值，再计算． 【详解】解：， ∵乘积中不含的二次项，且常数项为， ∴且， 解得, ， ∴． 故答案为： 2．（1）若，则 （2）已知，则 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方根； （1）利用完全平方公式，将已知条件平方后求解． （2）利用完全平方公式，求的平方，再根据平方根求解． 【详解】解：（1）∵ ∴ ∴ 即 故答案为：． （2）∵，，： ∴ ∴ 故答案为：． 3．已知（，均为常数），则 ． 【答案】10或 【分析】本题考查了运用完全平方公式进行运算，求完全平方式中的字母系数等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 展开左边完全平方式，根据多项式恒等条件，比较对应项系数，得到关于t和k的方程，求解t后代入求k． 【详解】解：左边，右边， 所以， 所以，， 由， 解得：或， 当时，， 即， 解得， 当时，， 即， 解得， 故答案为：10或． 4．已知，则 ． 【答案】4 【分析】本题考查了完全平方公式，由已知条件可得，，代入中，根据完全平方公式计算，得出的值． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， 展开得 ， 即， ∴． 故答案为：4． 5．如果，，那么等于 ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，利用已知条件和，先求出，再计算平方和，最后代入求解即可，熟练掌握完全平方公式，正确进行变形是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 6．观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了杨辉三角，熟练掌握杨辉三角的系数特征并结合二项式的形式计算指定项的系数是解题的关键． 先根据杨辉三角确定的展开式系数，再结合的形式，找到含项的系数计算方法． 【详解】解：如图， 由杨辉三角可知，的展开式系数为：1，8，28，56，70，56，28，8，1， ∴， 对于，令，，其展开式中含的项对应含项， 该项为： ∴的展开式中含项的系数是 ， 故答案为： 7．根据已知求值． (1)已知，求m的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 【答案】(1)3 (2) (3)8 【分析】（1）根据幂的乘方和同底数幂相乘，可得，从而得到，即可求解； （2）根据同底数幂相除的逆运用，以及幂的乘方的逆运算，即可求解； （3）根据题意可得，再由据幂的乘方和同底数幂相乘法则，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴ （3）解：∵， ∴， 则． 8．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 【答案】(1)-1 (2)6 【分析】本题考查积的乘方，平方差公式； （1）根据作业的方法逆用积的乘方计算即可； （2）由求解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， ． 9．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 【答案】(1)①；②； (2)； (3)． 【分析】本题主要考查了多项式乘法的规律探究，熟练掌握根据已知式子总结规律并应用规律解题是解题的关键． （1）通过观察已知式子的规律，直接写出对应的结果； （2）利用总结的规律，代入计算； （3）根据规律构造乘法形式，再进行计算． 【详解】（1）解：①∵， ， ， ， ∴， 故答案为：， ②∵， ， ， ， ， …… ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： ． 10．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 【答案】（1），；（2）；（3） 【分析】本题考查了完全平方公式与图形的面积，完全平方公式变形求值； （1）根据两个图形的面积相等即可得出等式，进而将，代入公式进行计算即可求解； （2）设，则，，再根据完全平方公式变形，即可求解； （3）设，根据题意得出，，进而根据完全平方公式变形，即可求解． 【详解】解：（1）依题意，图1中阴影部分的面积为， 图1中阴影部分的面积为 ， ∵图1和图2中阴影部分的面积相等， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2）设， ∵， ∴，， ∵， ∴ ， ∴． （3）解：设， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， 即图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积为． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 整式的乘法 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 幂的运算】 【同底数幂的乘法】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， 因此，我们有． 2. 同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 3. 同底数幂的乘法法则的推广与逆运用：；．如；． 【幂的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a与任意正整数m，n， ． 因此，我们有． 底数a为负数时， 2. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 3. 同底数幂的乘法法则与乘方法则的异同点 乘法法则 乘方法则 指数相加 指数相乘 底数不变， 其中m，n 都是正整数 【积的乘方】 1. 一般地，对于任意底数a，b与任意正整数n， ． 因此，我们有． 2. 积的乘方法则：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 【同底数幂的除法】 一般地，我们有．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 【知识点2 整式的乘法】 【单项式与单项式相乘】 法则：一般地，单项式与单项式相乘，把它们的系数、同底数幂分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． （1）只在一个单项式里含有的字母，要连同它的指数写在积里，注意不要把这个因式遗漏． （2）单项式与单项式相乘的乘法法则对于三个及以上的单项式相乘同样适用． （3）单项式乘单项式的结果仍然是单项式． 【单项式与多项式相乘】 法则：一般地，单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 用式子表示：m（a+b+c）=ma+mb+mc（m，a，b，c都是单项式）． 【注意】 （1）单项式与多项式相乘，结果是一个多项式，其项数与因式中多项式的项数相同，可以以此来检验在运算中是否漏乘某些项． （2）计算时要注意符号问题，多项式中每一项都包括它前面的符号，同时还要注意单项式的符号． （3）对于混合运算，应注意运算顺序，有同类项必须合并，从而得到最简结果． 【多项式与多项式相乘】 （1）法则：一般地，多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． （2）多项式与多项式相乘时，要按一定的顺序进行．例如（m+n）（a+b+c），可先用第一个多项式中的每一项与第二个多项式相乘，得m（a+b+c）与n（a+b+c），再用单项式乘多项式的法则展开，即 （m+n）（a+b+c）=m（a+b+c）+n（a+b+c）=ma+mb+mc+na+nb+nc． 【注意】 （1）运用多项式乘法法则时，必须做到不重不漏． （2）多项式与多项式相乘，仍得多项式．在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数之积． 【单项式除以单项式】 单项式除以单项式法则：一般地，单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 单项式除以单项式法则的实质是将单项式除以单项式转化为同底数幂的除法运算，运算结果仍是单项式． 【多项式除以单项式】 多式除以单项式法则：一般地，多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 【注意】 （1）多项式除以单项式是将其化为单项式除以单项式问题来解决，在计算时多项式里的各项要包括它前面的符号． （2）多项式除以单项式，被除式里有几项，商也应该有几项，不要漏项． （3）多项式除以单项式是单项式乘多项式的逆运算，可用其进行检验． 【知识点3 乘法公式】 【平方差公式】 （1）平方差公式 语言叙述：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差．这个公式叫做（乘法的）平方差公式． （2）平方差公式的特点 ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数． ②右边是相同项的平方减去相反项的平方． ③公式中的a和b可以表示具体的数或单项式，也可以是多项式． 【完全平方公式】 （1）完全平方公式 ， 语言叙述：两个数的和（或差）的平方，等于它们的平方和，加上（或减去）它们的积的2倍．这两个公式叫做（乘法的）完全平方公式． （2）完全平方公式的特点：两个公式的左边都是一个二项式的平方，二者仅有一个“符号”不同；右边都是二次三项式，其中有两项是公式左边二项式中每一项的平方，中间一项是左边二项式中两项乘积的2倍，二者也仅有一个“符号”不同． 考点一：整式乘法相关计算 例1．计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-1】计算 (1)． (2) (3)； (4)． 【变式1-2】（1）计算： ①     ② （2）先化简再求值：，其中． 【变式1-3】（1）计算： ①； ②；（用乘法公式简便计算） （2）先化简，再求值：，其中，． 考点二：巧用幂的运算求值 例2.求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【变式2-1】已知：，，． (1)求的值； (2)求的值； (3)试说明：． 【变式2-2】已知，． (1)求的值； (2)求的值； (3)计算：的结果． 【变式2-3】根据乘方、幂及有关知识，解决下列问题： (1)已知，则 ． (2)若，，请比较a与b大小（请写出过程）． (3)已知，，，，解关于s的方程：． 考点三：整式乘法中的不含某项问题 例3.（1）若的结果中不含项，求n的值； （2）试说明多项式的值与x的取值无关． 【变式3-1】若的展开式中不含和的项． (1)求、的值； (2)求代数式的值． 【变式3-2】小红准备完成题目：计算时，她发现第一个因式的一次项系数被一滴墨水遮挡住了． (1)她把被遮住的一次项系数猜成2，请你帮她完成计算：； (2)老师说：“你猜错了，这个题目的正确答案是不含一次项的．”请通过计算说明原题中被遮住的一次项系数是多少？ 【变式3-3】若等式恒成立．无论为何值，的值始终为一个定值，则这个定值为 ． 考点四：整式乘法中的规律问题 例4. 南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中揭示了非负整数展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将下表称为“杨辉三角”．则展开式中所有项的系数和是（   ） A．512 B．1024 C．2048 D．4096 【变式4-1】阅读以下内容：，，，根据这一规律填空： （1） ； （2）计算： ． 【变式4-2】观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【变式4-3】我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（为正整数）的展开式（按的次数由大到小的顺序排列）的系数规律． (1)①的展开式共有______项；②根据上面的规律，则的展开式______． (2)运用：今天是星期一，经过天后是星期几？ (3)若，求的值． 考点五：巧用乘法公式求值 例5. 已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【变式5-1】已知，若，求的值． 【变式5-2】若，则的值为（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】若x满足，则的值为 ． 考点六：平方差公式与几何图形 例6. 已知，如图所示的两个长方形可以按不同的形式拼成图和图两个图形．请仔细观察，解决下列问题： (1)比较图和图的阴影部分的面积可以得到的等式是________． (2)请利用你得到的等式解决下面的问题： ①计算：； ②求的结果的个位数字． 【变式6-1】【探究】如图①，边长为的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图①中的阴影部分拼成一个长方形（如图②所示），通过观察比较图②与图①中的阴影部分面积，可以得到乘法公式___________． （用含a，b的等式表示） 【应用】请应用这个公式完成下列各题： （1）已知，，则的值为___________． （2）计算：． 【扩展】计算： 【变式6-2】数形结合是一种重要的数学思想，我们可以利用几何图形验证乘法公式．某数学兴趣小组用“等面积法”分别构造了以下四种图形验证“平方差公式”： (1)以上四种方法中能够验证“平方差公式”的有___________（填序号）； (2)利用“平方差公式”计算： (3)兴趣小组中有一位同学想利用“等面积法”来探究的展开式，请你设计并画出一个几何图形来帮助这位同学，根据你设计的图形直接写出的展开式； (4)利用（3）的结论，计算：． 【变式6-3】综合与实践 【素材】 如图1，一张长方形硬纸板，长为，宽为； 【实践操作】 步骤1：将图1长方形硬纸板分割为A，B两个小长方形； 步骤2：如图2，将长方形B割补到长方形A的下方． 【实践探索】 （1）①图2中的阴影部分的面积是______； ②观察图1，图2，用两种不同的方法表示图形中空白部分面积，可以验证恒等式______． 【实践应用】 （2）如图3，在同一条直线上，若，阴影部分的面积为18，求的长度． 【实践拓展】 （3）小明发现利用图1，图2也能验证结论：“周长一定的长方形中，正方形的面积最大”．例如，当时，图1中长方形的周长为20，图2中大正方形的面积为25，所以，即周长为20的长方形中，正方形的面积最大，最大值为25．请仿照上述割补方式，求当时，代数式的最大值（无需描述割补过程，只需画出示意图，再直接给出最大值）． 考点七：完全平方公式与几何图形 例7. 综合与实践： 学习整式的乘法中发现：用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题． 数学活动课上，教师准备了许多如图1所示的长方形或正方形卡片，让同学们拼成新的正方形．小明用卡片拼成如图2正方形； (1)①利用图2可得等式：______； ②如图3是小亮围成的长方形，用不同的方法表示这个长方形的面积，得到的等式：______． (2)请利用图1所给的纸片拼出一个长方形，所拼出图形的面积为，（在图4的方框内进行作图），进而可以得到等式：______． 【变式7-1】我们常将一些公式变形，以简化运算过程． 如，可以把公式“”变形成或等形式，运用于下面这个问题的解答： 问题：若满足，求的值． 我们可以作如下解答：设，，则，，所以． 请根据你对上述内容的理解，解答下列问题： (1)若满足，求的值． (2)若满足，求的值． (3)如图，将正方形叠放在正方形上，重叠部分是一个长方形，，．沿着，所在直线将正方形分割成四个部分．若四边形和四边形恰好为正方形，且它们的面积之和为，求长方形的面积． 【变式7-2】数学中，常对同一个量（图形的面积、点的个数等）用两种不同的方法计算，从而建立相等关系．我们把这种思想叫“算两次”．“算两次”也称作富比尼原理，是一种重要的数学思想．由它可以推导出很多重要的公式．某校数学兴趣小组，在学习整式的乘除后，进行了如下的探究： 【问题背景】通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．例如：如图1是一个长为2a，宽为2b的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图2的形状拼成一个正方形．请解答下列问题： （1）用“算两次”的方法计算图2中阴影部分的面积：第一次列式为_______，第二次列式为_______．因为两次所列算式表示的是同一个图形的面积．所以可以得出等式_______； （2）根据（1）中的等量关系解决如下问题：若，，求的值； 【知识迁移】 （3）根据图3，写出一个代数恒等式：_______； 【思维创新】 （4）利用（3）中得出的恒等式，解决下面的问题： 若，，则的值是_______ 【变式7-3】【探索】 （1）观察图1，图2，请写出之间的等量关系是：________； 根据（1）的结论，若，则的值是_______． 【应用】 （2）如图3．是线段上的一点，以，边向上分别作等腰和等腰，点在上，连接，若，求的面积． 【拓展】 （3）利用5张完全相同的小长方形纸片（长为，宽为）拼成如图4所示的大长方形，记长方形的面积为，长方形的面积为．若不论的长为何值时，永远为定值，直接写出之间的数量关系． 1．已知关于的多项式与的乘积结果中不含的二次项，且常数项为，则的值为 ． 2．（1）若，则 （2）已知，则 3．已知（，均为常数），则 ． 4．已知，则 ． 5．如果，，那么等于 ． 6．观察下列各式及其展开式 这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．请你猜想的展开式中含项的系数是 ． 7．根据已知求值． (1)已知，求m的值． (2)已知，求的值． (3)已知，求的值． 8．下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，且，求的值． 9．观察下列各式： …… 请根据你发现的规律完成下列各题． (1)填空：①； ②（其中为正整数）； (2)根据规律计算：； (3)计算：． 10．综合与实践 【问题情境】 在数学实践课上，“智慧小组”将4个全等的长为，宽为的长方形纸片由图1拼成如图2所示的图形． 【操作发现】 （1）根据图1和图2中阴影部分的面积相等的关系，能验证的公式是______，利用此公式解决问题：若，且，求的值． 【解决问题】 （2）已知，求的值． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，分别以为边作正方形和正方形为上一点，点在的延长线上，且，若，，求图中阴影部分（两个正方形的面积和）的面积． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $