专题03 轴对称（6个知识点+10个核心考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材人教版

专题03 轴对称 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 轴对称及其性质】 【轴对称图形与对称轴】 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【两个图形成轴对称】 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【知识点2 线段的垂直平分线的性质】 【线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【知识点3 画轴对称图形】 【轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【知识点4 等腰三角形】 【等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 【等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【知识点5 等边三角形】 【等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 考点一：轴对称性质的应用 例1．如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称的性质，解题的关键是掌握对称轴上的点到对应点的距离相等． 根据轴对称的性质得出，，即可解答． 【详解】解：∵点、关于对称，点、关于对称， ∴，， ∵， ∴的周长． 【变式1-1】如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键． （1）利用轴对称的性质解答即可； （2）根据E，A，F三点在同一直线上，得出，根据轴对称的性质得出，，即可得出，从而得出，即可得出答案． 【详解】（1）解：∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴； （2）解：∵E，A，F三点在同一直线上， ∴， ∵点E、F分别是点D以、为对称轴的对称点， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式1-2】在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点． (1)如图1，①若，，求的周长；②若，求的度数； (2)如图2，当时，作于点，若，，求的长． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（1）①由对称可得，，然后求出，然后根据三角形周长公式求解即可； ②由对称可得，，求出，，然后利用等边对等角和三角形内角和定理求解即可； （2）如图所示，过点A作于点G，首先利用三线合一得到，得到，证明出，得到，然后求出，进而求解即可． 【详解】（1）解：①由对称可得，， ∴， ∵， ∴的周长； ②∵， 由对称可得，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴； （2）解：如图所示，过点A作于点G， ∵， 由对称可得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式1-3】如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． (1)若，直接写出的度数； (2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； (3)若，，，求与的面积之和的最大值． 【答案】(1)； (2)点P、M、Q在同一条直线上，理由见解析 (3)和的面积之和的最大值是 【分析】（1）根据轴对称的性质得到，于是得到； （2）根据轴对称的性质得到，求得，根据轴对称性质得到，得到，求得，推出，于是得到点P、M、Q在同一条直线上； （3）过Q作于点H，连接，设与相交于点，根据轴对称的性质得到，推出，得到，得到，当点H、D与点B重合时，最大值是4；根据三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】（1）解：∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴； （2）解：点P、M、Q在同一条直线上，理由如下： ∵， ∴， ∵点B和点P关于直线对称， ∴， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴点P、M、Q在同一条直线上； （3）解：过Q作于点H，连接，设与相交于点， ∵点A和点Q关于直线对称，， ∴， ∵点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称， ∴和关于直线对称， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴当点H、D与点B重合时，QH最大值是4； ∴， 又∵， ∴， 故和的面积之和的最大值是． 考点二：线段垂直平分线的性质应用 例2.如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查垂直平分线的性质，等边对等角等知识，先根据“是三边垂直平分线的交点”得到，，从而可知，，用三角形的内角和求出，从而得到，则，最后再用三角形内角和求解即可． 【详解】如图，连接． ∵是三边垂直平分线的交点， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2-1】如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】由角平分线的定义可得，由垂直平分线的性质可得，从而得到，进而得到，由三角形内角和定理进行计算即可得到答案．本题主要考查了垂直平分线的性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解： 平分， ， 垂直平分， ， ， ， ，，， ， ， 故答案为：． 【变式2-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质和判定， 先根据线段垂直平分线的性质和判定得，再根据的周长为，，求出，然后等量代换可得答案． 【详解】解：∵是的垂直平分线， ∴． ∵， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴． ∵的周长为，， ∴， ∴， 则， ∴， 即． 故答案为：． 【变式2-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O．若，，则 ．    【答案】6 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、全等三角形的判定与性质，连接，根据，，可得：，根据可证，可得：，同理可证：，从而可证：，即可得到：． 【详解】解：如图，连接，    ∵，， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 同理可证：， ∴， ∴． 故答案为：6． 考点三：线段垂直平分线的判定与性质综合 例3.如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】首先证明AD是线段EC的垂直平分线，即可得出AE=AC，根据AB的垂直平分线EF，即可得出AE=BE,即可证明． 【详解】证明：连接AE， ∵，， ∴， ∴． ∵点D为线段CE的中点， ∴， ∴AD垂直平分线段CE， ∴， ∵EF垂直平分AB， ∴， ∴． 【变式4-3】如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定与性质，角平分线的性质，解题关键是在图形中找到正确的全等三角形以及熟悉以上性质与判定． （1）利用角平分线的性质可得，再利用“”证明，即可证明； （2）利用“”证明，可得，所以点A在的垂直平分线上，根据，可得点D在的垂直平分线上，进而可以解决问题； （3）设，则，即可建立方程求解． 【详解】（1）证明：∵于点E， ∴， 又平分，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明：连接，如图， 在和中， ， ∴， ∴ ∴点A在的垂直平分线上， ∵， ∴点D在的垂直平分线上， ∴垂直平分； （3）解：设， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 【变式3-2】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)点在边的垂直平分线上，理由见解析 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的周长公式，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）由线段垂直平分线的性质得，再根据的周长为、得，所以，即； （2）由得，由线段垂直平分线的性质得，所以； （3）由线段垂直平分线的性质得，，所以，即可得解． 【详解】（1）解：直线垂直平分边， ， 的周长为， ， ， ， ， ； （2）解：， ， 直线垂直平分边， ， ； （3）解：点在边的垂直平分线上，理由如下： 连接、， 直线垂直平分边，点在直线上， ， 点在边的垂直平分线上， ， ， 点在边的垂直平分线上． 【变式3-3】如图1，中，，点D是上点，连接，的平分线交于点E，并延长至点F，使得，且． (1)求证：． (2)如图2，若，点H为上一点，连接，K为中点，且，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据角平分线定义设，则，根据得，再根据得，然后根据得，据此即可得出结论； （2）连接，先根据角平分线的性质得，再证明是线段的垂直平分线，则，然后可依据判定和全等，再根据全等三角形的性质可得出结论 【详解】（1）证明：如图1， ∵平分， ∴设， ∴， ∵， ∴ 又∵ ∴， ∴， ∴ ∴， 在中，， ∴ ∴， 在中，， ∴； （2）证明：连接，如图： ∵平分，， ∴， ∵点为中点，且， ∴为的垂直平分线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 考点四：等腰三角形的性质应用（等边对等角） 例4. 如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质，三角形的内角和定理是解决问题的关键．先求出，根据，得，，则，然后根据即可得出答案． 【详解】解：∵在中，， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式4-1】如图，C，E和B，D，F分别在的两边上，且，若，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了等边对等角，三角形外角的性质，由，根据等腰三角形的性质，即可得，，，，然后设，用表示相关等腰三角形的底角，并结合三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：， ∴设， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴， ∴的度数为 故答案为：． 【变式4-2】如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 【答案】/10度 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形外角的定义和性质，三角形内角和定理，通过等量代换得出是解题的关键． 由，，得出，再由三角形的外角的意义得出，，从而得出，进一步求得答案即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵中，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． (1)当时，是多少度？说明理由； (2)当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，三角形内角和定理的应用，注意同一个三角形中内角不能存在两个钝角． （1）过作直线交于．可以求出和的度数，从而求解； （2）先证出不能为另一等腰三角形的顶角，再根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求解． 【详解】（1）解：， 理由：过作直线交于，则是等腰三角形． ∵为顶角， ∴， ∴，， ∴． （2）解：，理由如下： ∵是其中一个等腰三角形的顶角， ∴， ∴， ∴， ∴必为钝角， ∵同一个三角形中内角不能存在两个钝角， ∴ 不能为顶角， ∴为等腰三角形的顶角， ∴， ∴， ∴， ∴． 考点五：等腰三角形的性质应用（三线合一） 例5. 如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定和性质，由得到是解题的关键． 延长交于点E，则可知为等腰三角形，则，可得出．即可求出答案． 【详解】解：如图，延长交于点E， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴； 故答案为：8． 【变式5-1】已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的三线合一，通过全等得到等腰三角形是解题的关键． 由角平分线性质可得，可证，得，由为的中点，三线合一即可得出． 【详解】证明：如图，连接、， ∵为的平分线上的点，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为的中点， ∴． 【变式5-2】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质、等腰三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）连接，由线段垂直平分线的性质可得，结合题意得出，再由等腰三角形的性质即可得解； （2）由线段垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，再由三角形外角的定义及性质得出，由等边对等角得出，再由三角形内角和定理计算即可得解． 【详解】（1）证明：如图，连接， ， ∵垂直平分， ∴， ∵， ∴， ∵为线段的中点， ∴； （2）解：∵垂直平分， ∴， ∴， ∴， 由（1）可得：， ∴， ∵，， ∴， ∴． 【变式5-3】如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质： （1）证明，即可解答； （2）在上截取，证明，可得，从而得到，再由等腰三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：在和中 ， 是的平分线； （2）证明：在上截取， 由（1）得：平分， ， 在和中， ， ， ， ， ． 考点六：等腰三角形的判定与性质综合 例6. 如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)7.5 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据等边对等角和三角形的内角和定理求出，根据角平分线的定义求出，然后根据等角对等边即可得证； （2）证明，得出，即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：由（1）知， ∴， ∵． ∴ ∴， ， ∴ 在和中， ∴ ∴， ∵， ∴． 【变式6-1】如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【答案】(1)见解析 (2)或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质，三角形内角和性质，外角性质，全等三角形的判定与性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先结合等边对等角得，再由线段的中点得，即可证明，故，即可作答． （2）先得出，结合是等腰三角形，进行分类讨论，运用三角形外角性质以及等边对等角进行计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵是的中点． ∴ ∵动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点． ∴， 则， 即， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； （2）解：连接， ∵，是的中点． ∴， 即， ∵，， ∴， 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴； 依题意，当时， 则 ∴（舍去）； 综上：是等腰三角形，则 或． 【变式6-2】如图，为的角平分线，E为的中点，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：为等腰三角形． (2)求证：． (3)求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键． （1）根据为的角平分线，，证得进而证得为等腰三角形； （2）延长至点，使，连接，根据全等三角形的判定方法，证得，根据全等三角形的性质证得，根据角平分线的性质证得，进而证得； （3）由（1）知，根据、，证得，进而证得即可． 【详解】（1）证明：， ， 为的角平分线 为等腰三角形； （2）证明：延长至点，使，连接， 为的中点 在和中， 、 、 为的角平分线 ； （3）解：由（1）知， 、、 ． 【变式6-3】如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)见解析． 【分析】利用三角形内角和定理可证，根据等角对等边可证结论成立； 过点作，利用三角形内角和定理可证，根据等腰三角形的三线合一定理可知，利用可证，根据全等三角形的性质求知； 过点作，利用可证，根据全等三角形的性质可证，根据等等腰三角形的三线合一定理可证结论成立． 【详解】（1）证明： ， ， 交的延长线于点， ， ， ， 在中，， ， ， ； （2）解：如下图所示，过点作， 由可知， 为的角平分线， ， ， ， ， 在中，， ， 解得：， ，，， ， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ； （3）证明：如下图所示，过点作， ， ， 由可知，， 在和中，， ， ， ， ， ， ， ， ． 考点七：等边三角形的判定与性质综合 例7. 如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)等边三角形，见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定以及三角形内角和定理等知识，准确找到全等三角形是解决此题的关键 （1）利用证明，即可得； （2）根据得出，再利用三角形内角和定理，进一步即可得出的度数； （3）先证明，再根据全等三角形的性质，得出，然后得，进而得到结论． 【详解】（1）证明：， ， 在和中， ， ， ． （2）解：∵， ， 在中，， = ， 在中， ； （3）解：为等边三角形． 证明：如图2，由（1）得， 的中点分别为点P、Q， ， ∵， ， 在与中， ， ， ， 又， ， ， ∴为等边三角形． 【变式7-1】如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①150度；②2 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）由得，结合可判断为等边三角形； （2）①证明得，运用周角可求出结论； ②证明，可得结论． 【详解】（1）证明：∵， ∴, ∵， ∴为等边三角形； （2）解：①∵为等边三角形， ∴， 又，， ∴ ∴， 又，， ∴ ②， ． 由（1）知，， ， 又， ， ． 【变式7-2】在等腰中，． (1)如图1，求证； (2)如图2，点是的中点，求证：是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，点R在上，点D在的延长线上，点K在延长线上，连接，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) (3)2 【分析】（1）由等边对等角和三角形内角和定理可得，，据此可证明结论； （2）证明，则可证明，进而可证明是等边三角形； （3）过点A作于Q，过点C作交延长线于P，连接，则；可求出，则可得到，证明，推出，则可证明，得到；在上截取，连接，证明，可得；可证明，得到三点共线；可证明，得到；证明；设，则，则；，根据，即可得到答案． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴是等边三角形； （3）解：如图所示，过点A作于Q，过点C作交延长线于P，连接，则； ∵是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴， ∴； 如图所示，在上截取，连接， ∵， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴三点共线； ∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 设，则， ∴； ∵是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴． 【变式7-3】问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)，理由见解析 (3)结论成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形判定与性质，平行线性质，等腰三角形性质，等边三角形性质与判定，解题的关键是： （1）根据三线合一的性质求出，，根据等边对等角以及三角形外角的性质求出，然后根据等角对等边即可得出答案； （2）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案； （3）过点作交于点，证明是等边三角形，推出，根据证明，最后根据全等三角形的性质即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： 是等边三角形， ， ∵点E为中点， ，， ， ， ， ， ， ． （2）解：，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ，， 是等边三角形， ， ，即， ， ， 又， ， ； （3）解：结论仍成立，理由如下： 过点作交于点， 是等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ，即， 又， ， 又，， ， ． 考点八：多结论问题 例8. 如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形判定与性质，平行的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键．先证明，得到可判断①，结合，得到，可判断②，接着证明，得到，可判断③，最后证明是等边三角形，可得到，从而判断④． 【详解】解：∵和均是等边三角形， ∴， ∵点B，C，E在同一条直线上， ∴， ， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴， ∴，故②正确； 在和中， ， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴，故④正确； 故答案为：①②③④． 【变式8-1】如图，以的边、为边向外作等边与等边，连接交于点，下列结论： ； 平分； ； ；其中正确的有 ． 【答案】 【分析】由等边三角形的性质，可得，证明，可判断；作，，证明，可得，可判断；与的交点记为点，由三角形的内角和定理，可得，可判断；由对顶角相等，结合平分，可得平分，作，交延长线于点，作于点，可得，可判断． 【详解】解：∵，是等边三角形， ∴，，，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴正确， 作，，则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴平分， ∴正确； 与的交点记为点，则， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴正确； ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分， 作，交延长线于点，作于点，则， 又∵，， ∴， ∴正确， ∴正确的有． 故答案为：． 【变式8-2】如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为 ． 【答案】①②③ 【分析】本题考查等腰直角三角形、等边三角形的性质及全等三角形的判定与性质，解题的关键是利用图形的对称性和全等三角形推导角度与线段关系。 通过等腰直角三角形的性质推导线段垂直平分线，利用全等三角形证明线段与角度关系，结合等边三角形、等腰三角形的角度计算判断结论。 【详解】解：∵与都是等腰直角三角形，， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ， ∴ 点在的垂直平分线上， ∴直线垂直平分，①正确； ， ， ， ， ，如图所示： ∴ 由三角形内角和定理得：， 平分，③正确； ， ， ∴是等边三角形，②正确； ， ， ，④错误， 正确的有①②③， 故答案为：①②③． 【变式8-3】如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④H为中点；⑤．其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质及多边形的内角和定理的应用．设，证明，可得①符合题意；连接，求解，证明，可得②符合题意；通过角度计算得出，证明，可得③符合题意；通过角度计算得出从而证明出H不是中点，可得④不符合题意；过G作交于I，截取，连接，而，证明，可得⑤符合题意，从而可得出答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴，故①正确； 如图，连接， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故③正确； ∵，， 又∵为等边三角形， 要使H为中点， 则需垂直平分，即， 而，， ∴， ∴H不是的中点，故④错误； 过G作交于I，截取，连接， ∵， ∴，为等边三角形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴，故⑤正确， 综上所述，正确的有①②③⑤． 故答案为：①②③⑤． 考点九：最短路径问题 例9. 如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【答案】 【分析】作点关于的对称点，连接，，则，，所以，由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小，由垂直平分线性质可得，然后由，所以， 故有当的值最小时，的长为． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，连接，， 则，， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点，，共线时，的值最小，最小值为，由垂线段最短可知，当时，的值最小, 即的值最小， ∵垂直平分，且， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴当的值最小时，的长为， 故答案为：． 【变式9-1】如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，两点之间线段最短；添加辅助线，构造轴对称，得到相等线段，相等的角是解题的关键． 作关于，的对称点，，连接，则当，是与，的交点时，的周长最短，连接、，由轴对称知，是等腰三角形， ，，得出结论． 【详解】作关于，的对称点，连接，，、， 则， ∴， ∴，是与，的交点时，的周长最短， 关于对称， ，，， 同理，，， ，， 是等腰三角形． ， ， ， 故答案为：． 【变式9-2】已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是 ． 【答案】 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，两点之间线段最短，解题的关键是熟练掌握线段垂直平分线的性质． 作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小，根据三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，计算即可得的度数． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，作线段、关于对称，则点关于的对称点在上，连接交于点，交于点，则，当时，最小， ， ， ， ， ，， ，， ， 故答案为：． 【变式9-3】如图，在中，，，，点为延长线上一点，连接，若，点和点分别是边和边上的动点，当最小时，的长度为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了三角形内角和定理，等腰三角形的判定与性质，角直角三角形性质，轴对称的性质等知识点，解题的关键是正确添加辅助线． 先证明，则，可求，作点P关于对称的点，连接，过点作于点，连接，则，此时，那么，由于，故的最小值为，当点三点共线，且点重合时，取得最小值，此时点为与的交点，可得为等腰直角三角形，此时，故取得最小值时，的长度为4． 【详解】解：在中，，， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， 作点P关于对称的点，连接，过点作于点，则，连接， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，当点三点共线，且点重合时，取得最小值，此时点为与的交点， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴此时 ∴取得最小值时，的长度为4， 故答案为：． 考点十：作图题 例10. 作图题：（不写作法，但要保留痕迹） (1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）． (2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等． (3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 (3)答案见解析 【分析】本题考查了利用轴对称变换作图，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，以及利用轴对称确定最短路径问题，熟记各性质是解题的关键． （1）找出四边形的四个顶点关于直线l的对称点的位置，然后顺次连接即可； （2）根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等分别作出的平分线和的垂直平分线，交点即为A； （3）根据轴对称确定最短路径问题，作出点B关于直线的对称点，连接与直线的交点即为点M． 【详解】（1）解：轴对称图形如下图所示： ； （2）点A如下图所示： ； （3）点M如下图所示： 【变式10-1】如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），画出关于直线对称的； (2)在图（1）的基础上，在的内部画点，使； (3)如图（2），画格点，使； (4)在图（2）的基础上，若点是上任意一点，在上画点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查作图，轴对称变换，平行线的判定，线段的垂直平分线，准确理解题意是解题的关键． （1）作出点关于直线的对称点，连接即可； （2）连接，作线段的垂直平分线交于点，点即为所求； （3）构造等腰直角三角形即可； （4）根据垂直平分线的作图方法作图即可． 【详解】（1）解：如下图即为所求； （2）解：如下图的点即为所求； （3）解：如下图的点即为所求； （4）解：如下图的点即为所求； 【变式10-2】在平面直角坐标系中有6×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在指定网格中画图，并回答问题．其中，格点，，直线与网格线交于M，N两点． (1)在图（1）中，画线段关于x轴对称的线段，其中M与对应，N与对应； (2)在图（1）中，在x轴上画出点D，使最小； (3)在图（2）中，点B关于x轴的对称点为，画出线段的垂直平分线l； (4)若格点C使，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)或或 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、垂直平分线的性质、勾股定理等知识点，灵活利用相关知识成为解题的关键． （1）先根据轴对称的性质确定确定其对称点，再连接即可解答； （2）由（1）得关于x轴的对称点，然后连接，与x轴的交点即为所求点D； （3）连接，然后确定到距离相等的格点，再过作直线即可； （4）先作出以为斜边的等腰直角三角形，然后延长即可到C点，最后确定点C的坐标即可． 【详解】（1）解：如图：线段即为所求； （2）解：如图：点D即为所求； （3）解：如图：直线即为所求； （4）解：如下图： ∴点C的坐标为或或． 【变式10-3】如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计作图，全等三角形的判定与性质，灵活运用所学知识点，并理解题意是解此题的关键． （1）利用三角形面积公式计算即可得解； （2）①根据三角形的高，中线的定义画出图形即可；②取点关于的对称点，连接交于点，连接，点即为所求； （3）取点，连接，连接交于点，连接并延长交于，连接并延长交于点，则即为所作． 【详解】（1）解：三角形的面积为：； （2）解：①如图，线段，即为所求； ②如图，点即为所求； ； （3）解：如图，线段即为所求， ， 由作图可得，点、关于直线对称， ∴，， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵，， ∴， ∴． 1．如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为 ． 【答案】/25度 【分析】本题考查了轴对称的性质，三角形的外角性质，解题的关键是熟练掌握轴对称的性质． 根据轴对称可得，再由三角形的外角定理得到，据此即可求解． 【详解】解：∵与关于直线对称，， ∴， ∵，， ∴， 故答案为： ． 2．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查三线合一，全等三角形的判定和性质，熟练掌握三线合一，一线三垂直全等模型，是解题的关键．作于点，作于点，三线合一，得到，证明，进而得到，再利用面积公式进行求解即可． 【详解】解：作于点，作于点，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴的面积为； 故答案为：64． 3．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时， ． 【答案】或 【分析】本题主要考查三角形内角和定理和等腰三角形的性质，解题的关键是等腰三角形的性质． 根据等腰三角形的性质分类讨论，①当时；②当时；③当时；分情况求解即可． 【详解】解：， ． 当为等腰三角形时分三种情况：①当时，，， ． ，点不与点，重合， ∴不合题意； ②当时，， ， ； ③当时，， ， ∴ ． 综上所述，为或． 故答案为：或． 4．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时， ． 【答案】 【分析】本题考查了轴对称最短路径问题，三角形外角的性质，三角形内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值；根据轴对称的定义可知：，则，利用外角的性质将转化为，再利用三角形内角和定理结合已知条件即可求解． 【详解】解：作关于的对称点，作关于的对称点，连接，即为的最小值； 根据轴对称的定义可知： ， 则 ． 故答案为：． 5．如图，是等边三角形，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，过点B作交的延长线于点G，过点B作于点H，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 【答案】①②④ 【分析】①根据等边三角形性质证，即可求证； ②在①前提下，根据是外角，即可求证； ③依据以上结论，过作于，求证，再证得，则和无固定数量关系； ④依据以上结论，结合平行线的性质，证得，找到线段关系，即可求证． 【详解】解：①判断是否正确 ∵是等边三角形， ∴，， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ②判断是否正确， ∵， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， 故②正确； ③判断是否正确； 过作于 ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， 但和无固定数量关系， ∴不一定等于， 故③错误； ④判断是否正确 ∵， ， ∴， ∵， ∴， 又∵，， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故答案为①②④． 6．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)在图1中，画出，使与关于y轴对称； (2)在图2中，找一格点D，使得，且； (3)在图2中，在射线的延长线上作一点P，使得； (4)在图2中，在（3）的条件下，若点M、N分别是、上的点，在上找一点Q，使． 【答案】(1)详见解析 (2)详见解析 (3)详见解析 (4)详见解析 【分析】本题主要考查轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图，熟练掌握轴对称图形的性质、勾股定理、图形与坐标及线段垂直平分线的尺规作图是解题的关键； （1）分别作点A、B、C关于y轴的对称点，进而问题可求解； （2）根据勾股定理可进行求解； （3）连接，然后作线段的垂直平分线，进而问题可求解； （4）作点N关于线段的对称点，然后连接，进而问题可求解 【详解】（1）解：所作图形如图所示： （2）解：所作图形如图所示： （3）解：所作图形如图所示： （4）解：所作图形如图所示： 7．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为． (1)求线段的长． (2)连接，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质等几何知识．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键． （1）先推导出，，则，即可解答． （2）先证明，得到，，由，，得到，求出的长即可． 【详解】（1）解：∵是边的垂直平分线， ． ∵是边的垂直平分线， ， ∴． ∵的周长为， ． （2）解：∵是边的垂直平分线， ， 是边的垂直平分线， ， ． ，， ∴， ． 8．如图1，在中，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，连接，直接写出图中的所有等腰三角形（和除外）． 【答案】(1)见解析 (2)，，， 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，熟练寻找图中的等腰三角形是解题的关键． （1）利用证明可证得答案，得，进而可求解，即可证明结论； （2）根据可得为等腰三角形；求得，可得为等腰三角形，证明可得，利用线段的差可得，推出为等腰三角形． 【详解】（1）证明：在和中， ， ， ， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ，即， 为等腰三角形， ，， ， ，， ， ， ， ， 为等腰三角形， ， ， ， ，即， 为等腰三角形， 综上，图中的所有等腰三角形有，，，（和除外）． 9．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 【答案】(1)①；；②结论仍然成立，理由见解析 (2)16 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，熟练掌握“手拉手模型”，并会通过辅助线构造模型是解题的关键． （1）①先证，再证，则可得，，进而可得；②结论仍然成立，方法同①即可证明； （2）过点作，交于点，构造等腰直角三角形，再同（1）中方法证明得到，利用含30度角的直角三角形的性质求出的长，过点A作于G，则都是等腰直角三角形，据此求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：；； ②结论仍然成立，理由如下： ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴结论仍然成立； （2）解：∵，且， ∴； 如图所示，过点作，交于点， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵是以A点为直角顶点的等腰直角三角形， ∴，， ∴， ， ∴， 即， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图所示，过点A作于G，则都是等腰直角三角形， ∴， ∴． 10．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 【答案】(1)证明见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质综合，掌握全等三角形的构造是解题关键． （1）根据两个等边三角形的性质，证明，即可求得； （2）作，分别证明与即可证得； （3）延续前两问的解题思路，构造出等边，通过三角形三边关系确定的最小值，最后根据三角形外角和定理即可求得． 【详解】（1）证明：与为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ； （2），理由如下， 如图，连接，过点E作延长线于点H， 与均为等边三角形， ， ， ， 在与中， ， ， ， ， ，， ，， 在与中， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：， 如图，过点A在右侧作，且，连接， 在与中， ， ， ，， ， ， 当三点共线时，取得最小值， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 故答案为：． 第 1 页 共 3 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 轴对称 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 【知识点1 轴对称及其性质】 【轴对称图形与对称轴】 1.定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴．这时，我们也说这个图形关于这条直线（成轴）对称． 2.判断一个图形是不是轴对称图形，可利用轴对称图形的定义，将图形对折，看是否能够完全重合，若能够完全重合，则这个图形是轴对称图形，否则这个图形不是轴对称图形． 【注意】 （1）对称轴是一条直线，而不是射线或线段． （2）一个轴对称图形的对称轴可以有1条，也可以有多条，还可以有无数条． （3）轴对称图形是对于一个图形而言的，它表示具有一定特性（轴对称性）的某一类图形． 【两个图形成轴对称】 1．轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点是对应点，叫做对称点． 2．轴对称和轴对称图形的区别与联系 名称 关系 轴对称 轴对称图形 区别 意义不同 两个图形之间的特殊位置关系 一个形状特殊的图形 图形个数 两个图形 一个图形 对称轴的位置不同 可能在两个图形的外部，也可能经过两个图形的内部或它们的公共边（点） 一定经过这个图形 对称轴的数量 只有一条 有一条或多条 联系 （1）如果把成轴对称的两个图形看成一个整体，那么它就是一个轴对称图形 （2）如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，那么这两个图形成轴对称 【两个图形成轴对称和轴对称图形的性质】 （1）两个图形成轴对称的性质：如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （2）轴对称图形的性质：轴对称图形的对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线． （3）轴对称图形（或关于某条直线对称的两个图形）的对应线段（对折后重合的线段）相等，对应角（对折后重合的角）相等． （4）成轴对称的两个图形全等；轴对称图形被对称轴分成的两部分也全等，但全等的两个图形不一定是轴对称图形． 【知识点2 线段的垂直平分线的性质】 【线段垂直平分线的定义及性质】 1.定义：过线段的中点且与线段垂直的直线是这条线段的垂直平分线。 如图，若点C是AB的中点且PC⊥AB，则直线l是线段AB的垂直平分线。 2.性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等． 如图，直线l⊥AB，垂足为C，AC=BC，点P在l上.求证PA=PB. 证明：当点P与点C不重合时， ∵l⊥AB，∴∠PCA=∠PCB，又AC=BC，PC=PC，∴△PCA≌△PCB(SAS)，∴PA=PB. 【线段垂直平分线的判定】 方法①：根据定义证明一条直线经过线段的中点且与线段垂直。 方法②：到线段两端点距离相等的点一定在这条线段的垂直平分线上。证明一个点到线段的两个端点的距离相等。 【作已知线段的垂直平分线】 已知：线段AB，求作：线段AB的垂直平分线． 作法： ①以线段AB两个端点为圆心，大于线段长度的一半为半径画圆弧，两圆弧在线段的两侧别分交于C、D，如图。 ②连接CD，过CD的直线即为线段的垂直平分线。如图所示： 【知识点3 画轴对称图形】 【轴对称变换】 1.定义：由一个平面图形得到与它关于某一条直线对称的图形的这一过程叫做轴对称变换。 2.性质： ①由一个平面图形可以得到与它关于某一条直线对称的图形，这两个图形全等。 ②新图形上的每一点都是原图形上的某一点关于直线的对称点。 ③连接任意一组对应点的线段一定被对称轴垂直平分。 【作轴对称图形】 1.画法：几何图形都可以看作由点组成.对于一些规则的几何图形，与画平移后的图形类似，只要画出图形中的一些特殊点(如线段端点)的对称点，连接这些对称点，就可以得到与原图形成轴对称的图形. 2.具体步骤： ①找图形的关键点。 ②过关键点作对称轴的垂线并延长，使延长部分的长度等于关键点到垂足点的长度，从而得到关键点的 对应点 。 ③按照原图形连接各对应点。 【关于坐标轴对称的点的坐标的特点】 1.特点：点(x，y)关于x轴对称的点的坐标为(x，-y)；点(x，y)关于y轴对称的点的坐标为(-x，y). 2.在平面直角坐标系中作已知图形关于某条直线的轴对称图形的方法 （1）写出坐标—写出对称点的坐标； （2）描点—根据对称点的坐标描点； （3）连接—按原图形对应连接所描各点得到所求的图形. 【知识点4 等腰三角形】 【等腰三角形的性质】 性质1：等腰三角形的两个底角相等（简写成“等边对等角”）． 性质2：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合（简写成“三线合一”）． 【等腰三角形的判定】 1.定义法：有两边相等的三角形是等腰三角形； 2.如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简写成“等角对等边”）． 数学语言：在△ABC中，∵∠B=∠C，∴AB=AC（等角对等边）． 【作一个等腰三角形】 尺规作图：已知等腰三角形的底边长为a，底边上高的长为h（如图），求作这个等腰三角形. 作法：如图（2） ①作线段AB=a；②作线段AB的垂直平分线MN，与AB相交于点D；③在MN上取一点C，使DC=h； ④连接AC，BC，则△ABC就是所求作的等腰三角形. 【知识点5 等边三角形】 【等边三角形的性质】 性质：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60° ． 【注意】 （1）等边三角形是轴对称图形，它有三条对称轴； （2）等边三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的一切性质． 【等边三角形的判定】 1.定义法：：三边都相等的三角形是等边三角形． 2.三个角都相等的三角形是等边三角形． 3.有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形． 【知识点6 含30°角的直角三角形的性质】 性质：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半． 证明：如图，延长BC到D，使CD=BC，连接AD，则AC是BD的垂直平分线，所以AB=AD. 又因为∠B=90°-∠BAC =90°-30°=60°，所以△ABD是等边三角形，所以BD=AB.又BD=2BC， 所以BC=AB.由此可以得到上述结论. 考点一：轴对称性质的应用 例1．如图，已知点是内任意一点，点、关于对称，点、关于对称，连接，分别交，于，，连接，．若，求的周长． 【变式1-1】如图，中，点在上，连接，分别以、为对称轴，作点的对称点、，连接、． (1)如图1，若，求的度数． (2)如图2，若E，A，F三点在同一直线上，直接写出的度数． 【变式1-2】在中，，，在的外侧作直线，作点关于直线的对称点，连接，，，其中交直线于点． (1)如图1，①若，，求的周长；②若，求的度数； (2)如图2，当时，作于点，若，，求的长． 【变式1-3】如图，在中，，点M是边上一个动点（不与点A、B重合），点A和点Q关于直线对称，点B和点P关于直线对称，直线与线段交于点E，连接，设． (1)若，直接写出的度数； (2)试判断点P、M、Q是否在同一条直线上？并说明理由； (3)若，，，求与的面积之和的最大值． 考点二：线段垂直平分线的性质应用 例2.如图，在中，．若是三边垂直平分线的交点，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】如图，中，平分，的中垂线交于点E，交于点F，连接、若，，则的度数为 ． 【变式2-2】如图，中，，垂直平分，交于点F，交于点E，且．若周长为13，， ． 【变式2-3】如图，在中，边的垂直平分线分别交，于点M，D，边的垂直平分线分别交，于点N，E，，的延长线交于点O．若，，则 ．    考点三：线段垂直平分线的判定与性质综合 例3.如图，在中，AB的垂直平分线EF交BC于点E，交AB于点F，点D为线段CE的中点，，．求证：． 【变式4-3】如图，在中，平分，，于点E，点F在上，． (1)求证：． (2)连接，求证：垂直平分． (3)若，，求的长． 【变式3-2】如图，在中，直线垂直平分边，分别交，于点，． (1)若，的周长为，求的长度； (2)若，求的度数； (3)已知点在线段上，且点在边的垂直平分线上，连接，试判断点是否在边的垂直平分线上，若在，请证明；若不在，请说明理由． 【变式3-3】如图1，中，，点D是上点，连接，的平分线交于点E，并延长至点F，使得，且． (1)求证：． (2)如图2，若，点H为上一点，连接，K为中点，且，求证：． 考点四：等腰三角形的性质应用（等边对等角） 例4. 如图，在中，，为边上两点，且满足，，连接，．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】如图，C，E和B，D，F分别在的两边上，且，若，则的度数为 ． 【变式4-2】如图，在中，，点D、E在的延长线上，点G是上一点，且，点F是上一点，且．若，则 ． 【变式4-3】如图，在中，过顶点的一条直线把分割成两个等腰三角形，且是其中一个等腰三角形的顶角． (1)当时，是多少度？说明理由； (2)当为中最小角时，请探究与之间的数量关系． 考点五：等腰三角形的性质应用（三线合一） 例5. 如图，已知的面积为4，平分，且于点，那么的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【变式5-1】已知中，为的中点，为的平分线上的点，于，交的延长线于，，求证：． 【变式5-2】如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，为线段的中点，． (1)求证：； (2)若，求的度数． 【变式5-3】如图1是一个平分角的仪器，其中． (1)如图2，将仪器放置在锐角上，使点与点重合，，分别在边，上，沿画一条射线，交于点，求证：平分； (2)如图3，在（1）的条件下，过点作，垂足为，在边上，若，求证：． 考点六：等腰三角形的判定与性质综合 例6. 如图，在中，，平分，点，分别在边，上，，． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求的长． 【变式6-1】如图，在中，，，是的中点．动点、从点出发，以每秒1个单位长度的速度运动到各自的终点、终点．连接、和．设点的运动时间为． (1)求证：是等腰三角形； (2)若是等腰三角形，直接写出的大小． 【变式6-2】如图，为的角平分线，E为的中点，交的延长线于点F，交于点G． (1)求证：为等腰三角形． (2)求证：． (3)求的值． 【变式6-3】如图，为的角平分线，交的延长线于点，． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长； (3)求证：． 考点七：等边三角形的判定与性质综合 例7. 如图①，，，，交于点M，交于点O，连接． (1)求证：； (2)用含的式子表示的度数； (3)当时，分别取的中点P，Q，连接，如图②所示，判断的形状，并加以证明． 【变式7-1】如图，已知，，连接． (1)求证：为等边三角形； (2)若． ①的度数为______； ②若，，求的长． 【变式7-2】在等腰中，． (1)如图1，求证； (2)如图2，点是的中点，求证：是等边三角形； (3)如图3，在（2）的条件下，点R在上，点D在的延长线上，点K在延长线上，连接，若，求的长． 【变式7-3】问题：在等边中，点在边上，点在的延长线上，且，请完成下列探究问题． (1)【特例引路】当点为的中点时，如图1，请判断线段与的数量关系，并说明理由． (2)【猜想证明】如图2，点在边上，但点不在的中点处，猜想与的数量关系，并说明理由．（辅助线提示：过点作交于点） (3)【变式探究】如图3，点在的延长线上，点在线段上（不与点重合），请你探究（2）中的结论是否仍然成立？若成立，给予证明：若不成立，写出与的数量关系，并说明理由． 考点八：多结论问题 例8. 如图，已知和均是等边三角形，点B，C，E在同一条直线上，与相交于点O，与交于点G，与相交于点F，连接，，则下列结论：①；②；③；④；其中正确的结论有 ． 【变式8-1】如图，以的边、为边向外作等边与等边，连接交于点，下列结论： ； 平分； ； ；其中正确的有 ． 【变式8-2】如图，已知与都是等腰直角三角形，，连接、、、，，给出下列结论：①；②是等边三角形；③平分；④的度数为120°．其中正确的结论为 ． 【变式8-3】如图，是等边三角形，D，E分别是的延长线和的延长线上的点，，延长交于点F，G是上一点，且，交于点H．下列结论：①；②；③；④H为中点；⑤．其中正确的是 （填序号）． 考点九：最短路径问题 例9. 如图，在中，，，，点在边上，且，的垂直平分线分别交，于点，，点为直线上一动点，点为边上一动点，当的值最小时，的长为 ． 【变式9-1】如图，点P为内一点，点M，N分别是射线上一点，当的周长最小时，，则的度数是 ． 【变式9-2】已知：如图，中，，，点是边上的定点，点、点、点分别是边、边和边上的动点．当最小时，与的度数和是 ． 【变式9-3】如图，在中，，，，点为延长线上一点，连接，若，点和点分别是边和边上的动点，当最小时，的长度为 ． 考点十：作图题 例10. 作图题：（不写作法，但要保留痕迹） (1)作出下面图形关于直线l的轴对称图形（图1）． (2)在图2中找出点A，使它到M，N两点的距离相等，并且到OH，OF的距离相等． (3)在图3中找到一点M，使它到A、B两点的距离和最小． 【变式10-1】如图是由小正方形组成的网格，图中的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成画图，画图结果用实线表示，画图过程用虚线表示． (1)如图（1），画出关于直线对称的； (2)在图（1）的基础上，在的内部画点，使； (3)如图（2），画格点，使； (4)在图（2）的基础上，若点是上任意一点，在上画点，使． 【变式10-2】在平面直角坐标系中有6×8的正方形网格，小正方形的顶点称为格点，仅用无刻度的直尺在指定网格中画图，并回答问题．其中，格点，，直线与网格线交于M，N两点． (1)在图（1）中，画线段关于x轴对称的线段，其中M与对应，N与对应； (2)在图（1）中，在x轴上画出点D，使最小； (3)在图（2）中，点B关于x轴的对称点为，画出线段的垂直平分线l； (4)若格点C使，直接写出所有满足条件的点C的坐标． 【变式10-3】如图是的小正方形构成的网格，每个小正方形的边长为1单位，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A、B、C都是格点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求完成画图，并回答问题． (1)直接写出三角形的面积_______； (2)在图1中： ①作的高，作中线； ②在高上画点P，连接，，使； (3)在图2中，M为上任意一点，在上画点N，使． 1．如图，在四边形中，，连接，点在边上，连接，与关于直线对称，若，则的度数为 ． 2．如图，在等腰中，，D为延长线上一点，，垂足为C，且，连接，若，则的面积为 ． 3．如图，在中，，．点在边上运动（不与，重合），连接，作，使交边于点．在点的运动过程中，当是等腰三角形时， ． 4．如图，，点分别在边上，点分别在边上，当取最小值时， ． 5．如图，是等边三角形，D是上一点，E是上一点，，相交于点F，过点B作交的延长线于点G，过点B作于点H，下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是 ． 6．如图，是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，仅用无刻度直尺画图（保留作图痕迹，作图过程用虚线，作图结果用实线）． (1)在图1中，画出，使与关于y轴对称； (2)在图2中，找一格点D，使得，且； (3)在图2中，在射线的延长线上作一点P，使得； (4)在图2中，在（3）的条件下，若点M、N分别是、上的点，在上找一点Q，使． 7．如图，在中，边的垂直平分线交于点D，边的垂直平分线交于点E，与相交于点O，连接，已知的周长为，的周长为． (1)求线段的长． (2)连接，求线段的长． 8．如图1，在中，点在上，点在上，，与相交于点． (1)求证：； (2)如图2，若，，连接，直接写出图中的所有等腰三角形（和除外）． 9．如图1，在中，为锐角，点为射线上一动点，连接，以为一边， A点为直角顶点，且在的右侧作等腰，连接． (1)如果，，解答下面问题： ①如图1，当点在线段上时（与点不重合），线段，之间的位置关系为 ，数量关系为 ． ②如图2，当点在线段的延长线上时，①中的结论是否仍然成立？请说明理由． (2)如图3，如果，，当，且时，若，求的面积． 10．已知是等边三角形，点为射线上一动点，连接，以为边在直线右侧作等边． (1)如图1，当点在线段上，连接，求证：； (2)如图2，当点是延长线上一点，过点作于点，猜想线段、、之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，，分别是，上两个动点，满足，且，当最小时，直接写出的大小为_____（用含的式子表示）． 第 1 页 共 3 页 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