专题06 将军饮马问题（必备知识+4题型8重难点+分层检测）（期中复习讲义）八年级数学上学期新教材人教版

专题06 将军饮马问题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 两定一动型（四种） 能准确识别两定一动型的不同情形，掌握其图形构造与相关问题求解方法 重要考点，常结合具体几何图形，在选择题、填空题或几何解答题中考查，需熟练运用几何原理分析 一定两动型（三种） 能清晰分辨一定两动型的各类情况，学会针对不同情况进行几何分析与计算 高频考点，易因动点运动情况复杂而出错，多在几何综合题中出现，考查对动点轨迹和几何关系的把握 两动两定型（两种） 理解两动两定型的特征，能运用相应几何知识解决此类问题 关键考点，常与三角形、四边形等图形的性质结合，在几何证明与计算中考查，是提升几何综合能力的重要部分 平移线段型（两种） 掌握平移线段型问题的特点，能利用平移的性质解决线段相关的几何问题 常考考点，常与平行线、全等三角形等知识结合，在几何图形的变换与计算中考查，应用较为广泛 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【本节内容常用勾股定理相结合考查，下面为勾股定理基础知识】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 题型一 两定一动型 重难点一 同侧/异侧，求线段和的最小值 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 【答案】D 【分析】本题考查等边三角形的性质和判定，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．作点关于的对称点，连接，如图所示，由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为，由等边三角形的判定与性质求出边长即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴， ∵为中点，， ∴，则， 作点关于的对称点，连接，如图所示： 由两点之间线段最短可知，此时的值最小，最小值为， ∴，则， ∴， ∵， ，即， 在等边中，，，则为等边三角形， ， 故选：D． 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质、线段垂直平分线的性质、两点之间线段最短、垂线段最短等知识，熟练掌握等边三角形的性质是解题关键．连接，先根据等边三角形的性质可得垂直平分，根据线段垂直平分线的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短可得当点共线时，的值最小，最小值为，根据垂线段最短可得当时，的值最小，然后根据等边三角形的性质即可得． 【详解】解：如图，连接， ∵在等边中，的平分线交于点， ∴垂直平分，， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，当时，的值最小，即的值最小， ∴此时有， ∴， 即的最小值是， 故答案为：． 3．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，在锐角中，，，平分，M、N分别是 、上的动点，则的最小值是 ． 【答案】7 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、两点之间线段最短、垂线段最短、含30度角的直角三角形的性质等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．在上截取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，则可得，再根据两点之间线段最短、垂线段最短可得当时，的值最小，即的值最小，然后根据含30度角的直角三角形的性质求解即可得． 【详解】解：如图，在上截取一点，使得，连接， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 由两点之间线段最短可知，当点共线时，的值最小，最小值为， 由垂线段最短可知，如图，当时，的值最小， ∵在中，，， ∴此时， 即的最小值是7， 故答案为：7． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）某社区计划在一条笔直的公路（记为直线l）旁新建一个公园．公园需要同时服务位于公路同侧的两个居民小区A和B．为了方便居民出行，公园选址P应满足：从小区A到公园P的距离与从小区B到公园P的距离之和最小．已知小区A和B的位置如图所示（或描述：A点在公路l上方，B点也在公路l上方，且A、B两点位于公路的同一侧）． 问题： (1)请利用轴对称的知识，在图中（或自己画图）确定公园P的位置，使最小．要求保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． (2)证明你确定的点P确实使最小． (3)若已知A点到公路l的距离为300米，B点到公路l的距离为400米，且A、B两点在公路上的垂足C、D之间的距离米．求此时的最小值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)米 【分析】此题考查轴对称的性质，最短路径问题，三角形三边关系，两点之间线段最短，勾股定理，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）作点A关于直线l的对称点，连接交直线l一点，即为点P，此时最小； （2）取直线l上点C，连接，由三角形三边关系得，即可推出，点P确实使最小． （3）过点作交延长线于点E，由此得到，根据平行线间的距离处处相等得到米，米，得到米，根据勾股定理求出米，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：如图，作点A关于直线l的对称点，连接交直线l于一点，即为点P，此时最小； （2）解：取直线l上点C，连接， 点A关于直线l的对称点， ， ∵ ∴， 、、三点共线时，最短，此时与点重合， ∴点P确实使最小． （3）解：如图，过点作交延长线于点E，由（2）可知，的最小值为， ∵， ∴， ∴米，米， ∵米， ∴米， ∴米， ∴的最小值为米 5．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 【答案】解：【分析问题】        两点之间，线段最短 【解决问题】图见解析． 【分析】本题考查了轴对称之将军饮马模型，掌握轴对称变换和两点之间线段最短是解题的关键． （1）通过作对称点，将将军饮马问题转化为两点之间线段最短的问题，利用轴对称性质得到相等线段，再结合三角形三边关系证明路径最短； （2）作点关于草地的对称点，作点关于河的对称点，连接即为最短路径． 【详解】（1）∵直线l是点B，的对称轴，点C，在l上， ∴，， ∴，， 由两点之间线段最短可知，， ∴， 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的转化在直线的两侧，从而利用“两点之间线段最短”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接两点的线中，线段最短）。 故答案为：        两点之间，线段最短； （2）如图，即为最短路径． 重难点二 同侧/异侧，求线段差的最大值 6．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查关于轴对称的点的坐标特点，线段最值问题，一次函数与y轴交点，正确理解最值问题并作出点是解题的关键．作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大，设直线的解析式为，将，代入，利用待定系数法求出解析式即可得到答案． 【详解】解：如图，作点关于轴的对称点，连接交轴于一点，即为点，此时值最大， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， 直线的解析式为， 当时，， ， 故选：A． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形中动点和线段和差最值问题，等边三角形的性质，根据等边三角形的性质和面积计算公式求得的边长为，结合等边三角形的性质，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号，由轴对称可知，当、、三点共线，取等号，即可求解． 【详解】解：∵是等边三角形， ∴，过点作交于， 则，且所在直线为过点的对称轴， 即点是直线上的一动点，如图， ∵， ∴， ∵为中点， ∴， 在中，由三角形的三边关系可得：，当、、三点共线，即当点运动到点时，取等号， ∴取得最大值，最大值为； ∵点关于的对称点为点， ∴， ∴，当、、三点共线，取等号， ∴的最小值为， ∵是等边三角形，为的中点， ∴， 则， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：，． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查利用轴对称解决线段差值的最大值，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点，连接，进而得到，进而得到当三点共线时，的最大值为的长，证明为等边三角形，进而得到的长，即可．解题的关键是通过轴对称构造特殊三角形． 【详解】解：作点关于的对称点，连接， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的最大值为的长， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴的最大值为； 故答案为：． 9．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查动点最值问题-三角形三边关系模型，涉及图形与坐标、待定系数法确定一次函数关系式、一次函数图像与性质、点的对称等知识，根据动点最值问题-三角形三边关系模型的解法，作出图形，如图所示，即可得到取得最大值时，点为直线与轴的交点，利用待定系数法确定函数关系式，求出直线与轴的交点坐标即可得到答案，熟练掌握待定系数法确定一次函数关系式是解决问题的关键． 【详解】解：根据题意，作出关于轴的对称点，连接并延长交轴于，如图所示： ，在中，由三角形三边关系可得，则当三点共线时，，即取得最大值时，点为直线与轴的交点， 设直线的表达式为，则将，两点代入得 ，解得， 直线：， 当时，，解得，即使取得最大值时则的坐标为， 故答案为：． 10．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 【答案】(1)30° (2)见解析 (3)2 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到，进而得到．由角平分线的概念得到，进而利用三角形内角和定理求解即可； （2）根据含角直角三角形的性质得到，进而求解即可； （3）作C点关于直线的对称点，根据角平分线的定义可判断在直线上，连接的直线就是，则当P点和A点重合时，最大，即可求解． 【详解】（1）解：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明∶ ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解∶ 作C点关于直线的对称点， ∵平分． ∴在直线上， ∴连接的直线就是， ∴当P点和A点重合时，最大， 此时的最大值为， ∵， ∴的最大值为2． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质和含角直角三角形的性质，轴对称的性质等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 题型二 一定两动型 重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，垂线段最短，正确进行转化是解题的关键．延长到点，使，连接，过点作于点，连接，，由得到当点重合，且点共线时，最小，即为的长，再由即可求解． 【详解】解：如下图所示，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，， ，， 是的垂直平分线，， ∴， ∴， 当点重合，且点共线时，最小，即为的长， ， ， 解得：． 故选：A ． 12．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角形的性质，轴对称—最短路线问题，垂线段最短．解此题的关键是正确作出辅助线．作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N，从而可确定，即最小时，最小．再根据垂线段最短可知的长即为最小时，最后根据三角形面积公式求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴直线是图形的对称轴， 如图，作点F关于的对称点M，连接，过点B作于点N， ∴， ∴， ∴最小时，最小． 当时最小，即为的长， ∵，， ∴， ∴的最小值是4． 故选C． 13．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】本题考查等腰三角性质，中垂线的性质，连接，三线合一推出垂直平分，进而得到，得到，得到当三点共线时，的值最小为的长，再根据垂线段最短，得到当时，最小，进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵，是的中线， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小为的长， ∵为上的动点， ∴当时，最小， 此时：， ∵ ∴， ∴的最小值为8； 故选：C． 14．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】8 【分析】本题考查了等腰三角形，垂直平分线的性质，掌握垂直平分线的性质，垂线段最短的知识是解题的关键． 如图所示，过点作于点，交于点，连接，根据三角形面积的计算得到，由垂直平分线的性质得到，，根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值，由此即可求解． 【详解】解：∵，，，如图所示，过点作于点，交于点，连接， ∴，即， 解得，， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， 根据垂线段最短，得到当点三点共线，且垂直于时，的值最小，即最小值为的值， ∴的最小值为， 故答案为：8 ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了坐标与几何图形，垂线段最短，解题的关键在于利用等面积法求解．根据N为线段上一动点，P为线段上一动点，过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接，根据求解，即可解题． 【详解】解：过点M作于点P，交于点N，此时的最小值为，连接， ，，， ， ， ， 即的最小值为4， 故答案为：4． 16．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可得，再利用三角形面积公式即可求解； （2）根据垂直平分线的性质可得，结合垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解： 中，，是边上的中线， ， ， ， ； （2）解：如图，连接．    由（1）可得垂直平分线段， ， ， 由垂线段最短可得时，取最小值，最小值为， 的最小值为． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质，垂线段最短等知识点，解题的关键是掌握线段的垂直平分线的性质，即线段的垂直平分线上的点到线段两端的距离相等． 重难点二 求周长最小值（角内一点） 17．（2025年河北省邯郸市馆陶县二模数学试题）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质、等腰直角三角形的判定与性质、垂线段最短，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、，由轴对称的性质可得的周长为，即当最小时，的周长最小，证明为等腰直角三角形，得出，由垂线段最短可得，当时，最小，即最小，结合题意可得的最小值为，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：如图，在上取一点，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于，交于，连接、、、、， ， 由对称轴的性质可得：，，，，，， ∴的周长为， ∴当最小时，的周长最小， ∵， ∴， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， 由垂线段最短可得，当时，最小，即最小， ∵点到的距离为， ∴的最小值为， ∴的最小值为， 故选：B． 18．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，已知是轴上的一点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数与几何的综合应用，坐标与轴对称，作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，与轴的交点即为点，与直线的交点即为点，求出直线的解析式，与直线联立，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴时，，时，， ∴， ∴， ∴， 作点关于轴的对称点，关于直线的对称点，连接，交于点，作， 则：的周长，， ∴当在线段上时，的周长最小， ∵，，， ∴，，为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵对称， ∴为的中点， ∴， 设直线的解析式为，把代入，得：，解得：， ∴， 联立，解得：， ∴； 故选C． 19．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】此题考查了轴对称的性质，以及线段垂直平分线的性质．由题意得，，从而得出可判断②，由且的大小没有确定，可得出的大小没有确定，可判断①，由对称性可得为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线，从而得出，，从而得出的周长，可判断③，由题意得，可得，从而得出，即得出，，所以，，再求解即可判断④． 【详解】解： 关于，的对称点分别是点，点， ∴，， 故②正确， ，的大小没有确定， 的大小没有确定， 不一定是等边三角形，故①错误， 关于，的对称点分别是点，点， 为线段的垂直平分线，为线段的垂直平分线， ∴，， 的周长， 故③正确， 如图，设与交于点E，与交于点F， 由题意得， ， ， ∵，， ∴，， ， ， ， ，故④正确， 综上，正确的是②③④， 故选：C． 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称的性质，熟知如果两个图形关于这条直线对称，那么这两个图形的对应点的连线被这条直线垂直平分是解题的关键．先根据轴对称的性质得出，，再由的周长是，即可求出的长． 【详解】解：点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N， ，， 的周长是， ， ， 故答案为：． 21．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】A 【分析】此题考查了轴对称的性质、等边三角形的判定和性质等知识．作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则，得到的周长，此时的周长最小值为的长，再证明是等边三角形，得到即可． 【详解】解：作点A关于直线m、n的对称点D、E，连接，交m、n于B、C，则， ∴的周长， ∴此时的周长最小值为的长， 则：， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的周长最小值为， 故选：A． 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 【答案】(1)图见解析，两点之间线段最短 (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了轴对称的性质，等边三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是熟练掌握“将军饮马”等模型． （1）依据是两点之间线段最短得出答案； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，连接，点即为所求； （3）分别作关于、的对称点、，连接，交、于、，则的周长最小，进而根据轴对称的性质推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】（1）连接，与直线相交于一点，则有最小值．作图依据是两点之间线段最短． 故答案为：两点之间线段最短； （2）如图，点即为所求． （3）如图2， 作法：（Ⅰ）作关于的对称点， （Ⅱ）作点关于的对称点， （Ⅲ）连接，分别交于点M，交于N， 则的周长最小， 连接、， ∵点C和点Q关于对称， ∴，， 同理可得， ，， ∴， ， ∴为等边三角形， ∴， ∴的周长． 重难点三 求周长最小值（角内两点） 23．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查轴对称－最短路线问题，等边三角形的判定与性质，轴对称的性质，能用一条线段的长表示出三条线段的和的最小值是解题的关链． 作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接，根据轴对称的性质，得到的最小值为，推出为等边三角形，进一步得出结果． 【详解】解：如图，作点关于的对称点，点关于的对称点，连接交于点，交于点，连接， 则， ， 的最小值为， 由轴对称的性质得，，，， ， ∵， 为等边三角形， ， 即的值最小为3； 故答案为：3． 24．（2021八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为 ． 【答案】/ 【分析】作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于P，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD，根据两点间的距离公式即可得到结论． 【详解】解：作点A关于y轴的对称点C，点B关于x轴的对称点D，连接CD交y轴于p，交x轴于Q，则此时，四边形APQB的周长最小，且四边形的最小周长=AB+CD， ∵点A的坐标是(2，4)，点B的坐标是(6，2)， ∴C(-2,4)，D(6，-2)， ∵AB=，CD=， ∴四边形APQB的最小周长=10+， 故答案为：10+． 【点睛】本题考查了坐标与图形性质，轴对称-最短路径问题，两点间的距离公式，正确的确定点P和点Q的位置是解题的关键． 重难点四 与角度有关的计算问题 25．（吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、等边对等角、三角形外角的定义及性质、三角形内角和定理，先由题意可得，由轴对称的性质结合等边对等角可得，，由三角形外角的定义及性质结合三角形内角和定理可得，计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵在四边形中，，， ∴， ∴， 由轴对称的性质可得：，， ∴，， ∵，，， ∴， 由可得：， 故选：A． 26．（陕西省咸阳市秦都区方圆学校2024-2025学年八年级上学期开学摸底考试数学试题）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称的性质，线段垂直平分线的性质，等边对等角，三角形内角和定理等知识，利用对称作辅助线是解决最短问题的关键． 延长到使得，延长到使得，连接，，得出当、、、依次共线时，的周长最小为，此时，推出，进而得出的度数． 【详解】解：如图，延长到使得，延长到使得，连接，， ， ∴关于对称，关于对称， ， ， 同理：， 的周长，且当、、、依次共线时，的周长最小为， 此时，∵，， ， ， ， ， ， ， ， 故选：C． 27．（广东省汕头潮南区峡山南里学校2024—2025学年上学期八年级数学科期末考试卷）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称最短线段问题，两点之间线段最短，等边三角形的判定和性质，作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，由轴对称的性质可得，，，，，，即得，可知当点在上时，的周长的最小，最小值，进而得到是等边三角形，即得到，再根据轴对称的性质即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：作点关于的对称点为，关于的对称点为，连接，如图， 由轴对称的性质可得，，，，，，， ∴， 可知当点在上时，的周长的最小，最小值， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵，， ∴，即， 故选：． 28．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的内角和，三角形外角的性质，轴对称的性质． 由，根据三角形的内角和定理可得到的值，再根据对顶角相等可以求出的值，然后由点P与点、对称的特点，求出，进而可以求出的值，利用三角形的外角的性质和三角形内角和即可求出． 【详解】∵ ∴ ∵， ∴ 又∵点关于对称的对称点分别为点 ∴，，， ∴ ∴ 即 ∴ ∴ 故选：C 29．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接， ， ， 的周长 ，即此时的周长有最小值， 由轴对称的性质可得，， ， ， ， ， 故答案为：． 30．（24-25八年级上·全国·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等边三角形的性质与判定，轴对称的性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．过E作，交于N，连接交于F，连接，推出M为中点，求出E和M关于对称，根据等边三角形性质求出，即可求出答案． 【详解】解：过E作，交于N， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵是边上的中线，是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴E和M关于对称， 连接交于F，连接， 此时的值最小， ∵是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， 故答案为． 31．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 【答案】模型解决：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边 模型应用：9 模型拓展：100 【分析】本题考查轴对称性质、垂直平分线性质、三角形三边关系及周长最值问题，解题关键是用轴对称转化线段，结合几何性质（垂直平分线、三角形三边关系等）求解最短路径与周长最值． 模型解决：利用点B与点关于直线l对称，根据垂直平分线性质得，，将转化为，再依据三角形三边关系，证得最小，核心是借轴对称和三角形性质转化、推导最短路径 ． 模型应用：根据题意知点C关于直线m的对称点为点B，故当点P与点D重合时，值的最小，周长有最小值，求出长度即可得到结论． 模型拓展：设点P关于、对称点分别为、，当点A、B在上时，周长为，此时周长最小．根据轴对称的性质，可求出的度数． 【详解】模型解决：如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ，， ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，把A，B在直线同侧的问题转化为在直线的两侧，从而可利用“两点之间线段最短”，或即“三角形两边之和大于第三边”的问题加以解决． 故答案为：，，，两点之间，线段最短或三角形两边之和大于第三边； 模型应用：解：如图，直线m与交于点D， ∵直线m垂直平分， ∴B、C关于直线m对称， ∴当P和D重合时，的值最小，最小值等于的长， ∵，， ∴周长的最小值是． 故答案为：9； 模型拓展：分别作点P关于、的对称点P′、P″，连接、、，交、于点A、B，连接、，此时周长的最小值等于． 由轴对称性质可得，，，， ∴， ∴， 又∵，， ∴． 故答案为100． 题型三 造桥选址问题 32．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 【答案】 【分析】作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P，则，则，此时P点到A与B的距离和最小，过作，延长与交于点M，则，得到，再得到是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，得到，即可得到答案． 【详解】解：作B点关于直线b的对称点，连接交直线b于点P， ∴， ∴，此时P点到A与B的距离和最小， 过作，延长与交于点M， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴点P与C点的距离是， 故答案为： 【点睛】此题考查了轴对称最短路径问题，还考查了等腰直角三角形的判定和性质，按照要求正确作图是解题的关键． 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    【答案】见解析 【分析】由于含有固定线段“桥”，需要将点向下平移至点，点向右平移至点，构造平行四边形进行求解即可． 【详解】解：如图所示，   ， 将点向下平移至点，使的长等于河宽，将点向右平移至点，使的长等于河宽；连接，与河岸相交于点，；过点作于点D，过点作于点，则，即为两桥的位置． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． 34．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，可得四边形EFCH是平行四边形，从而得到G'H=EG'+EH=EG+CF，再由勾股定理求出HG'的长，即可求解． 【详解】解：如图，作G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，然后连接HG'交AB于E，在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小， ∴G'E=GE，AG=AG'， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，AD=BC=2 ∴CH∥EF， ∵CH=EF=1， ∴四边形EFCH是平行四边形， ∴EH=CF， ∴G'H=EG'+EH=EG+CF， ∵AB=4，BC=AD=2，G为边AD的中点， ∴AG=AG'=1 ∴DG′=AD+AG'=2+1=3，DH=4-1=3， ∴， 即的最小值为． 故答案为： 【点睛】此题主要考查了利用轴对称求最短路径问题，矩形的性质，勾股定理等知识，确定GE+CF最小时E，F位置是解题关键． 题型四 将军饮马问题综合 重难点一 画图问题 35．（江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了最短路径问题，由于有固定的长度的线段，常用的方法通过平移，构造平行四边形，将问题转化为平行四边形的问题解答． （1）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． （2）过点作垂直于河岸，等于河宽；过点作垂直于河岸，等于河宽；连接，分别与河岸相交于点，，接下来再过作河岸的垂线，即可找到两座桥的位置． 【详解】（1）解：如图所示，即为两座桥的位置． （2）解：如图所示，即为两座桥的位置． 36．（第五章图形的轴对称考点16最短路径问题与折叠问题）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)见解析 【分析】本题主要考查了轴对称性质、最短路径问题； （1）作点 关于的对称点，连接，交与点，则点即为所求； （2）点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）过作河的垂线，要使最短，直线，，连接即可得出，作出即可． （4）过作使得，作点关于的对称点，连接与的交点即为，过作交为，点，即为所求． 【详解】（1）解：点位置如图①②所示．（任选一种即可） （2）如图③所示，点即为所求分别作点关于射线，的对称点，，连接分别交，于点，此时的周长，为最小． （3）如图④，即为所求的桥． 根据垂线段最短，得出是河的宽时，最短，即直线a（或直线b）， 只要最短就行， 即过B作河岸b的垂线，垂足为H，在直线上取点，使等于河宽．连接交河的a边岸于M，作垂直于河岸交b边的岸于N点，所以，即为所求的桥． （4）解：过A作使得，作点C关于l的对称点D，连接与l的交点即为F，过A作交l为E，点E，F即为所求．点，的位置如图⑤所示． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵点C关于l的对称点D， ∴，， ∴，， ∵为定值， ∴要求的最小值，只需求， ∴点B、F、D共线时，最小． 37．（第05讲最短路径-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版））将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 【答案】见解析 【分析】的值最小，其中是定值，问题转化为最小，先作，使得，再作对称点，连接对称点和即可求解． 【详解】解：如图，作，使得，作点关于的对称点，连接交于点，在上截取，连接，线路时，的值最小， 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【分析】本题考查将军饮马问题，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据成轴对称的性质，结合三角形的三边关系即可得出结论； （2）分别作点P关于的对称点C，D，连接，分别交于点E，F，则路线即为所求； （3）分别过点P和点Q作的垂线，垂足分别为A，B，在上截取等于靠近P村的河的宽，在上截取等于靠近Q村的河的宽，连接分别交于点E，M，分别过点E，M作的垂线，垂足分别为F，N，连接，则路线即为所求． 【详解】（1）解：∵点关于l对称， ， ， ， ， ∴作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程是最短的． （2）任务一：如答图①所示，路线即为所求． （3）任务二：如答图②所示，路线即为所求． 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 【答案】(1)见解析， (2)5.5 (3)见解析 【分析】本题主要考查了利用轴对称变换进行作图以及最短路线问题，画一个图形的轴对称图形时，是先从确定一些特殊的对称点开始．凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点，解决问题的关键是作辅助线构造平行四边形． （1）根据轴对称的性质，得到线段的端点关于y轴对称的点，再连接即可；根据点的位置即可得出点的坐标； （2）根据割补法即可得到的面积； （3）作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求，点的坐标为； 故答案为：； （2）解：的面积为； 故答案为：； （3）解：如图，作点B关于x轴的对称点，作轴，使得，连接交x轴于一点，则该交点即为点M，连接， 由，，可得四边形为平行四边形，故， 由轴对称的性质，可得，故（最短）， 而的长为定值，故此时最小． 重难点二 与一次函数综合 40．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，点的坐标为或 【分析】本题主要考查了一次函数的解析式求解、轴对称求最短路径以及三角形面积的相关计算，熟练掌握待定系数法、轴对称的性质和三角形面积公式是解题的关键． （1）利用待定系数法，设直线的解析式为，将已知点、的坐标代入求解． （2）根据轴对称的性质，找到点关于轴的对称点，连接，其长度即为的最小值，再用勾股定理计算． （3）由，得出，设，分两种情况讨论：当点在左侧时，当点在左侧时，结合图形讨论即可得． 【详解】（1）解：设直线的解析式为 ∵直线过点， ∴ 解得 ∴直线的解析式为； （2）解：作点关于轴的对称点，连接，交轴于点，此时最小，最小值为的长， ∵， ∴ ∴的最小值为； （3）解：存在， ，， ， ， ， 设， 当点在左侧时，如图1所示： ， 解得：，或（舍去）， ， ； 当点在右侧时，如图2所示： ， 解得：或（舍去）， ， ， 综上可得：或； 41．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，一次函数图像上的点的坐标特征，轴对称最短路径问题，两点距离公式，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解． （1）作线段的垂直平分线交直线l于点C即为所求； （2）由线段垂直平分线的定义得点D是线段的中点，求出D的坐标，根据轴，即可求得点C的坐标； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，则，要使最小，即最小，故当、，三点共线时，最小，最小值为，利用待定系数法求的解析式，再求与轴的交点坐标即可． 【详解】（1）作线段的垂直平分线交直线l于点C即为所求， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴； （2）∵是线段的垂直平分线， ∴点D是线段的中点，轴， ∵,, ∴， 将代入，得， ∴点C的坐标为， 故答案为：； （3）作点A关于x轴的对称点，连接交x轴于点P， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当、，三点共线时，最小，最小值为， ∵， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，有，解得：， ∴． 42．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 【答案】（） ；（） ；（） ；【拓展延伸】:． 【分析】（）作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，，求出直线的解析式为，联立求解即可； （）点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小，要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于，设，则，利用相似三角形的判定与性质即可求解； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，由勾股定理和两点之间线段最短即可求解； 【拓展延伸】：直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为，由勾股定理即可求解． 【详解】（）∵在中，，， ∴，， ∵，点为的中点， ∴，， ∴，， 作关于直线的对称点，连接交于，则此时四边形周长最小，， ∵直线经过点， ∴直线的解析式为, 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为； 联立，解得， ∴； （）解：点向右平移个单位到，点关于的对称点, 连接, 交于，此时最小， ∴，，， ∴要使四边形的周长最小，只要最小即可，即，过作于， 设，则， ∵， ∴， ∵，，，， ∴，解得：， ∴， 故点的坐标为：， 故答案为：； （）作点关于的对称点, 连接交于点，此时四边形周长取最小值，过点作于点，如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的周长为； 【拓展延伸】：如图所示， 直线轴关于直线对称，直线、直线关于轴对称, 点是点关于直线的对称点，作垂足为，交轴于点交直线于，作直线垂足为， ∵，， ∴最小（垂线段最短）， ∵正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为， ∴， 在中，，，， ∴， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称——最短问题，垂线段最短，两点之间线段最短，直角三角形度角的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，矩形的性质，一次函数的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最短路径问题、坐标与图形的性质，关键是利用坐标求解出和的面积，得到点的运动路径是在的直线上，然后，作点关于直线对称的点，连接，利用 “将军饮马” 模型即可得出结果． 【详解】解：∵点，的坐标分别为， ∴， 与同底边，且的面积等于面积的， ∴点P到的距离是3，即点的纵坐标为， 点在直线上运动， 作点关于直线对称的点，连接，则点， ． 当三点共线时，的值最小． 设直线的表达式为， 把点代入，得， 解得， ．令，则， 解得， 当的值最小时，点的坐标为． 故选：C． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接，推出的最小值是的长，再证明出是等边三角形，即可求出的长，从而解决问题． 【详解】解：在上找到点关于的对称点，连接交于点，连接， 此时是的垂直平分线， ，， 此时取最小值，最小值为， 等边中，， ， ，， 等边中，，， 又， ， 是等边三角形， ， 即的最小值为． 故选：． 【点睛】本题考查的知识点是轴对称性质、将军饮马模型、垂直平分线性质、等边三角形的判定与性质，解题关键是能将两线段的和的最小值用一条线段长表示． 3．（22-23八年级上·广东珠海·期末）已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出符合条件的图形，求出，得出等边三角形，求出，求出的周长，即可求出答案． 【详解】解：作P关于的对称点D，作P关于的对称点E，连接交于M，交于N，连接，则此时的周长最小， 连接， ∵P、D关于对称， ∴， 同理， ∴， ∵P、D关于对称， ∴， ∵， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵的周长是， ∴ 故选：B． 【点睛】本题考查了轴对称-最短路线问题，等边三角形的判定与性质，关键是画出符合条件的图形． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为 ． 【答案】 【分析】先在y轴上截取，证明，得出当点E、P、C共线时四边形周长最小，进而利用一次函数的解析式以及求交点的方法求解即可． 【详解】解：如图，在y轴上截取， ∵， ∴，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形周长 （当点E、P、C共线时“”成立） ∵，点D为的中点， ∴，， ∴， ∴，， 设直线的解析式为：， 将点，代入解析式可得： ∴， ∴直线的解析式为：； 设直线的解析式为：， 将点代入解析式得：， ∴， ∴直线的解析式为：， 联立和，得， ∴， ∴， ∴ 故答案为： ． 【点睛】本题考查了将军饮马-最短路径问题，涉及到求一次函数解析式，两直线的交点问题，全等三角形的判定与性质等知识，解题关键是找到符合题意的点位置，再求坐标． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    【答案】/ 【分析】本题考查轴对称-最短问题，等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、三角形的外角性质、勾股定理等知识，熟练掌握轴对称性质是关键．作点D关于的对称点，连接，，，，利用轴对称性质得到，则的周长，当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为，证明是等边三角形得到，，利用三角形的外角性质推导出，然后利用勾股定理求得即可求解． 【详解】解：作点D关于的对称点，连接，，，，    ∴，，， ∵点为边的中点，， ∴， ∴的周长， 当A、E、共线时取等号，此时的周长最小，最小值为， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，则， 在中，， ∴周长的最小值为， 故答案为：． 6．（19-20八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求函数解析式、一次函数图象上点的坐标特征以及轴对称中最短路径问题，根据一次函数解析式求出点A、B的坐标，再由中点坐标公式求出点C、D的坐标，根据对称的性质找出点的坐标，结合点C、的坐标求出直线的解析式，令即可求出x的值，从而得出点P的坐标． 【详解】解：作点D关于x轴的对称点，连接交x轴于点P，此时值最小，最小值为，如图．    令中，则， ∴点B的坐标为； 令中，则，解得：， ∴点A的坐标为． ∵点C、D分别为线段的中点， ∴点，点． ∵点和点D关于x轴对称， ∴点的坐标为． 设直线的解析式为， ∵直线过点， ∴，解得， ∴直线的解析式为． 令，则，解得：， ∴点P的坐标为． 故答案为：． 7．（21-22八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 【答案】/度 【分析】本题考查等边三角形判定和性质、轴对称最短路径问题、等腰三角形的性质，如图，作B关于的对称点D，连接，的值最小，则交于P，由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】解：如图，作B关于的对称点D，连接， ∴，， ∴， ∴当A、P、D三点共线时，最小，即此时的值最小， 由轴对称的性质可得， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ，， ， ， 故答案为：． 8．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 【答案】(1)①是等边三角形，理由见解析；②，理由见解析 (2)的最小值为5． 【分析】（1）①由轴对称的性质可得，，．根据“有一个角是的等腰三角形是等边三角形”即可得出是等边三角形；②当时，，G、O、H在同一直线上，由此可得与的数量关系； （2）过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，则的最小值为，由已知条件可得，易得，，由此可得是等边三角形，即可得的长，即的最小值． 【详解】（1）解：①是等边三角形， ∵点P关于对称的点为G， ∴，， 同理，， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形． ②， 当时，， ∴G、O、H在同一直线上，． ∵， ∴； （2）解：过Q作的对称点，连接，交于点E，连接，    ∴ 最小值为． ∵，， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴． ∵点Q与关于对称， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 即的最小值为5． 【点睛】本题主要考查了轴对称--最短路线问题，轴对称的性质和等边三角形的判定和性质．熟练掌握轴对称的性质及等边三角形的判定和性质，熟悉“将军饮马”模型是解题的关键． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 将军饮马问题（期中复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 两定一动型（四种） 能准确识别两定一动型的不同情形，掌握其图形构造与相关问题求解方法 重要考点，常结合具体几何图形，在选择题、填空题或几何解答题中考查，需熟练运用几何原理分析 一定两动型（三种） 能清晰分辨一定两动型的各类情况，学会针对不同情况进行几何分析与计算 高频考点，易因动点运动情况复杂而出错，多在几何综合题中出现，考查对动点轨迹和几何关系的把握 两动两定型（两种） 理解两动两定型的特征，能运用相应几何知识解决此类问题 关键考点，常与三角形、四边形等图形的性质结合，在几何证明与计算中考查，是提升几何综合能力的重要部分 平移线段型（两种） 掌握平移线段型问题的特点，能利用平移的性质解决线段相关的几何问题 常考考点，常与平行线、全等三角形等知识结合，在几何图形的变换与计算中考查，应用较为广泛 类型 两定一动型（四种） 图形 条件 如图，A，B两定点分布在直线m两侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 如图，A，B两定点分布在直线m同侧，点D为直线上一动点，求AD+BD的最小值. 结论 当A，D，B三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB的长. 当A，D，B'三点共线时，AD+BD取得最小值，最小值为AB'的长. 图形 条件 如图，A，B两点分布在直线m同侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 如图，A，B两点分布在直线m两侧，点D为直线m上一动点，求|AD-BD|的最大值. 结论 当A，B，D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB的长 当A、B'、D三点共线时，|AD-BD|取得最大值，最大值为AB'的长 类型 一定两动型（三种） 图形 条件 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 如图，点P为直线m1上一动点，点Q为直线m2上一动点，点A为定点，求PA+PQ的最小值. 结论 过A点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 做A点关于m1的对称点A'点，过A'点做m2的垂线，垂足为B，交m1于点C，当且仅当点P和点C重合，点Q和点B点重合时，PA+PQ取得最小值，最小值为AB的长. 图形 条件 如图，点M，N分别为m1，m2上的动点，点P为定点，求PM+PN+MN的最小值. 结论 做点P关于m1，m2的对称点P'，P''，那么当P'，M，N，P''四点共线时，PM+PN+MN取得最小值，最小值为的距离. 类型 两动两定型（两种） 图形 条件 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B为∠MON内的两个定点，求AC+CD+BD+AB的最小值. 如图，点C，D分别为OM，ON上的动点，点A，B分别为OM，ON上的定点，求AD+CD+BC的最小值. 结论 做A点关于OM的对称点A'，做B点关于ON的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AC+CD+BD取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AC+CD+BD+AB的最小值就是A'B'+AB. 做A点关于ON的对称点A'，做B点关于OM的对称点B'，当A'，C，D，B'四点共线时，AD+CD+BC取得最小值，最小值为A'B'的长.所以，AD+CD+BC的最小值就是A'B'的长. 类型 平移线段型（两种） 图形 条件 如图，A，B为定点，M，N分别为m，n上的动点，MN⊥n，m∥n，且MN为定值，求AM+MN+NB的最小值. 如图，A，B为定点，M，N分别为m上的动点，且MN为定值，求AM+MN+NB最小值. 结论 如图，将点A向下平移MN的单位长度得到点A'，连接A'B，交n于点N，过点N作MN⊥m，垂足为点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B+MN. 如图，将点A向右平移MN个单位长度得点A'，作B关于直线m的对称点B’，连接A'B'，交直线m于点N，将点N向左平移MN个单位长度得点M，点M和点N即为所求，当A'，N，B'三点共线时AM+MN+NB取得最小值，最小值为A'B'+MN. 【本节内容常用勾股定理相结合考查，下面为勾股定理基础知识】 勾股定理 文字语言：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方. 符号语言：如果直角三角形的两直角边分别为，，斜边为，那么. 变式：，， . 【易错点】 1）勾股定理揭示了直角三角形三条边之间所存在的数量关系，它只适用于直角三角形，因而在应用勾股定理时，必须明了所考察的对象是直角三角形； 2）如果已知的两边没有指明边的类型，那么它们可能都是直角边，也可能是一条直角边、一条斜边，求解时必须进行分类讨论，以免漏解． 3）应用勾股定理时，要分清直角边和斜边，尤其在记忆时，斜边只能是c．若b为斜边，则关系式是；若a为斜边，则关系式是． 题型一 两定一动型 重难点一 同侧/异侧，求线段和的最小值 1．（24-25八年级上·山东济宁·阶段练习）如图所示，在等边三角形中，为中点，点分别为上的点，，在上有一动点，则的最小值为（   ） A．4 B．12 C．6 D．8 2．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在等边中，，N是线段上一点，的平分线交于点D，且，M是上的动点，连接，则的最小值是 ． 3．（20-21八年级上·湖北孝感·期末）如图，在锐角中，，，平分，M、N分别是 、上的动点，则的最小值是 ． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）某社区计划在一条笔直的公路（记为直线l）旁新建一个公园．公园需要同时服务位于公路同侧的两个居民小区A和B．为了方便居民出行，公园选址P应满足：从小区A到公园P的距离与从小区B到公园P的距离之和最小．已知小区A和B的位置如图所示（或描述：A点在公路l上方，B点也在公路l上方，且A、B两点位于公路的同一侧）． 问题： (1)请利用轴对称的知识，在图中（或自己画图）确定公园P的位置，使最小．要求保留作图痕迹，并简要说明作图步骤． (2)证明你确定的点P确实使最小． (3)若已知A点到公路l的距离为300米，B点到公路l的距离为400米，且A、B两点在公路上的垂足C、D之间的距离米．求此时的最小值． 5．（2025七年级下·河南·专题练习）【提出问题】 唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马。如图1，将军从山脚下的点A出发，到达河岸饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 小亮：作B关于直线l的对称点，连接与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程之和就是最短的（如图2）． 小慧：你能详细解释为什么吗？ 小亮：如图3，在直线l上另取任意一点，连接，，，我只要说明即可．因为直线l是点B，的对称轴，点C，在l上，所以______，______，所以______． 在中，因为，所以______，即最小． 请完善小亮的说明过程． 本问题实际上是利用转化的思想，把在直线同侧的A，B转化在直线的两侧，从而利用“______”及“三角形两边之和大于第三边”加以解决（在连接A，两点的线中，线段最短）． 【解决问题】 如图4，牧马人从A地出发，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到B处，请画出最短路径． 重难点二 同侧/异侧，求线段差的最大值 6．（23-24八年级上·甘肃白银·期末）如图，在平面直角坐标系中，，，连接、、，是轴上的一个动点，当取最大值时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·河南漯河·期中）是高为，面积为的等边三角形，点P是过点A的对称轴上一动点，当点D为边中点时．则的最大值是 ；的最小值是 ． 8．（23-24八年级上·陕西西安·期末）如图，在中，，在上方作射线，且，若为上的一个动点，则的最大值为 ． 9．（23-24八年级上·辽宁盘锦·期中）已知，两点，在轴上取一点，使取得最大值时则的坐标为 ． 10．（23-24八年级上·广西河池·期中）如图，在中，，边的垂直平分线交于点D，垂足为E，平分． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若，点P是直线上的动点，求的最大值． 题型二 一定两动型 重难点一 利用垂线段最短解决线段和问题 11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）如图，在中，，，，．如果点，分别为，上的动点，那么的最小值是（    ） A． B．5 C． D．6 12．（24-25七年级下·广东揭阳·期末）如图，在等腰三角形中，，，点D为垂足，点E、F分别是、上的动点，若，的面积为12，则的最小值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 13．（24-25八年级上·云南文山·期中）如图，在中，，，是的中线，F是上的动点，E是边上的动点，则的最小值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 14．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的面积是，边的垂直平分线分别交，边于点，．若点，分别为线段，边上的动点，则的最小值为 ． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点在y轴正半轴上，点在x轴负半轴上，且，点M的坐标为为线段上一动点，P为线段上一动点，则的最小值为 ． 16．（23-24八年级上·江西南昌·阶段练习）如图，在中，已知，是边上的中线，点E是边上一动点，点P是上的一个动点．    (1)若，，，且时，求的长： (2)在（1）的条件下，求的最小值． 重难点二 求周长最小值（角内一点） 17．（2025年河北省邯郸市馆陶县二模数学试题）如图，牧民从生活区边上某点出发，先到草地边上某点收马，再到小河边上某点饮马，最后回到点处．已知，点到的距离为，，若的周长为，则的最小值是（    ） A． B．4 C． D． 18．（24-25八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，直线与坐标轴交于两点，已知是轴上的一点，分别为直线和轴上的动点，当的周长最小时，点的坐标为（　　） A． B． C． D． 19．（24-25九年级下·福建厦门·阶段练习）如图，是内部一点，关于，的对称点分别是点，点，连结分别与，交于点，点，连结，，下列结论：①一定是等边三角形；②；③的周长等于线段的长；④．其中正确的结论是（   ） A．②③ B．①④ C．②③④ D．①②③④ 20．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，内有一点P，点分别是点P关于的对称点，交于点M，交于点N．若的周长是，则的长为 ． 21．（24-25八年级上·广东广州·期末）唐诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，隐含了一个有趣的数学问题——“将军怎样走才能使总路程最短”？如图，在平面直角坐标系中，将军从出发，先到山脉m的任意位置望烽火，再到河岸n的任意位置饮马后返回到A点，且m与n的夹角为，则将军所走的最短总路程为（　　） A．4 B．6 C．8 D．12 22．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，这是唐代诗人李顾《古从军行》里的一句诗，由此却引申出一系列非常有趣的数学问题，通常称为“将军饮马”问题． (1)如图1，若点A和点B分别在直线l的两侧，请作出示意图，在直线l上找到点C，使得有最小值，并说明作图依据：______； (2)如图2，若点A和点B在直线l的同侧，请在直线l上作出点P，使得有最小值； (3)如图3，已知，点Q在内部，点M，N分别在射线，上，若，请求出周长的最小值． 重难点三 求周长最小值（角内两点） 23．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，M，N分别为，上的点，，P，Q分别为，上的动点，则的最小值为 ． 24．（2021八年级下·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标是，点B的坐标是，在y轴和x轴上分别有两点P、Q，则A，B，P，Q四点组成的四边形的最小周长为 ． 重难点四 与角度有关的计算问题 25．（吉林省长春市东北师大附中明珠学校2024-2025学年下学期期末考试七年级数学试题）图①，在四边形中，，，点E、F分别是、上的动点．如图②， 作点A关于、的对称点N、M，连结，交于点E，交于点F，连结、，所得的的周长最小，此时的度数为（    ） A． B． C． D． 26．（陕西省咸阳市秦都区方圆学校2024-2025学年八年级上学期开学摸底考试数学试题）如图，在四边形中，，在、上分别找一点、，当的周长最小时，的度数为（   ） A． B． C． D． 27．（广东省汕头潮南区峡山南里学校2024—2025学年上学期八年级数学科期末考试卷）如图，已知，是内部的一点，且，点分别是上的动点，若周长的最小值等于，则（   ） A． B． C． D． 28．（25-26八年级上·重庆渝中·开学考试）如图所示，，点为内一点，点关于、的对称点分别为点、，连接、、、、，分别与、交于点、，连接、，则的度数为（    ） A． B． C． D． 29．（24-25八年级上·陕西榆林·开学考试）如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 30．（24-25八年级上·全国·期末）如图，等边的边长为4，是边上的中线，F是上的动点，E是边上一点，若，当取得最小值时，的度数为 ． 31．（24-25七年级下·吉林长春·期末）综合与实践 【模型背景】相传，有一位将军拜访古希腊数学家海伦，求教一个百思不得其解的问题：如图①，将军从A地出发，到一条笔直的河边l饮马，然后到B地，到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短？海伦利用轴对称的知识回答了这个问题，这个问题后来被称为“将军饮马问题”． 【模型解决】如图①，小明将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．如图②，小明作点B关于直线l的对称点，连结与直线l交于点C，点C就是饮马的地方，此时所走的路程就是最短的，小明对此进行了说明，以下是说明过程： 如图③，在直线l上另取任意一点（与点C不重合），连接，，． 点B与点关于直线l对称， 直线l是的垂直平分线． ________，________， = ． 在中，， ，即最小． “将军饮马”问题本质上是运用转化思想，通过对称变换将直线l“同侧”两点距离之和最小这一难于解决的问题，转化为直线l“异侧”线段距离问题解决．小明在说明这个问题的过程中，用到的数学依据是________． 请你完成上面填空． 【模型应用】如图④，在中，直线m是边的垂直平分线，点P是直线m上的动点．若，，，则周长的最小值为________． 【模型拓展】如图⑤，已知，P为内一定点，上有一点A，上有一点B，当的周长取最小值时，的大小是为________度． 题型三 造桥选址问题 32．（22-23八年级上·山西吕梁·期末）为贯彻国家城乡建设一体化和要致富先修路的理念，某市决定修建道路和一座桥，方便张庄A和李庄B的群众出行到河岸a．张庄A和李庄B位于一条河流的同一侧，河的两岸是平行的直线，经测量，张庄A和李庄B到河岸b的距离分别为，，且，如图所示．现要求：建造的桥长要最短，然后考虑两村庄到河流另一侧桥头的路程之和最短，则这座桥应建造在C，D间距离C m处．（河岸边上的点到河对岸的距离都相等） 33．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图所示，某条护城河在处角转弯，河宽相同，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北走向的，恰当地造桥可使到的路程最短，请确定两座桥的位置．    34．（2022·四川自贡·中考真题）如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为 ． 题型四 将军饮马问题综合 重难点一 画图问题 35．（江苏省南京市第二十九中学2024-2025学年七年级下学期3月月考数学试题）如图所示，某条护城河在处直角转弯，河宽均为，从处到达处，须经过两座桥（桥宽不计，桥与河垂直），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，如何选址造桥可使从处到处的路程最短？请确定两座桥的位置． (1)如图①，如果点，点到外河岸的距离都是，请确定两座桥的位置，画出示意图． (2)如图②，如果点，点到外河岸的距离分别是和，请确定两座桥的位置，画出示意图． 36．（第五章图形的轴对称考点16最短路径问题与折叠问题）按照下列要求作图．（保留作图痕迹） (1)【“两定一动”型（同侧）】如图，已知点，在直线同侧，在直线上求作一点，使最短； (2)【“一定两动”型】如图，内有一点，分别在，边上各取一点，使的周长最小； (3)【“两定两动”型（异侧）】如图，，是两个村庄，中间有一条河，现准备在河上造一座桥，使得通过桥到两村的距离和最短；（假定河的两岸是平行线，桥要与河岸垂直） (4)【“两定两动”型（同侧）】如图，的长度为定值，在直线上分别取点，，使，连接，，当最小时，求点，的位置． 37．（第05讲最短路径-【帮课堂】2023-2024学年八年级数学上册同步学与练（人教版））将军要检阅一队士兵，要求（如图所示）；队伍长为，沿河排开（从点到点）；将军从马棚M出发到达队头，从至检阅队伍后再赶到校场．问：在什么位置列队（即选择点和），可以使得将军走的总路程最短？ 38．（25-26八年级上·全国·课后作业）综合与实践 【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》中“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”里隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图①，将军从山脚下的点A出发，到一条笔直的河边l饮马后再回到点B宿营，他时常想，怎么走才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【分析问题】 （1）小亮：如图②，作点B关于l的对称点，连接与l交于点C，点C就是饮马的地方，此时按路线走的路程就是最短的． 小慧：你能详细解释原因吗？ 小亮：如图③，在l上另取一点，连接，只要证明即可．请写出小亮的证明过程． 【解决问题】 （2）任务一：如图④，将军牵马从军营P处出发，先到河边饮马，再到草地牧马，最后回到P处，试分别在和上各找一点，使得将军走过的路程最短（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线）； （3）任务二：如图⑤，在P，Q两村之间有两条河，且每条河的宽度处处相等，从P村前往Q村，要经过这两条河．现在要在这两条河上分别造一座垂直于河岸的桥，则这两座桥造在何处可使由P村到Q村的路程最短（要求在图上标出道路和大桥的位置）？ 39．（24-25八年级上·全国·期末）如图，在平面直角坐标系中，且、、． (1)在图中画出线段关于y轴对称的线段，并直接写出点的坐标为 ； (2)在（1）的基础上，直接写出的面积为 ； (3)在x轴上有一条长度是1的运动线段（点M在点N左边），使得最小，请画出点M．（保留必要的画图的痕迹）． 重难点二 与一次函数综合 40．（23-24八年级下·云南西双版纳·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，直线与交于点，与y轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)点D在x轴上，求的最小值； (3)在直线上是否存在一点P，使得，若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 41．（23-24八年级上·江苏扬州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象为直线，已知两点、． (1)在直线位于第一象限的部分找一点C，使得．用直尺和圆规作出点C（不写画法，保留作图痕迹）； (2)直接写出点C的坐标为_____． (3)若点P在x轴上，当取最小值时，请求出点P的坐标． 42．（22-23八年级下·江苏盐城·阶段练习）“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”．这里包含了一个有趣的数学问题，通常称之为“将军饮马”． 【问题描述】 如图，在直线上找一点使得最小？ 【问题解决】 作点关于直线的对称点，连接，则，所以，当三点共线的时候，，此时为最小值（两点之间线段最短） 【应用模型】 （1）如图，在中，，，点在边上，且，点为的中点，点为边上的动点，当点在上移动时，求使四边形周长最小的点的坐标？ （2）如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点在原点，点在坐标轴上，点的坐标为，为的中点，点为边上两个动点，且，要使四边形的周长最小，求点的坐标？ （3）如图，矩形中，，，点分别在矩形各边上，且，，求四边形周长的最小值？ 【拓展延伸】 如图，已知正比例函数的图象与轴相交所成的锐角为，定点的坐标为，为轴上的一个动点，为函数的图象上的两个动点，则的最小值为____________． 期中重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（2025八年级上·全国·专题练习）如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，是轴上方的一个动点．若的面积等于面积的，则当的值最小时，点的坐标为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·辽宁丹东·期中）如图，等边中，于点，点，分别为，上的两个定点且，，在上有一动点使最短，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·广东珠海·期末）已知，在内有一定点P，点M，N分别是，上的动点，若的周长最小值为3，则的长为（　　） A． B．3 C． D． 4．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）如图，在中，，点C在边上，且，点D为的中点，点P为边上的动点，当点P在上移动时，使四边形周长最小的点P的坐标为 ． 5．（24-25八年级上·辽宁葫芦岛·期中）已知：如图，中，，，，点为边的中点，点为边上一点，连接、，则周长的最小值是 ．    6．（19-20八年级下·广东汕头·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于A和B，点C、D分别为线段的中点，P为上一动点，当的值最小时，点P的坐标为 ．      7．（21-22八年级上·福建莆田·期末）如图，在中，∠，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 ． 8．（23-24八年级上·河南周口·阶段练习）已知点P在内．    (1)如图①，点P关于射线的对称点分别是G、H，连接． ①若，则是什么特殊三角形？为什么？ ②若，试判断与的数量关系，并说明理由； (2)如图②，若， A、B分别是射线上的点，于点B，点P、Q分别为上的两个定点，且，，在上有一动点E，试求的最小值． 3 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $