对数的运算专项训练-2026届高三数学一轮复习

对数与对数函数

一、单项选择题

1．(2022·浙江卷)已知2a＝5，log83＝b，则4a－3b＝(　　)

A．25 B．5

C． D．

2．已知a＝log35，b＝log23，则lg 3＝(　　)

A． B．

C．＋ D．

3．(2024·广东大湾区二模)已知正实数m，n满足ln m＝ln (m－2n)－ln n，则＝(　　)

A．1 B．

C．4 D．1或

4．(2024·苏州三模)酒驾是严重危害交通安全的违法行为．为了保障交通安全，根据国家有关规定：100 mL血液中酒精含量达到20～79 mg的驾驶员即为酒后驾车，80 mg及以上认定为醉酒驾车．假设某驾驶员喝了三两白酒后，其血液中的酒精含量上升到了1.5 mg/mL．如果在停止喝酒以后，他血液中的酒精含量会以每小时30%的速度减少，那么他至少经过几个小时才能驾驶？(　　)

(参考数据：lg 2≈0.301，lg 3≈0.477，lg 7≈0.845)

A．8 B．7

C．6 D．5

5．(2024·南通如东期初)已知函数f(x)＝－x2＋4x，x∈[m，4]的值域是[0，4]，则实数m的取值范围是(　　)

A．(－∞，2) B．(0，2]

C．[0，2] D．[2，4]

6．(2024·重庆三模)正整数1，2，3，…，n的倒数的和1＋＋＋…＋已经被研究了几百年，但是迄今为止仍然没有得到它的求和公式，只是得到了它的近似公式，当n很大时，1＋＋＋…＋≈ln n＋γ．其中γ称为欧拉—马歇罗尼常数，γ≈0.577 215 664 901…，至今为止都不确定γ是有理数还是无理数．设[x]表示不超过x的最大整数，用上式计算的值为(　　)

(参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10，ln 10≈2.30)

A．10 B．9

C．8 D．7

二、多项选择题

7．下列运算正确的是(　　)

A．＝4

B．log89×log2732＝

C．若a＋a－1＝3，则a2＋a－2－31＋log32＝2

D．若3x＝4y＝M，且＋＝1，则M＝36

8．(2023·新高考I卷)噪声污染问题越来越受到重视，用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0＞0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级：

已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　)

A．p1≥p2 B．p2＞10p3

C．p3＝100p0 D．p1≤100p2

9．若2a+1＝3，2b＝，则下列结论正确的有(　　)

A．b－a＞1 B．＋＞2

C．ab＞ D．b2＜2a

三、填空题

10．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a＞0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝____．

11．(2024·重庆三模)已知b＞a＞0，log4a＋log2b＝1，且|lg a|＝|lg b|，则a＋b＝____．

12．已知x，y，z为正数，若3x＝4y＝6z，则－＝____．

13．对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈函数”．设函数f(x)＝3x＋tan x－2m＋1(m∈R)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是____．

 

四、解答题

14．求值：

(1) log28＋log27×log7(log381)；

(2) log327－lg 2－lg 5－log516·log2＋eln  2．

15．设关于x的方程lg 2x－lg x2＋3p＝0的两个实根分别是α，β．

(1) 求实数p的取值范围；

(2) 求logαβ＋logβα的取值范围．