指数与指数函数专项训练-2026届高三数学一轮复习

指数与指数函数 一、单项选择题 1．已知a＝0.30.6，b＝0.30.5，c＝0.40.5，则(　　) A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．b＞c＞a D．c＞b＞a 2．(2024·福州2月质检)设函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．(－∞，4] C．[2，＋∞) D．[4，＋∞) 3．(2023·全国乙卷)已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 4．(2024·合肥二检)常用放射性物质质量衰减一半所用的时间来描述其衰减情况，这个时间被称作半衰期，记为T(单位：天)．铅制容器中有甲、乙两种放射性物质，其半衰期分别为T1，T2．开始记录时，这两种物质的质量相等，512天后测量发现乙的质量为甲的质量的，则T1，T2满足的关系式为(　　) A．－2＋＝ B．2＋＝ C．－2＋log2＝log2 D．2＋log2＝log2 5．(2025·南昌期初摸底)已知集合A＝{(x，y)|y＝x2－1}，B＝{(x，y)|x＝my＋1，m∈R}，A∩B＝C，若C为单元素集合，则(　　) A．m＝ B．m＝2 C．m＝0或m＝ D．m＝0或m＝2 二、多项选择题 6．(2024·长春预测)已知函数f(x)＝，则下列说法正确的是(　　) A．函数f(x)单调递增 B．函数f(x)的值域为(0，2) C．函数f(x)的图象关于点(0，1)对称 D．函数f(x)的图象关于点(1，1)对称 7．(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinh x＝，双曲余弦函数cosh x＝，双曲正切函数tanh x＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 8．(2024·临沂一模)已知函数f(x)＝＋a(a∈R)，则(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞) B．f(x)的值域为R C．当a＝1时，f(x)为奇函数 D．当a＝2时，f(－x)＋f(x)＝2 9．(2024·南京零模)(多选)若a＜0＜b，且a＋b＞0，则(　　) A．＞－1 B．|a|＜|b| C．＋＞0 D．(a－1)(b－1)＜1 三、填空题 10．若命题“任意x∈[1，3]，a≤2x＋2－x”为假命题，则实数a的取值范围是____． 11．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．用其名字命名的“高斯函数”为：设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数．例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1．已知函数f(x)＝×4x－3×2x＋4(0＜x＜2)，则函数y＝[f(x)]的值域为____． 12．(2024·安阳三模)已知函数f(x)＝b＋(a＞0)的图象关于坐标原点对称，则a＋b＝____． 13．(2024·温州三模)若定义在(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(xy)＝f(x)＋f(y)－1，f(4)＝2，则f＝____． 四、解答题 14．计算下列各式的值： (1) 64＋－(e－π)0＋(4×5)6； (2) －10(－1)＋10(－)0＋(－8)． 15．已知函数f(x)＝4x＋a·2x． (1) 若a＝－5，求不等式f(x)≤－4的解集； (2) 若x∈[－2，2]时，f(x)的最小值为－1，求a的值． 1. D　【解析】 方法一：由指数函数y＝0.3x在定义域内单调递减，得a<b.由幂函数y＝x0.5在定义域内单调递增，得c>b.综上，c>b>a. 方法二：因为＝0.30.1<1，且＝<1，又a，b，c都为正数，所以c>b>a. 2. D　【解析】 函数y＝3x在R上单调递增，而函数f(x)＝3|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以y＝|a－2x|在区间(1，2)上单调递减，所以a－2×2≥0，即a≥4. 3. D　【解析】 因为f(x)＝为偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0.又因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2. 4. B　【解析】 设开始记录时，甲、乙两种物质的质量均为1，则512天后，甲的质量为()，乙的质量为().由题意可得()＝·()＝()2＋，所以2＋＝. 5. C　【解析】 由题意，若C为单元素集合，则方程组只有唯一解，所以y＝(my＋1)2－1，整理可得m2y2＋(2m－1)y＝0，当m＝0时，方程变为－y＝0⇒y＝0，此时x＝1，符合题意；当m≠0时，Δ＝(2m－1)2－4m2×0＝0⇒m＝，所以m＝0或m＝. 6. ABD　【解析】 f(x)＝＝＝2－，令函数y＝2－，t＝2x－1＋1，则t>1.因为内层函数t＝2x－1＋1在R上单调递增，外层函数y＝2－在(1，＋∞)上单调递增，所以根据复合函数的单调性法则可知，函数f(x)单调递增，故A正确；因为2x－1＋1>1，所以0<<2，则0<2－<2，所以函数f(x)的值域为(0，2)，故B正确；f(2－x)＝＝＝，f(2－x)＋f(x)＝2，所以函数f(x)的图象关于点(1，1)对称，故C错误，D正确． 7. ACD　【解析】 对于A，设h(x)＝，则h′(x)＝>0，故sinhx＝是增函数，故A正确．对于B，方法一：设f(x)＝，则f′(x)＝，令f′(x)＝0，得x＝0.又f′(x)单调递增，故f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误．方法二：设f(x)＝，则f(x)＝f(－x)，所以f(x)为偶函数，且f(x)不是常函数，故f(x)不是增函数，故B错误．对于C，设g(x)＝tanhx＝＝，方法一：g′(x)＝>0，故g(x)＝tanhx为增函数，故C正确．方法二：g(x)＝＝＝1－＝1－.因为y＝在R上单调递减，所以g(x)在R上单调递增，故C正确．对于D，tanh(x＋y)＝，＝＝＝＝tanh(x＋y)，故D正确． 8. ACD　【解析】 对于函数f(x)＝＋a(a∈R)，令2x－1≠0，解得x≠0，所以f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，故A正确；因为2x>0，当2x－1>0时，>0，所以＋a>a，当－1<2x－1<0时，<－2，所以＋a<－2＋a，综上可得f(x)的值域为(－∞，－2＋a)∪(a，＋∞)，故B错误；当a＝1时，f(x)＝＋1＝，则f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以f(x)＝＋1为奇函数，故C正确；当a＝2时，f(x)＝＋2＝＋1，则f(x)＋f(－x)＝＋1＋＋1＝2，故D正确． 9. ABD　【解析】 对于A，由a＋b>0，可得a>－b，因为b>0，所以>－1，所以A正确；对于B，因为|a|－|b|＝－a－b＝－(a＋b)<0，所以|a|<|b|，所以B正确；对于C，因为a<0<b，且a＋b>0，所以＋＝<0，所以C错误；对于D，因为a<0<b，且a＋b>0，所以ab<0，则(a－1)(b－1)＝ab－(a＋b)＋1<1，所以D正确． 10. 　【解析】 若命题“任意x∈[1，3]，a≤2x＋2－x”为假命题，则命题“存在x∈[1，3]，a>2x＋2－x”为真命题．当1≤x≤3时，2≤2x≤8，令t＝2x，则2≤t≤8，又y＝t＋在[2，8]上单调递增，所以≤y≤，所以a>. 11. {－1，0，1}　【解析】 f(x)＝×4x－3×2x＋4(0<x<2)，令t＝2x，则t∈(1，4)，令g(t)＝t2－3t＋4，二次函数开口向上，对称轴为t＝3，g(1)＝，g(3)＝－，g(4)＝0，所以g(t)∈，即f(x)∈，所以[f(x)]∈{－1，0，1}． 12. 　【解析】 依题意知函数f(x)是奇函数，又2x－a≠0，所以x≠log2a，所以f(x)的定义域为{x|x≠log2a}．因为f(x)的图象关于坐标原点对称，所以log2a＝0，解得a＝1.又f(－x)＝－f(x)，所以b＋＝－(b＋)，所以b－＝－(b＋)，即2b＝－＝＝1，所以b＝，所以a＋b＝. 13. 　【解析】 由题赋值x＝y＝2，得f(4)＝2f(2)－1，又f(4)＝2，所以f(2)＝；赋值x＝2，y＝1，得f(2)＝f(2)＋f(1)－1，所以f(1)＝1；赋值x＝2，y＝，得f(1)＝f(2)＋f()－1⇒f()＝. 14. 【解答】 (1) 原式＝(43)＋32－1＋42×53＝42＋32－1＋42×53＝2 024. (2) 原式＝10－10＋10＋10＋[(－2)3]＝20＋(－2)4＝36. 15. 【解答】 (1) 当a＝－5时，不等式f(x)≤－4即为4x－5·2x＋4≤0，所以(2x－1)(2x－4)≤0，则有1≤2x≤4，则0≤x≤2，故不等式f(x)≤－4的解集为[0，2]. (2) 令t＝2x，x∈[－2，2]，则t∈[，4]，f(x)＝g(t)＝t2＋at，开口向上，对称轴方程为t＝－，①当－<，即a>－时，g(t)min＝g()＝＋＝－1，则a＝－，不符合题意；②当≤－≤4，即－8≤a≤－时，g(t)min＝g(－)＝－＝－1，则a＝－2；③当－>4，即a<－8时，g(t)min＝g(4)＝16＋4a＝－1，则a＝－，不满足条件．综上所述，a的值为－2. 学科网（北京）股份有限公司 $