指数与指数函数 专项训练-2026届高三数学一轮复习

指数与指数函数 基础性 1．函数f(x)＝ax-2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(2，0) D．(2，2) 解析：D　因为当x－2＝0时，f(2)＝2，所以f(x)的图象必经过点(2，2).故选D. 2．若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 解析：B　因为函数y＝0.3x在R上是减函数，所以0<0.30.7<0.30.3<0.30＝1， 又因为幂函数y＝x0.3在(0，＋∞)上单调递增，0.3<0.7， 所以0<0.30.3<0.70.3<10.3＝1， 所以0<a<b<1，而函数y＝1.2x是R上的增函数， 所以c＝1.20.3>1.20＝1，所以c>b>a.故选B. 3．已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 解析：D　因为y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]， 所以1≤4x－3·2x＋3≤7. 所以－1≤2x≤1或2≤2x≤4， 所以x≤0或1≤x≤2.故选D. 4．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级x(x＝1，2，3，4，5，6)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为(参考数据：≈1.414)(　　) A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克 解析：A　由题意可知＝e4a＝3＋1，解得ea＝. 由e3a＋b＝55， 可得e6a＋b＝e3a＋b·(ea)3＝55×()3＝110≈156.故选A. 5．(2025·陕西西安模拟预测)已知函数f(x)＝则不等式f(a2－1)>f(3)的解集为(　　) A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 解析：A　易知y＝在(－∞，0)上单调递减， y＝在(0，＋∞)上单调递减，且f(x)在x＝0处连续， 故f(x)在R上单调递减， 由f(a2－1)>f(3)，则a2－1<3，解得－2<a<2， 故不等式f(a2－1)>f(3)的解集为(－2，2).故选A. 6．(多选)(2025·河北邯郸期中)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 解析：ABC　函数f(x)＝的定义域为R， 则f(－x)＝＝－f(x)，所以f(x)是奇函数， |f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，所以函数|f(x)|是偶函数，A正确； －f(－x)＝f(x)＝－[－f(x)]，所以函数－f(x)是奇函数，B正确； f(x)是奇函数，|f(x)|是偶函数，所以f(x)|f(x)|是奇函数，C正确； 因为f(|－x|)＝f(|x|)，所以f(|x|)是偶函数， 所以f(|x|)f(x)是奇函数，D错误．故选ABC. 7．()-×(a>0，b>0)＝__________. 解析：　原式＝＝. 8．已知函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(2)<f(－2)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝__________. 解析：()x(答案不唯一)　因为函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(2)<f(－2)， 所以符合上述条件的函数是一个单调递减的指数函数，故答案为f(x)＝()x(不唯一). 综合性 9．(多选)已知函数f(x)＝e|sin x|(x∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为e，最小值为0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期函数，且最小正周期为2π D．不等式f(x)≥的解集为{x|＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z} 解析：BD　由|sin x|∈[0，1]，可得e|sin x|∈[1，e]，A错误； 因为f(－x)＝e|sin (-x)|＝e|sin x|＝f(x)， 所以f(x)是偶函数，B正确； 由f(x＋π)＝e|sin (x＋π)|＝e|-sin x|＝e|sin x|＝f(x)， 所以π是f(x)的周期，C错误； 由f(x)≥，即e|sin x|≥e，可得|sin x|≥， 所以x的取值范围是{x|＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z}，D正确．故选BD. 10．(多选)(2024·北京房山一模)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a＋c>b＋c B．若a>b>0，则a0.4>b0.4 C．若a>b，则()a＋c<()b＋c D．若a>b>0，c>0，则> 解析：ABC　对于A，因为a>b，所以a＋c>b＋c，A正确； 对于B，当a>b>0时，因为幂函数y＝x0.4在(0，＋∞)上单调递增，所以a0.4>b0.4，B正确； 对于C，因为a>b，所以a＋c>b＋c，而函数y＝()x为减函数，所以()a＋c<()b＋c，C正确； 对于D，－＝＝，因为a>b>0，c>0，所以c(b－a)<0，a(a＋c)>0，所以－＝<0，所以<，D错误．故选ABC. 11．(多选)若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为(　　) A． B．2 C．3 D． 解析：AC　令ax＝t， 则y＝a2x＋2ax－1＝t2＋2t－1＝(t＋1)2－2. 当a>1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈[，a]. 又函数y＝(t＋1)2－2在[，a]上单调递增， 所以ymax＝(a＋1)2－2＝14， 解得a＝3(负值舍去). 当0<a<1时，因为x∈[－1，1]，所以t∈[a，]， 又函数y＝(t＋1)2－2在[a，]上单调递增， 则ymax＝(＋1)2－2＝14，解得a＝(负值舍去). 综上，a＝3或a＝.故选AC. 12．已知函数f(x)＝若∀x∈[2－t，2＋t]都有f(x)＋f(t2－2x)≥0成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞) 解析：D　当x>0时， 则－x<0，f(－x)＝－()-x＋1＝－2x＋1＝－f(x)， 当x<0时，则－x>0，f(－x)＝2-x－1＝()x－1＝－f(x)，f(0)＝20－1＝0，所以f(x)为奇函数． 因为x>0时f(x)＝2x－1为增函数， 又f(x)为奇函数，所以f(x)为R上的增函数，f(x)的图象如下： 由f(x)＋f(t2－2x)≥0得f(x)≥－f(t2－2x)＝f(－t2＋2x)， 所以x≥－t2＋2x，即x≤t2对∀x∈[2－t，2＋t]都成立，即解得t≥2.故选D. 创新性 13．定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(log43)＝__________. 解析：＋1　根据题意，对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，又因为f(x)是定义在R上的增函数， 所以在R上存在常数a使得f(a)＝3，所以f(x)＝2x＋a，所以f(a)＝2a＋a＝3，解得a＝1， 所以f(x)＝2x＋1，所以f(log43)＝2log43＋1＝＋1. 14．对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈函数”，设函数f(x)＝3x＋tan x－2m＋1(m∈R)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是______________． 解析：(1，]　因为函数f(x)＝3x＋tan x－2m＋1(m∈R)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”， 所以存在x0∈[－1，1]，x0≠0，使f(－x0)＝－f(x0)， 即－3x0－tan x0＋2m－1＝3－x0＋tan (－x0)－2m＋1， 即4m－2＝3x0＋3－x0. 令t＝3x0，则t∈[，3]， 所以4m－2＝t＋≥2，当且仅当t＝1，即x0＝0时取等号，所以m>1， 当t＝或t＝3时，(4m－2)max＝3＋＝，所以m≤，所以1<m≤. 学科网（北京）股份有限公司 $ 指数与指数函数 基础性 1．函数f(x)＝ax-2＋1(a>0，且a≠1)的图象必经过点(　　) A．(0，1) B．(1，1) C．(2，0) D．(2，2) 2．若a＝0.30.7，b＝0.70.3，c＝1.20.3，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．b>c>a D．a>c>b 3．已知y＝4x－3·2x＋3的值域为[1，7]，则x的取值范围是(　　) A．[2，4] B．(－∞，0) C．(0，1)∪[2，4] D．(－∞，0]∪[1，2] 4．车厘子是一种富含维生素和微量元素的水果，其味道甘美，受到众人的喜爱．根据车厘子的果径大小，可将其从小到大依次分为6个等级，其等级x(x＝1，2，3，4，5，6)与其对应等级的市场销售单价y(单位：元/千克)近似满足函数关系式y＝eax＋b.若花同样的钱买到的1级果比5级果多3倍，且3级果的市场销售单价为55元/千克，则6级果的市场销售单价约为(参考数据：≈1.414)(　　) A．156元/千克 B．158元/千克 C．160元/千克 D．164元/千克 5．(2025·陕西西安模拟预测)已知函数f(x)＝则不等式f(a2－1)>f(3)的解集为(　　) A．(－2，2) B．(0，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，－2)∪(2，＋∞) 6．(多选)(2025·河北邯郸期中)设函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．|f(x)|是偶函数 B．－f(x)是奇函数 C．f(x)|f(x)|是奇函数 D．f(|x|)f(x)是偶函数 7．()-×(a>0，b>0)＝__________. 8．已知函数f(x)满足f(x－y)＝，且f(2)<f(－2)，请写出一个符合上述条件的函数f(x)＝__________. 综合性 9．(多选)已知函数f(x)＝e|sin x|(x∈R)，则下列说法正确的是(　　) A．f(x)的最大值为e，最小值为0 B．f(x)是偶函数 C．f(x)是周期函数，且最小正周期为2π D．不等式f(x)≥的解集为{x|＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z} 10．(多选)(2024·北京房山一模)已知a，b，c∈R，则下列命题正确的是(　　) A．若a>b，则a＋c>b＋c B．若a>b>0，则a0.4>b0.4 C．若a>b，则()a＋c<()b＋c D．若a>b>0，c>0，则> 11．(多选)若函数y＝a2x＋2ax－1(a>0，且a≠1)在区间[－1，1]上的最大值是14，则a的值为(　　) A． B．2 C．3 D． 12．已知函数f(x)＝若∀x∈[2－t，2＋t]都有f(x)＋f(t2－2x)≥0成立，则实数t的取值范围是(　　) A．(－∞，－2]∪[1，＋∞) B．[1，＋∞) C．(－∞，－1]∪[2，＋∞) D．[2，＋∞) 创新性 13．定义在R上的函数f(x)单调递增，且对∀x∈R，有f(f(x)－2x)＝3，则f(log43)＝__________. 14．对于函数f(x)，若在其图象上存在两点关于原点对称，则称f(x)为“倒戈函数”，设函数f(x)＝3x＋tan x－2m＋1(m∈R)是定义在[－1，1]上的“倒戈函数”，则实数m的取值范围是______________． 学科网（北京）股份有限公司 $