第03讲 一次函数的应用（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦一次函数的应用，系统覆盖最优方案、行程问题等13类中考核心题型，包含新情景、跨学科等新考法。通过考点深解梳理建模步骤，命题突破结合真题典例指导方法，难点攻坚破解分段函数应用，形成“梳理-突破-训练”的系统性复习链，针对性强。 特色在于以核心素养为导向，如通过“漏刻计时”“浮力实验”等跨学科题型培养模型意识，用分层练习（测能力+提能力）实现精准提升。真题讲解注重思维过程，如行程问题结合图像分析培养几何直观，助力教师高效把控复习节奏，提升学生实战应考能力。

第三章 函数 第03讲 一次函数的应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 一次函数的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1 最优方案问题 题型2 最值问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 分段计费问题 题型6 调运问题 题型7 计时问题 题型8 体积问题 题型9 几何问题 题型10 新考法：新情景问题 题型11 新考法：与现实有关的热考问题 题型12 新考法：跨学科问题 题型13 新考法：中考预测题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 分段函数中一次函数的应用 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 一次函数的应用 一次函数的应用是初中数学代数与实际问题结合的核心考点，本质是建立数学模型—— 将实际问题中的两个变量（如时间与路程、数量与总价）转化为一次函数关系 y=kx+b（k=0），再通过函数的解析式、图象、性质解决最值、方案选择、分段计费等问题。 常见应用模型及对应关系 应用类型 等量关系 函数模型 行程问题 路程s=速度v×时间t 若有初始距离a：s=vt+a ①匀速运动：正比例函数s=vt（无初始距离） ②有初始距离：一次函数 s=vt+a 经济利润问题 ①总价y=单价k×数量x+固定成本b ②利润=总售价−总成 ①无固定成本：正比例函数 y=kx（如纯单价销售） ②有固定成本：一次函数 y=kx+b（如含运费、包装费） 分段计费问题 （水费/电费/话费） 不同区间内计费标准不同，每段为线性关系 分段一次函数 方案选择问题 （工程/运输） 不同方案的成本/收益与数量成线性关系 多个一次函数 ◇题型 1 最优方案问题 典例1（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 【答案】(1)50元；80元 (2)购买紫丁香20株，白丁香25株；2850元 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，一次函数的实际应用，正确地列出方程组和一次函数关系式是解题的关键： （1）设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元，根据买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元，列出方程组进行计算即可； （2）设购买紫丁香m株，总费用为w元，列出一次函数关系式，利用一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设白丁香的单价为x元，紫丁香的单价为y元． 根据题意，列方程组 解方程组得； 答：白丁香的单价为50元，紫丁香的单价为80元； （2）解：设购买紫丁香m株，则购买白丁香株，总费用为w元． 根据题意， ∵ ∴w随m的增大而增大 又∵， ∴当时，． 答：购买紫丁香20株，白丁香25株时，总费用最少，最少费用为2850元． 变式1（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 【答案】(1)购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； (2)方案为购买型公交车辆，型公交车辆时．线路的年均载客总量最大，最大在客量为万人． 【分析】本题考查二元一次方程组和一元一次不等式及一次函数的应用，注意理解题意，找出题目蕴含的数量关系，列出方程组及一次函数是解题的关键． （1）设购买型公交车每辆需万元，购买型公交车每辆需万元，根据“购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元”列出方程组解决问题即可； （2）设购买型公交车辆，则型公交车辆，由“公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元”列出不等式求得的取值，再求出线路的年均载客总量为与的关系式，根据一次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：设购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元， 由题意得：， 解得， 答：购买型新能源公交车每辆需万元，购买型新能源公交车每辆需万元； （2）解：设购买型公交车辆，则型公交车辆，该线路的年均载客总量为万人， 由题意得， 解得：， ∵， ∴， ∵是整数， ∴，，； ∴线路的年均载客总量为与的关系式为， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为（万人次） ∴（辆） ∴购买方案为购买型公交车辆，则型公交车辆，此时线路的年均载客总量最大时，且为760万人次， 变式2（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 【答案】(1)参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名 (2)6 (3)学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元 【分析】（1）设参加本次实践活动的老师有x名，根据“若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生”列出方程求解即可； （2）根据每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名，得出汽车总数不超过6辆，根据要保证所有师生都有车坐，得出汽车总数不少于辆，即可解答； （3）设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆，列出不等式组，解得，设租车费用为y元，得出，根据一次函数增减性得出y随a的增大而增大，即可解答． 【详解】（1）解：设参加本次实践活动的老师有x名， ， 解得：， ∴， 答：参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名； （2）解：∵每辆车上至少有1名老师，参加本次实践活动的老师有6名， ∴汽车总数不超过6辆， ∵要保证所有师生都有车坐， ∴汽车总数不少于（辆），则汽车总数最少为6辆， ∴共需租车6辆， 故答案为：6． （3）解：设租用甲客车a辆，则租用乙客车辆， ， 解得：， ∵a为整数， ∴或， 方案一：租用甲客车4辆，则租用乙客车2辆； 方案二：租用甲客车5辆，则租用乙客车1辆； 设租车费用为y元， ， ∵， ∴y随a的增大而增大， ∴当时，y最小，， 综上：学校共有两套租车方案，最少租车费用是2160元． 【点睛】本题主要考查了一元一次方程的实际应用，一元一次不等式组的实际应用，一次函数的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程、不等式组、一次函数表达式． 变式3（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．    (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ 【答案】(1)每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元 (2)①（且为整数）；；②购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算 【分析】（1）设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元，列分式方程求解即可； （2）①根据售价与数量、单价间的关系即可列一次函数得解；②由得，解得，结合图象即可得解． 【详解】（1）解：设每盒豆沙粽的进价为元，则每盒肉粽的进价为元 方程两边乘，得 解得 检验：当时， ∴是原方程的解 答：每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价分别为50元和40元． （2）解：①（且为整数） 当且为整数时， 当且为整数时， ∴ ②当且为整数， 时 由图象可知：购买粽子礼盒少于75盒，去A厂家购买划算；购买粽子礼盒等于75盒，去A厂家或厂家购买一样划算；购买粽子礼盒多于75盒，去厂家购买划算． 【点睛】本题考查了求一次函数得解析式，分式方程的应用以及一次函数的图像及性质，正确找出等量关系列分式方程是解题的关键． ◇题型 2 最值问题 典例1（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 【答案】(1)每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元 (2)当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用、一次函数的应用等知识点，列出方程组、不等式是解题的关键． （1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，再根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设购买A型放大镜a个，再根据题意列出不等式求得a的最小值，然后再根据题意列出购买费用w与a的函数关系，最后根据一次函数的性质求最值即可． 【详解】（1）解：设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元， 可得，解得：， 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为40元，24元． （2）解：设购买A型放大镜a个，则购买B型放大镜个， 根据题意可得：，解得：（a为整数），即a的最小值为， 所以购买费用为：， ∵， ∴w随a的增大而增大， ∴当时，最少费用2712元． ∴当购买A型放大镜57个，B型放大镜18个，购买费用最少，最少费用2712元． 变式1（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 【答案】(1)A种20元/棵，B种5元/棵 (2)买A种10棵、B种90棵，最省费用650元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的实际应用、一元一次不等式的应用及一次函数的性质（增减性）；掌握根据题意列出方程组和不等式确定变量范围，并利用一次函数增减性求最值是解题的关键．第一问通过设A、B两种花草单价为未知数，根据购买数量和总费用列出二元一次方程组并求解；第二问根据B种花草数量与A种的关系列出不等式确定变量范围，再结合费用函数的增减性求出最省费用及对应方案． 【详解】（1）解：设A种花草每棵x元，B种每棵y元， 列方程组： 第一个方程：， 第二个方程：． 化简第一个方程：， 第二个方程：， ②-第一个方程：，， 代入①：． 答：A种20元/棵，B种5元/棵． （2）解： 购买B种花草棵，由题意：，解得，又， 费用， ∵，W随m增大而增大，∴m最小时，W最省， 此时，（元）． 答：买A种10棵、B种90棵，最省费用650元． 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于 ，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ 【答案】(1)甲辆，乙辆 (2)当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升 【分析】本题考查二元一次方程组，一次函数的性质，一元一次不等式，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆，根据表格找到两个等量关系，列出方程组求解即可； （2）根据题意求出m的取值范围为，设总油耗升，然后写出关于的函数关系式，利用一次函数的性质求出的最小值即可． 【详解】（1）解：设甲种车辆有辆，乙种车辆有辆， 根据题意， ， 解得， 则甲种车辆辆，乙种车辆辆； （2）设总油耗升， 已知派往A地的甲车m辆，则派往A地的乙车辆， 根据题意需满足∶ 解得 又∵乙车总数辆，而需辆车派往A地， ， ∴m的取值范围为， 油耗计算∶ A地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， B地∶甲车每辆油耗升，乙车每辆油耗升， ∴， ， 随增大而减小， ∴当最大为5时，最小， 升， ∴当派往A地甲车5辆，乙车7辆，派往B地甲车9辆，乙车3辆时，油耗最少，最少为升． ◇题型 3 行程问题 典例1（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 【答案】(1)90，3960 (2) (3)当甲出发或时，两人之间的路程为 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图像中有效的获取信息，正确的求出函数解析式是解题的关键： （1）观察图像可知，甲走了，甲行走时，乙追上甲，进而求出甲和乙的速度，当甲行走时，乙到达点，求出乙的总路程即为之间的路程； （2）求出点坐标，待定系数法求出段的函数关系式即可； （3）分和两种情况，求出的值即可． 【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：， 设乙的速度为，由题意，得：，解得：， 故乙的速度为； 之间的路程为：； 故答案为：90，3960； （2）由图像可知：点的纵坐标为， ∴， 当时，设，把，代入，得： ，解得：， ∴； （3）当时，令，解得：； 当时，，解得：； 综上：当甲出发或时，两人之间的路程为． 变式1（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 【答案】(1)甲车的平均速度，乙车的平均速度 (2)直线的函数表达式 (3)乙车出发小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为 【分析】本题主要考查数形结合的一次函数的性质，解题的关键是熟悉读懂图形的意义． （1）根据题干可知A，B两地之间的距离为120，为乙车的函数关系，结合坐标点即可求得速度；点为甲车事前停留位置，结合距离即可求得速度； （2）根据题干求得点D和点E的坐标，利用待定系数法即可求得解析式； （3）利用待定系数法求得直线的函数表达式，联立求得交点即为相遇点，进一步求相遇时间和距离即可． 【详解】（1）解：由题意知A，B两地之间的距离为120， 为乙车的函数关系，则， 点为甲车事前停留位置，则， 故甲车的平均速度，乙车的平均速度； （2）解：由图可知点， ∵甲车途中有事保留了0.5小时． ∴点， 设直线的函数表达式，则 ， 解得， ∴直线的函数表达式； （3）解：由图可知点，， 设直线的函数表达式，则 ，解得， ∴直线的函数表达式， 联立， 解得， 则乙车出发小时后两车相遇， 相遇时乙车离A地的距离为 ． 变式2（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． 【答案】(1)300，2 (2) (3)或或 【分析】本题考查一次函数的实际应用，从函数图象中有效的获取信息，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）根据货车的图象得到B、C两地的距离为，进而求出的值，求出轿车的速度，求出轿车从开往地所需的时间，进而求出的值； （2）根据轿车比货车晚到达终点，求出点坐标，进而求出点坐标，待定系数法求出函数解析式即可； （3）分轿车到达地之前，轿车到达地，货车离地，以及货车到达地时，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为，A、B两地的距离为， ∴， ∵轿车的速度为：， ∴轿车从开往地所需的时间为：， ∴； 故答案为：300，2； （2）∵轿车比货车晚到达终点， ∴货车到达地所用时间为：， ∴， ∵货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地， ∴， 设， ∴，解得：， ∴； （3）由（2）可知，货车的速度为：， ∴当轿车到达地之前，，解得：； 当轿车到达地，货车离地时，，则：符合题意； 当货车到达地时，此时轿车离点的距离为：，恰好满足题意，此时； 综上：轿车出发或或时与货车相距40． ◇题型 4 工程问题 典例1（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 【答案】(1)x的值为600 (2)该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元 【分析】（1）根据题意甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等列出分式方程解方程即可； （2）设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元，根据先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于列出不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意列方程，得． 方程两边乘，得． 解得． 检验：当时，． 所以，原分式方程的解为． 答：x的值为600． （2）解：设甲工程队先单独施工天，体育中心共支付施工费用元． 则． ， ． 1400>0， 随的增大而增大． 当时，取得最小值，最小值为56800． 答：该段时间内体育中心至少需要支付施工费用56800元． 【点睛】本题主要考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，熟练掌握知识点是解题的关键． 变式1（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 【答案】(1)30 (2) (3)10天 【分析】（1）由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做，据此计算即可； （2）设乙组停工后y关于x的函数解析式为，用待定系数法求解，再结合图象即可得到自变量x的取值范围； （3）先计算甲乙两组每天各挖掘多少千米，再计算乙组挖掘的总长度，设乙组已停工的天数为a，根据甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等列方程计算即可． 【详解】（1）解：由图可知，前30天甲乙两组合作，30天以后甲组单独做， ∴甲组挖掘了60天，乙组挖掘了30天， （天） ∴甲组比乙组多挖掘了30天， 故答案为：30； （2）解：设乙组停工后y关于x的函数解析式为， 将和两个点代入，可得， 解得， ∴ （3）解：甲组每天挖（米） 甲乙合作每天挖（米） ∴乙组每天挖（米），乙组挖掘的总长度为（米） 设乙组己停工的天数为a， 则， 解得， 答：乙组已停工的天数为10天． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，待定系数法求函数的解析式，理解题意观察图象得到有用信息是解题的关键． 变式2（2025·宁夏石嘴山·一模）石嘴山市近年大力开展贺兰山生态修复工程，计划在废弃矿区内种植耐旱树种以恢复植被．某园林公司购进一批成捆的、两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是元和元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的倍和倍． (1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ (2)如果购进的这批树苗共棵，种树苗至多购进棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． 【答案】(1)元 (2)购进种树苗棵，种树苗棵，能使得购进这批树苗的费用最低为元 【分析】本题考查了分式方程的实际应用，一次函数实际应用，不等式应用等问题，根据题意得到相关“数量关系”，根据数量关系得到方程或函数解析式是解题关键． （1）设这一批树苗平均每棵的价格是元，分别表示出两种树苗的数量，根据“每捆种树苗比每捆种树苗多棵”列方程即可求解； （2）设购进种树苗棵，这批树苗的费用为，得到与的关系式，根据题意得到的取值范围，根据函数增减性即可求解． 【详解】（1）解：设这一批树苗平均每棵的价格是元， 根据题意，得，解得． 经检验，是原分式方程的根，并符合题意． 答：这一批树苗平均每棵的价格是元． （2）由题意可知种树苗每棵价格为元，种树苗每棵价格为元， 设购进种树苗棵，这批树苗的费用为元，则． 是的一次函数，，随着的增大而减小，， 当棵时，最小此时，种树苗有棵， ． 答：购进种树苗棵，种树苗棵，能使得购进这批树苗的费用最低为元． ◇题型 5 分段计费问题 典例1（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 【答案】(1) (2)14.5吨 【分析】本题考查了一次函数的实际应用， （1）利用待定系数法求解即可； （2）将代入求解即可． 【详解】（1）根据题意，得当时，设该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． 将点和点的坐标代入 得， 解得 当时，该用户每月应交水费（元）与用水量（吨）的函数表达式为． （2）当时，得． 解得． 答：该用户5月用了14.5吨水． 变式1（2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 【答案】(1) (2)50957.1元 【分析】此题考查一次函数的应用，理解题意并根据计算公式写出函数关系式是解题的关键： （1）根据计算公式计算即可； （2）先判断李师傅纳税使用级数，再根据对应级数y关于x的函数表达式，当时，求出对应的x的值即可 【详解】（1）解：， ∴y关于x的函数表达式为． （2）解：因为根据李师傅纳税2575.71元，， 所以李师傅纳税适用级数为2级，关于的函数表达式为． 当时，． 解得． 答：李师傅全年应纳税所得额是50957.1元． 变式2（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． 【答案】(1)； (2)； (3)能，理由见解析． 【分析】本题主要考查了一次函数的应用、分段函数的应用，解决本题的关键是根据图象找到因变量与自变量之间的关系． 用待定系数法求出一次函数的关系式为，把代入函数关系式中求值即可； 根据投放纸张超过后，奖励积分为分，从到增加了，可知； 因为获得的积分与投放的塑料与纸张的质量有关，所以应分当时，当时，当时，三种情况求解． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 当时，， 当时，， ， 解得：， 与的函数关系式为， 当时，， 答：投放塑料的奖励积分分； （2）解：由图可知投放纸张奖励积分分， 投放纸张超过后，奖励积分为分， ， ； （3）解：当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， ， 不符合题意； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 不能兑换扫地机器人； 当时， 投放的塑料的积分为分， 投放的纸张的积分为分， 塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍， ， 解得：， 此时，分， ， 能兑换智能扫地机器人． ◇题型 6 调运问题 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨） A 甲 20 25 乙 15 24 (1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？ (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 【答案】(1)甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨 (2)；甲厂200吨全部运往地，乙厂运往地240吨，运往地60吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用、一次函数的最值问题，解答本题的关键在于读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列出方程组求解． （1）设这批物资甲厂生产了a吨，乙厂生产了b吨，根据题意列方程组解答即可； （2）根据题意得出y与x之间的函数关系式以及x的取值范围，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设甲厂生产这批物资吨，乙厂生产这批物资吨， 由题意，得， 解得，， 所以甲厂生产这批物资200吨，乙厂生产这批物资300吨； （2）解：∵ ， ∵， ∴， ∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时运费最小． 所以总运费最少的方案是：甲厂200吨全部运往地；乙厂运往地240吨，运往地60吨． 变式1（2024·内蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．现要把这些肥料全部运往，两乡．从城往，两乡运肥料的费用分别为20元和25元；从城往，两乡运肥料的费用分别为15元和24元．现乡需要肥料，乡需要肥料． (1)设从城往乡运肥料吨，则从城往乡运肥料多少吨（用含x的式子表示，并化简结果）？ (2)设调运的总运费元，请写出关于的函数关系式以及的取值范围； (3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费． 【答案】(1)吨肥料 (2) (3)从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元 【分析】考查了一次函数的应用和列代数式，根据题意正确列出代数式和和一次函数是解题的关键． （1）由题意可得：设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运吨肥料，B城往C乡运吨肥料，即可得到答案； （2）设调运的总运费元，根据（1）中的代数式列出一次函数即可； （3）根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：由题意可得：设从A城往C乡运x吨肥料，则从A城往D乡运吨肥料，B城往C乡运吨肥料， 所以，从B城往D乡运吨肥料； （2）由题意可得： ， ， 解得：； （3） ∵，y随x的增大而增大，， ∴当时，， ∴从A城运往C乡0吨，运往D乡200吨；从B城运往C乡240吨，运往D乡60吨，此时总运费最少，最少的运输费用是元． 变式2（2024·河北张家口·模拟预测）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元． (1)设B粮仓运往C市粮食x吨（x为整数），求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ 【答案】(1)，且x为整数 (2)共有 3种调运方案：方案一：从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨；方案二：从B粮仓调运到C市1吨，D市5吨； 从A粮仓调运到C市9吨，D市3吨；方案三：从B粮仓调运到C市2吨，D市4吨； 从A粮仓调运到C市8吨，D市4吨 (3)从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨时运费最低，最低为8600元 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的实际应用，正确理解题意列出对应的函数关系式是解题的关键． （1）设出B粮仓运往C的数量为x吨，然后根据A，B两粮仓的库存量，和C，D两市的需求量，分别表示出B运往C，D 的数量，再根据总费用A运往C的运费A运往D的运费B运往C的运费B运往D的运费，列出函数关系式即可； （2） 由（1） 中总费用不超过9000元，然后根据取值范围来得出符合条件的方案； （3） 根据（1） 中的函数式以及自变量的取值范围即可得出费用最小的方案． 【详解】（1）解：设B粮仓运往C市粮食x吨，则B粮仓运往D市粮食吨，A粮仓运往C市粮食吨，A 粮仓运往D 市粮食吨， 由题意得， ，且x为整数； （2）解：由题意得， 解得， ∵，且x为整数， ∴x的值可以为0或1或2， 当时，，，， 当时，，，， 当时，，，， 共有 3种调运方案： 方案一：从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨； 方案二：从B粮仓调运到C市1吨，D市5吨； 从A粮仓调运到C市9吨，D市3吨； 方案三：从B粮仓调运到C市2吨，D市4吨； 从A粮仓调运到C市8吨，D市4吨； （3）解：∵，， ∴W随x增大而增大， ∴当时，总运费最低，最低为元， 答：从B粮仓调运到C市0吨，D市6吨，从A粮仓调运到C市10吨，D市2吨时运费最低，最低为8600元． ◇题型 7 计时问题 典例1（2025·北京房山·二模）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） (1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 【答案】(1)图象见解析 (2)①毫升；②天 【分析】本题考查了画函数图象，待定系数法求一次函数，一次函数的应用，正确读懂题意，求得正确的一次函数解析式是解题的关键． （1）将表格数据在坐标系中描点、连线，即可求解． （2）①观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系，再选取两组数据代入函数解析式，根据待定系数法，即可得到y关于t的表达式；将代入函数，即可解答； ②由解析式可知，每分钟滴水量为毫升，故可算出1个月的总滴水量，再除以一个人每天的饮水量，即可解答． 【详解】（1）描点，连线，如图， （2）①解：观察表格，可发现前一分钟比后一分钟少5毫升的水，故可得能正确反映总水量y与时间t的函数关系， 把，代入， 可得， 解得， y关于t的表达式； 当时，， 故小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升， 答：小明在第20分钟测量时量筒的总水量是102毫升． ②由解析式可知，每分钟的滴水量为毫升， 30天分钟分钟， 可供一人饮水天数天， 答：这个水龙头一个月（按30天计）的漏水量可供一人饮用144天． 变式1（2025·陕西西安·二模）《卜算子·黄州定慧院寓居作》 宋・苏轼 缺月挂疏桐，漏断人初静．谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影． 惊起却回头，有恨无人省．拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷． 《卜算子·黄州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人计时用的漏壶．某学习小组在了解漏壶的过程中，按照其原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，研究开始时圆柱容器中已有一部分液体．下表是研究过程中记录的圆柱容器液面高度（单位：cm）与时间（单位：h）的数据． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y/cm 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并判断与之间是我们学过的_____（填“一次”或“反比例”）函数． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到20cm时，所需的时间是多少h？ 【答案】（1）①图见解析；一次；② （2）所需的时间是8h 【分析】本题主要考查一次函数的应用，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）根据题意描出各点，然后连线即可；由图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为，然后利用待定系数法求解即可； （2）把代入（1）中解析式进行求解即可． 【详解】解：（1）①描点、连线如图所示． 与之间是我们学过的一次函数． 故答案为：一次 ②设函数关系式为． 将和代入， 得 解得 与之间的函数关系式为． （2）当时，， 解得， 当圆柱容器液面高度达到时，所需的时间是． 变式2（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h（单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． 【答案】(1)水持续滴入时间每增加，水位高度会增加， (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用； （1）设出函数解析式，再根据表格中的数据利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求解析式求出当时，的值即可得到答案． 【详解】（1）解：水持续滴入时间每增加，水位高度会增加， 设h关于t的函数解析式为，由可得， 将代入中， 得， 解得， ∴h与t的解析式为； （2）解：将代入中， 解得， ∵， ∴每个相邻时刻线之间的距离为． ◇题型 8 体积问题 典例1（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 【答案】(1)弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； (2)； (3)，． 【分析】本题考查了一次函数的应用． （1）直接根据图②作答即可； （2）设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为，别将，代入计算即可； （3）由题意可知小铝重为，将代入得，将变形即可求出，求出当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为，将代入计算即可． 【详解】（1）解：由图②可知，当小铝块下降10cm时，弹簧测力计A的示数为，弹簧测力计B的示数为； （2）解：设当时，弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， ∴； （3）解：由题意可知小铝重为， 将代入得， 则，即； 则使乙液体中的小铝块所受的浮力为， ∴， 设当时，弹簧测力计B的示数关于x的函数解析式为， 由图可知经过， 分别将，代入得： ， 解得：， 即， 将代入得：， 解得：， ∴深度为． 变式1．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 【答案】(1) (2) 【分析】该题考查了一次函数的应用，解题的关键是理解题意． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，求解即可． 【详解】（1）解：设与的函数关系式为， 则，解得， 故与的函数关系式为． （2）解：令， 则，解得：， 答：停止加热时的气体温度为． 变式2（2025·河北·三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积单位：且与温度单位：满足一次函数关系.嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线上，淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据虚线上的点如图所示． (1)求直线的解析式． (2)嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确． (3)淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值． 【答案】(1) (2)不正确 (3) 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握待定系数法求一次函数的关系式是解题的关键． 根据待定系数法计算即可； 根据题意列关于x的一元一次方程并求解，将该x的值代入函数关系式，若使得，则说明存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍，否则不存在； 根据题意列出等式，根据k与x无关求出k的值即可． 【详解】（1）设直线AB的解析式为、b为常数，且 将和分别代入， 得， 解得， 直线AB的解析式为 （2）根据题意，得， 解得， 当时，，，与已知的气体的体积矛盾， 不存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍， 嘉嘉的说法不正确． （3）根据题意，得， 经整理，得， 与x无关， ， ◇题型 9 几何问题 典例1（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了一次函数综合题，考查了求一次函数解析式，关于轴对称的点的性质，两直线的交点坐标，利用数形结合的思想解决问题是关键． （1）先将点代入，得出点的坐标，再利用待定系数法求解即可； （2）先求出，根据关于轴对称的点的性质得到，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点．利用待定系数法求出直线和直线的解析式，联立得到点的坐标，再根据点在线段之间（不含线段端点），即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得，，即． 将点，代入得，， 解得：，． （2）解：由（1）知直线的解析式为． 令，则，解得：， ． 是关于轴的对称点， ． 如图，作点关于轴的对称点，则，连接，与交于点． 设直线的解析式为， 把代入得，解得， 直线的解析式为； 设直线的解析式为，则有， ，． 直线的解析式为， 联立可得：，解得，． 点， 当在内部时（不含边界），点在线段之间（不含线段端点）， ． 变式1（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 【答案】(1)这两个函数的解析式分别为和 (2) (3) 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数与一元一次方程等，熟练掌握待定系数法求解析式，求一次函数与坐标轴的交点，利用函数图象直接得出不等式的解集，是解答此题的关键． （1）把点分别代入函数和，求出a、b的值即可； （2）根据（1）中两个函数的解析式得出A、B两点的坐标，再由三角形的面积公式即可得出结论； （3）直接观察函数图象即可得出结论． 【详解】（1）解：∵将点 代入， 得， 解得， 将点代入， 得， 解得， 这两个函数的解析式分别为和； （2）解：∵在中， 令，得， ， 在中， 令，得， ， ， ； （3）解：由函数图象可知，当时，． 变式2（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） 【答案】(1)1； (2) (3) 【分析】（）把代入一次函数解析式可求出的值，把代入一次函数解析式可求出点的坐标； （）求出点的坐标，再利用待定系数法解答即可求解； （）求出点坐标，进而可得的长，由题可知点的坐标为，把代入一次函数解析式分别求出和，再根据列出函数解析式即可； 本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数图象与坐标轴的交点问题，一次函数的几何应用，掌握待定系数法是解题的关键． 【详解】（1）解：把点代入，得， ∴， 把代入，得， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵， ∴直线的函数解析式为， 把代入，得，即， ∴点的坐标为， 设直线的函数解析式为，把点，代入得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为； （3）解：把代入，得， 解得， ∴， ， 由题可知点的坐标为， 将分别代入直线，的解析式，得，， ， ． ◇题型 10 新考法：新情景问题 典例1（2025·陕西西安·二模）如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 27 【建立模型】小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 【答案】(1) (2)当甲容器中的水面高度为时是 【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握待定系数法求解析式，根据函数值求自变量的值的计算是关键． （1）设h与t的函数解析式为（为常数，且），运用待定系数法即可求解； （2）当时，得，由此解出自变量的值即可． 【详解】（1）解：设h与t的函数解析式为（为常数，且）， 将，和，分别代入，得 ， 解得， ∴与t的函数解析式为； （2）解：当时，得， 解得， ， 答：当甲容器中的水面高度为时是． 变式1（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题背景】某校生物学习小组研究在同一实验条件下同一药物对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 运用一次函数来研究同一药物对不同品种植物幼苗生长速度的影响 素材1 下表为甲植物幼苗单位时间的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 … 甲植物幼苗单位时间的生长高度 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 … 素材2 如图为乙植物幼苗单位时间的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段） 问题解决 任务1 建立模型 分别求、与x之间的函数关系式； 任务2 绘制图象 在图中画出的函数图象； 任务3 解决问题 根据图象判断，当该药物施用量为时，哪种植物幼苗的生长速度较快？ 【答案】任务1：，；任务2：函数图象见解析；任务3：乙植物幼苗的生长速度较快 【分析】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出函数关系式、掌握描点作图的方法是解题的关键． 任务1：分别计算药物施用量增加，甲、乙植物幼苗单位时间的生长高度增加量，从而写出、与x之间的函数关系式即可； 任务2：当时，求出的值，再从表格中任选一组数据，在同一坐标系中描点这两个点并连线即可； 任务3：根据图象，当时比较与的大小，较大的对应的那种植物幼苗的生长速度较快． 【详解】解：任务1：由表格可知，药物施用量增加，甲植物幼苗单位时间的生长高度增加， ∴， 药物施用量增加，乙植物幼苗单位时间的生长高度增加， ∴． 任务2：当时，，当时，，描点并连线如图所示： 任务3：根据图象，当时，，，， ∴当该药物施用量为时，乙植物幼苗的生长速度较快． ◇题型 11 新考法：与现实有关的热考问题 典例1（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2) (3)零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）根据现在售价为每个60元，每天可销售100个，售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，即可得解； （2）根据总利润单件利润销售数量即可得解； （3）根据二次函数的性质即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：； （2）解：由题意可得：； （3）解：， ∵， ∴当时，随着的增大而增大， ∵为整数， ∴当时，最大，为元，此时定价为（元）， ∴零售店定价为元时，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大，最大利润是元． 变式1（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 【答案】(1)A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元 (2)此次购进至少要花元钱 【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用． （1）设购进A种哪吒玩偶的单价是x元，则购进B种哪吒玩偶的单价是元，利用数量=总价÷单价，结合购进两种玩偶的数量共15个，可列出关于x的分式方程，解之经检验后，可得出x的值（即购进A种哪吒玩偶的单价），再将其代入中，即可求出购进B种哪吒玩偶的单价； （2）设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个，根据购进A种哪吒玩偶的数量不多于B种哪吒玩偶数量的2倍，可列出关于a的一元一次不等式，解之可得出a的取值范围，设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元，利用总价=单价×数量，可找出w关于a的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【详解】（1）解：设A种哪吒玩偶的单价为元，则B种哪吒玩偶的单价为元． 根据题意，得： 解得： 经检验：是原分式方程的解 B种：元 答：A种哪吒玩偶单价是30元，B种哪吒玩偶单价是60元． （2）解：设购进A种哪吒玩偶个，则购进B种哪吒玩偶个 根据题意，得： 解得： 设该玩具店再次购进A、B两种哪吒玩偶共花费w元， 花费 整理，得： ∵，当时，随的增大而减小 ∴当时，取得最小值，最小值元 答：此次购进至少要花元钱． 变式2（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2)工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ 【答案】(1)生产甲、乙两款服装分别为件，件； (2)生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，一次函数的应用，不等式组的应用，正确理解题意列得方程及函数解析式，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）设生产甲、乙两款服装分别为件，件，根据该工厂共投入230000元来生产两款服装共300件，列方程组解题即可； （2）设生产甲款服装件，则生产乙款服装件，获得的总利润为元，根据甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍，列出一元一次不等式组求出，再列出函数关系式，结合为正整数，根据函数的增减性解答即可． 【详解】（1）解：设生产甲、乙两款服装分别为件，件， 根据题意得， 解得：， 答：生产甲、乙两款服装分别为件，件； （2）解：设生产甲款服装件，则生产乙款服装件， 根据题意得， 解得， 设获得的总利润为元， ∴， ∵，且为正整数， ∴当时，最大利润为（元）， 则（件）， 答：生产甲款服装件，生产乙款服装件，可获得最大利润． ◇题型 12 新考法：跨学科问题 典例1（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 【答案】(1)猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是读懂题意，列出函数关系式； （1）观察表格发现弹簧测力计的初始示数为，h每增加，F减少，由此可猜想F与h的函数类型是一次函数，可设，再从表格中找两个相对简单的数值代入求出待定系数，最后选一对数值进行验证； （2）当，F与h是一次函数关系，当，浮力大小不变，图像是一条平行于x轴的线段，由此即可作出图像. 【详解】（1）解：猜想F与h之间满足一次函数关系， 设F与h之间的函数表达式为，把，与，代入，得解得 ∴， 验证：当时，， ∴符合. 故答案为猜想F与h之间满足一次函数关系，，验证符合. （2）解：当圆柱体没有完全浸入水中，即时，F与h是一次函数关系，即，当时，，当时，，可画出图像； 当圆柱体完全浸入水中之后，即时，浮力保持不变，弹簧测力计的示数也不再变化，图像是一条平行于x轴的线段； 所以当时，F与h的函数图象如图所示． 变式1（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的实际应用，解题的关键是求出一次函数与反比例函数的解析式． （1）设，利用待定系数法求出解析式，进而求出时的值，根据即可求出总电阻的值； （2）由（1）知时，，利用待定系数法求解即可； （3）当时，取最小值，取最小值，由随x的增大而减小，可得取最小值时，x取最大值，由此可解． 【详解】（1）解：由图3可知可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系为一次函数关系式， 设， 将，代入解析式，得：， 解得， ， 当时， ， 此时 ， 即总电阻的值为； （2）解：设电流与总电阻（单位：）的函数解析式为， 由（1）知时，， ， 关于总电阻的函数表达式为； （3）解： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取最小值，最小值为：， 此时取最小值，最小值为： ， ， 随x的增大而减小， 取最小值2时，x取最大值， 令，解得， 即该电子秤所称物品质量的最大值为． 变式2（2025·吉林长春·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应状态为___________，点对应状态为___________（填写图形序号），___________，___________； (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． 【答案】(1)②，④，10，5 (2)此时弹簧测力计显示的读数为 【分析】本题考查了一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是解此题的关键． （1）根据圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力一直在减小，并结合图形分析即可得解； （2）利用待定系数法求出线段对应的函数关系式为，再代入计算即可得解． 【详解】（1）解：圆柱体从刚刚接触到水面到刚好完全进入水中，拉力一直在减小， ∴点对应状态为②，点对应状态为④， ∵弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和， ∴，； （2）解：设线段对应的函数关系式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴线段对应的函数关系式为， 当时，， ∴此时弹簧测力计显示的读数为． ◇题型 13 新考法：中考预测题 典例1（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5)相邻刻线间的距离为5厘米 【分析】（1）根据题意可直接进行求解； （2）根据题意可直接代值求解； （3）由（1）（2）可建立二元一次方程组进行求解； （4）根据（3）可进行求解； （5）分别把，，，，，，，，，，代入求解，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：， ∴， ∴； （2）解：由题意得：， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：， 解得：； （4）解：由任务一可知：， ∴， ∴； （5）解：由（4）可知， ∴当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有；当时，则有； ∴相邻刻线间的距离为5厘米． 【点睛】本题主要考查一次函数的应用，解题的关键是理解题意． 变式1（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查解直角三角形及一次函数的应用，掌握求一次函数的解析式是解题的关键． （1）根据在中，，，求出结论即可； （2）用待定系数法分别求出表达式即可； （3）首先得出当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好，即，解出t的值，求出范围即可． 【详解】（1）解：由题意得：在中，， 由图（2）知：无人机乙刚起飞时离地面的高度， ， ， ∴起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为； （2）解：由图（2），设无人机甲距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； 设无人机乙距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式为， 把代入，则， 解得：， ； （3）解：∵起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离为， ∴当两架无人机垂直距离为时，下面的一架无人机观察另一架无人机的仰角刚好， 即， ， 解得：或， ， ∴一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长为． 变式2（2025·宁夏中卫·二模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． 【答案】(1)，2 (2) (3) 【分析】（1）根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式，当时，求出对应y的值即可； （2）根据列关于x的一元一次方程并求解即可； （3）根据挎带的长度=单层部分+双层部分长度写出t关于x的函数关系式，当时，求出对应x的值，即x的最大值，从而求出x的取值范围，进而求出t的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据表格，x增加，y减小， 则， 关于x的函数解析式为， 当时，， 当时，的值为2； （2）解：根据题意，得，即， 解得， 答：此时单层部分的长度是； （3）解：， 当时，得， 解得， ， ， 的取值范围为． 【点睛】本题考查一次函数的应用，根据变量的变化规律写出y关于x的函数解析式、掌握一元一次方程及一元一次不等式的解法是解题的关键． ◇难点 1 分段函数中一次函数的应用 典例1（2025·陕西·模拟预测）某公司推出了一款新的汽车，成本价为45万元/辆．该产品一经推出，便因为其公司极高的口碑及较高的制作工艺，受到了广大人民的青睐．某消费者通过查阅某平台的资料，发现该车售价为53万元，她通过记录该车的销量，将其绘制成了图象：图中的折线表示每时销售量y（万辆）与销售时间（时）之间的函数关系． (1)分别求出段和段所对应的函数表达式． (2)在记录的这几小时内，每时销售利润不低于万元的时间有多少？ 【答案】(1)， (2)小时． 【分析】本题考查一次函数的应用．用到的知识点为：函数图象为过原点的直线（射线，线段），函数解析式可设为：，函数图象为任意直线（射线，线段），函数解析式可设为：． （1）段的函数为正比例函数，设，把点代入可求得的值，进而可得段的函数解析式；段的函数为一次函数，可设，把点，，代入可得和的值，即可求得段的函数解析式； （2）把分别代入得到的两个销售利润的函数解析式中，可求得相应的时间，即可求得每时销售利润不低于万元的时间数． 【详解】（1）解：设段所对应的函数表达式为， 将代入 中，得： ． 解得：， 段所对应的函数表达式为：． 设段所对应的函数表达式为． 经过点，， ． 解得：． 段所对应的函数表达式为：； （2）设销售利润为， 当时， 解得， 当时，， 当时，， 当时，，解得，， 当时，，解得，， ∵， ∴在记录的这5个小时内，每时销售利润不低于万元的时间为小时， 答：在记录的这几小时内，每时销售利润不低于万元的时间小时． 变式1（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． 【答案】(1) (2)，图象见解答 (3)分钟或分钟或分钟 【分析】（1）分别求出小明和妈妈的速度，再求出妈妈到家所用时间和在家停留的时间，从而求出点的横坐标，求出此时小明离开家的距离，即的纵坐标，进而得到的坐标即可； （2）根据路程速度时间写出与的函数关系式，写出与的函数关系式并画出其图象即可； （3）根据的取值范围，当两人相距米时分别列关于的方程并求解即可． 本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系是解题的关键． 【详解】（1）解：小明的速度为米分钟，则妈妈的速度为米分钟， 妈妈到家所用时间为分钟， 妈妈在家停留的时间为分钟， 分钟， 点的坐标为， 米， 点的纵坐标为． 点的横坐标是． 故答案为：． （2）解：， 米与时间分钟的函数关系式及自变量的取值范围为． 当时，， 当时，， 当时，， 与的函数关系式为， 在图中画出妈妈和商店的距离米与时间分钟的函数关系的图象如图所示： （3）解：当时，两人相距米时，得， 解得或， 当时，两人相距米时，得， 解得舍去或舍去， 当时，两人相距米时，得， 解得． 答：为分钟或分钟或分钟时，两人相距米． 【点睛】本题主要考查一次函数的实际应用，涉及行程问题中路程、速度、时间的关系，以及分段函数的构建与求解．熟练掌握路程公式（路程=速度×时间）、分段分析运动过程、准确构建函数关系式是解题的关键． 变式2（2025·浙江·三模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： (1)小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”） (2)当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式． (3)一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差． 【答案】(1)B (2)当时，， (3)小金和小衢骑行的时间差为 【分析】本题考查一次函数的应用，掌握时间、速度和路程之间的关系，写出函数关系式是解题的关键． (1)根据时间路程速度求出小金从家到公司所用时间，再根据图象比较与的大小即可； (2)分别计算、两种共享单车每分钟的费用，从而写出对应函数关系式即可； (3)分别计算当、时对应的值并求差即可． 【详解】（1）解：小金从家到公司所用时间为， 由图象可知，当时，， 小金选择电动车更省钱． 故答案为：． （2）解：当时，种共享单车每分钟的费用为（元， 种共享单车每分钟的费用为（元， 则，， 当时，种共享单车的支付费用的函数表达式为， 种共享单车的支付费用的函数表达式为． （3）解：当时，得，解得， 当时，得，解得， ． 答：小金和小衢骑行的时间差为． ◇测能力 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据表格数据，确定一次函数中的系数a和常数项b，再代入计算v的值，即可解题． 【详解】解： 满足公式， 由表格数据可得， 解得， 即， 当温度t为时，， 故选：B． 2．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 【答案】D 【分析】根据路程、速度、时间的关系，结合图象提供信息逐项判断即可． 【详解】解：时，，因此小星家离黄果树景点的路程为，故A选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发第1小时的平均速度为，故B选项错误，不合题意； 时，，因此小星从家出发2小时离景点的路程为，故C选项错误，不合题意； 小明离家1小时后的行驶速度为，从家出发2小时离景点的路程为，还需要行驶1小时，因此小星从家到黄果树景点的时间共用了，故D选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】本题主要考查从函数图象获取信息，解题的关键是理解题意，看懂所给一次函数的图象． 3．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（    ）    A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35 【答案】A 【分析】利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，将两个解析式联立，通过解方程求出交点的横坐标即可． 【详解】解：令小亮出发时对应的t值为0，小莹出发时对应的t值为10，则小亮到达乙地时对应的t值为70，小莹到达甲地时对应的t值为40， 设小亮对应函数图象的解析式为， 将代入解析式得，解得， 小亮对应函数图象的解析式为， 设小莹对应函数图象的解析式为， 将，代入解析式，得， 解得， 小莹对应函数图象的解析式为， 令，得， 解得， 小亮与小莹相遇的时刻为8:28． 故选A． 【点睛】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是利用待定系数法求出两条直线的函数解析式，熟练运用数形结合思想． 4．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 【答案】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，求出时的的值即可． 【详解】解：由题意，当时，解得：； ∴轿车从A地到达B地所用时间是小时； 故答案为：． 5．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 【答案】0.8 【分析】本题主要考查了胡克定律的应用，熟练掌握胡克定律（其中为弹力，为劲度系数，为弹簧伸长或压缩量 ）及重力与质量的关系是解题的关键．先根据已知条件求出弹簧的劲度系数，再利用胡克定律求出弹簧长度为厘米时所挂物体的质量． 【详解】解：不挂物体时弹簧长度厘米，挂质量千克物体时，弹簧长度厘米，则弹簧伸长量(厘米)． 物体重力（为常量），根据胡克定律，可得，即，解得． 当弹簧长度厘米时，弹簧伸长量(厘米)． 设此时所挂物体质量为千克，则，因为，所以，两边同时除以，得． 故答案为： ． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 【答案】(1)合作社每天芒果的销售利润为元 (2)芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间 【分析】本题考查一次函数的实际应用，一元一次不等式的实际应用，正确的列出不等式，是解题的关键： （1）求出时的函数值，根据总利润等于单件利润乘以销量，列式计算； （2）根据每天的销售量不少于300箱，列出不等式求出的范围，结合芒果的售价不低于86元/箱，求出范围即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，； ∴合作社每天芒果的销售利润为（元）； 答：合作社每天芒果的销售利润为元； （2）由题意，得：， 解得：， 又∵， ∴． 故芒果的售价应该定在86元/箱到95元/箱之间． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 【答案】(1) (2)，的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约万个； 预测我国2025年发明专利申请授权数万个 【分析】此题考查了有理数的混合运算的实际应用，一次函数的实际应用，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． （1）根据题意列式求解即可； （2）利用待定系数法求出满足的函数表达式，然后得到的实际意义，然后将代入表达式求解即可． 【详解】（1）解： ∴2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率约为； （2）解：将，代入得， ， 解得， ∴； 其中的实际意义为 年我国发明专利申请授权数年均增长约 万个； 当时，， ∴预测我国2025年发明专利申请授权数万个． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． 【答案】(1)款机器人的单价为5万元，款机器人的单价为4万元 (2)购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、分式方程的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式和一次函数关系式． （1）设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元，根据用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同，列出分式方程，解方程即可； （2）设购买款机器人台，则购买款机器人台，根据购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得，再设购买成本为万元，根据题意列出关于的一次函数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 【详解】（1）解：设款机器人的单价为万元，则款机器人的单价为万元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：款机器人的单价为5万元，则款机器人的单价为4万元； （2）解：设购买款机器人台，则购买款机器人台， 根据题意得：， 解得：， 设购买成本为万元， 根据题意得：， ， 随的增大而增大， 当时，有最小值， 此时，， 答：购买成本最少的方案是购买款机器人4台，款机器人8台． ◇提能力 1．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 【答案】(1)、； (2)； (3)． 【分析】本题是新定义阅读题，考查了理解能力，与圆的位置关系，勾股定理等知识，解决问题的关键是几何直观能力，数形结合． （1）根据定义验证可得结果； （2）根据最大值为6，所以以为圆心，3为半径画圆，根据勾股定理求得，进而求得结果； （3）以为圆心，1为半径作圆，直线与圆相切，此时，以为圆心，2为半径作圆，直线与圆相切，求得，进而求得结果． 【详解】（1）解：如图1， ，， ，是的“倍弦线”， 与不相交，， 和不是的“倍弦线”， 故答案为：、； （2）解：如图2， 以为圆心，3 为半径画圆交直线于和， ， ； （3）解：如图3， 以为圆心，2为半径画圆，直线与相切， 此时， 以为圆心，1为半径作，直线与相切， 此时， ． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为． 【分析】（1）先求得，，再根据题意求得，，再利用待定系数法求解即可； （2）过作于点，延长交于，联立求得，证明得到，，，，求得，再利用三角形的面积公式求解即可； （3）连接，设与的交点为．证明，推出，，，过作于点，过作于点，和，得到，，利用三角形面积公式和勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：对于，当时，， 当时，，解得， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 把，代入，得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：过作于点，延长交于， 联立， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，点的横坐标为1， 由题意，得， ∴， ∴， ∵，点、在上， ∴点的纵坐标与点纵坐标相同，即， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：连接，设与的交点为． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∵，，， ∴， ∵， ∴， 过作于点，过作于点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的面积为． 【点睛】本题是综合题，其中涉及利用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，全等三角形，等腰直角三角形的性质，勾股定理等知识，综合性较强，有一定难度．准确作出辅助线构造三角形全等，利用数形结合与方程思想是解题的关键． 2 / 68 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第03讲 一次函数的应用 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 一次函数的应用 命题突破👉破解常考题型 题型1 最优方案问题 题型2 最值问题 题型3 行程问题 题型4 工程问题 题型5 分段计费问题 题型6 调运问题 题型7 计时问题 题型8 体积问题 题型9 几何问题 题型10 新考法：新情景问题 题型11 新考法：与现实有关的热考问题 题型12 新考法：跨学科问题 题型13 新考法：中考预测题 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 分段函数中一次函数的应用 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 一次函数的应用 一次函数的应用是初中数学代数与实际问题结合的核心考点，本质是建立数学模型—— 将实际问题中的两个变量（如时间与路程、数量与总价）转化为一次函数关系 y=kx+b（k=0），再通过函数的解析式、图象、性质解决最值、方案选择、分段计费等问题。 常见应用模型及对应关系 应用类型 等量关系 函数模型 行程问题 路程s=速度v×时间t 若有初始距离a：s=vt+a ①匀速运动：正比例函数s=vt（无初始距离） ②有初始距离：一次函数 s=vt+a 经济利润问题 ①总价y=单价k×数量x+固定成本b ②利润=总售价−总成 ①无固定成本：正比例函数 y=kx（如纯单价销售） ②有固定成本：一次函数 y=kx+b（如含运费、包装费） 分段计费问题 （水费/电费/话费） 不同区间内计费标准不同，每段为线性关系 分段一次函数 方案选择问题 （工程/运输） 不同方案的成本/收益与数量成线性关系 多个一次函数 ◇题型 1 最优方案问题 典例1（2025·青海西宁·中考真题）西宁将丁香定为市花，是这座城市同丁香的精神共鸣——坚韧、顽强、浪漫．某小区物业计划购买白丁香、紫丁香两个品种的丁香，用于美化小区．若购买12株白丁香和7株紫丁香共1160元；购买9株白丁香和14株紫丁香共1570元． (1)求白丁香和紫丁香的单价分别是多少？ (2)该小区物业计划购买白丁香和紫丁香共45株，其中紫丁香至少购买20株，怎样购买总费用最少？最少费用为多少元？ 变式1（2024·山东东营·中考真题）随着新能源汽车的发展，东营市某公交公司计划用新能源公交车淘汰“冒黑烟”较严重的燃油公交车．新能源公交车有型和型两种车型，若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元；若购买型公交车辆，型公交车辆，共需万元． (1)求购买型和型新能源公交车每辆各需多少万元？ (2)经调研，某条线路上的型和型新能源公交车每辆年均载客量分别为万人次和万人次．公司准备购买辆型、型两种新能源公交车，总费用不超过万元．为保障该线路的年均载客总量最大，请设计购买方案，并求出年均载客总量的最大值． 变式2（2023·内蒙古呼和浩特·中考真题）学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动．到达农场后分组进行劳动，若每位老师带38名学生，则还剩6名学生没老师带；若每位老师带40名学生，则有一位老师少带6名学生．劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用汽车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师．现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如下表所示 甲型客车 乙型客车 载客量/（人/辆） 45 30 租金/（元/辆） 400 280 (1)参加本次实践活动的老师和学生各有多少名？ (2)租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车________辆； (3)学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？ 变式3（2023·内蒙古·中考真题）端午节吃粽子是中华民族的传统习俗．市场上豆沙粽礼盒的进价比肉粽礼盒的进价每盒便宜10元，某商家用2500元购进的肉粽和用2000元购进的豆沙粽盒数相同．    (1)求每盒肉粽和每盒豆沙粽的进价； (2)商家计划只购买豆沙粽礼盒销售，经调查了解到有A，两个厂家可供选择，两个厂家针对价格相同的豆沙粽礼盒给出了不同的优惠方案： A厂家：一律打8折出售． 厂家：若一次性购买礼盒数量超过25盒，超过的部分打7折．该商家计划购买豆沙粽礼盒盒，设去A厂家购买应付元，去厂家购买应付元，其函数图象如图所示： ①分别求出，与之间的函数关系； ②若该商家只在一个厂家购买，怎样买划算？ ◇题型 2 最值问题 典例1（2025·山东青岛·模拟预测）某中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜，若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用440元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用304元． (1)求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元？ (2)该中学决定购买A型和B型放大镜共75个，其中A型放大镜的数量不少于B型放大镜数量的3倍，则如何购买费用最少？最少费用多少元？ 变式1（2025·云南·模拟预测）为创建“绿色校园”，绿化校园环境，某校计划分两次购进A，B两种花草，第一次分别购进A，B两种花草30棵和15棵，共花费675元，第二次分别购进A，B两种花草12棵和5棵，共花费265元（两次购进同种花草的价格相同）．求： (1)A，B两种花草每棵的价格分别是多少元？ (2)若计划购买A，B两种花草共100棵，其中购买A种花草m棵，且，购买B种花草的数量不少于A种花草的数量的3倍．请你给出一种费用最省的方案，并求该方案的所需费用． 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）某公司要将总重量为的货物运送到距公司分别为和的A地和B地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共辆，车辆的信息如下表： 车辆型号 装载量 每百千米油耗 甲 t 升 乙 8 t 升 (1)若每辆车都满载且刚好将货物运完，则公司拥有甲，乙两种型号的车辆各多少辆？ (2)在（1）的条件下，现公司将辆车派往A地，其中甲种车辆m辆，其余车辆派往B地，且运往A地的货物不得多于 ，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？ ◇题型 3 行程问题 典例1（2025·江苏宿迁·中考真题）甲、乙两人从同一地点出发沿同一路线匀速步行前往处参加活动．甲比乙早出发，两人途中均未休息，先到达处的人在原地休息等待，直到另一人到达处．两人之间的路程与甲行走的时间的函数图像如图所示． (1)乙步行的速度为___________之间的路程为___________； (2)当时，求关于的函数表达式； (3)甲出发多长时间时，两人之间的路程为． 变式1（2025·浙江丽水·二模）同一条公路连结A、B两地，甲车从A地匀速行驶去B地，乙车从B地匀速行驶去A地，甲车先出发，途中有事停留了0.5小时．甲、乙两车与B地的距离与甲车行驶时间的函数关系如图所示． (1)求甲、乙两车各自的平均速度； (2)求线段所在直线的函数表达式． (3)乙车出发多少小时后两车相遇，相遇时乙车离A地的距离为多少千米？ 变式2（2025·黑龙江·中考真题）一条公路上依次有A、B、C三地，一辆轿车从A地出发途经B地接人，停留一段时间后原速驶往C地；一辆货车从C地出发，送货到达B地后立即原路原速返回C地（卸货时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚到达终点，两车均按各自速度匀速行驶．如图是轿车和货车距各自出发地的距离y（单位：）与轿车的行驶时间x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答下列问题： (1)图中a的值是_______，b的值是_______； (2)在货车从B地返回C地的过程中，求货车距出发地的距离y（单位：）与行驶时间x（单位：h）之间的函数解析式； (3)直接写出轿车出发多长时间与货车相距40． ◇题型 4 工程问题 典例1（2023·江苏南通·中考真题）为推进全民健身设施建设，某体育中心准备改扩建一块运动场地．现有甲、乙两个工程队参与施工，具体信息如下： 信息— 工程队 每天施工面积（单位：） 每天施工费用（单位：元） 甲 3600 乙 x 2200 信息二 甲工程队施工所需天数与乙工程队施工所需天数相等． (1)求x的值； (2)该工程计划先由甲工程队单独施工若干天，再由乙工程队单独继续施工，两队共施工22天，且完成的施工面积不少于．该段时间内体育中心至少需要支付多少施工费用? 变式1（2023·吉林·中考真题）甲、乙两个工程组同时挖掘沈白高铁某段隧道，两组每天挖掘长度均保持不变，合作一段时间后，乙组因维修设备而停工，甲组单独完成了剩下的任务，甲、乙两组挖掘的长度之和与甲组挖掘时间x（天）之间的关系如图所示．    (1)甲组比乙组多挖掘了__________天． (2)求乙组停工后y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围． (3)当甲组挖掘的总长度与乙组挖掘的总长度相等时，直接写出乙组已停工的天数． 变式2（2025·宁夏石嘴山·一模）石嘴山市近年大力开展贺兰山生态修复工程，计划在废弃矿区内种植耐旱树种以恢复植被．某园林公司购进一批成捆的、两种树苗，每捆种树苗比每捆种树苗多棵，每捆种树苗和每捆种树苗的价格分别是元和元，而每棵种树苗和每棵种树苗的价格分别是这一批树苗平均每棵价格的倍和倍． (1)求这一批树苗平均每棵的价格是多少元？ (2)如果购进的这批树苗共棵，种树苗至多购进棵，为了使购进的这批树苗的费用最低，应购进种树苗和种树苗各多少棵？并求出最低费用． ◇题型 5 分段计费问题 典例1（2025·陕西商洛·模拟预测）今年雨水稀少，土地干旱，对我国多个地区产生显著影响为了加强居民的节约用水意识，某市制订了每月用水12吨以内（包括12吨）和用水12吨以上两种收费标准某用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数图象如图所示． (1)若该用户每月用水量都超过12吨，求该用户每月应交水费y（元）与用水量x（吨）的函数表达式； (2)若该用户5月交水费63元，则该用户5月用了多少吨水？ 变式1（2025·山西朔州·模拟预测）每年年终，居民个人需要汇总上年度本人全年应纳税所得额，进行综合年度汇算，依法纳税．下表是2025年我国现行个人所得税税率表（1至4级部分） 个人所得税税率表（综合所得适用） 级数 全年应纳税所得额 税率 速算扣除数 1 不超过36000元的 3 0 2 超过36000元至144000元的 10 2520 3 超过144000元至300000元的 20 16920 4 超过300000元至420000元的 25 31920 计算公式：应纳税额全年应纳税所得额×适用税率速算扣除数． 设个人全年应纳税所得额为x元，应缴纳税款为y元． (1)若张师傅纳税适用级数为2级，请写出y关于x的函数表达式； (2)已知李师傅纳税2575.71元，他全年应纳税所得额是多少元？ 变式2（2025·江苏无锡·二模）某社区推出智能可回收垃圾投放箱，居民投放可回收物，可以赚取积分兑换生活用品．为了鼓励居民积极投放，超过一定投放质量后，奖励积分升级．其中塑料与纸张的奖励积分（分）与投放质量的函数关系如图所示，已知投放纸张超过后，奖励积分为分，规定积分满分，可以兑换智能扫地机器人一台． (1)求投放塑料的奖励积分； (2)求的值； (3)若投放的塑料的奖励积分是投放相同质量纸张的奖励积分的 倍，求一次性投放塑料和纸张所获得的积分和，可以兑换到智能扫地机器人吗？通过计算说明． ◇题型 6 调运问题 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）内蒙古自治区第十一届少数民族体育运动会将在赤峰市举行，活动定于2025年7月20日至31日．为了更好地筹办本次运动会，甲、乙两厂积极生产了某种物资共500吨，乙厂的生产量是甲厂的2倍少100吨．这批物资将运往地240吨，地260吨，运费如表所示：（单位：元/吨） A 甲 20 25 乙 15 24 (1)求甲、乙两厂各生产了这批物资多少吨？ (2)设这批物资从乙厂运往地吨，全部运往两地的总运费为元．求与之间的函数关系式，并设计使总运费最少的调运方案． 变式1（2024·内蒙古呼和浩特·二模）城有肥料，城有肥料．现要把这些肥料全部运往，两乡．从城往，两乡运肥料的费用分别为20元和25元；从城往，两乡运肥料的费用分别为15元和24元．现乡需要肥料，乡需要肥料． (1)设从城往乡运肥料吨，则从城往乡运肥料多少吨（用含x的式子表示，并化简结果）？ (2)设调运的总运费元，请写出关于的函数关系式以及的取值范围； (3)怎样调运可使总运费最少，并求出最少运费． 变式2（2024·河北张家口·模拟预测）A粮仓和B粮仓分别库存粮食12吨和6吨，现决定支援给C市10吨和D市8吨．已知从A粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为400元和800元；从B粮仓调运一吨粮食到C市和D市的运费分别为300元和500元． (1)设B粮仓运往C市粮食x吨（x为整数），求总运费W（元）关于x的函数关系式．（写出自变量的取值范围） (2)若要求总运费不超过9000元，问共有几种调运方案？ (3)求出总运费最低的调运方案，最低运费是多少？ ◇题型 7 计时问题 典例1（2025·北京房山·二模）小明观察到一个水龙头因损坏而不断地向外滴水，为探究其漏水造成的浪费情况，小明用一个带有刻度的量筒放在水龙头下面装水，每隔一分钟记录量筒中的总水量，但由于操作延误，开始计时的时候量筒中已经有少量水，因而得到如下表的一组数据： 时间（单位：分钟） 总水量（单位：毫升） (1)通过分析数据，发现可以用函数（为常数）刻画总水量与时间之间的关系，画出这个函数的图象； (2)根据以上数据与函数图象，解决下列问题： ①请你估计小明在第分钟测量时量筒中的总水量； ②一个人一天大约饮用毫升水，请你估算这个水龙头一个月（按天计）的漏水量可供一人饮用多少天． 变式1（2025·陕西西安·二模）《卜算子·黄州定慧院寓居作》 宋・苏轼 缺月挂疏桐，漏断人初静．谁见幽人独往来，缥缈孤鸿影． 惊起却回头，有恨无人省．拣尽寒枝不肯栖，寂寞沙洲冷． 《卜算子·黄州定慧院寓居作》中的“漏”字指古人计时用的漏壶．某学习小组在了解漏壶的过程中，按照其原理制作了如图1所示的液体漏壶，该漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，研究开始时圆柱容器中已有一部分液体．下表是研究过程中记录的圆柱容器液面高度（单位：cm）与时间（单位：h）的数据． 时间x/h 1 2 3 4 5 圆柱容器液面高度y/cm 6 8 10 12 14 根据上述的实践活动，解决以下问题． 【探索发现】 （1）①请你根据表中的数据在平面直角坐标系中描点、连线，并判断与之间是我们学过的_____（填“一次”或“反比例”）函数． ②确定与之间的函数关系式． 【结论应用】 （2）当圆柱容器液面高度达到20cm时，所需的时间是多少h？ 变式2（2025·内蒙古·模拟预测）刻漏（如图）是我国古代的一种计时工具，其工作原理是水从水箱中流入漏斗，再从漏斗底部的小孔中流出，主要是利用水的自然流动和容器内水的位差来计时．某综合与实践小组依据刻漏的原理制作了一个简单的刻漏计时工具，并记录水位高度h（单位：）与水持续滴入时间t（单位：）之间的关系，如下表所示． 水持续滴入时间t（单位：） 0 3 6 9 … 水位高度h（单位：） 2 3.2 4.4 5.6 … (1)请你描述水位高度h（单位：）随水持续滴入时间t（单位：）的变化规律，并用函数解析式表示h与t的关系； (2)综合与实践小组想从零刻线开始，每隔在刻漏上标记对应的时刻线，便于使用，求每个相邻时刻线之间的距离． ◇题型 8 体积问题 典例1（2025·吉林·中考真题）【知识链接】实验目的：探究浮力的大小与哪些因素有关 实验过程：如图①，在两个完全相同的溢水杯中，分别盛满甲、乙两种不同密度的液体，将完全相同的两个质地均匀的圆柱体小铝块分别悬挂在弹簧测力计A，B的下方，从离桌面20cm的高度，分别缓慢浸入到甲、乙两种液体中，通过观察弹簧测力计示数的变化，探究浮力大小的变化．（溢水杯的杯底厚度忽略不计） 实验结论：物体在液体中所受浮力的大小，跟它浸在液体中的体积有关、跟液体的 密度有关．物体浸在液体中的体积越大、液体的密度越大，浮力就越大． 总结公式：当小铝块位于液面上方时，； 当小铝块浸入液面后，． 【建立模型】在实验探究的过程中，实验小组发现：弹簧测力计A，B各自的示数与小铝块各自下降的高度之间的关系如图②所示． 【解决问题】 (1)当小铝块下降10cm时，直接写出弹簧测力计A和弹簧测力计B的示数． (2)当时，求弹簧测力计A的示数关于x的函数解析式． (3)当弹簧测力计A悬挂的小铝块下降8cm时，甲液体中的小铝块受到的浮力为，若使乙液体中的小铝块所受的浮力也为，则乙液体中小铝块浸入的深度为，直接写出m，n的值． 变式1．（2025·陕西·中考真题）研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积与气体温度成一次函数关系．某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如下表： 气体温度 … 25 30 35 … 气体体积 … 596 606 616 … (1)求与的函数关系式； (2)为满足下一步的实验需求，本次实验要求气体体积达到时停止加热．求停止加热时的气体温度． 变式2（2025·河北·三模）已知在一个有活塞装置的容器中，气体的体积单位：且与温度单位：满足一次函数关系.嘉嘉和淇淇想通过实验验证此结论，嘉嘉往容器中注入气体P，将实验数据中温度x的值作为点的横坐标，与其对应的体积y的值作为点的纵坐标，发现这些点均在直线上，淇淇往容器中注入气体Q，并参考嘉嘉的方法在同一坐标系中绘出部分实验数据虚线上的点如图所示． (1)求直线的解析式． (2)嘉嘉说：存在一个x的值，使气体P的体积是气体Q的体积的两倍．请你通过计算判断嘉嘉的说法是否正确． (3)淇淇发现当x确定时，气体P，Q的体积之比为常数k，请推算k的值． ◇题型 9 几何问题 典例1（2025·四川南充·一模）如图，直线与直线交于点，交x轴于点B，直线分别与x轴、y轴交于点C、，连接． (1)求k、b的值； (2)点是线段上的一动点，点是点P关于y轴的对称点，当在内部时（不含边界），求m的取值范围． 变式1（2025·上海闵行·二模）如图，已知函数和的图像交于点，这两个函数的图像与轴分别交于点、． (1)分别求出这两个函数的解析式； (2)求的面积； (3)请根据图像直接写出不等式的解集． 变式2（2025·河北邯郸·三模）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，直线与轴交于点，与轴交于点，与直线交于点． (1)_____，点的坐标为_____． (2)求出直线的函数解析式． (3)若点是线段上一动点，点从点开始以每秒个单位长度的速度向点运动，过点作轴的垂线，分别与直线，交于点，．设的长为，点的运动时间为，求出与之间的函数解析式．（写出自变量的取值范围） ◇题型 10 新考法：新情景问题 典例1（2025·陕西西安·二模）如图，“漏刻”是我国古代一种利用水流计时的工具，古诗“金炉香尽漏声残，翦翦轻风阵阵寒”，描绘了“漏刻”不断漏水的情景．如图②，综合实践小组用甲、乙两个透明的竖直放置的容器和一根装有节流阀（控制水的流速）的软管，制作了类似“漏刻”的简易计时装置． 【实验操作】上午，综合实践小组在甲容器里加满水，此时水面高度为，开始放水后，每隔记录一次甲容器中的水面高度，相关数据如表： 记录时间 流水时间 0 10 20 30 40 水面高度 30 29 27 【建立模型】小组讨论发现：“”是初始状态下的准确数据，每隔水面高度值的变化不均匀，但可以用一次函数近似地刻画水面高度与流水时间的关系． 【问题解决】 (1)利用时，；时，这两组数据求水面高度与流水时间的函数解析式； (2)利用（1）中所求解析式，计算当甲容器中的水面高度为时是几点钟？ 变式1（2025·陕西咸阳·模拟预测）【问题背景】某校生物学习小组研究在同一实验条件下同一药物对不同品种植物幼苗生长速度的影响，进行如下实验． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 运用一次函数来研究同一药物对不同品种植物幼苗生长速度的影响 素材1 下表为甲植物幼苗单位时间的生长高度与药物施用量的关系． 药物施用量 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 … 甲植物幼苗单位时间的生长高度 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 … 素材2 如图为乙植物幼苗单位时间的生长高度与药物施用量的关系（图象是一条线段） 问题解决 任务1 建立模型 分别求、与x之间的函数关系式； 任务2 绘制图象 在图中画出的函数图象； 任务3 解决问题 根据图象判断，当该药物施用量为时，哪种植物幼苗的生长速度较快？ ◇题型 11 新考法：与现实有关的热考问题 典例1（2025·贵州铜仁·三模）第九届亚洲冬季运动会于2025年2月7日—14日在哈尔滨举办．本届赛会的口号“冰雪同梦，亚洲同心（Dream of Winter，Love among Asia）”寓意推动亚洲各国携手合作，共同发展．亚冬会吉祥物“滨滨”和“妮妮”寓意“哈尔滨欢迎您”．亚运会特许商品零售店预售吉祥物“滨滨”，该吉祥物每个进价为40元，规定售价不低于进价现在售价为每个60元，每天可销售100个．经市场调查发现，若售价每降价1元，则每天的销售量将增加8个，设每个吉祥物降价x元（x为整数），每天的销售量为y个． (1)写出y与x之间的函数关系式： (2)设每天销售吉祥物“滨滨”的利润为W元，求出W与x的函数关系式； (3)在（2）的条件下，零售店如何定价，才能使每天销售吉祥物“滨滨”的利润W最大？最大利润是多少元？ 变式1（2025·辽宁盘锦·一模）据灯塔专业版数据，截至2025年2月18日，《哪吒之魔童闹海》总票房达123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市场最高票房纪录．该片来源于哪吒闹海的传统故事，但又重塑了全新的“魔童”哪吒形象：表面吊儿郎当，实则勇敢坚毅，强烈反差引发情感共鸣；“我命由我不由天”的不屈精神，让观众泪目．为满足儿童对哪吒的喜爱，某玩具店决定各用300元购进了、两种哪吒玩偶．已知一个种哪吒玩偶是一个种玩偶价格的2倍，且购进两种玩偶的数量共15个． (1)求购进、两种哪吒玩偶的单价各是多少元？ (2)因销售效果不错，该玩具店决定再次购进、两种哪吒玩偶共80个，且种哪吒玩偶的数量不多于种哪吒玩偶数量的2倍，问此次购进最少要花多少钱？ 变式2（2025·西藏·中考真题）2025年央视春晚第一次在拉萨设立分会场，主持人身着藏族特色的民族服饰，受到广大观众的喜爱．某服装厂设计了甲、乙两种款式的藏式服装，已知甲、乙两款服装的生产成本和售价如表： 款式 成本（元/件） 售价（元/件） 甲 700 1000 乙 800 1200 根据以上信息，解答下列问题： (1)列方程（组）解应用题 若该厂投入230000元来生产甲、乙两款服装共300件，并且投入的资金刚好用完，可以生产甲、乙两款服装各多少件？ (2) 工厂在生产前进行了市场调查，发现甲款服装更受欢迎．工厂计划生产甲、乙两款服装共500件，要求甲款服装的数量至少是乙款服装的2倍．假设能全部售完，该工厂应如何安排生产才能获得最大利润？ ◇题型 12 新考法：跨学科问题 典例1（2025·辽宁·模拟预测）【项目化学习】“浮力与浸水深度之间的关系”． 如图1是小明同学做物体浮力实验的示意图，下方为盛水的烧杯，上方是由弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，已知该圆柱体的重力为，高度为．小明将弹簧测力计示数与圆柱体浸入水中的深度的数据记录如下： 圆柱体浸入水中的深度 0 1 2 3 4 弹簧测力计示数 12 (1)请你观察表中数据，猜想F与h之间的函数类型，并求出F与h之间的函数关系式，再选一对数值进行验证； (2)当圆柱体完全浸入水中之后，弹簧测力计示数不再随着圆柱体浸入水中的深度的变化而变化，当时，在图2的坐标系中画出F与h的函数图象． 变式1（2025·浙江杭州·三模）数学应用：电子托盘秤工作原理 素材1：图1为某款电子托盘秤，图2为其对应的电路图，电源两端的电压保持不变，通过所称物体质量调节可变电阻的大小，从而改变电路中的电流，最终通过显示器显示物体质量．电流与总电阻（单位：）成反比例，其中，已知． 素材2：可变电阻（单位：）与物体质量（单位：）之间的关系如图3所示．当放置物体质量为时，电流表显示为． (1)当放置物体质量为时，求总电阻的值； (2)求关于总电阻的函数表达式； (3)为保证电子秤电路安全，现将电流范围设定为（单位：），求该电子秤所称物品质量的最大值． 变式2（2025·吉林长春·三模）在测浮力的实验中，下方为盛水的烧杯，上方有弹簧测力计悬挂的圆柱体，将圆柱体缓慢下降，直至圆柱体完全浸入水中，各种状态如图甲所示，其中，弹簧测力计在状态②和④显示的读数分别为和．整个过程中，弹簧测力计读数与圆柱体下降高度的关系图象如图乙所示． (1)图乙中，点对应状态为___________，点对应状态为___________（填写图形序号），___________，___________； (2)已知弹簧测力计在状态③时圆柱体浸入水中的高度为，求此时弹簧测力计显示的读数． ◇题型 13 新考法：中考预测题 典例1（2023·广西·中考真题）【综合与实践】 有言道：“杆秤一头称起人间生计，一头称起天地良心”．某兴趣小组将利用物理学中杠杆原理制作简易杆秤.小组先设计方案，然后动手制作，再结合实际进行调试，请完成下列方案设计中的任务． 【知识背景】如图，称重物时，移动秤砣可使杆秤平衡，根据杠杆原理推导得：.其中秤盘质量克，重物质量m克，秤砣质量M克，秤纽与秤盘的水平距离为l厘米，秤纽与零刻线的水平距离为a厘米，秤砣与零刻线的水平距离为y厘米．    【方案设计】 目标：设计简易杆秤．设定，，最大可称重物质量为1000克，零刻线与末刻线的距离定为50厘米． 任务一：确定l和a的值． (1)当秤盘不放重物，秤砣在零刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (2)当秤盘放入质量为1000克的重物，秤砣从零刻线移至末刻线时，杆秤平衡，请列出关于l，a的方程； (3)根据（1）和（2）所列方程，求出l和a的值． 任务二：确定刻线的位置． (4)根据任务一，求y关于m的函数解析式； (5)从零刻线开始，每隔100克在秤杆上找到对应刻线，请写出相邻刻线间的距离． 变式1（2025·河北唐山·三模）如图，无人机甲和无人机乙同时分别从地面的点A处和楼顶B处起飞竖直上升，其中点B距离楼顶边缘点D的水平距离为，从地面点A处测得楼顶端D的仰角为（点B，D，C，A在同一平面内）．两架无人机距离地面的高度h（单位：m）与上升时间t（单位：s）之间的函数图象如图2． (1)求起飞前无人机甲和无人机乙之间的水平距离（结果保留整数，） (2)求两架无人机距离地面的高度与无人机上升的时间之间的函数关系式； (3)求一架无人机观察另一架无人机的仰角不超过的时长． 变式2（2025·宁夏中卫·二模）如图，是一种斜挎包，其挎带由双层部分、单层部分和调节扣构成．小颖用后发现，通过调节扣加长或缩短单层部分的长度，可以使挎带的长度（单层部分与双层部分长度的和，其中调节扣所占的长度忽略不计）加长或缩短．设单层部分的长度为，双层部分的长度为，经测量得到如下数据： 单层部分的长度 … 4 6 8 10 … 双层部分的长度 … 75 74 73 72 … (1)求出y关于x的函数解析式，并求当时y的值； (2)根据小明的身高和习惯，挎带的长度为时，背起来正合适，请求出此时单层部分的长度； (3)设挎带的长度为，求t的取值范围． ◇难点 1 分段函数中一次函数的应用 典例1（2025·陕西·模拟预测）某公司推出了一款新的汽车，成本价为45万元/辆．该产品一经推出，便因为其公司极高的口碑及较高的制作工艺，受到了广大人民的青睐．某消费者通过查阅某平台的资料，发现该车售价为53万元，她通过记录该车的销量，将其绘制成了图象：图中的折线表示每时销售量y（万辆）与销售时间（时）之间的函数关系． (1)分别求出段和段所对应的函数表达式． (2)在记录的这几小时内，每时销售利润不低于万元的时间有多少？ 变式1（2025·山东青岛·三模）小明元旦从家里出发，沿笔直道路匀速步行去妈妈经营的商店帮忙，妈妈同时骑三轮车从商店出发，沿相同路线匀速回家装载货物，然后按原路原速返回商店，小明到达商店比妈妈返回商店早分钟，在此过程中，设妈妈从商店出发开始所用时间为（分钟），图表示两人之间的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象；图中线段表示小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象的一部分，请根据所给信息解答下列问题： (1)点的坐标是______； (2)请求出图中线段表示的小明和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系式，并指明自变量的取值范围；在图中画出妈妈和商店的距离（米）与时间（分钟）的函数关系的图象； (3)直接写出为何值时，两人相距米． 变式2（2025·浙江·三模）为了响应国家提倡的“节能环保”号召，某公司小金、小衢两位员工每天骑共享单车上班（每次骑行均按平均速度行驶，其他因素忽略不计）．每次支付费用y元与骑行时间之间的对应关系如图所示，其中A种共享单车支付费用对应的函数为，B种共享单车支付费用是之内，起步价6元，对应的函数为．请根据函数图象信息，解决下列问题： (1)小金每天早上骑A种共享单车或B种共享单车去公司上班．已知两种共享单车的平均行驶速度均为，小金家到公司的距离为，那么小金选择______种电动车更省钱（填“A”或“B”） (2)当时，求A、B两种共享单车的支付费用的函数表达式． (3)一天，小金骑A种共享单车从家到公司上班，小衢骑B种共享单车从家到公司上班，若两人支付费用同为7.6元，求小金和小衢骑行的时间差． ◇测能力 1．（2025·江苏苏州·中考真题）声音在空气中传播的速度随温度的变化而变化，科学家测得一定温度下声音传播的速度与温度部分对应数值如下表： 温度 0 10 30 声音传播的速度 324 330 336 348 研究发现满足公式（为常数，且）．当温度t为时，声音传播的速度v为（   ） A． B． C． D． 2．（2023·贵州·中考真题）今年“五一”假期，小星一家驾车前往黄果树旅游，在行驶过程中，汽车离黄果树景点的路程y（）与所用时间x（h）之间的函数关系的图象如图所示，下列说法正确的是（    ）    A．小星家离黄果树景点的路程为 B．小星从家出发第1小时的平均速度为 C．小星从家出发2小时离景点的路程为 D．小星从家到黄果树景点的时间共用了 3．（2023·山东聊城·中考真题）甲乙两地相距a千米，小亮8:00乘慢车从甲地去乙地，10分钟后小莹乘快车从乙地赶往甲地．两人分别距甲地的距离y（千米）与两人行驶时刻t（×时×分）的函数图象如图所示，则小亮与小莹相遇的时刻为（    ）    A．8:28 B．8:30 C．8:32 D．8:35 4．（2024·江苏淮安·中考真题）一辆轿车从A地驶向B地，设出发后，这辆轿车离B地的距离为．已知y与x之间的函数表达式为，则轿车从A地到达B地所用时间是 h． 5．（2025·福建·中考真题）弹簧秤是根据胡克定律并利用物体的重力来测量物体质量的．胡克定律为：在弹性限度内，弹簧弹力F的大小与弹簧伸长（或压缩）的长度x成正比，即，其中k为常数，是弹簧的劲度系数；质量为m的物体重力为，其中g为常数．如图，一把弹簧秤在不挂任何物体时弹簧的长度为6厘米．在其弹性限度内：当所挂物体的质量为0.5千克时，弹簧长度为6.5厘米，那么，当弹簧长度为6.8厘米时，所挂物体的质量为 千克． 6．（2025·四川攀枝花·中考真题）在攀枝花高质量发展建设共同富裕试验区的进程中，有关部门积极助力果农成立芒果种植专业合作社，运用“实体店+直播”的新电商模式扩大芒果销售．某合作社精品芒果成本为60元/箱，每天的销售量箱与售价元/箱满足关系式． (1)若芒果的售价为80元/箱，求合作社每天芒果的销售利润； (2)若规定芒果的售价不低于86元/箱，且每天的销售量不少于300箱，求芒果的售价应定在什么范围． 7．（2025·江苏镇江·中考真题）新一轮科技革命和产业变革深入发展，科技创新是建成科技强国的重要保障．学校兴趣小组成员收集了我国年发明专利申请授权数，整理数据如下表（单位：万个，精确到）： （年份） 2018 2019 2020 2021 2022 2023 2024 万个 (1)计算2020到2021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到）； (2)小组成员建立平面直角坐标系，并根据表中数据画出相对应的点（如图），从图中可以看出，这些点大致分布在一条直线附近，他们选择了两个点、作一条直线来近似的表示的值随年份不断增长的变化趋势．设直线上点的坐标满足函数表达式．试求出的值，并写出的实际意义，再预测我国2025年发明专利申请授权数． 8．（2025·江苏盐城·中考真题）某公司为节约成本，提高效率，计划购买、两款机器人．已知款机器人的单价比款机器人的单价多1万元，用25万元购买款机器人的数量与用20万元购买款机器人的数量相同． (1)求、两款机器人的单价分别是多少万元？ (2)如果购买、两款机器人共12台，且购买款机器人的数量不少于款机器人数量的一半，请设计购买成本最少的方案． ◇提能力 1．（2024·北京东城·一模）在平面直角坐标系中，的半径为1．对于线段给出如下定义：若线段与有两个交点，，且，则称线段是的“倍弦线”． (1)如图，点的横、纵坐标都是整数，在线段，，中，的“倍弦线”是_____； (2)的“倍弦线”与直线交于点，求点纵坐标的取值范围； (3)若的“倍弦线”过点，直线与线段有公共点，直接写出的取值范围． 2．（2025·浙江杭州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，直线交轴于点，交轴于点，直线交轴于点，交轴于点，交直线于点，，．      (1)求直线的解析式． (2)点在第三象限的直线上，轴交直线于点，点的横坐标为，的面积为，求与的函数关系式，直接写出自变量的取值范围． (3)在（2）的条件下，点在第四象限的的内部，连接，将线段绕点逆时针旋转至（点的对应点为点），旋转角等于，直线交线段于点，连接，，，，的面积为8，求的面积． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $