第05讲 平方根与立方根（讲义：考点整理+题型归纳+探究式学习+课后检测）2026-2027学年北师大版八年级数学上册

简一数理 初中专题讲义 第05讲 平方根与立方根 （新教材北师大版） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 2 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 2 知识点三、平方根的性质 3 知识点四、立方根的定义 3 知识点五、立方根的特征 3 知识点六、立方根的性质 3 知识点七、立方根小数点位数移动规律 3 【题型1 求一个数的算术平方根】 3 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 5 【题型3 估算算术平方根的取值范围】 6 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 8 【题型5 与算术平方根有关的规律探索问题】 9 【题型6 算术平方根的实际应用】 12 【题型7 平方根概念理解】 14 【题型8 求一个数的平方根】 15 【题型9 求代数式的平方根】 17 【题型10 已知一个数的平方根、求这个数】 19 【题型11 利用平方根解方程】 20 【题型12 立方根概念理解】 22 【题型13 求一个数的立方根】 24 【题型14 已知一个数的立方根，求这个数】 25 【题型15 与立方根有关的规律探索问题】 26 【题型16 立方根的实际应用】 28 【题型17 平方根和立方根的综合应用】 30 【题型18 计算器---平方根与立方根】 32 【题型19 程序设计与实数运算】 34 【探究式学习】 36 【课后检测】 40 【复盘笔记】 50 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点五、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点六、立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点七、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【题型1 求一个数的算术平方根】 【例1】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】先化简可化简的开方数，再逐一判断各数类型，统计无理数个数． 【详解】解：计算得，有理数有，0.257，，共3个； 无理数有，，，（每两个1之间0的个数依次加1），共4个． 【变式1-1】下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 【答案】C 【详解】解：对于选项A：，故 A正确； 对于选项B：∵，而的平方根为， ∴的平方根是，故B正确； 对于选项C：，故C错误； 对于选项D：，故D正确． 【变式1-2】观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平方与开平方的互逆关系，结合表格中给出的的值验证各选项． 【详解】解：由表格可知：，，，， ，，， A、C、D选项错误； ， ，故B选项正确． 【变式1-3】下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先排除被开方数为负的无意义选项，再根据平方根、算术平方根的定义判断其余选项． 【详解】解：A、，故A正确； B、，故B错误； C、的被开方数小于0，无意义，故C错误； D、，故D错误． 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 【例2】已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】根据绝对值、算术平方根的非负性即可解出、的值，再把、的值代入，计算即可得答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴． 【变式2-1】下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】解：①，故①错误． ②∵，∴，故②正确． ③∵没有平方根，∴，解得，故③正确． ④由题意得且，∴，代入得，∴，其算术平方根为，故④错误． ⑤∵，∴，，解得，，∴，故⑤错误． 综上，正确的有个． 【变式2-2】若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【答案】C 【分析】根据非负数的性质求出、的值，然后代入求出，最后根据平方根的定义求解即可. 【详解】解：∵ ，，且 ， ∴ ， ， 解得， ， ∴ ， ∴ 的平方根为. 【变式2-3】已知，则（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据非负数的性质求出的值，代入计算即可得出答案． 【详解】解：， ， ， ． 【题型3 估算算术平方根的取值范围】 【例3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【答案】C 【分析】找到与11相邻的两个完全平方数，确定的取值范围，进而推导的范围． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 【变式3-1】若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【答案】B 【详解】解：∵，， ∴． ∴． ∵，且，， ∴． ∴． 结合两个取值范围，可得． ∴满足条件的整数x的值为10． 【变式3-2】如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先估算所给选项中的实数范围，再根据数轴上点N表示的数的范围即可解答． 【详解】解：∵，，，， ∴数轴上点N表示的数可能是． 【变式3-3】已知，则实数的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再通过比较被开方数的大小估算的取值范围，即可得到结果． 【详解】∵ ， 又∵ ， ∴ ， 即 ， ∴ 实数的值在和之间． 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【答案】A 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴ ， ， ． 【变式4-1】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】通过平方数的范围确定无理数的取值区间，从而确定该实数的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴， ∴的整数部分是． 【变式4-2】已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【答案】A 【详解】解：∵的平方根是， ∴，解得 ； ∵的立方根是， ∴，解得 ； ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴. 【变式4-3】下列说法正确的个数是（   ）个 ①的算术平方根是5；②立方根等于它本身的数是0和1；③若，则；④的小数部分是 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】计算，5的算术平方根是，则①错误；根据立方根的性质可得②错误；举反例，但，则③错误；估算出，则可得④错误． 【详解】解：，5的算术平方根是，则①错误； ∵，，， ∴立方根等于它本身的数是0，和，则②错误； 若，则或，或举反例：，但，则③错误； ∵， ∴，即， ∴的小数部分是，则④错误； 综上，说法正确的个数是0个． 【题型5 与算术平方根有关的规律探索问题】 【例5】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【答案】D 【分析】利用平方与算术平方根的互逆关系，结合表格数据及相邻平方数的增量规律验证各选项． 【详解】解：∵，，∴，A错误； ∵，∴，B错误； ∵，，∴满足的正整数为共4个，C错误； 观察表格中数据，，，， 可知每增加，的增量依次增加， ∵， ∴，D正确． 【变式5-1】已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先观察已知等式总结a和b的变化规律，再求出的值，代入式子计算即可． 【详解】解：观察已知等式可得规律：对于正整数，有， 对比，可得，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式5-2】如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理计算出、、，找到规律，根据规律写出的长度． 【详解】解：由题意可知， ， 由作图可知， ， ， 由作图可知， ， ， ， ． 【变式5-3】观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据已知算式推导通用规律，再将原式按规律化简后分组计算，即可得到结果． 【详解】解：∵观察已知算式可得规律：（为正整数）， ∴，，…，， ∴原式， ， 从3到2028共2026个数，可分为组，每组结果为， ∴原式． 【题型6 算术平方根的实际应用】 【例6】要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据已知中长与宽的比例关系设未知数，再利用长方形的面积公式列式求解即可． 【详解】解：设长方形的长为，宽为，， 由题意得，， 整理得，， 解得， ∴，， 即该长方形的宽为． 【变式6-1】如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：正方形的面积为10， 正方形的边长为， 点E表示的数为． 【变式6-2】根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【答案】C 【详解】解：， ，即，故①错误； ，， ，故②错误； ， ，即， 正整数有，，，，共个，故③正确； 由表格得，故边长为的正方形面积是，④正确； 【变式6-3】如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图1确定直角三角形的两直角边长，结合图2判断为直角三角形的斜边，利用勾股定理求解即可； 【详解】解：∵长方形的长为，宽为， ∴剪开得到的直角三角形的两直角边长分别为和， 由图2可知，中间正方形的边长即为直角三角形的斜边， ∴根据勾股定理得． 【题型7 平方根概念理解】 【例7】若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平方根的定义得到，，则可求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵2026的两个平方根是和， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【变式7-1】下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【答案】D 【分析】结合平方根、算术平方根、立方根的定义与性质，通过举反例排除错误选项． 【详解】解：A．∵的平方根是，立方根是，∴A错误． B．∵负数没有平方根，∴B错误． C．∵的算术平方根是，的算术平方根是，均等于原数；的算术平方根是，大于原数，∴C错误． D．设互为相反数的两个数为与，∵它们的立方根分别为和，∴两个数互为相反数时，它们的立方根也互为相反数，∴D正确． 【变式7-2】有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据若，则是的平方根，其中非负的平方根是的算术平方根，负数没有平方根，逐一判断各说法即可得出正确结论． 【详解】解：① ，， 是的一个平方根，①正确； ② ，49的算术平方根是， 不是的算术平方根，②错误； ③ ， 的平方根是，③正确； ④ 负数没有平方根，， 没有平方根，④错误； ⑤ 的算术平方根是，⑤错误； ⑥ ，，的平方根为，⑥正确； ⑦ 的平方根是，只有0的平方根等于本身，⑦错误； 综上，正确的说法共3个． 【变式7-3】下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是为正数；其中正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】根据有理数的定义，立方根、平方根的概念，算术平方根的双重非负性，逐个判断说法正误即可． 【详解】解：①不带根号的数不一定都是有理数，例如不带根号，但是无理数，因此①错误； ②，的立方根是，因此②错误； ③平方根等于本身的数只有，因此③错误； ④有意义的条件是被开方数，即为非负数，不只是正数，因此④错误； 四个说法全部错误，故正确的有个． 【题型8 求一个数的平方根】 【例8】已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根、立方根的定义列方程求出，的值，再代入计算后求其平方根． 【详解】解：的算术平方根是， ， 解得， 的立方根是， ， 解得：， ， 的平方根是． 【变式8-1】下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 【答案】A 【分析】根据平方根、无理数定义及实数与数轴的关系逐一判断选项正误． 【详解】解：A. ∵ ，∴ 4的平方根是，该选项正确； B. ∵ 无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，无限循环小数是有理数，∴ 无限小数不都是无理数，该选项错误； C. ∵ 带根号，但是有理数，∴ 带根号的数不都是无理数，该选项错误； D. ∵实数与数轴上的点一一对应，有理数与数轴上的点并非一一对应，该选项错误． 【变式8-2】下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【答案】C 【分析】分别根据立方根的定义，平方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：、是的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； B、的平方根和立方根都是，说法正确，故此选项不符合题意； C、，负数没有平方根，故原说法错误，故此选项符合题意； D、1的算术平方根是1,1的立方根是1，∴的算术平方根和立方根都是它本身，说法正确，故此选项不符合题意． 【变式8-3】下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】依次根据平方根、立方根、算术平方根的定义以及非负数的性质，对四个判断进行分析． 【详解】解：∵正数的平方根有两个且互为相反数， ∴的平方根是，故①错误； ∵， ∴与互为相反数，故②正确； ∵，，且二者和为， ∴，， 解得，， ∴，故③正确； ∵， ∴的算术平方根不是，故④错误． 综上，正确的结论有个． 【题型9 求代数式的平方根】 【例9】若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】A 【分析】两式相加，构造，求16的平方根即可 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴=±4， 故选A． 【点睛】本题考查了完全平方公式，平方根，熟练构造完全平方公式，准确理解平方根的定义是解题的关键． 【变式9-1】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根，以及已知一个数的平方根，求这个数，先用a表示该自然数，然后再求出这个自然数相邻的下一个自然数，进而得到其平方根． 【详解】解：由题意可知：该自然数为， 该自然数相邻的下一个自然数为， 的平方根为． 故选：D． 【变式9-2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【答案】D 【分析】本题考查了代数式的求值以及求平方根，解题的关键是根据平方根的性质求出的值，再整体代入计算． 先由求出的值，再将变形为，最后整体代入求值． 【详解】解：因为， 所以， 对进行变形可得：， 当时，代入上式可得：， 当时，代入上式可得：， 所以，代数式的值是9或1， 故选：D． 【变式9-3】已知，则______． 【答案】 【分析】利用完全平方公式变形计算即可． 【详解】∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了完全平方公式的运用，计算平方根，熟练掌握公式，准确计算平方根是解题的关键． 【题型10 已知一个数的平方根、求这个数】 【例10】下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【详解】解：选项A中，选项B中，选项C中，三组数均相等，不互为相反数． 选项D中，与互为相反数． 【变式10-1】已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 【变式10-2】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】直接利用平方根以及立方根的性质得出的值，进而利用有理数的乘方运算法则计算得出答案． 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴，， ∴，， 则． 故选：C． 【变式10-3】下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【答案】D 【分析】根据平方根的相关定义对每个选项做出判断即可得到答案． 【详解】解：A、64的平方根是，故A选项错误； B、没有平方根，2的平方根是，故B选项错误； C、，9的平方根是，即的平方根是，故C选项错误； D、16的平方根是4和，故D选项正确． 【点睛】一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． 【题型11 利用平方根解方程】 【例11】若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【答案】B 【分析】本题已知直角三角形的两边长，未明确是直角边还是斜边，因此需要分类讨论，利用勾股定理计算的值． 【详解】解：分两种情况讨论： 情况一：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 情况二：为斜边，此时和是直角边，由勾股定理得，解得， ∵三角形边长为正数， ∴； 综上，的值为或． 【变式11-1】已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【答案】D 【分析】将所求的设为新未知数，把原方程转化为关于新未知数的式子，再利用完全平方公式展开化简，即可求出结果． 【详解】解：设， ，， 代入原方程得：， 展开得：， 合并同类项得：， 整理得 ， 开平方得 ， 即． 【变式11-2】若，，则（   ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根、立方根定义，求出，，再分类计算的值即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 当，时，， 当，时，， 则或． 故选：D． 【变式11-3】已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【答案】B 【分析】本题考查平方根、绝对值的概念以及有理数的加法，关键利用异号条件确定组合． 根据 和 求出和的可能值，再结合 确定异号组合，最后计算的值． 【详解】解： ， 或 ， ， 或 ， 又， 和 异号， 当 时，，则 ； 当 时，，则 ， 的值为 或 ， 故选：B． 【题型12 立方根概念理解】 【例12】下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【答案】A 【分析】根据算术平方根、倒数、立方根、绝对值的定义，逐一判断每个命题的真假，即可得到结果． 【详解】解：①对于算术平方根等于本身的数，的算术平方根是，也等于本身，算术平方根等于本身的数是和，①错误； ②对于倒数等于本身的数，的倒数是，也等于本身，倒数等于本身的数是和，②错误； ③对于立方根等于本身的数，，，，立方根等于本身的数是和，③正确； ④对于绝对值等于本身的数，所有非负数的绝对值都等于本身，不止和，④错误． 综上，只有③正确． 【变式12-1】下列说法正确的是（     ） A．无限小数是无理数 B．有两边和一角分别对应相等的两个三角形全等 C．的立方根是 D．算术平方根等于本身的数是， 【答案】D 【分析】根据无理数、全等三角形判定、立方根、算术平方根的基础概念，逐一判断选项即可得到正确结果． 【详解】A．∵无限不循环小数才是无理数，无限循环小数是有理数，∴该选项错误，不符合题意； B．∵两边及其夹角对应相等的两个三角形才全等，两边和其中一边的对角对应相等，无法判定两个三角形全等，∴该选项错误，不符合题意； C．∵，∴的立方根是，不是，∴该选项错误，不符合题意； D，∵的算术平方根是，的算术平方根是，没有其他数的算术平方根等于本身，∴该选项正确，符合题意． 【变式12-2】有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据实数与数轴的关系，有理数的定义，平方根，立方根，逐项判断，即可． 【详解】解：①∵实数和数轴上的点一一对应， ∴①说法正确； ②不带根号的数不一定是有理数，例如不带根号，但是无理数， ∴②说法错误； ③∵负数有一个负的立方根， ∴③说法错误； ④∵17的平方根是， ∴是17的一个平方根， ∴④说法正确． 综上，正确的说法共有2个． 【变式12-3】下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 【答案】C 【详解】解：判断①：∵表示4的算术平方根，结果为非负数， ∴，①错误； 判断②：∵，， ∴64的平方根是，立方根是4，②错误； 判断③：∵， ∴，③正确； 判断④：要使和有意义，需满足解得且， ∴，④正确； 综上，正确的序号是③④． 【题型13 求一个数的立方根】 【例13】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、，故本选项不合题意； B、，故本选项不合题意； C、，故本选项符合题意； D、，故本选项不合题意． 【变式13-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用算术平方根的含义、立方根的含义可快速排除错误选项． 【详解】解：，A错误． ，B错误． ，C错误． ，D正确． 【变式13-2】下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【答案】C 【分析】分别根据立方根的定义，平方根以及算术平方根的定义逐一判断即可． 【详解】解：、是的立方根，说法正确，故此选项不符合题意； B、的平方根和立方根都是，说法正确，故此选项不符合题意； C、，负数没有平方根，故原说法错误，故此选项符合题意； D、1的算术平方根是1,1的立方根是1，∴的算术平方根和立方根都是它本身，说法正确，故此选项不符合题意． 【变式13-3】在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【详解】解：，， 在，，，，，，，中，无理数有，共个． 【题型14 已知一个数的立方根，求这个数】 【例14】正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【答案】D 【分析】本题主要考查了算术平方根和立方根的估算，通过估算立方根和平方根的范围，确定正整数 a 和 b 的值，然后计算即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵正整数a、b分别满足，， ∴， ∴， 故选：D． 【变式14-1】若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【答案】A 【分析】此题考查平方根、算术平方根、立方根．根据平方根和立方根的定义分别求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵实数x的平方根为，y的立方根为， ∴，， ∴， 故选：A． 【变式14-2】已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【答案】C 【分析】本题考查了平方根和立方根的定义，求算术平方根． 根据平方根和立方根的定义，先求出x和y的值，再计算的值，最后求其算术平方根． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴； ∵的立方根是3， ∴， 代入，得， 即， ∴； ∴， ∵144的算术平方根是12， ∴的算术平方根为12． 故选：C． 【变式14-3】9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】根据平方根及立方根的定义求得x，y的值，然后代入中计算即可． 本题考查立方根，平方根，熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：的平方根是x， ， 的立方根是， ， 或， 故选：D 【题型15 与立方根有关的规律探索问题】 【例15】已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】题目主要考查立方根的规律探索，利用三次根号的运算性质，将被开方数分解为已知值的倍数与10的幂次相乘，从而简化计算 【详解】解：∵，而， ∴== 因此，的值约为， 故选B 【变式15-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根、立方根的性质等知识点，掌握立方根的性质成为解题的关键． 将21400分解为，再利用立方根的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴． 故选A． 【变式15-2】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【答案】C 【分析】本题考查立方根的性质，被开方数的小数点向左（或向右）每移动3位，其立方根也相应向左（或向右）移动1位．据此即可解答． 【详解】解：∵， ∴． 故选：C． 【变式15-3】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题干给出的求立方根的方法，先确定符号，再依次确定立方根的位数、个位数字、十位数字即可得到结果． 【详解】解：∵所求为的立方根，负数的立方根是负数， ∴排除选项、， 接下来求的立方根： 第一步：确定位数，∵，，且 ， ∴，即是两位数； 第二步：确定个位数字，∵的个位数字是，只有的立方个位数字为， ∴的个位数字是； 第三步：确定十位数字，划去后三位得到， ∵，，且， ∴的十位数字是，即； ∴． 【题型16 立方根的实际应用】 【例16】如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先由图1表面积求棱长及体积，再由体积差求图2体积及棱长，最后求图2表面积． 【详解】解：设图1正方体棱长为，图2正方体棱长为， 图1正方体表面积为， ， 解得， 图1正方体体积为， 图2正方体体积比图1大， 图2正方体体积为， ， 解得， 图2正方体表面积为． 【变式16-1】体积为80的正方体的棱长在（     ） A．8到9之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【答案】B 【分析】先根据正方体体积公式得到棱长为，再用夹逼法估算无理数的范围，找到和80相邻的两个立方数，即可得到棱长的范围 【详解】解：设正方体的棱长为，根据正方体体积公式，得， ∵ ，，且， ∴ ，即， 因此体积为80的正方体的棱长在4到5之间 【变式16-2】物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数估算的实际应用，立方根的应用，根据题意，得到正方体的棱长为，再利用无理数估算方法求出范围即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得正方体的棱长为， ∵， ∴， 故选：． 【变式16-3】如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根，如果把一个数扩大倍，则它的立方根扩大倍，如果把一个数缩小倍，则它的立方根缩小倍，做题的关键是掌握以上规律．根据立方根的变化特点和给出的数据进行解答即可． 【详解】解：，且，， ． 故选：A． 【题型17 平方根和立方根的综合应用】 【例17】下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 【答案】A 【分析】根据平方根和立方根的定义判断即可． 【详解】∵4的算术平方根是2， ∴A正确，符合题意； ∵0.16的平方根是±0.4， ∴B错误，不符合题意； ∵0的立方根是0， ∴C错误，不符合题意； ∵1的立方根是1， ∴D错误，不符合题意； 故选A． 【点睛】本题考查了平方根即如果一个数的平方等于a，称这个数为a的平方根，立方根如果一个数的立方等于a，称这个数为a的立方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【变式17-1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【答案】B 【分析】根据算术平方根的定义可得m-n=2，根据立方根的定义可得m-2n+3=3，再解得m、n的值即可求得A与B的值，再求即可． 【详解】解：∵A=是m+n+3的算术平方根， ∴m-n=2， ∵B=是m-2n+3的立方根， ∴m-2n+3=3， ∴     解得 ∴A==3，B= ∴B-A=2-3=-1． 故选B． 【点睛】本题主要考查了算术平方根及立方根，属于基础题，解答本题的关键是熟记算术平方根、立方根概念． 【变式17-2】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用算术平方根和平方根，立方根的性质，可得到的值，由此可得到与和与的关系 【详解】解：∵的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是， ∴， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了算术平方根和平方根，立方根的性质，得出与和与的关系是解题的关键． 【变式17-3】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【答案】D 【分析】根据平方根，立方根和算术平方根的定义即可求出答案． 【详解】解：、根据平方根的定义可知的平方根是，该选项不符合题意； B、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； C、根据立方根的定义可知的立方根是，该选项不符合题意； D、根据算术平方根的定义可知的算术平方根是，该选项符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查平方根，立方根和算术平方根，解题的关键是熟练运用其定义，本题属于基础题型． 【题型18 计算器---平方根与立方根】 【例18】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查算术平方根的性质，根据算术平方根的性质，被开方数的小数点每向左（右）平移两个数位，算术平方根的小数点向左（右）平移1个数位，进行判断即可． 【详解】解：右图可知：， ∴， ∴； 故选D． 【变式18-1】有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了数的规律，以及用计算器的计算开方，得出让第十位的数字出现，只有想办法减少计算器上数位的个数是解决问题的关键． 因为计算器只能显示9位（包括小数点），要想知道第十位的数字是什么，必须想办法让第十位的数字出现，即小数点前面应尽可能得去掉数据，使数位减少，从而让第十位的数据出现． 【详解】解：A、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； B、，一共才8位，这样第十位的数字就会出现，故此选项符合题意； C、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； D、，总的位数还是9位，所以不可能出现第十位的数字，故此选项不符合题意； 故选：B． 【变式18-2】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用计算器进行有理数的相关运算，解题的关键是掌握科学计算器中各按键的功能． 根据计算器的按键对应的功能即可求解． 【详解】 解：A．按键显示结果：2，正确，不符合题意； B．按键显示结果：64，正确，不符合题意；     C．用计算器求的值时，按键顺序是，正确，不符合题意； D．用计算器求的值时，按键顺序是，故原选项错误，符合题意． 故选：D． 【变式18-3】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图，则输出结果应为（    ） A．8 B．4 C． D． 【答案】D 【分析】根据2ndf键是功能转换键列算式，然后解答即可． 【详解】解：依题意得：． 故选：D． 【点睛】本题考查了利用计算器进行数的开方，是基础题，要注意2ndf键的功能． 【题型19 程序设计与实数运算】 【例19】在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的x值是64时，取算术平方根得， 由于8是有理数，所以再取立方根得， 由于2是有理数，所以再取算术平方根得， 由于是无理数，所以输出y的值是． 【变式19-1】小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据立方根和算术平方根的定义，并结合流程图计算即可得出结果． 【详解】解：当输入的值是时，，为有理数，再取立方根为，为无理数， 故输出的值是． 【变式19-2】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据程序框图，输入后计算，若结果不大于6则将结果重新代入计算，直到结果大于6为止，通过计算并比较大小即可得出答案． 【详解】解：输入， 第一次计算结果为， ， 需将重新代入计算， 同理，第二次计算结果为， 由此规律可知，每次计算后的被开方数增加2， 当计算结果为时，，仍不满足结果， 需将再次代入计算， 下一次计算结果为， ， 输出结果为． 【变式19-3】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据流程图，列出算式进行计算即可． 【详解】解：当输入的值是729时，取算术平方根得， 27是有理数，再取立方根得， 3是有理数，再取算术平方根得， 由于是无理数， 所以输出的值是． 【探究式学习】 1．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）根据算术平方根的性质化简； （2）结果中的分母是被开方数中分母的算术平方根，分子是分母减1，据此解答即可； （3）根据发现的规律求解． 【详解】（1）解：，； （2）略 （3）解： ． 2．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）结合图形面积关系，直接找，，三者之间的等量关系式； （2）利用完全平方公式对两边平方，再根据（1）中的等量关系，整体代入、，求出，进而求出的值； （3）换元法设，，先求出与，再利用完全平方变形求； （4）设，用含的代数式表示线段，根据重叠部分面积列方程，求出的值，再代入计算长方形的周长． 【详解】（1）解：根据题意得：； （2）解：把两边平方得：， 由（1）得：， 将、代入得：， 展开得，，即， 整理得：； （3）解：设，，则有，， 把两边平方得：，即， 把代入得：，即， 则； （4）解：设，则， 正方形，长方形， ，， 正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，即长方形面积为， ，即， 整理得：， 开方得：（负值舍去）， ，， 则长方形周长为． 3．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【答案】(1)两， (2)解：． 详细过程如下： ，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为， 接着划去后面的三位得到数，而，，则， ， ， ， 的十位上的数是，结合其个位上的数是，于是得到， 即的立方根是． 【分析】（1）类比材料中的解法步骤①②求解即可； （2）类比材料中的解法步骤①②③求解即可． 【详解】（1）解：，，， ， 的立方根是一个两位数， 由的个位上的数是，，可得的个位数为； （2）略 【课后检测】 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于A，，，A错误； 对于B，，，B错误； 对于C，，，C正确； 对于D，，，D错误． 2．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用非负数的性质求出a，b的值，代入计算． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， ∴． 3．下列结论中，正确的是（     ） A． B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的立方根是 【答案】B 【详解】解： A、，故A错误； B、∵，∴是的一个平方根，故B正确； C、的平方根是，故C错误； D、，的立方根是，故D错误． 4．如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 【答案】C 【分析】观察数轴确定各点的大致取值范围，结合无理数估算进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，点表示，点在与之间，点在与之间且靠近，点在与之间， ， 点不可能是，故A 错误； ， ， 点不可能是，故B 错误 ， ，且靠近， 点可能是，故C正确， 靠近，与点位置不符，故D 错误． 5．关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．10的平方根是 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 【答案】A 【分析】根据无理数定义及相关性质、算术平方根定义、正方形面积计算方式进行作答即可． 【详解】解：A选项，10的平方根有两个，分别为和，是10的算术平方根，仅说“10的平方根是”表述不准确，符合题意； B选项，是开方开不尽的数，属于无理数，说法正确； C选项，∵，，， ∴， ∴整数，说法正确； D选项，设正方形边长为，若面积为10，则，（边长为正）， 故可以表示面积为10的正方形的边长，说法正确． 6．下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【详解】解：，， 、、、、均为有理数，仅是无理数， 则，，0.618，，，，无理数的个数有1个． 7．若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 8．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【答案】D 【详解】解：∵正数的两个平方根互为相反数， ∴，，， 解得：． 9．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 【答案】C 【分析】先根据算术平方根的被开方数是非负数，求出的取值范围，进而对原等式进行化简，再根据绝对值和算术平方根的非负性确定的值即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得， 则原式可化为， 整理得＝0， 则， 解得， ． 10．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 【答案】D 【分析】设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离，依次判断各个选项． 【详解】解：设两人沿步道前进方向的水平距离为，步道垂直距离恒为6，则两人实际直线距离， 最小距离：当水平距离时，m； 距离取值范围：， 两人之间的距离不可能为，A错误； 由两人之间的距离先变小后变大，到达终点线时，两人之间的距离仍为，则，两人之间的距离不可能为，B错误； 若出发时乙在前，初始乙领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再拉回到8m，意味着甲需要先追上乙、再反超乙8m，总相对位移16m，若甲匀速、乙匀速，甲速度恒定大于乙，全程持续拉大差距，横向距离会先减小再增大，因此甲可能匀速，C错误； 若出发时甲在前，初始甲领先沿步道8m，要让横向距离先缩小到0再回到8m，需要乙先追上甲、再反超甲8m，乙全程匀速，若甲速度先慢后快：前期甲慢，乙快速拉近差距至相遇（，距离最小），后期甲加速，若甲加速后速度仍小于乙，乙会继续拉开差距至8m，满足距离先变小后变大、终点距离10m，这种运动情况成立．D正确． 11．正方形面积为5，则正方形边长为______． 【答案】 【分析】正方形面积等于边长的平方，边长为正数，对面积开算术平方根即可得到边长. 【详解】解：设正方形的边长为， ， ， ∵ ， ∴ ，即正方形的边长为． 12．已知a，b是有理数，若a是64的平方根，b是64的立方根，则的值为__． 【答案】或12 【分析】根据平方根与立方根定义求出a，b，代入求解即可得到答案． 【详解】解：∵a是64的平方根，b是64的立方根， ∴，， 当，时，； 当a＝﹣8，时，； 综上所述，的值为或12． 13．若，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根规律：被开方数小数点移动2位，平方根小数点移动1位，据此解答即可． 【详解】解：的小数点向左移动两位得，， ． 14．一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 【答案】 【分析】先根据平方根的性质和立方根的定义求出、的值，再代入求的值，最后求其平方根即可． 【详解】解：由题可知：，， 解得，， ， 的平方根是． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 【答案】 【分析】先根据数轴推出，进而得到，化简绝对值和求算术平方根，然后合并同类项即可得到答案． 【详解】解：由数轴可知，，， ． 16．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 【答案】(1)不正确，因为正数有两个互为相反数的平方根， ∵， ∴16的平方根是； (2)不正确，因为算术平方根为非负数， ∵表示25的算术平方根， ∴ 【分析】（1）根据平方根的定义求解即可； （2）根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】（1）略 （2）略 17．下列说法正确吗？为什么？ (1)的平方根是； (2)； (3)0没有立方根； (4)1的立方根是． 【答案】(1)解：， 的平方根是， 故原题说法错误． (2)解：， 故原题说法错误． (3)解：0的立方根是0， 故原题说法错误． (4)解：1的立方根是1， 故原题说法错误． 【分析】（1）根据平方根的定义，解答即可； （2）根据，解答即可； （3）根据0的立方根是0，求解即可； （4）根据1的立方根是1，求解即可． 【详解】（1）解：略． （2）解：略． （3）解：略． （4）解：略． 18．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （2）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可； （3）根据如果一个数的平方等于，即，那么这个数就叫做的平方根，求解即可． 【详解】（1）解：， 的平方根为． （2）解：， 的平方根为． （3）解：， 的平方根为． 19．求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：125的立方根是； （2）解：的立方根是； （3）解：0.729的立方根是． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空：________，________； (2)已知，则________． (3)已知，，求的值； (4)[说理]记，，．试说明：； 【答案】(1)3，2 (2) (3)4 (4)解：∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）根据规定的两数之间的运算法则解答； （2）根据规定的运算法则及平方根求解； （3）先根据规定的运算法则求出a，b，进而可求； （4）根据规定的运算可得，结合同底数幂的乘法法则计算即可． 【详解】（1）解：，， ，； （2）解：， ， 解得； （3）解：，， ，， 则，， ， ； （4）略 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 简一数理 初中专题讲义 第05讲 平方根与立方根 （新教材北师大版） 知识点一、平方根和算术平方根的概念 2 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 2 知识点三、平方根的性质 3 知识点四、立方根的定义 3 知识点五、立方根的特征 3 知识点六、立方根的性质 3 知识点七、立方根小数点位数移动规律 3 【题型1 求一个数的算术平方根】 3 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 4 【题型3 估算算术平方根的取值范围】 5 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 5 【题型5 与算术平方根有关的规律探索问题】 5 【题型6 算术平方根的实际应用】 6 【题型7 平方根概念理解】 7 【题型8 求一个数的平方根】 8 【题型9 求代数式的平方根】 8 【题型10 已知一个数的平方根、求这个数】 9 【题型11 利用平方根解方程】 9 【题型12 立方根概念理解】 9 【题型13 求一个数的立方根】 10 【题型14 已知一个数的立方根，求这个数】 10 【题型15 与立方根有关的规律探索问题】 11 【题型16 立方根的实际应用】 11 【题型17 平方根和立方根的综合应用】 12 【题型18 计算器---平方根与立方根】 12 【题型19 程序设计与实数运算】 13 【探究式学习】 14 【课后检测】 17 【复盘笔记】 20 知识点一、平方根和算术平方根的概念 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 要点：当式子有意义时，一定表示一个非负数，即≥0，≥0. 2.平方根的定义 如果，那么叫做的平方根（也叫二次方根）。求一个数的平方根的运算，叫做开平方.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点二、平方根和算术平方根的区别与联系 1．区别：（1）定义不同；（2）结果不同：和 2．联系： （1）平方根包含算术平方根； （2）被开方数都是非负数； （3）0的平方根和算术平方根均为0． 要点： （1）正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；负数没有平方根． （2）正数的两个平方根互为相反数，根据它的算术平方根可以立即写出它的另一个平方根.因此，我们可以利用算术平方根来研究平方根. 知识点三、平方根的性质 知识点四、立方根的定义 如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 要点：一个数的立方根，用表示，其中是被开方数，3是根指数. 开立方和立方互为逆运算. 知识点五、立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 要点：任何数都有立方根，一个数的立方根有且只有一个，并且它的符号与这个非零数的符号相同. 两个互为相反数的数的立方根也互为相反数. 知识点六、立方根的性质 要点：第一个公式可以将求负数的立方根的问题转化为求正数的立方根的问题. 知识点七、立方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动3位，它的立方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如，，，，. 【题型1 求一个数的算术平方根】 【例1】（26-27八年级上·四川眉山·开学考试）在，，，0.257，，，（每两个1之间0的个数依次加1）中，无理数有（     ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【变式1-1】下列说法中，错误的是（     ） A．的算术平方根是 B．的平方根是 C．的立方根是 D．的立方根等于 【变式1-2】观察表中数据信息，下列结论正确的是（     ） 12 … 144 … A． B． C． D． 【变式1-3】下列各式中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【题型2 利用算术平方根的非负性解题】 【例2】已知，则（     ） A．1 B． C．2 D． 【变式2-1】下列说法：①；②；③没有平方根，则；④若则的算术平方根为2；⑤，则；其中正确的个数为(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式2-2】若，则的平方根是（     ） A．1 B． C． D．0 【变式2-3】已知，则（     ） A． B． C． D． 【题型3 估算算术平方根的取值范围】 【例3】（26-27八年级上·河南周口·开学考试）估算的值在（     ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．12和13之间 【变式3-1】若整数x满足，则x的值是（     ） A．8 B．10 C．9 D．11 【变式3-2】如图，数轴上点N表示的数可能是（     ） A． B． C． D． 【变式3-3】已知，则实数的值应在（     ）． A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【题型4 无理数整数部分的有关计算】 【例4】（26-27七年级上·浙江杭州·开学考试）已知的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（     ）． A． B． C． D．6 【变式4-1】实数的整数部分是（     ） A．7 B．6 C．5 D．4 【变式4-2】已知的平方根是；的立方根为；c是的整数部分．求的值（     ） A． B．3 C．8 D． 【变式4-3】下列说法正确的个数是（   ）个 ①的算术平方根是5；②立方根等于它本身的数是0和1；③若，则；④的小数部分是 A．0 B．1 C．2 D．3 【题型5 与算术平方根有关的规律探索问题】 【例5】根据表中的信息判断，下列语句中正确的是（   ） x 23.1 23.2 23.3 23.4 23.5 23.6 23.7 23.8 533.61 538.24 542.89 547.56 552.25 556.96 561.69 566.44 A．560的算术平方根比23.7大 B． C．只有3个正整数n满足 D．根据表中数据的变化趋势，可以推断出将比大4.77 【变式5-1】已知；；；；；按此规律，若（，为正整数），则的值为（     ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，，且与之间的距离为，是上一点， ①过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ②过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点； ③过点作于点，以点为圆心、的长为半径画弧交于点；… 按照以上操作，则的长为（     ） A． B． C． D． 【变式5-3】观察下列一组算式的特征及运算结果：①，②，③，，根据规律，计算以下式子的值：（    ） A． B． C． D． 【题型6 算术平方根的实际应用】 【例6】要画一个面积为50的长方形，使它的长与宽之比为，则该长方形的宽为（     ） A． B． C． D． 【变式6-1】如图，将面积为10的正方形放在数轴上，以表示实数1的点A为圆心，以正方形的边长为半径画弧，交数轴于点E，则点E表示的数为（     ） A． B． C． D． 【变式6-2】根据表中的信息判断，下列判断中正确的是（     ） ① ②的算术平方根比大 ③只有个正整数满足 ④若一个正方形的边长为，那么这个正方形的面积是 A．①④ B．②③ C．③④ D．②③④ 【变式6-3】如图，将两个长为，宽为的长方形沿对角线剪开，用得到的个完全一样的直角三角形围成如图所示的正方形，则该正方形的边长为（     ） A． B． C． D． 【题型7 平方根概念理解】 【例7】若的两个平方根分别是和，则的值是（     ） A． B． C． D． 【变式7-1】下列说法正确的是（     ） A．的平方根和立方根都是 B．负数的平方根仍是负数 C．一个数的算术平方根比这个数小 D．两个数互为相反数，它们的立方根也互为相反数 【变式7-2】有下列说法：①是的一个平方根；②是的算术平方根；③25的平方根是；④的平方根是；⑤0没有算术平方根；⑥的平方根为；⑦平方根等于本身的数有0，1．其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式7-3】下列说法中：①不带根号的数都是有理数；②没有立方根：③平方根等于本身的数是1；④有意义的条件是为正数；其中正确的有（） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【题型8 求一个数的平方根】 【例8】已知的算术平方根是，的立方根是，则的平方根是（     ） A． B． C． D． 【变式8-1】下列说法正确的是（     ） A．4的平方根是 B．无限小数都是无理数 C．带根号的数都是无理数 D．有理数与数轴上的点一一对应 【变式8-2】下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【变式8-3】下列判断：①的平方根是；②与互为相反数；③，则；④的算术平方根是．其中正确的有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型9 求代数式的平方根】 【例9】若，．则的值为（    ） A． B．4 C． D．2 【变式9-1】一个自然数的一个平方根是a，则与它相邻的下一个自然数的平方根是（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】已知代数式的值是4，则代数式的值是（    ） A．13 B．9 C．1 D．9或1 【变式9-3】已知，则______． 【题型10 已知一个数的平方根、求这个数】 【例10】下列各组数中，互为相反数的是（     ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式10-1】已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 【变式10-2】已知的平方根是，的立方根是2，则的值是（   ） A．0 B．1 C． D． 【变式10-3】下列说法中，正确的是（    ） A．64的平方根是8 B．2或的平方根是4 C．没有平方根 D．16的平方根是4和 【题型11 利用平方根解方程】 【例11】若一个直角三角形的三边长分别为，则的值是（     ）． A． B．或 C． D．或 【变式11-1】已知，则的值为（     ） A．6 B． C．7 D． 【变式11-2】若，，则（   ） A． B． C． D．或 【变式11-3】已知，，，则的值是（   ） A．8 B．或2 C．或8 D．或8 【题型12 立方根概念理解】 【例12】下列命题中，正确的是（     ） ①算术平方根等于本身的数只有0；        ②倒数等于本身的数只有1； ③立方根等于本身的数有和0；         ④绝对值等于本身的数只有0和1； A．只有③ B．①和② C．只有① D．③和④ 【变式12-1】下列说法正确的是（     ） A．无限小数是无理数 B．有两边和一角分别对应相等的两个三角形全等 C．的立方根是 D．算术平方根等于本身的数是， 【变式12-2】有下列说法：①实数和数轴上的点一一对应；②不带根号的数一定是有理数；③负数没有立方根；④是17的一个平方根．其中正确的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【变式12-3】下列说法：①；②64的平方根是，立方根是；③；④已知，则．其中结论正确的序号是（    ） A．①③ B．①②④ C．③④ D．只有①④ 【题型13 求一个数的立方根】 【例13】下列运算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-1】下列各式中，计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【变式13-2】下列说法中，不正确的是（     ） A．是的立方根 B．的平方根和立方根都是 C．的算术平方根是 D．的算术平方根和立方根都是它本身 【变式13-3】在，，，，，，，中，无理数有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【题型14 已知一个数的立方根，求这个数】 【例14】正整数、分别满足，，则（   ） A．4 B．8 C．9 D．16 【变式14-1】若实数x的平方根为，y的立方根为，则代数式的值为（   ） A． B．0 C．1 D．3 【变式14-2】已知的平方根是，的立方根是3，则的算术平方根为（   ） A．5 B．10 C．12 D．13 【变式14-3】9的平方根是x，y的立方根是，则的值为（    ） A．1 B．或 C． D．或 【题型15 与立方根有关的规律探索问题】 【例15】已知，，则的值约是（   ） A． B． C． D． 【变式15-1】已知，，，则（   ） A． B． C． D． 【变式15-2】如果，，那么约等于（　　） A．28.2 B．0.2872 C．13.33 D．0.1333 【变式15-3】我国著名数学家华罗庚有快速求整数立方根的方法：要得到的结果，可以按如下步骤思考：第一步：确定的位数，因为，而，所以，由此得是两位数；第二步：确定个位数字，因为的个位上的数是，而只有的立方的个位上的数是；第三步：确定十位数字，划去后面的三位得到，因为，而，所以的十位上的数字是，综合以上可得，，根据上述方法，的立方根是（    ） A． B． C． D． 【题型16 立方根的实际应用】 【例16】如图，小雅制作了两个正方体礼盒，图1的正方体礼盒的表面积为，图2的正方体礼盒的体积比图1的正方体礼盒的体积大，则图2的正方体礼盒的表面积为（    ） A． B． C． D． 【变式16-1】体积为80的正方体的棱长在（     ） A．8到9之间 B．4到5之间 C．5到6之间 D．6到7之间 【变式16-2】物理课上小新学习了排水法测量物体的体积（即物块的体积等于排出的水的体积）．如图，他将正方体物块悬挂后完全浸入盛满水的圆柱形小桶中（绳子的体积忽略不计），水溢出至一个量筒中，测得已溢出的水的体积为．由此，可估计该正方体物块的棱长位于哪两个相邻的整数之间（   ） A．和之间 B．和之间 C．和之间 D．和之间 【变式16-3】如果，那么的结果约是（   ） A． B． C． D． 【题型17 平方根和立方根的综合应用】 【例17】下列说法正确的是（    ） A．4的算术平方根是2 B．0.16的平方根是0.4 C．0没有立方根 D．1的立方根是±1 【变式17-1】若A=是m+n+3的算术平方根，B=是m+2n的立方根，则B-A的立方根是（ ） A．1 B．-1 C．0 D．无法确定 【变式17-2】已知的算术平方根是，的立方根是，的平方根是，的立方根是，则和分别是（   ） A． B． C． D． 【变式17-3】下列说法正确的是（   ） A．的平方根是 B．没有立方根 C．的立方根是 D．的算术平方根是 【题型18 计算器---平方根与立方根】 【例18】小海和乐乐在运用计算器求与（其中a、b是两个正有理数）的值时，通过按键得到的与的结果分别如图1和图2所示，那么a和b的数量关系是（   ） A． B． C． D． 【变式18-1】有一个计算器，计算时屏幕显示的结果为1.7320508，从左往右数只有九位（包括小数点），现在想知道第十位的数字是什么，可以在这个计算器中计算下面哪一个式子的值（    ） A． B． C． D． 【变式18-2】下列关于计算器的按键说法中，错误的是（   ） A．按键显示结果：2 B．按键显示结果：64 C．用计算器求的值时，按键顺序是 D．用计算器求的值时，按键顺序是 【变式18-3】若用我们数学课本上采用的科学计算器进行计算，其按键顺序如图，则输出结果应为（    ） A．8 B．4 C． D． 【题型19 程序设计与实数运算】 【例19】在如图所示的运算程序中，若输入x的值是64，则输出y的值是（     ） A． B． C． D． 【变式19-1】小吴是一个编程爱好者，他设计了一个如图所示的程序运算，如果输入的值是，那么输出的结果是，当输入的值是时，输出的值是（     ） A． B． C． D． 【变式19-2】根据以下程序，当输入时，输出结果为（    ） A．6 B． C． D． 【变式19-3】在如图所示的运算程序中，若输入的值是729，则输出的值是（   ） A． B． C． D． 【探究式学习】 1．【问题情境】数学活动课上，老师出示了一组题，阅读下列解题过程，探究规律： ； ； ； 【实践探究】 (1)计算：________，________； (2)按照你所发现的规律，猜想：________（为正整数）； 【迁移应用】 (3)计算：． 2．按要求解答下列问题： 【知识回顾】 如图，长方形的长与宽分别为、，请认真观察图形，解答下列问题： (1)若用四个完全相同的这样的长方形拼成如图的正方形，请写出下列三个代数式，，之间的一个等量关系式： ； (2)根据（1）中的等量关系，解决如下问题：若，，求的值； 【深入探究】 (3)若满足，求的值； 【应用迁移】 (4)如图，长方形中，，、是边上的点（在左侧），以为边向下作正方形，延长交于点，再以为边向上作正方形，若，，（为常数，且），正方形与长方形重叠部分的长方形面积为，求长方形的周长． 3．小明在学完立方根后，不知道如何在不使用计算器的情况下求出的立方根．同桌小华提醒他可以按照教材上数学家华罗庚的方法口算立方根，于是他们进行了下面的探究： ①首先进行估算：因为，，，所以，所以能确定是两位数． ②其次观察立方数：，，，，，，，，．由的个位上的数是，，确定的个位上的数是． ③接着划去后面的三位得到数，而，，，所以，所以，所以的十位上的数是，于是得到，即的立方根是． 请你根据小明和小华探究的方法完成下列问题： (1)填空：的立方根是一个______位数，其个位上的数是_______； (2)根据上面的步骤，请计算的立方根，并书写详细过程． 【课后检测】 1．下列各式正确的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则的值是（     ） A． B． C． D． 3．下列结论中，正确的是（     ） A． B．是的一个平方根 C．的平方根是 D．的立方根是 4．如图，数轴上有，，，四个点，则（     ） A．点表示的数可能是 B．点表示的数可能是 C．点表示的数可能是 D．点表示的数可能是 5．关于“”，下面说法不正确的是（     ） A．10的平方根是 B．它是一个无理数 C．若，则整数a为3 D．它可以表示面积为10的正方形的边长 6．下列各数中：，，0.618，，，，无理数的个数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 7．若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（     ） A． B． C．或 D．或 8．已知一个正数的平方根分别为和，则x的值为（    ） A．25 B．16 C．8 D．2 9．已知实数a、b满足，则等于（     ） A．﹣1 B．2 C．3 D．5 10．一条直线型的步道两边缘互相平行，步道的宽度为，甲和乙分别沿着步道的两边缘同时同向奔跑，出发时两人之间的距离为．在跑步过程中，两人之间的距离先变小后变大．当一个人先到达终点线时，两人之间的距离仍为．已知乙全程匀速跑，下列说法正确的是（   ）． A．跑步过程中，两人之间的距离可能为 B．跑步过程中，两人之间的距离可能为 C．若出发时乙在前，则甲不可能为匀速跑 D．若出发时甲在前，则甲的速度可能先慢后快 11．正方形面积为5，则正方形边长为______． 12．已知a，b是有理数，若a是64的平方根，b是64的立方根，则的值为__． 13．若，，则______． 14．一个正数的两个不同的平方根分别是与，的立方根是．求的平方根________． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果是__________． 16．下列说法正确吗？为什么？如果不正确，请予以改正． (1)16的平方根是4； (2)． 17．下列说法正确吗？为什么？ (1)的平方根是； (2)； (3)0没有立方根； (4)1的立方根是． 18．求下列各数的平方根： (1)； (2)； (3)324． 19．求下列各数的立方根： (1)125； (2)； (3)0.729． 20．如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)[理解]根据上述规定，填空：________，________； (2)已知，则________． (3)已知，，求的值； (4)[说理]记，，．试说明：； 【复盘笔记】 “化繁为简，一通百通” 更多初中数学精品讲义、同步练习、单元试卷、专项训练，欢迎来到学科网【简一数理】店铺查看，关注店铺接收上新通知。1.PC端：https://shop.xkw.com/175938 2.移动网页端 3.小程序端 第 2 页 共 49 页 第 1 页 共 49 页 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