第02讲 一次函数的图像与性质（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦一次函数图像与性质中考核心模块，系统覆盖定义、图像性质、与方程不等式关系等考点，通过目标导图构建知识脉络，考点深解速通命题要点，命题突破破解16类常考题型，配合难点攻坚与分层练测，形成“梳理-讲解-训练-检测”完整复习链，助力学生突破增减性、图像平移等难点。 亮点在于素养导向的分层设计，如通过规律探究题型培养推理意识，新定义问题发展创新意识，几何综合题提升模型意识。特设“解题技巧”专栏总结待定系数法等方法，练测提能分基础与能力层，结合真题即时反馈，高效提升学生应考能力，为教师提供精准复习节奏把控方案。

第三章 函数 第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 一次函数的基础/ 考点2判断一次函数的图像/ 考点3 一次函数与方程（组）﹑不等式 命题突破👉破解常考题型 题型1 一次函数的定义 题型2 判断一次函数的图像 题型3 正比例函数的性质 题型4 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型5 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 题型6 求一次函数解析式 题型7一次函数与坐标轴交点问题 题型8 与一次函数有关的规律探究问 题型9 与一次函数有关的新定义问题 题型10 以开放性试题的形式考查一次函数 题型11 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型12 探究一次函数与方程、不等式的关系 题型13 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 题型14 与一次函数有关的图形变化问题 题型15 与一次函数有关的动点问题 题型16 一次函数与三角形、四边形、圆综合 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 一次函数的增减性与系数的关系 难点2 一次函数的图像与系数关系 难点3 一次函数的平移规律 难点4 一次函数与方程﹑不等式的综合 难点5 一次函数与几何综合 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一次函数的基础 1.一次函数的定义 1）正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2）一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 2. 求解析式步骤 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 ◇考点 2 一次函数的图像与性质 1.正比例函数的图像与性质 k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 总结：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线 2.一次函数的图像与性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 3.正比例函数与一次函数图像的关系 一次函数的图像可以由对应的正比例函数图像平移得到，遵循 “上加下减” 的规律： 若b>0：将正比例函数 y=kx 的图像 向上平移 ∣b∣ 个单位，得到一次函数 y=kx+b 的图像； 若b<0：将正比例函数 y=kx 的图像 向下平移 ∣b∣ 个单位，得到一次函数 y=kx+b 的图像； ◇考点 3 一次函数与方程（组）﹑不等式 1.一次函数与一元一次方程 对于一次函数 y=kx+b（k≠0），解一元一次方程kx+b=0，等价于求函数值y=0时自变量x的值，从图象上看，就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2.一次函数与二元一次方程组 二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标(x,y)。 3.一次函数与一元一次不等式 对于一次函数y=kx+b（k=0）： （1）解不等式kx+b>0 →求函数值y>0时x的取值范围，对应直线在x轴上方部分的横坐标； （2）解不等式kx+b<0 →求函数值y<0时x的取值范围，对应直线在x轴下方部分的横坐标 ◇题型 1 一次函数的定义 典例1（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数；根据此定义逐一验证各选项是否符合该形式即可． 【详解】解：A：，该函数含常数项“”，不符合正比例函数的形式，不符合题意； B：，该函数为二次函数（最高次数为2），而正比例函数为一次函数，不符合题意； C：，该函数可写为，属于反比例函数，不符合一次函数的形式，不符合题意； D：，该函数可化简为，符合（）的形式，是正比例函数，符合题意； 故答案为：D． 典例2（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数的图象上点的坐标特征．将点代入一次函数解析式，解方程即可求出b的值． 【详解】解：∵ 一次函数的图象经过点， ∴ 将，代入解析式，得： ， 解得：， 故选：D． 变式1（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点B作轴，垂足为点D，先求出，由勾股定理求得，再由菱形的性质得到轴，最后由平移即可求解． 【详解】解：过点B作轴，垂足为点D， ∵顶点在直线上，点的横坐标是8， ∴，即， ∴， ∵轴， ∴由勾股定理得：， ∵四边形是菱形， ∴轴， ∴将点B向左平移10个单位得到点C， ∴点， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的图像，勾股定理，菱形的性质，点的坐标平移，熟练掌握知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 变式2（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． 【答案】点的坐标为 【分析】本题考查一次函数图象上点坐标的特征，根据点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点，可得，代入可解得，故点的坐标为． 【详解】解：∵点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点， ∴， ∵两点都在函数的图象上， ∴， 解得， ∴点的坐标为． ◇题型 2 判断一次函数图像 典例1（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象性质（含一次函数与坐标轴交点的求解），解题的关键是通过计算一次函数与x轴、y轴的交点坐标，与选项中图象的交点进行匹配，确定正确答案． 先明确函数是一次函数（图象为直线）；分别令求其与x轴的交点，令求其与y轴的交点；再将计算出的交点坐标与各选项图象的交点对比，筛选出匹配的选项． 【详解】解：函数为一次函数，其图象是一条直线，可通过求与坐标轴的交点判断选项．   令，则，解得，即函数与x轴的交点为；   令，则，即函数与y轴的交点为； 观察图像，只有A选项与计算结果匹配． 故选：A． 变式1（2023·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   【答案】D 【分析】依据一次函数的图象经过点和，即可得到一次函数的图象经过一、三、四象限． 【详解】解：一次函数中，令，则；令，则， ∴一次函数的图象经过点和， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图象，一次函数的图象是与坐标轴不平行的一条直线． 变式2（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分为和两种情况，利用一次函数图像的性质进行判断即可． 【详解】解：当时，两个函数的函数值：，即两个图像都过点，故选项A、C不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、三象限，一次函数经过一、二、三象限，都与轴正半轴有交点，故选项B不符合题意； 当时，，一次函数经过一、二、四象限，与轴正半轴有交点，一次函数经过一、三、四象限，与轴负半轴有交点，故选项D符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了一次函数的图像性质．理解和掌握它的性质是解题的关键． 一次函数的图像有四种情况： ①当，时，函数的图像经过第一、二、三象限； ②当，时，函数的图像经过第一、三、四象限； ③当，时，函数的图像经过第一、二、四象限； ④当，时，函数的图像经过第二、三、四象限 ◇题型 3 正比例函数的性质 典例12025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数的图象和性质判断即可求解，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【详解】解：∵点、在同一正比例函数的图象上， ∴，， ∴， ∵， ∴正比例函数的图象经过二、四象限，当时，当时， ∵， ∴，， ∴选项正确，选项错误， 故选：． 变式1（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质．根据正比例函数的性质解答即可． 【详解】解：如图， 根据题意得， ∴， 根据正比例函数的意义，值越大，图象越陡，反之图象越陡，值越大， ∴观察图象，跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为甲， 故选：A． 变式2（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了正比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握正比例函数的性质是解题的关键． 根据题意可知，即可得出随的增大而增大． 【详解】解：，， 随的增大而增大， ， ∴经过一，三象限 ∴B符合条件，C，D不符合条件 ∵直线， ∴直线经过原点 点在x轴上，直线经过原点，但不经过故该选项A不符合， 故选：． ◇题型 4 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 典例12025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据一次函数（、为常数， ）的图象性质，分析、取值对直线经过象限的影响来求解．本题主要考查了一次函数的图象与系数的关系，熟练掌握不同、取值对应直线经过的象限是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴时， 时， 故选： ． 变式1（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 【答案】2（答案不唯一，满足即可） 【分析】本题考查一次函数图象的平移，根据直线经过的象限，求参数的范围，根据平移规则求出新的解析式，根据图象经过第三、第二、第一象限，得到，进行求解即可． 【详解】解：由题意，平移后的解析式为：， ∵平移后的直线经过第三、第二、第一象限， ∴， ∴； ∴的值可以是2； 故答案为：2（答案不唯一，满足即可） 变式2（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是一次函数的性质，能根据题意判断出k、b的符号是解答此题的关键．先根据一次函数的图象经过一、二、三象限判断出函数k及b的符号，再写出符合条件的一次函数解析式即可． 【详解】解：设一次函数的解析式为， ∵一次函数的图象经过一、二、三象限， ∴， ∴符合该条件的一个一次函数的表达式是：（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． ◇题型 5 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 典例1（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数性质，熟练掌握函数的性质是解题的关键．根据函数的性质，当时，y随x的增大而增大解答即可． 【详解】解：∵一次函数中随的增大而增大， ∴， 故可取． 故答案为：（答案不唯一）． 变式1（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的性质，要知道，在直线中，当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小． 【详解】解：∵一次函数的函数值y随x的增大而增大， ∴， 而四个选项中，只有D符合题意， 故选：D． 变式2（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了函数的增减性，待定系数法求函数解析式．写出一个一次项系数为负数且经过点的一次函数即可． 【详解】解：设满足题意得的一次函数的关系式为， 代入得：， ， ∴满足题意的一次函数的解析式为． 故答案为：（答案不唯一）． ◇题型 6 求一次函数解析式 典例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与不等式之间的关系，熟知一次函数的相关知识是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为，当时，则，当时，则，根据当时，两个不等式都成立可得；当，时，和恒成立；当时，则且，再分当时，则，当时，则，两种情况分别解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：∵在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和， ∴， 解得； （2）解：由（1）可得函数的解析式为，函数的解析式为， 当时，则， 当时，则， ∵当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值， ∴，且， ∴， 当，时，和恒成立，故符合题意； 当时，则且， 当时，则， 解不等式得，解不等式， ∴； 当时，则， 解不等式得，解不等式得，此时不符合题意； 综上所述，． 解｜题｜技｜巧 1）设解析式，看类型； 2）代点坐标，列方程； 3）解出 k 和 b， 4）写出解析式，大功成！ 变式1（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一次函数的实际应用，求分式的值，正确求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出对应的函数解析式，再求出函数值为200时自变量的值即可求出定义域； （2）根据（1）所求可得加满水时，x的值，据此代值计算即可． 【详解】（1）解：设关于的函数解析式为， 把代入中得， ∴， ∴关于的函数解析式为， 当时，， ∴； （2）解；由（1）可得当时，， ∴加满水时，， ∴ 答：当水加满时，储水装置内水的温度为． 变式2．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）把B的坐标代入，求出n，然后把B的坐标代入，求出k，最后把A的坐标代入求出m即可； （2）根据轴求出C的纵坐标，然后代入，求出C的横坐标，利用勾股定理求出，最后根据正弦的定义求解即可． 【详解】（1）解：把代入， 得， 解得， ∴， 把代入， 得， ∴， 把代入， 得； （2）解：由（1）知： 设l与y轴相交于D，    ∵轴，轴轴， ∴A、C、D的纵坐标相同，均为2，， 把代入，得， 解得， ∴， ∴，， ∴， ∴． 变式3（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． 【答案】(1)； (2) (3)16 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象与性质，一次函数解析式的求解，一次函数与反比例的交点与不等式的解集的关系，熟练掌握一次函数与反比例函数的性质是解决本题的关键． （1）已知双曲线过点，将点的坐标代入双曲线方程，即可求出的值，先将点的坐标代入双曲线方程求出的值，再将点和的坐标代入直线方程，联立方程组求解和的值，进而得到直线的表达式． （2）根据函数图象，找出直线在双曲线上方时的取值范围，即为不等式的解集． （3）可先求出直线与x轴的交点，然后根据三角形面积公式，将的面积转化为与的面积之和进行计算． 【详解】（1）解：点在双曲线上， ， 又在双曲线上， ，解得． 由题意得：，解得， ． （2）解：由（1）可知，， 所以不等式可化为， 根据函数图象，直线在双曲线上方时，的取值范围是， 所以不等式的解集为． （3）解：如图，设直线与轴交于点， 当时．， ， ， ． ◇题型 7 一次函数与坐标轴交点问题 典例1（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，难度不大，认真分析题意即可． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴当时，，即时，， ∴关于的方程的解是． 故答案为：． 变式1（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与一元一次方程，一次函数的性质，方程的解就是一次函数图象与x轴的交点的横坐标是解题的关键．利用函数图象，函数值为0，则于x的方程的解为 【详解】解：一次函数的图象与x轴相交于点， 关于x的方程的解为． 故选：C． 变式2（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查一次函数与一元一次方程的关系，利用一次函数的图象解一元一次方程时，关键是找准方程的解是相应的一次函数y为何值时对应的x的值． 方程的解即为当时方程的解，而一次函数的图象与y轴交于点，则当时，，即可求解． 【详解】解：方程的解即为当时方程的解， ∵一次函数的图象与y轴交于点， ∴当时，， 故答案为：． ◇题型 8 与一次函数有关的规律探究问题 典例1（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数性质应用，等腰直角三角形的判定与性质及点的坐标规律问题，作轴于点H，依次求出，找出规律即可解决． 【详解】解：作轴于点H， 均在直线上， ， ， ，， ， ， ， ， ， 同理，， ， 同理， ， 即点的横坐标是， 故答案为：． 变式1（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    【答案】10 【分析】根据每条直线与轴交点的横坐标解答即可． 【详解】解：由题知，这组直线是平行直线，每条直线与轴交点的横坐标依次是2，4，， 第5条直线与轴的交点的横坐标是10． 故答案为：10． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，掌握一次函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 变式2（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则 ． 【答案】 【分析】先求出，可得，再根据题意可得，从而得到∽∽∽∽……∽，再利用相似三角形的性质，可得∶∶∶∶……∶= ，即可求解． 【详解】解：当x=1时，， ∴点， ∴， ∴， ∵根据题意得：， ∴∽∽∽∽……∽， ∴∶∶∶：……∶= OA12∶OA22∶OA32∶……∶OAn2， ∵，，，，……， ∴，，，……，， ∴∶∶∶∶……∶= ， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了图形与坐标的规律题，相似三角形的判定和性质，明确题意，准确得到规律，是解题的关键． ◇题型 9 与一次函数有关的新定义问题 典例1（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义，轴对称的性质，直线与圆的位置关系，切线长定理的应用，一次函数与结合图形，熟练掌握轴对称的性质，找到临界值是解题的关键； （1）根据定义，观察，，经过对称后，判断对称点是否在上，即可求解； （2）根据正方形的顶点到的距离为，则对称之前的点到原点的距离为，进而求得的最大值，将代入得，，即可求解； （3）根据新定义，找到临界值，即为的切线时的情形，求得的值，即可求解． 【详解】（1）解：如图，当重合时，关于的对称点为，在线段上 ∴是图的“映射点”； 而关于的对称点不在上，则不是图的“映射点”； 故答案为：． （2）解：依题意，正方形的顶点到的距离为， ∴当上存在点是图的“映射点”，则点到的距离为 ∴当经过点时，的值最大， 将代入得， 解得：， ∴的最大值； （3）解：如图，分别为的切线， 当为的“映射点”， ∴， 又∵， 设，则 ∴ ∴ 解得： ∴， ∵， ∴, 当减小时，关于的“映射点”，在即的内部，符合题意， ∴ 当时，根据对称性可得 综上所述，． 变式1（2023·山东济南·三模）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的性质，熟练掌握函数的递变规律是解本题的关键．依据两个函数有公共点，则联立的二次方程有实数根，判别式大于或等于，可初步确定的取值范围，然后再依据自变量的取值范围进一步确定的取值范围，即可求解． 【详解】解：抛物线与线段是牵手函数， 抛物线与平行于轴的线段相切或者相交， 代入中， 即关于的二次方程有两个相等或者不等的实数根， 整理上述关于的二次方程得①， 对于①式， 解得：，    将①式整理成关于的二次方程：， 则关于的判别式：， 解得：， 结合的已知取值范围得出：线段与抛物线有公共点的取值范围为：． 观察图1～图4中抛物线与线段的相对位置关系递变规律发现：当时， 正好是线段与抛物线有公共点时的抛物线最高与最低的位置，其递变规律是， 把代入方程①式：， 可求得， 即抛物线与线段有公共点时的最高与最低位置， 因此，的取值范围是． 故选：B． 变式22025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； 【答案】(1) (2) (3)①；② 【分析】题目属于新定义题型，考查一次函数、二次函数、反比例函数的性质等，理解题意是解题关键． （1）将代入确定，再由题意即可求解； （2）设点，依题意可知点，再由中点坐标得出点，代入函数求解即可； （3）①设函数图像上的点，则点M的2倍横变点N的坐标为，设，得出点，代入函数解析式即可；②根据题意得出折点，，求出当直线过点H时，当直线与在点H下方只有一个交点时，两种情况下b的值，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得；， ， 点B是点A的倍横变点，， 点； （2）设点，依题意得点， 点E是线段的中点， 点， 点E在直线上， ， 解得：， ， ， 点； （3）①设函数图像上的点， 则点M的2倍横变点N的坐标为， 设，则， 点， ， 函数的2倍横变函数的表达式为：； ②当时，， 整理得：， 解得：，， 折点，， 当直线过点H时， ，， 当直线与在点H下方只有一个交点时， 一元二次方程即：有两个相等的实数根， ， 解得：， 当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，b的取值范围是． 30． ◇题型 10 以开放性试题的形式考查一次函数 典例1（2025·黑（龙江大庆·中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，一次函数图象与坐标轴的交点问题，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键． 设一次函数解析式，根据题意可得，即可写出符合题意的一次函数解析式． 【详解】解：设一次函数解析式， 当时，， ∴与y轴交点为， ∵图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大， ∴， ∴解析式可以为：， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查一次函数图象上的点，根据一次函数上的点的横纵坐标满足函数解析式，可以令，求出函数值，进而得到点B的坐标即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， ∴点B的坐标可以为； 故答案为：（答案不唯一） 变式2（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征．取求得的值，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴的值可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式3（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） 【答案】6（答案不唯一，大于5均可） 【分析】本题考查一次函数图象的旋转问题，熟练掌握一次函数的相关知识的是解题的关键．根据直线与坐标轴的交点和旋转角度的范围得出旋转后直线所处的位置，即可求解． 【详解】解：直线经过点， ，即 设直线分别交x轴和y轴与、两点， 当时，；当时，， 即，， ∴， ， 过点分别作直线轴，直线轴，交x轴于，交y轴于，如图， 则轴，， ∴， ∴ ∴当绕A点顺时针旋转，旋转角为时，在如图所示位置， ∵点在上， ∴当，则点在点的右上方，此时， 故答案为：6（答案不唯一，大于5均可）． ◇题型 11 求两直线与坐标轴围成图形的面积 典例1（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 【答案】(1)见解析 (2)四边形面积的最大值为． 【分析】（1）先求得，，得到，，利用等腰直角三角形的性质即可证明结论成立； （2）由题意得，，根据折叠的性质得，，利用等腰直角三角形的判定和性质求得，，再利用梯形的面积公式求得四边形面积关于的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）证明：对于直线， 令，则；令，则， ∴，， ∴，， ∵， ∴； （2）解：∵点的坐标为， ∴，， ∵点关于直线的对称点为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形面积 ∵， ∴当，四边形面积有最大值，最大值为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质．第2问求得四边形面积关于的二次函数的解析式是解题的关键． 解｜题｜技｜巧 解题四步法： 1.求两直线的交点坐标 联立两条直线的解析式，解二元一次方程组，得到交点（这是围成图形的核心顶点） 2.求每条直线与坐标轴的交点坐标 利用 “x轴交点y=0，y轴交点x=0”，分别求两条直线与x轴、y轴的交点： 3.确定围成图形的所有顶点 根据直线与坐标轴的交点、两直线的交点，结合图象判断顶点（优先找在坐标轴上的点）： · 若围成三角形：常见顶点组合为【两直线交点+两条直线与x轴的交点】或【两直线交点+两条直线与y轴的交点】； · 若围成四边形：顶点为【两条直线与x轴的两个交点 + 两条直线与y轴的两个交点】。 · 4.计算图形面积 类型1：围成三角形（高频） · 技巧：选在同一坐标轴上的两点连线为底（长度 = 坐标差的绝对值），对应高为「另一顶点到该坐标轴的距离」（即对应坐标的绝对值）。 · 类型2：围成四边形（少见） · 技巧：用割补法，补成矩形或大三角形，减去周围多余的小三角形面积；或分割成两个三角形（以两直线交点为分割点）。 变式1（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 【答案】(1)过； (2)； (3)4或． 【分析】（1）在中，令求得，从而可求得直线过定点的坐标即可； （2）先根据点 B、O关于点D对称，求得点D的坐标，代入，求得，从而可求得直线的解析式； （3）先求得，再根据在直线上，可得出直线：与直线：的交点为，从而可求得，，进而求得，分、两种情况，分别求出m的值． 【详解】（1）解：在中，令得， ∴直线过定点， 故答案为：过； （2）在中，令得， ∴， ∵点B、O关于点D对称， ∴D是的中点， ∴， ∵点在直线上， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为为； （3）在中，令得， ∴在直线上， ∴直线：与直线：的交点为， 在中，当时，； 当时，，解得：， ∴，， ∴， 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 当时，如图： 此时， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴； 综上所述，m的值为4或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，一次函数图象上点坐标的特征，三角形面积，待定系数法求一次函数解析式等知识，解题关键是分类讨论思想的应用． 变式2（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． 【答案】(1)反比例函数表达式为，一次函数表达式为 (2)或 (3) 【分析】（）利用待定系数法即可求解； （）根据函数图象即可求解； （）如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，求出点坐标，再根据关于原点对称的点的坐标特征求出点坐标，根据计算即可求解； 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的性质，利用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：把代入得，， ∴， ∴反比例函数表达式为， 把代入得，， ∴， ∴， 把、代入得， ， 解得， ∴一次函数表达式为； （2）解：由图象可得，当时，的取值范围为或； （3）解：如图，设直线与轴相交于点，过点作轴于点，过点作轴于点，则， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴，， ∴ ， 即的面积为． ◇题型 12 探究一次函数与方程﹑不等式的关系 典例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 典例2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，一次函数图象的平移，把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象，可得函数与轴的交点坐标为，再结合图象可得答案． 【详解】解：把一次函数的图象向右平移3个单位得的图象， ∴向右平移3个单位得， ∴函数与轴的交点坐标为， ∵， ∴结合图象可得：， 故选：C． 变式1（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数图象，找出使函数图象在x轴上方的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵， ∴当时，， 故选：B． 【点睛】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式之间的关系的理解和掌握，能正确观察图象得出答案是解此题的关键． 变式2（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由图象交点坐标可得方程组的解． 【详解】解：由图象可得直线与直线相交于点A（1，3）， ∴关于x，y的二元一次方程组的解是． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数与二元一次方程的关系，解题关键是理解直线交点坐标中x与y的值为方程组的解． 变式3（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】据函数图象，写出直线y1=k1x在直线y2=k2x+b2的下方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：如图，已知直线y1=k1x与直线y2=k2x+b2相交于点A（1，2），则当y1＜y2时，x的取值范围为 x＜1． 故答案是：x＜1． 【点睛】本题考查了一次函数与一元一次不等式：从函数的角度看，就是寻求使一次函数y=kx+b的值大于（或小于）0的自变量x的取值范围；从函数图象的角度看，就是确定直线y=kx+b在x轴上（或下）方部分所有的点的横坐标所构成的集合． ◇题型 13 一次函数﹑反比例函数﹑二次函数图像综合判定 典例1（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象，根据一次函数与反比例函数的性质，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：∵ 当时，一次函数经过第一、二、三象限， 当时，一次函数经过第一、三、四象限 A.一次函数中，则当时，函数图象在第四象限，不合题意， B.一次函数经过第二、三、四象限，不合题意， 一次函数中，则当时，函数图象在第一象限，故C选项正确，D选项错误， 故选：C． 变式1（2022·西藏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】根据a，b的取值分类讨论即可． 【详解】解：若a＜0，b＜0， 则y＝ax+b经过二、三、四象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故A选项符合题意； 若a＜0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、四象限，反比例函数（ab≠0）位于二、四象限，故B选项不符合题意； 若a＞0，b＞0， 则y＝ax+b经过一、二、三象限，反比例函数（ab≠0）位于一、三象限，故C选项不符合题意； 若a＞0，b＜0， 则y＝ax+b经过一、三、四象限，反比例函数数（ab≠0）位于二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：A． 【点睛】此题考查的是反比例函数和一次函数的图像及性质，掌握系数a，b与反比例函数和一次函数的图像的关系是解决此题的关键． 变式2（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数和二次函数图象的基本性质．直接利用二次函数图象得出a、b、c的符号，进而得出答案． 【详解】解：由二次函数图象，得出，，对称轴， ∴， 对于一次函数，，， ∴一次函数的图象大致是 ， 故选：D． 变式2（2025·河南平顶山·三模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质、一次函数的图象与性质、反比例函数的图象与性质，首先根据二次函数图象的开口方向、对称轴、与 轴交点的位置，判断、、是正数还是负数，再根据、、判断一次函数和反比例函数的图象的位置． 【详解】解：二次函数图象开口向下， ； 二次函数函数的对称轴， ， 二次函数的图象与轴的交点在轴负半轴上， ， 一次函数经过第二、三、四象限， ，， ， 反比例函数位于第一、三象限. 故选：B． ◇题型 14 与一次函数有关的图形变化问题 典例1（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一次函数图象的平移以及一次函数与线段的交点问题，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先求出直线平移后的解析式，再根据直线与线段有交点，分别求出直线经过点A和点B时d的值，进而确定d的取值范围，据此进行分析，即可作答． 【详解】解：依题意，将直线向上平移d个单位长度后得 ∵点，点，且直线向上平移d个单位长度后与线段有交点， ∴把代入得，解得； 把代入得，解得； 则， 故选：D． 变式1（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移性质，求一次函数的解析式，先根据点，，求出这条直线的解析式为，结合平移的性质，得平移后的直线解析式为，再将每个选项进行验证，即可作答． 【详解】解：设过点，的直线解析式为， 把点，分别代入， 得， ∴， ∴， ∵过点，的直线向上平移3个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， 当时，则， 即在直线上，故B选项符合题意，故A选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故D选项不符合题意； 当时，则， 即在直线上，故C选项不符合题意； 故选：B 变式2（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2)或 (3)8 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的综合应用： （1）先求出点坐标，再将点代入一次函数的解析式中求出的值即可； （2）图像法求不等式的解集即可； （3）根据平移的性质，得到阴影部分的面积即为的面积，进行求解即可． 【详解】（1）点在的图像上， 当时，． ∴， 将点代入，得． （2）由（1）知：， 联立，解得：或， ∴； 由图像可得：时的取值范围为：或． （3）∵， ∴当时，， ∴， ∵将直线沿轴向下平移4个单位， ∴，直线的解析式为：，设直线与轴交于点H ∴当时，，当时，， ∴，， ∴， ∴， 如图，过点作，垂足为， ∴． 又，， ． 连接， ∵平移， ∴，， ∴四边形为平行四边形， ∴阴影部分面积等于的面积，即． ◇题型 15 与一次函数有关的动点问题 典例1（2025·重庆·模拟预测）如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查了动点函数图象，解直角三角形，一次函数和反比例函数综合，画函数图象，根据题意列出函数关系式是解题的关键； （1）根据题意得出，，，的周长为，进而分段列出函数关系式，即可求解； （2）根据（1）中函数解析式，画出函数图象，根据函数图象写出函数的一条性质； （3）根据函数图象，即可求解． 【详解】（1）解：∵在中，为中点， ∴，， ∴，的周长为 动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动， ∴当时，点在上， 当时，点在上， ∴ ∴ ∵动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点的运动路程为 ∴ ∴ （2）解：如图所示， 函数的一条性质：当时函数取得最大值为 （3）根据函数图象可得时的取值范围为或 变式1（2025·河北石家庄·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点， (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点P是否在直线上； (3)嘉嘉说：当a取不同的两个值时，得到两个点，，则直线与直线平行．嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理； (4)直接写出的面积． 【答案】(1) (2)当时，点P不在直线上 (3)嘉嘉说得对，理由见解析 (4)的面积为5 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，两个一次函数图象的位置关系，两条平行线间的距离相等，掌握待定系数法是解题的关键． （1）利用待定系数法求的解析式即可； （2）当时，，求出当时，y的值再判断即可； （3）由点P的坐标为可知点P在直线上运动，则直线与直线平行，即可得出直线与直线平行； （4）根据的面积等于两个三角形面积的和求解即可． 【详解】（1）解：设直线的解析式为， 把点，代入得， 解得， ∴直线的解析式为． （2）解：当时，点P的坐标为， 由（1）知直线的解析式为， 当时，， ∴当时，点P不在直线上． （3）解：嘉嘉说得对．说理如下： ∵点P的坐标为， ∴点P在直线上运动， ∵直线与直线平行， ∴直线与直线平行． （4）解：∵点P在直线上运动，直线与直线平行， ∴直线向上平移5个单位得到， ∴的面积为：． 变式2（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了待定系数法求函数解析式、一次函数与几何的综合、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、坐标与图形等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）先求得，再结合点C的坐标，运用待定系数法求解即可； （2）先求出，进而得到的面积为6，如图：设D的坐标为，则，然后根据三角形的面积公式求解即可； （3）由题意可得： ，如图：过C作且，，再证明可得，即，即；再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为，再求出直线的解析式为，再与直线即可确定点P的坐标． 【详解】（1）解：∵直线 交x轴于点A，交y轴于点B， ∴， ∵点C 的坐标为， ∴设直线的函数表达式为， 则，解得：， ∴直线的函数表达式为． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴的面积为， 如图：设D的坐标为，则， 则，解得：或4． ∴点D的坐标为或． （3）解：∵，， ∴，， 如图：过C作且， ∴是等腰三角形，即, 过G作轴，垂足为D， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P； 如图：点F是点G关于点C的对称点，则点F的坐标为， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：， ∴直线与直线的交点即为所求点P． 综上，点P的坐标为或． ◇题型 16 一次函数与三角形﹑四边形﹑圆综合 典例1（2025·青海西宁·一模）如图，直线 与轴、轴分别交于，两点， ． (1)求点坐标和的值； (2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式； (3)探索： ①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)①当点A运动到时， 的面积为，理由见解析；②存在，或或 【分析】本题主要考查了三角函数、一次函数图像与点的坐标之间的关系，等腰三角形定义等，熟练掌握这些知识是解题的关键． （1）由函数与轴交点可得，由三角函数可得，得点坐标，把点坐标代入解析式即可求值； （2）借助（1）的函数关系式，利用三角形面积公式即可求出； （3）①利用三角形面积即可求出； ②设，分三种情况讨论： 、、，先求出的长度，再分别列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵ 与轴相交于点， ∴， ∵， ∴=， ∴点坐标为 ， 把代入得 ， 解得； 故答案为：；． （2）把代入得， ∵， ∴； 故答案为：． （3）①当时，， 解得， 把代入，得， ∴当点A运动到时，的面积为； ②由，得，设 ， 是等腰三角形，分三种情况讨论： 当时，，解得或， ∴或； 当时，，解得或 (不符合题意，舍去）， ∴； 当时，，解得， ∴； 故答案为：①当点A运动到时， 的面积为；②存在，或或． 变式1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)点坐标为或或 【分析】（1）根据点在直线上，当时解出的值即可求出点的坐标，根据、的纵坐标相等，再代入直线上，即可求出点的坐标； （2）设的坐标为，根据矩形性质以及等腰直角三角形性质，当时，在外边，故不成立；当时，利用勾股定理求出点坐标，设点，结合矩形对边相等即可求出点坐标，再设反函数解析式，代入求解即可； （3）分三种情况：①当时，在上方与在下方时，通过三角形全等得到对应边相等，进行求解；②当时，在上方，同样的方法进行求解，得到不在边上，不符合题意；当时，且在第一象限，以同样的方法结合全等三角形求解即可． 【详解】（1）解：为矩形，点的坐标为，点的坐标为， ，， 直线的解析式为， 当，， ， ， ， ， ，解得：， ； （2）设的坐标为， 四边形为矩形， 为直角三角形， 当时， ， ， ， ， ， 解得：， ， 设点， ， ， ， ， 设过点的反比例函数为， ，解得：， 过点的反比例函数为； （3）使是等腰直角三角形， 设，， ①当时，如下图，在上方，过点作交轴于，交与延长线于， 是等腰直角三角形， ，， ， ， 又， ， ，， ，解得：， ； 在下方，如下图，过点作交轴于，延长线交于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 当时，的坐标为或； ②当时，如下图，在上方，过点作轴于， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， 此时不在边上，不符合题意； ③当时，且在第一象限，如下图，过点作交轴于，与交于点， 是等腰直角三角形， 同理可证， ，， ，解得：， ， 综上所述点坐标为或或． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，矩形的性质，等腰三角形性质，勾股定理，全等三角形的判定与性质，直角坐标系中两点间的距离，反比例函数解析式，正确作出辅助线，分情况讨论是解答本题的关键． 变式2（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点． (1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______； (2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点． ①当时，求的值； ②设，，求y与x的函数关系式． 【答案】(1)5，，2，2 (2)①；②y与x的函数关系式为 【分析】（1）利用直线解析式求出点E和点F坐标，进而得到和的长度，再根据边角关系可得，继而得到和； （2）①易证，从而求出的长，进而即可得解； ②构造8字型相似，作轴于点K，轴于点J，则，，解直角三角形可得，进而得到、和，再在中，，进而建立等式求解． 【详解】（1）解：直线交x轴于点E，交y轴于点F， 令得，， 解得， ； 令得，， ； ， ， 连接，则， ， ， ， ，即的半径为2； ，， 是等边三角形， ； 故答案为：5，，2，2； （2）解：①连接、， ， ， ， ， ， ， ， 为直径， ，， ， ； ②由①知， ， 如图，作轴于点K，轴于点J，则， ，， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， ， 在中，， ，即， 整理得， 与x的函数关系式为． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、一次函数与坐标轴交点、特殊直角三角形、相似三角形的判定和性质等内容，综合性强，难度大，熟练掌握相关知识是解题的关键． 变式3（2025·黑龙江·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线交于点E，的长（）是一元二次方程的两个根，D为直线上一点，作轴交直线于点G，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)若点，点M在直线上，在直线上是否存在点N，使以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）解一元二次方程得，，即可得，，，，再利用待定系数法求出直线的解析式，联立解方程即可求出点E的坐标； （2）由已知得，分和，，分别表示出即可得出结论； （3）设，，根据题意得出，然后分三种情况分析：①若，为对角线，则的中点即是的中点；②若，为对角线，则的中点即是的中点；③若，为对角线，则的中点即为的中点；分别列出方程组求解即可． 【详解】（1）解：解一元二次方程得， ， ∵的长（）是一元二次方程的两个根， ∴，， ∴，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 解得， 直线的解析式为， 联立得， 解得， ∴； （2）解：由已知得， ∵轴， ∴， ∵，， ∴，， 当时，，， 当时，，， 当时，，， 综上，S与t的函数关系式为； （3）解：点M，N分别在直线和上，以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形，设，， ∵，垂直x轴于F， ∴， 分以下三种情况讨论： ①若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ②若，为对角线，则的中点即是的中点， ， 解得：， ∴， ∴； ③若，为对角线，则的中点即为的中点， ， 解得：， ∴， ∴； 综上可得，N的坐标为或． 【点睛】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数解析式以及平行四边形的判定和性质，解一元二次方程，解答本题的关键是熟练掌握一次函数的性质． ◇难点 1 一次函数增减性与系数的关系 典例1（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的图象与系数的关系．利用函数的增减性可以判定其比例系数的符号，利用与y轴正半轴相交可以判断常数项，列出一元一次不等式组，求解从而确定k的取值范围． 【详解】解：根据题意有：， 解得：， 故答案为：． 变式1（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． 【答案】1或 【分析】本题考查了一次函数的增减性及解一元一次方程，解题的关键是理解函数的增减性． 分及两种情况，根据的最大值是，求出此时的的值，从而得出的值，再求出的值即可． 【详解】解：当时，一次函数中，y随x的增大而增大， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 当时，一次函数中，y随x的增大而减小， 当时，的最大值是， ， 此时，即 当时，一次函数有最小值，最小值为； 综上所述，的最小值是1或； 故答案为：1或． ◇难点 2 一次函数的图像与系数的关系 典例1（2025·陕西商洛·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，分两种情况：当，时；当，时；分别判断出一次函数所经过的象限，结合图形即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴当，时，函数经过第一、三、四象限，函数经过第一、二、四象限，故选项A 符合题意； 当，时，函数经过第一、二、四象限，函数经过第一、三、四象限，也只有选项A符合题意； 故选：A． 变式1．（2025·吉林长春·二模）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质，可知一次函数的图象经过哪几个象限，然后即可得到一次函数的图象一定经过哪几个象限．解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质解答． 【详解】解：一次函数， 当时，该函数图象经过第一、三、四象限， 当时，该函数图象经过第二、三、四象限， 一次函数的图象一定经过第三、四象限， 故选：C． 变式2（2025·甘肃庆阳·三模）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】B 【分析】此题考查一次函数解析式确定图象经过的象限，掌握一次函数的性质是解题关键．关键是根据一次函数的图象经过第一、二、三象限，得出的取值范围．进而解答即可． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、三象限， ∴， ∴， ∴一次函数的图象经过一、三、四象限， 故选：B． ◇难点 3 一次函数的平移规律 典例1（2025·浙江台州·三模）若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与几何变换，一次函数图象上点的坐标特征，掌握解析式“左加右减，上加下减”的平移规律是解题的关键．先根据平移的规律求出的图象向左平移2个单位后的解析式，再将原点的坐标代入即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象向左平移2个单位后得到， 由题意，得， 解得． 故选：A． 变式1（2025·湖南长沙·二模）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数图象的平移，根据函数图象的平移法则：左加右减、上加下减直接求解即可得到答案．熟记函数图象的平移法则：左加右减、上加下减是解决问题的关键． 【详解】解：直线向上平移4个单位得到的直线的表达式为， 即， 故选：D 变式2（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，直线向上平移3个单位得到直线（k，b为常数，且），若点P在直线上，且点P的横坐标为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的平移，熟练掌握一次函数的平移规律是解题的关键．根据一次函数的平移，可知直线向上平移3个单位得到直线，再代入到，即可求出点P的坐标． 【详解】解：直线向上平移3个单位得到直线， 代入得，． 点P的坐标为． 故选：B． ◇难点 4 一次方程与方程﹑不等式综合 典例1（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次方程之间的关系，掌握知识点的应用是解题的关键． 根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，即一次函数的图象轴交点坐标为， ∴关于的方程的解为， 故答案为：． 变式1（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式之间的关系，根据一次函数与轴交点坐标可得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵一次函数的图象与轴交于点， ∴关于的不等式的解集为． 故答案为：． 变式2（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式的理解和掌握，能根据图象解不等式是解此题的关键；从函数图象中找出函数在下方或相交时x的值可得的解,并求得时，则得出，即可求解． 【详解】解：∵一次函数（）与正比例函数（）的图像交于点 ， 观察图象可得： 当时，直线在下方或相交， ∴的解为， 把代入得：，， ∴时，则，解得：， ∴不等式的解集为：， 故答案为： 变式3（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数与二元一次方程（组）的解，先求出交点的坐标，然后利用方程组的解就是两个相应的一次函数图象的交点坐标进行解答． 【详解】解：当时，，解得， ∴交点坐标为， ∴方程组的解为， 故答案为：． ◇难点 5 一次函数与几何综合 典例1（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； (3)直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或或． 【分析】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰三角形定义，解一元二次方程等知识，掌握知识点的应用及分类讨论思想的应用是解题的关键． （）求出，，再用待定系数法可得直线解析式为； （）求出，，，根据三角形面积公式可得； （）设，可得，，，然后分三种情况列方程，即可解得答案． 【详解】（1）解：由得：，， ∴，， 设直线解析式为，把代入得：， 解得， ∴直线解析式为； （2）解：在中，令得， ∴， ∵， ∴， ∵是直线上一动点， ∴， ∴， ∴； （3）解：直线上存在点，使为等腰三角形，理由如下： 设， ∵，， ∴，，， 当时，， 解得， ∴； 当时，， 解得（此时，重合，舍去）或， ∴； 当时，， 解得或， ∴或； 综上所述，的坐标为或或或． 变式1（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 【答案】(1)；； (2)存在，或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法的应用，一次函数的交点问题，坐标与图形变化—平移； （1）根据一次函数图象上点的坐标特征先求出m，可得点A的坐标，再根据平移求得点C的坐标，由直线与平行，可设直线的解析式为，代入点C坐标，利用待定系数法即可求得直线的表达式； （2）先求出点E坐标，根据可得点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍，然后分情况代入计算即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ∴， 把点向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点， ， 直线与平行， 设直线的解析式为， 又直线过点， ∴， 解得， 直线的解析式为， 故答案为：；；； （2）存在； 联立，解得， ． ， ∴点P到y轴的距离是点E到y轴的距离的2倍， 或， 把代入，得； 把代入，得； 或． 变式22025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． 【答案】(1)，； (2)，； (3)的函数表达式为． 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，一次函数的图象与性质，等腰直角三角形等知识点，熟练掌握其性质，正确作出辅助线是解题的关键． （）由即可求出点的坐标为，点的坐标为，从而求解； （）根据“型全等”证明，则有点的坐标为，设解析式为，然后把，坐标代入求解即可； （）过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，证明，则有，设，则，，得出，最后通过待定系数法即可求解． 【详解】（1）解：如图，在直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于点， 令，解得，令，得，解得：， ∴点的坐标为，点的坐标为， ∴，， 故答案为：，； （2）解：过点作轴于，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴点的坐标为， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 故答案为：，； （3）解：过点作交于点，过点作轴，过点作轴与交于点，与轴交于点，如图， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ∴，解得， ∴， ∴设直线解析式为 ，解得， ∴的函数表达式为． ◇测能力 1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的性质：当，图象经过第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而增大；当，图象经过第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而减小．利用正比例函数的性质得到，然后在此范围内进行判断即可． 【详解】解：∵正比例函数图象经过第一、第三象限， ∴， ∴选项A符合题意． 故选：A． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象当k＜0时，一定经过二、四象限且y随x的增大而减小，结合b=-1即可得出结论． 【详解】解：∵一次函数 ，若y随x的增大而减小， ∴k＜0， ∴图象一定过第二、四象限， ∵b=-1， ∴该一次函数一定过第二、三、四象限，不过第一象限， 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，熟练掌握一次函数的性质是解答的关键． 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的应用．理解题意是关键．依据题意，先求出时的函数关系式，然后将代入计算可以得解． 【详解】解：设当时的直线解析式为：， 由条件可得． 解得． ∴直线解析式为． 令， ∴． 故选：B． 4．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像，掌握根据k，b的符号正确判断一次函数图象经过的象限是解题的关键．根据k，b的符号判断直线所经过的象限，然后确定必不经过的象限即可． 【详解】解：∵由已知，得：， ∴图象经过第一、二、三象限， ∴图象不经过第四象限． 故选：D． 5．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据一次函数的性质逐个判断即可得到答案． 【详解】解：A.当时，，即一次函数的图象与y轴交于点，说法正确； B.一次函数图象y随x的增大而增大，原说法错误； C.当时，，原说法错误； D.一次函数的图象经过第一、三、四象限，原说法错误； 故选A． 6．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正比例函数的实际应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 通过待定系数法求出电流关于电压的函数解析式，再将代入函数解析式即可求解． 【详解】解：由题意得设电流关于电压的函数解析式为：， 由图象可代入得：， 解得：， ∴， 当，则 故选：A． 7．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，不等式的性质，熟悉一次函数的性质是解题的关键．根据一次函数的增减性可得k的取值范围，再把代入函数，从而判断函数值y的取值范围，即可得出结果． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴当时，， 选项中只有3符合要求， 故选：A． 8．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数、反比例函数、二次函数的增减性． 由题意可得当时，y随x的增大而增大，逐个选项判断函数的增减性，即可额解答． 【详解】解：∵当时，，即， ∴当时，y随x的增大而增大． A、对于函数，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； B、对于，当时，y随x的增大而减小，故该函数不合题意； C、函数的图象开口向上，对称轴为， 则当，y随x的增大而增大，故该函数符合题意； D、函数的图象开口向下，对称轴为， 则当，y随x的增大而减小，故该函数不合题意． 故选：C ◇提能力 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】(1) ， (2)①，其中t的取值范围是：；② 【分析】（1）解直角三角形可得，，从而可得B、C坐标； （2）①由平移的性质可得， ，．利用三角函数表示出和和的面积，根据即可求重叠部分的面积； ②通过构造平行四边形转移边和轴对称化折为直，将折线段拼接起来后，利用两点之间线段最短求最值． 【详解】（1）解：∵点， ∴， ∵为等边三角形，作轴于点D，如图①所示， 则，，， ∴， 故B的坐标为，的坐标为， 故作案为：，； （2）解：①由平移的性质可得，， ∵， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， 在中，，则，，， ∴， 在中，，， ∵， ∴，， 所以 ， 当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形，当点重合时，，此时与重叠部分不是五边形， ∴t的取值范围是：； ②如图所示，连接和， 以和为邻边构造平行四边形，，设， ∴，，， 解得，， ∴， 由（1）得，点O关于直线的对称点为点， 故，当三点共线时，值最小，连接即为的最小值， 设直线的解析式为， ∴， 解得，， ∴直线的解析式为， 当时，， 解得，， ∴的坐标为． 【点睛】本题主要考查了等边三角形的判定和性质，一次函数与坐标轴的交点，一次函数与几何图形面积的计算，解直角三角形的计算，平行四边形的性质，中点坐标的计算，待定系数法求一次函数解析式，最短路径的计算等知识的综合，掌握一次函数与几何图形的综合运用，合理作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 【答案】(1)直线的解析式为 (2)①，；②或5 【分析】（1）根据平移的性质可得是等腰直角三角形，根据矩形的性质可得，从而得到，最后用待定系数法即可求得答案； （2）①根据，即可求得，再结合题意列不等式组即可求得； ②分五种情况讨论：当时，与矩形重叠部分为三角形；当时，与矩形重叠部分为四边形梯形；当时，重叠部分为梯形；当时，与矩形重叠部分为五边形；当时，重叠部分为矩形，分别画出图形，结合图形建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图①，当经过点时， 矩形的顶点， ， 由平移的性质可得：为等腰直角三角形， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为：； （2）解：①如图②，当与矩形重叠部分为五边形时， 矩形中，， 四边形是矩形， 设，则， ，， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故答案为：，； ②分以下五种情况讨论： 当时，与矩形重叠部分为三角形，如图， 重叠部分的面积为：， ， ， 解得：， ， 不符合题意，此时重叠部分面积不可能为； 当时，与矩形重叠部分为四边形梯形，如图， 则， ， ， 解得：， ， 符合题意； 当时，重叠部分为梯形，为定值，不能等于； 当时，与矩形重叠部分为五边形， 由①知：， ， 解得：舍去，； 当时，重叠部分为矩形，如图， ， ， 当时，，不符合题意； 综上所述，满足的所有的值为或． 故答案为：或． 【点睛】本题是矩形综合题，考查了矩形性质，等腰直角三角形的判定和性质，平移变换的性质，三角形、梯形、矩形面积等，解题关键是运用数形结合思想和分类讨论思想． 2 / 81 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第02讲 一次函数的图像与性质 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 一次函数的基础/ 考点2判断一次函数的图像/ 考点3 一次函数与方程（组）﹑不等式 命题突破👉破解常考题型 题型1 一次函数的定义 题型2 判断一次函数的图像 题型3 正比例函数的性质 题型4 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 题型5 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 题型6 求一次函数解析式 题型7一次函数与坐标轴交点问题 题型8 与一次函数有关的规律探究问 题型9 与一次函数有关的新定义问题 题型10 以开放性试题的形式考查一次函数 题型11 求两直线与坐标轴围成的图形面积 题型12 探究一次函数与方程、不等式的关系 题型13 一次函数、反比例函数、二次函数图像综合判定 题型14 与一次函数有关的图形变化问题 题型15 与一次函数有关的动点问题 题型16 一次函数与三角形、四边形、圆综合 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 一次函数的增减性与系数的关系 难点2 一次函数的图像与系数关系 难点3 一次函数的平移规律 难点4 一次函数与方程﹑不等式的综合 难点5 一次函数与几何综合 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 一次函数的基础 1.一次函数的定义 1）正比例函数的定义：一般地，形如y=kx(k≠0）函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数. 2）一次函数定义：如果 y=kx+b（k，b是常数，k ≠0 ）的函数，叫做一次函数，k叫比例系数。 注意：当b=0时，一次函数y=kx+b 变为y=kx，正比例函数是一种特殊的一次函数。 2. 求解析式步骤 基本步骤：设、列、解、写 ⑴设：设一般式y=kx+b ⑵列：根据已知条件，列出关于k、b的方程（组） ⑶解：解出k、b； ⑷写：写出一次函数式 ◇考点 2 一次函数的图像与性质 1.正比例函数的图像与性质 k的符号 图像 经过象限 性质 k＞0 第一、三象限 y随x的增大而增大 k＜0 第二、四象限 y随x的增大而较少 总结：正比例函数的图像是经过原点（0，0）的一条直线 2.一次函数的图像与性质 一次函数图象与性质用表格概括下： 增减性 k＞0 k＜0 从左向右看图像呈上升趋势，y随x的增大而增大 从左向右看图像呈下降趋势，y随x的增大而较少 图像（草图） b＞0 b=0 b＜0 b＜0 b=0 b＜0 经过象限 一、二、三 一、三 一、三、四 一、二、四 二、四 二、三、四 与y轴的交点位置 b＞0，交点在y轴正半轴上；b=0,交点在原点；b＜0，交点在y轴负半轴上 【提分要点】： 1. 若两直线平行，则； 2. 若两直线垂直，则 3.正比例函数与一次函数图像的关系 一次函数的图像可以由对应的正比例函数图像平移得到，遵循 “上加下减” 的规律： 若b>0：将正比例函数 y=kx 的图像 向上平移 ∣b∣ 个单位，得到一次函数 y=kx+b 的图像； 若b<0：将正比例函数 y=kx 的图像 向下平移 ∣b∣ 个单位，得到一次函数 y=kx+b 的图像； ◇考点 3 一次函数与方程（组）﹑不等式 1.一次函数与一元一次方程 对于一次函数 y=kx+b（k≠0），解一元一次方程kx+b=0，等价于求函数值y=0时自变量x的值，从图象上看，就是直线y=kx+b与x轴交点的横坐标。 2.一次函数与二元一次方程组 二元一次方程组的解就是两个一次函数图象的交点坐标(x,y)。 3.一次函数与一元一次不等式 对于一次函数y=kx+b（k=0）： （1）解不等式kx+b>0 →求函数值y>0时x的取值范围，对应直线在x轴上方部分的横坐标； （2）解不等式kx+b<0 →求函数值y<0时x的取值范围，对应直线在x轴下方部分的横坐标 ◇题型 1 一次函数的定义 典例1（2025·上海·中考真题）下列函数中，为正比例函数的是（   ） A． B． C． D． 典例2（2025·广西·中考真题）已知一次函数的图象经过点，则（   ） A．3 B．4 C．6 D．7 变式1（2024·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，菱形的顶点在轴负半轴上，顶点在直线上，若点的横坐标是8，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2（2024·江苏南京·中考真题）已知点与点关于轴对称，将点向左平移3个单位长度得到点．若两点都在函数的图象上，求点的坐标． ◇题型 2 判断一次函数图像 典例1（2025·四川·中考真题）函数的图象为(    ) A． B． C． D． 变式1（2023·内蒙古通辽·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象是（    ） A．  B．  C．   D．   变式2（2022·安徽·中考真题）在同一平面直角坐标系中，一次函数与的图像可能是（    ） A．B．C．D． ◇题型 3 正比例函数的性质 典例12025·吉林长春·中考真题）已知点、在同一正比例函数的图象上，则下列结论正确的是（　　） A． B． C． D． 变式1（2025·江西·中考真题）在趣味跳高比赛中，规定跳跃高度与自己身高的比值最大的同学为获胜者．甲、乙、丙、丁四位同学的跳跃高度与他们身高的关系示意图如图所示，则获胜的同学是（   ） A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 变式2（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，点均在直线上，若，则该直线经过的点的坐标还可以是（    ） A． B． C． D． ◇题型 4 探究一次函数经过的象限与系数之间的关系 典例12025·江苏南通·中考真题）已知直线经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·天津·中考真题）将直线向上平移个单位长度，若平移后的直线经过第三、第二、第一象限，则的值可以是 （写出一个即可）． 变式2（2024·内蒙古包头·中考真题）在平面直角坐标系中，若一次函数的图象经过第一、二、三象限，请写出一个符合该条件的一次函数的表达式 ． ◇题型 5 探究一次函数的增减性与系数之间的关系 典例1（2025·湖北·中考真题）已知一次函数随的增大而增大．写出一个符合条件的的值是 ． 变式1（2024·新疆·中考真题）若一次函数的函数值y随x的增大而增大，则k的值可以是（    ） A． B． C．0 D．1 变式2（2024·黑龙江大庆·中考真题）请写出一个过点且y的值随x值增大而减小的函数的解析式 ． ◇题型 6 求一次函数解析式 典例1（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，函数的图象经过点和． (1)求k，b的值； (2)当时，对于x的每一个值，函数的值既小于函数的值，也小于函数的值，直接写出m的取值范围． 解｜题｜技｜巧 1）设解析式，看类型； 2）代点坐标，列方程； 3）解出 k 和 b， 4）写出解析式，大功成！ 变式1（2025·上海·中考真题）已知学校热水器有一个可以储200升（）水的储水装置，且水在装满储水装置时会自动停止，如图所示为储水量与加水时间的关系，已知温度（单位：）与的关系为：．    (1)求关于的函数解析式并写出定义域； (2)当水加满时，储水装置内水的温度为多少？ 变式2．（2024·上海·中考真题）在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数且）上有一点，且与直线交于另一点．    (1)求k与m的值； (2)过点A作直线轴与直线交于点C，求的值． 变式3（2025·四川巴中·中考真题）如图，直线与双曲线交于两点． (1)求m和直线的表达式； (2)根据函数图象直接写出不等式的解集； (3)求的面积． ◇题型 7 一次函数与坐标轴交点问题 典例1（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为 ． 变式1（2025·广东东莞·二模）如图，已知一次函数的图象分别与x、y轴交于A、B两点，若，，则关于x的方程的解为（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·江苏扬州·二模）如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点、点．则关于x的方程的解为 ． ◇题型 8 与一次函数有关的规律探究问题 典例1（2024·山东东营·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，已知直线的表达式为，点的坐标为，以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；以为圆心，为半径画弧，交直线于点，过点作直线的垂线交轴于点；……按照这样的规律进行下去，点的横坐标是 ． 变式1（2023·青海·中考真题）如图是平面直角坐标系中的一组直线，按此规律推断，第5条直线与x轴交点的横坐标是 .    变式2（2022·黑龙江·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，，，……在x轴上且，，，……按此规律，过点，，，……作x轴的垂线分别与直线交于点，，，……记，，，……的面积分别为，，，……，则 ． ◇题型 9 与一次函数有关的新定义问题 典例1（2025·甘肃兰州·中考真题）在平面直角坐标系中，对于图上或内部有一点（不与原点重合），及平面内一点，给出如下定义：若点关于直线的对称点在图上或内部，则称点是图的“映射点”． (1)如图1，已知图：线段，，．在，中，__________是图的“映射点”； (2)如图2，已知图：正方形，，，，．若直线：上存在点是图的“映射点”，求的最大值； (3)如图3，已知图：，圆心为，半径为．若轴上存在点是图的“映射点”，请直接写出的取值范围． 变式1（2023·山东济南·三模）新定义：若两个函数图像有公共点，则称这两个函数图像为牵手函数．已知抛物线与线段是牵手函数，则的取值范围是（    ） A． B． C．或 D． 变式22025·辽宁铁岭·三模）新定义：若函数图象上存在点，将其横坐标变为原来的a倍，纵坐标不变得到点，则称点B为点A的“a倍横变点”，所有“a倍横变点”构成的函数称为原函数的“a倍横变函数”． 例如：函数上的点的“3倍横变点”为，函数的“3倍横变函数”为． (1)点在一次函数的图象上，点B是点A的“倍横变点”求点B的坐标； (2)点C在反比例函数的图象上，点D是点C的“倍横变点”，若线段的中点E在直线上，求点C的坐标； (3)已知函数． ①求出函数的“2倍横变函数”的表达式； ②在①的条件下，将①中“2倍横变函数”在直线上方的部分沿直线向下翻折，与在直线及下方的部分共同组成新函数F的图象，当直线与新函数F的图象恰好有4个公共点时，求出b的取值范围； ◇题型 10 以开放性试题的形式考查一次函数 典例1（2025·黑（龙江大庆·中考真题）写出一个图象与y轴正半轴相交，且y的值随x值增大而增大的一次函数表达式 ． 变式1（2025·江苏苏州·中考真题）过两点画一次函数的图像，已知点A的坐标为，则点B的坐标可以为 ．（填一个符合要求的点的坐标即可） 变式2（2025·四川广安·中考真题）已知一次函数，当时，y的值可以是 ．（写出一个合理的值即可） 变式3（2025·江苏淮安·中考真题）如图，直线经过点，将绕A点顺时针旋转，旋转角为，得到直线．点在上，若，则n的值可以是 ．（填写一个值即可） ◇题型 11 求两直线与坐标轴围成图形的面积 典例1（2025·辽宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴相交于点，与轴相交于点，点在线段上（不与点，重合），过点作的垂线，与直线相交于点，点关于直线的对称点为，连接． (1)求证：； (2)设点的坐标为，当时，线段与线段相交于点，求四边形面积的最大值. 解｜题｜技｜巧 解题四步法： 1.求两直线的交点坐标 联立两条直线的解析式，解二元一次方程组，得到交点（这是围成图形的核心顶点） 2.求每条直线与坐标轴的交点坐标 利用 “x轴交点y=0，y轴交点x=0”，分别求两条直线与x轴、y轴的交点： 3.确定围成图形的所有顶点 根据直线与坐标轴的交点、两直线的交点，结合图象判断顶点（优先找在坐标轴上的点）： · 若围成三角形：常见顶点组合为【两直线交点+两条直线与x轴的交点】或【两直线交点+两条直线与y轴的交点】； · 若围成四边形：顶点为【两条直线与x轴的两个交点 + 两条直线与y轴的两个交点】。 · 4.计算图形面积 类型1：围成三角形（高频） · 技巧：选在同一坐标轴上的两点连线为底（长度 = 坐标差的绝对值），对应高为「另一顶点到该坐标轴的距离」（即对应坐标的绝对值）。 · 类型2：围成四边形（少见） · 技巧：用割补法，补成矩形或大三角形，减去周围多余的小三角形面积；或分割成两个三角形（以两直线交点为分割点）。 变式1（2025·河北·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线：与x轴、y轴分别交于点 A、B，直线 ： ()与x轴、y轴分别交于点 C、D，点在直线l₂上． (1)直线 过定点吗？_______；（填“过”或“不过”） (2)若点 B、O关于点D对称，求此时直线的解析式； (3)若直线将的面积分为两部分，请求出m的值． 变式2（2024·四川遂宁·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)根据图象直接写出时，的取值范围； (3)过点作直线，交反比例函数图象于点，连结，求的面积． ◇题型 12 探究一次函数与方程﹑不等式的关系 典例1（2025·江苏徐州·中考真题）如图为一次函数的图象，关于x的不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 变式1（2023·辽宁丹东·中考真题）如图，直线过点，，则不等式的解集是（    ）    A． B． C． D． 变式2（2022·广西梧州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，直线与直线相交于点A，则关于x，y的二元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 变式3（2022·青海西宁·中考真题）如图，直线y1=k1x与直线y2=k2x+b交于点A(1，2)．当y1<y2时，x的取值范围是 ．    ◇题型 13 一次函数﹑反比例函数﹑二次函数图像综合判定 典例1（2024·黑龙江大庆·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数与的大致图象为（    ） A．B．C．D． 变式1（2022·西藏·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax+b与（其中a，b是常数，ab≠0）的大致图象是（　　） A．B．C． D． 变式2（2025·贵州遵义·模拟预测）二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·河南平顶山·三模）已知二次函数的图象如图所示，则一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（   ） A．B．C．D． ◇题型 14 与一次函数有关的图形变化问题 典例1（2025·广东广州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点，点，若将直线向上平移d个单位长度后与线段有交点，则d的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·陕西·中考真题）在平面直角坐标系中，过点，的直线向上平移3个单位长度，平移后的直线经过的点的坐标可以是（    ） A． B． C． D． 变式2（2024·江苏连云港·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图像与反比例函数的图像交于点A、B，与轴交于点C，点A的横坐标为2． (1)求的值； (2)利用图像直接写出时的取值范围； (3)如图2，将直线沿轴向下平移4个单位，与函数的图像交于点D，与轴交于点E，再将函数的图像沿平移，使点A、D分别平移到点C、F处，求图中阴影部分的面积． ◇题型 15 与一次函数有关的动点问题 典例1（2025·重庆·模拟预测）如图1，在中，为中点，连接，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，动点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿折线方向运动，点，同时出发，到点时停止运动，设运动时间为秒，点到的距离为的周长与点的运动路程之比为． (1)请直接写出关于x的函数表达式，并注明自变量的取值范围； (2)在给定的平面直角坐标系中，画出函数的图象，并写出函数的一条性质； (3)结合函数图象，请直接写出时的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 变式1（2025·河北石家庄·三模）如图，在平面直角坐标系中，有一动点和两定点， (1)求直线的解析式； (2)当时，判断点P是否在直线上； (3)嘉嘉说：当a取不同的两个值时，得到两个点，，则直线与直线平行．嘉嘉说得对吗？请针对他的说法进行说理； (4)直接写出的面积． 变式2（2025·浙江宁波·一模）在平面直角坐标系中，直线交x轴于点A，交y轴于点B，点C 的坐标为， (1)求直线的函数表达式． (2)点D是x轴上一动点，连接，当的面积是面积的时，求点D的坐标． (3)点E坐标为连接，点P为直线上一点，若，求点P坐标． ◇题型 16 一次函数与三角形﹑四边形﹑圆综合 典例1（2025·青海西宁·一模）如图，直线 与轴、轴分别交于，两点， ． (1)求点坐标和的值； (2)若点，是第一象限内的直线 上的一个动点．当点运动过程中，试写出 的面积与的函数关系式； (3)探索： ①当点A运动到什么位置时， 的面积为，并说明理由； ②在①成立的情况下，轴上是否存在一点，使 是等腰三角形．若存在，请写出满足条件的所有点坐标；若不存在，请说明理由． 变式1．（2025·四川成都·模拟预测）如图，在矩形中，点O为坐标原点，点A的坐标为，点C的坐标为，点P在边上，直线l的解析式为，直线l交于点D，交于点E． (1)如图1，连接，求D，E的坐标； (2)如图2，若以和为邻边作矩形，求过点Q的反比例函数的表达式； (3)如图3，在第一象限内，直线l上是否存在点M，使是等腰直角三角形？若存在，求出M的坐标；若不存在，说明理由． 变式2（2025·浙江舟山·一模）如图1，以点为圆心的圆与y轴、x轴分别交于点A、B、C、D，直线与相切于点H，交x轴于点E，交y轴于点． (1)填空：的长为______；的长为______；的半径为______；的长为______； (2)如图2，点P是直径上的一个动点（不与C、D重合），连结并延长交于点． ①当时，求的值； ②设，，求y与x的函数关系式． 变式3（2025·黑龙江·二模）已知直线与x轴、y轴分别交于点A和点B，与直线交于点E，的长（）是一元二次方程的两个根，D为直线上一点，作轴交直线于点G，连接． (1)求点E的坐标； (2)若点D的横坐标为t，的面积为S，求S与t的函数关系式； (3)若点，点M在直线上，在直线上是否存在点N，使以D，F，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点N的坐标；若不存在，请说明理由． ◇难点 1 一次函数增减性与系数的关系 典例1（2025·辽宁鞍山·二模）一次函数的图象与y轴正半轴相交，且y随x增大而减小，则k的取值范围是 . 变式1（2025·黑龙江大庆·三模）已知一次函数，当时，的最大值是，则的最小值是 ． ◇难点 2 一次函数的图像与系数的关系 典例1（2025·陕西商洛·模拟预测）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（   ） A．  B．  C．  D．   变式1．（2025·吉林长春·二模）一次函数的图象一定经过（   ） A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第三、四象限 D．第一、四象限 变式2（2025·甘肃庆阳·三模）若一次函数的图象经过第一、二、三象限，则一次函数的图象经过（    ） A．第一、二、三象限 B．第一、三、四象限 C．第一、二、四象限 D．第二、三、四象限 ◇难点 3 一次函数的平移规律 典例1（2025·浙江台州·三模）若一次函数的图象向左平移2个单位后经过原点，则的值为（    ） A．2 B． C．0 D． 变式1（2025·湖南长沙·二模）直线向上平移4个单位长度得到的直线的表达式为（　　） A． B． C． D． 变式2（2025·陕西西安·三模）已知在平面直角坐标系中，直线向上平移3个单位得到直线（k，b为常数，且），若点P在直线上，且点P的横坐标为1，则点P的坐标为（    ） A． B． C． D． ◇难点 4 一次方程与方程﹑不等式综合 典例1（2025·辽宁·一模）如图，已知一次函数的图象分别与轴、轴交于，两点，若，，则关于的方程的解为 ． 变式1（2025·江苏盐城·三模）如图，已知一次函数的图像分别与、轴交于两点，若则关于的不等式的解集为 变式2（2025·辽宁盘锦·三模）如图，已知一次函数与正比例函数的图象交于点，则关于的不等式的解集为 ． 变式3（2025·江苏扬州·二模）在同一直角坐标系中，一次函数，的图像如图所示，则方程组的解为 ． ◇难点 5 一次函数与几何综合 典例1（2025·黑龙江佳木斯·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，，的长是一元二次方程的两个根，直线与轴交于点． (1)求直线的解析式； (2)是直线上一动点，设的面积为，请求出关于的函数解析式； (3)直线上是否存在点，使为等腰三角形？如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由． 变式1（2025·河北石家庄·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线过点，且与y轴交于点B，把点A向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度得到点C，过点C且与平行的直线交y轴于点D． (1)______；点C的坐标是______；直线的表达式是______； (2)直线与交于点E，在直线上是否存在点P，使？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由； 变式22025·广西柳州·二模）综合与探索 【探索发现】如图，等腰直角三角形中，，，过点作交于点，过点作交于点，易得，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】如图，在直角坐标系中，直线：分别与轴，轴交于点、， (1)直接写出______，______； (2)将直线绕点顺时针旋转得直线，求出直线解析式： 小明的解题思路是：在第二象限构造等腰直角，使得，，根据型全等和坐标之间的关系，求出点的坐标为______；通过，两点坐标求出直线的解析式______； (3)如图，将直线绕点顺时针旋转得到，求的函数解析式． ◇测能力 1．（2024·四川德阳·中考真题）正比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·甘肃临夏·中考真题）一次函数 ，若y随x的增大而减小，则它的图象不经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始内只进水不出水，在随后的内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数，容器内的水量（单位：）与时间（单位：）之间的关系如图所示，当时，的值为（    ） A．36 B．38 C．40 D．42 4．（2024·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，一次函数的图象不经过的象限为（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 5．（2024·湖南长沙·中考真题）对于一次函数，下列结论正确的是（    ） A．它的图象与y轴交于点 B．y随x的增大而减小 C．当时， D．它的图象经过第一、二、三象限 6．（2025·内蒙古·中考真题）在闭合电路中，通过定值电阻的电流（单位：A）是它两端的电压（单位：）的正比例函数，其图象如图所示，当该电阻两端的电压为时，通过它的电流为（   ） A． B． C． D． 7．（2025·山东东营·中考真题）一次函数的函数值随的增大而减小，当时的值可以是（   ） A．3 B．2 C．1 D． 8．（2024·山东德州·中考真题）已知，是某函数图象上的两点，当时，．该函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． ◇提能力 1．（2025·天津·一模）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，，是等边三角形，点C在第二象限． (1)填空：如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将沿x轴向右平移得到，点B，C，O的对应点分别为． ①如图②，设与重叠部分的面积为S．当与重叠部分为五边形时，分别与相交于点E，F，G，H，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②连接，当取得最小值时，求点的坐标（直接写出结果即可）． 2．（2025·江苏南京·一模）在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，，，点在轴的负半轴上，点在第二象限，矩形的顶点，点在轴的正半轴上，点在轴的正半轴上．将沿轴向右平移，得到，点的对应点分别为，，． (1)如图，当经过点时，求直线的函数表达式； (2)设，与矩形重叠部分的面积为； ①如图，当与矩形重叠部分为五边形时，与相交于点，分别与，交于点，用含有的式子表示 ；直接写出的取值范围 ； ②请直接写出满足的所有的值 ． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $