第01讲 函数与平面直角坐标系（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学讲义聚焦函数与平面直角坐标系中考核心考点，涵盖变量常量、函数定义及表示法、坐标系概念、点坐标性质等内容，以逻辑递进架构知识体系。通过考点深解梳理命题要点，命题突破解析13类常考题型，难点攻坚破解象限判断等易错点，配合分层练测，形成“梳理-突破-训练”系统复习流程，针对性强。 亮点在于创新采用“题型分类突破+核心素养培养”策略，如动点问题函数图像识别运用趋势判断法和定点求值法，培养学生几何直观与推理意识。设“测能力+提能力”分层练习，结合真题变式训练，确保高效复习，助力教师精准把控节奏，提升学生综合应考能力。

第三章 函数 第01讲 函数与平面直角坐标系 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 函数/ 考点2平面直角坐标系的相关概念/ 考点3 点的坐标的有关性质 命题突破👉破解常考题型 题型1函数的相关概念辨析/ 题型2 求自变量的取值范围 / 题型3 函数图象的识别/ 题型4 从函数图象上获取信息/ 题型5 根据实际问题列函数解析式/ 题型6 动点问题的函数图象/ 题型7根据坐标系内点的坐标特征求解/ 题型8 坐标与图形变化/ 题型9 点坐标规律的探索/ 题型10 求坐标系中的图形面积/ 题型11 列一元一次方程组/ 题型12 与图形面积有关的存在性问题/ 题型13 实际问题中用坐标表示位置/ 题型14 用方向角和距离确定物体的位置 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 象限的判断 难点2对称点坐标计算错误 难点3 距离的计算 难点4 坐标平移规应用 难点5 求自变量的取值范围 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 函数 1.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 2.函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 3.函数值 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用数学等式（解析式）表示两个变量之间的函数关系 1. 精准反映变量间数量关系 2. 方便计算任意自变量对应的函数值 3. 便于推导函数性质（单调性、最值、对称性等） 1. 不够直观，无法直接看出变化趋势 2. 部分实际问题难以用解析式表达 图像法 用平面直角坐标系中的图形（直线或曲线）表示函数关系，图象上每一点(x,y)都满足函数关系 1. 最直观，清晰展示函数变化趋势（上升、下降） 2. 便于观察特殊点（顶点、交点、渐近线） 3. 能快速分析函数的增减性、对称性 1. 读取的数值是近似值，不够精确 2. 无法直接得到函数的精确解析式 列表法 将自变量的一系列取值和对应的函数值列成表格，表示函数关系 1. 直观展示自变量与函数值的一一对应关系 2. 查询特定自变量的函数值方便快捷 1. 只能列出有限组对应值，无法体现全部关系 2. 难以反映函数的整体变化规律 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． ◇考点 2 平面直角坐标系的相关概念 1.定义：平面内由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形。 2.构成 横轴（x轴）：水平向右为正方向 纵轴（y轴）：竖直向上为正方向 原点（O）：两轴交点，坐标为(0,0) 3.象限：x轴、y轴将平面分为 4 个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 4.点的坐标：平面内点对应有序数对(x,y)，x是横坐标（垂至x轴的数），y是纵坐标（垂至y轴的数），横前纵后，顺序不可换。 5.核心关系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 1.混淆坐标的顺序，颠倒横、纵坐标 2.认为坐标轴上的点属于某一象限 ◇考点 3 点的坐标的有关性质 考点内容 具体性质/规律 平面直角坐标系的构成 ① 由横轴（x轴，水平向右为正方向）和纵轴（y轴，竖直向上为正方向）组成，两轴互相垂直，交点为原点(0,0)② 两轴将平面分为四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限 各象限内点的坐标特征 设点P(x,y) ① 第一象限：x>0，y>0（+,+） ② 第二象限：x<0，y>0（−,+） ③ 第三象限：x<0，y<0（−,−） ④ 第四象限：x>0，y<0（+,−） 坐标轴上点的坐标特征 设点P(x,y) ① x轴上的点：纵坐标为0，即P(x,0) ② y轴上的点：横坐标为0，即P(0,y) ③ 原点：横、纵坐标均为0，即P(0,0) 点坐标的平移P(x，y) 向右平移a个单位（a>0），即(x+a,y) 向左平移a个单位（a>0），即(x−a, y) 向上平移b个单位（b>0），即(x, y+b) 向下平移b个单位（b>0），即(x, y−b) 旋转 （绕原点O旋转） P(x，y) 顺时针旋转90∘，即(y,−x) 逆时针旋转90∘，即(−y,x) 顺时针/逆时针旋转180∘，即(−x,−y) 顺时针旋转270∘，即(−y，x) 逆时针旋转270∘，即(y,−x) 对称点的坐标规律 设点P(x,y) ①到x轴的距离：∣y∣（纵坐标的绝对值） ②到y轴的距离：∣x∣（横坐标的绝对值） ③到原点的距离：P＝ 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 1 平行于x轴的直线上的所有点：纵坐标相同，横坐标为任意实数 ② 平行于y轴的直线上的所有点：横坐标相同，纵坐标为任意实数 1.计算点到坐标轴的距离时，忽略绝对值 2.记混对称点的坐标规律 3.平移时点的坐标变化方向错误 4.混淆象限角平分线的坐标特征 5.忽略坐标的符号，仅看数值大小 6.平移时，将“上加下减”错误应用到横坐标 ◇题型 1 函数的相关概念辨析 典例11．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 【答案】B 【分析】本题考查变量的变化情况，根据容器的形状为上窄下宽，即可得出结果． 【详解】解：∵单位时间内注水量保持不变，容器的形状为上窄下宽， ∴从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度越来越快； 故选B． 变式1（2022·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 【答案】4 【分析】由表格数据得到定值V，代入电阻值即可求解； 【详解】解：∵ ∴V ∴当电阻时，A， 故答案为：4． 【点睛】本题主要考查变量间的关系，根据表格得到电压的值是解题的关键． 变式2（2025·云南文山·模拟预测）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了函数的定义确定图象，理解函数的定义是解题关键．由函数的定义可知，对于自变量每一个确定的值，函数有且只有一个值与之对应，据此逐项分析即可． 【详解】解：A、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； B、有两个函数值与自变量对应，不符合函数的定义，不能表示是的函数，选项正确； C、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； D、、符合函数的定义，能表示是的函数，选项错误； 故选：B． ◇题型 2 求自变量的取值范围 典例1（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围问题，解一元一次不等式，函数自变量的范围一般从三个方面考虑：(1)当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；(2)当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；(3)当函数表达式是二次根式时，被开方数为非负数． 根据二次根式的意义，被开方数是非负数，得到关于的一元一次不等式，再解不等式即可． 【详解】解：由题意得，， 解得：， 故答案为：． 典例2（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，解题关键是依据“分母不为0”列不等式求解 ． 根据分母不等于0得到，求解即可． 【详解】解：∵函数的分母为． ∴当分母时，分式无意义， ∴． 解得， 故自变量的取值范围是， 故选：D． 变式1（2025·四川德阳·中考真题）函数y＝的自变量x的取值范围是 ． 【答案】x≠3的一切实数 【分析】根据分式的意义的条件：分母不等于0，可知：x-3≠0，解得x的范围． 【详解】解：根据题意，则 x﹣3≠0 解得：x≠3 ∴自变量x的取值范围是x≠3的一切实数； 故答案为：x≠3的一切实数． 【点睛】主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 变式2（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． 【答案】C 【分析】本题考查了自变量的取值范围，根据分式有意义的条件，二次根式有意义的条件，列式解答即可． 【详解】解：由题意可得且， 解得：且， 故选：C． ◇题型 3 函数图像的识别 典例1（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据容器最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大即可判断求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：由容器可知，最下面圆柱底面积最小，中间圆柱底面积最大，最上面圆柱底面积最较大，所以一开始水面高度上升的很快，然后很慢，最后又上升的更快点， 故选：． 解｜题｜技｜巧 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： （1）点的坐标含义 （2）图像的变化趋势 （3）分析图像与坐标轴围成的图形面积、自变量取值范围对应的函数值范围，以及实际问题中图像的起点、终点、拐点的意义 变式1（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数图象，根据温度计上升到一定的温度后不变，可得答案；注意温度计的温度升高到时温度不变． 【详解】解：将常温中的温度计插入一杯（恒温）的热水中，注意温度计的温度升高到时温度不变，故C选项图象符合条件， 故选：C． 变式2（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据特殊点的实际意义即可求出答案． 【详解】解：根据图象知，时，铁桶注满了水，，是一条斜线段，，是一条水平线段， 当时，长方体水池开始注入水；当时，长方体水池中的水没过铁桶，水池中水面高度比之开始变得平缓；当时，长方体水池满了水， ∴开始是一段陡线段，后变缓，最后是一条水平线段， 观察函数图象，选项C符合题意， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了函数图象的读图能力．要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论． ◇题型 4 从函数图像上获取信息 典例1（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 【答案】C 【分析】本题考查从函数图象获取信息的能力，根据函数图象中的数据，可以先计算出甲、乙两车的速度，然后再根据图象中的数据，逐一判断各个选项中的说法是否正确即可． 【详解】解：由图象可知，A，B两城相距，甲车先出发，乙车先到达B城， 故选项A、B不符合题意； 甲的速度为：， 乙的速度为：， 故选项C错误，符合题意； 由交点的横坐标可知，乙车在追上甲车． 故D不符合题意． 故选：C． 解｜题｜技｜巧 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： （1）点的坐标含义 （2）图像的变化趋势 （3）分析图像与坐标轴围成的图形面积、自变量取值范围对应的函数值范围，以及实际问题中图像的起点、终点、拐点的意义 变式1（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数图象，解答本题的关键是明确题意．根据题意求出“漏壶”的漏水速度，即可求出水面高度从变化到所用的时间． 【详解】解：“漏壶”的漏水速度为：， 水面高度从变化到所用的时间是， 故选：A． 变式2（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 【答案】C 【分析】本题考查了实际问题的函数图象，解题的关键是读懂函数图象，根据图象中的数据逐项求解判断即可． 【详解】由图象可得，当时，， ∴电池能量最多可充，故A错误； ， ∴摩托车每行驶消耗能量，故B错误； 由图象可得，当时，， ∴一次性充满电后，摩托车最多行驶，故C正确； ∴摩托车充满电后，行驶将自动报警，故D错误； 故选：C． 变式3（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 【答案】B 【分析】本题考查了从函数图象获取相关信息，认真读题，分析每个阶段的函数图象是解题的关键．根据图像，逐项分析即可得出结论． 【详解】解：A. 第5天的种群数量在之间，选项说法错误，故不符合题意； B. 前3天种群数量持续增长，选项说法正确，故符合题意； C. 第5天的种群数量达到最大，选项说法错误，故不符合题意； D. 由图可得，每天增加的种群数量不相同，选项说法错误，故不符合题意； 故选：B． ◇题型 2 根据实际问题列函数解析式 典例1（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 【答案】(1) (2)1400元 【分析】本题考查一次函数的实际应用，正确的列出函数关系式是解题的关键： （1）根据优惠方案，列出函数关系式即可； （2）把代入（1）中的解析式进行求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得：； （2）当时，， 故校团委购买这些书法套具的实际付款总额为元． 变式1（2023·四川成都·一模）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图像； (2)6小时后池中还有多少水？ (3)几小时后，池中还有200立方米的水？ 【答案】(1)，图见解析 (2)500立方米 (3)12小时 【分析】（1）根据函数的概念和已知条件即可列出关系式：，再结合实际即可得出时间t的取值范围，画出图像即可； （2）根据（1）中的函数关系式，将代入计算即可得出池中的水； （3）把，代入函数关系式中即可得出时间t． 【详解】（1）解：由题意得：． 画出函数图像如下: （2）解：当时，（立方米）． 答：6小时后，池中还剩500立方米的水． （3）解：当时，，解得． 答：12小时后，池中还有200立方米的水． 【点睛】本题主要考查了一次函数的应用，理清题意、正确列出函数关系式是解答本题的关键． 变式2（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ 【答案】(1) (2)4400 【分析】（1）根据总利润等于销售两种吉祥物挂件的利润之和，列出式子即可解决问题； （2）根据题意得求出x，结合（1）的结论即可解答． 【详解】（1）解：由题意得： ， 即y与x之间的函数关系式为； （2）解：由题意得：                                                  答：该厂一天所获得的总利润是4400元． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，难度一般，解答本题的关键是读懂题意列出函数关系式并熟练掌握及一次函数求函数值的方法． ◇题型 2 动点问题的函数图像 典例12025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了根据函数图象得到信息，三角形中位线，等腰直角三角形的性质，得到当点P运动到点C时，的面积最大是解题的关键； 根据运动轨迹可得的面积先增大再减小，可得当点P运动到点C时，的面积最大为4，即可求得，再利用三角形中位线定理即可解答． 【详解】解：根据题意动点P从点A出发，沿边方向匀速运动过程中，的面积先增大再减小，当点P运动到点C时，的面积最大，根据函数图象可得此时的面积为4，如图， ∵等腰直角三角形，，点D为边的中点， ∴， ∴， 当点P运动到的中点时， ∵点D为边的中点， ∴； 故选：A. 解｜题｜技｜巧 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 1）析轨迹，分运动阶段 这是解题的前提，需明确动点的运动路径、速度变化、转折点，将整个运动过程划分为若干阶段。 2）抓三点，定关键坐标 通过计算起点、拐点、终点的坐标，直接排除不符合的选项（最快的排除法） 3）判趋势，定图象形状 分析每个运动阶段内，因变量随时间t的变化规律，确定图象是直线段还是曲线段，是上升还是下降。 4）验选项，排除错误答案 结合前 3 步的结论，逐一检验选项： 1. ①先看起点坐标，排除起点错误的选项； 2. ②再看拐点数量和坐标，排除分段错误的选项； 3. ③最后看各段图象形状和增减性，排除趋势错误的选项。 4. 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 1)析轨迹，分阶段定时间的取值范围 这是计算的前提，需精准分析动点的运动路径、速度、转折点，划分运动阶段，并确定每段时间的取值范围 2)表坐标，用时间表示动点的位置 这是计算的关键，需用含t的代数式表示动点坐标，为后续求线段长度、面积奠定基础。 3)建模型，推导各阶段的函数解析式 根据因变量类型（线段长度 / 图形面积），结合几何公式，将因变量表示为时间的函数，这是计算的核心。 4)解问题，验证结果与范围匹配 根据题目要求，求解函数解析式、特殊点坐标（如拐点、最值点）、参数值等，务必验证结果是否在对应阶段的时间范围内。 变式1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 【答案】D 【分析】作，当时，动点运动到点的位置，得到，当点运动到点的时候，最小为，，勾股定理求出的值，判断A；当时，点运动到点，根据三线合一，得到，进而求出的值，判断B；连接，勾股定理求出的长，确定的纵坐标，判断C，求出时，点的位置，再利用勾股定理求出，判断D，即可． 【详解】解：如图，作，当时，动点运动到点的位置，则由题意和图象可知，当点运动到点的时候，最小，即：，， 在中，由勾股定理，得：， 解得：，故选项A错误； ∴，， 当时，点运动到点，则， ∴， ∵， ∴， ∴，故选项B错误； ∴当，即点在点时， ∴； ∴点的纵坐标为；故选项C错误； 当时，点运动到点，则：， ∴， ∴， ∴点在该函数图象上，故选项D正确； 故选D． 【点睛】本题考查动点的函数图象，勾股定理，垂线段最短，三线合一等知识点，熟练掌握相关知识点，从函数图象中有效的获取信息，确定点的位置，是解题的关键． 变式2（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 【答案】D 【分析】本题考查了从函数图象获取信息，函数解析式的建立，正方形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，读懂题意和函数图象是解题的关键． 由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变，然后分析每一种情况下的重叠部分的图形，结合函数图象作答即可． 【详解】解：由的运动可知，等腰与正方形重叠部分的图形一开始是直角三角形，当过了顶角顶点之后，则重叠部分的图形为四边形，当等腰整体全部运动到正方形内部时，则重叠部分的图形为，此时面积不变． 记中点为， 由函数图象可得，当时，，此时点落在上，如图： 则， 由题意得， ∵， ∴， ∴ ∴， ∴此时为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， 故A、B正确，不符合题意； ∴当时，重叠部分记为， 由题意得：， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴， 故C正确，不符合题意； 由函数图象可得，当时运动停止，那么的顶点从点运动到点用时，如图： ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 由题意得：为的中点， ∴， ∴， ∴的周长为， 故D错误，符合题意， 故选：D． ◇题型 2 根据坐标系内点的坐标特征求解 典例1（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查已知点所在象限求参数，根据第一象限内的点的纵坐标为正数列不等式，解不等式即可． 【详解】解：点在第一象限， ， 解得， 故答案为： 变式1（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了平面直角坐标系中关于轴对称的点的坐标特征及象限的判断，解题的关键是熟练掌握“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”的规律，并能根据坐标符号判断点所在象限． 先根据关于轴对称的点的坐标规律，求出点的对称点坐标；再结合各象限内点的坐标符号特征（第一象限横、纵坐标均为正，第二象限横坐标为负、纵坐标为正，第三象限横、纵坐标均为负，第四象限横坐标为正、纵坐标为负），判断对称点所在象限． 【详解】解：根据“关于轴对称的点，纵坐标不变，横坐标互为相反数”，   已知点，则其关于轴对称的点的坐标为 故选：B． 变式2（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中第三象限的点的坐标的符号特点，根据平面直角坐标系中第三象限内的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，列出关于a的不等式组，求解即可． 【详解】解：点在第三象限， ， 解得， 即的取值范围是， 故答案为：． 变式3（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查非负性，判断点所在的象限，根据非负性求出的值，根据的符号，判断出点A所在的象限即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴点A的坐标为，在第四象限； 故答案为：四． ◇题型 2 坐标与图形变化 典例1（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 【答案】(1) (2) (3)叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到 【分析】本题考查了圆的性质、平面直角坐标系、旋转： （1）先证明四边形是正方形即可得到坐标； （2）根据，算出圆的周长即可得到叶瓣的周长； （3）利用旋转即可． 【详解】（1）以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点 是正方形 （2）原点，为圆心、以为半径作圆 两个圆是等圆 叶瓣①的周长为： （3）叶瓣②还可以由叶瓣①逆时针旋转得到． 典例2（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了菱形的性质和点坐标，勾股定理，熟练掌握菱形的性质是解题关键． 先利用两点之间的距离公式可得，再根据菱形的性质可得，由此即可得出答案． 【详解】解：点的坐标为， ， 四边形是菱形， ， 点的横坐标为，纵坐标与点的纵坐标相同，即为4， 即， 故选：C． 变式1（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标与图形变化−平移，在平面直角坐标系中，图形的平移与图形上某点的平移相同，点平移的变化规律是：横坐标左减右加；纵坐标上加下减，熟练掌握点平移的变化规律是解题的关键． 直接利用点平移的变化规律求解即可． 【详解】解：∵的顶点A，B的坐标分别为，，， ∴， ∴点A平移至点C的坐标为， 故答案为：． 变式2（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了坐标的对称，利用关于轴的对称点的坐标特点可得答案，解题的关键是熟知关于轴的对称点的坐标特点：横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于轴的对称点的坐标为， 故选：． 变式3（2025·湖北·三模）如图，已知正方形的边长为4，四个顶点都在坐标轴上，将正方形绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了旋转的定义、勾股定理、正方形的性质、坐标与图形等知识点，掌握勾股定理成为解题的关键． 由正方形的性质与勾股定理可得，如图：由题意可得：，则，运用勾股定理可得，进而确定点的坐标即可． 【详解】解：∵正方形的边长为4， ∴． 如图：由题意可得：， ∴， ∵， ∴，解得：， ∴， ∴点A顺时针旋转后的坐标为． 故选:B． ◇题型 2 点坐标规律的探索 典例1（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 【答案】B 【分析】本题考查了点的坐标规律探索，找到规律是关键； 根据题意可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数），再逐项判断即可. 【详解】解：A种瓷砖的位置：， ， B种瓷砖的位置：， ， 由此可得：A种瓷砖的坐标规律为（单数，双数)，(双数，单数)；B种瓷砖的坐标规律为（单数，单数)，(双数，双数）； ∴位置是A种瓷砖，故A选项不符合题意； 位置是B种瓷砖，故B选项符合题意； 位置是B种瓷砖，故C选项不符合题意； 位置是A种瓷砖，故D选项不符合题意； 故选：B. 解｜题｜技｜巧 1.算前 3 - 5 个点的坐标：根据题目给定的运动或变换规则，依次计算,, ,坐标，关键点是准确套用平移、对称、旋转的坐标变化规律。 2.找规律：观察坐标的横、纵坐标变化特征，判断属于循环周期、递推公式还是图形关联规律。 3.用规律解题： · 循环型：计算周期数，用 “总序号 ÷ 周期长度” 求余数，余数对应周期内的位置。 · 递推型：总结横、纵坐标的通项公式（如等差数列、等比数列）。 · 图形关联型：结合图形边长、旋转角度等几何特征推导规律 变式1（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质、解直角三角形和点的坐标规律探求；先求得，然后解直角三角形分别求出，，，得到规律，再根据规律计算即可. 【详解】解：∵图案是用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， 同理：， 依次类推：； 则点G的坐标为； 故答案为：. 变式2（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，点的坐标规律，求函数值，通过计算点每次运算后的结果，发现其变化呈现周期性循环，周期为3次．利用周期性规律，确定第2025次运算后的结果． 【详解】解：初始点：（第0次运算）． 第1次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为奇数，； 得到点． 第2次： 横坐标为奇数，； 纵坐标为偶数，； 得到点． 第3次： 横坐标为偶数，； 纵坐标为偶数，； 得到点，与初始点相同， 即三次一循环， ， ∴第次运算后对应点与第3次运算后的点相同，即． 故选：A． ◇题型 2 求坐标系中图形面积 典例1（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 【答案】(1) (2)或；；或 【分析】本题主要考查了利用平移的性质求解，坐标系中的动点问题（不含函数），解题关键是熟练掌握相关知识． （1）根据平移的性质可得，进而得解； （2）根据点的运动路线分类讨论； 结合结论建立方程求解即可； 分类讨论，根据面积表达式建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度， ； （2）当点在上时，， 此时， ； 当点在上时，， 此时， ； 综上，或； 当时，则， 解得； 当时，， 解得，此时不符合题意，舍去； 综上所述，； ， ， 当时，点在上， ， ， ， ， 解得； 当时，点在上， ，， ， ， ， ， ， ； 综上所述，或． 解｜题｜技｜巧 坐标系中求图形面积的核心思路是 “数形结合，割补转化”，即将不规则图形转化为直角三角形、直角梯形、矩形等易计算面积的基本图形，再利用坐标计算边长。 变式1（2023八年级下·全国·专题练习）如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】分别令，得出的坐标，进而根据等边三角形的性质得出，进而根据三角形面积公式即可求解． 【详解】解：当时， ， 解得：， 点的坐标为，， ； 当时， ， 点的坐标为 ， ． 为等边三角形，， ， ， 等边的面积是． 故选：D． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，一次函数与坐标轴交点问题、坐标与图形，求得的坐标是解题的关键． 变式2如图正方形网格，每个小正方形的边长为1，格点三角形的顶点A，C的坐标分别为，． (1)请在正方形网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于y轴对称的； (3)填空：①点的坐标是________； ②的面积等于________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，4 【分析】（1）根据点A和点C的坐标，先确定原点，即可建立平面直角坐标系； （2）先作出点A、B、C关于y轴的对称点，再依次连接即可； （3）根据（2）中的图形，即可写出点的坐标，用割补法即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图所示： （2）如图所示： （3）由图可知，点坐标为：， ， 故答案为：，4． 【点睛】本题主要考查了根据图形确定平面直角坐标系，作轴对称图形，解题的关键是根据已知点确定平面直角坐标系 ◇题型 2 与图形面积有关的存在性问题 典例1．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 【答案】(1)，3 (2) (3)或 【分析】本题考查了非负数的性质，三角形的面积，坐标与图形的性质以及待定系数法等知识点： （1）由非负数性质即得； （2）根据三角形面积公式即得； （3）根据三角形面积公式求出的长，再分类讨论即可． 【详解】（1）解：∵a、b满足， ∴，且， ∴， 故答案为：； （2）解：∵， ∴，， ∴， ∵，且M在第三象限， ∴， ∴的面积； （3）解：当时， 则，， ∵的面积的面积的2倍， ∵的面积的面积的面积， 解得：， ∵， ∴， 当点P在点C的下方时，，即； 当点P在点C的上方时，，即； 综上所述，点P的坐标为或． 变式1．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 【答案】(1)，2，， (2)存在，或， (3)见解析 【分析】（1）根据算术平方根和绝对值的意义得没从而得出，的值，根据平移的性质，进一步得出结果； （2）根据，得出，结合，得出，进一步得出结果； （3）分为：当点在上时，可延长，交轴于，可推出，，从而；当点在的延长线上时，设交于，可推出，，从而得出；当点在的延长线时，设交于，可推出，，从而． 【详解】（1）解：由题意得， ， ， ，， ，，， ，， 故答案为：，2，，； （2）由题意得， ， ， ， ， ， ，， ，或； （3）如图，    当点在上时，延长，交轴于， ， 由平移可得， ， ， 如图2，    当点在的延长线上时，设交于， ， ， ， ， 如图3，    当点在的延长线时，设交于， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了算术平方根和绝对值的意义，平行线的性质，平面直角坐标系点的坐标平移的特征等知识，解决问题的关键是分类讨论． 变式2（22-23七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点且m，n满足，，    (1)直接写出m，n的值； (2)求三角形的面积； (3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合）， ①过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接写出的数量关系_______； ②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接是否存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②存在，值为或，点坐标为或． 【分析】（1）根据非负数的性质：两个非负数的和为零，每一个非负数都为零求解即可； （2）结合图形，根据点得坐标，结合三角形面积公式计算即可； （3）①根据平行线的性质和三角形内角和直接得到结论； ②过点作于，利用的面积可求出的长，分点在线段上和延长线上两种情况，根据点、点的速度用表示出、的长，根据列方程求出值即可得答案． 【详解】（1） （2）过点B作交x轴于点H，    ∵， ∴， ， （3）（3）①，理由如下： 如图：    ∴， ， ． ②如图，过点作于， ∵，， ∴， 解得：，    当点在线段上时， ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∵， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∵点在轴负半轴上， ∴点坐标为， 如图，当点在延长线上时，    ∵点的速度为每秒3个单位，点的速度为每秒2个单位， ∴，， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴点坐标为， 综上所述：存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍，值为或，点坐标为或． 【点睛】本题属于三角形的综合题，主要考查了非负数的性质，平行线的性质，三角形内角和定理以及三角形面积的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造平行线，运用分类讨论的思想计算求解 ◇题型 2 实际问题中用坐标标志位置 典例1（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系，根据“少”“年”的坐标确定直角坐标系，读出点的坐标即可． 【详解】解：∵“少”“年”的坐标分别为、， ∴建立直角坐标系如下： ， ∴“强”的坐标为， 故选：B 变式1（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 【答案】 【分析】本题考查了坐标确定位置，根据题意得到圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数是解题关键．根据题意可得：圆圈数表示有序数对的第一个数，度数表示有序数对的第二个数，可得答案． 【详解】解：∵A，B的位置分别表示为． ∴目标C的位置表示为． 故答案为： 变式2（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      【答案】 【分析】根据题意，一个方格代表一个单位，在方格中数出洞堡机场与喷水池的水平距离和垂直距离，再根据洞堡机场在平面直角坐标系的第三象限即可求解． 【详解】解：如图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系， 若贵阳北站的坐标是， 方格中一个小格代表一个单位，         洞堡机场与喷水池的水平距离有9个单位长度，与喷水池的垂直距离有4个单位长度，且在平面直角坐标系的第三象限， 龙洞堡机场的坐标是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握在平面直角坐标系中确定一个坐标需要找出距离坐标原点的水平距离和垂直距离是解题的关键． ◇题型 2 用方向和距离确定物体的位置 典例1．（2023·河北唐山·一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 【答案】B 【分析】根据方位角定义找到基点结合上北下南左西右东及平行线性质即可得到答案 【详解】解：由题意可得， ，， ∴地在地的南偏西方向上， 故选B； 【点睛】本题主要考查方位角计算及平行线性质，解题的关键是掌握方位角在基点位置画出东南西北． 解｜题｜技｜巧 ①观测点先找准，十字坐标画中心； ②方位角南北定，度数量准看分明； ③比例尺算距离，单位统一要记清； ④描述作图分两步，位置确定准又稳。 变式1（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 【答案】B 【分析】本题主要是考查根据方向和距离确定物体的位置，根据平面图上方向的辨别“上北下南，左西右东”，以该同学起点的位置为观测点向北偏东方向走，以此时所处的位置为观测点向南偏东方向走，以起点的位置为观测点，即可得出答案． 【详解】解：如图： ∴同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的正东方向上， 故选：B． 变式2（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 【答案】C 【分析】根据方向角的定义：以正南或正北为基准，到目标所在线形成的小于的角，进行判断即可． 【详解】解：根据方向角的定义可知，搜救船的航行方案调整为向北偏西60°方向航行4海里， 故选：C． 【点睛】本题考查利用方向角确定位置．熟练掌握方向角的定义，是解题的关键． ◇难点 1 象限的判断 典例1（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查判断点所在的象限，根据点的符号特点，判断点所在的象限即可，熟练掌握各象限的点的符号特点，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴点在第二象限； 故选B． 变式1（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． 【答案】四 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】∵点的横坐标，纵坐标， ∴点在第四象限． 故答案为：四． ◇难点 2 对称点坐标的计算 典例1（2024·浙江温州·模拟预测）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了轴对称的性质．由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解． 【详解】解：∵与对称， ∴对称轴为直线， ∵与点关于直线对称， ∴点的坐标为． 故选：B． 变式1（2024·广东梅州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，设点关于的对称点的坐标为，则，，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：设点关于的对称点的坐标为， ∴点是的中点， ∴，则， ，则， ∴点的坐标为， 故选：C． ◇难点 3 距离的计算 典例1 （2024·湖南·二模）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知A点到直线的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了算术平方根的应用，平面直角坐标系，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键．根据公式计算即可． 【详解】解：由题意，，， ， 点到直线的距离为4． 故答案为：4． 变式1 （2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可 【详解】解：过点C作轴于点M，如图， 则 根据题意得 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 即点C处的接收器到轴的距离为3， 故选：C ◇难点 4 坐标平移规律的应用 典例1（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定与性质，过点C作轴于点M，证明得出，进一步得出即可 【详解】解：过点C作轴于点M，如图， 则 根据题意得 ∴ ∴ 又 ∴ ∴ ∴ 即点C处的接收器到轴的距离为3， 故选：C 变式1（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有点，点第一次先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第二次向左平移3个单位长度到点，第三次先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第四次向左平移5个单位长度到点……依此规律平移下去，点第2025次平移后的点可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点坐标的规律，根据已知点的坐标寻找出点的变化规律是解题的关键． 先根据从经过多次平移得到 的坐标的变化规律，再根据坐标规律求解即可． 【详解】解：∵点第一次先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到点， 第二次向左平移3个单位长度到点， 第三次先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度到点， 第四次向左平移5个单位长度到点， 第五次先向右平移6个单位长度，再向上平移1个单位长度到点， 第六次向左平移7个单位长度到点…… ∴可得，第次平移后得到点，奇数次平移后点为，（为正整数）， 点第2025次平移后的点可表示为， 故选：C． 变式2（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A．B． C． D． 【答案】D 【分析】设点，根据勾股定理求得，所以，，进而可得，，再根据平移的性质得，，， ，总结出规律即可得解． 【详解】解：设点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ，， ，， 将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得， ，，，，， 第次平移后，点的坐标为， 故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，数字规律探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． ◇难点 5 自变量取值范围 典例1（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，二次根式有意义的条件． 根据被开方数是非负数且分母不等于0列式求解即可． 【详解】解：由题意，得 且， 解得且． 故选A． 变式1（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 【答案】且 【分析】本题主要考查二次根式和分式有意义的条件，求自变量的取值范围．熟练地掌握相关结论是解题的关键．根据二次根式和分式有意义的条件求解即可． 【详解】解：由题意得：， 解得：且． 故答案为：且． ◇测能力 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点位置的确定，能够熟练掌握点的横纵坐标的确定方法是解题关键． 根据点所在的象限，结合点到轴、轴的距离即可求解． 【详解】解：由坐标系可得点在第一象限，且横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标是， 故选：C． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 【分析】本题考查了平面直角坐标系中点的位置，三角形面积公式，由，，得，又的面积为，可得，所以，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标可以是， 故答案为：．（答案不唯一，纵坐标绝对值为即可） 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围，分式有意义的条件，根据分母不能为零，可得 ，即可求解． 【详解】解：根据题意，得， 解得， 故答案为：． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了函数表达式，根据时间等于路程除以速度，即可求解． 【详解】解：依题意，与的函数表达式是． 故选：C． 5．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 【答案】(1)， (2) (3)该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 【分析】本题考查的是一次函数的实际应用； （1）由图象可得：甲机器人停工保养的时间，再计算甲乙机器人的工作效率，再列式计算求解的值即可； （2）由甲乙机器人的效率为每分钟件，可得所在直线对应的函数表达式为：，再化简即可； （3）把代入，进一步即可得到答案. 【详解】（1）解：由图象可得：甲机器人停工保养的时间为分钟； ∵， ∴（件）； （2）解：∵甲乙机器人的效率为每分钟件， ∴所在直线对应的函数表达式为：； （3）解：当时， ∴， 解得：， ∴该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为分钟. 6．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了求函数关系式，由表格数据可得是的正比例函数，进而即可求解，由表格数据判断出函数关系是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴与成正比例，即是的正比例函数， ∴， 故选：． 7．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 【答案】C 【分析】本题考查了利用函数图象获取信息，正确理解函数图象是解题关键．根据某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系图，逐项判断即可． 【详解】解：A、由图象可知，当时，，即汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为，原说法正确，不符合题意； B、由图象可知，当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小，原说法正确，不符合题意； C、要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不高于，原说法错误，符合题意； D、由图象可知，当时，；当时，，即车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小，原说法正确，不符合题意； 故选：C 8．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． 【答案】 8 12 【分析】本题考查动点的函数图象，相似三角形的判定和性质，从函数图象中有效的获取信息，是解题的关键： （1）观察图象可知，当时，点与点重合，得到，利用直角三角形的面积公式进行计算，求出的值即可； （2）根据图象当时，，此时，过点作，根据面积公式求出的长，证明，列出比例式求出的长，进而求出的长即可． 【详解】解：（1）观察图象可知，当时，点与点重合， ∵动点P，Q均以的速度从点同时出发， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； （2）由图象可知，当时，，此时， 过点作于点，如图：则：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴为的中点， ∴； 故答案为：12． ◇提能力 1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查动点问题的函数图象，根据图2得到的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，掌握勾股定理及其逆定理、三角形面积计算公式是解题的关键．由图2可知的长度及点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离，再根据勾股定理及其逆定理、三角形面积公式求出点D到的距离即可． 【详解】解：根据图2，，点D到的距离，点N的纵坐标表示点D到的距离．如图： 在中，利用勾股定理，得， 在中利用勾股定理，得， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中利用勾股定理，得， 则， 解得， ∴点N的纵坐标是． 故选：B． 2．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 【答案】(1)6 (2)；画图见解析 (3)①7；②1 【分析】（1）找图象上y的值首次超过35时的x值； （2）根据第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，第5日比第3日多试制5个合格产品，可知第4日比第3日多3个合格产品，即得；运用表格数据在平面直角坐标系描点画出函数图象； （3）①根据单日制成不少于45个合格品的只有与，： 时，得；：，当时，得，比较即得小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书；②分模拟练习日，日，日，日，求出对应的4日内的试制日数，试制的合格产品数，比较即得应安排小腾先进行的模拟练习日数． 【详解】（1）解：由曲线看出，当整数x的值为6时，y的值首次超过35 故答案为：6 （2）解：∵日的模拟练习时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变，在试制阶段的第3日单日制成的合格品43个，第5日单日制成的合格品48个 ∴相差（个）， 把5分成两个接近的数，， ∴第4日增加3个，第5日增加2个， ∴， 画出时的曲线： （3）解：①单日制成不少于45个合格品的只有与， ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴； ：日的模拟练习，然后试制阶段第日制成的合格品达到个， ∴， ∵， 故小云最早在完成理论学习后的第7日可获得“优秀学员”证书； 故答案为：7； ②当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 4日的合格产品分别是7，8，10，12， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 3日的合格产品分别是12，19，26， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 2日的合格产品分别是20，30， ∴合格产品共有； 当模拟练习日时， 4日内的试制时间日， 1日的合格产品是26； ∵， ∴希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行1日的模拟练习． 故答案为：1． 【点睛】本题考查了表格法与图象法表示函数．熟练掌握函数表示的表格法与图象法，根据表格信息画函数图象，函数的图象和性质，函数的增减性质，求函数值或自变量的值，是解题的关键． 2 / 56 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第01讲 函数与平面直角坐标系 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 函数/ 考点2平面直角坐标系的相关概念/ 考点3 点的坐标的有关性质 命题突破👉破解常考题型 题型1函数的相关概念辨析/ 题型2 求自变量的取值范围 / 题型3 函数图象的识别/ 题型4 从函数图象上获取信息/ 题型5 根据实际问题列函数解析式/ 题型6 动点问题的函数图象/ 题型7根据坐标系内点的坐标特征求解/ 题型8 坐标与图形变化/ 题型9 点坐标规律的探索/ 题型10 求坐标系中的图形面积// 题型11 与图形面积有关的存在性问题/ 题型12 实际问题中用坐标表示位置/ 题型13 用方向角和距离确定物体的位置 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 象限的判断 难点2对称点坐标计算问题 难点3 距离的计算 难点4 坐标平移规律应用 难点5 求自变量的取值范围 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 函数 1.变量与常量 变量：在一个变化过程中，数值发生变化的量称为变量. 常量：在一个变化过程中，数值始终不变的量称为常量. 2.函数 定义：一般的，在一个变化过程中，如果有两个变量x和y，并且对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与其对应，那么我们就把x称为自变量，把y称为因变量，y是x的函数. 3.函数值 函数值：如果在自变量取值范围内给定一个值a，函数对应的值为b，那么b叫做当自变量取值为a时的函数值. 4.函数的表示方法 表示法 定义 优点 缺点 解析法 用数学等式（解析式）表示两个变量之间的函数关系 1.精准反映变量间数量关系 2.方便计算任意自变量对应的函数值 3.便于推导函数性质（单调性、最值、对称性等） 1.不够直观，无法直接看出变化趋势 2.部分实际问题难以用解析式表达 图像法 用平面直角坐标系中的图形（直线或曲线）表示函数关系，图象上每一点(x,y)都满足函数关系 1.最直观，清晰展示函数变化趋势（上升、下降） 2.便于观察特殊点（顶点、交点、渐近线） 3. 能快速分析函数的增减性、对称性 1.读取的数值是近似值，不够精确 2.无法直接得到函数的精确解析式 列表法 将自变量的一系列取值和对应的函数值列成表格，表示函数关系 1.直观展示自变量与函数值的一一对应关系 2.查询特定自变量的函数值方便快捷 1.只能列出有限组对应值，无法体现全部关系 2.难以反映函数的整体变化规律 函数有意义时字母的取值范围一般从几个方面考虑： ①当函数解析式是整式时，字母可取全体实数； ②当函数解析式是分式时，考虑分式的分母不能为0； ③当函数解析式是二次根式时，被开方数为非负数． ◇考点 2 平面直角坐标系的相关概念 1.定义：平面内由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形。 2.构成 横轴（x轴）：水平向右为正方向 纵轴（y轴）：竖直向上为正方向 原点（O）：两轴交点，坐标为(0,0) 3.象限：x轴、y轴将平面分为 4 个象限，坐标轴上的点不属于任何象限。 4.点的坐标：平面内点对应有序数对(x,y)，x是横坐标（垂至x轴的数），y是纵坐标（垂至y轴的数），横前纵后，顺序不可换。 5.核心关系：坐标平面内的点与有序实数对一一对应。 1.混淆坐标的顺序，颠倒横、纵坐标 2.认为坐标轴上的点属于某一象限 ◇考点 3 点的坐标的有关性质 考点内容 具体性质/规律 平面直角坐标系的构成 ① 由横轴（x轴，水平向右为正方向）和纵轴（y轴，竖直向上为正方向）组成，两轴互相垂直，交点为原点(0,0)② 两轴将平面分为四个象限，按逆时针方向依次为第一、二、三、四象限 各象限内点的坐标特征 设点P(x,y) ① 第一象限：x>0，y>0（+,+） ② 第二象限：x<0，y>0（−,+） ③ 第三象限：x<0，y<0（−,−） ④ 第四象限：x>0，y<0（+,−） 坐标轴上点的坐标特征 设点P(x,y) ① x轴上的点：纵坐标为0，即P(x,0) ② y轴上的点：横坐标为0，即P(0,y) ③ 原点：横、纵坐标均为0，即P(0,0) 点坐标的平移P(x，y) 向右平移a个单位（a>0），即(x+a,y) 向左平移a个单位（a>0），即(x−a, y) 向上平移b个单位（b>0），即(x, y+b) 向下平移b个单位（b>0），即(x, y−b) 旋转 （绕原点O旋转） P(x，y) 顺时针旋转90∘，即(y,−x) 逆时针旋转90∘，即(−y,x) 顺时针/逆时针旋转180∘，即(−x,−y) 顺时针旋转270∘，即(−y，x) 逆时针旋转270∘，即(y,−x) 对称点的坐标规律 设点P(x,y) ①到x轴的距离：∣y∣（纵坐标的绝对值） ②到y轴的距离：∣x∣（横坐标的绝对值） ③到原点的距离：P＝ 平行于坐标轴的直线上点的坐标特征 1 平行于x轴的直线上的所有点：纵坐标相同，横坐标为任意实数 ② 平行于y轴的直线上的所有点：横坐标相同，纵坐标为任意实数 1.计算点到坐标轴的距离时，忽略绝对值 2.记混对称点的坐标规律 3.平移时点的坐标变化方向错误 4.混淆象限角平分线的坐标特征 5.忽略坐标的符号，仅看数值大小 6.平移时，将“上加下减”错误应用到横坐标 ◇题型 1 函数的相关概念辨析 典例11．（2025·贵州·中考真题）如图，用一根管子向图中容器注水，若单位时间内注水量保持不变，则从开始到注满容器的过程中，容器内水面升高的速度（  ） A．越来越慢 B．越来越快 C．保持不变 D．快慢交替变化 变式1（2022·湖南郴州·中考真题）科技小组为了验证某电路的电压U（V）、电流I（A）、电阻三者之间的关系：，测得数据如下： 100 200 220 400 2.2 1.1 1 0.55 那么，当电阻时，电流 A． 变式2（2025·云南文山·模拟预测）下列图象中，不能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． ◇题型 2 求自变量的取值范围 典例1（2025·黑龙江大庆·中考真题）函数的自变量的取值范围是 ． 典例2（2025·云南·中考真题）函数的自变量的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式1（2025·四川德阳·中考真题）函数y＝的自变量x的取值范围是 ． 变式2（2023·湖北黄石·中考真题）函数的自变量x的取值范围是（　　） A． B． C．且 D． ◇题型 3 函数图像的识别 典例1（2024·四川凉山·中考真题）匀速地向如图所示的容器内注水，直到把容器注满．在注水过程中，容器内水面高度随时间变化的大致图象是（    ） A．B． C． D． 变式1（2024·江西·中考真题）将常温中的温度计插入一杯的热水（恒温）中，温度计的读数与时间的关系用图象可近似表示为（    ） A． B． C． D． 变式2（2023·湖北·中考真题）如图，长方体水池内有一无盖圆柱形铁桶，现用水管往铁桶中持续匀速注水，直到长方体水池有水溢出一会儿为止．设注水时间为（细实线）表示铁桶中水面高度，（粗实线）表示水池中水面高度（铁桶高度低于水池高度，铁桶底面积小于水池底面积的一半，注水前铁桶和水池内均无水），则随时间变化的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． ◇题型 4 从函数图像上获取信息 典例1（2025·青海·中考真题）如图，甲、乙两车从地出发前往地，在整个行程中，汽车离开地的路程与时刻之间的对应关系如图所示，下列结论错误的是（    ） A．乙车先到达地 B．、两地相距 C．甲车的平均速度为 D．在时，乙车追上甲车 解｜题｜技｜巧 根据图像读取信息时，要把握以下三个方面： （1）点的坐标含义 （2）图像的变化趋势 （3）分析图像与坐标轴围成的图形面积、自变量取值范围对应的函数值范围，以及实际问题中图像的起点、终点、拐点的意义 变式1（2025·湖北武汉·中考真题）“漏壶”是中国古代一种全天候计时仪器，在它内部盛一定量的水，水从壶下的小孔漏出，壶内壁有刻度．人们根据壶中水面的位置计算时间．壶中水面高度（单位：）随漏水时间（单位：）的变化规律如图所示（不考虑水量变化对压力的影响）．水面高度从变化到所用的时间是（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·广东·中考真题）在理想状态下，某电动摩托车充满电后以恒定功率运行，其电池剩余的能量与骑行里程之间的关系如图．当电池剩余能量小于时，摩托车将自动报警．根据图象，下列结论正确的是（   ） A．电池能量最多可充 B．摩托车每行驶消耗能量 C．一次性充满电后，摩托车最多行驶 D．摩托车充满电后，行驶将自动报警 变式3（2025·广西·中考真题）生态学家G.F.Gause通过多次单独培养大草履虫实验，研究其种群数量随时间的变化情况，得到了如图所示的“S”形曲线．下列说法正确的是（   ） A．第5天的种群数量为300个 B．前3天种群数量持续增长 C．第3天的种群数量达到最大 D．每天增加的种群数量相同 ◇题型 5 根据实际问题列函数解析式 典例1（2024·陕西渭南·一模）书法是文字美的艺术表现形式，中国书法历史悠久，书体沿革流变，书法艺术异采迷人，是中国汉字特有的一种传统艺术．某校举办以“发扬艺术之光，传承书法风采”为主题的书法比赛活动，校团委计划购买某种标价为120元/套的书法套具，文具店老板给出了如下优惠条件：如果一次性购买不超过10套，单价为120元/套；如果一次性购买超过10套，那么每增加1套，购买的所有书法套具的单价每套降低5元，但单价不得低于60元/套．设校团委一次性购买书法套具x套，购买的实际单价为y元/套． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)当时，求校团委购买这些书法套具的实际付款总额． 变式1（2023·四川成都·一模）已知水池中有800立方米的水，每小时抽50立方米． (1)写出剩余水的体积Q（立方米）与时间t（时）之间的函数关系式并画出图像； (2)6小时后池中还有多少水？ (3)几小时后，池中还有200立方米的水？ 变式2（2023·陕西西安·二模）北京冬季奥运会和冬残奥运会的吉祥物“冰墩墩”和“雪容融”深受全世界人民的喜爱，某生产厂家经授权每天生产两种吉祥物挂件共600件，且当天全部售出，原料成本、销售单价及工人生产提成如表所示：设该厂每天制作“冰墩墩”挂件x件，每天获得的利润为y元． 原料成本（元/件） 生产提成（元/件） 销售单价（元/件） “冰墩墩” 32 5 45 “雪容融” 28 6 40 (1)求出y与x之间的函数关系式； (2)若该厂每天生产“雪容融”200件，该厂一天所获得的总利润是多少？ ◇题型 6 动点问题的函数图像 典例12025·甘肃平凉·中考真题）如图1，在等腰直角三角形中，，点D为边的中点；动点P从点A出发，沿边方向匀速运动，运动到点B时停止．设点P的运动路程为x，的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，当点P运动到的中点时，的长为（   ） A．2 B．2.5 C． D．4 解｜题｜技｜巧 类型一 动点与函数图象判断的解题策略 1）析轨迹，分运动阶段 这是解题的前提，需明确动点的运动路径、速度变化、转折点，将整个运动过程划分为若干阶段。 2）抓三点，定关键坐标 通过计算起点、拐点、终点的坐标，直接排除不符合的选项（最快的排除法） 3）判趋势，定图象形状 分析每个运动阶段内，因变量随时间t的变化规律，确定图象是直线段还是曲线段，是上升还是下降。 4）验选项，排除错误答案 结合前 3 步的结论，逐一检验选项： 1. ①先看起点坐标，排除起点错误的选项； 2. ②再看拐点数量和坐标，排除分段错误的选项； 3. ③最后看各段图象形状和增减性，排除趋势错误的选项。 4. 类型二 动点与函数图象计算的解题策略 1)析轨迹，分阶段定时间的取值范围 这是计算的前提，需精准分析动点的运动路径、速度、转折点，划分运动阶段，并确定每段时间的取值范围 2)表坐标，用时间表示动点的位置 这是计算的关键，需用含t的代数式表示动点坐标，为后续求线段长度、面积奠定基础。 3)建模型，推导各阶段的函数解析式 根据因变量类型（线段长度 / 图形面积），结合几何公式，将因变量表示为时间的函数，这是计算的核心。 4)解问题，验证结果与范围匹配 根据题目要求，求解函数解析式、特殊点坐标（如拐点、最值点）、参数值等，务必验证结果是否在对应阶段的时间范围内。 变式1．（2025·浙江·中考真题）为了实时规划路径，卫星导航系统需要计算运动点与观测点之间距离的平方．如图1，点P是一个固定观测点，运动点Q从A处出发，沿笔直公路向目的地B处运动．设为x（单位：）为y（单位：）．如图2，y关于x的函数图象与y轴交于点C，最低点，且经过和两点．下列选项正确的是（   ） A． B． C．点C的纵坐标为240 D．点在该函数图象上 变式2（2025·四川广元·中考真题）如图①，有一水平放置的正方形，点D为的中点，等腰满足顶点A，B在同一水平线上且，点B与的中点重合．等腰以每秒1个单位长度的速度水平向右匀速运动，当点B运动到点D时停止．在这个运动过程中，等腰与正方形重叠部分的面积y与运动时间t（s）之间的对应关系如图②所示，下列说法错误的是（   ） A． B． C．当时， D．的周长为 ◇题型 7 根据坐标系内点的坐标特征求解 典例1（2025·江苏宿迁·中考真题）点在第一象限，则实数的取值范围是 ． 变式1（2025·四川·中考真题）在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式2（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，点在第三象限，则的取值范围是 ． 变式3（2025·四川广安·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为，且a，b满足，则点A在第 象限． ◇题型 8 坐标与图形变化 典例1（2025·广西·中考真题）绣球是广西民族文化的特色载体．如图，设计某种绣球叶瓣时，可以先在图纸上建立平面直角坐标系，再分别以原点，为圆心、以为半径作圆，两圆相交于两点，其公共部分构成叶瓣①（阴影部分），同理得到叶瓣②． (1)写出两点的坐标； (2)求叶瓣①的周长；（结果保留） (3)请描述叶瓣②还可以由叶瓣①经过怎样的图形变化得到． 典例2（2025·广东深圳·模拟预测）如图，在直角坐标系中，菱形的边在轴负半轴上，为坐标原点，点，都在第二象限内，点的坐标为，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1（2025·辽宁铁岭·一模）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A，B的坐标分别为，，将沿x轴负方向平移后，得到．若，则点A的对应点C的坐标是 ． 变式2（2025·四川成都·模拟预测）在平面直角坐标系中，点关于轴的对称点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式3（2025·湖北·三模）如图，已知正方形的边长为4，四个顶点都在坐标轴上，将正方形绕原点O顺时针旋转，则点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． ◇题型 9 点坐标规律的探索 典例1（2025·山东威海·中考真题）某广场计划用如图①所示的A，B两种瓷砖铺成如图②所示的图案．第一行第一列瓷砖的位置记为，其右边瓷砖的位置记为，其上面瓷砖的位置记为，按照这样的规律，下列说法正确的是（　　） A．位置是B种瓷砖 B．位置是B种瓷砖 C．位置是A种瓷砖 D．位置是B种瓷砖 解｜题｜技｜巧 1.算前 3 - 5 个点的坐标：根据题目给定的运动或变换规则，依次计算,, ,坐标，关键点是准确套用平移、对称、旋转的坐标变化规律。 2.找规律：观察坐标的横、纵坐标变化特征，判断属于循环周期、递推公式还是图形关联规律。 3.用规律解题： · 循环型：计算周期数，用 “总序号 ÷ 周期长度” 求余数，余数对应周期内的位置。 · 递推型：总结横、纵坐标的通项公式（如等差数列、等比数列）。 · 图形关联型：结合图形边长、旋转角度等几何特征推导规律 变式1（2025·四川眉山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，用12个以点O为公共顶点的相似三角形组成形如海螺的图案，若，，则点G的坐标为 变式2（2025·四川内江·中考真题）对于正整数x，规定函数．在平面直角坐标系中，将点中的，分别按照上述规定，同步进行运算得到新的点的横、纵坐标（其中，均为正整数）．例如，点经过第次运算得到点．经过第次运算得到点，经过第次运算得到点，经过有限次运算后，必进入循环圈，按上述规定，将点经过第次运算后得到点是（   ） A． B． C． D． ◇题型10 求坐标系中图形面积 典例1（2025·广东东莞·二模）如图所示，点的坐标为，点的坐标为，将三角形沿轴负方向平移个单位长度，平移后的图形记为三角形． (1)求点的坐标； (2)在四边形中，点从点出发沿移动，若点的速度为每秒个单位长度，运动时间为秒，回答下列问题； 用含有的式子表示点的坐标； 当点的横坐标与纵坐标互为相反数时，求的值； 当三角形面积是三角形面积的倍时，求的值． 解｜题｜技｜巧 坐标系中求图形面积的核心思路是 “数形结合，割补转化”，即将不规则图形转化为直角三角形、直角梯形、矩形等易计算面积的基本图形，再利用坐标计算边长。 变式1（2023八年级下·全国·专题练习）如图，等边的顶点在轴上，顶点、在轴上，直线 经过点、，则等边的面积是(　　) A．4 B．2 C． D． 变式2如图正方形网格，每个小正方形的边长为1，格点三角形的顶点A，C的坐标分别为，． (1)请在正方形网格平面内作出平面直角坐标系； (2)请作出关于y轴对称的； (3)填空：①点的坐标是________； ②的面积等于________． ◇题型 11 与图形面积有关的存在性问题 典例1．（22-23七年级下·吉林·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空： ， ； (2)若在第三象限内有一点，用含m的式子表示的面积； (3)在（2）条件下，线段与y轴相交于，当时，点P是y轴上的动点，当满足的面积是的面积的2倍时，求点P的坐标． 变式1．（22-23七年级下·天津西青·期末）如图①，在平面直角坐标系中，为原点，已知，，且，满足关系式：，现同时将点，向上平移3个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到，的对应点，，连接，，．    (1)______，b=______，点C的坐标为_________，点D的坐标为_________； (2)连接 ，在轴上是否存在一点，使得三角形的面积等于三角形面积的？若存在，请求出点P的坐标：若不存在，请说明理由； (3)如图②，点是直线上一个动点连接，，当点在直线上运动时，请直接写出与，的数量关系． 变式2（22-23七年级下·广东广州·期末）在平面直角坐标系中，点且m，n满足，，    (1)直接写出m，n的值； (2)求三角形的面积； (3)若点P从点A出发在射线上运动（点P不与点A点B重合）， ①过点P作射线轴，且点E在点P的右侧，请直接写出的数量关系_______； ②若点P的速度为每秒3个单位，在点P运动的同时，点Q从点O出发，以每秒2个单位的速度沿x负半轴运动，连接是否存在某一时刻t，使的面积是的面积的2倍．若存在，请求出t值，并写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． ◇题型 12 实际问题中用坐标标志位置 典例1（2025·海南·中考真题）在如图所示的正方形网格中，若建立平面直角坐标系，使“少”“年”的坐标分别为、，则“强”的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1（2024·四川·中考真题）如图，在一个平面区域内，一台雷达探测器测得在点A，B，C处有目标出现．按某种规则，点A，B的位置可以分别表示为，则点C的位置可以表示为 ． 变式2（2023·贵州·中考真题）如图，是贵阳市城市轨道交通运营部分示意图，以喷水池为原点，分别以正东、正北方向为轴、轴的正方向建立平面直角坐标系，若贵阳北站的坐标是，则龙洞堡机场的坐标是 ．      ◇题型 13 用方向和距离确定物体的位置 典例1．（2023·河北唐山·一模）如图，从地观测地，发现地在地的北偏东方向上，则从地观测地，可知地在地的（    ） A．北偏东方向上 B．南偏西方向上 C．北偏东方向上 D．南偏西方向上 解｜题｜技｜巧 ①观测点先找准，十字坐标画中心； ②方位角南北定，度数量准看分明； ③比例尺算距离，单位统一要记清； ④描述作图分两步，位置确定准又稳。 变式1（2024·河北廊坊·一模）某位同学先向北偏东方向走，然后向南偏东方向走，她现在所站位置在起点的（    ）方向上 A．正北 B．正东 C．正西 D．正南 变式2（2023·河北石家庄·二模）一艘海上搜救船在巡逻过程中发现点A处有一艘船发出求救信号，如图是搜救船上显示的雷达示意图，图上标注了以搜救船为中心的等距线（图中所示的同心圆，单位：海里）及角度，要让搜救船在第一时间抵达故障船所在的位置，应该将搜救船的航行方案调整为（　　）    A．向北偏西150°方向航行4海里 B．向南偏西120°方向航行3海里 C．向北偏西60°方向航行4海里 D．向东偏北150°方向航行3海里 ◇难点 1 象限的判断 典例1（2025·四川成都·中考真题）在平面直角坐标系中，点所在的象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式1（2024·江苏宿迁·中考真题）点在第 象限． ◇难点 2 对称点坐标的计算问题 典例1（2024·浙江温州·模拟预测）剪纸是中国古代最古老的民间艺术之一，其中蕴含着图形的变换．如图是一张蕴含着轴对称变换的蝴蝶剪纸，点与点对称，点与点对称，将其放置在直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 变式1（2024·广东梅州·一模）如图所示，在平面直角坐标系中，点关于的对称点的坐标为（    ）    A． B． C． D． ◇难点 3 距离的计算 典例1 （2024·湖南·二模）已知点和直线，求点P到直线的距离d，可用公式计算．根据以上材料解决下面问题：在平面直角坐标系中，已知A点到直线的距离为 ． 变式1 （2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◇难点 4 坐标平移规律的应用 典例1（2024·山西吕梁·一模）如图，在平面直角坐标系中，点处有一激光发射器，激光照射到点处倾斜的平面镜上发生反射，使得反射光线照射到点处的接收器上，若入射角，，则点处的接收器到轴的距离为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式1（2025·河南安阳·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，有点，点第一次先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第二次向左平移3个单位长度到点，第三次先向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度到点，第四次向左平移5个单位长度到点……依此规律平移下去，点第2025次平移后的点可表示为（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·河南驻马店·三模）如图所示，在平面直角坐标系中，直线的解析式为，在直线上取，过点作轴，垂足为，将沿射线方向平移，每次平移个单位长度，第一次平移得，第二次得，则第次平移后，点的坐标为（    ） A．B． C． D． ◇难点 5 自变量取值范围 典例1（2025·云南·模拟预测）函数 中自变量x的取值范围是（   ） A．且 B． C． D． 变式1（2024·湖北·一模）在函数中，自变量x的取值范围是 ◇测能力 1．（2025·四川乐山·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·四川德阳·中考真题）在平面直角坐标系中，已知，，如果的面积为，那么点的坐标可以是 ．（只需写出一个即可） 3．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）在函数中，自变量的取值范围是 ． 4．（2025·江苏盐城·中考真题）博物馆到小明家的路程为 ，小明回家所需时间随平均速度的变化而变化，则与的函数表达式是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·吉林长春·中考真题）随着我国人工智能科技的快速发展，智能机器人已经走进我们的生活．某快递公司使用甲、乙两台不同型号的智能机器人进行快递分拣工作，它们工作时各自的速度均保持不变．已知某天它们同时开始工作，甲机器人工作一段时间后、停工保养．保养结束后又和乙机器人一起继续工作．甲、乙两台机器人分拣快递的总数量（件）与乙机器人工作时间（分钟）之间的函数关系如图所示． (1)甲机器人停工保养的时间为 分钟， ； (2)求所在直线对应的函数表达式； (3)若该快递公司当天分拣快递的总数批为5450件，则乙机器人工作时间为 分钟． 6．（2025·山西·中考真题）氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（    ） 水的质量 氢气的质量 A． B． C． D． 7．（2025·河南·中考真题）汽车轮胎的摩擦系数是影响行车安全的重要因素，在一定条件下，它会随车速的变化而变化．研究发现，某款轮胎的摩擦系数与车速之间的函数关系如图所示．下列说法中错误的是（   ） A．汽车静止时，这款轮胎的摩擦系数为 B．当时，这款轮胎的摩擦系数随车速的增大而减小 C．要使这款轮胎的摩擦系数不低于，车速应不低于 D．若车速从增大到，则这款轮胎的摩擦系数减小 8．（2025·湖北·中考真题）如图1，在中，．动点P，Q均以的速度从点同时出发，点沿折线向点运动，点沿边CA向点运动．当点运动到点时，两点都停止运动．的面积（单位：）与运动时间（单位：s）的关系如图2所示．（1） ；（2） ． ◇提能力 1．（2025·湖北武汉·中考真题）如图1，在中，是边上的定点．点从点出发，依次沿两边匀速运动，运动到点时停止．设点运动的路程为，的长为，关于的函数图象如图2所示．其中分别是两段曲线的最低点．点的纵坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·中考真题）工厂对新员工进行某种工艺品制作的培训．在完成理论学习后，新员工接下来先使用智能辅助训练系统进行一次为期T日（T可取0，1，2或3）的模拟练习，然后开始试制．记一名新员工在试制阶段的第x日单日制成的合格品的个数为y，根据以往的培训经验，对于给定的T，可以认为y是x的函数．当和时，部分数据如下： x 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 时y的值 0 7 8 10 12 16 20 23 25 26 时y的值 0 26 37 43 m 48 50 51 52 53 时，从试制阶段的第2日起，一名新员工每一日比前一日多制成的合格品的个数逐渐减少或保持不变． 对于给定的T，在平面直角坐标系中描出该T值下各数对所对应的点，并根据变化趋势用平滑曲线连接，得到曲线．当和时，曲线，如图所示． (1)观察曲线，当整数x的值为_______时，y的值首次超过35； (2)写出表中m的值，并在给出的平面直角坐标系中画出时的曲线； (3)新员工小云和小腾刚刚完成理论学习，接下来进行模拟练习和试制． ①若新员工单日制成不少于45个合格品即可获得“优秀学员”证书，根据上述函数关系，小云最早在完成理论学习后的第_______日可获得“优秀学员”证书； ②若工厂希望小腾在完成理论学习后的4日内制成的合格品的总数最多，根据上述函数关系，在这4日中应安排小腾先进行_______日的模拟练习． 7 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $