第05讲 二次函数的图像与性质（培优讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习高效培优系列

该初中数学中考复习资料聚焦二次函数图像与性质核心考点，涵盖概念、图像性质、系数关系、方程不等式应用等中考必备内容，通过目标导图构建知识脉络，考点深解速通命题要点，命题突破破解18类常考题型，系统梳理知识内在联系，设计考点梳理、方法指导、真题训练、难点攻坚等环节，帮助学生突破解析式转化、最值参数范围等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于“数形结合”和“分层突破”教学策略，如通过顶点式转化培养运算能力（数学思维），根据图像判断系数符号发展几何直观（数学眼光），设置测能力、提能力分层练习，配合易错点警示和即时检测，确保学生在有限时间内掌握解题方法，提升数学语言表达和问题解决能力，助力教师精准把控复习节奏，高效提升学生应考能力。

第三章 函数 第05讲 二次函数的图像与性质 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 二次函数的相关概念 考点2 二次函数的图像与性质 考点3 二次函数与各项系数之间的关系 考点4 二次函数与方程﹑不等式 命题突破👉破解常考题型 题型1 根据二次函数解析式判断其性质 题型2 根据二次函数的图像与性质求解 题型3 求二次函数解析式 题型4 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 题型5 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质 题型6 二次函数的平移变换问题 题型7 二次函数的对称变换问题 题型8 根据二次函数的对称性求参数取值范围 题型9 二次函数的最值问题 题型10 根据二次函数的最值求参数取值范围 题型11 根据二次函数的增减性求参数取值范围 题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 题型13 二次函数的图像与各项系数符号 题型14 函数图像综合 题型15 已知一元二次方程根的分布情况求参数 题型16 二次函数与坐标系交点问题 题型17 二次函数与方程、不等式 题型18 二次函数与三角形相结合的应用方法 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 二次函数的一般式化成顶点式 难点2 根据二次函数的最值求参数取值范围 难点3 函数图像的下综合识别 难点4 二次函数与几何图形综合 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【注意】 二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c特殊形式 2. 常见二次函数的解析式三种形式； 一般式：(a≠0) 顶点式：(a≠0),(h,k)是二次函数的顶点坐标，对称轴为直线 x=h，最值为 k（a>0 时为最小值，a<0 时为最大值）。 交点式： ◇考点 2 二次函数的图像与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， ◇考点 3 二次函数与各项系数之间的关系 系数/组合 作用 关键结论 a 决定开口方向、大小 a>0 开口向上；a<0 开口向下∣a∣ 越大，开口越小 c 决定与y轴交点 交点(0,c)：c>0正半轴；c<0负半轴；c=0过原点 a﹑b 决定对称轴位置 ab>0对称轴在y轴左侧；ab<0右侧；b=0对称轴为y轴（口诀：左同右异) a﹑b﹑c 决定与x轴交点个数 判别式 Δ=b²−4ac： Δ>0，2个交点； Δ=0，1个交点； Δ<0，无交点 特殊值 判断图象过定点 x=1时，y=a+b+c；x=−1 时，y=a−b+c ◇考点 4 二次函数与方程﹑不等式 1. 与一元二次方程的关系 ax²+bx+c=0的解↔抛物线与x轴交点的横坐标。 判别式 Δ=b²−4ac 抛物线与x轴交点个数 方程 ax²+bx+c=0 的根 Δ>0 两个不同的交点 有两个不相等的实数根 Δ=0 1 个交点（顶点在x轴上） 有两个相等的实数根 Δ<0 无交点 方程误解 2.与不等式关系 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac<0 图象 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 1.忽略a的符号，直接套用“>0 取两边，<0 取中间”(仅适用于 a>0)0忘记等号，漏写交点坐标; 2.Δ<0 时，误判为“需要找交点”，实际无需考虑交点，直接根据开口方向判断。 ◇题型 1 根据二次函数的解析式判断其性质 典例1（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数的性质，掌握二次函数顶点式的图象与性质是解题的关键． 根据二次函数的顶点式，直接判断最小值． 【详解】解：二次函数，顶点坐标为， ∵， ∴当时，有最小值 3 ， 故选： D． 变式1（25-26九年级上·福建南平·月考）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 【答案】C 【分析】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键 由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，即可得出答案． 【详解】解：抛物线中， A．因为，所以抛物线开口向下，故A不符合题意； B．由题意知：抛物线的对称轴为直线，故B不符合题意； C．由题意知：抛物线的顶点坐标是，故C符合题意； D．时，y随x增大而减小，故D不符合题意； 故选：C． ◇题型 2 根据二次函数的图像与性质求解 典例1（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，包括对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等，解题的关键是掌握二次函数的图象和性质． 利用对称轴公式，根据图象确定参数的取值范围，根与系数的关系等逐项进行判断即可． 【详解】解：①抛物线的对称轴为直线， ∴， 即， 故①错误，不符合题意； ②根据抛物线开口向上得，对称轴位于轴的右侧得异号，即， 抛物线交轴于负半轴得， ∴， 故②错误，不符合题意； ③由根与系数的关系得， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， 故③正确，符合题意； ④， ∵， ∴， 即， 故④错误，不符合题意； ∴正确选项有：③， 故选：A． 变式1（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 【答案】D 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．利用待定系数法求出二次函数的解析式，根据即可判断选项A；根据四个象限内均存在函数图象经过的点，即可判断选项B；根据二次函数的增减性和对称性即可判断选项C、D． 【详解】解：将点，和代入二次函数得： ， 解得， 二次函数的解析式为， ， 函数图象的开口向下，故A选项错误，不符合题意； 当时，， 当时，， 函数图象经过点， 位于第一象限， 函数图象经过点， 位于第三象限， 由表格可知，函数图象经过点， 位于第二象限， 函数图象经过点， 位于第四象限， 这个二次函数的图象经过第一、二、三、四象限，故B选项错误，不符合题意； 对称轴为直线 ， ， 当时，的值随的值增大而增大， 当时，的值随的值增大而减小，故C选项错误，不符合题意； D选项正确，符合题意． 故选：D ． 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点等知识点，灵活利用二次函数的性质和数形结合的思想成为解题的关键． 由函数图象可知其与x轴有2个交点，再根据判别式的意义可对①进行判断；由抛物线开口方向得到，由抛物线与y轴的交点位置得到，则可对②进行判断；利用二次函数的最大值为2可对③进行判断；当时，，但从函数图象看不出在函数图象上的位置，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线与x轴有2个交点， ∴，所以①正确； ∵抛物线开口向下， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在x轴的上方， ∴， ∴，所以②正确； ∵方程没有实数根，即没有实数根，而二次函数y=ax2+bx+c的最大值为2， ∴，所以③正确． 当时，，但从函数图象看不出在函数图象上的位置，即不能确定的正负，故④错误． 综上，①②③正确，即3个正确． 故选：C． ◇题型 3 求二次函数解析式 典例1（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 【答案】 【分析】此题考查了待定系数法求抛物线的解析式，根据图象确定抛物线过点，将其代入解析式求出b，c的值即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线过点， 则， 解得， ∴抛物线的解析式为， 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 一般式：(a≠0)，已知二次函数图象上3个普通点的坐标 顶点式；(a≠0),已知二次函数图象顶点坐标，且已知另一个点的坐标。。 交点式：已知二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标，且已知另一个点的坐标。 变式1（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数解析式的求解，观察数据发现规律是解决本题的关键 ． 观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数，设出二次函数解析式将数值代入求解即可 ． 【详解】解：观察数据可知，刹车距离s是刹车时速度v的二次函数， 设， 由表格数据可知，将点，，代入函数解析式，得 ， 解得， 所以， 即刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 故答案为： ． 变式2（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查待定系数法求函数解析式，二次函数的图象和性质，二次函数的最值： （1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）根据对称轴公式进行求解即可； （3）分和，根据最值，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：把，代入，得：， 解得：； （2）由题意，对称轴为直线； （3）当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数有最大值为， 解得：； 当时， ∵，对称轴为直线， ∴当时，函数值最大，即：， 解得：； 综上：或． ◇题型 4 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 典例1（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 【答案】(1)，过程见解析 (2)答案见解析 【分析】本题主要考查了二次函数的性质以及画二次函数图象，正确掌握配方法以及用描点法画二次函数图象的步骤是解题关键． （1）直接利用配方法把该二次函数的解析式化为顶点式即可； （2）列表、描点、连线，画出该二次函数的图象即可． 【详解】（1）解： ， 答：该二次函数的顶点式为：． （2）解：该二次函数解析式为，则顶点坐标为， 令得：， 解得：或， 即该条抛物线与x轴的交点坐标为和， 当时，， 当时，， 列表如下： 根据列表中的数据，在坐标系中描点并用平滑的曲线连接起来，得到函数的图象，如图： 变式12025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】本题主要查了二次函数的图象和性质： （1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）利用配方法把解析式变形为顶点式，即可求解； （3）分四种情况解答，即可求解． 【详解】（1）解：把点代入得： ， 解得：， ∴二次函数的解析式为； （2）解：， ∴二次函数图象的顶点坐标为，对称轴为直线， ∴点关于直线的对称点为， 画出函数图象，如图， （3）解：根据题意得：平移后的抛物线解析式为， ∴平移后的抛物线的对称轴为直线， 当，即时， 最大值在，最小值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 当，即时， 当平移后抛物线的对称轴在y轴和直线左侧时，此时最小值为， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）； 当，即时，此时最小值为，， 当时，取得最大值，最大值为， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴， 解得：或（舍去）， 当平移后抛物线对称轴在直线右侧时，，即， 最小值在，最大值在 ，差为： 当时，，当时，， ∵图象对应的函数最大值与最小值的差为5， ∴ 解得故舍去 综上所述，n的值为或． 变式2（2025·广东深圳·二模）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． 【答案】(1)0；3；图形见解析； (2)①；②见解析． (3)或． 【分析】（1）依据题意，由二次函数配方求得其顶点坐标为； ①当时，顶点为；当时，顶点为，从而可得，，进而得解； ②依据题意，可以作图得解； ③依据题意，可以作图得解； （2）①依据题意，结合表格数据可以判断得解； ②依据题意，二次函数：，其顶点坐标为，，从而可设，，再把代入中，可得，进而得解； （3）依据题意，由与x轴有两个不同的交点，，又由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为，当时，从而抛物线与x轴交于，两个点，进而当顶点在下方时，抛物线有两个交点，；又函数：的顶点始终在上，故当的顶点在下方时，，进而可以判断得解． 【详解】（1）解：由题意，∵二次函数 ， ∴其顶点坐标为． ①当时，顶点为； 当时，顶点为． ∴，． 故答案为：0，3． ②描点：如图，即为所描点； ③连线：如图，即为所连线； ； （2）解：①猜想：随着k取不同值，的顶点形成的图象的表达式是． 故答案为：； ②由题意，二次函数：，其顶点坐标为， ∴可设，， 把代入中， ∴； （3）解：由题意，∵与x轴有两个不同的交点，， 由（2）可知：函数：的顶点始终在图象上滑动，其顶点为， 当时， ∴或， 抛物线与x轴交于，两个点， 当顶点在下方时，抛物线与x轴有两个交点，； ∵：，即， ∴当时，即时，． ∴：始终过点． ∵函数：的顶点始终在上， ∴在上． ∴当的顶点在下方时，． 综上可得：或． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象与性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． ◇题型 5 以开放性试题的形式考察二次函数的图像与性质 典例1（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查待定系数法确定二次函数表达式，先由二次函数的图象经过点，得到，再由二次函数的图象不经过原点，得到，从而得确定，若取，即可得到，从而确定函数表达式．熟练掌握待定系数法确定函数表达式的方法是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数的图象经过点， ， 二次函数的图象不经过原点， ， 则， 若取，则， 该二次函数的表达式可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 变式1写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是反比例函数、一次函数及二次函数的性质，选择不同的函数类型性质不一样，答案也不一样． 【详解】解：答案不唯一，如等， 故答案为：（答案不唯一）． ◇题型 6 二次函数的平移变换问题 典例1（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像的平移，平移法则是：左加右减，上加下减；据此法则即可求解． 【详解】解：∵函数的图像向下平移2个单位， ∴平移后的新函数的解析式为； 故答案为：． 变式1（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，要求熟练掌握平移的规律：左加右减，上加下减．根据平移规律，上加下减，左加右减，可得顶点式解析式． 【详解】解∶ 抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线为， ∴新抛物线的顶点坐标为， 故选∶D． 变式2（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次函数平移规律，抛物线与x轴的交点，两点间的距离公式，解题关键是熟练掌握二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式．根据二次函数图象的平移规律，求出抛物线的解析式，然后令，列出关于x的方程，解方程求出x，再根据两点间的距离公式求出答案即可． 【详解】解：将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线的解析式为： ， 令，则， 或， 解得：或， ， 故答案为：1． 变式3（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． 【答案】 【分析】先根据平移的规律写出抛物线向下平移k个单位长度后的抛物线的表达式，再根据平移后得到的抛物线与x轴有公共点可得，由此列不等式即可求出k的取值范围． 此题考查了二次函数图像的平移与几何变换，以及抛物线与x轴的交点问题，利用抛物线解析式的变化规律：左加右减，上加下减是解题关键． 【详解】解：将抛物线向下平移k个单位长度得， ∵与x轴有公共点， ∴， 即， 解得， 故答案为：． ◇题型 7 二次函数的对称变换问题 典例1（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键；由表格可知点关于对称轴对称，然后问题可求解． 【详解】解：由表格可知点关于对称轴对称， ∴该函数图像的对称轴为直线； 故答案为． 变式1（2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 根据抛物线与x轴交点关于对称轴对称，再结合横坐标可得答案． 【详解】解：∵该二次函数的图象与x轴交于点和点， ∴该二次函数图象的对称轴为直线． 故选：B． 变式2．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的对称性，根据当和当时的函数值相同可得对称轴，再根据对称性可得当和当时的函数值相同，据此可得答案． 【详解】解：∵当和当时的函数值相同， ∴对称轴为直线， ∴当和当时的函数值相同， ∴， 故选：C． ◇题型 8 根据二次函数的对称性求参数取值范围 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）抛物线经过四点，且 ，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，已知抛物线上对称的两点，求抛物线的对称轴；由抛物线经过点和可知，对称轴为直线；点的横坐标在内，其关于对称轴的对称范围为；为确保当在时，需或，结合即可求解； 【详解】解：由点和纵坐标相同，抛物线的对称轴为直线； 抛物线在与部分是对称的；若在此范围内，则可能与相等； 为避免，需使完全不在内； 则应满足或； 故的取值范围为或，对应选项C； 故选：C． 变式1（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质．根据题意得到二次函数的对称轴为直线，再由当时，函数值；当时，，可得，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1，然后分两种情况：若点，均在对称轴的右侧，若点，均在对称轴的两侧，结合二次函数的性质解答即可． 【详解】解：根据题意得：二次函数的对称轴为直线， ∴横坐标为5关于对称轴的对称点的横坐标为1， ∵当时，函数值；当时，， ∴，且抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小， 若点，均在对称轴的右侧， 此时， ∵抛物线与x轴的交点的横坐标为5和1， ∴当时，， ∴，即， ∴抛物线的解析式为， 当时，， ∴抛物线与y轴的交点为， ∴点关于对称轴的对称点为， ∵， ∴， 即， 此时； 若点，均在对称轴的两侧，则 ， 即； 综上所述，的取值范围是． 故答案为： 变式2（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与轴交于、两点，且，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的图象性质，求二次函数的解析式，二次函数与轴的交点坐标，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据点在二次函数的图象上，整理得，对称轴为直线，因为，故二次函数的开口向上，再结合二次函数的图象与轴交于、两点，得当时，得，把代入，解得；当时，解得， 把代入，解得，即可作答． 【详解】解：∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴， 即对称轴为直线， ∵二次函数的图象与轴交于、两点， ∴， 即， ∵， ∴当时， 即， ∴， 则， 解得， 把代入，得， 解得； ∴当时， 即， ∴， 则， 解得， 把代入，得， 解得； ∵， ∴二次函数的开口向上， ∴当，则的取值范围为， 故答案为：． ◇题型 9 二次函数最值问题 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数求最值，根据，得到，整体代入代数式，将代数式转化为关于的二次函数，求最值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∴当时，有最大值为； 故答案为：． 变式1（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 【答案】/0.75 【分析】本题考查求二次函数的最值，将二次函数一般形式化为顶点式即可求解． 【详解】解：， 当时，二次函数取最小值，最小值为， 故答案为：． 变式2（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了求不等式组的解集，二次函数的性质，先求出k的取值范围，然后根据二次函数的性质求解即可．由条件可得和，根据非负性得出 k 的取值范围为 ，代数式为二次函数，开口向上，故最小值在时取得． 【详解】解：∵， ∴，， 又∵， ∴ 且，即， 令代数式， ∵ 二次项系数，对称轴为直线，   ∴当时，随增大而减小， ∴当时，取最小值，最小值为． 故选：D． ◇题型 10 根据二次函数的最值求参数/取值范围 典例1（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质， 先配方可得抛物线的性质，再根据题意得，求出解集即可． 【详解】解：∵二次函数， ∴抛物线开口向上，对称轴是，当时，有最小值，离对称轴越远函数值越大． ∵，当时，函数取最大值，当时，函数取最小值， ∴， 解得． 故答案为：． 解｜题｜技｜巧 1.顶点式优先:将一般式转化为顶点式 y =α(x-h)²+k，方便快速确定顶点坐标和最值; 2.数形结合:画出抛物线草图，标注顶点和区间范围，直观判断最值位置; 3.分类讨论的“先分后合”:分情况讨论后，将符合条件的解取并集;若有开口方向等限制条件，取交集4.特殊值验证:求出参数范围后，代入特殊值验证是否符合最值条件。 变式1（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的性质可知两个函数的开口方向和对称轴，当时，可求出两个函数的最小值，然后即可求出答案． 【详解】解：二次函数， 抛物线开口向上，对称轴为直线， ， 当时，函数值最小，， 二次函数， 抛物线开口向下，对称轴为直线，抛物线上的点离对称轴的水平距离越远函数值越小， ， 当时，函数值最小，， ， 故答案为：． 变式2（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的最值问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据二次函数的图象与性质即可求解． 【详解】解：， 二次函数的对称轴为，最小值为， 又当时，函数的最小值为， ， ，且当时，函数取得最大值， ， 解得：， 综上所述，m的取值范围是． 故选：C． ◇题型 11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 典例1（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 变式12025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，明确抛物线与x轴的交点个数与判别式的关系及二次函数的性质是解题的关键． 根据图象与x轴有交点，得出判别式，从而解得，然后求出抛物线的对称轴，结合抛物线开口向上，且当时，y随x的增大而增大，可得，从而得出选项． 【详解】解：∵二次函数（为常数）的图象与x轴有交点， ∴， 解得：， ∵抛物线对称轴为直线，抛物线开口向上，当时，y随x的增大而增大， ∴， ∴ ∴m的取值范围是， 故选：A． 变式2（2025·陕西西安·二模）已知抛物线，当时，，且当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 当时，得到，则；当时，y随x的增大而减小，则，即可求解． 【详解】解：当时，， ∴， 解得：， ∵当时，y随x的增大而减小， ∴， ∴， ∴， 故选：A． ◇题型 12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 典例1（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了利用二次函数图像求自变量的取值范围 ．培养学生的数形结合能力 ．正确画出函数图像是解题的关键． 根据函数关系式画出函数的图像，观察函数的图像即可求得． 【详解】画出函数的图像如图： 由图像可以看出当时，， 当时，， ∴当时， 则的取值范围为或． 故答案为：或． 变式1（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 先求出抛物线的对称轴，再求出最大值和最小值即可求解的取值范围． 【详解】解：， ∴函数图象的对称轴为直线，开口向上， ∵， ∴当时，；时，，当时，， ∴的取值范围是：， 故答案为：． 变式2（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过和两点，若，则的取值范围是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键．根据抛物线的性质得出抛物线的对称轴为直线，当时，此时，根据抛物线的对称性得出：当或时，抛物线的函数值均为；点在抛物线上关于对称轴对称的点的横坐标为；根据题意，可得点一定在点下方，结合题意分情况讨论：点在点左侧或点在点右侧，结合图象，列出不等式组，即可求出的取值范围． 【详解】解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线， 当时，此时， 根据抛物线的对称性可得时，此时， 即当或时，抛物线的函数值均为； ∵， ∴点在抛物线上关于对称轴对称的点的横坐标为； ∵，， ∴点一定在点下方， 分情况讨论： 如图①，若点在点左侧，此时，解得； 如图②，若点在点右侧，此时，解得； 综上所述，的取值范围是或． 故答案为：或． ◇题型 13 二次函数图像与各项系数符号 典例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数图象与性质，根据抛物线开口，对称轴，以及与轴的交点，确定的符号，即可判断①，根据二次函数的图象过，得出，进而判断对称轴，得出，进而判断②和③，根据函数图象判断④，将一般式写成交点式得出 ，化简不等式为，求得解集，即可求解． 【详解】解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴在轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与轴交于负半轴， ∴， ∴，故①正确， ∵二次函数的图象过， ∴， ∵二次函数的图象与轴交于两点，，且． ∴对称轴，即， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴ ， ∴，故③错误； ④如图， 关于的一元二次方程 的两个根，即函数与的交点的横坐标， ∵， ∴若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；故④正确； ⑤∵二次函数的图象与轴交于两点，， ∴ ， ∴，， ∴，， ∴可化为， 即， ∵， ∴， 解得：或， ∴关于的不等式 的解集为或不是故⑤错误 故正确的有①②④，共3个， 故选：B 解｜题｜技｜巧 1.混淆对称轴与b的直接关系:直接根据对称轴在左或右判断b的符号，忘记结合a的符号(如对称轴在右侧，b可能正也可能负，取决于a) 2.忽略α的符号对不等号的影响:在推导 2a+b等代数式时，移项时忘记改变不等号方向如a<0时，不等式两边乘 a，不等号方向改变) 3.误判特殊点的函数值:认为x =1时的函数值一定大于0，忽略图像可能在x =1处位于 x 轴下方 4.忘记 c=0 的情况:认为与 y轴的交点一定在正半轴或负半轴，忽略过原点的情况。 变式12025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与轴交于正半轴， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∴，，故选项A，B正确，不符合题意； ∵且， ∴， ∴和关于对称轴对称， ∴；故选项C正确；不符合题意； ∵抛物线的开口向下， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越小， 若两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴；故选项D错误，符合题意； 故选D． 变式2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 【答案】①②⑤ 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系．二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，抛物线与x轴交点的个数确定．根据对称轴、开口方向、可判断①②；根据图象与轴的交点位置可判断③，根据图象与轴的交点个数可判断④；根据时函数的值可判断⑤． 【详解】解：①∵抛物线开口向下， ∴，符合题意； ②∵抛物线的对称轴是直线，且， ∴， ∴， 符合题意； ③∵抛物线与轴的交点在轴的正半轴， ∴，不符合题意； ④∵图象与x轴有2个交点， ∴，不符合题意； ⑤∵时，， ∴，符合题意； 故答案为：①②⑤． 变式3（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查了二次函数的图像与性质，正确利用数形结合的思想是解题的关键． 开口向下得到；对称轴在轴的右侧得到a、b异号，则；抛物线与轴的交点在轴的上方得到0，所以；当时，得到，即；对称轴为直线，可得时，即；利用对称轴得到，而，则，所以；开口向下，当有最大值，得到，即． 【详解】解：开口向下，， 对称轴在轴的右侧，、异号，则， 抛物线与轴的交点在轴的上方，， ∴，所以①正确； 当时，，即， 即，所以②不正确； 因为抛物线与轴的一个交点在和之间，对称轴为直线， 所以抛物线与轴的另一个交点在和之间， 则时，， 即，所以③正确； 因为对称轴为直线，则，而， 则，，所以④正确； 开口向下，当，有最大值； 当时，， 则， 即，所以⑤错误． 故①③④正确，共3个． 故选：C． ◇题型 14 函数图像综合 典例12024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数、反比例函数、二次函数的图象，熟练掌握各函数的图象特点是解题关键．先根据一次函数与反比例函数的图象可得，，再根据二次函数的图象特点即可得． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，即， ∵反比例函数的图象位于第二、四象限， ∴，即， ∴函数的开口向下，与轴的交点位于轴的正半轴，对称轴为直线， 故选：D． 变式1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象，一次函数图象，二次函数的图象与系数的关系，根据题意列不等式组，解不等式组即可得到结论，正确地识别图形是解题的关键． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∴的取值范围是， 故选：C． 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象性质，一次函数的图象性质，二次函数的图象性质．根据一次函数的性质得到，，得到抛物线开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C，再根据反比例函数与二次函数的图象性质判断即可； 【详解】解：对于一次函数，由图象知，， ∴，，对于二次函数， ∵，， ∴开口向上，对称轴在轴右边，则排除选项B和C； ∵选项A和D中，二次函数的图象与轴的交点都在原点下方， ∴， ∴， ∴反比例函数的图象经过一、三象限， ∴选项A符合题意， 故选：A． ◇题型 15 已知一元二次方程的分布的情况求参数 典例12025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查利用图象法确定一元二次方程根的情况，把方程的解的情况，看成抛物线和直线的交点问题，根据方程有实数根，得到两个图象有交点，进行求解即可． 【详解】解：由图象可知，抛物线的顶点坐标为， 当时，函数有最大值为：， ∵关于的一元二次方程有实数根， ∴抛物线和直线有交点， ∴； 故答案为：． 变式1（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数图象的应用， 画出的图象，分别画出经过、的图象，然后然后数形结合即可得出结论． 【详解】解：∵关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根， ∴与有4个交点， ∵中，当即时，， ∴经过定点， 对于，当时，， 当时，，解得， ∴与y轴交于，与x轴交于，， 当经过时，如图， 则，解得， ∴， 此时与有3个交点， 当经过时，如图， 则， 解得， ∴， 此时与有3个交点， 观察图象发现：当时，与有4个交点， 故答案为：． 变式2（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查抛物线与直线的交点问题．解题的关键将一元二次方程根的情况转化为抛物线与直线的交点问题，据此列式解答即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程无实数根， ∴抛物线与没有交点， ∵抛物线的顶点坐标是， ∴． 故答案为：． ◇题型 16 二次函数与坐标系交点问题 典例1（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了抛物线与轴交点的性质，根与系数的关系（韦达定理）以及两点间距离公式的应用和解一元二次方程． 先将点的坐标代入得到关于，的关系式，再利用根与系数的关系得到，然后将代入求出，的值，从而得出抛物线表达式，最后令得到一元二次方程，解方程便可得到抛物线与轴的交点坐标即可． 【详解】解：将点代入抛物线，得：， 化简得：，即， 设抛物线与x轴交点，，则： ，， ， ，即， ， ， 将代入得：， 化简得：，解得， ， ， 令，得，整理得：， 解得：，， 抛物线与轴的交点坐标为，． 故选： D． 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特点，令，求出的值即可，掌握轴上点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：由得，当时，， ∴与轴的交点坐标是， 故选：． 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与轴的交点，根据抛物线与轴的一个交点是点 ，求出的值，再求出抛物线与轴的交点坐标，从而计算线段 的长度． 【详解】解： 抛物线 与 轴交于点 ， 把点 的坐标代入 ， 可得： ， 抛物线解析式为 ， 令 ， 可得方程： ， 因式分解得：， 解得：，， 抛物线与 轴交于点 和 ， 点 和点 均在 轴上， 线段 的长度为 ． 故答案为： 4． ◇题型 17 二次函数与方程﹑不等式 典例12025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据二次函数与一次函数的交点确定不等式的解集，由图象并结合交点坐标即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵二次函数与一次函数的图象交于点和原点O， ∴由图象可得：关于x的不等式的解集是， 故答案为：． 变式1（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】此题考查二次函数与不等式．先求得抛物线与直线的解析式，联立求得点的坐标，再根据时，即为抛物线在直线下方，根据图象得出取值范围即可． 【详解】解：∵直线经过点， ∴，解得， ∴直线， ∵抛物线经过点， ∴，解得， ∴抛物线， 联立得， 解得或， 当时，， ∴， ∴抛物线与直线相交于点和点两点， ∴当时，， 故选：B． 变式2（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． 【答案】和 【分析】此题主要考查一元二次方程与二次函数图象；根据题意将，分别代入，即可求解． 【详解】解：∵物线与直线的两个交点， ∴的解为，的横坐标， ∴将，分别代入得， ∴交点，的坐标分别为和 故答案为：和． ◇题型 18 二次函数与三角形相结合的应用方法 典例1（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在点P，横坐标为,， 【分析】本题考查了二次函数的图像与性质、直线与抛物线的位置关系、三角形面积的计算以及面积相等的点的存在性问题． （1）利用顶点横坐标为和公式求出参数进而得到抛物线表达式； （2）先求点A和B的坐标，确定直线方程；将直线向上平移m个单位后与抛物线联立，利用判别式求m的范围； （3）先求对称轴与直线的交点D及顶点计算；设点P坐标，利用面积公式列方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）∵抛物线顶点横坐标为， ∴由顶点公式，其中即 ∴ ∴抛物线表达式为 ． （2）当时，即 解得或（舍去）， 故． 当时，故． 设直线的方程为 将点与点代入得 ∴直线的方程为． 向上平移m个单位后，直线方程为． 与抛物线联立： 整理得： 抛物线与直线有交点时，， 解得，又 ， ∴m 的取值范围为． （3）抛物线对称轴为． 直线当时，故． 顶点当故． 点． 设在抛物线上，． 如图， 情况1：过点C作的平行线，与抛物线交于点P，此时， 因，且，故可设直线的解析式为，将点代入求得，即的解析式为， 联立抛物线方程， 解得：或， ∴点P坐标为. 情况2：过点E作的平行线，交抛物线于点与，因， ∴直线向下平移到直线的距离等于直线向下平移到直线的距离， 当过点时，代入 ∴解析式为， 联立， 整理得：， 解得：， 即点的横坐标是，点的横坐标是. 综上所述，存在点横坐标为. 解｜题｜技｜巧 解题步骤 ①建系 / 定坐标：确定二次函数解析式，标出已知点坐标； ②设动点坐标：若点在抛物线上，用含x的式子表示y； ③转化几何条件：把三角形的性质（等腰、直角、面积最值）转化为代数方程； ④解方程 / 求最值：计算并检验解是否符合题意（如是否在指定范围内）； ⑤总结答案：写出符合条件的点坐标或最值。 变式1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 【答案】(1) (2)不存在，理由见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数与一次函数综合，涉及求直线表达式、函数值计算及三角形相似与面积比应用，解题关键是利用函数性质、坐标关系及相似三角形性质建立等式求解 ． （1）先通过二次函数与坐标轴交点的求法，确定、坐标，再用待定系数法，将两点坐标代入设好的一次函数表达式，求解出直线的函数表达式． （2）先根据二次函数表达式，分别写出、两点的函数值、，进而得出的表达式，再通过配方或判别式判断是否存在实数使等式成立． （3）通过作辅助线构造平行关系，利用二次函数求出点坐标，结合坐标关系得出角的度数，推出，进而得到三角形相似，根据面积比与相似比的关系建立等式，求解出的值． 【详解】（1）解：∵二次函数的图像与x轴交于两点， ∴令，则， 点C的坐标为． 令，则． 解得，或， ∴点B的坐标为． 设直线对应函数的表达式为，由题意，得 解得 直线对应函数的表达式为． （2）不存在实数m使得，理由如下： 方法一：为二次函数图像上两点， ， ． ． 配方，得． ∴当时，有最大值为． ， ∴不存在实数m使得． 方法二：由方法一，得． 当时，，即． ， ∴方程没有实数根． 不存在实数m使得． （3），或．解答如下： 如图，作轴，交x轴于点H，交于点， 作，垂足为Q，作轴，交于点，则． 当时，． 点P的坐标为． 点N的坐标为， 点Q的坐标为，点H的坐标为， 点的坐标为． ， ． ， ． ． ，即． ． ，即． 点M的坐标为， 点的坐标为． ，即． 解得或． 变式2（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，正方形的边长为或 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）作轴，垂足为点，设，则：，，根据与的面积相等，推出，列出方程进行求解即可； （3）存在点，使四边形为正方形，如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，设，设直线解析式为，与二次函数解析式联立，消去得到关于的一元二次方程，利用根与系数关系表示出，由为等腰直角三角形，得到，若四边形为正方形，得到，求出的值，进而确定出的长，即为正方形边长． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． ∴设抛物线的解析式为：， 把代入，得：， ∴， ∴； （2）当时，解得：， ∴， ∵， ∴设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴， 作轴，垂足为点，设，则：， ∴， ∵与的面积相等， ∴，即：， ∵， ∴， ∴， 解得：或（舍去）； ∴； （3）存在点，使四边形为正方形， 如图所示，过作轴，过作轴，过作轴，则有与都为等腰直角三角形，， 由（2）可知，直线的解析式为， 设，直线解析式为， 联立得：， 消去得：， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ∵四边形为正方形， ∴， ， 整理得：， 解得：或， 正方形边长为， 或．即正方形的边长为或． 【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法确定函数解析式，根与系数的关系，等腰直角三角形的性质，正方形的性质，勾股定理以及一次函数与二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解本题的关键． ◇难点 1 二次函数的一般式化成顶点式 典例1（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一般式化顶点式，熟练掌握配方法是解答本题的关键． 根据配方法求解即可． 【详解】解： 故选：D． 变式1（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的三种表达形式，正确运用配方法把二次函数的一般式化为顶点式是解题的关键． 运用配方法即可将其化为顶点式． 【详解】解： 故选：C． ◇难点 2 根据二次函数的最值求参数的取值范围 典例1（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是二次函数的增减性及最值问题，当自变量的取值范围在对称轴一边时，则根据增减性求出最值；当自变量的取值范围在对称轴两边时，则顶点取到最大值或最小值．首求先根据函数的对称轴求出a的值，然后根据函数的增减性求出m的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的图象关于直线对称， ∴，解得， 则二次函数， 当时，函数有最小值； ∵当时，y有最小值， ∴， 解得， 故选C． 变式1（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 根据y的取值范围可以求得相应的的取值范围． 【详解】解：∵二次函数， ∴该函数的顶点坐标为，对称轴为：直线， 把代入解析式可得：， 把代入解析式可得：， 所以函数值的取值范围为时，自变量的范围为， 故可得：， 故选：C． 变式2（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据题意可得 ，抛物线开口向上，对称轴为直线，进而分类讨论，根据题意列出方程，解方程，即可得到答案． 【详解】解： ∵ ，抛物线开口向上，对称轴为直线 ①当时，即时， 当时，最大值 则 解得：（舍去） ②当时， 当时，最大值为 解得：（舍去）或 故选：B． ◇难点 3 函数图像综合的识别 典例1（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数与二次函数的图像，熟练掌握一次函数与二次函数的图像特点是解题关键．分两种情况：①当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上；②当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上，由此即可得． 【详解】解：当时，一次函数的图像经过第一、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴正半轴上， 当时，一次函数的图像经过第二、三、四象限；二次函数的图像的开口向上，顶点在轴负半轴上， 观察四个选项可知，只有选项B符合， 故选：B． 变式1（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数图象特征，由反比例图象得为正数是解题的关键． 根据反比例函数图象确定出是正数，然后根据二次函数的开口方向、对称轴、与轴的交点坐标确定出函数图象，从而得解． 【详解】解：当时，反比例函数图象位于第一、三象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴负半轴， ， 二次函数图象开口向上， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，只有选项符合． 当时，反比例函数图象位于第二、四象限， ， ， 二次函数与轴的交点在轴正半轴， ， 二次函数图象开口向下， 对称轴为直线， 对称轴在轴左边， 观察各选项，没有选项符合． 故选：A ． ．变式2 （2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数图象，一次函数图象和反比例函数图象综合，根据一次函数和反比例函数图象经过的象限可得到，，则，则可得到二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧，据此可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、三、四象限， ∴， ∵反比例函数的图象经过第一、三象限， ∴， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴z在y轴右侧， ∴只有D选项中的函数图象符合题意， 故选：D． ◇难点 4 二次函数与几何综合 典例1（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 【答案】(1)点的横坐标为 (2)证明见解析 (3)或 【分析】（1）把代入可得，再进一步求解即可. （2）先求解，，结合，，再进一步计算即可. （3）先求解，，，可得，，，再分三种情况讨论即可. 【详解】（1）解：∵二次函数图象过点， ∴， 解得：， ∴二次函数为， ∴， ∴点的横坐标为. （2）解：∵点和在函数图象上， ∴，， ∵， ， ∴. （3）解：在函数中， 当时，， ∴， ∵，二次函数图象的顶点为，对称轴与轴交于点 ∴，， ∴，，， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，则， 解得：（舍去），， 当时，∴，，则和重合，舍去， 当时，则， 解得：（舍去），，， 综上：或. 【点睛】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，等腰三角形定义，两点间的距离公式等，解题的关键是分类讨论思想的应用． 变式1（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，② (3)存在，， 【分析】本题考查了二次函数综合题，需要综合运用抛物线与x轴的交点，待定系数法求二次函数解析式，勾股定理等． （1）将、代入得方程组，解方程组即可； （2）①令，则，解方程即可求出点A的坐标； ②根据图象可知，当时，即抛物线在轴下方的部分，根据A，B两点的坐标即可得出结论； （3）设点P的坐标为，先由两点间的距离公式得，，，再分两种情况讨论：当为斜边时，则； 当为斜边时，则；分别解方程即可． 【详解】（1）解：将、代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； （2）解：①令，则， 解得或， ∴点A的坐标为； ②根据图象可知，当时，x的取值范围为， 故答案为：； （3）解：设点P的坐标为， ∵，， ∴，，， ∵是以为直角边的直角三角形， ∴分以下两种情况讨论： 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴； 当为斜边时，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，存在符合条件的P点，，． 变式2（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）设抛物线的解析式为，把代入解析式，解方程求出的值即可； （2）设，则，表示出四边形的周长，根据二次函数的最值即可求解； （3）过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K，证明，再求解，求出直线的解析式为，得到，设，求出，，，分两种情况：①当时，②当时，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：∵抛物线与x轴交于，两点， 设抛物线的解析式为， 把代入解析式，得， 解得：， ∴抛物线的解析式为：，即； （2）解：∵抛物线的解析式为：， ∴抛物线图象的对称轴为：， 设， ∵轴， ∴， ∵过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的周长 ， ∵， ∴当时，四边形的周长最大，则， ∴当四边形的周长最大时，点D的坐标为； （3）解：过C作垂直抛物线对称轴于H，过N作轴于K， ∴， 由翻折得， ∵． ∴， ∴， ∵对称轴于H， ∴轴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵抛物线的解析式为：， ∴对称轴为， ∴， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， ∴， 解得：， ∴直线的解析式为：， 将代入，则， ∴， 设， ∴，，， 分两种情况： ①当时，， ∴， 解得：， ∴； ②当时，， ∴ 解得：， ∴点的坐标为； 综上，所有符合条件的点P的坐标为或． 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数与坐标轴的交点坐标问题，二次函数的性质，对称轴的性质，二次函数与直角三角形，勾股定理的应用，清晰的分类讨论是解本题的关键． 变式3（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】(1)0， (2)①4；②且 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质、二次函数与一次函数综合应用等知识，解题关键是运用数形结合和分类讨论的思想分析问题． （1）分别将，代入抛物线解析式，即可获得答案； （2）①结合题意，分别确定点的坐标，即可获得答案；②首先确定，再分和两种情况分析求解即可． 【详解】（1）解：将点代入，抛物线， 可得， ∴该抛物线解析式为， 将点代入，抛物线， 可得，解得； （2）①若，则该抛物线及直线解析分别为，， 当时，可有点， 如下图， ∵轴， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴； ②当点P从点O运动到点的过程中， ∵轴，， ∴， 将代入，可得，即， 将代入，可得，即， ∴， 令，即，解得或， 若，可有，即点在轴右侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向下，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的增大而增大， 则，解得， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为，不符合题意； 若，可有，即点在轴左侧，如下图， 当时，可有，其图像开口向上，对称轴为， 若的长随的长的增大而增大，即的长随的减小而增大， 则，解得， ∴． 综上所述，a的取值范围为且． ◇测能力 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 【答案】D 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴抛物线的开口向下，对称轴为直线，当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是； 当时，， ∴顶点坐标是； 综上：只有选项D正确； 故选D． 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了二次函数的顶点坐标，一次函数的性质，公式法进行解一元二次方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得出顶点坐标为，再把代入，得出，运用公式法进行解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴对称轴为直线， 把代入， 得， 即顶点坐标为， ∵抛物线的顶点在直线上， ∴， 整理得， 则， ∴， ∴ 故答案为：或． 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，以及图象的翻折变换，图象的翻折变化对函数图象的影响变化，正确分析变换前后点的坐标，函数的最值，以及增减性是解决本题的关键． 先求出二次函数翻折前图象与轴的交点坐标，即可求解翻折后图象与轴的交点坐标，判断A选项即可；根据图象可知函数的最大值，判断B选项即可；求解出二次函数与轴的交点坐标，求解距离判断C选项；根据函数图象即可判断D选项． 【详解】解：A选项，二次函数， 令，解得， ∴原二次函数与轴的交点坐标为， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标是，A选项错误； B选项，二次函数， 对称轴为， 将代入函数解析式可得， ∴原二次函数顶点坐标为， 翻折后新函数图象的对称轴不变，为， 在处，函数没有最大值，B选项错误； C选项，二次函数， 令，则有， 即，解得，， ∴原二次函数与轴的交点坐标为，， 翻折后新函数图象与轴的交点坐标不变，为，， ∴图象与轴两个交点之间的距离为，C选项正确； D选项，新函数图象的对称轴为， 由图象可知，函数在时，的值随值的增大而减小， 当时，的值随值的增大而增大，D选项错误． 故选：C ． 4．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了比较二次函数值的大小，根据解析式可得开口向下，对称轴为直线，则离对称轴越近，函数值越大，据此求出三个点到对称轴的距离即可得到答案． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴为， ∴离对称轴越近，函数值越大， 点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为；点的横坐标与的距离为． ∵， ∴， 故选C． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象开口，对称轴直线，最值的计算方法是关键． 根据题意得到图象开口向上，对称轴直线为，，则，当时，代入计算可判定①；根据二次函数与直线的位置关系可判定②；根据题意得到，可判定③；根据函数最小值的大小可判定④；由此即可求解． 【详解】解：二次函数与轴交于点、，图象开口向上， ∴对称轴直线为，， ∴， 当时，， ∴，即， ∴， ∴，故①正确； 图象开口向上，对称轴直线为， ∴当时，函数有最小值，最小值轴的下方， ∴抛物线与直线两个不同的交点， ∴方程有两个不相等的实数根，故②错误； ∵二次函数与轴交于点，其中， ∴当，， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得，，故③正确； 当时，函数有最小值，最小值为，， ∴， ∴，故④正确； 综上所述，正确的有①③④，错误的有②， ∴错误的有1个， 故选：A ． 6．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 7．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 【答案】(1)抛物线的顶点坐标为 (2) (3) 【分析】本题考查二次函数图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键： （1）把点代入函数解析式，进行求解即可； （2）根据点N到y轴的距离小于4，得到，根据二次函数的增减性，进行求解即可； （3）由题意，得到平移后的直线的解析式为，联立两个解析式，得到，根据直线与抛物线有2个交点，得到，再根据时，直线和抛物线的两个交点恰好在对称轴上，即可得出结果． 【详解】（1）解：把代入抛物线，得 解得． ∴． ∴抛物线的顶点坐标为． （2）∵， ∴抛物线的开口向上，抛物线的对称轴为直线， ∴抛物线上的点离对称轴越远，函数值越大， ∵点在抛物线上，点N到y轴的距离小于4， ∴， ∴当时，最小为，当时，最大为， ∴； （3）∵直线向下平移个单位长度， ∴平移后直线解析式为． 由得，即． ∵直线与抛物线有两个交点， ∴方程有两个不相等的实数根． ∴． 解得． 又当时，， 解得， ∴直线与抛物线的两个交点为，恰好在坐标轴上， ∴的取值范围为． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． 【答案】(1)2 (2)见解析 (3)或 【分析】本题考查二次函数的图象和性质，根的判别式，掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入，解关于m的方程即可； （2）通过判别式判断二次函数图像与x轴交点情况； （3）根据二次函数的对称轴和增减性，确定p的取值范围． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 故答案为：2； （2）解：， ， ， ， 该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； （3）解：的对称轴为直线， 二次项系数， 二次函数图像开口向上， ， 点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离， ， 即， 或． ◇提能力 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2) (3)存在；， 【分析】本题考查旋转的性质，二次函数的图象和性质，二次函数的综合应用，正确的求出函数解析式，利用数形结合和分类讨论的思想进行求解，是解题的关键： （1）根据旋转的性质，二次函数的对称轴公式进行计算即可； （2）根据二次函数的增减性，列出方程求出的值即可； （3）分为对角线，为对角线，为对角线，三种情况进行讨论求解即可． 【详解】（1）解：∵点A的坐标是， ∴， ∵以原点为中心，把点A顺时针旋转， ∴， 此时点在轴正半轴上， ∴； ∵， ∴对称轴为直线； （2）∵，对称轴为直线， ∴当时，随的增大而减小， ∵， ∴当，有最大值为， ∴， ∴； （3）存在； ∵， ∴当时，， ∴， 设，， 由（1）知：； 当以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形时，分三种情况： ①当为对角线时，则为以为顶点的直角三角形，，即轴，， ∴轴， ∴轴， ∴，； ②当以为对角线时，则：，解得， ∴，， ∵， ∴，解得； ∴； ③当以为对角线时，要满足，P，M，N为顶点的四边形是矩形，则需要满足是以为直角的直角三角形，即轴，与题意不符；故此种情况不存在； 综上：或． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式． 【答案】(1) (2)2或 (3) 【分析】本题主要考查了二次函数与一次函数的交点问题，二次函数综合，熟知二次函数的相关知识是解题的关键． （1）联立两函数解析式，并求出对应的解即可得到答案； （2）设，则，，可得，，根据，可得，解方程即可得到答案； （3）设，设直线解析式为，利用待定系数法可得，进而可得；求出直线解析式为，得到，同理可得，进一步可得，则，根据，可得，据此可得，，，即直线解析式为． 【详解】（1）解：联立，解得或， ∴； （2）解：设， ∵抛物线解析式为， ∴抛物线对称轴为y轴， ∵轴，轴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴点P的横坐标为2或； （3）解：设， 设直线解析式为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 设直线解析式为， ∴， ∴， ∴直线解析式为， 在中，当时，， ∴， 同理可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或（此时的面积相等，不符合题意）， ∴， ∴或（舍去）， ∴， ∴， ∴直线解析式为． 4 / 76 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章 函数 第05讲 二次函数的图像与性质 目 录 目标导图👉构建知识脉络 考点深解👉速通命题要点 考点1 二次函数的相关概念 考点2 二次函数的图像与性质 考点3 二次函数与各项系数之间的关系 考点4 二次函数与方程﹑不等式 命题突破👉破解常考题型 题型1 根据二次函数解析式判断其性质 题型2 根据二次函数的图像与性质求解 题型3 求二次函数解析式 题型4 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 题型5 以开放性试题的形式考查二次函数的图像与性质 题型6 二次函数的平移变换问题 题型7 二次函数的对称变换问题 题型8 根据二次函数的对称性求参数取值范围 题型9 二次函数的最值问题 题型10 根据二次函数的最值求参数取值范围 题型11 根据二次函数的增减性求参数取值范围 题型12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 题型13 二次函数的图像与各项系数符号 题型14 函数图像综合 题型15 已知一元二次方程根的分布情况求参数 题型16 二次函数与坐标系交点问题 题型17 二次函数与方程、不等式 题型18 二次函数与三角形相结合的应用方法 难点攻坚👉攻克易错难点 难点1 二次函数的一般式化成顶点式 难点2 根据二次函数的最值求参数取值范围 难点3 函数图像的下综合识别 难点4 二次函数与几何图形综合 练测提能👉效果及时检测 测能力/提能力 ◇考点 1 二次函数的相关概念 1.二次函数的概念：一般地，形如 (a≠0，其中a，b，c是常数)的函数叫做二次函数. 其中，x是自变量，a，b，c分别是函数解析式的二次项系数、一次项系数和常数项. 【注意】 二次函数除了一般式y=ax²+bx+c（a,b,c是常数，a≠0）外，还有y=ax²，y=ax²+bx，y=ax²+c特殊形式 2. 常见的二次函数的解析式三种形式； 一般式：(a≠0) 顶点式：(a≠0),(h,k)是二次函数的顶点坐标，对称轴为直线 x=h，最值为 k（a>0 时为最小值，a<0 时为最大值）。 交点式： ◇考点 2 二次函数的图像与性质 函数 二次函数（a、b、c为常数，a≠0） 图象 开口方向 向上 向下 对称轴 直线 直线 顶点坐标 增减性 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而减小；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而增大．简记：左减右增 在对称轴的左侧，即当时，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，即当时，y随x的增大而减小．简记：左增右减 最大(小)值 抛物线有最低点，当时，y有最小值， 抛物线有最高点，当时，y有最大值， ◇考点 3 二次函数与各项系数之间的关系 系数/组合 作用 关键结论 a 决定开口方向、大小 a>0 开口向上；a<0 开口向下∣a∣ 越大，开口越小 c 决定与y轴交点 交点(0,c)：c>0正半轴；c<0负半轴；c=0过原点 a﹑b 决定对称轴位置 ab>0对称轴在y轴左侧；ab<0右侧；b=0对称轴为y轴（口诀：左同右异) a﹑b﹑c 决定与x轴交点个数 判别式 Δ=b²−4ac： Δ>0，2个交点； Δ=0，1个交点； Δ<0，无交点 特殊值 判断图象过定点 x=1 时，y=a+b+c；x=−1 时，y=a−b+c ◇考点 4 二次函数与方程﹑不等式 1.与一元二次方程的关系 一元二次方程 ax2+bx+c=0的解↔抛物线与x轴交点的横坐标。 判别式 Δ=b²−4ac 抛物线与x轴交点个数 方程 ax²+bx+c=0 的根 Δ>0 两个不同的交点 有两个不相等的实数根 Δ=0 1 个交点（顶点在x轴上） 有两个相等的实数根 Δ<0 无交点 方程误解 3. 与不等式关系 b2-4ac b2-4ac>0 b2-4ac<0 图象 不等式 ax2＋bx＋c>0 ax2＋bx＋c<0 1.忽略a的符号，直接套用“>0 取两边，<0 取中间”(仅适用于 a>0)0忘记等号，漏写交点坐标; 2.Δ<0 时，误判为“需要找交点”，实际无需考虑交点，直接根据开口方向判断。 ◇题型 1 根据二次函数的解析式判断其性质 典例1（2024·黑龙江哈尔滨·中考真题）二次函数的最小值是（   ） A． B．1 C．2 D．3 变式1（25-26九年级上·福建南平·月考）关于抛物线，下列说法正确的是（    ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．顶点坐标是 D．时，y随x增大而增大 ◇题型 2 根据二次函数的图像与性质求解 典例1（2025·辽宁·一模）如图，二次函数的图象与x轴的两个交点分别为对于下列命题：①；②； ③④，其中正确的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 变式1（2025·陕西·模拟预测）已知二次函数（，，为常数，且）的自变量与函数的几组对应值如下表： … … … … 则下列关于这个二次函数的结论正确的是（   ） A．图象的开口向上 B．图象经过第二、三、四象限 C．当时，的值随的值增大而增大 D．图象的对称轴是直线 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，且关于x的一元二次方程没有实数根，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 ◇题型 3 求二次函数解析式 典例1（2025·广东肇庆·三模）抛物线如图所示，则它的解析式是 ． 解｜题｜技｜巧 一般式：(a≠0)，已知二次函数图象上3个普通点的坐标 顶点式；(a≠0),已知二次函数图象顶点坐标，且已知另一个点的坐标。。 交点式：已知二次函数图象与 x 轴的两个交点坐标，且已知另一个点的坐标。 变式1（2025·山西长治·二模）行驶中的汽车，在刹车后由于惯性的作用，还要继续向前滑行一段距离才能停止，这段距离称为“刹车距离”．通过查阅资料发现，在沥青路面上，某种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的部分对应值如下表： 刹车时车速（km/h） 0 10 20 30 40 50 … 刹车距离（m） 0 8 … 那么这种型号汽车的刹车距离s与刹车时速度v之间的关系式为： ． 变式2（2025·河南平顶山·二模）已知二次函数 (1)若该二次函数图象过点，求a的值． (2)请直接写出此抛物线的对称轴． (3)当时，y的最大值是6，求a的值． ◇题型 4 画二次函数y=ax²+bx+c的图像 典例1（2025·上海崇明·模拟预测）已知二次函数的解析式为． (1)用配方法把该二次函数的解析式化为的形式； (2)选取该条抛物线与x轴的交点坐标、顶点坐标和下表中已给的部分数据，在如图所示的平面直角坐标系内描点，画出该函数的图像． x … 1 3 … y … … 变式12025·河南·中考真题）在二次函数中，与的几组对应值如下表所示． … 0 1 … … 1 … (1)求二次函数的表达式． (2)求二次函数图象的顶点坐标，并在给出的平面直角坐标系中画出二次函数的图象． (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请直接写出的值． 变式2（2025·广东深圳·二模）综合与实践 在学习完二次函数后，创新学习小组对一个二次函数的顶点特征展开了如下探究： (1)①列表：填写表格，表格中的与的值分别是____，____； 的值 ．．．．．． ．．．．．． 的顶点横坐标 ．．．．．． 1 2 3 ．．．．．． 的顶点纵坐标 ．．．．．． 0 3 4 0 ．．．．．． ②描点：随着取不同值，请将的顶点描在下面的平面直角坐标系中； ③连线：用光滑的曲线顺次连接各点； (2)①猜想：随着取不同值，的顶点形成的图象的表达式是___________；②请验证你的猜想； (3)若抛物线与轴有两个不同的交点，请求出的取值范围． ◇题型 5 以开放性试题的形式考察二次函数的图像与性质 典例1（2025·广东·中考真题）已知二次函数的图象经过点，但不经过原点，则该二次函数的表达式可以是 ．（写出一个即可） 变式1写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式 ． ◇题型 6 二次函数的平移变换问题 典例1（2025·上海·中考真题）将函数的图像向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为 ． 变式1（2024·江苏南通·中考真题）将抛物线向右平移3个单位后得到新抛物线的顶点坐标为（    ） A． B． C． D． 变式2（2024·江苏徐州·中考真题）在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向下平移5个单位长度，所得抛物线与x轴有两个公共点P、Q，则 ． 变式3（2024·山东济宁·中考真题）将抛物线向下平移k个单位长度．若平移后得到的抛物线与x轴有公共点，则k的取值范围是 ． ◇题型 7 二次函数的对称变换问题 典例1（2025·上海嘉定·一模）已知某二次函数一部分自变量和函数值的对应情况如右表所示，根据表中信息可知这个函数图像的对称轴是直线 ． … 1 2 4 … … 11 1 11 43 … 变式1（2025·贵州·模拟预测）已知二次函数的图象如图所示，则该二次函数图象的对称轴为（   ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 变式2．（2025·河南周口·一模）已知二次函数函数值y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … m 1 2 1 0 … 其中m的值是（   ）． A．2 B．1 C．0 D． ◇题型 8 根据二次函数的对称性求参数取值范围 典例1（2025·内蒙古·模拟预测）抛物线经过四点，且 ，若存在正数，使得当时，总有成立，则正数的取值范围是（    ） A． B． C．或 D．或 变式1（2025·福建宁德·二模）已知二次函数，当时，函数值；当时，．若点，都在函数上，且，则的取值范围是 ． 变式2（2025·江苏无锡·二模）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图象上，二次函数的图象与轴交于、两点，且，则的取值范围为 ． ◇题型 9 二次函数最值问题 典例1（2025·江苏淮安·中考真题）若，则的最大值是 ． 变式1（2025·江苏徐州·中考真题）二次函数的最小值为 ． 变式2（2025·甘肃酒泉·三模）已知，，为非负实数，且，则代数式的最小值为（   ） A． B． C． D． ◇题型 10 根据二次函数的最值求参数/取值范围 典例1（2025·山东临沂·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值；当时，函数取得最小值，则的取值范围是 ． 解｜题｜技｜巧 1.顶点式优先:将一般式转化为顶点式y=α(x-h)²+k，方便快速确定顶点坐标和最值; 2.数形结合:画出抛物线草图，标注顶点和区间范围，直观判断最值位置; 3.分类讨论的“先分后合”:分情况讨论后，将符合条件的解取并集;若有开口方向等限制条件，取交集4.特殊值验证:求出参数范围后，代入特殊值验证是否符合最值条件。 变式1（2025·内蒙古·模拟预测）若二次函数，，当时，函数的最小值是m，函数的最小值是n，则 ． 变式2（2025·陕西榆林·二模）已知二次函数，当时，函数取得最大值，且函数的最小值为，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． ◇题型 11 根据二次函数的增减性求参数的取值范围 典例1（2025·内蒙古呼和浩特·模拟预测）已知二次函数为常数的图象与轴有交点，当时，随的增大而增大，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式12025·陕西西安·模拟预测）已知二次函数（为常数）的图象与x轴有交点，当时，y随x的增大而增大，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·陕西西安·二模）已知抛物线，当时，，且当时，y随x的增大而减小，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． ◇题型 12 根据二次函数自变量/函数值的取值范围求函数值/自变量的取值范围 典例1（2025·浙江杭州·模拟预测）设函数，若，则的取值范围为 ． 变式1（2025·江苏盐城·中考真题）已知二次函数，当自变量满足时，的取值范围是 变式2（2025·浙江·模拟预测）已知抛物线经过和两点，若，则的取值范围是 ． ◇题型 13 二次函数图像与各项系数符号 典例1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如图，二次函数的图象与轴交于两点，，且．下列结论：①；②；③；④若和是关于的一元二次方程 的两根，且，则，；⑤关于的不等式 的解集为．其中正确结论的个数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 解｜题｜技｜巧 1.混淆对称轴与b的直接关系:直接根据对称轴在左或右判断b的符号，忘记结合a的符号(如对称轴在右侧，b可能正也可能负，取决于a) 2.忽略α的符号对不等号的影响:在推导 2a+b等代数式时，移项时忘记改变不等号方向如a<0时，不等式两边乘a，不等号方向改变) 3.误判特殊点的函数值:认为x =1时的函数值一定大于0，忽略图像可能在x =1处位于 x 轴下方 4.忘记 c=0 的情况:认为与 y轴的交点一定在正半轴或负半轴，忽略过原点的情况。 变式12025·四川凉山·中考真题）二次函数的部分图像如图所示，其对称轴为，且图像经过点，则下列结论错误的是（    ） A． B． C．若且，则 D．若两点都在抛物线的图像上，则 变式2（2025·江苏徐州·中考真题）如图为二次函数的图象，下列代数式的值为负数的是 （写出所有正确结果的序号）． ①a；②；③c；④；⑤． 变式3（2024·甘肃甘南·中考真题）已知二次函数的图象如图所示，有下列5个结论：①；②；③；④；⑤，（的实数）．其中正确结论个数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ◇题型 14 函数图像综合 典例12024·内蒙古·中考真题）在同一平面直角坐标系中，函数和的图象大致如图所示，则函数的图象大致为（    ） A．B．C． D． 变式1．（2024·四川自贡·中考真题）一次函数，二次函数，反比例函数在同一直角坐标系中图象如图所示，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·山东青岛·模拟预测）已知一次函数的图象如图所示，则反比例函数和二次函数在同一坐标系中的图象可能是（     ） A．B．C． D． ◇题型 15 已知一元二次方程的分布的情况求参数 典例12025·河南南阳·二模）二次函数（，，，为常数)的图象如图所示，若关于的一元二次方程 有实数根，则的取值范围是 ． 变式1（2025·湖南永州·模拟预测）已知函数的大致图象如图所示，当关于的方程（为实数）时，恰有4个不相等的实数根，则的取值范围是 ． 变式2（2024·山东聊城·二模）如图，抛物线的顶点坐标是，若关于的一元二次方程无实数根，则的取值范围是 ． ◇题型 16 二次函数与坐标系交点问题 典例1（2025·辽宁·一模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点A，B，点C在抛物线上，其坐标为，若，则点B的坐标为（  ） A． B． C． D． 变式1（2025·黑龙江哈尔滨·二模）抛物线与轴的交点坐标是（   ） A． B． C． D． 变式2（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）抛物线与轴交于点，与轴交于点，，则线段长是 ． ◇题型 17 二次函数与方程﹑不等式 典例12025·江苏无锡·模拟预测）如图，二次函数与一次函数的图象交于点和原点O，则关于x的不等式的解集是 ． 变式1（2025·山东滨州·二模）抛物线与直线相交于点和点.则当时，的取值范围是（  ） A． B． C． D．或 变式2（2025·山东滨州·模拟预测）已知关于的方程的解为，，则抛物线与直线的两个交点，的坐标（如图）分别为 ． ◇题型 18 二次函数与三角形相结合的应用方法 典例1（2025·宁夏·中考真题）如图，抛物线与轴负半轴交于点，与轴交于点，顶点的横坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)如图1，将直线沿轴向上平移个单位长度，当它与抛物线有交点时，求的取值范围； (3)如图2，抛物线的对称轴交直线于点，交轴于点，连接．抛物线上是否存在点（不与点重合），使得．若存在，直接写出点的横坐标；若不存在，说明理由． 解｜题｜技｜巧 解题步骤 ①建系 / 定坐标：确定二次函数解析式，标出已知点坐标； ②设动点坐标：若点在抛物线上，用含x的式子表示y； ③转化几何条件：把三角形的性质（等腰、直角、面积最值）转化为代数方程； ④解方程 / 求最值：计算并检验解是否符合题意（如是否在指定范围内）； ⑤总结答案：写出符合条件的点坐标或最值。 变式1（2025·江苏苏州·中考真题）如图，二次函数的图像与x轴交于两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，作直线为二次函数图像上两点． (1)求直线对应函数的表达式； (2)试判断是否存在实数m使得．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由． (3)已知P是二次函数图像上一点（不与点重合），且点P的横坐标为，作．若直线与线段分别交于点，且与的面积的比为，请直接写出所有满足条件的m的值． 变式2（2025·四川资阳·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于两点（点在点的左边），与轴相交于点，且抛物线的顶点坐标为． (1)求抛物线的表达式； (2)是抛物线上位于第四象限的一点，点，连接相交于点，连接．若与的面积相等，求点的坐标； (3)是抛物线上的两个动点，分别过点作直线的垂线段，垂足分别为．是否存在点，使得以为顶点的四边形是正方形？若存在，求该正方形的边长；若不存在，说明理由． ◇难点 1 二次函数的一般式化成顶点式 典例1（2025·山西大同·一模）将二次函数化为的形式为（   ） A． B． C． D． 变式1（2024·山西吕梁·模拟预测）用配方法将二次函数化为的形式为（    ） A． B． C． D． ◇难点 2 根据二次函数的最值求参数的取值范围 典例1（2025·四川绵阳·一模）已知二次函数的图象关于直线对称，当时，y有最小值，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式1（2025·内蒙古·模拟预测）对于二次函数，当自变量满足时，函数值的取值范围为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式2（2025·河南周口·三模）二次函数 在范围内有最大值，则的值为（   ） A． B． C． D．或 ◇难点 3 函数图像综合的识别 典例1（2025·河南周口·一模）在同一坐标系中，一次函数与二次函数的图像可能是（    ） A．B．C． D． 变式1（2025·安徽合肥·三模）二次函数与反比例函数（是常数，且）在同一平面直角坐标系中的大致图象是（　　） A．B．C．D． ．变式2 （2025·安徽阜阳·三模）一次函数与反比例函数的图象如图所示，则二次函数的图象可能是（    ） A．B．C．D． ◇难点 4 二次函数与几何综合 典例1（2025·江苏无锡·中考真题）已知二次函数图象的顶点为，与轴交于点，对称轴与轴交于点． (1)若该函数图象经过点，求点的横坐标； (2)若，点和在该函数图象上，证明：； (3)若是等腰三角形，求的值． 变式1（2025·青海·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点，点B的坐标为，点在抛物线上． (1)求抛物线的解析式； (2)①求点A的坐标； ②当时，根据图象直接写出x的取值范围________； (3)连接交y轴于点D，在y轴上是否存在点P，使是以为直角边的直角三角形，若存在，请直接写出所有符合条件的点P坐标，若不存在，请说明理由． 变式2（2025·山东东营·中考真题）已知抛物线与x轴交于，两点，与y轴交于点． (1)求出抛物线的解析式； (2)如图1，点D是抛物线上位于对称轴右侧的一个动点，且点D在第一象限内，过点D作x轴的平行线交抛物线于点E，作y轴的平行线交x轴于点G，过点E作轴，垂足为点F，当四边形的周长最大时，求点D的坐标； (3)如图2，点M是抛物线的顶点，将沿翻折得到，与y轴交于点Q，在对称轴上找一点P，使得是以为直角边的直角三角形，请直接写出点P的坐标． 变式3（2025·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，抛物线经过点O和点． (1)求c的值，并用含a的式子表示b； (2)过点作x轴的垂线，交抛物线于点M，交直线于点N． ①若，，求的长； ②已知在点P从点O运动到点的过程中，的长随的长的增大而增大，求a的取值范围． ◇测能力 1．（2025·四川攀枝花·中考真题）关于抛物线，下列说法正确的是（   ） A．开口向上 B．对称轴是直线 C．与轴的交点坐标是 D．顶点坐标是 2．（2025·广东广州·中考真题）若抛物线的顶点在直线上，则m的值为 ． 3．（2025·山东青岛·中考真题）将二次函数的图象在轴下方的部分以轴为对称轴翻折到轴上方，得到如图所示的新函数图象，下列对新函数的描述正确的是（   ） A．图象与轴的交点坐标是 B．当时，函数取得最大值 C．图象与轴两个交点之间的距离为 D．当时，的值随值的增大而增大 4．（2025·山东威海·中考真题）已知点都在二次函数的图象上，则的大小关系是（　　） A． B． C． D． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）如图，二次函数与轴交于点、，与轴交于点，其中．则下列结论： ①；②方程没有实数根；③； ④． 其中错误的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 6．（2025·四川南充·中考真题）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 7．（2025·山东滨州·中考真题）在平面直角坐标系中，已知点在抛物线上． (1)求抛物线的顶点坐标； (2)点在抛物线上，若点N到y轴的距离小于4，请直接写出b的取值范围． (3)把直线向下平移个单位长度后与抛物线的两个交点都在第四象限，求n的取值范围． 8．（2025·江苏淮安·中考真题）已知二次函数（m为常数）． (1)若点在该函数图像上，则 ； (2)证明：该二次函数的图像与x轴有两个不同的公共点； (3)若该函数图像上有两个点、，当时，直接写出p的取值范围． ◇提能力 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，以P为顶点的抛物线的解析式为，点A的坐标是，以原点为中心，把点A顺时针旋转，得到点． (1)直接写出点的坐标和抛物线的对称轴； (2)当时，y有最大值为，求抛物线的解析式； (3)在(2)的条件下，若点M在y轴上，点N在坐标平面内，是否存在以点，P，M，N为顶点的四边形是矩形？若存在，请直接写出所有符合条件的点N的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2025·湖北武汉·中考真题）抛物线与直线交于两点（在的左边）． (1)求两点的坐标． (2)如图1，若是直线下方抛物线上的点．过点作轴的平行线交抛物线于点，过点作轴的平行线交线段于点，满足，求点的横坐标． (3)如图2，经过原点的直线交抛物线于两点（点在第二象限），连接分别交轴于两点．若，求直线的解析式. 2 / 25 学科网（北京）股份有限公司 $