第五章 圆（单元测试·基础卷）数学鲁教版五四制九年级下册

………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… 此卷只装订不密封 ………………○………………内………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… ………………○………………外………………○………………装………………○………………订………………○………………线………………○……………… … 学校：______________姓名：_____________班级：_______________考号：______________________ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知的半径为，点P到圆心O的距离，则点P（    ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2.下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 3.如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 5.如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 第5题图 第6题图 第7题图 6.如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 7.如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，， 若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 9.如图，是正方形的外接圆，是等边三角形． 若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10.如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，，是的两条弦，若，，，则 ． 第11题图 第12题图 第13题图 12.如图，是的切线，A，B为切点，，则 ． 13.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的深度为，则此管件横截面的半径为 ． 14.如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 第14题图 第15题图 第16题图 15.如图，在中， ，，以为直径作，交于点E． 图中阴影部分的面积为 ． 16.如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，则的值是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 18．（6分）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 19.（8分）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 21.(10分)如图，点是的内心，的延长线与相交于点，与的外接圆相交于点，，连接． (1)求证：； (2)求的长； 22.（10分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（12分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（12分）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 试题 第3页（共8页） 试题 第4页（共8页） 试题 第1页（共8页） 试题 第2页（共8页） 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章圆基础通关（参考答案） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1 3 4 5 6 8 9 10 A B A 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.120 12.80 13.5 14.2 15.2+元 6.g08 三、解答题（共8小题，共72分） 17.(6分) 【详解】解：(1)2,0)，25(4分) 6 2 (6分) 18.(6分)【详解】解：如图，连接AD,(1分) BAB是⊙0的直径， D ∠ACB=∠ADB=90°， .AC=6,BC=8 AB=VAC2+BC2=10(2分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠ACB的平分线交O0于点D, :LDCA=∠BCD, .AD=BD' :AD=BD,(4分) :在Rt△ABD中，AD2+BD2=AB2,AB=10, :2BD2=100, BD=5√2.(6分) 19.(8分)【详解】(1)证明：连接0C,(1分) B :CD是OO的切线， .OC⊥CD,即L0CD=L0CB+LDCB=90°， :AB是O0的直径， .∠ACB=∠0CB+∠AC0=90° .LAC0=∠BCD(2分) :A0=C0 .∠AC0=∠0AC .∠BAC=∠BCD;(4分) (2)解：：0C=0A=2,设BD=x, 则0D=2+x 在Rt△0CD中，OC2+CD2=OD2 即22+2V3)=(2+x2(7分) 解得x=2或x=-6(舍去) .BD=2.(8分) 20.(8分)【详解】(1)解：由旋转可知∠DAC=30°，AD=AC, ∠ADC=180°-∠CMD)=75°，1D0C=21C4D=60°， :∠0CD=180°-∠ADC-∠D0C=45°，(2分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 OC=OE .∠0EC=∠0CE=45°， .∠E0C=90°.(4分) (2)解：由(1)可知∠E0C=90°， :r=0B=2V2, :S扇形oEc 90°×πx(2√2)2 =2π，(6分) 360° :5ace-号x0E×0c-x22x2w5=4. S阴影=S扇形0Ec-SoEc=2π-4.(8分) 21.(10分)【详解】(1)证明：点I是ABC的内心， :AI,CI分别平分∠BAC,LACB, .LBAD=∠CAD,LACI=∠BCI, ZBCD ZBAD .∠BCD=∠CAD,(3分) :∠DIC=∠CAI+∠ACI,∠DCI=∠BCD+∠BCI, .LD1C=LDC1,(4分) .CD=ID;(5分) (2)解：：A1=21D=10, 1D=5, 由(1)可得CD=ID=5,∠DCF=∠DAC, .AD=A1+ID=15,(6分)》 又∠FDC=∠CDA, .△FDCm△CDA,(7分) 0器即骆g 155,(9分) r=号10分 22.(10分)(1)证明：连接0C,如图所示：(1分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C F D :AD是O0的直径， B ∠ACD=90°， :LADC+∠CAD=90°，(2分) 又：0C=0D, ·∠ADC=L0CD,(3分) 又：∠DCF=∠CAD. :∠DCF+∠0CD=90°，即OC⊥FC,(4分) .FC是00的切线；(5分) 3 (2)解：：∠B=LADC,cosB= cos∠ADC=3】 5 在RIA ACD中，cos∠ADC=3_CD」 5AD’AD=10, :CD=ADos∠ADC=10×=6,则AC=√AD2-CD2=8, 5 CD 3 4c=4,(6分) '∠FCD=∠FAC,∠F=∠F, △FCDn△FAC, 0肾1分 设FD=3x,则FC=4x,AF=3x+10, FC2=FD·FA,即(4x)2=3x(3x+10), 解得x=30或=0（舍去，（9分) .(10分) FD=3x=90 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 23.(12分) 【详解】(1)证明：连接0C,则0B=0C,(1分) ·∠D0C=2∠B, B :∠F=2∠B, :∠D0C=∠F,(2分) :EF⊥BD, :∠D+∠F=90°， :∠D+∠D0C=90°， ∠0CD=90°，(3分) 又：点C在00上， :DF是⊙0的切线；(4分) (2)证明：：点C是⊙0的切点， ∠0CF=∠FCB+∠0CB=90°， .OC=OB, :∠0BC=∠0CB,(5分) 又：FE⊥OB, L0BC+LEGB=90°，∠GEB=90°， LFCB=∠EGB,(6分) 又：∠EGB=LFGC, LFCB=LFGC,(7分) :FC=FG;(8分) (3)解：：A0=2AD=10, AD=5,0C=0B=10, :0D=15,由(1)得∠0CD=90°， CD=V0D2-0C2=5V5.(9分) 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 :∠CD0=∠EDF,LOCD=∠FED=90°， ACDO△EDF, 0C=D0 EF FD ,(10分) 设FG=x, 由(2)可得FC=FG=x, :、10 -15 x+5x+55,(11分) 解得：x=7V5, FG=7√5.(12分) 24.(12分) 【详解】(1)解：连接BG,(1分) G B :AB为OO的直径，弦CD⊥AB, :∠AGB=∠AEF=90°，(2分) .LBAG+LB=LEAF+∠F=90°， .∠B=∠F(3分) :∠ADG=LB .∠ADG=∠F(4分) (2)·CD⊥AB,BC=GC :LGAC=LCAB=∠BAD=∠GDC AC=AD :AC=AD(5分) :∠ACG=∠ADH 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 .∴AAGC2AAHD(ASA), :AG=AH(6分) :·∠ADG=∠F=∠ACG ACAG△FAC,（7分) .AC2=AGAF=AHAF;(8分) (3)连接BD,(9分) :△AGC≌△AHD(ASA), HE D AG=AH=6,CG=DH=2V5,∠HAD=∠GAC .GC=HD=BD,, HE=BE,设HE=BE=x, .ED2 EBEA=DH2-EH2, x(6+x=20-x2 解得：x=2 :DE=CE=4,AD=AC=45 (10) :△CAGAFAC :AG_CG AC CF 6-25 ”45CF :C℉=20 :DF=4+4+ 2044 3=3 (12分) 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知的半径为，点P到圆心O的距离，则点P（    ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 2.下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 3.如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 5.如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 6.如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 7.如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8.如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 9.如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 10.如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，，是的两条弦，若，，，则 ． 12.如图，是的切线，A，B为切点，，则 ． 13.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的深度为，则此管件横截面的半径为 ． 14.如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 15.如图，在中， ，，以为直径作，交于点E． 图中阴影部分的面积为 ． 16.如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，则的值是 ． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 18．（6分）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 19.（8分）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 20．（8分）如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 21.(10分)如图，点是的内心，的延长线与相交于点，与的外接圆相交于点，，连接． (1)求证：； (2)求的长； 22.（10分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 23．（12分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 24．（12分）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 学科网（北京）股份有限公司1 / 16 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年九年级下册数学单元检测卷 第五章 圆·基础通关 建议用时：120分钟，满分：120分 第I卷（选择题） 1、 选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1.已知的半径为，点P到圆心O的距离，则点P（    ） A．在内 B．在上 C．在外 D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查点与圆的位置关系，通过比较点P到圆心的距离与半径的大小即可判断． 【详解】解：∵的半径，， ∴， ∴点P在内． 故选：A． 2.下列说法中，正确的是（    ） A．长度相等的两条弧是等弧 B．三角形的内心一定在三角形内部 C．三角形的重心到三边的距离相等 D．同弦所对的圆周角相等 【答案】B 【分析】本题考查圆的相关概念和性质，以及重心的性质．根据等弧的定义、三角形的内心、重心以及圆周角定理逐一判断即可． 【详解】解：A．等弧需在同圆或等圆中长度相等且能重合，故原说法错误； B．三角形的内心是角平分线的交点，一定在三角形内部，正确； C．三角形的重心是中线交点，到三边的距离不一定相等，故原说法错误； D． 同弦所对的圆周角相等或互补，故原说法错误． 故选B． 3.如图，在的内接四边形中， ，那么的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了圆周角定理和圆内接四边形，关键是掌握圆内接四边形的对角互补． 根据在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半可得，再根据圆内接四边形的性质可得的度数． 【详解】解在的内接四边形中，， ， ， 故选：A． 4.已知圆锥的底面半径为，母线长为，则该圆锥的侧面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆锥侧面积的基本计算，熟记公式是关键；直接应用圆锥侧面积公式计算． 【详解】解：∵圆锥侧面积公式为，其中r为底面半径，l为母线长， ∴． 故选：A． 5.如图，小温将三角板角的顶点落在圆上，量出另两个交点的距离，则的半径为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定，掌握知识点的应用是解题的关键． 连接，，由圆周角定理得，结合推出是等边三角形，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴的半径为． 故选：B． 6.如图，是的两条弦，，垂足为D，若的直径为5，，则的长为（   ） A． B． C．4 D．5 【答案】C 【分析】本题考查了垂径定理和勾股定理等知识，熟练掌握垂径定理，由勾股定理求出的长是解此题的关键．由垂径定理求出，再由勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴，， ∵的直径为5， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 7.如图，是的直径，C，D是上的点，过点C作的切线交的延长线于点E，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是切线的性质，圆周角定理，熟知圆的切线垂直于经过切点的半径是解答此题的关键．连接，根据切线的性质可知，再由直角三角形的性质得出的度数，由圆周角定理即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∴． 故选：A． 8.如图，在中，，是的内切圆，三个切点分别为，，，若，，则的半径是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查切线长定理、三角形的内切圆及勾股定理，解题的关键是理解切线长定理、三角形的内切圆的性质． 根据切线长定理得到，，，代入求解即可得到答案． 【详解】解：连接，， 设的半径为， 在四边形中，， 四边形为矩形， 又因为， 四边形为正方形， 则， 由切线长定理易知：，， ，， 在中，， ， 解得：，（负值舍去）， 故选：A． 9.如图，是正方形的外接圆，是等边三角形．若，则的长度为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形与圆，求弧长；连接，，，，根据圆的性质求得半径，进而根据等边三角形的性质得出，再根据弧长公式，即可求解． 【详解】解：连接，，，， 四边形是正方形， ，， 是的直径，， 点，，三点共线， 是等边三角形， ，， ， ， ，， 的长度为， 故选：C 10.如图，已知扇形，在其内部作一个菱形，其中点D、E分别在、上，点C在上．若，，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了扇形面积与菱形面积的计算，解题的关键是利用菱形性质确定角度，结合三角函数求高，通过“阴影面积扇形面积菱形面积”计算． 连接，由菱形性质得；过作，用含角的直角边等于斜边的一半求；计算扇形与菱形的面积，作差得阴影面积． 【详解】解：连接，过作于． ∵ 四边形是菱形，， ∴ ，， 又， ∴ ， 由得，则， ∴，， 即,解得，即， ∴菱形的面积． 扇形的面积， ∴ 阴影面积， 故选：C． 第II卷（非选择题） 2、 填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11.如图，，是的两条弦，若，，，则 ． 【答案】120 【分析】本题考查弧、弦、圆心角的关系，根据弦，得到圆心角，即可求解 【详解】解：∵，， ∴， ∵，，是的两条弦， ∴， ∴， 故答案为：． 12.如图，是的切线，A，B为切点，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的切线性质，及三角形的内角和、四边形内角和的知识．根据四边形的内角和为，根据切线的性质可知，求出的度数，可将的度数求出． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵是的切线， ∴，即， ∴在四边形中，． 故答案为：． 13.一个圆柱形管件，其横截面如图所示，管内存有一些水（阴影部分），测得水面宽为，水的深度为，则此管件横截面的半径为 ． 【答案】 【分析】本题考查了垂径定理、勾股定理等知识，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．连接，先由垂径定理求出的长，再根据勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：连接，如图所示： 由题意知，， 则， 设的半径为，则， 在中，， ， 解得， ∴此管件横截面的半径为， 故答案为：． 14.如图，在中，若，的直径等于4，则的长为 ． 【答案】2 【分析】本题考查圆周角定理和直角三角形的性质，熟练运用圆周角定理是解题关键． 根据圆周角定理可得，结合是直径，故是含的直角三角形，从而． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， 在直角中，， ∴． 故答案为：2． 15.如图，在中， ，，以为直径作，交于点E． 图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆周角定理，等腰直角三角形的性质，扇形的面积和三角形的面积，正确作出辅助线是解决本题的关键．连接，先根据等腰三角形的性质和三角形的内角和定理可得：，由圆周角定理可得：，，最后由面积和即可解答． 【详解】解：如图，连接，则， ∵，， ∴， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∴图中阴影部分的面积为： ． 故答案为：． 16.如图，是的弦，过圆心作于点，交于点，，点是上异于，的一点，连接，，则的值是 ． 【答案】/0.8 【分析】此题主要考查了勾股定理，圆周角定理，垂径定理的应用，求角的正弦值，连接，由是的弦，，所以，则有，由圆周角定理可得，则，由，设，，则，由勾股定理得，然后求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，连接， ∵是的弦，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（共8小题，共72分） 17．（6分）如图，在正方形网格中建立平面直角坐标系，一条圆弧经过格点，，，该圆弧所在圆的圆心为点P． (1)点P的坐标为_____，的半径为_____． (2)若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径为_____． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题主要考查线段垂直平分线的性质，弧长公式的运用，理解圆心的作图方法，掌握弧长公式的计算是关键． （1）根据圆心到圆弧各点距离相等，结合线段垂直平分线的性质，连接，作线段的垂直平分线，两线的交点即为圆心，结合图形求圆的半径即可； （2）根据网格与勾股定理得到是等腰直角三角形，运用弧长公式得到，由圆的周长公式计算即可． 【详解】（1）解：如图所示，连接，作线段的垂直平分线，两线的交点即为圆心， ∴，， 故答案为：，； （2）解：根据题意，， ∴，则， ∴是等腰直角三角形，， ∴， 设圆锥底面圆的半径为， ∴， 解得，， 故答案为：． 18．（6分）如图，是的直径，是的弦，的平分线交于点D，若，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了直径对的圆周角是直角，弧、弦、圆周角间的关系，勾股定理等知识；连接，由直径对的圆周角是直角，得；由角平分线的定义及弧、弦、圆周角间的关系，得，从而在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， 是的直径， ， ∵ ∴ 的平分线交于点， ， ， ， 在中，，， ， ． 19.（8分）如图，是的直径，C是上一点，过点C的切线交的延长线于点D，连接， ． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】本题考查圆的切线长定理、等腰三角形的性质、勾股定理，熟练掌握圆的切线长定理是解题的关键． （1）连接，根据圆的切线长定理及圆周角定理得到，根据等边对等角证明即可； （2）设，则，根据勾股定理得，解方程即可． 【详解】（1）证明：连接， 是的切线， ，即， ∵是的直径， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：，设， 则 在中， 即 解得或（舍去） ． 20．（8分）如图，内接于，且是的直径，将弦绕点顺时针旋转得到线段，此时点的对应点恰好落在上，连接并延长，交于点，连接． (1)求的度数； (2)若，求图中阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由旋转可知，，则可得，，则，再由，可得，即可得． （2）阴影部分的面积可用求得． 【详解】（1）解：由旋转可知，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：由（1）可知， ∵， ∴， ∵， ∴． 21.(10分)如图，点是的内心，的延长线与相交于点，与的外接圆相交于点，，连接． (1)求证：； (2)求的长； 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了同弧所对的圆周角相等，相似三角形的性质与判定，等腰三角形的判定，三角形内心的定义，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据内心的定义可得，由同弧所对的圆周角相等可推出，则可证明，得到； （2）可求出的长，则可求出的长，证明，得到，据此代值计算即可． 【详解】（1）证明：点是的内心， ∵分别平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 由（1）可得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴． 22.（10分）如图，是的外接圆，是的直径，是延长线上一点，连接，，且．    (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理，解直角三角形及相似三角形的判定与性质，掌握切线的判定方法，直角三角形的边角关系以及相似三角形的性质是正确解答的前提． （1）根据切线的判定，连接，证明出即可，利用直径所得的圆周角为直角，三角形的内角和以及等腰三角形的性质可得答案； （2）由，根据锐角三角函数的意义和勾股定理可得，再根据相似三角形的性质可求出答案． 【详解】（1）证明：连接，如图所示：   是的直径， ， ， 又， ， 又． ，即， 是的切线； （2）解：，， ， 在中，，， ，则， ， ，， ， ， 设，则，， ，即， 解得或（舍去）， ． 23．（12分）如图，是的直径，点为上一点，连接，点在的延长线上，点在上，过点作的垂线分别交的延长线于点，交于点，且． (1)求证：是的切线； (2)求证：； (3)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查圆的切线判定、等腰三角形的判定与性质、直角三角形的性质，通过相似三角形建立方程求是解题关键． （1）连接，利用等腰三角形得，推出；结合得，即，证得是切线； （2）由切线得，结合得；由对顶角，推出，故； （3）由得、，根据勾股定理算；证，设，则，列比例式求解得． 【详解】（1）证明：连接，则， ， ， ， ， ， ， ， 又点在上， 是的切线； （2）证明：点是的切点， ， ∵OC=OB， ， 又， ，， ， 又， ， ； （3）解：， ，， ，由（1）得， ． ，， ， ， 设， 由（2）可得， ， 解得：， ． 24．（12分）如图1，为的直径，弦于点，是上一点，连接并延长，交的延长线于点，连接，其中与交于点． (1)求证：． (2)如图2，若，连接，求证：； (3)在（2）的条件下，已知，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查圆周角定理、垂径定理、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）连接，由为的直径，弦，得，再根据角的关系即可的结论；； （2）根据题意证得，再证得即可得到结论； （3）连结，由及角的关系得，设根据列方程，再根据即可求出的长． 【详解】（1）解：连接， ∵为的直径，弦， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ （2）， ， （3）连接， ， ， ， ∴，设， 解得：      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