专题05 动量（期末复习讲义）高二物理上学期人教版

该高中物理动量专题复习讲义通过表格系统梳理核心考点、复习目标与考情规律，以动量、动量定理、动量守恒定律及碰撞等知识点为框架构建知识体系，运用对比表格呈现弹性与非弹性碰撞的动量和机械能守恒特点，清晰展现重难点分布及内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层设计练习与模型化方法指导，基础通关练巩固物理观念，重难突破练通过“人船模型”“流体问题柱状模型”等培养科学思维，如流体问题结合动量定理与微元法分析推进器推力。综合拓展练整合力学三大观点，助力不同层次学生提升，为教师实施精准复习教学提供有力支持。

专题05 动量（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 动量定理 会用动量定理解释生活中的缓冲现象和处理流体类问题 基础必考点，常出现在小题 碰撞（类碰撞） 掌握弹性碰撞、完全非弹性碰撞并能利用其规律解决碰撞类问题 高频考点 动量守恒的综合应用 掌握动量守恒和能量守恒解决（类）碰撞的多过程问题 高频考点，经常作为压轴题出现。 知识点01 动量 1．定义：物理学中把质量和速度的乘积mv定义为物体的动量，用字母p表示。 2．表达式：p＝mv。 3．单位：kg·m/s。 4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度的方向相同。 知识点02 动量定理 1．冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。定义式：I＝FΔt。 (2)单位：冲量的单位是牛秒，符号是N·s。 (3)标矢性：冲量是矢量，恒力冲量的方向与恒力的方向相同。 2．动量定理 (1)内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 (2)表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。 (3)矢量性：动量变化量的方向与合力的方向相同，也可以在某一方向上用动量定理。 ·易错点：注意冲量与功的区别，动量与动能的区别。 示例： 知识点03 动量守恒定律的理解与应用 1．几个相关概念 (1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。 (2)内力：系统中物体间的作用力。 (3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。 2．动量守恒定律 (1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。 (2)表达式 ①p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。 ②m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 ③Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。 ④Δp＝0，系统总动量的增量为零。 (3)适用条件 ①理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒。 ②近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒。 ③某方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒。 知识点04 弹性碰撞和非弹性碰撞 1．弹性碰撞：系统在碰撞前后动能不变的碰撞。 2．非弹性碰撞：系统在碰撞后动能减少的碰撞。 3．对比分析 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 有损失 完全非弹性碰撞 守恒 损失最大 知识点05 反冲　爆炸 1．反冲现象 (1)在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用的过程中系统的动能增大，且常伴有其他形式的能向动能的转化。 (2)反冲运动的过程中，一般合力为零或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可认为系统的动量守恒，可利用动量守恒定律来处理。 2．爆炸问题 爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且远大于系统所受的外力，所以系统动量守恒，爆炸过程中位移很小，可忽略不计，爆炸后物体从相互作用前的位置以新的动量开始运动。 题型一 应用动量定理分析变质量问题的技巧 解｜题｜技｜巧 流体类问题分析步骤 (1)建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S。 (2)微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρSvΔt。 (3)建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体，即FΔt＝ΔmΔv。 微粒类问题分析步骤 (1)建立“柱体”模型，沿速度v的方向选取一段微元，其横截面积为S。 (2)微元研究，作用时间Δt内一段微元的长度为Δl＝vΔt，对应的体积为ΔV＝SvΔt，则微元内的粒子数N＝nvSΔt。 (3)应用动量定理研究微元内的粒子，建立方程求解，即FΔt＝NmΔv。 易｜错 注意正方向的选取且动定理中各物理量的正负。 【典例1】（24-25高二下·福建·期末）我国空间站天和核心舱配备了四台全国产化的LHT-100霍尔推进器，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端的电极、间存在一加速电场，工作时，工作物质氙气进入放电通道后立即被电离为一价氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。单台推进器每秒喷出的一价氙离子数量个，速度m/s，单个氙离子的质量为kg，不计一切阻力，氙离子开始加速的初速度为零，忽略离子之间的相互作用，则单台霍尔推进器产生的平均推力大小约为（　　） A．0.8N B．0.08N C．0.008N D．0.0008N 【典例2】（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）第十九届青岛国际机床展览会在青岛国际博览中心盛大开幕。会展中我国国产水刀，又名超高压数控万能水切割机，以其神奇的切割性能引起轰动。水刀就是将普通的水加压，使其从细小的喷嘴中以400~1000m/s的速度射出形成的水流。我们知道，任何材料承受的压强都有一定的限度，表中列出了几种材料所能承受的最大压强。设想有一水刀的水流射出的速度为600m/s，水流与材料接触后以原速率反弹，水的密度为，则此水刀能切割的材料是（　　） 橡胶 花岗岩 工具钢 铸铁 A．橡胶 B．花岗岩 C．工具钢 D．铸铁 【变式1】（24-25高二下·北京西城·期末）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱在距离地表约的高度打开降落伞，速度减至后保持匀速向下运动。在距离地面的高度约时，如图，返回舱底部配备的4台着陆反推发动机开始点火竖直向下喷气，使返回舱的速度在内由降到。假设反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，此过程返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，g取。 (1)求反推发动机工作过程中返回舱的动量变化量； (2)估算反推发动机工作过程中返回舱受到的平均推力大小； (3)若已知反推发动机喷气过程中返回舱受到的对时间平均的推力大小为，喷出气体的密度为，4台发动机喷气口的直径均为，喷出气体的重力忽略不计，喷出气体的速度远大于返回舱运动的速度。请推导：喷出气体的速度大小，以及每台发动机提供功率的表达式。 【变式2】（多选）（24-25高二下·浙江金华·期末）“大疆”已成为无人机领域的龙头老大。如图是一款“大疆”四旋翼无人机正处于水平悬停状态，螺旋桨向下推空气使空气获得的速度大小为v，假设该无人机质量为M，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．螺旋桨每秒钟所推动的空气质量为 B．无人机对空气所做的功为 C．无人机的发动机输出功率为Mgv D．假设无人机在离地面高为h的位置悬停时，突然一质量为m的零部件掉落，则当其落到地面瞬间时，无人机离地高度为（无人机升力不变） 题型二 碰撞问题分析 解｜题｜技｜巧 1．碰撞遵循的三条原则 (1)动量守恒定律。 (2)动能不增加，Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)速度要合理 ①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，若物体速度仍同向，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度。 ②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。 2．弹性碰撞讨论 (1)碰后速度的求解 根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 解得v1′＝ v2′＝ (2)分析讨论 当碰前两物体的速度不为零时，若m1＝m2，则v1′＝v2，v2′＝v1，即两物体交换速度。 当碰前物体2的速度为零时： v1′＝v1，v2′＝v1， ①m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，碰撞后两物体交换速度。 ②m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两物体沿相同方向运动。 ③m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 点｜拨 碰撞问题解题策略 (1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。 (2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v1＝v0、v2＝v0。 (3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两物体质量相等时，两物体碰撞后交换速度；当m1≫m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变，仍为v10，质量小的物体速度为2v10；当m1≪m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变(仍静止)，质量小的物体原速率反弹。 【典例1】（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）质量相等、大小相同的、两小球在光滑的水平面上沿同一直线向同一方向运动，以球碰撞前动量方向为正方向，球的动量为，球的动量为，当球追上球时发生碰撞，碰撞后、两小球的动量可能分别为（　　） A． B． C． D． 【变式1】（多选）（23-24高二上·贵州贵阳·期末）如图1所示，在光滑水平面上的两个小球发生一维碰撞，小球的质量分别为m1和m2。图2为它们碰撞前后的位置x与时间t的关系图。已知m1=0.2kg，由此可以判断（    ） A．碰撞后m1和m2都向右运动 B．两个小球的碰撞是弹性碰撞 C．m2=0.6kg D．碰撞过程中系统的机械能损失了0.6J 【变式2】（多选）（24-25高二下·天津滨海新·期末）冰壶运动是冬季的热门项目。如图所示，在某次推击冰壶过程中，质量为的白壶以速度与静止的黑壶进行碰撞，、为碰撞前同一时刻两壶位置，、为两壶静止后所处的位置。两壶除了颜色外，质量、大小、形状等其余属性均相同，冰面近似光滑。下列说法正确的是（　　） A．碰后两壶的速度大小之比为 B．碰后两壶的速度大小之比为 C．两壶因碰撞而损失的机械能约为 D．两壶因碰撞而损失的机械能约为 题型三 “人船模型” 如图所示，长为L、质量为m船的小船停在静水中，质量为m人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。 以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得：m船v船＝m人v人， 因人和船组成的系统水平方向动量始终守恒， 故有：m船x船＝m人x人， 由图可看出：x船＋x人＝L， 可解得：x人＝L，x船＝L。 此模型可进一步推广到其他类似的情境中，进而能解决大量的实际问题，例如：人沿着静止在空中的热气球下面的软梯滑下或攀上，求热气球上升或下降高度的问题；小球沿放在光滑水平地面上的弧形槽滑下，求弧形槽移动距离的问题等。 点｜拨 “人船模型”问题应注意以下两点 (1)适用条件 ①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零； ②在系统内发生相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒(如水平方向或竖直方向)。 (2)画草图：解题时要画出各物体的位移关系草图，找出各长度间的关系，注意两物体的位移是相对同一参考系的位移。 【典例1】（多选）（24-25高一下·河北衡水·期末）如图所示，质量为M，长度为L的船停在平静的湖面上，船头站着质量为m的人，M>m，现在人由静止开始由船头走到船尾。不计水对船的阻力，则（　　） A．人和船运动方向相同 B．船运行速度小于人的行进速度 C．由于船的惯性大，当人停止运动时，船还要继续运动一段距离 D．人相对水面的位移为 【变式1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）如图所示，大气球质量为25kg，载有质量为50kg的人，静止在空气中距地面20m高的地方，气球下方悬挂一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则绳长至少为（不计人的身高，可以把人看作质点）（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【变式2】（24-25高二下·广东广州·期末）大型工厂的车间中有一种设备叫做天车如图甲所示，是运输材料的一种常用工具。此装置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光滑水平杆上套有一个质量为4m的滑块，滑块正下方用长为L不可伸长的轻绳悬挂一个质量为m的小球。开始两者均静止，现给小球一个水平初速度（未知），小球恰好能达到与滑块等高的位置，此时滑块水平向右移动s，重力加速度为g，求： (1)初速度大小； (2)从运动开始到小球第1次返回最低点的过程中，求轻绳对滑块做的功； (3)从给小球初速度开始到第1次摆到最高点的时间。 一 “滑块—弹簧”模型 　　模型应用 1．模型图示 2．模型特点 (1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。 二、“光滑圆弧轨道＋滑块”模型　　 1．模型图示 2．模型特点 (1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。 三、悬绳模型　 悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。 四、“滑块—木板”模型　 1．模型图示 2．模型特点 (1)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木板的速度最大，两者的相对路程(滑块相对木板滑动的距离)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对路程的乘积等于系统减少的机械能。 (3)根据能量守恒定律，系统损失的动能ΔEk＝Ek0，可以看出，滑块的质量越小，木板的质量越大，动能损失越多(另外，ΔEk＝Q＝FfΔx，Δx为滑块与木板间的相对路程)。 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于完全非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图像求解。 五、“子弹打木块”模型　 1．模型图示 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v； 能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。 【典例1】（24-25高二下·云南普洱·期末）如图，两物块M和N通过轻质弹簧连接，初始时刻，弹簧处于压缩状态，两物块用细线绑定静止在光滑水平面上，已知物块M的质量是m，物块N的质量是3m。某时刻，剪断细线，两物块在弹簧弹力作用下开始向两侧运动到弹簧伸至最长的过程，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．物块M、N速度大小时刻保持相同 B．弹簧恢复至原长一瞬间，物块N的速度大小为M的3倍 C．从开始到弹簧伸至最长的过程，两物块机械能守恒 D．从开始到弹簧伸至最长的过程，物块M的加速度大小为N的3倍 【典例2】（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）一个四分之一光滑圆弧形物块B静止在光滑的水平面上，圆弧的半径为，一可视为质点的小物块A从物块B的底端以速度滑上圆弧，经过时间t恰好能滑到B的圆弧面顶端，已知滑块A的质量为，重力加速度为，则（　　） A．物块A滑上圆弧面后，A、B组成的系统水平方向动量守恒 B．物块B的质量为 C．物块A从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B的位移为 D．A和B分离时，B的速度大小为 【典例3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量也为m的小球C，现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球，重力加速度为g，求： （1）小球运动到最低点时的速度大小； （2）小球运动到最低点时的细线的拉力大小； （3）小球C摆回至轻杆右侧最高处与O的竖直距离。 【典例4】（多选）（24-25高二下·广东茂名·期末）如图所示，水平地面上的玩具小炮车发射质量为的弹珠A，初速度大小，发射角。它飞行到最高点时与大小相同、质量为的弹珠B发生正碰（碰撞时间极短，碰后两弹珠速度方向相同），碰后弹珠A、B做平抛运动的水平位移大小之比为1:2，空气阻力忽略不计，两弹珠可看成质点，重力加速度，，。下列说法正确的是（    ） A．碰前瞬间弹珠A的速度大小为 B．碰后瞬间弹珠B的速度大小为 C．弹珠A、B碰后落到地面的过程中，动量变化量之比为2:3 D．弹珠A、B碰撞过程动量守恒，机械能守恒 【典例5】（24-25高二下·陕西汉中·期末）如图所示，静止在光滑水平地面上的平板小车A的质量，长，其上表面与斜面底端平滑连接。质量的物块（视为质点）从斜面上的B点由静止释放，并从斜面底端滑上小车A后恰好不从其右端滑出。已知斜面的倾角，B点到斜面底端的距离，物块与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度大小，水平地面足够大。求： (1)物块滑上小车A时的速度大小； (2)物块和小车A共速时的速度大小； (3)物块与小车A间的动摩擦因数。 题型五 力学三大观点的综合应用 答｜题｜模｜板 解决力学问题的三个基本观点 (1)动力学观点：用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题。 (2)能量观点：用动能定理、机械能守恒定律、功能关系和能量守恒定律解题，可处理非匀变速运动问题。 (3)动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。 2．力学规律的选用原则 (1)如果要列出各物理量在某一时刻的动力学关系式，可用牛顿第二定律。 (2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。 (3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)去解决问题，但需注意所研究的过程是否满足守恒的条件。 (4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量。 (5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换，这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。 【典例1】（24-25高一下·天津·期末）如图所示，在光滑水平面上通过锁定装置固定一辆质量M=3kg的小车，小车左边部分为半径R=1.8m的四分之一光滑圆弧轨道，轨道末端平滑连接一长度L=2m的水平粗糙面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A点静止释放，小物块和小车在粗糙区域的动摩擦因数μ=0.12，小物块与挡板的碰撞无机械能损失，取。 (1)求小物块滑到圆弧轨道末端时小物块对轨道的压力大小； (2)若解除小车锁定，小物块滑到圆弧轨道末端时的速度大小； (3)在（2）问的初始条件下，小物块将与小车右端发生多次碰撞，求整个运动过程中车发生的位移大小。 【典例2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆凹槽A和物块B紧靠着静止在光滑的水平地面上，凹槽最低点为O，A、B质量均为m。将质量为2m的光滑小球C（可视为质点）从凹槽右侧最高点由静止释放，重力加速度为g。 (1)若B固定，求C第一次滑到O点时，C的速度大小； (2)若B不固定，当C第一次滑到O点时，求A向右运动的位移大小； (3)若B不固定，C由静止释放到最低点的过程中，求B受到的冲量大小。 【典例3】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图所示，质量为2m的滑板由水平部分AB和半径为R的四分之一光滑圆弧BC组成，滑板静止于光滑的水平地面上。质量为m的滑块P置于滑板右端的A点，滑块P与滑板水平部分间有摩擦。长度为2R且不可伸长的细线一端固定于O′点，另一端系一质量也为m的小球Q，小球Q位于最低点时与滑块P处于同一高度并恰好接触。现将小球Q拉至与O′同一高度，细线处于水平拉直状态，然后由静止释放，小球Q向下摆动并与滑块P发生弹性碰撞，碰撞时间极短，滑块P在滑板上向左运动从C点飞出，且第一次飞出后相对C点上升的最大高度为。已知重力加速度为g，小球Q和滑块P均可视为质点。求： (1)小球Q与滑块P碰撞前瞬间细线对小球拉力的大小； (2)小球Q和滑块P发生碰撞后瞬间滑块P的速度大小； (3)从碰撞结束到滑块P第一次飞出圆弧上升至最高点的过程中，滑块P与滑板组成的系统损失的机械能。 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·期末）如图所示，一个质量m1=50kg的滑冰运动员在冰面上以v0=3.6m/s的速度向右滑行，与冰面间的摩擦不计，一质量m2=10kg的木箱静止在O点，木箱与冰面间的动摩擦因数µ=0.2，当运动员到达O点时，将木箱相对冰面以v=5m/s的速度水平向右推出（时间极短）。此后运动员在A点再次追上木箱，并迅速抓住木箱推着木箱一起运动，最后停在B点，重力加速度g取10m/s2，运动员和木箱均可视为质点。求： (1)O、A间的距离及运动员在O、A间运动的时间； (2)A、B间的距离及整个过程中，木箱与冰面间的摩擦热。 【变式2】（24-25高二下·广西钦州·期末）如图所示，左侧水平高台上放置一质量的木块，一质量的子弹以的速度射向木块并留在其中，随后木块滑向右侧光滑水平面上足够长的长木板上，长木板上表面粗糙且与高台齐平，长木板右侧足够远处均匀排列n个质量为的铁块，已知长木板质量，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度，求： (1)子弹打入木块过程中系统损失的机械能； (2)木块第一次与长木板共速过程中，受到长木板的摩擦力的冲量大小； (3)木块最终的速度大小。 【变式3】（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，长为L、质量为的木板A静止放在光滑的水平面上，A的左端紧靠光滑固定曲面，曲面底端切线与A上表面重合，A右端足够远处有一与A等高的平台，平台上MN之间是一个宽度为的特殊区域，只要物体进入MN之间（含边界MN）就会受到一个方向向右、大小为F=mg的作用力，平台除MN之间粗糙外，其余部分光滑，MN的右侧某处安装有一特殊的弹射装置。质量为m的小滑块B从曲面上距底端高为处由静止释放，B滑上A后，先与A达到共速，之后A与平台接触时会立刻被粘住。当B到达弹射装置的速度不小于时可通过弹射装置，速度小于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的k倍（0<k<1）。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g。 (1)求B与A相对静止时的速度v； (2)若B滑上平台后在MN间通过的路程为，求B与MN之间的动摩擦因数μ1（μ1<1）的最大值； (3)若B与MN之间的动摩擦因数，试讨论B滑上平台后在MN间通过的路程。 （可能用到的数学知识：一组数列a1，a2⋯⋯an，若从第二项起，每一项与其前一项的比值等于同一常数q（0<q<1），该种数列称为递缩等比数列。n个这样的数求和公式为，当n→∞时， 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河北廊坊·期末）2025年5月22日16时49分，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同进行了约8小时的出舱活动，完成了既定目标后顺利返舱。设某次出舱活动中一位连同装备共120kg的航天员，脱离空间站后，在离空间站30m的位置与空间站处于相对静止的状态。装备中有一个高压气源，能以50m/s的速度（相对于空间站）迅速喷出少量气体。航天员返回空间站恰好用时5min，他向后喷出气体的质量为（　　） A．0.24kg B．0.30kg C．0.36kg D．0.42kg 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个质量为m的小型炸弹自水平地面朝右上方射出，在最高点以水平向右的速度v飞行时，突然爆炸为质量相等的甲、乙、丙三块弹片，如图所示。爆炸之后乙自静止自由下落，丙沿原路径回到原射出点。若忽略空气阻力，则爆炸过程释放的化学能为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）在光滑的水平面上有三个完全相同的小钢球，三个球处在同一条直线上，其中球左侧带有双面胶贴，开始时两球静止，现以的速度与发生弹性碰撞，然后与球发生正碰后粘在一起，则与球碰撞后的速度大小为（　　） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·青海海南·期末）如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于粗糙水平面上。一颗子弹水平射入木块A，并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（    ） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）滑板运动深受青少年喜爱。现有一个质量为40kg的小孩站在一辆质量为30kg的滑板车上（小孩与滑板车均可视为质点），在光滑的水平路面上以4m/s的速度匀速前进。突然小孩以相对于地面2m/s的水平速度向后跳离滑板车（跳离过程时间极短，可忽略不计，且小孩跳离后滑板车速度方向不变），并安全落地。设小孩跳离瞬间，滑板车速度大小变为原来的倍，则为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 6．（24-25高二下·湖北荆门·期末）张家界大峡谷玻璃桥的蹦极项目垂直高度为260米，是目前中国垂直落差最高的蹦极项目之一，一可以看成质点体验者在参与该项运动时从跳下到最低点历时8s，下落过程不计空气阻力，弹性绳的作用力随时间变化的图像如图所示。重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．图形所围面积 B．体验者下落过程中一直处于失重状态 C．体验者下落过程中加速度的大小不可能大于 D．体验者下落过程中加速度先变大再变小 7．（多选）（24-25高二下·福建龙岩·期末）道路千万条，安全第一条，在骑行过程中发生交通事故时，佩戴头盔可有效防止头部受伤，大大减轻损伤程度。下列说法正确的是（　　） A．佩戴头盔缩短了驾驶员头部撞击的作用时间 B．佩戴头盔减小了驾驶员头部撞击作用力的大小 C．佩戴头盔减小了驾驶员头部撞击过程中的动量变化量 D．在事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量大小相等 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·河北·期末）如图甲所示，水平直轨道上的“复兴号”高速列车由静止驶出火车站。水平方向的动力F随时间t的变化关系如图乙所示。t=400s，列车开始以288km/h的速度做匀速直线运动，已知列车所受阻力大小恒定。下列说法正确的是（　　） A．在前400s内，列车做匀加速直线运动 B．列车所受阻力的大小为3.0×106N C．t=400s时列车牵引力的功率大小为8.0×104kW D．该列车的质量为1.0×107kg 2．（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（    ） A．C下滑过程中，A、C组成的系统在水平方向动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C的速度大小为 C．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 3．（多选）（24-25高二上·山东淄博·期末）某同学设计了一种测定风速的装置，其原理如图所示，绝缘弹簧的一端固定，另一端与导电的迎风板（电阻不计）相连，弹簧套在水平放置的电阻率较大的均匀金属细杆上，迎风板与金属杆接触良好，并能在光滑的金属杆上自由滑动。电路的一端与迎风板相连，另一端与金属杆相连。弹簧的劲度系数，自然长度，迎风板面积，工作时总是正对着风吹来的方向，电路的限流电阻的阻值，电源电动势，内阻，合上开关，没有风吹时，弹簧处于原长，电压传感器（内阻无穷大）的示数。假设风（运动的空气）与迎风板作用后的速度变为零，空气的密度为，如果某时刻风吹迎风板使其向左压缩弹簧，电压传感器的示数变为。则（　　） A．金属杆每米长度的电阻为 B．金属杆每米长度的电阻为 C．作用在迎风板上的风力大小为 D．风速大小为 4．（多选）（23-24高二上·湖南益阳·期末）一质量的物体在合力F的作用下从静止沿直线运动，F随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．第6s末物体的速度大小为3m/s B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为-3kg·m/s C．第3s末合力的瞬时功率为4W D．第4s内与第5s内物体的动量增加量相等 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）如图所示，质量的平板车静止在光滑水平地面上，质量的滑块位于平板车的左端，滑块与平板车之间的动摩擦因数。一根不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于滑块正上方的点，另一端系一质量的小球。现将小球拉至悬线与竖直方向成位置由静止释放，小球到达最低点时与滑块发生正碰。经过一段时间后滑块在平板车上与平板车一起向右匀速运动，碰撞时间极短，碰撞无机械能损失。小球和滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度，求∶ (1)小球与滑块碰撞前瞬间的速度大小； (2)滑块与平板车刚好共同运动的速度大小； (3)平板车的最小长度。 6．（24-25高一下·广东广州·期末）如图所示，在光滑固定水平圆环中有两个可看成质点的小球，小球a位于A点，小球b位于B点，AB是圆环的一条直径，ma=4mb，圆环的周长L=10m，刚开始两球都静止，现给小球a一方向垂直AB、大小为10m/s的速度v，两球碰撞都是弹性碰撞，且碰撞时间极短。 (1)分别求出第一次碰撞后瞬间两球的速度大小va、vb； (2)求从小球a、b第一次相碰到第二次相碰的时间间隔t。 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）如图所示，光滑水平轨道上放置小车A（上表面粗糙且足够长）和滑块B，滑块C置于A的左端，三者质量分别是、。开始时B静止，A、C一起以速度向右匀速运动，A与B发生碰撞（时间极短）后B向右运动。经过一段时间，A、C再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与B碰撞。重力加速度为g，求： (1)A与B碰撞前A、C总动量的大小p； (2)A与B碰撞后B的速度大小v； (3)若把C的质量变为3m、且与小车之间动摩擦因数为，滑块B固定在地面上。A、C仍一起以速度向右匀速运动和B相碰。不计碰撞中能量的损失，则碰后物体A运动的总路程s。 2．（24-25高二上·湖北·期末）甲小孩乘一辆小车在光滑的水平冰面上以速度匀速行驶，发现正前方有一静止的乙车，甲小孩迅速拿起车上小球，均以相对地面为的水平速度抛向乙，且被乙接住。已知甲和他的小车及小车上小球的总质量为，每个小球质量，乙和他的小车的总质量为，不计空气阻力。求： (1)甲第一次抛球时对小球的冲量大小； (2)甲抛出个小球后，甲的速度是多少？ (3)为保证两车不相撞，甲至少抛出多少个小球。 3．（24-25高二上·广东河源·期末）如图，足够长的水平面上，两小滑块a、b间有压缩的轻弹簧，弹簧锁定，P点左侧粗糙，右侧光滑。水平面上还放置一静止的带弧形轨道的滑块c，c的左端与水平面相切。现解除弹簧锁定，a、b在弹力作用下与弹簧分离，取走弹簧，分离时a刚好滑到P点，之后b滑上c且不会从c的右端冲出。已知a、b、c的质量分别为，解除锁定前弹簧储存的弹性势能为，a、b间的碰撞为弹性碰撞，a、b滑块与P点左侧水平面间的动摩擦因数均为，b在滑块c上运动时间，，a，b均可视为质点。求：    (1)弹簧恢复原长瞬间，a、b速度的大小； (2)滑块c的高度h满足的条件； (3)a、b间的最终距离。 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图所示，曲面和下底面都光滑的圆弧轨道A静置在水平地面上，其质量为3m、圆弧半径为R。A的左侧距离为处为一足够长、以大小为的速度顺时针匀速转动的传送带，其上表面与水平地面齐平。现将质量为m的滑块B，从圆弧最高点静止释放，B沿轨道下滑后，与静置在传动带右端的滑块C发生碰撞，C的质量也为m，B、C均可视作质点，B、C与传送带、水平地面的动摩擦因数都为μ = 0.25，重力加速度为g，且B与C的所有碰撞都是完全弹性的。求： (1)从滑块B静止释放至滑块B滑到轨道的圆弧最低点的过程中，A、B运动的水平位移的大小； (2)滑块C第一次在传送带上向左运动的时间； (3)从滑块C在传送带最左端开始计时，到B恰好停止的过程中，地面给B的冲量大小。（答案可以用根号表示） 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图所示，n个相同的木块（均可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为L，第n个木块到桌边的距离也是L，木块与桌面间的动摩擦因数可调。t=0时，第1个木块以初速度v0向左滑行，其余所有木块都静止，若每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，碰撞过程时间极短可忽略。 (1)若动摩擦因数为μ，经一系列碰撞后，第n个木块恰好滑到桌边而没有掉下，求在整个过程中因碰撞而损失的总动能（可能用到的公式：1+2 +3+……+； (2)求第i次碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比； (3)若n=4，L=0.10 m，v0=3.0m/s，重力加速度，为使第4个木块被碰后不从桌面滑下，求的取值范围。 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 动量（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 动量定理 会用动量定理解释生活中的缓冲现象和处理流体类问题 基础必考点，常出现在小题 碰撞（类碰撞） 掌握弹性碰撞、完全非弹性碰撞并能利用其规律解决碰撞类问题 高频考点 动量守恒的综合应用 掌握动量守恒和能量守恒解决（类）碰撞的多过程问题 高频考点，经常作为压轴题出现。 知识点01 动量 1．定义：物理学中把质量和速度的乘积mv定义为物体的动量，用字母p表示。 2．表达式：p＝mv。 3．单位：kg·m/s。 4．标矢性：动量是矢量，其方向和速度的方向相同。 知识点02 动量定理 1．冲量 (1)定义：力与力的作用时间的乘积叫作力的冲量。定义式：I＝FΔt。 (2)单位：冲量的单位是牛秒，符号是N·s。 (3)标矢性：冲量是矢量，恒力冲量的方向与恒力的方向相同。 2．动量定理 (1)内容：物体在一个过程中所受力的冲量等于它在这个过程始末的动量变化量。 (2)表达式：I＝p′－p或F(t′－t)＝mv′－mv。 (3)矢量性：动量变化量的方向与合力的方向相同，也可以在某一方向上用动量定理。 ·易错点：注意冲量与功的区别，动量与动能的区别。 示例： 知识点03 动量守恒定律的理解与应用 1．几个相关概念 (1)系统：两个(或多个)相互作用的物体构成的整体叫作一个力学系统，简称系统。 (2)内力：系统中物体间的作用力。 (3)外力：系统以外的物体施加给系统内物体的力。 2．动量守恒定律 (1)内容：如果一个系统不受外力，或者所受外力的矢量和为0，这个系统的总动量保持不变。这就是动量守恒定律。 (2)表达式 ①p＝p′，系统相互作用前的总动量p等于相互作用后的总动量p′。 ②m1v1＋m2v2＝m1v1′＋m2v2′，相互作用的两个物体组成的系统，作用前的动量和等于作用后的动量和。 ③Δp1＝－Δp2，相互作用的两个物体动量的增量等大反向。 ④Δp＝0，系统总动量的增量为零。 (3)适用条件 ①理想守恒：系统不受外力或所受外力的合力为零，则系统动量守恒。 ②近似守恒：系统受到的合力不为零，但当内力远大于外力时，系统的动量可近似看成守恒。 ③某方向守恒：系统在某个方向上所受合力为零时，系统在该方向上动量守恒。 知识点04 弹性碰撞和非弹性碰撞 1．弹性碰撞：系统在碰撞前后动能不变的碰撞。 2．非弹性碰撞：系统在碰撞后动能减少的碰撞。 3．对比分析 动量是否守恒 机械能是否守恒 弹性碰撞 守恒 守恒 非弹性碰撞 守恒 有损失 完全非弹性碰撞 守恒 损失最大 知识点05 反冲　爆炸 1．反冲现象 (1)在某些情况下，原来系统内物体具有相同的速度，发生相互作用后各部分的末速度不再相同而分开。这类问题相互作用的过程中系统的动能增大，且常伴有其他形式的能向动能的转化。 (2)反冲运动的过程中，一般合力为零或外力的作用远小于物体间的相互作用力，可认为系统的动量守恒，可利用动量守恒定律来处理。 2．爆炸问题 爆炸与碰撞类似，物体间的相互作用力很大，且远大于系统所受的外力，所以系统动量守恒，爆炸过程中位移很小，可忽略不计，爆炸后物体从相互作用前的位置以新的动量开始运动。 题型一 应用动量定理分析变质量问题的技巧 解｜题｜技｜巧 流体类问题分析步骤 (1)建立“柱状”模型，沿流速v的方向选取一段柱形流体，其横截面积为S。 (2)微元研究，作用时间Δt内的一段柱形流体的长度为Δl＝vΔt，对应的质量为Δm＝ρSvΔt。 (3)建立方程，应用动量定理研究这段柱状流体，即FΔt＝ΔmΔv。 微粒类问题分析步骤 (1)建立“柱体”模型，沿速度v的方向选取一段微元，其横截面积为S。 (2)微元研究，作用时间Δt内一段微元的长度为Δl＝vΔt，对应的体积为ΔV＝SvΔt，则微元内的粒子数N＝nvSΔt。 (3)应用动量定理研究微元内的粒子，建立方程求解，即FΔt＝NmΔv。 易｜错 注意正方向的选取且动定理中各物理量的正负。 【典例1】（24-25高二下·福建·期末）我国空间站天和核心舱配备了四台全国产化的LHT-100霍尔推进器，其简化的工作原理如图所示。放电通道两端的电极、间存在一加速电场，工作时，工作物质氙气进入放电通道后立即被电离为一价氙离子，再经电场加速喷出，形成推力。单台推进器每秒喷出的一价氙离子数量个，速度m/s，单个氙离子的质量为kg，不计一切阻力，氙离子开始加速的初速度为零，忽略离子之间的相互作用，则单台霍尔推进器产生的平均推力大小约为（　　） A．0.8N B．0.08N C．0.008N D．0.0008N 【答案】B 【详解】取时间 根据动量定理可得 代入数据解得 故选B。 【典例2】（多选）（24-25高一下·湖北武汉·期末）第十九届青岛国际机床展览会在青岛国际博览中心盛大开幕。会展中我国国产水刀，又名超高压数控万能水切割机，以其神奇的切割性能引起轰动。水刀就是将普通的水加压，使其从细小的喷嘴中以400~1000m/s的速度射出形成的水流。我们知道，任何材料承受的压强都有一定的限度，表中列出了几种材料所能承受的最大压强。设想有一水刀的水流射出的速度为600m/s，水流与材料接触后以原速率反弹，水的密度为，则此水刀能切割的材料是（　　） 橡胶 花岗岩 工具钢 铸铁 A．橡胶 B．花岗岩 C．工具钢 D．铸铁 【答案】ABC 【详解】时间t内流出的水的质量为 与材料发生相互作用时的作用力为F，由动量定理可知 可知 所以图中橡胶、花岗岩、工具钢都可以被切割，而铸铁不能被切割。 故选ABC。 【变式1】（24-25高二下·北京西城·期末）2025年4月30日13时08分，神舟十九号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆。返回舱在距离地表约的高度打开降落伞，速度减至后保持匀速向下运动。在距离地面的高度约时，如图，返回舱底部配备的4台着陆反推发动机开始点火竖直向下喷气，使返回舱的速度在内由降到。假设反推发动机工作时主伞与返回舱之间的绳索处于松弛状态，此过程返回舱的质量变化和受到的空气阻力均忽略不计。返回舱的总质量为，g取。 (1)求反推发动机工作过程中返回舱的动量变化量； (2)估算反推发动机工作过程中返回舱受到的平均推力大小； (3)若已知反推发动机喷气过程中返回舱受到的对时间平均的推力大小为，喷出气体的密度为，4台发动机喷气口的直径均为，喷出气体的重力忽略不计，喷出气体的速度远大于返回舱运动的速度。请推导：喷出气体的速度大小，以及每台发动机提供功率的表达式。 【答案】(1)，方向竖直向上；(2)；(3)， 【详解】（1）取竖直向下为正方向，则有 解得 即大小为，方向竖直向上。 （2）设返回舱受到的平均推力大小为，取竖直向下为正方向，根据动量定理有 解得 （3）很短的时间内，以喷出的气体为研究对象，喷气质量 根据牛顿第三定律，返回舱对气体的平均推力大小为，方向竖直向下，取竖直向下为正方向，根据动量定理有 解得 根据动能定理有 每台发动机提供的功率 解得 【变式2】（多选）（24-25高二下·浙江金华·期末）“大疆”已成为无人机领域的龙头老大。如图是一款“大疆”四旋翼无人机正处于水平悬停状态，螺旋桨向下推空气使空气获得的速度大小为v，假设该无人机质量为M，重力加速度为g。下列说法正确的是（　　） A．螺旋桨每秒钟所推动的空气质量为 B．无人机对空气所做的功为 C．无人机的发动机输出功率为Mgv D．假设无人机在离地面高为h的位置悬停时，突然一质量为m的零部件掉落，则当其落到地面瞬间时，无人机离地高度为（无人机升力不变） 【答案】AD 【详解】A．因飞机静止，所以空气对飞机的作用力为F=Mg 则由牛顿第三定律可知，飞机对空气作用力F′=F=Mg 设单位时间内被螺旋桨向下推出的空气质量为m，取竖直向下为正方向，根据动量定理有F′t=mv 其中t=1s，解得，故A正确； B．由动能定理可得无人机对空气所做的功为 其中m为单位时间内被螺旋桨向下推出的空气的质量，故B错误； C．无人机的发动机消耗的功率为 解得，故C错误； D．设零件落地时，无人机上升的高度为H，取竖直向上为正方向，对无人机和零件的系统受合外力为零，则系统动量守恒，根据动量守恒可得关系式（M-m）H-mh=0 解得 则无人机离地总高度为H总=H+h= 故D正确； 故选AD。 题型二 碰撞问题分析 解｜题｜技｜巧 1．碰撞遵循的三条原则 (1)动量守恒定律。 (2)动能不增加，Ek1＋Ek2≥Ek1′＋Ek2′或＋≥＋。 (3)速度要合理 ①同向碰撞：碰撞前，后面的物体速度大；碰撞后，若物体速度仍同向，则前面物体的速度大于或等于后面物体的速度。 ②相向碰撞：碰撞后两物体的运动方向不可能都不改变。 2．弹性碰撞讨论 (1)碰后速度的求解 根据动量守恒定律和机械能守恒定律有 解得v1′＝ v2′＝ (2)分析讨论 当碰前两物体的速度不为零时，若m1＝m2，则v1′＝v2，v2′＝v1，即两物体交换速度。 当碰前物体2的速度为零时： v1′＝v1，v2′＝v1， ①m1＝m2时，v1′＝0，v2′＝v1，碰撞后两物体交换速度。 ②m1>m2时，v1′>0，v2′>0，碰撞后两物体沿相同方向运动。 ③m1<m2时，v1′<0，v2′>0，碰撞后质量小的物体被反弹回来。 点｜拨 碰撞问题解题策略 (1)抓住碰撞的特点和不同种类碰撞满足的条件，列出相应方程求解。 (2)可熟记一些公式，例如“一动一静”模型中，两物体发生弹性正碰后的速度满足：v1＝v0、v2＝v0。 (3)熟记弹性正碰的一些结论，例如，当两物体质量相等时，两物体碰撞后交换速度；当m1≫m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变，仍为v10，质量小的物体速度为2v10；当m1≪m2，且v20＝0时，碰后质量大的物体速度不变(仍静止)，质量小的物体原速率反弹。 【典例1】（多选）（24-25高一下·四川成都·期末）质量相等、大小相同的、两小球在光滑的水平面上沿同一直线向同一方向运动，以球碰撞前动量方向为正方向，球的动量为，球的动量为，当球追上球时发生碰撞，碰撞后、两小球的动量可能分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】AB 【详解】AB．两球碰撞满足动量守恒、动能不增加，碰后速度合理，因两球质量相等，故须满足， 并且碰后B球速度（动量）必变大，故AB正确； C．不满足 即碰后系统动能增加，故C错误； D．不满足B球速度（或动量）增大，故D错误。 故选AB。 【变式1】（多选）（23-24高二上·贵州贵阳·期末）如图1所示，在光滑水平面上的两个小球发生一维碰撞，小球的质量分别为m1和m2。图2为它们碰撞前后的位置x与时间t的关系图。已知m1=0.2kg，由此可以判断（    ） A．碰撞后m1和m2都向右运动 B．两个小球的碰撞是弹性碰撞 C．m2=0.6kg D．碰撞过程中系统的机械能损失了0.6J 【答案】BC 【详解】A．因x-t图像的斜率反映速度，可知碰撞后m1向左，m2向右运动，选项A错误； BCD．由图像可知碰前m1的速度v0=4m/s，碰后m1的速度v1=-2m/s，m2的速度v2=2m/s，根据动量守恒定律 解得 m2=0.6kg 碰撞过程中系统的机械能损失 即两个小球的碰撞是弹性碰撞，选项BC正确，D错误。 故选BC。 【变式2】（多选）（24-25高二下·天津滨海新·期末）冰壶运动是冬季的热门项目。如图所示，在某次推击冰壶过程中，质量为的白壶以速度与静止的黑壶进行碰撞，、为碰撞前同一时刻两壶位置，、为两壶静止后所处的位置。两壶除了颜色外，质量、大小、形状等其余属性均相同，冰面近似光滑。下列说法正确的是（　　） A．碰后两壶的速度大小之比为 B．碰后两壶的速度大小之比为 C．两壶因碰撞而损失的机械能约为 D．两壶因碰撞而损失的机械能约为 【答案】BC 【详解】AB．由图可知，碰后白、黑两壶的最大位移之比为 由题可知两壶运动的加速度相同，根据 可得两壶碰后的速度大小之比为，故A错误，B正确； CD．两壶发生碰撞，以向右为正方向，根据动量守恒定律得 又有 解得， 则两壶因碰撞而损失的机械能约为，故C正确，D错误。 故选BC。 题型三 “人船模型” 如图所示，长为L、质量为m船的小船停在静水中，质量为m人的人由静止开始从船的一端走到船的另一端，不计水的阻力。 以人和船组成的系统为研究对象，在人由船的一端走到船的另一端的过程中，系统水平方向不受外力作用，所以整个系统水平方向动量守恒，可得：m船v船＝m人v人， 因人和船组成的系统水平方向动量始终守恒， 故有：m船x船＝m人x人， 由图可看出：x船＋x人＝L， 可解得：x人＝L，x船＝L。 此模型可进一步推广到其他类似的情境中，进而能解决大量的实际问题，例如：人沿着静止在空中的热气球下面的软梯滑下或攀上，求热气球上升或下降高度的问题；小球沿放在光滑水平地面上的弧形槽滑下，求弧形槽移动距离的问题等。 点｜拨 “人船模型”问题应注意以下两点 (1)适用条件 ①系统由两个物体组成且相互作用前静止，系统总动量为零； ②在系统内发生相对运动的过程中至少有一个方向的动量守恒(如水平方向或竖直方向)。 (2)画草图：解题时要画出各物体的位移关系草图，找出各长度间的关系，注意两物体的位移是相对同一参考系的位移。 【典例1】（多选）（24-25高一下·河北衡水·期末）如图所示，质量为M，长度为L的船停在平静的湖面上，船头站着质量为m的人，M>m，现在人由静止开始由船头走到船尾。不计水对船的阻力，则（　　） A．人和船运动方向相同 B．船运行速度小于人的行进速度 C．由于船的惯性大，当人停止运动时，船还要继续运动一段距离 D．人相对水面的位移为 【答案】BD 【详解】A．人和船动量守恒，系统总动量为零，故人和船运动方向始终相反，故A错误； B．由动量守恒定律有Mv船＝mv人 又M>m，故v船＜v人，故B正确； C．由人船系统动量守恒且系统总动量为零知，人走船走，人停船停，故C错误； D．由平均动量守恒，x人＋x船＝L 知x人＝，故D正确。 故选BD。 【变式1】（24-25高一下·安徽淮北·期末）如图所示，大气球质量为25kg，载有质量为50kg的人，静止在空气中距地面20m高的地方，气球下方悬挂一根质量可忽略不计的绳子，此人想从气球上沿绳慢慢下滑至地面，为了安全到达地面，则绳长至少为（不计人的身高，可以把人看作质点）（　　） A．20m B．30m C．40m D．60m 【答案】D 【详解】设人的质量为m1，气球的质量为m2，系统所受重力与浮力平衡，合外力为零，根据系统动量守恒得 人与气球运动的距离分别为， 联立可得 又 代入数据解得绳长至少为 故选D。 【变式2】（24-25高二下·广东广州·期末）大型工厂的车间中有一种设备叫做天车如图甲所示，是运输材料的一种常用工具。此装置可以简化为如图乙所示的模型，足够长的光滑水平杆上套有一个质量为4m的滑块，滑块正下方用长为L不可伸长的轻绳悬挂一个质量为m的小球。开始两者均静止，现给小球一个水平初速度（未知），小球恰好能达到与滑块等高的位置，此时滑块水平向右移动s，重力加速度为g，求： (1)初速度大小； (2)从运动开始到小球第1次返回最低点的过程中，求轻绳对滑块做的功； (3)从给小球初速度开始到第1次摆到最高点的时间。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）小球第一次到最高点时，小球和滑块达到相同速度，由水平方向的动量守恒 由系统机械能守恒 联立得 （2）小球第1次返回最低点时，设小球速度，滑块的速度为，对系统由动量守恒定律和机械能守恒定律， 解得， 对滑块由动能定理得 得 （3）从开始到第1次摆到最高点的过程中二者组成系统水平方向动量守恒，取极短时间内 累加可得 又， 则 解得 题型四 碰撞类模型的拓展 一 “滑块—弹簧”模型 　　模型应用 1．模型图示 2．模型特点 (1)两个物体与弹簧相互作用的过程中，若系统所受外力的矢量和为零，则系统动量守恒。 (2)在能量方面，由于弹簧形变会使弹性势能发生变化，系统的总动能将发生变化；若系统所受的外力和除弹簧弹力以外的内力不做功，系统机械能守恒。 (3)弹簧处于最长(最短)状态时两物体速度相等，弹性势能最大，系统动能通常最小(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (4)弹簧恢复原长时，弹性势能为零，系统动能最大(弹性碰撞拓展模型，相当于碰撞结束时)。 二、“光滑圆弧轨道＋滑块”模型　　 1．模型图示 2．模型特点 (1)最高点：m与M具有共同水平速度v共。系统水平方向动量守恒，mv0＝(M＋m)v共；系统机械能守恒，mv＝(M＋m)v＋mgh，其中h为滑块上升的最大高度，不一定等于圆弧轨道的高度(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (2)最低点：m与M分离点。水平方向动量守恒，mv0＝mv1＋Mv2；系统机械能守恒，mv＝mv＋Mv(弹性碰撞拓展模型)。 三、悬绳模型　 悬绳模型(如图所示)与“光滑圆弧轨道＋滑块(小球)”模型特点类似，即系统机械能守恒，水平方向动量守恒，解题时需关注物体运动的最高点和最低点。 四、“滑块—木板”模型　 1．模型图示 2．模型特点 (1)若滑块未从木板上滑下，当两者速度相等时木板的速度最大，两者的相对路程(滑块相对木板滑动的距离)取得极值(完全非弹性碰撞拓展模型)。 (2)系统的动量守恒，但机械能不守恒，摩擦力与两者相对路程的乘积等于系统减少的机械能。 (3)根据能量守恒定律，系统损失的动能ΔEk＝Ek0，可以看出，滑块的质量越小，木板的质量越大，动能损失越多(另外，ΔEk＝Q＝FfΔx，Δx为滑块与木板间的相对路程)。 (4)该类问题既可以从动量、能量角度求解，相当于完全非弹性碰撞拓展模型，也可以从力和运动的角度借助图像求解。 五、“子弹打木块”模型　 1．模型图示 2．模型特点 (1)子弹水平打进木块的过程中，系统的动量守恒。 (2)系统的机械能有损失。 3．两种情境 (1)子弹嵌入木块中，两者速度相等，机械能损失最多(完全非弹性碰撞) 动量守恒：mv0＝(m＋M)v； 能量守恒：Q＝Ff·s＝mv－(M＋m)v2。 (2)子弹穿透木块 动量守恒：mv0＝mv1＋Mv2； 能量守恒：Q＝Ff·d＝mv－。 【典例1】（24-25高二下·云南普洱·期末）如图，两物块M和N通过轻质弹簧连接，初始时刻，弹簧处于压缩状态，两物块用细线绑定静止在光滑水平面上，已知物块M的质量是m，物块N的质量是3m。某时刻，剪断细线，两物块在弹簧弹力作用下开始向两侧运动到弹簧伸至最长的过程，弹簧始终在弹性限度内，下列说法正确的是（　　） A．物块M、N速度大小时刻保持相同 B．弹簧恢复至原长一瞬间，物块N的速度大小为M的3倍 C．从开始到弹簧伸至最长的过程，两物块机械能守恒 D．从开始到弹簧伸至最长的过程，物块M的加速度大小为N的3倍 【答案】D 【详解】AB．水平面光滑，系统动量守恒，根据动量守恒定律，可得物块M、N的动量大小相等，方向相反，物块N的质量是3m，物块M的质量是m，可得物块M的速度大小始终为N的3倍，故AB错误； C．从开始到弹簧伸至最长的过程，两物块受弹簧弹力作用，故机械能不守恒，故C错误； D．从开始到弹簧伸至最长的过程，物块M、N受弹力大小相等，根据牛顿第二定律 解得 即物块M的加速度大小为N的3倍，故D正确。 故选D。 【典例2】（多选）（24-25高二下·福建漳州·期末）一个四分之一光滑圆弧形物块B静止在光滑的水平面上，圆弧的半径为，一可视为质点的小物块A从物块B的底端以速度滑上圆弧，经过时间t恰好能滑到B的圆弧面顶端，已知滑块A的质量为，重力加速度为，则（　　） A．物块A滑上圆弧面后，A、B组成的系统水平方向动量守恒 B．物块B的质量为 C．物块A从底端到滑上圆弧面顶端的过程物块B的位移为 D．A和B分离时，B的速度大小为 【答案】AB 【详解】A．物块A滑上圆弧面后，A、B组成的系统水平方向受合外力为零，则水平方向动量守恒，A正确； B．对A、B组成的系统由动量守恒和能量关系可知， 联立解得物块B的质量为，B正确； C．物块A从底端到滑上圆弧面顶端的过程 两边乘以t可得 其中 解得物块B的位移为，C错误； D．A和B分离时，由动量守恒和能量关系可知， 解得B的速度大小为，D错误。 故选AB。 【典例3】（23-24高二上·湖南岳阳·期末）如图所示，质量均为m的木块A和B，并排放在光滑水平面上，A上固定一竖直轻杆，轻杆上端的O点系一长为L的细线，细线另一端系一质量也为m的小球C，现将C球拉起使细线水平伸直，并由静止释放C球，重力加速度为g，求： （1）小球运动到最低点时的速度大小； （2）小球运动到最低点时的细线的拉力大小； （3）小球C摆回至轻杆右侧最高处与O的竖直距离。 【答案】（1）；（2）4mg；（3） 【详解】（1）小球释放在向下摆动的过程中， A、B、C系统在水平方向动量守恒，以向左为正方向，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 解得 （2）小球运动到最低点时，对小球受力分析： 解得 （3）小球C摆回至轻杆右侧最高处，A、C系统在水平方向动量守恒并共速，由动量守恒定律得 由机械能守恒定律得 +mg（L- h） 解得 L 【典例4】（多选）（24-25高二下·广东茂名·期末）如图所示，水平地面上的玩具小炮车发射质量为的弹珠A，初速度大小，发射角。它飞行到最高点时与大小相同、质量为的弹珠B发生正碰（碰撞时间极短，碰后两弹珠速度方向相同），碰后弹珠A、B做平抛运动的水平位移大小之比为1:2，空气阻力忽略不计，两弹珠可看成质点，重力加速度，，。下列说法正确的是（    ） A．碰前瞬间弹珠A的速度大小为 B．碰后瞬间弹珠B的速度大小为 C．弹珠A、B碰后落到地面的过程中，动量变化量之比为2:3 D．弹珠A、B碰撞过程动量守恒，机械能守恒 【答案】BC 【详解】A．弹珠A做斜抛运动，由运动的合成和分解得，碰前瞬间弹珠A的速度大小为，故A错误； B．弹珠A、B碰撞过程水平方向动量守恒，可得 碰后弹珠A、B平抛的水平位移大小之比为1:2，则 解得，，故B正确； C．根据动量定理，两小球下落时间相同，合力的冲量之比为质量之比，也是动量变化量之比，所以是2:3；故C正确； D．弹珠A、B碰撞过程中机械能的变化量 解得，故D错误。 故选BC。 【典例5】（24-25高二下·陕西汉中·期末）如图所示，静止在光滑水平地面上的平板小车A的质量，长，其上表面与斜面底端平滑连接。质量的物块（视为质点）从斜面上的B点由静止释放，并从斜面底端滑上小车A后恰好不从其右端滑出。已知斜面的倾角，B点到斜面底端的距离，物块与斜面间的动摩擦因数，取重力加速度大小，水平地面足够大。求： (1)物块滑上小车A时的速度大小； (2)物块和小车A共速时的速度大小； (3)物块与小车A间的动摩擦因数。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）物块在斜面上运动时，对物块受力分析，根据牛顿第二定律有 根据运动规律有 解得 （2）物块滑上小车A后，物块和小车A组成的系统动量守恒，根据动量守恒定律有 解得 （3）物块滑上小车A后，因为摩擦产生的热量 根据能量守恒定律有 解得 题型五 力学三大观点的综合应用 答｜题｜模｜板 解决力学问题的三个基本观点 (1)动力学观点：用牛顿运动定律结合运动学知识解题，可处理匀变速运动问题。 (2)能量观点：用动能定理、机械能守恒定律、功能关系和能量守恒定律解题，可处理非匀变速运动问题。 (3)动量观点：用动量定理和动量守恒观点解题，可处理非匀变速运动问题。 2．力学规律的选用原则 (1)如果要列出各物理量在某一时刻的动力学关系式，可用牛顿第二定律。 (2)研究某一物体受到力的持续作用发生运动状态改变时，一般用动量定理(涉及时间的问题)或动能定理(涉及位移的问题)去解决问题。 (3)若研究的对象为一物体系统，且它们之间有相互作用，一般用动量守恒定律和能量守恒定律(机械能守恒定律)去解决问题，但需注意所研究的过程是否满足守恒的条件。 (4)在涉及相对位移问题时则优先考虑能量守恒定律，系统克服摩擦力所做的总功等于系统机械能的减少量，即转变为系统内能的量。 (5)在涉及碰撞、爆炸、打击、绳绷紧等物理现象时，需注意到这些过程一般均隐含有系统机械能与其他形式能量之间的转换，这种问题由于作用时间都极短，因此用动量守恒定律去解决。 【典例1】（24-25高一下·天津·期末）如图所示，在光滑水平面上通过锁定装置固定一辆质量M=3kg的小车，小车左边部分为半径R=1.8m的四分之一光滑圆弧轨道，轨道末端平滑连接一长度L=2m的水平粗糙面，粗糙面右端是一挡板。有一个质量为m=1kg的小物块（可视为质点）从小车左侧圆弧轨道顶端A点静止释放，小物块和小车在粗糙区域的动摩擦因数μ=0.12，小物块与挡板的碰撞无机械能损失，取。 (1)求小物块滑到圆弧轨道末端时小物块对轨道的压力大小； (2)若解除小车锁定，小物块滑到圆弧轨道末端时的速度大小； (3)在（2）问的初始条件下，小物块将与小车右端发生多次碰撞，求整个运动过程中车发生的位移大小。 【答案】(1)30N；(2)；(3)0.7m 【详解】（1）由机械能守恒得 在最低点，有 解得 根据牛顿第三定律，压力大小为30N。 （2）小物块和小车组成的系统水平方向动量守恒，设小物块刚滑上右侧粗糙区域时速度大小为，小车速度大小为，则 解得 （3）从小物块滑下到最终相对小车静止，物块在小车粗糙面上滑动的路程满足 解得 ，当时，． 即物块将停在离开右侧挡板1m处。 整个过程中，物块相对小车发生位移为． 选取m和M为系统，由于水平方向动量守恒，设m水平向右发生位移大小为，M水平向左发生位移大小为， 可推得 又 解得 【典例2】（24-25高二上·江苏泰州·期末）如图所示，半径为R的光滑半圆凹槽A和物块B紧靠着静止在光滑的水平地面上，凹槽最低点为O，A、B质量均为m。将质量为2m的光滑小球C（可视为质点）从凹槽右侧最高点由静止释放，重力加速度为g。 (1)若B固定，求C第一次滑到O点时，C的速度大小； (2)若B不固定，当C第一次滑到O点时，求A向右运动的位移大小； (3)若B不固定，C由静止释放到最低点的过程中，求B受到的冲量大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）若B固定，C第一次滑到O点过程，根据动能定理可得 解得C第一次滑到O点时，C的速度大小为 （2）若B不固定，A、B、C三者组成的系统满足水平方向动量守恒，则有 当C第一次滑到O点时，设A向右运动的位移大小为，C的水平位移大小为，则有 又 联立解得 （3）若B不固定，当C第一次滑到O点时，设此时C的速度大小为，AB整体的速度大小为，A、B、C三者组成的系统满足水平方向动量守恒，则有 根据系统机械能守恒可得 联立解得 C由静止释放到最低点的过程中，对B根据动量定理可得B受到的冲量大小为 【典例3】（24-25高一下·河北石家庄·期末）如图所示，质量为2m的滑板由水平部分AB和半径为R的四分之一光滑圆弧BC组成，滑板静止于光滑的水平地面上。质量为m的滑块P置于滑板右端的A点，滑块P与滑板水平部分间有摩擦。长度为2R且不可伸长的细线一端固定于O′点，另一端系一质量也为m的小球Q，小球Q位于最低点时与滑块P处于同一高度并恰好接触。现将小球Q拉至与O′同一高度，细线处于水平拉直状态，然后由静止释放，小球Q向下摆动并与滑块P发生弹性碰撞，碰撞时间极短，滑块P在滑板上向左运动从C点飞出，且第一次飞出后相对C点上升的最大高度为。已知重力加速度为g，小球Q和滑块P均可视为质点。求： (1)小球Q与滑块P碰撞前瞬间细线对小球拉力的大小； (2)小球Q和滑块P发生碰撞后瞬间滑块P的速度大小； (3)从碰撞结束到滑块P第一次飞出圆弧上升至最高点的过程中，滑块P与滑板组成的系统损失的机械能。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）对Q下落过程，根据动能定理有 根据牛顿第二定律有 解得 （2）P、Q发生弹性碰撞，则有， 解得， （3）滑块P第一次飞出圆弧上升至最高点时速度与滑板速度相同，设为v′。从碰撞结束到滑块P第一次飞出圆弧上升至最高点的过程中，取水平向左为正方向，根据滑块P与滑板组成的系统水平方向动量守恒得 根据能量守恒定律有 联立解得 【变式1】（24-25高二下·广东揭阳·期末）如图所示，一个质量m1=50kg的滑冰运动员在冰面上以v0=3.6m/s的速度向右滑行，与冰面间的摩擦不计，一质量m2=10kg的木箱静止在O点，木箱与冰面间的动摩擦因数µ=0.2，当运动员到达O点时，将木箱相对冰面以v=5m/s的速度水平向右推出（时间极短）。此后运动员在A点再次追上木箱，并迅速抓住木箱推着木箱一起运动，最后停在B点，重力加速度g取10m/s2，运动员和木箱均可视为质点。求： (1)O、A间的距离及运动员在O、A间运动的时间； (2)A、B间的距离及整个过程中，木箱与冰面间的摩擦热。 【答案】(1)6.24m，2.4s (2)270J 【详解】（1）运动员推木箱的过程，运动员与木箱动量守恒，则 此后木箱向前匀减速运动，加速度大小为a，则有 设经时间t，运动员追上木箱，假设此时木箱尚未停止滑行，则 解得 由于，故假设成立，所以O、A间的距离 （2）运动员追上木箱时，木箱速度大小为 运动员抓住木箱后，设共同速度大小为v共，系统动量守恒，则 此后二者共同匀减速运动，由动能定理有 解得 木箱与冰面间的摩擦热 【变式2】（24-25高二下·广西钦州·期末）如图所示，左侧水平高台上放置一质量的木块，一质量的子弹以的速度射向木块并留在其中，随后木块滑向右侧光滑水平面上足够长的长木板上，长木板上表面粗糙且与高台齐平，长木板右侧足够远处均匀排列n个质量为的铁块，已知长木板质量，所有碰撞均为弹性正碰，重力加速度，求： (1)子弹打入木块过程中系统损失的机械能； (2)木块第一次与长木板共速过程中，受到长木板的摩擦力的冲量大小； (3)木块最终的速度大小。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）子弹打入木块并留在其中，由动量守恒得 解得 则子弹打入木块过程中系统损失的机械能为 代入数据，解得 （2）设木块第一次与长木板共速时速度为，由动量守恒可得 解得 以木块（包含子弹）为对象，由动量定理可得 可知木块第一次与长木板共速过程中，受到长木板的摩擦力的冲量大小为。 （3）木块第一次与长木板共速后，长木板与铁块1发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得， 由于所有铁块质量相等，发生都是弹性碰撞，所以铁块之间碰撞后速度交换，则第块铁块碰后的速度为，其它铁块处于静止。 长木板与铁块第一次碰撞后，木块第二次与长木板共速过程，根据动量守恒可得 解得 同理可知长木板与铁块1第二次发生弹性碰撞后的速度分别为， 可知第块铁块碰后的速度为，其它铁块处于静止。 接着木块第三次与长木板共速的速度为 长木板与铁块1第三次发生弹性碰撞后的速度分别为， 综上分析可知，长木板与铁块1第次发生弹性碰撞后，木块第次与长木板共速的速度为木块最终的速度，则有 【变式3】（24-25高一下·重庆·期末）如图所示，长为L、质量为的木板A静止放在光滑的水平面上，A的左端紧靠光滑固定曲面，曲面底端切线与A上表面重合，A右端足够远处有一与A等高的平台，平台上MN之间是一个宽度为的特殊区域，只要物体进入MN之间（含边界MN）就会受到一个方向向右、大小为F=mg的作用力，平台除MN之间粗糙外，其余部分光滑，MN的右侧某处安装有一特殊的弹射装置。质量为m的小滑块B从曲面上距底端高为处由静止释放，B滑上A后，先与A达到共速，之后A与平台接触时会立刻被粘住。当B到达弹射装置的速度不小于时可通过弹射装置，速度小于时被反弹，反弹后的动能为反弹前的k倍（0<k<1）。已知A、B之间的动摩擦因数μ=0.5，重力加速度为g。 (1)求B与A相对静止时的速度v； (2)若B滑上平台后在MN间通过的路程为，求B与MN之间的动摩擦因数μ1（μ1<1）的最大值； (3)若B与MN之间的动摩擦因数，试讨论B滑上平台后在MN间通过的路程。 （可能用到的数学知识：一组数列a1，a2⋯⋯an，若从第二项起，每一项与其前一项的比值等于同一常数q（0<q<1），该种数列称为递缩等比数列。n个这样的数求和公式为，当n→∞时， 【答案】(1)；(2)0.25；(3)当时，s1=L；当时， 【详解】（1）设B滑到曲面底端时速度为v0，B在曲面上，由动能定理有 B在A上滑动时，由动量守恒定律，有 联立解得 （2）设B与A共速时相对位移为x，由功能关系，有 解得x=L B恰好到A右端时二者共速，即B滑上平台时速度为v。第一次过N点后B恰好能通过弹射装置时μ1有最大值，由动能定理，有 解得μ1=0.25 （3）由可知B在弹射装置处反弹。设B第一次到达N时速度为v1，由动能定理有 解得 反弹后，设k=k1时，B恰好回到M点。B在从N到M过程中，由动能定理有 解得 ①当时，B第一次反弹后从M点左侧离开MN区域，B在MN间通过的路程为s1=L ②当时，B不能从MN左侧离开。设B第1次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x1，由动能定理，有 解得 由F>μ2mg可知，B不能在MN之间静止。 设B第1次反弹后从N离开的速度为v2，由动能定理，有 设第2次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x2，由动能定理，有 解得 设第2次反弹后从N离开的速度为v3，由动能定理，有 设第3次反弹后在MN区域向左运动的最大位移为x3，由动能定理有 解得 由上可知：B第n次反弹后在MN中向左运动的最大位移为 B在MN间路程 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（24-25高一下·河北廊坊·期末）2025年5月22日16时49分，神舟二十号乘组航天员陈冬、陈中瑞、王杰密切协同进行了约8小时的出舱活动，完成了既定目标后顺利返舱。设某次出舱活动中一位连同装备共120kg的航天员，脱离空间站后，在离空间站30m的位置与空间站处于相对静止的状态。装备中有一个高压气源，能以50m/s的速度（相对于空间站）迅速喷出少量气体。航天员返回空间站恰好用时5min，他向后喷出气体的质量为（　　） A．0.24kg B．0.30kg C．0.36kg D．0.42kg 【答案】A 【详解】距离30m，时间5分钟（300秒），匀速运动速度 设喷出气体质量为，航天员剩余质量为，气体速度为50m/s（相对于空间站），根据动量守恒定律 解得 故选A。 2．（23-24高一下·黑龙江哈尔滨·期末）一个质量为m的小型炸弹自水平地面朝右上方射出，在最高点以水平向右的速度v飞行时，突然爆炸为质量相等的甲、乙、丙三块弹片，如图所示。爆炸之后乙自静止自由下落，丙沿原路径回到原射出点。若忽略空气阻力，则爆炸过程释放的化学能为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】取向右为正，根据动量守恒 解得甲的速度为 由能量守恒定律，爆炸过程释放的化学能为 故选D。 3．（24-25高二上·山东临沂·期末）在光滑的水平面上有三个完全相同的小钢球，三个球处在同一条直线上，其中球左侧带有双面胶贴，开始时两球静止，现以的速度与发生弹性碰撞，然后与球发生正碰后粘在一起，则与球碰撞后的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】设三个球的质量均为m，由于A、B发生弹性碰撞，故A、B碰后，A的速度为零，B的速度为，根据动量守恒定律可得 代入数据解得 故选A。 4．（24-25高二下·青海海南·期末）如图所示，两木块A、B用轻质弹簧连在一起，置于粗糙水平面上。一颗子弹水平射入木块A，并留在其中，在子弹射入木块A及弹簧被压缩的整个过程中，下列说法中正确的是（    ） A．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量守恒、机械能守恒 B．在子弹射入木块A的过程中，子弹和木块A组成的系统动量不守恒，机械能不守恒 C．在弹簧被压缩的过程中，系统动量守恒、机械能不守恒 D．在弹簧被压缩的过程中，系统动量、机械能都不守恒 【答案】D 【详解】AB．在子弹射入木块A的过程中，在子弹、木块A系统中，内力远大于外力，则动量近似守恒，因该过程有内能产生，则机械能不守恒，选项AB错误； CD．在弹簧被压缩的过程中，对于子弹、两木块、弹簧系统中，在完成相互作用的过程中，受到系统外作用力（水平摩擦力）作用，所以系统动量、机械能都不守恒，选项C错误、D正确。 故选D。 5．（24-25高二上·河南洛阳·期末）滑板运动深受青少年喜爱。现有一个质量为40kg的小孩站在一辆质量为30kg的滑板车上（小孩与滑板车均可视为质点），在光滑的水平路面上以4m/s的速度匀速前进。突然小孩以相对于地面2m/s的水平速度向后跳离滑板车（跳离过程时间极短，可忽略不计，且小孩跳离后滑板车速度方向不变），并安全落地。设小孩跳离瞬间，滑板车速度大小变为原来的倍，则为（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【详解】对小孩与滑板车构成的系统，根据动量守恒定律有 由于小孩以相对于地面2m/s的水平速度向后跳离滑板车，则有 解得 则有 故选B。 6．（24-25高二下·湖北荆门·期末）张家界大峡谷玻璃桥的蹦极项目垂直高度为260米，是目前中国垂直落差最高的蹦极项目之一，一可以看成质点体验者在参与该项运动时从跳下到最低点历时8s，下落过程不计空气阻力，弹性绳的作用力随时间变化的图像如图所示。重力加速度，下列说法正确的是（    ） A．图形所围面积 B．体验者下落过程中一直处于失重状态 C．体验者下落过程中加速度的大小不可能大于 D．体验者下落过程中加速度先变大再变小 【答案】A 【详解】A．从跳下到最低点，根据动量定理，有 解得图形所围面积为，故A正确； BD．体验者下落过程分为自由落体阶段和弹性绳拉伸阶段。在自由落体阶段，体验者只受重力，加速度为重力加速度g，方向竖直向下，体验者处于失重状态。当弹性绳开始拉伸后，体验者受到重力和弹性绳的拉力，合力方向先向下后向上，加速度方向先向下后向上，加速度大小先变小再变大，体验者先处于失重状态后处于超重状态。所以体验者下落过程中不是一直处于失重状态，故BD错误； C．在自由落体阶段，体验者只受重力，加速度为重力加速度g，方向竖直向下；在弹性绳拉伸阶段，当运动到最低点时弹性绳的拉力最大，合力方向向上，合外力最大，加速度最大可能大于10m/s2，故C错误。 故选A。 7．（多选）（24-25高二下·福建龙岩·期末）道路千万条，安全第一条，在骑行过程中发生交通事故时，佩戴头盔可有效防止头部受伤，大大减轻损伤程度。下列说法正确的是（　　） A．佩戴头盔缩短了驾驶员头部撞击的作用时间 B．佩戴头盔减小了驾驶员头部撞击作用力的大小 C．佩戴头盔减小了驾驶员头部撞击过程中的动量变化量 D．在事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量大小相等 【答案】BD 【详解】A．佩戴头盔延长了驾驶员头部撞击作用时间，故A错误； B．驾驶员头部撞击过程中的动量变化量不变，根据动量定理，佩戴头盔延长了驾驶员头部撞击作用时间，从而减小驾驶员头部受到的撞击力的大小。故B正确； C．在撞击过程中，驾驶员头部的动量变化量是由撞击前后的速度变化决定的，与是否佩戴头盔无关，故C错误； D．根据 可知头盔对头部的作用力与头部对头盔的作用力等大反向，作用时间相同，所以事故中头盔对头部的冲量与头部对头盔的冲量等大反向，故D正确。 故选BD。 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．（23-24高一下·河北·期末）如图甲所示，水平直轨道上的“复兴号”高速列车由静止驶出火车站。水平方向的动力F随时间t的变化关系如图乙所示。t=400s，列车开始以288km/h的速度做匀速直线运动，已知列车所受阻力大小恒定。下列说法正确的是（　　） A．在前400s内，列车做匀加速直线运动 B．列车所受阻力的大小为3.0×106N C．t=400s时列车牵引力的功率大小为8.0×104kW D．该列车的质量为1.0×107kg 【答案】C 【详解】A．由题图乙知，前400s内，牵引力F逐渐减小，由于列车所受阻力大小恒定，则合外力减小，由牛顿第二定律知，列车做变加速运动，故A错误； B．由题图乙知，列车匀速运动时 由平衡条件知，列车所受阻力大小为，故B错误； C．t=400s时列车牵引力的功率大小为，故C正确； D．由于F−t图像中图线与坐标轴围成的面积表示冲量，则前400s内，由动量定理得 解得列车的质量为，故D错误。 故选C。 2．（多选）（24-25高一下·辽宁·期末）如图所示，两个四分之一圆弧体A、B静止在光滑的水平面上。A、B的圆弧面光滑，半径分别为和，底端切线均沿水平面且靠在一起。将一可视为质点的小物块C从A的圆弧面的顶端静止释放，A、C的质量分别为和，则以下说法正确的是（    ） A．C下滑过程中，A、C组成的系统在水平方向动量守恒 B．C刚滑到A底端时，C的速度大小为 C．C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为 D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，则B的质量为 【答案】AB 【详解】ABC．根据题意可知，C下滑过程中，A、C组成的系统在水平方向动量守恒，设C刚滑到A底端时，C的速度大小为，A的速度大小为，由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 解得, 根据“人船模型”有 又有 解得， 即C刚滑到A底端时，C距B的圆弧面底端的水平距离为，故AB正确，C错误； D．若C滑到A底端后，恰好能滑上B的圆弧面顶端，水平方向由动量守恒定律有 由机械能守恒定律有 解得，故D错误。 故选AB。 3．（多选）（24-25高二上·山东淄博·期末）某同学设计了一种测定风速的装置，其原理如图所示，绝缘弹簧的一端固定，另一端与导电的迎风板（电阻不计）相连，弹簧套在水平放置的电阻率较大的均匀金属细杆上，迎风板与金属杆接触良好，并能在光滑的金属杆上自由滑动。电路的一端与迎风板相连，另一端与金属杆相连。弹簧的劲度系数，自然长度，迎风板面积，工作时总是正对着风吹来的方向，电路的限流电阻的阻值，电源电动势，内阻，合上开关，没有风吹时，弹簧处于原长，电压传感器（内阻无穷大）的示数。假设风（运动的空气）与迎风板作用后的速度变为零，空气的密度为，如果某时刻风吹迎风板使其向左压缩弹簧，电压传感器的示数变为。则（　　） A．金属杆每米长度的电阻为 B．金属杆每米长度的电阻为 C．作用在迎风板上的风力大小为 D．风速大小为 【答案】AD 【详解】AB．无风时金属杆接入电路的电阻为R1，有 解得 所以金属杆单位长度的电阻，故A正确，B错误； C．有风时金属杆接入电路的电阻为R2有 解得 此时 解得弹簧的长度 故 根据平衡条件，此时的风力，故C错误； D．设风速为v，在Δt时间内接触到吹风板的空气质量为Δm，则有 根据动量定理有 联立解得，故D正确。 故选AD。 4．（多选）（23-24高二上·湖南益阳·期末）一质量的物体在合力F的作用下从静止沿直线运动，F随时间t变化的图像如图所示，则下列说法正确的是（　　） A．第6s末物体的速度大小为3m/s B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为-3kg·m/s C．第3s末合力的瞬时功率为4W D．第4s内与第5s内物体的动量增加量相等 【答案】AC 【详解】A．由图像的面积表示冲量，由动量定理可得 解得6s末物体的速度大小为 故A正确； B．第3s末至第6s末合力对物体的冲量为图像围成的三角形的面积，有 即冲量为正的，而不是-3kg·m/s，故B错误； C．对前3s由动量定理有 则第3s末合力的瞬时功率为 故C正确； D．第4s内与第5s内合外力的冲量为 因冲量不相等，则第4s内与第5s内物体的动量增加量不相等，故D错误。 故选AC。 5．（24-25高二下·陕西渭南·期末）如图所示，质量的平板车静止在光滑水平地面上，质量的滑块位于平板车的左端，滑块与平板车之间的动摩擦因数。一根不可伸长的轻质细绳长为，一端悬于滑块正上方的点，另一端系一质量的小球。现将小球拉至悬线与竖直方向成位置由静止释放，小球到达最低点时与滑块发生正碰。经过一段时间后滑块在平板车上与平板车一起向右匀速运动，碰撞时间极短，碰撞无机械能损失。小球和滑块可视为质点，不计空气阻力，重力加速度，求∶ (1)小球与滑块碰撞前瞬间的速度大小； (2)滑块与平板车刚好共同运动的速度大小； (3)平板车的最小长度。 【答案】(1)3m/s；(2)0.8m/s；(3)1.2m 【详解】（1）设小球与滑块碰撞前的速度大小为v0，根据机械能守恒定律可得 解得v0=3m/s （2）设碰后小球的速度为v1，滑块的速度为v2，小球与滑块发生弹性正碰，则该系统动量守恒且动能无损失，以水平向右为正方向，可得m3v0=m3v1+m2v2， 联立解得v2=2m/s 以滑块和平板车为研究对象，该系统动量守恒，以水平向右为正方向，设二者第一次达到的共同速度为v，由动量守恒可得m2v2=（m1+m2）v 解得v=0.8m/s （3）设平板车的最小长度为Lmin，结合前面分析，由能量守恒定律可得 解得Lmin=1.2m 6．（24-25高一下·广东广州·期末）如图所示，在光滑固定水平圆环中有两个可看成质点的小球，小球a位于A点，小球b位于B点，AB是圆环的一条直径，ma=4mb，圆环的周长L=10m，刚开始两球都静止，现给小球a一方向垂直AB、大小为10m/s的速度v，两球碰撞都是弹性碰撞，且碰撞时间极短。 (1)分别求出第一次碰撞后瞬间两球的速度大小va、vb； (2)求从小球a、b第一次相碰到第二次相碰的时间间隔t。 【答案】(1)va=6m/s，vb=16m/s；(2)t=1s 【详解】（1）以小球a的初速度方向为正方向，两球发生弹性碰撞，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得， （2）设小球a、b第一次相碰到第二次相碰过程中，小球a运动的路程为s，则小球b运动的路程为s+L，则有 解得从小球a、b第一次相碰到第二次相碰的时间间隔为 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．（24-25高二下·江苏盐城·期末）如图所示，光滑水平轨道上放置小车A（上表面粗糙且足够长）和滑块B，滑块C置于A的左端，三者质量分别是、。开始时B静止，A、C一起以速度向右匀速运动，A与B发生碰撞（时间极短）后B向右运动。经过一段时间，A、C再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与B碰撞。重力加速度为g，求： (1)A与B碰撞前A、C总动量的大小p； (2)A与B碰撞后B的速度大小v； (3)若把C的质量变为3m、且与小车之间动摩擦因数为，滑块B固定在地面上。A、C仍一起以速度向右匀速运动和B相碰。不计碰撞中能量的损失，则碰后物体A运动的总路程s。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）碰撞前A、C系统的总动量大小 （2）对A、B、C系统全过程分析，由动量守恒定律得 解得 （3）设A与B第一次碰撞后A的速度大小为，第二次碰撞后速度大小为，依次类推。 A、B第一次碰撞，由于无能量损失，因此A原速率返回 此后A小车向左运动到速度为零，运动的位移，满足 解得， 第一次碰撞后到第二次碰撞前，A、C系统动量守恒，最终以共速，再一起与B碰撞。 取水平向右为正方向，则 解得， 同理，第二次碰撞后A向左运动位移 第三次碰撞后A向左运动位移 第n次碰撞后A向左运动位移 则碰后物体A运动的总路程 解得 2．（24-25高二上·湖北·期末）甲小孩乘一辆小车在光滑的水平冰面上以速度匀速行驶，发现正前方有一静止的乙车，甲小孩迅速拿起车上小球，均以相对地面为的水平速度抛向乙，且被乙接住。已知甲和他的小车及小车上小球的总质量为，每个小球质量，乙和他的小车的总质量为，不计空气阻力。求： (1)甲第一次抛球时对小球的冲量大小； (2)甲抛出个小球后，甲的速度是多少？ (3)为保证两车不相撞，甲至少抛出多少个小球。 【答案】(1)；(2)，方向水平向右；(3)9 【详解】（1）对第一个小球分析，根据动量定理有 解得甲第一次抛球时对小球的冲量大小 （2）设甲抛出第个小球后的速度为，根据动量守恒定律可知，系统初动量等于甲和剩余小球的动量与抛出小球动量之和，则有 解得 方向水平向右。 （3）以水平向右为正方向，当甲、乙两车最终速度相等时，两车刚好不相撞，设此时速度为，对所有物体组成的系统，根据动量守恒定律有 对乙和他的小车及小球组成的系统，根据动量守恒定律有 联立解得 可知为保证两车不相撞，甲至少抛出个小球。 3．（24-25高二上·广东河源·期末）如图，足够长的水平面上，两小滑块a、b间有压缩的轻弹簧，弹簧锁定，P点左侧粗糙，右侧光滑。水平面上还放置一静止的带弧形轨道的滑块c，c的左端与水平面相切。现解除弹簧锁定，a、b在弹力作用下与弹簧分离，取走弹簧，分离时a刚好滑到P点，之后b滑上c且不会从c的右端冲出。已知a、b、c的质量分别为，解除锁定前弹簧储存的弹性势能为，a、b间的碰撞为弹性碰撞，a、b滑块与P点左侧水平面间的动摩擦因数均为，b在滑块c上运动时间，，a，b均可视为质点。求：    (1)弹簧恢复原长瞬间，a、b速度的大小； (2)滑块c的高度h满足的条件； (3)a、b间的最终距离。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）弹簧解除锁定到恢复原长过程，以向右为正方向，根据动量守恒和能量守恒，有， 解得 （2）b沿c向上运动的过程，系统水平方向动量守恒，b未从c的右端冲出，根据水平方向动量守恒有 根据能量守恒有 解得 要满足题意即 （3）b从c左侧底端上滑，再返回底端过程，根据水平方向动量守恒，有 根据能量守恒有 联立解得 滑块a与弹簧分离后，根据牛顿运动定律有 运动的时间 解得 可得滑块b与a碰前，a已经停止，则 滑块b与a碰撞，根据动量守恒和能量守恒，有， 解得 故a，b间的最终距离 4．（24-25高二上·贵州贵阳·月考）如图所示，曲面和下底面都光滑的圆弧轨道A静置在水平地面上，其质量为3m、圆弧半径为R。A的左侧距离为处为一足够长、以大小为的速度顺时针匀速转动的传送带，其上表面与水平地面齐平。现将质量为m的滑块B，从圆弧最高点静止释放，B沿轨道下滑后，与静置在传动带右端的滑块C发生碰撞，C的质量也为m，B、C均可视作质点，B、C与传送带、水平地面的动摩擦因数都为μ = 0.25，重力加速度为g，且B与C的所有碰撞都是完全弹性的。求： (1)从滑块B静止释放至滑块B滑到轨道的圆弧最低点的过程中，A、B运动的水平位移的大小； (2)滑块C第一次在传送带上向左运动的时间； (3)从滑块C在传送带最左端开始计时，到B恰好停止的过程中，地面给B的冲量大小。（答案可以用根号表示） 【答案】(1)，；(2)；(3) 【详解】（1）从滑块B静止释放至滑块B滑到轨道的圆弧最低点的过程中，A、B组成的系统水平方向动量守恒，根据人船模型可得 联立解得A、B运动的水平位移的大小分别为 ， （2）从滑块B静止释放至滑块B滑到轨道的圆弧最低点的过程，根据系统水平方向动量守恒定律和系统机械能守恒定律可得 解得 ， 从B滑到圆弧最低点到与C发生碰撞前瞬间过程，根据动能定理可得 解得B与C碰前的速度大小为 B与C发生弹性碰撞过程，有 解得 ， 可知B、C速度交换，则滑块C第一次在传送带上向左运动过程，有 滑块C第一次在传送带上向左运动的时间为 （3）由于传送带速度为 可知滑块C向左减速为0后，反向向右加速到与传送带共速，接着匀速运动到右端与B发生弹性碰撞，碰后速度再一次发生交换，所以第二次碰撞后B的速度为 设滑块C在传送带上向右加速所用时间为t1，匀速运动的时间为t2，则有 B向右减速到停下所用时间为 此过程，支持力对B的冲量大小为 摩擦力对B的冲量大小为 则地面给B的冲量大小为 5．（24-25高一下·吉林长春·期末）如图所示，n个相同的木块（均可视为质点），每块的质量都是m，从右向左沿同一直线排列在水平桌面上，相邻木块间的距离均为L，第n个木块到桌边的距离也是L，木块与桌面间的动摩擦因数可调。t=0时，第1个木块以初速度v0向左滑行，其余所有木块都静止，若每次碰撞后，发生碰撞的木块都粘在一起运动，碰撞过程时间极短可忽略。 (1)若动摩擦因数为μ，经一系列碰撞后，第n个木块恰好滑到桌边而没有掉下，求在整个过程中因碰撞而损失的总动能（可能用到的公式：1+2 +3+……+； (2)求第i次碰撞中损失的动能与碰撞前动能之比； (3)若n=4，L=0.10 m，v0=3.0m/s，重力加速度，为使第4个木块被碰后不从桌面滑下，求的取值范围。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】（1）根据题意可知，全过程因摩擦生热为 由能量守恒定律可知，碰撞而损失的总动能为 （2）设第i次碰撞前木块的速度为vi，碰撞后速度为，则有     碰撞中损失的动能与碰撞前动能Eki之比为 解得 （3）根据题意可知，初动能 第1次碰撞前 利用（2）问结论，第1次碰撞后 同理：第2次碰撞前     第2次碰撞后     第3次碰撞前 第3次碰撞后 据题意有 且     代入数据，联立求解得 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $