精品解析：辽宁省沈阳市铁西区2025-2026学年九年级上学期12月期末数学试卷

2025—2026学年度上学期期末质量监测 九年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，实数的大小比较，根据特殊角的三角函数值先求出各选项的数值，再根据实数的大小比较方法比较即可求解，熟记特殊角的三角函数值 是解题关键． 【详解】解：，，， ∵正数大于，负数小于，正数大于一切负数， ∴最小的数在和之间， ∵，， ∴， 又∵两个负数比较，绝对值大的反而小， ∴， ∴最小的数是， 故选：． 2. 如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）   A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图．根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案． 【详解】解：从左边看，底层是两个小正方形，上层的左边是一个小正方形． 故选：C． 3. 如图，，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线分线段成比例定理写出相应的比例式，即可得出答案． 【详解】解：∵DE//BC， ∴； ∴A错误； 故选：A． 【点睛】此题考查了平行线分线段成比例定理，用到的知识点是平行线分线段成比例定理，关键是找准对应关系，避免错选其他答案． 4. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，掌握相关知识是解决问题的关键．直接计算一元二次方程的判别式即可 【详解】解：∵ 一元二次方程 中， ，，， ∴ 判别式 ． 故选：C． 5. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，菱形的对角线互相垂直，所以在菱形中，，即，在中，因为，三角形内角和为，所以，因为菱形的对边平行，即，根据两直线平行，内错角相等，所以． 【详解】解：如图， ∵四边形是菱形， ∴，即，， 在中，∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 6. 若，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，算术平方根的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．先计算k的值，再根据反比例函数的性质判断图象所在象限． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数 的图象在第一、三象限． 故选：B． 7. 二次函数的图像如图所示，其对称轴为，图像经过点，与轴负半轴交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 若，两点都在抛物线的图像上，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图像和性质，根据图像判断系数之间的关系，从图像获取信息，根据二次函数的对称性，增减性，逐一进行判断即可． 【详解】解：由图像可知，抛物线的开口向下，与y轴交于正半轴， ∴，，故选项A正确，不符合题意； ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，，故选项B正确，不符合题意； ∵抛物线与的一个交点坐标为，对称轴为直线， ∴点，故选项C正确，不符合题意； 若，两点都在抛物线的图像上， ∵， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 8. 如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查勾股定理及其逆定理、锐角三角函数，取格点M，连接，，则B、C、M共线，根据勾股定理及其逆定理得到，再利用余弦定义求解即可． 【详解】解：取格点M，连接，，如图， 根据网格特点，B、C、M共线， 因为每个小正方形的边长均为1， 则由勾股定理得， ，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴． 故选：C． 9. 如图，在矩形中，点，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，作，易得为等腰直角三角形，进而求出的长，证明，求出的长，勾股定理求出的长即可． 【详解】解：作于点，如图， ∵矩形， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，； 故选A． 10. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平均增长率问题，属于一元二次方程的应用．已知一月份销量为8000辆，三月份增至12000辆，需建立平均每月增长率x的方程．根据连续增长模型，每月销量为前一个月的倍，故三月份销量为，据此列方程即可． 【详解】设每月增长率为x，则二月份销量为，三月份销量为二月份的倍，即． 根据题意，三月份销量为辆，可得方程为：． 故选B． 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，将代入方程得到，然后通过代数变形求解的值即可． 【详解】解：∵是方程的根， ∴代入得， 将方程变形：，即， 因此，． 故答案为：． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻时，电流的值是__________A． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用；设该反比例函数解析式为，根据当时，，可得该反比例函数解析式为，再把代入，即可求出电流I． 【详解】解：设该反比例函数解析式为， 由题意可知，当时，， ， 解得：， 该反比例函数解析式为， 当时，， 即电流为， 故答案为：． 13. 如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，根据正方形的性质求出，再证明与是等腰直角三角形，得，从而得正方形的周长． 【详解】解：∵四边形是正方形，， ∴，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， ∴与是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， ∴正方形的周长为， 故答案为：． 14. 小明同学计划利用暑假时间去我市“故宫”、“科技宫”、“大帅府”参观，先后顺序由抽签决定．他先将三个目的地分别写在三张卡片的正面，这三张卡片除正面文字不同外，其他完全相同，然后将卡片背面朝上洗牌，抽取的第一张作为第一个目的地，接着从剩下的卡片里抽取第二张作为第二个目的地，最后剩下的一张作为第三个目的地．最终“科技宫”排在第二个目的地的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是用列举法求概率，不遗漏地列出所有可能的结果．总共有种等可能的排列顺序，其中科技宫在第二个位置的有种情况，因此概率为． 【详解】解：三个目的地可能的排列顺序有： “故宫”、“科技宫”、“大帅府”， “故宫”、“大帅府”、“科技宫”， “科技宫”、“故宫”、“大帅府”， “科技宫”、“大帅府”、“故宫”， “大帅府”、“故宫”、“科技宫”， “大帅府”、“科技宫”、“故宫”， 三个目的地的所有可能排列顺序共有种等可能的情况，科技宫排在第二个目的地的情况有种， “科技宫”排在第二个目的地的概率为． 故答案：． 15. 如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图，相似三角形的性质与判定，二次函数的性质；根据作图可得是的角平分线，则，根据题意得出，进而求得，证明得出，根据二次函数的性质，即可求解． 【详解】解：根据作图可得是的角平分线，则 ∵在中，，， ∴ ∵ ∴ ∵设，，关于的函数图象过点， 当重合时，重合， ∴， 如图，作，延长至，交于点， ∴， ∴ 设，则 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴， ∴ ∵， ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵， ∴当时，的最小值为 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，三角函数，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）化简二次根式，特殊角的三角函数，绝对值后，合并同类项即可． （2）因式分解解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）， 因式分解得， ∴，， 解得：，． 17. 两个相似三角形的最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 【答案】这两个三角形的周长分别是、． 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，两个相似三角形的周长比等于相似比，由最长边之比得出相似比，再根据周长之和求解即可． 【详解】解：∵两个相似三角形的最长边分别是和， ∴这两个相似三角形的相似比为， ∴这两个相似三角形的周长比为， ∵这两个相似三角形的周长之和为， ∴较小三角形的周长是， 较大三角形的周长是 答：这两个三角形的周长分别是、． 18. 如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，等边三角形的性质，含30度角的直角三角形，根据正方形和等边三角形的性质，得到为含30度角的直角三角形，，根据含30度角的直角三角形的性质求得，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，； 又为等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 19. 已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数解析式，二次函数的图像与性质， （1）首先根据题意可知该二次函数的图像的对称轴为，即，求解即可获得答案； （2）结合（1）可知该函数图像开口向下,且对称轴为,顶点坐标为,进而可知在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小，故当时，函数均在对称轴的同侧，然后分在对称轴的左侧和在对称轴的右侧两种情况，分别求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意，关于的二次函数的顶点横坐标是1， 即该二次函数图像的对称轴为， ∴，解得， ∴该函数解析式为； 【小问2详解】 结合（1）可知，， ∵， ∴该函数图像开口向下，且对称轴为，顶点坐标为, ∴在对称轴的左侧，随的增大而增大，在对称轴的右侧，随的增大而减小， ∵当，函数有最大值，且， ∴当时，均在对称轴的同侧， ①若在对称轴的左侧，可知，即， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）； ②若在对称轴的右侧，可知， 当时，该函数有最大值， 即， 解得或（舍去）． 综上所述，当或时，该二次函数有最大值． 20. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点代入求出，得，把代入，解得； （2）把，代入，求出，的值即可； （3）求出点A坐标，根据解答即可． 【小问1详解】 解：∵点在的图象上， ∴， ∴； 把代入， 得， 解得； 【小问2详解】 解：由（1）得， 把，代入，得：， 解得， ∴一次函数解析式为； 【小问3详解】 解：对于，当时，， 解得， ∴， ∴， 又，， ∴ ． ∴的面积为． 21. 阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点，，使点，，在同一条水平直线上，在点，处放置测角仪器，测量建筑物的顶端点的仰角和，再测量点与点的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，与地面垂直． 参考数据：，，； ，， 请根据上述数据，计算建筑物的高度（结果精确到）． 【答案】建筑物的高度约米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用．延长交于点，在，中，分别表示出，根据建立方程，解方程，即可求解． 【详解】解：如图所示，延长交于点， 依题意，设， 在中，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，即， 解得：， ∴． 答：建筑物的高度约米 22. 某旅游景点超市购入一批进价为10元/个的冰箱贴进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设这批冰箱贴日销售利润为元． 销售单价元 … 12 14 16 18 20 … 销售量个 … 56 52 48 44 40 … （1）求与的函数表达式； （2）求与的函数表达式； （3）为增加销量，该超市决定对购买这种冰箱贴的顾客，每购买一个冰箱贴，赠送成本价为元的一本纪念册，在这种促销模式下，若该超市这种冰箱贴日销售获得的最大利润为338元，求的值． 【答案】（1） （2） （3）4 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）设与的函数表达式为，将和代入计算即可得出结果； （2）根据利润（单价进价）销售量即可得出与的函数表达式； （3）根据题意得出利润关于的关系式，再由二次函数的性质即可得出结果． 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将和代入可得， 解得：， ∴与的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意可得：， ∴与的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由题意可得， 利润， ∵，对称轴为直线， ∴当时，利润有最大值为， ∴， 解得：或， ∵， ∴， 解得， 当时，，超出自变量的取值范围，舍去， 当时，，符合题意； 故的值为． 23. 在中，，于点，点是边的中点，点是线段的垂直平分线与的交点，连接，点是线段上的一点，点是边上的一点，连接，，，，且这两个三角形除顶点外无其他部分重合． （1）如图1，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图2，当，时，请直接写出的长（用含和的式子表示）． 【答案】（1）①；② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据等腰三角形的性质求出，根据勾股定理求出，根据三角函数定义求出结果即可； ②过点F作于点M，解直角三角形得出，证明，得出，，证明，得出； （2）过点F作于点M，解直角三角形得出，求出，证明，得出，，证明，得出，即，求出结果即可． 【小问1详解】 解：①∵在中，，， ∴， ∴， ∴在中，； ②过点F作于点M，如图所示： ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点F作于点M，如图所示： ∵在中，，， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∵点F在线段的垂直平分线上， ∴，， 在中，， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：． 【点睛】本题主要考查了三角形相似的判定和性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的相关计算，求余弦值，线段垂直平分线的性质，解题的关键作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度上学期期末质量监测 九年数学 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 第一部分 选择题（共30分） 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的） 1. 下列各数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图是由五个大小相同的小正方体搭成的几何体，它的左视图是（ ）   A. B. C. D. 3. 如图，，则下列比例式错误的是（ ） A. B. C D. 4. 一元二次方程根的判别式的值是（ ） A. B. C. 1 D. 5. 如图，菱形中，连接，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则反比例函数的图象在（ ） A. 第一、二象限 B. 第一、三象限 C. 第二、四象限 D. 第三、四象限 7. 二次函数的图像如图所示，其对称轴为，图像经过点，与轴负半轴交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. 点的坐标为 D. 若，两点都在抛物线的图像上，则 8. 如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1．若点A，B，C都在格点上，则的值为（　　） A. B. C. D. 9. 如图，在矩形中，点，是边上两点，且，连接，，与相交于点，连接．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 3 10. 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车已经逐渐成为人们喜爱的交通工具．某品牌新能源汽车的月销售量由一月份的8000辆增加到三月份的12000辆，设该汽车一月至三月销售量平均每月增长率为x，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 第二部分 非选择题（共90分） 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若是方程的根，则__________． 12. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它的图象如图所示．当电阻时，电流的值是__________A． 13. 如图，正方形的边长为6，连接，点，在上，以为一边作正方形，点，分别在边，上，则正方形的周长为__________． 14. 小明同学计划利用暑假时间去我市“故宫”、“科技宫”、“大帅府”参观，先后顺序由抽签决定．他先将三个目的地分别写在三张卡片的正面，这三张卡片除正面文字不同外，其他完全相同，然后将卡片背面朝上洗牌，抽取的第一张作为第一个目的地，接着从剩下的卡片里抽取第二张作为第二个目的地，最后剩下的一张作为第三个目的地．最终“科技宫”排在第二个目的地的概率是__________． 15. 如图，在中，，，在边和边上分别截取，，使，分别以点，为圆心、以大于的长为半径作弧，两弧在的内部交于点，作射线交边于点．点从点出发，沿方向向终点运动，连接，点在边上，且．设，，若关于的函数图象过点，则的最小值为__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答题应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 两个相似三角形最长边分别是和，并且它们的周长之和为，求这两个三角形的周长分别是多少cm． 18. 如图，四边形为正方形，点在正方形内部，连接，，是等边三角形，过点作于点，若，求长． 19. 已知关于的二次函数的顶点横坐标是1． （1）求二次函数的表达式； （2）当时，该二次函数有最大值，求的值． 20. 如图，一次函数的图象与两坐标轴分别交于点，，与反比例函数的图象交于点，，连接，． （1）求和的值； （2）求一次函数的函数表达式； （3）求的面积． 21. 阅读下面九年一班数学兴趣小组的实践报告： 活动主题 测量建筑物的高度 准备工具 测角仪，卷尺等 测量示意图 测量方案 在地面上取点，，使点，，在同一条水平直线上，在点，处放置测角仪器，测量建筑物的顶端点的仰角和，再测量点与点的距离． 测量数据 ，，， 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．，，与地面垂直． 参考数据：，，； ，， 请根据上述数据，计算建筑物的高度（结果精确到）． 22. 某旅游景点超市购入一批进价为10元/个的冰箱贴进行销售，经市场调查发现：销售单价不低于进价时，日销售量（个）与销售单价（元）是一次函数关系，下表是与的几组对应值，设这批冰箱贴日销售利润为元． 销售单价元 … 12 14 16 18 20 … 销售量个 … 56 52 48 44 40 … （1）求与的函数表达式； （2）求与的函数表达式； （3）为增加销量，该超市决定对购买这种冰箱贴的顾客，每购买一个冰箱贴，赠送成本价为元的一本纪念册，在这种促销模式下，若该超市这种冰箱贴日销售获得的最大利润为338元，求的值． 23. 在中，，于点，点是边的中点，点是线段的垂直平分线与的交点，连接，点是线段上的一点，点是边上的一点，连接，，，，且这两个三角形除顶点外无其他部分重合． （1）如图1，当时， ①求的值； ②求的值； （2）如图2，当，时，请直接写出的长（用含和的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $