精品解析：河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题

河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系中点在平面Oxy上的射影点的坐标特征，对各选项进行分析即可. 【详解】在空间直角坐标系中，点在平面Oxy上的射影点的坐标，其竖坐标为，横坐标和纵坐标与该点的横坐标和纵坐标相同， 故点在平面Oxy上的射影点的坐标为. 故选：. 2. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据等差数列的求和公式，结合等差数列的性质即可求解. 【详解】， 故选：A 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，再利用等比中项的性质可求得的值. 【详解】设等比数列的公比为，则， 由等比中项的性质可得，故. 故选：B. 4. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】A 【解析】 【分析】根据空间向量基底的判定，即向量组是否共面，若不共面则构成空间的一组基底. 【详解】设，即， ，此方程组无解，，，不共面，可构成基底，正确. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 设，即， ，此方程组有解，，，共面，不可构成基底，错误. 故选：. 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对同时除以可得，再由累加法求解即可得出答案. 【详解】若，则，则， 这与矛盾，所以， 对同时除以， 所以，则，， ……，， 上面的式子相加可得： ， 所以，所以， 故选：D. 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】由等比中项定义求得，根据的取值确定曲线是椭圆还是双曲线，然后计算离心率． 【详解】由已知，， 当时，方程为，曲线为椭圆， ，，离心率为； 当时，方程为，曲线为双曲线，，，离心率为． 故选：C． 7. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据数列的递推关系式确定数列的周期性，从而可得的值. 【详解】因为，， 所以，，，，，…… 则该数列的周期为， 所以. 故选：C. 8. 已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据双曲线左焦点和直线斜率求出直线的方程，然后联立直线与圆的方程求出点的坐标.接着利用点是中点这一条件，联立直线与双曲线渐近线方程求出、横坐标，再根据中点坐标公式列出等式，最后求解出双曲线的离心率. 【详解】由题意双曲线左焦点为，已知圆的圆心为，半径为c，直线的斜率为， 则直线方程为， 由，得，即点P的坐标为， 双曲线渐近线方程为，设点，点， 则①，， 由，得， 由，得， 代入①得，解得， 所以双曲线C的离心率 故选： 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】利用导数的定义对各选项逐一分析计算并判断作答. 【详解】对于A，，A满足； 对于B，，B不满足； 对于C，，C满足； 对于D，，D不满足. 故选：AC 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 【答案】ACD 【解析】 【分析】确定数列的所有正数项判断A；举例说明判断B；利用等差数列性质计算判断C；利用等差数列前n项和公式及性质推理判断D. 【详解】对于A，由，令，解得，令，解得， 又，则，，数列单调递减，数列前项的和最大，A正确； 对于B，当，时，等比数列也是递减数列，B错误； 对于C，，由，得，C正确； 对于D，若为等差数列，则，则， （为常数），因此数列是等差数列，D正确． 故选：ACD 11. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，利用定义转化长度，即可利用几何法求出最小值；对于B，利用点到直线的距离公式，消去纵坐标，即得二次函数求其最小值即得；对于C，利用定义转化长度，也可利用几何法求出最小值；对于D，把存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切问题转化为圆心距的范围问题，即可求解. 【详解】对于A，抛物线，焦点，准线，， 过点作准线的垂线，垂足为， 再过点作准线的垂线，垂足为， 由抛物线定义可知：，故A正确； 对于B，设点，则， 由点到直线：的距离公式可得： ，故B正确； 对于C，过点作准线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 过点作直线的垂线，垂足为， 由点到直线：的距离公式可得：， 则点到直线与到直线的距离之和为： ，故C错误； 对于D， 根据过点可作两条垂直的直线与圆相切，可知， 由于两条切线垂直，可知，即，所以有， 从而把问题转化为抛物线上存在点到圆心的距离为， 先求抛物线上点到圆心的距离： ， 当时，取到最小值， 即，解得，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：利用抛物线的定义可把相关距离进行转化再求最值；与圆有关的切线问题可转化为点到圆心的距离问题，即可求解. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 【答案】 【解析】 【分析】由导数的几何意义可得的值，将点的坐标代入切线方程可得，即可得解. 【详解】由导数的几何意义可得，将点的坐标代入切线方程可得， 因此，. 故答案为：. 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 【答案】或6 【解析】 【分析】根据两圆的方程，先得到圆心坐标和半径，由两圆相切，讨论内切和外切两种情况，即可得出结果. 【详解】圆，该圆的圆心坐标为，半径（）. 而圆的圆心坐标为，半径. 根据两点间距离公式，两圆的圆心距. 因为两圆恰有一个公共点，所以两圆内切或外切. 当两圆外切时， ，可得，解得； 当两圆内切时， ，可得. 当时，解得. 当时，（不成立，因为算术平方根是非负的）. 故的值为或. 故答案为：或. 14. 数列满足，则______；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为______． 【答案】 ①. ②. 7和9 【解析】 【分析】根据数列的通项与前项和的关系求数列的通项公式；根据等差数列的求和公式，可以把问题转化成为整数的讨论. 【详解】解法一：由，得．① 当时，，所以． 当时，有．② ①－②得，即． 因为符合，所以，． 因为，所以 显然为10的约数， 时，；时，；时，. 综上，正整数的所有取值为7和9． 解法二：由．① 当时，有，②，所以．③ ①－③得，即．又，故．下同解法一． 故答案为：；7和9 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知圆，点． （1）求圆心在直线上，且经过点和原点的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据圆的几何性质易得圆心和半径，即得圆的标准方程； （2）由题意可得，求出圆心到直线的距离为，结合图形，判断直线符合题意，设直线的斜截式方程，利用列式求解即得. 【小问1详解】 因为圆经过点和原点，因此圆心在线段的垂直平分线上 又因为圆的圆心在直线上， 所以圆的圆心坐标为，半径， 故圆的方程为. 【小问2详解】 如图，因为圆弧恰为圆周长的， 根据圆的性质，可得，则， 过点作于点，则点到直线的距离为， 由可得：，则 ①当直线的斜率不存在时，点到轴的距离为，直线即为轴， 此时直线的方程为. ②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，即. 可得，即，解得， 即直线的方程，即， 故所求直线的方程为或. 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和，证明：. 【答案】（1） （2） 由（1）可得：， 故. 【解析】 【分析】（1）求出，从而利用等差数列通项公式求出，再利用求出答案； （2）裂项相消法求和，并证明. 【小问1详解】 因为，则， 所以，可得， 当时，， 又因为适合上式，因此. 【小问2详解】 略 17. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，面， ， 分别为和的中点， （1）求证： ，，，四点共面； （2）求二面角的余弦值. 【答案】（1）证明如下： 取的三等分点，，如图所示， 由题意知，，所以， 确定平面，且 ，   在平面中，分别延长和交于点， 所以，则，即， 又在面中，，且，连接并延长交于点， 则，那么有， 所以，为同一点，又点，点， 所以直线与相交，确定平面， ∴，，，四点共面； （2） 【解析】 【分析】（1）取的三等分点，，分别延长和交于点，证明，由此证明，重合，再证明直线与相交，即可证明结论； （2）建立空间直角坐标系，求平面，的法向量，结合向量夹角公式求结论. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以点为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设二面角为， （为锐角）， 设长为，则，，，，，， 因为，所以，则点， 又，， 设平面的法向量为，不妨令， 由，得， 取，可得，， 所以为平面平面的一个法向量， 又，， 设平面的法向量为， 由，得， 取，则，， 所以为平面的一个法向量， 所以， 所以二面角的余弦值为 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） 由已知，∵，∴， ∵， ∴， 又∵，∴， ∴易知数列中任意一项不为，∴， ∴数列是首项为，公比为的等比数列. （2） 【解析】 【分析】（1）由等比数列定义证明即可； （2）使用错位相减法求和即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由第（1）问，，∴， ∴设数列的前项和为，则 ①， ①得， ②， ①②得， ， ∴， ∴. ∴数列的前项和为. 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 【答案】（1） （2）①设直线的方程为，则直线的方程为， 联立，消得，解得或， 所以， 将用替换，可得， ， 则，， 所以， 所以为定值； ② 【解析】 【分析】（1）由题意求出即可得解； （2）①①设直线的方程为，联立直线与抛物线方程，求出点的坐标，将用替换，可得点的坐标，再根据斜率公式化简即可得证； ②联立直线与圆的方程，求出点的坐标，即可求出，将用替换，可得，再根据四边形的面积化简整理即可得解. 【小问1详解】 由题意可得， 所以抛物线的方程为； 【小问2详解】 ①略 ②联立，消得， 解得或， 所以， 所以， 将用替换，可得， 故四边形的面积 ， 令， 则， 所以， 设， 则， 所以函数在上单调递增， 所以当，即时，取得最小值，最小值为， 所以四边形面积的最小值为. 【点睛】方法点睛：求定值问题常见的方法有两种： （1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关； （2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河南省叶县高级中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试卷 一、单项选择题：本大题共8个小题，每小题5分，共40分.每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 在空间直角坐标系Oxyz中，点在平面Oxy上的射影点的坐标为（ ） A. B. C. D. 不确定 2. 已知等差数列的前n项和为，且，则（ ） A. 52 B. 104 C. 112 D. 120 3. 已知等比数列中，，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为空间的一组基底，则下列各组向量中能构成空间的一组基底的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 5. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知是2与8的等比中项，则圆锥曲线的离心率等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 7. 数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知F是双曲线的左焦点，P为圆上一点，直线PF的倾斜角为，直线PF 交双曲线的两条渐近线于M，N，且P恰为MN的中点，则双曲线C的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. （多选）设在处可导，下列式子中与相等的是（ ） A. B. C. D. 10. 数列的前n项和为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则数列的前6项和最大 B. 若等比数列是递减数列，则公比q满足 C. 已知等差数列的前n项和为，若，则 D. 已知为等差数列，则数列也是等差数列 11. 已知为抛物线上一点，为的焦点，直线的方程为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 点到直线的距离的最小值为 C. 点到直线与到直线的距离之和的最小值为2 D. 若存在点，使得过点可作两条垂直的直线与圆相切，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知函数的图象在点处的切线方程是，则______. 13. 若圆与圆恰有一个公共点，则的值为______． 14. 数列满足，则______；记为的前n项和，若关于n的方程有解，则正整数的所有取值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，已知圆，点． （1）求圆心在直线上，且经过点和原点的圆的方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，且圆弧恰为圆周长的，求直线的方程． 16. 设数列的前项和为，已知，是公差为2的等差数列. （1）求的通项公式； （2）设，数列前项和，证明：. 17. 如图，在底面为正方形的四棱锥中，，面， ， 分别为和的中点， （1）求证： ，，，四点共面； （2）求二面角的余弦值. 18. 已知数列满足，（）.记 （1）求证：是等比数列； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知是抛物线的焦点，是抛物线的准线与轴的交点，. （1）求抛物线的方程； （2）设为坐标原点，为圆的一条不垂直于轴的直径，分别延长，交抛物线于、两点. ①直线，，的斜率分别为，，，证明：为定值； ②求四边形面积的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $