1.1三角形内角和定理第3课时（教学课件）数学新教材北师大版八年级下册

该初中数学课件聚焦多边形内角和定理及应用，含正多边形内角公式。通过广场正五边形花坛情境导入，衔接三角形内角和知识，以分割转化为三角形为支架推导公式，构建知识脉络。 其亮点在于以情境培养数学眼光，多种分割方法与转化思想发展数学思维，例题练习强化数学语言应用。如五边形分割、剪长方形纸片讨论内角和，助力学生提升探究与应用能力，为教师提供系统教学流程。

1.1 三角形内角和定理 第一章 三角形的证明及其应用 第3课时 学 习 目 标 1.能通过不同方法探索多边形的内角和公式；（重点） 2.学会运用多边形的内角和公式解决问题；（难点） 3. 体会转化思想的应用，建立数学与生活的联系，增强用几何知识解决实际问题的意识. 知识回顾 1.三角形内角和定理的推论： 推论1：三角形的一个外角等于 的和. 推论2：三角形的一个外角大于 的内角. 和它不相邻的两个内角 任何一个和它不相邻 2.多边形： (1)由若干条 的线段首尾顺次相连组成的封闭平面图形叫做多边形. (2)连接不相邻两个顶点的线段叫做多边形的 . (3)从n边形的一个顶点出发，可以引出 条对角线，把这个n边形分成 个三角形，n边形共有 条对角线. 不在同一直线上 对角线 (n－3) (n－2) 小明和小亮经常到如图所示的广场进行体育锻炼. 这个广场中心有一个正五边形的花坛，施工团队在铺设地砖时，需要计算出这个五边形每个内角的度数，才能精准切割地砖。大家想一想，我们只知道三角形的内角和是180°，怎么才能求出五边形的内角和呢？ 情境引入 新知探究 探究一：多边形的内角和 （1）小明和小亮分别利用图①和图②求出了五边形五个内角的和.你知道他们是怎样做的吗？ 图① 图② 思路：把五边形分割为几个三角形，将五边形五个内角的和转化为求几个三角形内角的和. 新知探究 图① 图② 五边形五个内角的和=180°×3=540°. 五边形五个内角的和 =180°×5-360°=540°. 方法一：分割点在顶点，五边形可以分割成三个三角形来算． 方法二：分割点在内部，五边形可以分割成五个三角形来计算． （2）你还有其他的方法吗？与同伴进行交流. 新知探究 方法三：分割点在顶点，五边形可以分割成一个三角形和一个四边形来计算. 方法四：分割点在边上，五边形可以分割成4个三角形来计算. 五边形五个内角的和=360°+180°=540°. 五边形五个内角的和=180°×4-180° =540°. 方法六：分割点在外部，五边形可以分割成4个三角形来计算. 五边形五个内角的和=180°×4-180°=540°. 其他不同的分割方法：说一说以下方法是如何计算五边形内角和的. 新知探究 结论： 五边形的内角和为540°. 分割 五边形 三角形 分割点与多边形的位置关系 顶点 边上 内部 外部 转化思想 思考：根据以上求五边形内角和的过程，你有什么发现？ （1）按照图①的方法，六边形能分成多少个三角形？n（n是大于或等于3的自然数）边形呢？你能确定n边形的内角和吗？ 新知探究 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形 图形 … 分割出三角形的个数 … 多边形内角和 … 1 n-2 1×180º =180º 2×180º =360º 3×180º =540º 4×180º =720º (n-2)·180º 2 3 4 新知探究 多边形 三角形 四边形 五边形 六边形 … n边形 图形 … 分割出三角形的个数 … 多边形内角和 … （2）按照图②的方法再试一试. n 3×180º-360°=180º 4×180º-360°=360º 5×180º-360°=540º 6×180º-360°=720º n×180º-360°= (n-2)·180º 3 4 5 6 新知探究 多边形的内角和定理： 知识归纳 n边形的内角和等于(n-2)·180 °. 注意：（1）其中n≥3，且为自然数； （2）多边形的内角和与它的边数有关. 新知探究 例：在四边形ABCD中，∠A+ ∠C =180°，那么∠B和∠D有什么关系？试说明理由. A B C D ∵∠A+∠B+∠C+∠D =(4－2) ×180 ° = 360 °， ∴∠B＋∠D = 360°－（∠A＋∠C） = 360°－ 180° =180°. 结论：如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角互补. 新知探究 1.一个多边形的内角和为900°，则这个多边形是( ) A．七边形 B．八边形 C．九边形 D．十边形 A 多边形 正三角形 正四边形 正五边形 正六边形 正八边形 图形 正多边形 内角和 正多边形每个内角的度数 新知探究 探究二：正多边形的内角 (1)正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、正八边形的每个内角分别是多少度？ 180º 360º 540º 720º 180º÷3 =60° 360º÷4 =90° 540º÷5 =108° 720º÷6 =120° 1080º 1080º÷8 =135° 新知探究 (2)怎样计算正多边形每个内角的度数？ ∵正n边形的内角和为(n-2)·180 °，且每个内角都相等， ∴每个内角的度数=. 新知探究 正多边形的内角： 知识归纳 ∵正n边形的内角=. （其中n≥3，且为自然数） 新知探究 2.正十二边形的一个内角的度数是（ ） A.120° B.135° C.150° D.108° C 解析：正十二边形的内角= ==150°. 剪掉一张长方形纸片的一个角后，剩下的纸片是几边形？它的内角和是多少度？与同伴进行交流. 新知探究 五边形， 内角和是540°. 四边形， 内角和是360°. 三角形， 内角和是180°. 总结：截一个多边形的一个角时，一定注意截法，注意分类讨论. 新知探究 3.如图所示，将一张四边形纸片沿直线剪开,如果剪开后的两个图形的内角和相等,那么下列四种剪法中,符合要求的是(　　) A.①② B.①③ C.②④ D.③④ B 典例分析 如图，在四边形ABCD中，∠1＝∠2，∠3＝∠4，且∠D+∠C＝220°，求∠AOB的度数. 例1 解：∵∠D+∠C+∠DAB+∠ABC＝360°， ∠D+∠C＝220°， ∴∠DAB+∠ABC＝360°﹣220°＝140°， ∵∠1＝∠2，∠3＝∠4， ∴∠2+∠3＝70°， ∴∠AOB＝180°﹣70°＝110°. 典例分析 小明同学在计算某个多边形的内角和时得到1840°，老师说他算错了，于是小明认真地检查了一遍． (1)若他检查发现其中一个内角多算了一次，求这个多边形的边数是多少？ (2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ 例2 解：(1)设这个多边形的边数是n，重复计算的内角的度数是x， 则(n－2)×180°＝1840°－x. ∵1840°＝10×180°＋40°，内角和为180°的整数倍， ∴x＝40°，n－2＝10. ∴n＝12. 故这个多边形的边数是12. 典例分析 (2)若他检查发现漏算了一个内角，求漏算的那个内角是多少度？这个多边形是几边形？ (2)设这个多边形的边数是m，漏算的内角的度数是y， 则(m－2)×180°＝1840°＋y， ∵1840°＝11×180°－140°，内角和为180°的整数倍， ∴y＝140°，m－2＝11. ∴m＝13. 故漏算的那个内角是140°，这个多边形是十三边形. 巩固练习 1.一个多边形的内角和为540°，则它是(　  ) A.四边形　 B.五边形 C.六边形 D.七边形 2.一个多边形的内角和为1 800°， 截去一个角后， 得到的多边形的内角和 为(　 　) A.1 620°　 B.1 800° C.1 980°　 D.以上答案都有可能 3.多边形每一个内角都等于150°，则该多边形的边数是( 　  ) A.10　 B.11　　 C.12　 D.13 B D C 巩固练习 5.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是(      ) A．4    B．5     C．6      D．7 4.m边形与n边形内角和的差为720°，则m与n的差为(　　) A.2　 B.3　　 C.4　 D.5 C C 6.如图，正六边形ABCDEF的对角线AD∥BC，则∠DAB(       ) A．60°    B．65°    C．70°    D．75° A 巩固练习 7.已知甲多边形的内角和是乙多边形内角和的2倍，而从甲多边形一个顶点出发所引对角线的条数与从乙多边形一个顶点出发所引对角线的条数的比是 7∶3，如果甲是十边形，那么乙是      边形. 9.如图所示，已知正六边形ABCDEF，连接FD，则∠FDC的度数为　　　　. 8.若一个多边形的内角和比四边形内角和的3倍多180°,则这个多边形的边数是　　　　. 90° 9 六 巩固练习 11.如图，将正五边形纸片ABCDE折叠，使点B与点E重合，折痕为AM，展开后，再将纸片折叠，使边AB落在线段AM上，点B的对应点为点B′，折痕为AF，则∠AFB′的大小为______度． 10.如图，在五边形ABCDE中，∠A＋∠B＋∠E＝300°，DP，CP分别平分∠EDC，∠BCD，则∠P的度数为______． 60° 45° 巩固练习 12.一个同学在进行多边形的内角和计算时，求得内角和为1 125°，当他发现错了以后，重新检查，发现少算了一个内角，问这个内角是多少度？他求的是几边形的内角和？ 解：设此多边形的内角和为x，则有 1 125°＜x＜1 125°+180°， 即180°×6+45°＜x＜180°×7+45°. ∵x为多边形的内角和，∴x＝180°×7＝1 260°. ∴7+2＝9,1 260°-1 125°＝135°. ∴少算的这个内角是135°，这个多边形是九边形. 13.如图所示的模板，按规定，AB，CD的延长线相交成80°的角，因交点不在模板上，不便测量，质检员测得∠BAE＝122°，∠DCF＝155°.如果你是质检员，判断此模板是否合格？为什么？ 巩固练习 解：不合格，组成的五边形的内角和不是540°. 巩固练习 14.如果两个多边形的边数之比为1∶2,这两个多边形的内角之和为1440°,请你确定这两个多边形的边数. 解: 设这两个多边形的边数分别为n，2n. 根据题意,得(n-2)·180°+(2n-2)·180°=1440°, 解得n=4. 所以2n=8. 故这两个多边形的边数分别为4和8. 课堂小结 三角形内角和定理3 多边形的内角和 正多边形的内角 (n-2) · 180 °(n ≥3的整数） 正n边形的内角= 作业布置 1.必做题：习题1.1第5，6，13题。 2.探究性作业：习题1.1第15题。 感谢聆听! $