阶段检测验收卷二 方程（组）与不等式（组）（综合训练）（上海专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

阶段检测验收卷 第二章 方程（组）与不等式（组） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了实数与数轴，不等式的基本性质等知识点，解题的关键是熟练掌握不等式的基本性质． 利用数轴得出三个实数的大小关系，利用不等式的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：根据数轴可知， A、根据不等式的基本性质，则 ， ∴，故该选项正确，不符合题意； B、根据不等式的基本性质，则， ，故该选项正确，不符合题意； C、由数轴可得，，， ，故该选项错误，符合题意； D、由数轴可知，，， ，故该选项正确，不符合题意； 故选：C． 2．已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，以及通过方程组的变形直接求代数式的值的能力．把两个方程相减可得，即可求出代数式的值． 【详解】解：， 得，， ， 故选：B． 3．某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，根据题意和题目中的数据，可以列出相应的方程． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：C． 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法和步骤；先分别求出每个不等式的解集，再根据同小取小即可得解． 【详解】解：， 解①得：， 解②得：， ∴原不等式组的解集为：， 故选：． 5．下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 【答案】D 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，分式方程的解，分别计算四个方程的判别式，然后根据的意义进行判断即可． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； B、∵， ∴， ∴方程没有实数根，不符合题意； C、当，即时，方程没有实数根，不符合题意； D、∵， ∴方程有两个不相等的实数根，符合题意， 故选：D． 6．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】方程的两个分式具备平方关系，若设，则原方程化为y2-2y-3=0．用换元法转化为关于y的一元二次方程． 【详解】解：把代入原方程得：． 故选：． 【点睛】用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查无理方程的解法；根据两边同时平方，计算求解，再进行检验即可． 【详解】解： 两边同时平方得 解得：， 经检验，是原方程的解， 即原方程的解为； 故答案为：． 8．方程组的解为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二元二次方程组的解法，掌握代入消元法与加减消元法解方程组的一般步骤是解题的关键．由②得③，把①代入③求出进而求出方程组的解． 【详解】解：， 由②得③， 把①代入③得：④， 联立①④， 解得：， 故答案为：． 9．不等式组的解集为 ． 【答案】 【分析】本题考查求不等式组的解集，先求出每一个不等式的解集，找到它们的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解： 由①，得：； 由②，得：； ∴不等式组的解集为：； 故答案为：． 10．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平方根的定义．根据平方根的定义，一个正数的两个平方根互为相反数，因此它们的和为零，据此列出方程求解即可． 【详解】解：由题意，得：， 化简得：， 解得：． 故答案为：5 11．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 【答案】±2 【分析】一元二次方程有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2 -4ac= 0，建立关于k的等式，求出k的值． 【详解】由题意知方程有两相等的实根， ∴△=b2-4ac= k2-4= 0， 解得k=±2， 故答案为：±2． 【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2 + bx+c=0(a≠0)的根与△=b2- 4ac有如下关系：当△> 0时，方程有两个不相等的两个实数根；当△= 0时，方程有两个相等的两个实数根；当△< 0时，方程无实数根． 12．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查根的判别式，根据方程没有实数根，得到，进行求解即可．熟练掌握根的判别式与根的个数之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：由题意，得：， 解得：； 故答案为：． 13．如果是一元二次方程的解，那么 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解， 把代入，进而可求出a的值． 【详解】解：把代入， 得：， 解得：， 故答案为： 14．若一元二次方程中的，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一元二次方程的判别式，直接开平方法解方程，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先理解题意得，整理得，运用直接开平方法进行解方程，即可作答． 【详解】∵一元二次方程中的， ∴， ． 或． 故答案为：或 15．某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 【答案】150 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元一次方程是解题的关键． 设这件商品的原价是x元，利用售价原价，列出关于x的一元一次方程求解即可． 【详解】解：设这件商品的原价是x元， 根据题意得：，解得：， ∴这件商品的原价是150元． 故答案为：150． 16．一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设矩形田地的长为x步，则宽为步，根据矩形田地的面积为864平方步，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：设矩形田地的长为x步，则宽为步， 依题意得：， 故答案为：． 17．同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 【答案】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率以及一元二次方程的性质．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果和得到的方程有两个相等的实数根的结果数，再用概率公式可得答案． 【详解】解：列表得： 1 2 3 4 5 6 1 2 3 4 5 6 ∴共可以得到36个不同形式的一元二次方程，其中得到的方程有两个相等的实数根的有：共2种， ∴得到的方程有两个相等的实数根的概率为， 故答案为：． 18．如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 【答案】或或或 【分析】本题考查了圆与圆的位置关系，解题的关键是能够将移动的过程中两圆的位置关系全部考虑到． 在移动过程中有两次内切，两次外切，根据两圆的各种位置关系中圆心距和两圆的半径之间的关系列出有关时间t的方程求解即可． 【详解】解：设点运动到点时两圆相切， 两圆第一次外切时，， 有， 得， 两圆第一次内切时，， 有， 得， 两圆第二次内切时，， 有， 得， 两圆第二次外切时，， 有， 得， 故答案为：或或或． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．第19-22题每题10分，第23-24题每题12分，第25题14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：解①得：， 解②得：， ． 20．（10分）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查无理方程的解法、解一元二次方程、解一元一次不等式组，关键在于通过平方去掉根号是关键，同时考虑无理方程有意义．以及对计算结果进行检验． 先求出x的取值范围，再对方程变形进行两次平方，然后解一元二次方程，再检验即可求解． 【详解】解：由题意，， 解得． 将变形，得：， 将方程两边平方可得：，即， 再两边平方可得：． 整理得：． 解得：或． 经检验：是原方程的增根，是无理方程的解． 故原方程的解为． 21．（10分）解方程组： 【答案】或 【分析】本题考查了解二元二次方程组，由②得，则原方程组为或，分别解二元一次方程组，即可求解． 【详解】解： 由②得 ∴ ∴原方程组为或 解得：或 22．（10分）解方程组：． 【答案】 【分析】本题主要考查了解分式方程组，设，则原方程组可化为，解方程组求出m、n的值，进而求出x、y的值即可得到答案． 【详解】解：设，则原方程组可化为， 得：，解得， 把代入①得：，解得， ∴， ∴， 检验，当时，， ∴是原方程的解． 23．（12分）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 【答案】(1)①，理由见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了分式方程的求解及解一元二次方程，熟练掌握分式方程求解的步骤是解题的关键． （1）依据分式方程求解的步骤进行判断即可； （2）利用分式方程求解的步骤求解即可． 【详解】（1）解：甲同学在解答过程中第①步开始出错，错误原因为：方程右边的1没有乘； （2）解：去分母，得：， 整理，得：， 解得：， 检验：当时，；当时，， 可知是增根，舍去. 所以，原方程的根是． 24．（12分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元 (2)当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元 【分析】本题属于分式方程和二次函数的应用题综合．根据数量关系列出方程和函数解析式，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元，根据用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，列分式方程可解； （2）利用总利润等于每对灯笼的利润乘以卖出的灯笼的实际数量，可以列出函数的解析式，由函数为开口向下的二次函数，可知有最大值，结合问题的实际意义，可得答案． 【详解】（1）解：设甲种灯笼每对的进价为元，则乙种灯笼每对的进价为元， 由题意得：， 解得， 经检验，是原方程的根，且符合题意， ∴， 答：甲种灯笼每对的单价为30元，乙种灯笼每对的单价为45元； （2）解：设该商店一天通过乙种灯笼获得利润元，乙种灯笼每对的销售单价为元， 则 ∵， ∴函数有最大值，该二次函数图象的对称轴为：， ∴时，随的增大而增大， ∵物价部门规定其销售单价不高于每对70元， ∴， ∴当时，（元） 答：当乙种灯笼每对的销售单价为70元时，一天获得利润最大，最大利润是1750元． 25．（14分）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 【答案】(1) (2)万元/吨 (3)需要采购蓝莓的重量为吨 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，求平均数，理解题意是解题的关键； （1）设与的函数解析式为，待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据条形统计图，根据加权平均数求得平均数，即可求解． （3）根据题意列出一元二次方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设与的函数解析式为 代入， ∴ 解得： ∴ （2）解：依题意，平均销售价为（万元/吨） （3）解：依题意， 原方程组整理得， 解得：（舍去） 答：需要采购蓝莓的重量为吨 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 阶段检测验收卷 第二章 方程（组）与不等式（组） （考试时间：100分钟 试卷满分：150分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题4分，满分24分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的） 1．已知、、三个实数在数轴上的位置如图所示，下列结论不成立的是（   ） A． B． C． D． 2．已知方程组，那么代数式的值是（   ） A．2 B．1 C． D． 3．某商场对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的400元经过两次降价后变为225元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为，可列方程为（    ） A． B． C． D． 4．不等式组的解集是（    ） A． B． C． D． 5．下列关于的方程一定有实数解的是 （   ）． A． B． C． D．（为常数） 6．当使用换元法解方程时，若设，则原方程可变形为（   ） A． B． C． D． 二、填空题（本大题共12小题，每小题4分，满分48分） 7．方程的解是 ． 8．方程组的解为 ． 9．不等式组的解集为 ． 10．一个正数的两个平方根分别是和，则的值为 ． 11．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则k的值是 ． 12．已知关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围是 ． 13．如果是一元二次方程的解，那么 ． 14．若一元二次方程中的，则的值为 ． 15．某件商品进行促销活动，打八折后的售价为120元，那么原价是 元． 16．一块矩形地的面积为平方步，已知长与宽的和为步，问长比宽多几步？设矩形的长为步，则可列出方程为 ． 17．同时抛掷红、绿两枚六面编号分别是1～6（整数）的质地均匀的正方体骰子，如果将红色骰子正面朝上的编号作为方程的一次项系数的值，绿色骰子正面朝上的编号作为常数项的值，那么得到的方程有两个相等的实数根的概率是 ． 18．如图，点A，在直线上，厘米，，的半径均为厘米．以每秒厘米的速度自右向左运动，与此同时，的半径也不断增大，其半径（厘米）与时间（秒）之间的关系式为．若点出发秒后两圆相切，则时间的值是 ． 三、解答题（本大题共7小题，满分78分．第19-22题每题10分，第23-24题每题12分，第25题14分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 19．（10分）解不等式组 20．（10分）解方程：． 21．（10分）解方程组： 22．（10分）解方程组：． 23．（12分）已知分式方程．甲同学的解答过程如下： 解：（第①步）去分母，得：， （第②步）解这个整式方程，得：， （第③步）检验：当时，， （第④步）所以，原方程的根是． (1)甲同学的解答过程是从第　　步开始出现错误的，请简要说明错误的原因：_______ (2)请写出正确且完整的解答过程． 24．（12分）红灯笼，象征着阖家团圆，红红火火，挂灯笼成为我国的一种传统文化．某商店在春节前购进甲、乙两种红灯笼，用4500元购进甲种灯笼与用6750元购进乙种灯笼的数量相同，已知乙种灯笼每对进价比甲种灯笼每对进价多15元．经市场调查发现，乙种灯笼每对售价60元时，每天可售出90对，售价每提高1元，则每天少售出2对，物价部门规定其销售单价不高于每对70元，设乙种灯笼每对的销售单价为元，该商店一天通过乙种灯笼获得利润元． (1)求甲、乙两种灯笼每对的进价； (2)当乙种灯笼每对的销售单价为多少元时，一天获得利润最大？最大利润是多少元？ 25．（14分）其工厂采购蓝莓并加工成蓝莓蜜饯进行销售，该工厂一年最多能生产200吨，已知蓝莓的采购成本价（万元/吨）与蓝莓的采购量（吨）成一次函数关系，其中的几组数据如表2所示．每吨原材料（蓝莓）的加工费为1万元，减重率为，蓝莓蜜饯销售价格会随季节、市场供需等波动，从一年中随机抽取若干单交易作为样本进行统计，并绘制了条形统计图（如图）． 表2 （吨） （万元/吨） (1)求与的函数解析式（不写定义域）； (2)求样本中蓝莓蜜饯的平均销售价； (3)根据样本中蓝莓蜜饯的平均销售价，该工厂一年能否恰好获得780万元的利润：如果能，求需要采购蓝莓的重量；如果不能，请说明理由． （备注：蓝莓从新鲜状态制成蓝莓蜜饯后重量减轻，衡量这一变化的指标通常叫做“减重率”，其计算公式：减重率） 2 / 14 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $