重难点03 圆中热考模型（7大类型7种题型）（复习讲义）（全国通用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“圆”核心模块，系统梳理阿基米德折弦定理、四点共圆等7大热考模型，覆盖垂径定理计算、双切线证明等7类中考高频题型。通过“考点深挖-模型识别-真题精练”三阶教学流程，帮助学生构建知识网络，突破定理应用与逻辑推理难点。 亮点在于以核心素养为导向，如“垂径定理四变量关系”培养几何直观，“阿氏圆最值”训练推理意识。设置“固根基+拓能力”分层练习，精选2025年各地中考真题，配套“题型解法+易错警示”指导，助力教师精准教学，高效提升学生模型转化与综合解题能力。

第六章 圆 重难点03 圆中热考模型（7大类型7种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 30 固·重难考点 拓·创新能力 圆中热考模型是中考几何的核心命题载体，以圆的性质、定理为基础，结合图形变换、动点、最值问题设计 “多维度综合题”，核心考查 “定理应用、模型识别、逻辑推理能力”，重点如下： 一、阿基米德折弦定理 核心要求：利用折弦定理，解决圆中线段的等量关系问题。 特征：圆中一条折弦（由两条弦组成）所对的两段弧的中点，到折弦两端点的距离存在等量关系（如折弦AB+BC，弧ABC的中点M，则MB=AB+MC）。 考法：①证明线段的和差关系；②求线段长度、角的度数。 二、四点共圆 核心要求：识别四点共圆的条件，利用圆的性质（圆周角、弧长等）解决角、线段的关系问题。 特征：满足以下条件之一的四点共圆：①一组对角互补；②一个外角等于内对角；③同边所对的角相等。 考法： · 证明角相等、线段相等； · 求角度、线段长度； · 结合其他模型（如对角互补模型）综合解题。 三、与圆有关的最值问题 核心要求：结合圆的轨迹特征，分析动点的最值问题。 关联模型： 1. 点与圆的最值问题： · 特征：动点在圆上，求该点到某定点的距离最值（最值 = 定点到圆心的距离±半径）； · 考法：求线段长度的最大值 / 最小值。 2. 直线与圆的最值问题： · 特征：动点在圆上，求该点到某定直线的距离最值（最值 = 圆心到直线的距离±半径）； · 考法：求三角形面积的最大值 / 最小值、线段长度的最值。 3. 阿氏圆问题： · 特征：动点在圆上，求 “PA+kPB” 形式的最值（利用阿氏圆的比例性质转化线段）； · 考法：求线段和的最小值。 四、垂径定理 核心要求：利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧），解决圆中弦、弧、圆心距的关系问题。 特征：直径垂直于弦，形成直角三角形（由半径、半弦长、圆心距构成）。 考法：①求弦长、半径、圆心距的长度；②证明弧相等、线段相等。 五、双切线模型 核心要求：利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径），解决双切线的线段、角的关系问题。 特征：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 考法：①求切线长、角的度数；②证明线段相等、角相等。 六、角分圆模型 核心要求：利用角平分线与圆的结合，解决角、弧、线段的关系问题。 特征： 角平分线与圆相交，形成等弧、等弦的关系（如角平分线经过圆心，则平分弦所对的弧）。 考法：①证明弧相等、弦相等；②求角的度数、线段长度。 七、圆幂定理 核心要求：利用圆幂定理（包含弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理），解决圆中线段的比例关系问题。 关联定理： 1. 弦切角定理：弦切角等于所夹弧对应的圆周角； 2. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分弦所得的两条线段长的积相等； 3. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 4. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 考法：①证明线段比例关系；②求线段长度。 题型01 垂径定理 1）垂径定理基本图形涉及的“四变量、两关系” (1)四变量：弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(拱高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个. (2)两关系：①；②=r. 2）垂径定理应用中常作辅助线 作垂线，连半径，构造直角三角形. 3）垂径定理应用中常用技巧 设未知数，根据勾股定理列方程. 1．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ． 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 3．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 4．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 5．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，试求与半径的数量关系． 题型02 双切线模型 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 4．（2025·山东·中考真题）【问题情境】2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 题型03 角分图模型 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 题型04 圆幂定理 类型一 弦切角定理 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （     ）   A． B． C． D． 4．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 类型二 相交弦定理 1．（2025汕头市二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　） A． B． C．5 D． 2．（2021·江苏盐城·二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE=1，DE=3，则AB= ． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，的直径与弦交于点求的长．    4．（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 类型三 切割线定理 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 2．（2025九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，是外一点，是的切线，为切点，，．连接并延长，且与交于点，，则的长为 ． 3．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 类型四 切割线定理 1．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交于点P，若C是的中点，且，那么的长为（　　） A．9 B．7 C．3 D． 2．如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么 ． 3．（2023·河南周口·三模）阅读与思考 学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．   证明：如图，连接． ∵（依据：①________________），， ∴． ∴②_________________． ∴． 任务： (1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______． (2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明． 已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________． 求证： ___________．    4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）（1）如图①，弦和相交于内一点P，求证：； （2）如图②，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．求证：； （3）如图③，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．且为的直径，已知，弧弧，求的长． 题型05 阿基米德折弦定理 1．（江苏省淮安市洪泽实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明． 2．（2025·山东滨州·二模）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 3．（24-25九年级上·广东惠州·月考）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．    【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．    【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程．    【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点，∴，∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．    题型06 四点共圆 四点共圆模型的判定： 图1 图2 图3 判定方法1：如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 判定方法2：如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：如图3，若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 图4 图5 判定方法4：如图4，若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法5：如图5，共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 适用范围：双直角三角形共斜边模型. 1．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 2．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 3．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务：(1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 4．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 题型07 与圆有关的最值问题 类型一 阿氏圆问题 1．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； （3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 3．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 4．（2020·山西·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 5．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 类型二 点与圆的最值问题 1．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 4．（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 类型三 直线与圆的最值问题 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为 . 3．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 4．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 1．（2025·安徽芜湖·三模）如图，已知的半径为，是直径上一定点，且，非直径的弦经过点下列选项不正确的是（   ） A．为定值 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．作弦，于点，则的最大值为 2．（2025·福建·模拟预测）综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 3．（2025·广东惠州·三模）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． (1)求点A的竖直高度； (2)将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？（参考数据：） 4．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 5．（2025·辽宁·模拟预测）古代数学家刘徵编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘微的《重差》测量一个球体建筑物的高度．如图，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且． (1)求的长度； (2)求该球体建筑物的最高点到地面的距离．（参考数据：） 6．（2025·广东深圳·二模）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 7．（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 8．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 9．已知半径为 如图，过内一点作弦，连接．求证：． 如图，过外一点，作割线，求证：． 10．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 11．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 2．（2025·江苏泰州·三模）综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 3．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 4．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°； (2)请判断的形状并证明； (3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度； (4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 5．（2025·广东广州·二模）如图1，已知四边形中， (1)点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）； (2)当时， ①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度； ②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值． 6．（2025·江苏连云港·二模）（1）【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”．请应用小明的发现，继续解决问题． 【应用内化】（2）如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得是和的比例中项（不写作法，保留清晰的作图痕迹） （3）如图4，在中，，，，点在内，且，求的最小值； 【拓展应用】（4）如图5，正方形的边长为6，点分别在边上，且，与相交于点，点关于的对称点为点，连接交于点试判断是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六章 圆 重难点03 圆中热考模型（7大类型7种题型） 目 录 01 深挖重难·固根基 1 02 分层锤炼·验成效 82 固·重难考点 拓·创新能力 圆中热考模型是中考几何的核心命题载体，以圆的性质、定理为基础，结合图形变换、动点、最值问题设计 “多维度综合题”，核心考查 “定理应用、模型识别、逻辑推理能力”，重点如下： 一、阿基米德折弦定理 核心要求：利用折弦定理，解决圆中线段的等量关系问题。 特征：圆中一条折弦（由两条弦组成）所对的两段弧的中点，到折弦两端点的距离存在等量关系（如折弦AB+BC，弧ABC的中点M，则MB=AB+MC）。 考法：①证明线段的和差关系；②求线段长度、角的度数。 二、四点共圆 核心要求：识别四点共圆的条件，利用圆的性质（圆周角、弧长等）解决角、线段的关系问题。 特征：满足以下条件之一的四点共圆：①一组对角互补；②一个外角等于内对角；③同边所对的角相等。 考法： · 证明角相等、线段相等； · 求角度、线段长度； · 结合其他模型（如对角互补模型）综合解题。 三、与圆有关的最值问题 核心要求：结合圆的轨迹特征，分析动点的最值问题。 关联模型： 1. 点与圆的最值问题： · 特征：动点在圆上，求该点到某定点的距离最值（最值 = 定点到圆心的距离±半径）； · 考法：求线段长度的最大值 / 最小值。 2. 直线与圆的最值问题： · 特征：动点在圆上，求该点到某定直线的距离最值（最值 = 圆心到直线的距离±半径）； · 考法：求三角形面积的最大值 / 最小值、线段长度的最值。 3. 阿氏圆问题： · 特征：动点在圆上，求 “PA+kPB” 形式的最值（利用阿氏圆的比例性质转化线段）； · 考法：求线段和的最小值。 四、垂径定理 核心要求：利用垂径定理（垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧），解决圆中弦、弧、圆心距的关系问题。 特征：直径垂直于弦，形成直角三角形（由半径、半弦长、圆心距构成）。 考法：①求弦长、半径、圆心距的长度；②证明弧相等、线段相等。 五、双切线模型 核心要求：利用切线的性质（切线垂直于过切点的半径），解决双切线的线段、角的关系问题。 特征：从圆外一点引圆的两条切线，切线长相等，且该点与圆心的连线平分两条切线的夹角。 考法：①求切线长、角的度数；②证明线段相等、角相等。 六、角分圆模型 核心要求：利用角平分线与圆的结合，解决角、弧、线段的关系问题。 特征： 角平分线与圆相交，形成等弧、等弦的关系（如角平分线经过圆心，则平分弦所对的弧）。 考法：①证明弧相等、弦相等；②求角的度数、线段长度。 七、圆幂定理 核心要求：利用圆幂定理（包含弦切角定理、相交弦定理、切割线定理、割线定理），解决圆中线段的比例关系问题。 关联定理： 1. 弦切角定理：弦切角等于所夹弧对应的圆周角； 2. 相交弦定理：圆内两弦相交，交点分弦所得的两条线段长的积相等； 3. 切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项； 4. 割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，该点到每条割线与圆交点的两条线段长的积相等。 考法：①证明线段比例关系；②求线段长度。 题型01 垂径定理 1）垂径定理基本图形涉及的“四变量、两关系” (1)四变量：弦长a，圆心到弦的距离d，半径r，弧的中点到弦的距离(拱高)h，这四个变量知任意两个可求其他两个. (2)两关系：①；②=r. 2）垂径定理应用中常作辅助线 作垂线，连半径，构造直角三角形. 3）垂径定理应用中常用技巧 设未知数，根据勾股定理列方程. 1．（2025·江苏南京·中考真题）一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔，它的部分尺寸（单位：）如图，这枚古钱币的半径为 ． 【答案】13 【分析】本题考查了垂径定理，正方形的性质，勾股定理，先根据题意，则是的直径，过作，连接，再结合正方形的性质以及垂径定理得，，由勾股定理列式计算，即可作答． 【详解】解：如图所示：是的直径，过作，连接， 依题意，， ∵， ∴，， ∵一枚圆形古钱币的正中间是一个正方形孔， ∴， 在中，， 即这枚古钱币的半径为， 故答案为：13 2．（2025·江苏南通·中考真题）在平面直角坐标系中，以点为圆心，为半径作．直线与交于两点，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了一次函数的图象，垂径定理，对于，当时，得直线过定点，再求出，得点P在内部，根据过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，得当直线与垂直时，为最小，此时，在中，由勾股定理求出，进而可得的最小值． 【详解】解：∵ ∴直线过定点， ∵点， ∴， 又∵的半径为， ∴， ∴点P在内部， 由于过圆内定点P的所有弦中，与垂直的弦最短，即当直线与垂直时，为最小，如图所示： 由垂径定理得：， ∴， 在中，，， 由勾股定理得：， ∴， 即的最小值为6． 故答案为：6． 3．（2025·河南·中考真题）我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 4．（2025·山东东营·中考真题）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，其中《方田》章给出计算弧田面积所用公式为：弧田面积（弦矢＋矢），弧田（如图）是由圆弧和其所对的弦所围成，公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差．在如图所示的弧田中，“弦”为8，“矢”为2，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查垂径定理、勾股定理、三角函数的定义等知识点．如图，作交于，交圆弧于，利用垂径定理和勾股定理构建方程组求出，，利用余弦函数定义即可解决问题． 【详解】解：如图，作交于，交圆弧于， 由题意：， 设，由， ∴， ∵，为半径， ∴， 在中， 由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（2025·四川达州·中考真题）如图，在中，是弦，是的切线，，点，，分别是线段，，上的动点，连接，，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，试求与半径的数量关系． 【答案】(1)是的切线，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定，相似三角形的性质与判定，勾股定理，垂径定理，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）连接，则，根据可得，根据是的切线，可得，进而得出，即可得证； （2）根据已知条件，根据一线三等角证明得出相似比为，进而得出，过点作于点，则，根据含30度角的直角三角形的性质，勾股定理求得，进而得出，即可得证． 【详解】（1）解：是的切线，理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵，， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图，连接，过点作于点，则， ∵是的切线， ∴， ∴， ∴在中，，， ∴， ∴， ∴． 题型02 双切线模型 1．（2025·青海西宁·中考真题）如图，四边形是的外切四边形，，．则四边形的周长为 ． 【答案】48 【分析】本题考查了切线长定理，掌握从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等是解题的关键． 根据切线长定理得到，得到，根据四边形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：如图，令与边的切点分别为E，F，G，H， ∵四边形是的外切四边形， ∴， ∴ ∴， ∴四边形的周长为 ． 故答案为：48． 2．（2025·四川攀枝花·中考真题）如图，是的内切圆，与分别相切于点 ，． (1)求的三个内角的大小； (2)设的直径为，证明：． 【答案】(1)的度数分别为． (2)证明见解析 【分析】（1）根据题意得， ，所以 ．即可求出． （2）由切线长定理得，则，由，得，由，得到四边形是矩形，则，结合的直径为d，为的半径，得到，即可求出． 此题重点考查三角形的内切圆与内心、切线的性质、切线长定理、四边形的内角和、三角形内角和定理、矩形的判定等知识． 【详解】（1）解：∵ 是的内切圆，与分别相切于点 ∴， ∴， ∵， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为． （2）证明：由切线长定理得， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵的直径为d，为的半径， ∴， ∴． 3．（2025·江苏镇江·中考真题）如图（1），过外一点引的两条切线、，切点是、，为锐角，连接并延长与交于点，点在的延长线上，过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为． (1)求证：是等腰三角形； (2)在图（2）中作，满足（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (3)已知，在你所作的中，若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)图见解析 (3) 【分析】（1）先根据切线长定理、切线的性质定理可得，，再证出，根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证； （2）先在的延长线上作，再过点作的垂线，与的延长线相交于点、垂足为，由直角三角形的斜边中线的性质即可得； （3）过点作于点，过点作于点，先解直角三角形可得，再设，则，，，在中，利用勾股定理可得，则可得，，然后证出，根据相似三角形的性质可得的长，最后根据即可得． 【详解】（1）证明：∵是的两条切线，切点是， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． （2）解：如图，满足的即为所作． （3）解：如图，过点作于点，过点作于点， ∵是的两条切线，切点是， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 设，则， ∴， ∴， ∵， ∴在中，，即， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴，， ∵在等腰中，，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴，即， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了切线长定理、切线的性质定理、作垂线、解直角三角形、相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握切线长定理和解直角三角形的方法是解题关键． 4．（2025·山东·中考真题）【问题情境】 2025年5月29日“天问二号”成功发射，开启了小行星伴飞取样探测的新篇章．某校航天兴趣小组受到鼓舞，制作了一个航天器模型，其中某个部件使用3D打印完成，如图1． 【问题提出】 部件主视图如图2所示，由于1的尺寸不易直接测量，需要设计一个可以得到的长度的方案，以检测该部件中的长度是否符合要求． 【方案设计】 兴趣小组通过查阅文献，提出了钢柱测量法． 测量工具：游标卡尺、若干个底面圆半径相同的钢柱（圆柱）． 操作步骤：如图3，将两个钢柱平行放在部件合适位置，使得钢柱与部件紧密贴合．示意图如图4，分别与，相切于点，．用游标卡尺测量出的长度． 【问题解决】 已知，的长度要求是． （1）求的度数； （2）已知钢柱的底面圆半径为，现测得．根据以上信息，通过计算说明该部件的长度是否符合要求．（参考数据：） 【结果反思】 （3）本次实践过程借助圆柱将不可测量的长度转化为可测量的长度，能将圆柱换成其他几何体吗？如果能，写出一个；如果不能，说明理由． 【答案】（1）；（2）该部件的长度符合要求；（3）见解析 【分析】本题考查了切线长定理，解直角三角形的应用． （1）根据切线长定理求解即可； （2）解直角三角形求得，推出，据此求解即可； （3）能，将圆柱换成正方体． 【详解】解：（1）∵分别与，相切于点，， ∴，； （2）∵钢柱的底面圆半径为， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∴， ∵， ∴该部件的长度符合要求； （3）能，将圆柱换成正方体．如图， 设正方体的棱长为，用游标卡尺测量出的长度． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型03 角分图模型 1．（2025·四川绵阳·中考真题）如图，点A，C在上，连接，并延长，分别与的切线相交于点，点，切点为E，与交于点，连接，垂足为点． (1)求证：平分； (2)设，求的值； (3)求的值． 【答案】(1)证明过程见解析 (2) (3) 【分析】本题综合考查圆周角定理，切线的性质和勾股定理，借助圆的背景，灵活运用圆周角定理找出角度关系，和运用勾股定理解三角形是解题关键． （1）连接，通过切线的性质得到，从而推出，再利用平行线的性质和等边对等角推理论证即可； （2）连接，借助，利用勾股定理求出（即半径）的长，再利用平行线分线段成比例（或证明相似三角形），用k表示出和，借助，利用勾股定理求解即可； （3）借助圆周角定理，推得，作的平行线，借助，利用角平分线的性质和勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：如图，连接， 由题意，得与相切于点E， ∴， 又， ∴， ∴， ∵和都是的半径， ∴， ∴， ∴， ∴平分； （2）解：由（1），得， ∵点F在上， ∴， ∴， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， ∴， 在中，，即， 设，则， 解得（负值已舍去）， ∴， ∴； （3）解：由圆周角定理，得， 如图，过点O作平分，交于点M，连接 由（2），得， ∵平分， ∴， 又， ∴， ∴，， ∴， 在中，，即， 解得， ∴在中，， ∴， ∴． 2．（2025·四川内江·中考真题）如图，在中，，的平分线交于点D，点O是边上一点，以点O为圆心、长为半径作圆，恰好经过点D，交于点E． (1)求证：直线是的切线； (2)若点E为的中点，，求阴影部分的面积； (3)连接，若，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了求不规则图形面积，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，切线的判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）连接，由角平分线的定义得到，再由等边对等角得到，则，据此可证明，得到，由此可证明是的切线； （2）根据线段之间的关系证明，解直角三角形可得，则可求出，再根据列式计算即可； （3）由直径所对的圆周角是直角得到，解得到，设，由勾股定理可得；证明，进而证明，得到，则，，进而可求出，再根据余弦的定义可得答案． 【详解】（1）证明：如图所示，连接， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2）解：∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得， 在中，， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵是的直径， ∴， 在中，， 设， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，． 3．（2025·内蒙古赤峰·一模）【问题情境】一次数学活动课上，同学们对教材P．102习题12作了深入研讨． 【教材原题】如图，为的直径，与相切于，于．求证：平分． （1）【知识迁移】宏志小组同学发现，原题有多个逆命题，其中一个如下． 如图，为的直径，为上一点，于，平分．那么为的切线．这个命题是真命题吗？说明你判断的依据． （2）【问题拓展】思进小组同学发现，原题记与交于，三条线段，，有特定的数量关系．请你写出这个数量关系并说明理由． 【答案】（1）这个命题是真命题，见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】（1）先证明原命题正确，再证明，又由是半径，则为的切线．即可证明命题是真命题； （2）如图，在上截取，连接，作于点，证明，则，证明，则，证明，则，即可证明结论成立； 【详解】教材原题：证明：如图，连接， ， ， 与相切于， ， ， ， ， ， 平分， （1）解：这个命题是真命题，理由如下： 如图，连接， ， ， 平分， ， ， ， ， ， 是半径， ∴为的切线． （2）解：． 理由如下：如图，在上截取，连接，作于点， ∵平分． ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】此题考查了切线的判定和性质、圆周角定理、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理等知识，综合性较强，难度较大，添加合适的辅助线是解题的关键． 题型04 圆幂定理 类型一 弦切角定理 1．（2024·福建·中考真题）如图，已知点在上，，直线与相切，切点为，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了切线的性质，三角形内角和以及等腰三角形的性质，根据C为的中点，三角形内角和可求出，再根据切线的性质即可求解． 【详解】∵，为的中点， ∴ ∵ ∴ ∵直线与相切， ∴， ∴ 故选：A． 2．（2025·山东青岛·中考真题）如图，四边形是的内接四边形，，，直线与相切于点．若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，以及切线性质定理，等腰三角形的性质，根据可得，可求出的度数，再由和圆内接四边形的性质可求解的度数，根据圆周角定理求出，再根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理求出，最后根据切线性质定理即可求解． 【详解】解：连接，，，如图， ∵，， ∴， ∵，四边形是的内接四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵直线为的切线， ∴， ∴． 故选：C ． 3．（2025·山西·模拟预测）如图，点A，B，C在上，过点B作的切线，交的延长线于点 D，连接，若，则的度数为 （     ）   A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，等边对等角，三角形内角和定理，由切线的性质得到，则可求出，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出的度数，再由圆周角定理即可得到答案． 【详解】解：如图所示，连接， ∵是的切线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 4．（2025·山西晋中·一模）阅读与思考 圆形，是一个看来简单，实际上是十分奇妙的形状．古希腊的毕达哥拉斯学派认为：“一切图形中最美的是球形，一切平面图形中最美的是圆形．”中华民族自古也有以“圆合”为美的心理习惯，认为圆形有圆满、周全的含义，有完美、和谐的意象．早在2000多年前，“科圣”墨子在《墨经》中就有“圆，一中同长也”的记载．与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一．其内容为弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数．（顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．）具体来说，如果一条直线与圆相切于某一点，并且过该点的另一条直线（弦）与圆相交，那么这两条直线所夹的角就是一个弦切角． 如图，直线与相切于点，任取上不与点重合的点，则和是弦与切线所成的弦切角． 下面是励志小组对于此定理探究的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 证明：如图1，与相切于点．当圆心在弦上时，容易得到，，所以弦切角． 如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（__________） …… 请你认真阅读以上内容，完成下列任务： 任务一：写出上述证明过程中空缺处依据的定理是__________； 任务二：请结合图2补全上述证明过程； 任务三：如图3，是的直径，点C在上，延长至D使得，过点C作的切线交于H．若，，则的半径为__________． 【答案】任务一：直径所对的圆周角是直角；任务二：见解析；任务三：3 【分析】本题考查切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，熟练掌握切线的性质，圆周角定理，是解题的关键： 任务一：根据直径所对的圆周角是直角进行作答即可； 任务二：根据切线的性质，同角的余角相等以及同弧所对的圆周角相等，即可得出结论； 任务三：圆周角定理，结合中垂线的判定和性质，推出，三线合一，得到，证明，求出的长，进而得到的长即可． 【详解】任务一：依据是直径所对的圆周角是直角． 任务二：如图2，与相切于点．当圆心在的外部时，过点作直径交于点，连接DF． 是直径， ，（直径所对的圆周角是直角） 与相切于点， ， ， ， 又和是弧所对的圆周角， ， ． 任务三：∵是直径， ∴， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵是切线， ∴由任务二可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， ∴， ∴的半径为3． 类型二 相交弦定理 1．（2025汕头市二模）如图，在⊙O中，弦AC，BD交于点E，连结AB、CD，在图中的“蝴蝶”形中，若AE＝，AC＝5，BE＝3，则BD的长为（　　） A． B． C．5 D． 【答案】B 【分析】根据题意求出EC，根据同弧所对的圆周角相等，得出∠A=∠D，∠B=∠C，从而证出，得出即可． 【详解】解：EC=AC-AE=， ∵∠A=∠D，∠B=∠C ∴， ∴ ∴AE•EC=DE•BE， 则DE=， ∴BD=DE+BE=， 故选B． 【点睛】本题考查了圆周角的性质，三角形相似的性质和判定，熟练掌握相关的知识是解题的关键． 2．（2021·江苏盐城·二模）如图，在⊙O中，弦CD过弦AB的中点E，CE=1，DE=3，则AB= ． 【答案】2 【分析】连接AC、BD，根据同弧所对的圆周角相等，可以得出，进而得出，因为E是AB的中点，求出AE在乘2即可． 【详解】解：连接AC、BD， ∵和均是弧BC的圆周角， ∴= ∵=，， ∴， ∴， ∴， ∵E是AB的中点， ∴AE=BE ∵CE=1，DE=3 ∴， 解得：， ∴弦AB的长为：． 故答案为：． 【点睛】此题考查了直线与圆的位置关系，运用相似三角形证明两条弦之间的关系是解题关键． 3．（23-24九年级·江苏·假期作业）如图，的直径与弦交于点求的长．    【答案】2+或2﹣ 【分析】连接，设，则，根据同弧所对的圆周角相等，得，根据相似三角形的性质可得，即，然后解一元二次方程即可． 【详解】解：如图，连接    设，则， 根据同弧所对的圆周角相等，得 ， 根据相似三角形的性质得， 即， 所以， 整理得， 解得， 即EC的长为或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，同弧所对的圆周角相等，解题关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质． 4．（2025·河南信阳·二模）阅读与思考：小刚学习了圆这章知识后，在某本课外书上看到还有一个相交弦定理（圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等），下面是书上的证明过程，请仔细阅读，并完成相应的任务．圆内的两条弦相交，这两条弦被交点分成的两条线段长的积相等． 已知：如图，的两条弦相交于点． 求证：． 证明：如图，连接， ∵，， ∴①___________， ___________ ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等． 任务： (1)请将上述证明过程补充完整； (2)小刚又看到一道课后习题：如图，是的弦，是上一点，，，，求的半径． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】（）证明即可求证； （）延长交于点，延长交于点，设的半径为，则，，由（）可得，，据此解答即可求解； 本题考查了圆周角定理，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】（1）证明：如图，连接， ∵，， ∴， ， ∴， ∴两条弦相交，被交点分成的两条线段长的积相等， 故答案为：，； （2）解：延长交于点，延长交于点， 设的半径为，则，， 由（）可得，， ∴， 解得， ∴的半径为． 类型三 切割线定理 1．（2025·山东淄博·中考真题）如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（   ）． A．10 B．12 C．13 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 2．（2025九年级下·江苏连云港·专题练习）如图，是外一点，是的切线，为切点，，．连接并延长，且与交于点，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是切线的性质，连接，根据切线的性质得到，解直角三角形分别求出、，计算即可． 【详解】解：如图，连接， ∵是的切线， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．（2024·山西·模拟预测）阅读与思考 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛地认为是历史上学习数学几何部分最成功的教科书．下面是其中的切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项，证明过程如下： 如图1：已知点P是外一点，是切线，F是切点，是割线，点A，B是它与的交点，求证：． 证明：连接并延长交于点C，连接，，． ∵是的切线， ． ∵是的直径， （依据：______）． ， ． 又（依据：______）， ． ………… 任务： (1)完成材料证明部分中的“依据”，填入空格； (2)把证明过程补充完整； (3)如图2，已知是的直径，是的切线，A为切点，割线与交于点E，且满足，，求的长． 【答案】(1)直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等 (2)见解析 (3) 【分析】（1）有题意可知利用了直径所对的圆周角是直角混合同弧所对的圆周角相等； （2）进一步证明，有即可； （3）连接AD，BF，利用切割定理即可求得，，，则，结合勾股定理求得．进一步证明，则，求得，即可求得． 【详解】（1）解：根据题意可得，直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等； （2）证明： 又， ． ． ． （3）解：如图，连接，， ， ∴设，，，则． ∵是的切线，是割线， ∴由切割线定理得，则， 解得或（舍去）， ，，，则． ∵AB是的直径，AC是的切线， ． ． ，， ，则． ， ． 【点睛】本题主要考查圆周角定理、相似三角形的判定和性质、直径所对的圆周角是直角、同弧所对的圆周角相等以及勾股定理，解题的关键是熟悉圆的相关知识和相似三角形的性质． 类型四 切割线定理 1．（2022九年级·浙江·专题练习）如图，四边形是圆的内接四边形，的延长线交于点P，若C是的中点，且，那么的长为（　　） A．9 B．7 C．3 D． 【答案】B 【分析】根据圆的内接四边形对角互补可得，从而得到，根据相似三角形对应边成比例，即可进行解答． 【详解】解：∵C是的中点，， ∴， ∵四边形是圆的内接四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即 解得，， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查圆的内接四边形和三角形相似的判定和性质，解题的关键是掌握圆的内接四边形对角互补，相似三角形对应边成比例． 2．如图，是圆外的一点，点、在圆上，、分别交圆于点、，如果，，，那么 ． 【答案】 【分析】根据“从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等”得到：PA•PB=PC•PD，即PA•PB=PD2． 【详解】如图，∵AP=4，AB=2，PC=CD， ∴PB=AP+AB=6，PC=PD． 又∵PA•PB=PC•PD， ∴4×6=PD2， 则PD=4， 故答案是：4. 【点睛】本题考查了切割线定理,解题的关键是熟练掌握切割线定理及其推论. 3．（2023·河南周口·三模）阅读与思考 学习了圆的相关知识后，某数学兴趣小组的同学们进行了如下探究活动，请仔细阅读，并完成相应任务． 割线定理如图，A是外一点，过点A作直线分别交于点B，C，D，E，则有．   证明：如图，连接． ∵（依据：①________________），， ∴． ∴②_________________． ∴． 任务： (1)上述阅读材料中①处应填的内容是________，②处应填的内容是_______． (2)兴趣小组的同学们继续思考，当直线AE与圆相切时，是否仍有类似的结论．请将下列已知、求证补充完整，并给出证明． 已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，__________． 求证： ___________．    【答案】(1)同弧所对的圆周角相等；； (2)与相切于点E．；证明见解析 【分析】（1）根据题意得到结论即可； （2）如图，连接，证明即可得到结论． 【详解】（1）如图，连接． ∵（依据：①__同弧所对的圆周角相等__），， ∴． ∴②_______． ∴． 故答案为：同弧所对的圆周角相等；； （2）已知：如图，A是外一点，过点A的直线交于点B，C，与相切于点E． 求证： ．    证明：如图，连接，连接并延长交于点D，连接．    ∵为的切线， ∴， ∴， ∵为的直径， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：与相切于点E． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，勾股定理，割线定理，熟练掌握割线定理是解题的关键． 4．（24-25九年级上·安徽淮南·期末）（1）如图①，弦和相交于内一点P，求证：； （2）如图②，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．求证：； （3）如图③，P为外一点，过点P的两条直线分别交于点A、B、C、D．且为的直径，已知，弧弧，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3） 【分析】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理以及相似三角形的性质与判定，熟练掌握圆周角的度数等于其所对的弧的度数的一半是解题的关键． （1）连接、，根据同弧所对的圆周角相等可证得，得比例式即可得结论； （2）连接、，证得，得比例式即可得结论； （3）连接、，由，得，进而可证明，得，即，由（2），即可求解． 【详解】（1）证明：连接、， 由圆周角定理， 又， ， ． （2）证明：连接、， 由圆周角定理， 又， ， ． （3）连接、． ， ； 又， ， ， ，即． 由（2）， ．即 ． 题型05 阿基米德折弦定理 1．（江苏省淮安市洪泽实验中学2021-2022学年九年级上学期期中数学试题）某数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究： 【问题探究】如图1，AD，BD为⊙O的两条弦（AD＜BD），点C为的中点，过C作CE⊥BD、垂足为E．求证：BE＝DE+AD． 小明同学的思路是：如图2．在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF…请你按照小明的思路完成上述问题的证明过程． 【结论运用】如图3，△ABC是⊙O的内接等边三角形，点D是上一点，∠ACD＝45°，连接BD，CD．过点A作AE⊥CD，垂足为E．若AB＝6，求△BCD的周长． 【变式探究】如图4，若将（问题探究）中“点C为的中点”改为“点C为优弧ACB的中点”，其他条件不变，请写出BE、AD、DE之间的等量关系，并加以证明． 【答案】问题探究：见解析；结论应用：12+6；变式探究：BE+AD＝DE，理由见解析 【分析】【问题探究】在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF，证明△DAC≌△FBC，根据全等三角形的性质得到CD＝CF，根据等腰三角形的三线合一、结合图形证明结论； 【结论运用】连接AD，在CE上截取CF＝AD，连接AF，证明△DAB≌△FAC，得到DB+DC＝2EC，根据等腰直角三角形的性质求出EC，根据三角形的周长公式计算，得到答案； 【变式探究】在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA，证明△ADC≌△FDC，根据全等三角形的性质、等腰三角形的性质解答即可． 【详解】【问题探究】证明：如图2，在BE上截取BF＝AD，连接CA，CB，CD，CF， ∵点C为的中点， ∴＝， ∴AC＝BC， 由圆周角定理得，∠DAC＝∠DBC， 在△DAC和△FBC中， ， ∴△DAC≌△FBC（SAS） ∴CD＝CF，又CE⊥BD， ∴DE＝EF， ∴BE＝EF+BF＝DE+AD； 【结论运用】∵△ABC是⊙O的内接等边三角形， ∴AB＝AC＝BC＝6， 连接AD，在CE上截取CF＝BD，连接AF， 由【问题探究】可知，△DAB≌△FAC， ∴BD＝CF，AD＝AF， ∵AE⊥CD， ∴DE＝EF， ∴EC＝EF+CF＝DE+BD， ∴DB+DC＝2EC， 在Rt△AEC中，∠ACE＝45°， ∴EC＝AC＝6， ∴△BCD的周长＝DB+DC+BC＝12+6；    【变式探究】BE+AD＝DE， 理由如下：在线段DE上截取DF＝AD，连接CB、CF、CD、CA， ∵点C为优弧ACB的中点， ∴＝， ∴AC＝CB，∠ADC＝∠BDC， 在△ADC和△FDC中， ， ∴△ADC≌△FDC（SAS）， ∴CA＝CF， ∵CA＝CB， ∴CF＝CB， 又∵CE⊥BD， ∴BE＝EF， ∴DE＝DF+EF＝BE+AD．      . 【点睛】本题主要考查的是圆的综合题型，解题过程中涉及了圆心角、弦、弧之间的关系、圆周角定理、全等三角形的判定和性质等知识，掌握圆周角定理、正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2025·山东滨州·二模）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点． 【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为______． 【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦即折线段是圆的一条折弦，，点是的中点，从向作垂线，垂足为，则这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程． 【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， 点M是的中点， ， ． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】 （3）如图4，若点M是的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系？请直接写出结论． 【答案】（1）3；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】本题考查了圆周角定理，切线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据切线的性质和含角的直角三角形的性质求出，然后折线段的中点的定义求解即可； （2）在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA，根据弧、弦的关系可得，根据圆周角定理可得，根据证明，得出，根据三线合一的性质得出，然后根据线段和差关系即可得证； （3）在上截取，连接、、，，类似（2）探究即可得出结论。 【详解】（1）解：∵PA是的切线，A为切点， ， ， ， ， ， ∵B是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：如图3，在BC上截取CG=AB，连接MC、MG、MB、MA， 点M是的中点， ， ． ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； 解：，理由如下： 如图4，在上截取，连接、、，， 点M是的中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ； . 3．（24-25九年级上·广东惠州·月考）【了解概念】折线段是由两条不在同一直线上且有公共端点的线段组成的图形；如图1，线段、组成折线 段，点在折线段上，若，则称点是折线段的中点．    【理解应用】（1）如图2，的半径为，是的切线，为切点，点是折线段的中点，若，则的长为　　　．    【认识定理】阿基米德折弦定理：如图3，和是的两条弦（即折线段是圆的一条折弦），，点 是的中点，从向 作垂线，垂足为，则．这个定理有很多证明方法，下面方框是运用“截长法”证明的部分证明过程．    【定理证明】 证明：如图3，在上截取，连接、、、， ∵点 是的中点， ∴， ∴． （2）请按照上面方框中【定理证明】的证明思路，在图3中连接辅助线并写出该证明的剩余部分； 【变式探究】（3）如图4，若点 是 的中点，【定理证明】中的其他条件不变，则、、之间存在怎样的数量关系?请直接写出结论．    【灵活应用】（4）如图5，是的直径，点为上一定点，点为上一动点，且满足，若，，则　　　．    【答案】（1）3；（2）见解析；（3），证明见解析；（4）或 【分析】（1）根据角所对的直角边等于斜边的一半，求出，再由所给的定义求出的长即可； （2）在上截取，连接、、、，可证明，得到，再由等腰三角形三线合一的性质得到，则有，即可证明是折弦的中点； （3）仿照（2）的方法，在上截取，连接、、、，证明，可得到； （4）分两种情况讨论：当点在上时，过点作交于点，由，求出，再解直角三角形求出；当点在上时，如图6，，过点作交于点，由，求出，再解直角三角形求出． 【详解】（1）解：是的切线，为切点， ， ， ，， ， ， 是折线段的中点， ， 故答案为：3； （2）证明：在上截取，连接、、、，    ∵点是的中点， ∴， ∴． ∵， ， ， ， ， ， ， ∴； （3）解：，理由如下： 证明：如图，在上截取，连接、、、，   点是的中点， ， ，， ， ， ， ， ， ； ∴； （4）解：是的直径， ， ，， ∴由勾股定理得， 当点在下方半圆上时，如图，   ， ， 过点作交于点， 同理由（3）可知， ， ； 当点在上时，如图，，    过点作交于点， 同理由（3）可知， ， ； 综上所述：的长为或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查圆的综合应用，熟练圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形全等的判定及性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解直角三角形，理解阿基米德折弦定理是解题的关键． 题型06 四点共圆 四点共圆模型的判定： 图1 图2 图3 判定方法1：如图1，若四个点到一个定点的距离相等，则这四个点共圆（圆的定义）. 适用范围：题目出现共端点，等线段时，可利用圆的定义构造辅助圆. 判定方法2：如图2，同侧共边三角形且公共边所对角相等的四个顶点共圆. 判定方法3：如图3，若一个四边形的一组对角互补，则这个四边形的四个点共圆. 图4 图5 判定方法4：如图4，若一个四边形的外角等于它的内对角，则这个四边形的四个点共圆. 判定方法5：如图5，共斜边的两个直角三角形的四个顶点共圆. 适用范围：双直角三角形共斜边模型. 1．（2023·山东日照·中考真题）在探究“四点共圆的条件”的数学活动课上，小霞小组通过探究得出：在平面内，一组对角互补的四边形的四个顶点共圆．请应用此结论．解决以下问题： 如图1，中，（）．点D是边上的一动点（点D不与B，C重合），将线段绕点A顺时针旋转到线段，连接．    (1)求证：A，E，B，D四点共圆； (2)如图2，当时，是四边形的外接圆，求证：是的切线； (3)已知，点M是边的中点，此时是四边形的外接圆，直接写出圆心P与点M距离的最小值． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据旋转的性质得到，证明，进而证明，可以得到，由，可得，即可证明A、B、D、E四点共圆； （2）如图所示，连接，根据等边对等角得到，由圆周角定理得到，再由，得到，利用三角形内角和定理证明，即，由此即可证明是的切线； （3）如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接，先求出，再由三线合一定理得到，，解直角三角形求出，则，再解得到，则；由是四边形的外接圆，可得点P一定在的垂直平分线上，故当时，有最小值，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由旋转的性质可得， ∴， ∴，即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴A、B、D、E四点共圆； （2）证明：如图所示，连接， ∵， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵是的半径， ∴是的切线；    （3）解：如图所示，作线段的垂直平分线，分别交于G、F，连接， ∵， ∴， ∵点M是边的中点， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵是四边形的外接圆， ∴点P一定在的垂直平分线上， ∴点P在直线上， ∴当时，有最小值， ∵， ∴在中，， ∴圆心P与点M距离的最小值为． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边对等角，解直角三角形，圆周角定理，切线的判定，三角形外接圆的性质，垂线段最短等等，正确作出辅助线是解题的关键． 2．（2022·贵州遵义·中考真题）探究与实践 “善思”小组开展“探究四点共圆的条件”活动，得出结论：对角互补的四边形四个顶点共圆．该小组继续利用上述结论进行探究． 提出问题： 如图1，在线段同侧有两点，，连接，，，，如果，那么，，，四点在同一个圆上． 探究展示： 如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（依据1） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（依据2） 点，，，四点在同一个圆上 (1)反思归纳：上述探究过程中的“依据1”、“依据2”分别是指什么？ 依据1：__________；依据2：__________． (2)图3，在四边形中，，，则的度数为__________． (3)拓展探究：如图4，已知是等腰三角形，，点在上（不与的中点重合），连接．作点关于的对称点，连接并延长交的延长线于，连接，． ①求证：，，，四点共圆； ②若，的值是否会发生变化，若不变化，求出其值；若变化，请说明理由． 【答案】(1)圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 (2)45° (3)①见解析；②不发生变化，值为8 【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等作答即可； （2）根据同弧所对的圆周角相等即可求解； （3）①根据（1）中的结论证明即可得证；②证明，根据相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）如图2，作经过点，，的，在劣弧上取一点（不与，重合），连接，则（圆内接四边形对角互补） 点，，，四点在同一个圆上（对角互补的四边形四个顶点共圆） 点，在点，，所确定的上（同圆中，同弧所对的圆周角相等） 点，，，四点在同一个圆上 故答案为：圆内接四边形对角互补；同圆中，同弧所对的圆周角相等 （2）在线段同侧有两点，， 四点共圆， 故答案为： （3）①∵， ， 点与点关于对称， ， ， 四点共圆； ②，理由如下， 如图， 四点共圆， ， 关于对称， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了圆内接四边形对角互补，同弧所对的圆周角相等，轴对称的性质，相似三角形的性质与判定，掌握以上知识是解题的关键． 3．（2025·山西吕梁·二模）阅读与思考 阅读下面的材料，并完成相应的任务． 探究四点共圆的条件我们知道，过任意一个三角形的三个顶点能作一个圆．过任意一个四边形的四个顶点能作一个圆吗？ 下面给出了一些圆内接四边形． 分别用量角器测量上面各四边形的内角，得出结论： ① 180°．（填“＞”“＜”或“＝”） ∵四边形内角和为， ∴ ② ．（填“＞”“＜”或“＝”） 如果四边形的四个顶点不在同一个圆上，那么与之间还有上面的关系吗？试结合下图中的两种情况进行证明． …… 任务： (1)填空：①________，②________．（填“＞”“＜”或“＝”） (2)请你在图4与图5中选择其中一个图，探究与180°之间的关系． (3)如图6，点E在四边形ABCD的边AB的延长线上，，，，请在图6中作一个过A，B，D三点的（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹），并直接写出的度数． 【答案】(1)=，= (2)图4：点C在圆的内部时，，证明见解析；图5：点C在圆的外部时，，证明见解析； (3)作图见解析， 【分析】1）根据测量结果以及四边形的内角和解答即可； （2）图4：点C在圆的内部时，如图：连接，然后三角形外角的性质可得，再结合可得，最后结合四边形内角和为即可解答；图5：点C在圆的外部时，同理可解； （3）如图：连接，作、的垂直平分线，其交点O为圆心，然后画出圆即可完成作图；先说明，再说明A、B、C、D四点在上，再根据同圆中等弧所对的圆周角相等即可解答． 【详解】（1）解：经测量：； ∵， ∴． 故答案为：，． （2）解：图4：点C在圆的内部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 图5：点C在圆的外部时，，证明如下： 如图：连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：如图：即为所求； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵A，B，D三点在上， ∴A，B，C、D四点在上， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了四边形的内角和定理、圆的内接四边形、三角形外角的性质、圆周角定理、外接圆的作法等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． 4．（2025·湖南湘潭·模拟预测）阅读理解： 如果同一平面内的四个点在同一个圆上，则称这四个点共圆，一般简称为“四点共圆”．证明“四点共圆”判定定理有：1、若线段同侧两点到线段两端点连线夹角相等，那么这两点和线段两端点四点共圆；2、若平面上四点连成的四边形对角互补，那么这四点共圆．例：如图1，若，则四点共圆；或若，则四点共圆． (1)如图1，已知，，则_____； (2)如图2，若为等腰的边上一点，且，求的长； (3)如图3，正方形的边长为4，等边内接于此正方形，且，，分别在边，，上，若，求的长． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由，得出A，B，C，D四点共圆，则，即可得出结果； （2）在线段取一点，使得，推出， 得出，证出，则，再证出，由证得得出是等腰直角三角形，即可得出结果； （3）作于，则是的中点，连接，，则，得出E、K、G、B和E、K、F、A分别四点共圆，则，，得出是等边三角形，，作，则M为的中点，得出，，由勾股定理求出即可得出结果． 【详解】（1）解：， 四点共圆， ． 故答案为： （2）在线段取一点，使得，如图2所示： ， ， ， ， ， ， ，， ， 在和中， ， （）， ， ， 是等腰直角三角形， ； （3）作于，则是的中点，连接，，如图3所示： ， 、、、和、、、分别四点共圆， ，， 是等边三角形， ， 作，则为的中点， ， ， ， ． 【点睛】本题是四点共圆综合题目，考查了四点共圆的判定、圆周角定理、正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，有一定难度． 5．（24-25九年级上·江苏徐州·期中）【推理证明】（1）如图①，在四边形中，，求证：、、、四点共圆．小明认为：连接，取的中点，连接、即可证明，请你按照小明的思路完成证明过程； 【尝试应用】（2）如图②，在正方形中，点是边上任意一点，连接，交于点，请利用无刻度的直尺与圆规在线段上确定点，使是直角三角形．（不写作法，保留作图痕迹） 【拓展延伸】（3）在（2）的基础上，若，，求线段的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）． 【分析】本题考查了证明四点共圆以及圆周角定理，正方形性质、直角三角形性质、勾股定理； （1）根据直角三角O形斜边中线等于斜边一半证明，即可得出结论； （2）以为直径作圆，交于点P，由直径所对圆周角等于，即可得得出是直角三角形； （3）由正方形性质和勾股定理求出，再证明得是等腰直角三角形，由此求出． 【详解】（1）证明：连接，取的中点，连接、， ∵， ∴， ∴、、、四点在以点O为圆心，以为半径的圆上． （2）如图，为所求直角三角形； （3）∵在正方形中，，， ∴，，， ， ∴， ∵， ∴， 又∵是直角三角形，， ∴， ∴ 又∵， ∴即 ∴． 题型07 与圆有关的最值问题 类型一 阿氏圆问题 1．（2021·四川宜宾·中考真题）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴分别交于A、B两点，与y轴交于点C（0，6），抛物线的顶点坐标为E（2，8），连结BC、BE、CE． （1）求抛物线的表达式； （2）判断△BCE的形状，并说明理由； （3）如图2，以C为圆心，为半径作⊙C，在⊙C上是否存在点P，使得BP＋EP的值最小，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）y=x2+2x+6；（2）直角三角形，见解析；（3）存在， 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式； （2）分别求出三角形三边的平方，然后运用勾股定理逆定理即可证明； （3）在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP，则BF的长即为所求． 【详解】解：（1）∵抛物线的顶点坐标为E（2，8）， ∴设该抛物线的表达式为y=a（x-2）2+8， ∵与y轴交于点C（0，6）， ∴把点C（0，6）代入得：a=， ∴该抛物线的表达式为y=x2+2x+6； （2）△BCE是直角三角形．理由如下： ∵抛物线与x轴分别交于A、B两点， ∴当y=0时，（x-2）2+8=0，解得：x1=-2，x2=6， ∴A（-2，0），B（6，0）， ∴BC2=62+62=72，CE2=（8-6）2+22=8，BE2=（6-2）2+82=80， ∴BE2=BC2+CE2， ∴∠BCE=90°， ∴△BCE是直角三角形； （3）如图，在CE上截取CF=（即CF等于半径的一半），连接BF交⊙C于点P，连接EP， 则BF的长即为所求． 连接CP，∵CP为半径， ∴ ， 又∵∠FCP=∠PCE， ∴△FCP∽△PCE， ∴ ，FP=EP， ∴BF=BP+EP， 由“两点之间，线段最短”可得：BF的长即BP+EP为最小值． ∵CF=CE，E（2，8）， ∴F（，）， ∴BF= 【点睛】本题考查二次函数综合，待定系数法，二次函数图象和性质，勾股定理及其逆定理，圆的性质，相似三角形的判定和性质等，题目综合性较强，属于中考压轴题，熟练掌握二次函数图象和性质，圆的性质，相似三角形的判定和性质等相关知识是解题关键． 2．（2024·安徽·模拟预测）如图1，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交轴于两点，为抛物线顶点． (1)求的值； (2)点为直线下方抛物线上一点，过点作轴，垂足为点，交于点，是否存在？若存在，求出此时点坐标；若不存在，请说明理由； (3)如图2，以为圆心，2为半径作圆，为圆上任一点，求的最小值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）通过长度先得到点坐标，再将两点代入函数解析式，解方程即可； （2）先求出直线的函数表达式，设出点坐标为，进而得到两点坐标，再通过列出方程，解方程即可； （3）取取，连接，，先证得，得到，进而可得到，再通过两点坐标求得长度． 【详解】（1）解：， 点坐标为， 将，代入， 得， 解得， （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可知抛物线的表达式为， 故点坐标为， 直线的表达式为 设点坐标为， 则， ， ， 若， 则， 解得， ， 故，此时点坐标为； （3）如图，取，连接， ，，， 又， ， ， ， ， ， 故的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合问题，能够熟练掌握二次函数的基本性质以及相似三角形的应用是解题关键． 3．（2025·吉林长春·二模）【模型认知】“阿氏圆”，是阿波罗尼斯圆的简称，已知在平面内两点A、B，则所有满足的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”．如图①，在中， ，⊙C的半径为2，P为圆上一动点，求最小值． 第一步：如图②，连结圆心C与动点P； 第二步：以半径为公共边，构造“母子”型相似． 第三步：计算的长度，由可得，即． 第四步：，如图③，当A、P、M三点共线时最小，此时 ______． 【模型探究】如图④，在中， ，D为上一点，小明同学认为当时，的长是长的一半，于是给出如下证明： ∵， ∴ 证明过程缺失 ∴ ∴ 请补全缺失的证明过程． 【模型应用】如图⑤，在扇形中， ，点P为扇形上一动点，则的最小值为______． 【答案】【模型认知】；【模型探究】见解析；【模型应用】13 【分析】本题主要考查了圆的有关性质，相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理，两点之间，线段最短，本题是阅读型题目，熟练掌握题干中的方法并熟练应用是解题的关键． 模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，利用相似三角形的判定与性质求得，则当A、P、M三点共线时最小，利用勾股定理解答即可； 模型探究：利用相似三角形的判定与性质解答即可； 模型应用：延长至点E使，连接，利用相似三角形的判定与性质得到，则，当点E，P，B在一条直线上时，为线段，利用勾股定理解答即可得出结论． 【详解】解：模型认知：连结圆心C与动点P，以半径为公共边，构造“母子”型相似，如图， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∴， ∴当A、P、M三点共线时最小，如图， ∵， 此时． 故答案为：； 模型探究：证明：∵， ∴ ∴， 又， ∴， ∴， ∴． 模型应用：解：延长至点E使，连接，如图， 则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． ∴当点E，P，B在一条直线上时，最短为线段， ∴的最小值． ∴的最小值为13． 故答案为：13． 4．（2020·山西·模拟预测）阅读以下材料，并按要求完成相应任务．阿波罗尼斯（ApolloniusofPerga），古希腊人（公元前262~190年），数学家，写了八册圆锥曲线论著，其中有七册流传下来，书中详细讨论了圆锥曲线的各种性质，阿波罗尼斯圆是他的论著中一个著名的问题．一动点与两定点，的距离之比等于定比，则点的轨迹是以定比内分和外分线段的两个分点的连线为直径的圆，这个圆称为阿波罗尼斯圆，简称“阿氏圆”． 如图1，点，为两定点，点为动点，满足，点在线段上，点在的延长线上且，则点的运动轨迹是以为直径的圆． 下面是“阿氏圆”的证明过程（部分）： 过点作交的延长线于点． ∴，． ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 如图2，在图1（隐去，）的基础上过点作交于点，可知，…… 任务： （1）判断是否平分，并说明理由； （2）请根据上面的部分证明及任务（1）中的结论，完成“阿氏圆”证明的剩余部分； （3）应用：如图3，在平面直角坐标系中，，，，则点所在圆的圆心坐标为________． 【答案】（1）平分．理由见解析；（2）点的运动轨迹是以为直径的圆，见解析；（3） 【分析】（1）利用相似三角形的判定及性质仿照图1的证明即可得证； （2）根据90°的圆周角所对的弦是直径即可证得点的运动轨迹是以为直径的圆； （3）结合题目所给的材料分别求得AB的内分点和外分点的坐标，进而可求得点所在圆的圆心坐标． 【详解】解：（1）平分．理由如下： ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴，． ∴， 即平分． （2）∵，， 且， ∴． ∴为直径． ∴点的运动轨迹是以为直径的圆． （3）∵，， ∴AB＝3，且AO＝2OB， ∵， ∴点O为AB的内分点， 当点C为AB的外分点时，CA＝2CB， ∴CB＝AB＝3， ∴OC＝OB+BC＝4， ∴点C的坐标为（4，0）， ∴点所在圆的圆心坐标为（2，0）． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，直径的判定，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键． 5．（2023·广东深圳·模拟预测）【模型由来】“阿氏圆”又称“阿波罗尼斯圆”，已知平面上两点A、B，则所有满足（且）的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最早由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称“阿氏圆”． 【模型建立】如图1所示，圆O的半径为r，点A、B都在圆O外，P为圆O上一动点，已知，连接PA、PB，则当“”的值最小时，P点的位置如何确定？    第1步：一般将含有k的线段PB两端点分别与圆心O相连，即连接OB、OP； 第2步：在OB上取点C，使得，即，构造母子型相似∽（图2）； 第3步：连接AC，与圆O的交点即为点P（图3）． 【问题解决】如图，与y轴、x轴的正半轴分别相交于点M、点N，半径为3，点，点，点P在弧MN上移动，连接PA，PB．    (1)的最小值是多少？ (2)请求出（1）条件下，点P的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在x轴上取点，连接，根据相似三角形的判定和性质得出，结合图形得出当点P在上时，取得最小值，再由勾股定理求解即可； （2）设直线的解析式为，利用待定系数法确定函数解析式，设，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：如图，在x轴上取点，连接，    ∵点，点， ∴， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 当点P在上时，取得最小值， ∴， 故最小值为； （2）∵，， ∴设直线的解析式为，将点代入得： ，解得， ∴， 设， ∵半径为3， ∴， 解得：（负值舍去）， ∴， ∴ ． 【点睛】题目主要考查相似三角形的判定和性质，最短路径问题及一次函数解析式的确定，理解题意，作出相应辅助线是解题关键． 类型二 点与圆的最值问题 1．（2025·广东江门·二模）如图，在矩形中，，，E是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查圆周角定理、圆的基本性质及矩形的性质、勾股定理，根据可知点E在以为直径的半上，再进一步求解即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴点E在以为直径的半上， 连接交于点， ∴当点E位于点位置时，线段取得最小值， ∵， ∴， ∵， ∴， 则. 故选：B． 2．（2025·安徽芜湖·二模）如图，M是等腰直角三角形的边的中点，P是平面内一点，连接，将线段以点A为中心逆时针旋转，得到线段，连接．若，点M，P之间的距离为1，则的最小值为（   ） A．4 B．5 C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、圆的有关定义及性质等知识．连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，，由旋转性质可推导，是等腰直角三角形，则，，根据圆的定义可得点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动，进而可知当M、Q、H共线时，最小，最小值为，根据等腰直角三角形的性质求得值即可求解． 【详解】解：连接，，将线段绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，， 由旋转性质得，，，即， ∴，是等腰直角三角形， ∴，， 则点Q在以H为圆心，1为半径的圆上运动， ∵， ∴当M、Q、H共线时，最小，最小值为， ∵点M是等腰直角三角形边的中点，， ∴，， ∴， ∴的最小值为， 故选：C． 3．（2025·安徽阜阳·三模）如图，在正方形中，，点在正方形内部，且满足，连接，取，的中点，连接，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正方形的性质，中位线的判定和性质，勾股定理的运用，掌握以上知识，掌握正方形的性质，共圆的判定是关键． 连接，根据中位线的判定和性质得到，点共圆，圆心为的中点，记为，当三点共线时，最小，此时最小，由勾股定理得到，由此即可求解． 【详解】解：连接， ∵分别是，的中点， ∴， ∵， ∴点共圆，圆心为的中点，记为， 当三点共线时，最小，此时最小， 连接，交于点， ∵四边形是正方形，， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 4．（2025·四川宜宾·三模）如图，在边长为6的等边中，点，分别是边，上的动点，且，连接，交于点，连接，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质、圆、特殊角的三角函数等相关知识．首先证明，推出点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧．连接交于，当点P运动到时，取到最小值． 【详解】解：如图所示，∵边长为6的等边， ∴， ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P的运动轨迹是以O为圆心，为半径的弧， 此时， 连接交于，当点P运动到时，取到最小值， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 即， 故答案为：． 5．（2025·湖南娄底·模拟预测）如图，在等腰中，，，，点D在边上运动，将沿所在的直线翻折得到，连接，E是线段的中点，连接，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点作，等边对等角，得到，三线合一结合锐角三角函数，求出的长，折叠得到，取的中点，连接，过点作，三角形的中位线定理，得到，进而得到点在以点为圆心的圆上，进而得到当三点共线时，最大，进行求解即可． 【详解】解：过点作， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， 取的中点，连接，，过点作，则：， ∴， ∴， ∴， ∵点为的中点，为的中点， ∴， ∴点在以为圆心，为半径的圆上， ∴当三点共线时，的值最大为； 故选B． 【点睛】本题考查等腰三角形的性质，折叠的性质，解直角三角形，三角形的中位线定理，求圆外一点到圆上一点的最值，熟练掌握相关知识点，确定点的运动轨迹，是解题的关键． 类型三 直线与圆的最值问题 1．（2024·山东烟台·中考真题）如图，在中，，，．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得，连接，，则面积的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】根据平行四边形的性质得到，，，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作于N， ∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 2. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，为平面内的动点，且满足，为直线上的动点，则线段长的最小值为 . 【答案】 【分析】由直径所对的圆周角为直角可知，动点轨迹为以中点为圆心，长为直径的圆，求得圆心到直线的距离，即可求得答案． 【详解】∵， ∴动点轨迹为：以中点为圆心，长为直径的圆， ∵，， ∴点M的坐标为：，半径为1， 过点M作直线垂线，垂足为D，交⊙D于C点，如图： 此时取得最小值， ∵直线的解析式为：， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了点的轨迹，圆周角定理，圆心到直线的距离，正确理解点到直线的距离垂线段最短是正确解答本题的关键． 3．（2024·广西玉林·三模）如图，在矩形中，，，点E、F分别是边上的动点，且，点G是的中点，连结，则四边形面积的最小值为（    ） A．142 B．96 C．192 D．124 【答案】A 【分析】本题考查矩形中的动点问题，连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，由四边形是矩形，得，又，点G是的中点，即得，故G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积，根据，，可得，，，可得，从而，得四边形面积的最小值是142． 【详解】解：连接，过B作于H，以B为圆心，为半径作圆，交于，如图： ∵四边形是矩形， ∴， ∵，点G是的中点， ∴， ∴G在以B为圆心，5为半径的弧上，当G运动到时，最小，此时四边形面积最小，最小值即为四边形的面积， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即四边形面积的最小值是142． 故选：A． 4．如图，已知直线y＝x－3，与x轴、y轴分别交于A、B两点，P是以C（0，1）为圆心，1为半径的圆上一动点，连接PA、PB，则△PAB面积的最小值是（　   　） A．6 B． C．5 D． 【答案】B 【分析】过C作CM⊥AB于M，连接AC，MC的延长线交⊙C于N，则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC，可知圆C上点到直线y=x-3的最短距离是，由此求得答案． 【详解】解：∵直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于A、B两点， ∴当x=0时，y=-3；y=0时，x=4 ∴OB=3；OA=4 由勾股定理得， ∵C（0，1） ∴ ∴BC=OB+OC=3+1=4 过C作CM⊥AB于M，连接AC，如图， 则由三角形面积公式得，×AB×CM=×OA×BC， ∴5×CM=16， ∴CM=， ∴圆C上点到直线y=x-3的最小距离是 ， ∴△PAB面积的最小值是 ×5×=， 故选：B． 【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系，三角形的面积，点到直线的距离公式的应用，解此题的关键是求出圆上的点到直线AB的最小距离． 1．（2025·安徽芜湖·三模）如图，已知的半径为，是直径上一定点，且，非直径的弦经过点下列选项不正确的是（   ） A．为定值 B．的最小值为 C．面积的最大值为 D．作弦，于点，则的最大值为 【答案】C 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理，解题的关键是掌握相关知识解决问题．利用相似三角形的判定和性质，垂径定理，勾股定理一一判断即可． 【详解】解：如图，连接，， ∵，， ， ， ，即为定值， 故选项A正确； 如图，连接，过点作于点， ， ， 当时，的值最小，此时， 故选项B正确； 如图，连接，，过点作交延长线于点， 则． ， 当时，最大，最大值， 故选项C错误； 如图，连接，，设交于点， ， ， 的最大值为， 的最大值为， 故选项D正确． 故选：C． 2．（2025·福建·模拟预测）综合与实践． 主题活动 探究窗花图案的几何知识 文化背景 窗花的历史可以追溯到汉代，当时人们用各种材料制作薄片，通过镂空雕刻的艺术形式创造出各种图案，贴在窗户上作为装饰．随着造纸术的发明和普及，纸张逐渐成为窗花的主要材料，使得窗花艺术得到更广泛的发展．如图1的窗花寓意着团圆平安，欢乐祥和． 实践探究 从图1的窗花图案中可抽象出一个由两个同心圆构成的几何图形(如图2)，我们称这种图形为“环花”，设直线l与“环花”从左到右依次交于点A，B， C， D． 探究1：写出图2中线段与的数量关系：____________；小明经过观察认为当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立；请给出证明． 探究2：若图3中，且大圆面积是小圆面积的3倍，求大圆半径的长． 拓展迁移 探究3：将两个同心圆替换成两个菱形，如图4，点O是这两个菱形对角线的公共交点， 且F，B，D，H 四点均在对角线上，直线l不经中心O，与两个菱形从左到右依次交于点M，N，P，Q，求的值． 【答案】探究1：；结论仍然成立，证明见解析；探究2：；探究3：1 【分析】探究1：根据，，再利用线段的和差即可求解；过点作于点，利用垂径定理得到，，再利用线段的和差即可证明； 探究2：同理探究1得：，，连接，设，根据大圆面积是小圆面积的3倍，得到，在中，，即，在中，，即，由此建立方程求解即可； 探究3：连接，过点作交于点，过点作交于点，利用平行四边形的判定得到是平行四边形，得出，，同理可得，，再利用菱形的性质证明，推出，即可得出答案． 【详解】探究1： 解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：（相等） 当直线l 不经过中心O时(如图3)，结论仍然成立，证明如下： 如图，过点作于点， ∵， ∴，， ∴， ∴． 探究2： 同理探究1得：，， ∵， ∴，， 连接， 设， 则大圆面积为，小圆面积为， ∵大圆面积是小圆面积的3倍， ∴，即， 在中，，即， 在中，，即， ∴，即， 解得（负值舍去）， ∴，即大圆的半径长为； 探究3： 解：如图，连接，过点作交于点，过点作交于点， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， 同理可得，，， ∵四边形与四边形均为菱形，为它们的中心， ∴，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了垂径定理、菱形的性质、相似图形的性质、勾股定理，平行四边形的性质与判定、全等三角形的性质与判定，学会添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 3．（2025·广东惠州·三模）图1是木马玩具底座水平放置的示意图．点O是所在圆的圆心，的半径为，已知点A，B之间的水平距离为，且两点距离地面的竖直高度一样高． (1)求点A的竖直高度； (2)将图1的木马玩具沿地面向右作无滑动的滚动，当与相切于点B时，如图2，点A的竖直高度升高了多少？（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查垂径定理，勾股定理，作辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）过点作于点C交于点D，则为切点，根据勾股定理求出长即可解题； （2）过点作于点，根据列方程解题即可． 【详解】（1）解：过点作于点C交于点D，则为切点， ∵A，B两点距离地面的竖直高度一样高， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点A的竖直高度； （2）解：过点作于点， 则A点到地面的距离为长，设，则， ∴，即， 解得， ∴点A的高度升高为． 4．（2025·山西运城·一模）阅读与思考 阅读下列材料，完成下面的任务． 关于“三角形的内切圆”的研究报告 【研究内容】如图，在中，三边，，，是它的内切圆，切点分别为，，，如何求、、的长呢？ 【解法】是的内切圆，切点为，，，，，．设，，，则有，，如果设，那么有． 任务： (1)直接写出研究报告中“▲”处空缺的内容：______． (2)如图2，这是一张三角形纸片，为它的内切圆，小悦沿着与相切的剪下了一个三角形纸片，已知，，，求三角形纸片的周长． (3)如图3，的内切圆与，，分别相切于点，，，，，，求． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）由题意得出，则可得出答案； （2）由题意得，如图，设切点分别为，，，则，由三角形周长可得出答案； （3）设，依题意得，，根据勾股定理可得，解方程得出，则可得出答案． 【详解】（1）解：是的内切圆，切点为，，， ，，， 设，，，则有， 三式相加可得， ， 如果设，那么有． 故答案为：，； （2）解：的周长为， 由题意得， 如图，设切点分别为，，，则， ，， ， 三角形纸片的周长， ； （3）解：设，依题意得，， ，， ， 根据勾股定理可得，整理得， 解得或不合题意，合去， ， ，， ． 【点睛】本题考查的知识点是三角形内切圆、切线长定理、勾股定理解直角三角形、解一元二次方程，解题关键是熟练掌握三角形内切圆的性质、切线长定理． 5．（2025·辽宁·模拟预测）古代数学家刘徵编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础，现根据刘微的《重差》测量一个球体建筑物的高度．如图，已知点是球体建筑物与水平地面的接触点（切点），地面上两点与点在一条直线上，且在点的同侧，若在处分别测得球体建筑物的最大仰角为和，且． (1)求的长度； (2)求该球体建筑物的最高点到地面的距离．（参考数据：） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查切线的性质，切线长定理，解直角三角形的运用，掌握以上知识，数形结合分析是关键． （1）由题意知：为圆心，为切点，，根据切线长定理，，，在Rt中，，，即可求解； （2）根据直角三角形的性质，，根据圆的基础知识即可求解． 【详解】（1）解：由题意知：为圆心，为切点，， 为的切线， 根据切线长定理，， 为的切线， 根据切线长定理，， ， ， ， 在Rt中，，， ∴． （2）解：， 根据直角三角形的性质，， ． 最高点到地面距离为． 6．（2025·广东深圳·二模）如图，在中，以上一点为圆心，为半径的与、相交于、，连接． (1)从以下三个信息中选择两个作为条件，剩余的一个作为结论组成一个真命题，并写出你的证明过程． ①平分；②；③直线是的切线．你选择的条件是______，结论是______（填序号）； (2)在（1）的条件下，若，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1)①②，③ (2) 【分析】（1）选择的条件是①②，结论是③；理由：连接，根据等腰三角形性质可得，根据角平分线性质得，可得，得，即得； （2）先求出，，得，再阴影部分的面积等于三角形的面积减去扇形的面积，即可． 【详解】（1）解：选择的条件是①②，结论是③． 理由如下： 如图，连接， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴是的切线； 故答案为：①②，③（答案不唯一）； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查构造真命题，角平分线定义，等腰三角形性质，圆切线的判定和性质，扇形的面积，三角形面积，勾股定理，含30度的直角三角形的性质等知识．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 7．（2025·广西南宁·模拟预测）请阅读材料，并完成相应的任务．战国时期数学家墨子提写的《墨经》一书中就有了圆的记载，与圆有关的定理有很多，弦切角定理就是其中之一． 定义：我们把顶点在圆上，一边和圆相交，另一边和圆相切的角叫做弦切角．（也就是切线与弦所夹的角，切点为弦切角的顶点）．如图1中即为弦切角． 弦切角定理：弦切角的度数等于它所夹的弧所对的圆周角度数． 下面是弦切角定理的证明过程： ①如图1．已知：为圆上任意一点，当弦经过圆心，且切于点时，易证：弦切角． ②如图．当点是优弧上任意一点，切于点．求证：弦切角． 证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ▲ ， ， 是直径， ▲ （直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 ▲ （同弧所对的圆周角相等）， ． 完成下列任务： (1)将上述证明过程补充完整； (2)运用材料中的弦切角定理解决下列问题： ①如图3，的顶点在上，和相交于点，且是的切线，切点为，连接．若，求的长； ②如图4，，以为直径的交于点，过点作的切线，交的延长线于点．试猜想与的数量关系，并证明你的猜想． 【答案】(1)；； (2)①；②，证明见解析 【分析】（1）根据切线的性质，以及圆周角的性质，即可求解， （2）①由弦切角定理，可得：，进而得出，由对应边成比例，即可求出的长， ②连接，由是直径，可得，结合，根据等腰三角形三线合一，即可得出是的角平分线，根据弦切角定理，即可求解， 本题考查了切线的性质，圆周角的性质，直径所对的圆周角是，相似三角形的性质与判定，等腰三角形三线合一，解题的关键是：理解并应用弦切角定理，结合已经学会的知识点进行解题． 【详解】（1）证明：连接并延长交于点，连接，如图2所示． 与相切于点， ， ， 是直径， ∴（直径所对的圆周角是直角）， ， ， 又 （同弧所对的圆周角相等）， ． 故答案为：；；； （2）解：①如图， 是的切线，切点为， ， 又， ， ，即：， ，解得：； ②如图，连接， 是直径， ，， 又， 是的角平分线，即：， 又是的切线， ， ． 8．（2025·浙江·一模）【定理学习】欧几里得在《几何原本》中提出切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线（圆外一点引出一条与圆有两个交点的直线叫割线），切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项． 【定理证明】（1）如图①，点为外一点，与相切于点，割线与圆相交于两点，求证：（提示：连结，并延长交于点，连结）． 【解决问题】（2）如图②，是的切线，连结交于点的半径为．若，求的值． 【答案】（1）见解析  （2）的值为 【分析】本题考查圆周角定理，相似三角形的判定和性质，切线的性质，掌握构造相似三角形，并应用相似三角形的性质得到线段之间的关系是解题的关键. （1）根据切线可得到，根据直径得到，可推出，再由同弧对应的圆周角相等得到，然后证明得到结论 （2）延长交于点， 连结， ，可以得到，由（1）的结论代入可得到关于的方程，解方程即可求出的值. 【详解】（1）证明： 连接，并延长交于点，连接， ∵与相切于点， ∴， 即， ∴， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ，即； （2）如图， 延长交于点， 连结， ， ∵的半径为，， ， 由（1）可知， ， ， 整理得 ， 解得或(舍去)， ∴的值为. 9．已知半径为 如图，过内一点作弦，连接．求证：． 如图，过外一点，作割线，求证：． 【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【分析】（1）过点P作直径CD，如图1，根据相交弦定理得PA•PB=PC•PD，由于而PC=R-OP，PD=R+OP，则PA•PB=（R-OP）（R+OP），然后利用平方差公式展开即可得到结论； （2）直线OP交⊙O于C、D，如图2，根据切割线定理得到PA•PB=PC•PD，由于PC=OP-R，PD=OP+R，则PA•PB=（OP-R）（OP+R）=OP2-R2，然后利用平方差公式展开即可得到结论. 【详解】证明：过点作直径，如图， ∵， 而，， ∴； 直线交于、，如图， ∵和都为的割线， ∴， 而，， ∴． 【点睛】本题考查了切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．推论：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等． 也考查了相交弦定理. 10．（2024·河南安阳·三模）数学综合与实践课上，老师让同学们以“三角形的旋转”为主题开展数学活动． 模型感知： 小明同学善于观察思考，如图，在和中，，他发现当两个直角三角形共斜边时，取斜边中点，根据斜边中线等于斜边的一半，易知，由圆的定义可知，四点共圆，则有，其依据是______． 操作判断： 小明同学把等腰直角三角板的直角顶点绕着直角三角板的斜边中点旋转，其中，直线与相交于点，边与相交于点． （）如图，当时，线段与的数量关系是______． 深入探究： （）将图中的旋转到图所示的位置，请判断与的数量关系是否发生变化，并说明理由． 应用： （）如图，已知，若等腰直角三角板绕点继续旋转，边与的交点始终在线段上，当点为的三等分点时，直接写出的面积． 【答案】模型感知：同弧所对的圆周角相等；（1）；（2）仍有，证明见解析；（3） 【分析】模型感知：根据圆周角定理即可求解； （）连接，可得四边形是矩形，得到，由直角三角形的性质可得，即得，又由得到，即可得到； （）与的数量不会发生变化．如图，连接，由，，可得四点共圆，即得，进而可得，利用直角三角形的性质即可求证； （）如图，过点作于，解直角三角形求出，进而得到，，即得，利用勾股定理求得，再根据（）的结论得到，再根据勾股定理得到，最后根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：模型感知：由题意可知，其依据是同弧所对的圆周角相等， 故答案为：同弧所对的圆周角相等； （）如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点为斜边的中点， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； （）与的数量不会发生变化，理由如下： 如图，连接， ∵，， ∴四点共圆， ∴， ∵点是斜边的中点， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 即； （）解：如图，过点作于， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵点为的三等分点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆周角定理，矩形的判定和性质，直角三角形的性质，四点共圆，解直角三角形，勾股定理，正确作出辅助线是解题的关键． 11．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，以为直径作，交于点D，过点D作，垂足为E． (1)求证：是的切线； (2)若，． ①求的长； ②点P为上一点，连接，是否有最小值？若有，请直接写出这个最小值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)①；②的最小值为． 【分析】本题考查与圆的性质概念，与圆有关的位置关系，相似三角形的判定和性质，熟练掌握以上性质并正确作出辅助线是解题关键． （1）连接、，由“直径所对的圆周角是直角”得，即有，由已知、根据“等腰三角形三线合一”得，从而得出：是△ABC的中位线，由三角形中位线定理得，由已知、“一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条得，根据切线的判定定理得证； （2）①由题意证明，求出，从而得出结论； ②在中，由边角关系可以求出，从而得出：，，过点P作于点G，则由“直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半”得，延长到点F，使，则由线段垂直平分线的性质可知：上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有，由“两点之间，线段最短”可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长，此时，在中，由边角关系即可求出最小值． 【详解】（1）证明：连接、，如图： ∵是的直径， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线． （2）解：①若，，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的长为． ②点P为上一点，连接，有最小值， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 过点P作于点G，则， 延长到点F，使，则上任意一点P到点A与点F的距离都相等，即总有， 由两点之间，线段最短可知：当点F在直线上时，的长最小，从而的长最小，最小值为线段的长， 此时，在中，， ， 即的最小值为． 1．（2025·湖南长沙·中考真题）如图1，点O是以为直径的半圆的圆心，与均为该半圆的切线，C，D均为直径上方的动点，连接，且始终满足． (1)求证：与该半圆相切； (2)当半径时，令，，，，比较m与n的大小，并说明理由； (3)在（1）的条件下，如图2，当半径时，若点E为与该半圆的切点，与交于点G，连接并延长交于点F，连接，，令，，求y关于x的函数解析式．（不考虑自变量x的取值范围） 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】（1）如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． 根据与均为该半圆的切线，得出，则，可得．证明，得出．根据，得出．则，可得，即平分．又，得出，即可证明与该半圆相切． （2）如图4，过点作，交于点，在中，由勾股定理可得，根据，列等式得出，代入可得． （3）如图5，根据均为该半圆的切线，则，证明，得出，从而得出，证明，得出，得出．得出，则，即可得．同理可得，得出，由（2）可知，得出，又在中，，得出，即可得，从而得出． 【详解】（1）解：如图3，连接，并延长交的延长线于点，过点作于点． ∵与均为该半圆的切线， ． ． ． ∵为的中点， ． 在与中， ， ． ． ， ． ． ，即平分． 又， ． ∴与该半圆相切． （2）解：．理由如下： 如图4，过点作，交于点， 在中，由勾股定理可得， ， ． ， 代入可得． （3）解：如图5，均为该半圆的切线， ， ， ． ， ， ． ， ． ． ． ， ， ． 同理可得， ， 由（2）可知， ． 又在中， ， ． ， ． 【点睛】该题考查了圆综合题，涉及圆切线的性质和判定，切线长定理，相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，角平分线定理，勾股定理，函数解析式等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 2．（2025·江苏泰州·三模）综合实践：探索三角形内心的性质 定义回顾：三角形三条角平分线的交点称为三角形的内心． 性质应用： （1）在中，，I是的内心，则 ． （2）在中，，则内切圆的半径为____． 性质拓展： （3）刘徽是魏晋时期我国伟大的数学家，是中国古典数学理论的奠基者之一．他在注解《九章算术》时，十分重视一题多解，其中最典型的就是给出直角三角形内切圆直径的多种表达形式．如图1，已知，在中，，的长分别表示为a，b，c，内切圆的直径为d． ①在下列表达式中（A）；（B），选择一个正确的表达式，并证明这个表达式的正确性． 我选________（填“A”或“B”） ②如图2，若，过的内心O，作一直线分别交，于M，N，当的面积最小时，求的长． 【答案】（1）；（2）；（3）①B；② 【分析】（）由三角形内角和定理得，再根据内心的定义得，进而即可求解； （）作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，，等腰三角形的面积可通过作高求得，这样得到关于半径的方程，解方程即可； （3）①同理（2）得，则有，然后可得，进而根据完全平方公式可进行求解；②过点M作于点G，连接，过点O分别作，则有，然后可得设，，进而可得，最后根据二次函数的性质及三角函数可进行求解． 【详解】解：（）如图， ∵在中，， ∴． ∵点是的内心， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 则，，， 是内心， ， ， ． 、、三点共线， ， 设内切圆半径为， ，， ， ，则， 又， ，则内切圆的半径为． 故答案为：． （3）①如图，作的内切圆，分别与、、相切于、、，连结，，，，，， 同理（2）得， ， ∵，， ∴，即， ∴， ， ， ∴ ， ∴， ∴， 故B正确， 故答案为：B； ②过点M作于点G，连接，过点O分别作，如图所示： ∵点O为内心， ∴是的角平分线， ∴， ∵，， ∴， ∴，， 由①知， ∴， ∴的内切圆半径为，即， 设， ∴， ∴， ∴， 整理得：， 当点N与点B重合时，过点M作于点H，如图， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 令， ∵， ∴， ∵，且对称轴为， ∴当时，有最大值， ∴当时，的面积有最小值，最小值为； ∴，， ∴， ∴ 【点睛】本题考查了三角形的内心，切线长定理，勾股定理及三角函数，掌握以上知识点是解题的关键． 3．（2025·湖南长沙·一模）【问题呈现】阿基米德折弦定理：如图1，和是的两条弦（即折线是圆的一条折弦），，点M是的中点，则从M向所作垂线的垂足D是折弦的中点，即．下面是运用“截长法”证明的部分证明过程． 证明：如图2，在上截取，连接、、和，∵M是的中点，，又，，， 又，，，即 (1)【理解运用】如图1，、是的两条弦，，点M是的中点，于点D，求的长； (2)【变式探究】如图3，若点M是中点，【问题呈现】中的其他条件不变，判断、、之间存在怎样的数量关系？并加以证明． (3)【实践应用】根据你对阿基米德折弦定理的理解完成下面问题： 如图4，是的直径，点A是圆上一定点，点D是圆上一动点，且满足，若，的半径为10，求长． 【答案】(1)3 (2)，证明见解析； (3)或． 【分析】本题考查了圆周角，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，理解阿基米德折弦定理是解题关键． （1）根据阿基米德折弦定理求解即可； （2）在上取，连接、、、，证明，得到，再根据等腰三角形三线合一的性质，得到，即可得出结论； （3）先利用圆周角和勾股定理，求得，再分两种情况讨论：当点在上方时，过点作于点，连接、；②当点在下方时，过点作于点，结合上述结论分别求解即可． 【详解】（1）解：由阿基米德折弦定理可知，， ， ， ， ； （2）解：，证明如下： 如图3，在上取，连接、、、， 点M是中点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ，即； （3）解：是的直径， ， 的半径为10， ， ， 由勾股定理得：， ， ①当点在上方时，如图，过点作于点，连接、， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， ， ， ； ②当点在下方时，如图，过点作于点， ，， ， ，即点是的中点， 由（2）可知，， ， 在中，， 综上可知，长为或． 4．（2025·湖南长沙·三模）通过教科书九上活动2“探究四点共圆的条件”可得： 引理1对角互补的四边形的四个顶点共圆． 例如，如图1，四边形，若，则A、B、C、D四点共圆．类似探究可得： 引理2线段同旁张等角，四点共圆． 例如，如图1，C、D在线段同旁，若，则A、B、C、D四点共圆（注：可直接运用引理解决下述问题）．如图2，在平面直角坐标系中，已知点，⊙过原点O和x轴上另一点D，有动点，点A在第一象限，且为等边三角形，连接交⊙于F，过D作的平行线与射线交于点E，连接交于H，与交于G，连接． (1)可求得______°，______°； (2)请判断的形状并证明； (3)记（即三线段长度和），请求出y关于x（）的函数关系式，并求出y最小时劣弧的长度； (4)在图2中作出的延长线交于点B，连接，请直接写出的最小值为______． 【答案】(1)30；60 (2)为等边三角形，见解析 (3) (4) 【分析】（1）过点作于点，解直角三角形得到，再由圆周角定理即可求解； （2）首先，可得点四点共圆，则，证明四点共圆，则，则，即可证明； （3）在上取一点，使得，过点作于点，证明，则，然后由勾股定理得到 ，即，那当时，，此时点重合，可得共线，求出，，再由弧长公式即可求解； （4）延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接，证明，则，那么当最大时，最小，则当为直径时，最大，，即可求解． 【详解】（1）解：过点作于点， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：30；60； （2）解：为等边三角形，理由如下： 如图： ∵为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴四点共圆， ∴， ∴， ∴， ∴为等边三角形； （3）解：在上取一点，使得，过点作于点， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵等边，， ∴，， ∴由勾股定理得， 由（1）得， ∴， ∴， ∴ ， ∴ ∴当时，，此时点重合，如图： ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴共线， ∵ ∴， ∴； （4）解：延长并延长交于点，连接，连接并延长交于点，连接， ∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是直径，为圆心， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当最大时，最小， ∴当为直径时，最大，， 此时． 【点睛】本题考查了圆与三角形的综合问题，涉及圆周角定理，相似三角形的判定与性质，解直角三角形，等边三角形的判定与性质，勾股定理，弧长公式，二次函数最值问题，难度很大，正确条件辅助线是解题的关键． 5．（2025·广东广州·二模）如图1，已知四边形中， (1)点、分别是、边上动点，且，连接与，交于点，求的度数（用表示）； (2)当时， ①点是边上动点，将沿着翻折，若点的对应点刚好落在对角线上，求此时的长度； ②如图2，在上运动，在射线上运动，与交于点，且满足，是中点，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；②4 【分析】（1）证明，推出，即可求解； （2）①证明四边形是正方形，得到，，再结合折叠的性质，得到是等腰三角形，即可求解； ②先证得，得到，进而得到点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧，设的中点为O，连接，如图，在上取点Q，使，连接，证明，得到，则，可得当三点共线时最小，即最小，然后作辅助线、构建直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：在和中， ， ， ， ， ； （2）解：①在四边形中，， 四边形是正方形， ，， 设点C的落点为G，由折叠的性质可知，，，， 是等腰三角形， ， ； ②，， ， ， ， ∴， ， 连接，是中点， ∴， ∴点P的运动轨迹是以为直径的圆上的一段弧， 设的中点为O，连接，如图， 则，， 在上取点Q，使，连接，则， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 连接，如图，则， ∴当三点共线时最小，即最小， 作，垂足分别为H、K， 则四边形是矩形，    ， ∴， 在直角三角形中，， ， ∴，， 则在直角三角形中，， 即的最小值为4． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了全等三角形的判定和性质、正方形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理以及点与圆上距离的最值等知识，比较难的是最后一个小题，正确作出辅助线、利用相似三角形的性质转化带根号系数的线段是解题的关键. 6．（2025·江苏连云港·二模）（1）【教材再现】苏科版九下教材第56页有这样一道例题：如图1，在中，，点分别在上，且，与相似吗？为什么？ 【总结提炼】在完成该例题的解答后，小明从图1中分离出图2，他认为是由过的一顶点的一条直线，从上截得的一个小三角形，该三角形与原三角形相似，关联很紧密，于是，小明把这两个三角形称为“母子相似”．请应用小明的发现，继续解决问题． 【应用内化】（2）如图3，在中，用无刻度的直尺和圆规在上作一点，使得是和的比例中项（不写作法，保留清晰的作图痕迹） （3）如图4，在中，，，，点在内，且，求的最小值； 【拓展应用】（4）如图5，正方形的边长为6，点分别在边上，且，与相交于点，点关于的对称点为点，连接交于点试判断是否存在最小值？存在，直接写出最小值；不存在，请说明理由． 【答案】（1）证明过程详见详解（2）作图详见详解（3）（4）存在， 【分析】（1）可证得，根据得出，进而得出，进一步得出结论； （2）作，交于； （3）作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接，可证得，从而，从而得出当时直径时，最大，最小，即最小，进一步得出结果； （4）可证得，从而点在以为直径的上，连接，延长，交的延长线于，可推出，从而根据（1）知，从而，从而当最大时，最小，此时最小，当与相切时，最大，最小，进一步得出结果． 【详解】（1）理由如下： ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ （2）如图1， 作，交于， ∵是公共角， ∴是和的比例中项； （3）如图2， 作等边三角形，作其外接圆，延长，交于，连接， ∵ 点在上， ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∵ ∴ ∴ 又∵为公共角 ∴ ∴ ∵当为直径时，最大，最小，即最小， ∵直径 ∴ （4）如图3， 四边形是正方形， ∵，∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴点在以为直径的上， 连接，延长，交的延长线于， ∵ ∴ ∵点关于的对称点为点， ∴ 即 ∴ 由（1）知， ∴ ∴当最大时，最小，此时最小， ∴当与相切时，最大，最小， 此时 ∴ ∵ ∴ ∴ ∴， 设，则，， ∵在中，由勾股定理得， ∴ ∴，即 ∴ 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和性质，确定圆的条件，圆的切线的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造相似三角形． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $