专题04 线段与角（期末复习专项训练）七年级数学上学期新教材华东师大版

专题04 线段与角 题型1 两点确定一条直线（常考点） 题型14 角的基本概念 题型2 直线、线段、射线的数量问题（难点） 题型15 角的比较 题型3 直线相交的交点个数问题（难点） 题型16 三角板中角度计算问题（难点） 题型4 点线面体之间的关系 题型17 几何图形中角度计算问题（难点） 题型5 线段的应用 题型18 角度的四则运算 题型6 尺规作图：作线段（常考点） 题型19 实际问题中的角度计算（重点） 题型7 两点之间线段最短（常考点） 题型20 角平分线的有关计算（重点） 题型8 两点间的距离（难点） 题型21 角N等分线的有关计算 题型9 最短路径问题（难点） 题型22 求一个角的余角 题型10 线段中点的有关计算（难点） 题型23 求一个角的补角 题型11 线段N等分点的有关计算 题型24 与余角、补角有关的计算（常考点） 题型12 线段之间的数量关系 题型25 同（等）角的余（补）角相等的应用（难点） 题型13 与线段有关的动点问题（难点） 题型1 两点确定一条直线（共3小题） 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）农民在播种时，常常希望种子能成行排列，便于管理和生长，他会在田地的两端各插一根竹竿，然后拉紧一根长绳，使其贴近地面并与两根竹竿底部接触，接着，他沿着这根绳子撒下种子．这种做法用几何知识解释应是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以向两边无限延伸 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 【答案】B 【分析】本题主要考查了直线的性质，正确掌握直线的性质，联系实际生活是解题的关键； 直接利用直线的性质分析即可得到答案． 【详解】解：这种做法的几何知识解释应是：两点确定一条直线， 故选：B． 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段是直线的一部分 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线的性质，根据直线的性质：两点确定一条直线进行解答即可．关键是掌握两点确定一条直线． 【详解】解：建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是两点确定一条直线． 故选：A． 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（    ） A．固定窗帘架时只需固定其两端 B．把弯曲的公路改直能缩短路程 C．钟表的秒针旋转一周会形成一个圆面 D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 【答案】A 【分析】此题主要考查了直线和线段的性质，关键是正确理解两点确定一条直线；两点之间，线段最短． 根据直线和线段的性质进行解答即可． 【详解】选项A． 固定窗帘架时只需固定其两端，相当于通过两个点确定一条直线，符合题意； 选项B．涉及两点之间线段最短，不符合题意； 选项C．涉及线动成面，不符合题意； 选项D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉，属于“直线可以无限延伸”的知识，不符合题意． 故选A． 题型2 直线、线段、射线的数量问题（共3小题） 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一段高铁行驶路线，点，，，，分别表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制车票（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 【答案】C 【分析】本题主要考查了数线段的条数，熟知两点构成一条线段是解题的关键． 根据有多少条线段单程就需要印制多少种车票进行求解即可． 【详解】解：∵图中线段有，，，，，，，，，共10条， ∴单程要10种车票，往返就是20种． 故选：C． 5．（25-26七年级上·全国·期末）若A，B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制 _________ 种车票． 【答案】42 【分析】此题考查了线段的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票． 把车票种数转化为线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应印制（种）． 故答案为：42． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，相交于点O； (3)画射线，并在射线上作线段，使（用尺规作图，保留作图痕迹）； (4)数一数，此时图中共有_条线段． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)10 【分析】此题考查了线段，射线，直线的定义及作图，解题的关键是掌握各定义及三者的区别． （1）根据直线的定义画图即可； （2）根据线段的定义画图即可； （3）先画射线，然后以点为圆心，长为半径画弧，接着以点为圆心，长为半径画弧，交射线于点； （4）根据线段的定义，一一列举出来即可． 【详解】（1）解：下图直线即为所求： （2）解：下图点即为所求： （3）解：下图射线，线段即为所求： （4）解：图中的线段有：线段，共10条， 故答案为：10． 题型3 直线相交的交点个数问题（共3小题） 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 【答案】45 【分析】此题考查的知识点是相交线，关键是此题在相交线的基础上，着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊到一般猜想的方法． 由在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点，代入即可求解． 【详解】解：∵在同一平面内，条直线两两相交，则最多有个交点， ∴条直线两两相交，交点的个数最多为． 故答案为：45． 8．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有_______个交点． 【答案】 【分析】本题考查相交线与平行线，当直线与其中一条平行时可得交点最少．掌握相交线与平行线的定义是解题的关键． 【详解】解：如图， 当直线平行于直线时，直线和原来三条直线有个交点（如上左图）； 当直线与已知的三条直线都不平行时，直线和原来三条直线有个交点（如上右图）； 综上所述，直线和原来三条直线最少有个交点． 故答案为：． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母的式子表示，） 【答案】 【分析】本题考查相交线交点个数问题，求最多交点个数的关键是保证任意两条直线都相交，且任意三条直线不交于同一点．根据规律推出条直线相交最多有个交点即可． 【详解】解：3条直线相交最多有个交点， 4条直线相交最多有个交点， 5条直线相交最多有个交点， 条直线相交最多有个交点． 故答案为：． 题型4 点线面体之间的关系（共3小题） 10．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 【答案】A 【分析】本题考查了两点确定一条直线． “向右看齐”口令要求士兵调整方向，使队伍形成一条直线，这直接应用了“两点确定一条直线”的几何性质． 【详解】解：在队列中，士兵以相邻士兵为参考点调整位置，使所有士兵的视线或身体对齐形成一条直线； ∴这基于“两点确定一条直线”的原理，即通过两个点可唯一确定一条直线，其他点均落在此直线上． 故选：A． 11．（25-26七年级上·四川·期中）唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号）_______．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线） 【答案】① 【分析】本题考查点，线，面，体，根据点动成线，线动成面，面动成体，诗句描述雨滴下落形成雨丝，符合点动成线的几何原理，判断即可． 【详解】解：诗句“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”中，雨滴可视为点，下落时由于运动轨迹形成雨丝，即线状，这对应几何变换中的点动成线原理．选项①正确描述了这一现象． 故答案为：①． 12．（24-25七年级上·吉林·期末）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为______． 【答案】线动成面 【分析】本题主要考查了点、线、面、体之间的动态关系，熟练掌握“线动成面”的原理是解题的关键．根据“点动成线”的类比，分析扇骨（线）移动形成扇面（面）的数学原理． 【详解】解：打开折扇时，扇骨是线，扇面是面，线的移动形成面，对应的数学原理是“线动成面”． 故答案为：线动成面． 题型5 线段的应用（共3小题） 13．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 【答案】A 【分析】本题考查了线段的长短比较，正确理解线段的长短是解题的关键． 连接，，，，由图即可判断答案． 【详解】解：如图，连接，，，， 易知，， ∴表示她最好成绩的点是点，即该同学投掷铅球最好的成绩是的长． 故选：A． 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 【答案】C 【分析】此题考查了线段之间的总条数，解题的关键是往返车票需要两种车票．根据线段之间的总条数计算即可． 【详解】解：如图所示，兰州市某公交线路上共设6个车站，可看作六个点， 则线段的总条数是， 因为要有往返车票，即两点之间是两种车票，所以应设计（种）． 故选：C． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 【答案】D 【分析】本题考查线段的计数问题，解题的关键在于将该问题抽象为几何问题解决．将不同站点的车票抽象为线段，再结合线段的计数方法和“起点或终点不一样都算不同的车票”求解，即可解题． 【详解】解：将不同站点的车票抽象为线段，如下图所示： 上图共有线段（条）， 因为起点或终点不一样都算不同的车票， 所以所有不同的车票有（张）， 故选：D． 题型6 尺规作图：作线段（共3小题） 16．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，点在线段上． (1)尺规作图：在线段上，截取． (2)尺规作图：延长到点，使． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，熟知相关作图方法是解题的关键． （1）以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段于Q，则线段即为所求； （2）如图所示，以点B为圆心，以的长为半径画弧，交线段的延长线于D，则线段即为所求． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 17．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了尺规作一条线段等于已知线段．先作射线，然后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，再以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，最后以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点，即可得出答案． 【详解】解：如图，线段即为所求作的线段． ． 18．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请在的延长线上求作点，在的延长线上求作点，使得的长等于的周长．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】要在的延长线上作点，在的延长线上作点，使得的长等于的周长，需要利用尺规作图中作一条线段等于已知线段的方法，将三角形的三边依次拼接在直线上．本题主要考查尺规作图中作一条线段等于已知线段的方法，熟练掌握该方法是解题的关键． 【详解】解：线段即为所求， 以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．所作弧半径为长， ∴ ． 以为圆心，长为半径画弧，交的延长线于点．所作弧半径为长， ∴ ． 此时， ∵ ，， ∴ ，即的长等于的周长． 题型7 两点之间线段最短（共3小题） 19．（25-26七年级上·全国·期末）小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的性质：两点之间线段最短，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 根据两点之间，线段最短即可得到答案． 【详解】解：能用来解释这一事实的数学知识是两点之间，线段最短． 故选：A． 20．（25-26七年级上·山西太原·月考）2025年12月5日，由中铁十一局承建的渝万高铁全线第二长隧道——光裕寨隧道顺利贯通．该隧道位于重庆市万州区，全长8575米，最大埋深约350米，系渝万高铁全线重难点控制性工程之一．渝万高铁是中国“八纵八横”高铁网包（银）海通道与京昆通道的重要组成部分，该项目建成通车后，重庆中心城区至万州的铁路运行时间将缩短至1小时以内．在铁路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．平面内经过一点有无数条直线 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间，线段最短， 根据开挖隧道使道路取直以缩短路程，即可作出判断． 【详解】解：∵ 开挖隧道是在两点之间创建一条直线路径，避免绕行， ∴ 根据“两点之间，线段最短”的原理，这样做可以缩短路程． 故选：C． 21．（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 【答案】D 【分析】本题主要考查了射线的定义，两点确定一条直线，据此可判断A；连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离且两点之间线段最短，据此可判断B、C；射线与射线的方向不同，据此可判断D． 【详解】解：A、过两点有且只有一条直线，说法正确，不符合题意； B、连接两点间线段的长度叫做两点的距离，说法正确，不符合题意； C、两点之间，线段最短，说法正确，符合题意； D、射线与射线不是同一条射线，原说法错误，符合题意； 故选：D． 题型8 两点间的距离（共3小题） 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④线段与线段是同一条线段，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查直线、射线、线段、两点间距离等知识点，根据直线、射线、两点间距离的相关知识逐一分析即可解答；准确把握相关概念是关键． 【详解】解：①过两点有且只有一条直线，正确； ②连接两点的线段的长度叫做两点的距离，故②错误； ③两点之间线段最短，故③错误； ④线段与线段是同一条线段，故④正确； 故①④正确，仅有2个． 故选：B． 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为________． 【答案】269 【分析】本题考查了整式加减的应用，首先根据题意表示出，，然后根据求解即可． 【详解】A，B两站之间的距离； ， ， ， ． 答：C，D两站之间的距离是． 故答案为：269． 24．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 【答案】点处 【分析】本题主要考查了两点之间的距离， 设P，C间的路程为，再分类讨论，当点P在点C左侧时，当点P在点C右侧时，根据两点之间的距离解答即可. 【详解】解：设P，C间的路程为，当点P在点C左侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P在点C右侧时， 车站到三个村庄的路程为； 当点P与点C重合时，车站到三个村庄的距离是， 所以当车站建在村庄C处时，车站到三个村庄的距离之和最小. 故答案为：点C处. 题型9 最短路径问题（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏·期末）下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有_____ ．（填序号） 【答案】②④ 【分析】本题主要考查了两点之间线段最短，熟练掌握以上知识是解题的关键． 根据“两点之间，线段最短”的性质，判断各现象是否涉及路径缩短或距离优化． 【详解】解：现象①：建筑工人拉线砌墙，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象②：把弯曲的公路改直，能缩短路程，直接应用两点之间线段最短； 现象③：植树时确定两棵树的位置以确定直线，是利用两点确定一条直线，与线段最短无关； 现象④：从地到地架设电线沿线段，是为了节省材料，应用两点之间线段最短； 故答案为：②④． 26．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了两点之间线段最短，通过平面展开图和两点之间线段最短即可求解，正确理解两点之间线段最短是解题的关键． 【详解】解：一只蚂蚁要从正方体的一个顶点沿表面爬行到顶点， 根据两点之间，线段最短，则沿线段爬行，就可以使爬行路线最短， 故选：． 27．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 【答案】(1)见解析 (2) (3)路线长相等，见解析 【分析】此题主要考查了圆柱侧面展开图，熟练掌握展开图长宽画法，圆周长公式，矩形面积公式，平面展开图中两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短． （1）按甲乙两圆柱体等高，乙周长是甲周长的2倍画图； （2）按计算； （3）一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，另一只蚂蚁爬行的最短路程为圆柱展开图中的的连线，根据两个矩形全等，对角线相等可得两只蚂蚁爬行的最短路程相等． 【详解】（1）解：下图所示实线部分为此工件的侧面展开图： （2）； 故答案为：； （3）答：它们爬行的路线长相等，图中虚线即为最短路线长 题型10 线段中点的有关计算（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 【答案】A 【分析】本题主要考查了线段的和差，线段中点的性质，解题的关键是掌握以上性质． 根据线段的中点性质及线段的和差逐项进行证明即可． 【详解】解：①∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∵， ∴， 故①正确； ②∵C为线段的中点，D为的中点， ∴， ∴， 故②正确； ③∵， ∴③正确； 综上，正确的选项是①②③， 故选：A． 29．（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知：点A，B，C都是直线l上的点，且，点D是中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差关系，与线段的中点有关的计算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，然后分类讨论，再根据线段的和差关系列式计算，即可作答． （2）理解题意，由（1）得的长为或，然后分类讨论，再根据线段的中点关系列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：当点B在线段上时，； 当点C在线段上时，； 答：的长为或． （2）解：由（1）得的长为或． 当时， ∵点D是中点， ∴，； 当时， ∵点D是中点， ∴； 答：的长为或． 30．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 【答案】(1)①8，②1 (2)或 【分析】本题考查了线段的和差计算，熟练掌握绝对值的非负性质，偶次方的非负性质，线段中点有关计算，线段的和差计算，分类讨论，是解题的关键． （1）①根据非负数性质求出m，n的值．根据线段的中点性质求出，然后再相加即可；②根据线段的中点性质求出，然后再计算即可； （2）分两种情况讨论：①当时，②当时．根据线段的和差计算，线段的中点性质进行计算即可． 【详解】（1）解：①∵，，且， ∴，， ∴ 解得． ∵， ∴， ∵点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴； ②∵F是的中点， ∴， ∴； （2）分两种情况讨论：①如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴． ②如图所示，当时， ∵，点D是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴，， ∵点F是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理，得， ∴， 综上所述，的值为或． 题型11 线段N等分点的有关计算（共3小题） 31．（25-26七年级上·山东·期末）若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为________． 【答案】12或24 【分析】本题考查线段的性质：根据点是中点，得；点和点是的三等分点，且，讨论D和E的位置，从而求出，再求． 【详解】解：如图，有两种情况： ①∵点和点是线段上的三等分点，且， ∴，因此． 又∵点是线段的中点， ∴． ②∵点和点是线段上的三等分点，且， ∴，因此． 又∵点是线段的中点， ∴． 故答案为：12或24． 32．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 【答案】8 【分析】本题主要考查了数轴上两点的距离计算，数轴上两点的三等分点的计算公式，设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为，再根据数轴上两点的三等分点的计算公式得到点表示的数和点表示的数，再求两个数差的绝对值即可． 【详解】解：设运动时间为，点的运动速度为，则点表示的数为， ∵点始终为线段靠近点的三等分点， ∴点表示的数为 点始终为靠近点的三等分点， 点表示的数 所以 故答案为8． 33．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，点在线段上，且是线段的中点，是线段上一点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是：______． 【答案】①②④ 【分析】本题考查了线段的比例关系、中点及三等分点的性质，解决本题的关键是通过代数方法验证几何结论．先通过设定的长度为，将各线段长度用表示，再明确点D（中点）、点E（三等分点）的位置，再通过代数计算，判断各结论是否成立即可． 【详解】解：设，则，故， 点D是的中点，故， ，故，， ∴，此时，结论①成立； ，而，故，结论②成立； ，，故，结论③不成立； ，故，结论④成立， ∴正确的结论为①②④． 故答案为：①②④． 题型12 线段之间的数量关系（共3小题） 34．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)画图见解析，，理由见解析 【分析】本题考查了线段中点的相关计算，线段中点的定义，熟练掌握线段中点的相关计算是关键． （1）根据线段中点的定义，得到，，，即得答案； （2）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相加即可； （3）根据线段中点的定义，得到，，再将两式相减即可． 【详解】（1）解：点M是的中点，， ， 同理可得，， ； （2）解：点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ； （3）解：如图所示， 猜想．理由如下： 点M，N分别是，的中点， ，， ， ， ． 35．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据线段的和差求出，再结合线段中点的特点求解，即可解题； （2）根据线段的比例关系求出，由（1）知，，再根据计算求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， 点M是的中点， ． （2）解：，， ， 由（1）知，， ． 36．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 【答案】(1)1，3 (2) (3)的值为或1 (4)不变， 【分析】本题考查了两点间的距离，能够根据点的运动情况，进行分类讨论是解题的关键． （1）非负性求出的值即可； （2）根据题意，得到，进而求解即可； （3）分两种情况：当点Q在线段上时，当点Q在线段的延长线上时，分别求解即可； （4）先求出的值，进而求出的值，再分两种情况求出的值，进而求出的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，； （2）由（1）和题意可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：当点Q在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（2）知：， ∴ ∴， ∴； 当点Q在线段的延长线上时， ∵， ∴， ∴； 综上，的值为或1； （4）不变； 当时，点C停止运动，此时，， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∴； ①如图，当M，N在点P的同侧时    ； ②如图，当M，N在点P的异侧时    ． ， 当点C停止运动，D点继续运动时，的值不变， ∴，值不变． 题型13 与线段有关的动点问题（共3小题） 37．（2025七年级上·江苏·专题练习）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 _ ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 _ ． 【答案】(1)①；②； (2)或或或； 【分析】本题考查线段的和差问题，距离与绝对值的关系，动点问题．画好线段图，分类讨论是解决本题的关键． （1）由线段的和差关系，以及， ，即可求解； （2）设，则，，点分五种位置进行讨论，①当D在A点左侧时，②当D在之间时，③当D在之间，且在中点的右侧时，④当D在之间，且在中点的左侧时，⑤当在的右侧时，结合图形求解． 【详解】（1）解：（1）①，， ∵，P、Q速度分别为、， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． ②， ∵， ∴， ∴； （2）∵． 设，则， ∴， ①当D在A点左侧时， ， ∴， ∴； ②当D在之间时， ， ∴， ∴（不成立）， ③当D在之间，且在中点的右侧时， ， ∴， ∴， ∴， ④当D在之间，且在中点的左侧时， ， ∴， ∴， ∴； ⑤当在的右侧时， ， ∴， ∴． 综上所述，的值为或或或； 故答案为：或或或； 38．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了线段中点特点，熟悉各线段间的和、差及倍数关系，以及根据题意分情况讨论是解题的关键． （1）根据题意分别求出，再结合线段中点特点得到，进而求出，最后根据求解，即可解题； （2）根据线段中点特点得到，进而推出，再由得到，即可求出的值； （3）设，则，根据线段在直线上移动，分情况讨论，结合建立等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：，， ， D为的中点， ， ， ； （2）解： D为的中点，E为的中点， ， ， ， ， ， ； （3）解：，， 设，则， ， 当E在A的左侧时， 有， 解得， ， ； 当A在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在之间时， 有， 解得， ， ， ； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在之间， 在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 当在右侧时， 有， 解得（不合题意，舍去）； 综上所述，的值为或． 39．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 【答案】(1)10； (2)； (3)． 【分析】本题考查线段的和与差，以及动点问题， （1）确定运动1秒后点C、D的位置，以A、C、M、D、B为端点，依次找出所有线段，统计线段数量即可． （2）根据题意算出，，再由，即可解题． （3）设运动时间为t，则，，根据，，结合，即可解题． 【详解】（1）运动时，点C从M向左移动，点D从B向左移动． 此时图中的线段有：、、、、、、、、、，共10条． 故答案为：10； （2）解：当点C、D运动了时，，， ， ． （3）解：设运动时间为t， 则，， ，， 又， ， 即， ， ， ； ∵， 题型14 角的基本概念（共3小题） 40．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查角的含义，角的度数的大小，只与两边张开的大小有关，所以用一个放大5倍的放大镜看一个的角，仍然是，放大镜放大的只是两边的长短． 【详解】解：用一个放大5倍的放大镜看一个的角，那么看到的仍然是的角， 故选：A． 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 【答案】D 【分析】本题考查了射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义． 根据射线的定义、两点的距离、角的定义、直线的定义逐一判断即可． 【详解】解：A． 射线有一个端点，直线无端点，射线不是直线，原说法错误； B． 连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离，原说法错误； C． 具有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，原说法错误； D． 经过两点有一条直线，并且只有一条直线，原说法正确； 故选：D． 42．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的有（    ）． ①0是多项式；②角是两条射线组成的图形；③互补且相等的两个角都是直角；④单项式的系数是，次数是5；⑤如果是正数，那么一定是负数；⑥的奇数次幂等于；⑦一个有理数和它的相反数的积是负数；⑧如果线段，则点是线段的中点；⑨连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑩在单价一定的情况下，购买《故事会》的总价和数量成反比例． A．5个 B．3个 C．2个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查代数式的概念，几何图形的基本知识点，相反数的概念和等量关系，熟练掌握相关的知识是关键． 根据对应的知识点，逐一判断每个说法的正误即可． 【详解】解：对于①，0是单项式，不是多项式，故①错误； 对于②，角由同一个端点出发的两条射线组成，题干描述不清，故②错误； 对于③，两角互补，则和为，若同时两角相等，则均为，故③正确； 对于④，单项式的系数为，不是，故④错误； 对于⑤，正数的相反数是负数，故⑤正确； 对于⑥，的奇数次幂为，故⑥正确； 对于⑦，若有理数为0，则不满足要求，故⑦错误； 对于⑧，点不一定在线段上，故⑧错误； 对于⑨，连接两点的线段的长度叫做两点之间的距离，题干漏了关键词“长度”，故⑨错误； 对于⑩，单价一定时，总价与数量成正比例，不是反比例，故⑩错误. ∴正确的有③、⑤、⑥，共3个． 故选：B． 题型15 角的比较（共3小题） 43．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查了角度制，角的大小比较，将的单位统一为度分形式，再进行比较大小，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ∵，且， ∴， 故选：B． 44．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了角的大小的比较，掌握角的度，分，秒之间的转化是解题的关键． 将转化为，即可得出答案． 【详解】解：由， 又因为， 所以． 故选：A． 45．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得：_（用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是：_（用“”，“”或“”填空） 【答案】(1)作图见解析 (2)作图见解析 (3)作图见解析 (4) (5) 【分析】本题考查作图—复杂作图，直线，射线，线段，角的大小比较， （1）根据射线的定义画出图形； （2）根据线段的定义画出图形； （3）根据线段的定义画出图形； （4）根据两点之间线段最短判断即可； （5）利用度量法判断即可； 解题的关键是理解直线，射线，线段的定义． 【详解】（1）解：如图，射线即为所作； （2）如图，线段即为所作； （3）如图，线段即为所作； （4）， 故答案为：； （5）如图，， 故答案为：． 题型16 三角板中角度计算问题（共3小题） 46．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将摆放在桌面上的一副三角板的直角顶点重合，若，则__________． 【答案】 【分析】此题考查角的计算的理解和掌握，解答此题的关键是通过观察图示，发现几个角之间的关系．从图可以看出，的度数正好是两直角相加减去的度数，从而问题可解． 【详解】解， ， ． 故答案为：． 47．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，将一副三角板叠放，使直角顶点重合，若，则_______度． 【答案】 【分析】本题考查的是三角板中角的和差运算，掌握角的和差关系是解题的关键． 由题意得，，则，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，， ∵ ∴， ∴， 故答案为：． 48．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为_°，的度数为_°； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 【答案】(1)， (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查角平分线有关的计算及角的和差关系，熟练掌握角平分线的定义及角的和差关系是解题的关键． （1）由平角的定义可求和的度数，进而可求的度数； （2）由角平分线的定义求出，再根据角的和差关系解答即可； （3）设，则，，然后作差即可； （4）设，根据图形可得，，，即可求解． 【详解】（1）解：，， ，， ； 故答案为：，； （2）解：恰好平分， ， ； （3）解：，理由如下： 解：设，则，， （4）设，则，， 题型17 几何图形中角度计算问题（共3小题） 49．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算，由角平分线的定义得出， ， ，结合已知条件可得出，，即可判断①②，再由平角的定义和角度的和差即可得出，即可判断③，由角的等量代换可得出，由即可得出与不互补. 【详解】解：∵平分，平分，平分， ∴， ， ， ∵，， ∴，，， ∴，即，故①②正确； ∵，， ∴，故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴与不互补，故④错误． 故答案为：①②③ 50．（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线的定义； （1）由可得，平分，可求出，最后根据即可求解； （2）将（1）的过程中的的度数用代替，即可求出的度数； （3）由，可求出，平分，可求出，再由平分，得，列出方程求解即可. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （2）解：，理由如下： ∵，， ∴， ∵平分， ∴， 又∵， ∴. （3）解：恰好平分，当在直线下方时，如图所示， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 当在直线上方时，如图所示， 同理可得：. 综上：. 51．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 【答案】（1）12；（2）不变化，；（3）①；②，理由见解析 【分析】本题主要考查了线段的和差，中点的定义，角的和差，角平分线的定义， 对于（1），先求出，再根据中点的定义得 ，，然后根据 得出答案； 对于 ，先求出，再根据中点的定义得，即可得出，然后根据得出答案； 对于（3）①，先求出 ，再根据角平分线的定义得 ，，即可得，然后根据得出答案； ②根据角平分线的定义得 ，即可得，然后根据可得答案． 【详解】（1）解：，，， ． ，分别是，的中点， ，， ． 故答案为：； 解：不变化， ，， ． ，分别是，的中点， ， ， ； ，， ． ，分别平分和， ，， ， ． 故答案为：； ，理由如下： ，分别平分和， ，， ． ， ． ， ， ， ， 即． 题型18 角度的四则运算（共3小题） 52．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算：______． 【答案】/ 【分析】本题考查度分秒的加法运算，需注意单位之间的换算关系，当分满60时需进位到度． 【详解】解：． 故答案为． 53．（25-26六年级上·上海·期末）计算：___________． 【答案】 【分析】先将度分进行单位统一，当分不够减时，从度借化为，再进行分和度的分别相减．本题主要考查了度分秒的减法运算，熟练掌握度分秒之间的进制（）并灵活进行单位转换是解题的关键． 【详解】解： ， 故答案为：． 54．（25-26七年级上·全国·期末）计算：______________ ． 【答案】/5度51分 【分析】本题考查角度的运算，关键掌握的换算关系． 两个度数相减，度与度，分与分对应相减，被减数分不够减的则向度借1变为60分，从而得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 题型19 实际问题中的角度计算（共3小题） 55．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 【答案】/ 【分析】本题考查了方位角的计算，角度的计算，如图，根据题意得，由即可求解． 【详解】解：如图， 根据题意：， 则， ∴， 故答案为：． 56．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 【答案】 【分析】本题考查方向角的计算，角的和差关系．如图，利用进行计算即可． 【详解】解：如图，由题意知，，， ， 故答案为：． 57．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 【答案】或 【分析】本题考查平移的性质，分两种情形：当点在线段上时，当点在的延长线上时，分别求解． 【详解】解：当点在线段上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 当点在的延长线上时， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：或． 题型20 角平分线的有关计算（共3小题） 58．（25-26七年级上·山东·期末）如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算，数形结合是解题的关键．由角平分线，得出，代入数据即可求解． 【详解】解：∵平分，平分， ， 故选：B． 59．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为_____ ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的有关计算，角的和差计算． 根据角的平分线的特点，可以得知所分两角相等，等于原角的一半，根据角与角之间的数量关系即可得出结论． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴ . 故答案为：． 60．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了几何图形中角的计算，角平分线的定义； （1）根据题意，，，即可得出，再根据计算即可得出答案； （2）根据角平分线求出，由，即可得出答案． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）平分． ， ， ，， ， ． 题型21 角N等分线的有关计算（共3小题） 61．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角的计算，角平分线定义，邻补角性质，掌握角的和差计算，角平分线定义，邻补角性质是解题的关键． 设，根据邻补角性质可得，由角平分线定义可得：，即可得到，求出x的值，进而得出答案． 【详解】解：， 可设，则，， ， ， 又平分， ， ，即， ， 解得：， 62．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）是的一条三分线，且，即可得，从而求得的度数； （2）已知是的两条三分线，根据三等分线的定义即可得的度数． 本题考查了与角n等分线的有关计算，以及几何图形的角度的计算，通过几何图形得到角度的和差，从而解决问题，同时也考查了根据题目获取信息，用所获取的信息解题的能力． 【详解】（1）解：∵是的一条三分线，且 ∴ （2）解：∵，，是的两条三分线， ∴ ∴． 63．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴_， ∴， ∵， ∴_， ， ∴_． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)，， (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角的倍数关系，角的和差等知识点，解题的关键是熟练掌握角平分线的性质和角的和差． （1）利用角的平分线的定义求出的度数，再利用角的和差求出的度数，最后根据角的倍数关系以及角的和差即可求解； （2）假设，则，利用角的和差表示出相关的角，然后进行比较即可得出数量关系． 【详解】（1）解：如图1， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∴， 故答案为：，，； （2）解：，理由如下： 假设，则，， ∴， 则． 题型22 求一个角的余角（共3小题） 64．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，学校在小聪家南偏西的方向上，点表示超市所在的位置，，则超市在小聪家的（   ） A．南偏东的方向上 B．南偏西的方向上 C．北偏东的方向上 D．北偏东的方向上 【答案】A 【分析】本题考查方向角表示位置，涉及互余定义，数形结合是解决问题的关键． 由学校与小聪家的位置，由互余定义求出，从而确定超市与小聪家位置关系． 【详解】解：如图所示： 学校在小聪家南偏西的方向上，且， ， 则超市在小聪家的南偏东的方向上， 故选：A． 65．（24-25七年级上·云南红河·期末）一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了求余角，根据余角的定义，互为余角的两角之和为，因此用减去已知角即可得出余角． 【详解】解：∵余角，， ∴． 故余角为， 故选D． 66．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的余角是__________． 【答案】/度 【分析】本题考查了求一个角的余角，当两个角的和为时，那么这两个角互为余角，掌握该知识点是解题的关键．根据题意，可知求一个角的余角，用减去这个角即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴的余角是：， 故答案为：． 题型23 求一个角的补角（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）若一个角的补角是，则这个角的度数是________． 【答案】106 【分析】本题考查的是补角，如果两个角的和等于，就说这两个角互为补角． 根据补角的定义可得答案． 【详解】解：一个角的补角是， 则这个角的度数是． 故答案为：106． 68．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的补角的度数是__________． 【答案】 【分析】本题考查了补角的概念，互补两角之和等于． 补角的定义，两个角互补则它们的和为，由此计算即可． 【详解】解：， 的补角 ． 故答案为：． 69．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了角度的和差计算，解题的关键是根据图形得出各个角度之间的和差关系． 根据，求出，进而根据平角的定义得出即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选：B． 题型24 与余角、补角有关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级上·全国·期末） 如图，已知，与互余，平分． (1)在图中，若，求的度数； (2)在图中，设，，请探索与之间的数量关系； (3)已知条件不变，当绕点逆时针转动到如图的位置时，中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)不成立， 【分析】本题考查了余角和补角，角平分线的定义，角的计算，熟记概念并准确识图，理清图中各角度之间的关系是解题的关键． （）根据互为余角的两个角的和等于列式计算即可得解；根据角平分线的定义求出，再根据计算即可得解； （）先表示出，然后表示出，再根据整理即可得解； （）先表示出，然后表示出，再根据整理即可得解． 【详解】（1）解：与互余， ， 平分， ， ， ； （2）与互余， ， 平分， ， ，， ， 整理得，； （3）与互余， ， 平分， ， ，， ， 整理得． 71．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 【答案】(1)， (2)，，与互补，详见解析 (3)与不一定互补，详见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，求一个角的补角度数，补角的定义，角平分线的定义，熟练掌握以上知识点是做题的关键． （1）根据以及补角的定义即可求值； （2）根据补角的定义和角平分线的定义即可得出答案； （3）根据补角的定义即可做出判断． 【详解】（1）解：， 其补角为． 答：的度数为，其补角的度数为． （2）解：与互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴． 由（1）可知，， ∴， ∴与互补． 答：，，与互补． （3）解：与不一定互补，理由如下： ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴． ∵的度数不确定， ∴与不一定互补． 72．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分 【问题发现】 (1)若，则的度数为______． (2)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 【答案】(1) (2) (3)和的度数之间的关系是：，理由见解析 (4)或 【分析】此题主要考查了角平分线的定义，邻补角的定义，角的计算，理解角平分线的定义，邻补角的定义，熟练掌握角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的易错点． （1）根据是直角，得，根据平分得，再根据即可得出答案； （2）根据是直角，得，根据平分得，再根据即可得出答案； （3）根据平分得设，则，进而得，，据此即可得出和的度数之间的关系； （4）依题意有以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，根据平分得，再根据可得；②当在直线的下方时，同①得，再根据可得，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：是直角，， ， 平分， ， 点，，在同一条直线上， ， 故答案为：； （2）解：是直角，， ， 平分， ， 点，，在同一条直线上， ； （3）解：和的度数之间的关系是：，理由如下： 平分， 设， ， 点，，在同一条直线上， ， 是直角， ， ； （4）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图①所示： 点，，在同一条直线上，， ， 平分， ， 是直角， ； ②当在直线的下方时，如图②所示： 同①得：， 是直角， ， 综上所述：的度数为或． 题型25 同（等）角的余（补）角相等的应用（共3小题） 73．（25-26七年级上·云南·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角板中角度的计算，根据直角三角板可得第一个图形，进而可得；根据余角和补角的性质可得第二个图形、第四个图形中，第三个图形和互补． 【详解】解：根据角的和差关系可得第一个图形， 根据等角的补角相等可得第二个图形， 第三个图形，不相等， 根据同角的余角相等可得第四个图形， 因此的图形个数共有3个， 故选：C． 74．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②的差余角有，，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，等角的余角相等，理解差余角的定义是解题的关键． （1）根据差余角的定义得到，再由平角的定义得到，建立方程即可求解； （2）①由可得，，根据角平分线的定义得到，进而得出，即可得出结论；②根据差余角的定义即可解答． 【详解】（1）解：∵是的差余角， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②的差余角有，，理由如下： ∵， ∴是的差余角， 由①得，， ∴， ∴是的差余角， ∴综上所述，的差余角有，． 75．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了角的和差，角平分线的性质，余角性质等，解题的关键是掌握角的和差及角平分线的性质． （1）根据余角性质得出，再根据角平分线的性质即可得出结论； （2）根据角的和差及倍数关系求出相关角的度数即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∵射线在直线的上方， ∴， ∴． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 线段与角 题型1 两点确定一条直线（常考点） 题型14 角的基本概念 题型2 直线、线段、射线的数量问题（难点） 题型15 角的比较 题型3 直线相交的交点个数问题（难点） 题型16 三角板中角度计算问题（难点） 题型4 点线面体之间的关系 题型17 几何图形中角度计算问题（难点） 题型5 线段的应用 题型18 角度的四则运算 题型6 尺规作图：作线段（常考点） 题型19 实际问题中的角度计算（重点） 题型7 两点之间线段最短（常考点） 题型20 角平分线的有关计算（重点） 题型8 两点间的距离（难点） 题型21 角N等分线的有关计算 题型9 最短路径问题（难点） 题型22 求一个角的余角 题型10 线段中点的有关计算（难点） 题型23 求一个角的补角 题型11 线段N等分点的有关计算 题型24 与余角、补角有关的计算（常考点） 题型12 线段之间的数量关系 题型25 同（等）角的余（补）角相等的应用（难点） 题型13 与线段有关的动点问题（难点） 题型1 两点确定一条直线（共3小题） 1．（25-26七年级上·广东佛山·期中）农民在播种时，常常希望种子能成行排列，便于管理和生长，他会在田地的两端各插一根竹竿，然后拉紧一根长绳，使其贴近地面并与两根竹竿底部接触，接着，他沿着这根绳子撒下种子．这种做法用几何知识解释应是（   ） A．两点之间线段最短 B．两点确定一条直线 C．直线可以向两边无限延伸 D．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 2．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，建筑工人砌墙时，经常在两个墙角的位置分别插一根木桩，然后拉一条直的参照线，这样做的依据是（    ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段最短 C．线段是直线的一部分 D．连接两点间的线段的长度，叫做这两点的距离 3．（25-26七年级上·全国·期末）下列生活、生产现象中，可以用基本事实“两点确定一条直线”来解释的是（    ） A．固定窗帘架时只需固定其两端 B．把弯曲的公路改直能缩短路程 C．钟表的秒针旋转一周会形成一个圆面 D．向远方延伸的铁路给人们一条直线的感觉 题型2 直线、线段、射线的数量问题（共3小题） 4．（25-26七年级上·全国·期末）如图是一段高铁行驶路线，点，，，，分别表示个车站．在这段路线上往返行车，需印制车票（    ） A．种 B．种 C．种 D．种 5．（25-26七年级上·全国·期末）若A，B是火车行驶的两个站点，两站之间有5个车站，在这段线路上往返行车，需印制 _________ 种车票． 6．（25-26七年级上·全国·期末）如图，已知平面内有四个点A，B，C，D．根据下列语句画图： (1)画直线； (2)连接，，相交于点O； (3)画射线，并在射线上作线段，使（用尺规作图，保留作图痕迹）； (4)数一数，此时图中共有_条线段． 题型3 直线相交的交点个数问题（共3小题） 7．（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）一平面内共有10条直线，它们之间的位置关系未知，这10条直线最多有______个交点． 8．（24-25七年级下·甘肃陇南·期末）如图，同一平面中，三条直线交于同一点，不经过交点再画一条直线，则直线和原来三条直线最少有_______个交点． 9．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）小明学习相交直线时发现：3条直线两两相交最多有3个交点，4条直线两两相交最多有6个交点，按这样的规律，条直线两两相交最多有___________个交点．（用含有字母的式子表示，） 题型4 点线面体之间的关系（共3小题） 10．（25-26七年级上·河北衡水·期中）2025年9月3日是中国人民抗日战争暨世界反法西斯战争胜利80周年纪念日，盛大阅兵仪式在天安门广场举行，受阅部队的口令“向右看齐”应用的数学知识是（   ） A．两点确定一条直线 B．经过一点，有无数条直线 C．点动成线，线动成面 D．两点之间线段最短 11．（25-26七年级上·四川·期中）唐代诗人杜甫《雨不绝》中有诗句：“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”．诗中描写雨滴滴下来形成雨丝，用数学知识解释为（填写番号）_______．（①点动成线 ②线动成面 ③线线相交得点④面面相交得线） 12．（24-25七年级上·吉林·期末）在朱自清的《春》中有描写春雨“像牛毛，像细丝，密密地斜织着”的语句，这里把雨看成了线，这种现象可以用数学原理“点动成线”解释．那么打开如图“折扇”时，随着扇骨的移动形成一个扇面，这种现象可以用数学原理解释为______． 题型5 线段的应用（共3小题） 13．（25-26七年级上·河北邢台·期中）图是某同学在体育课上投掷四次铅球的成绩示意图，则该同学投掷铅球最好的成绩是（　　） A．的长 B．的长 C．的长 D．的长 14．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）兰州市某公交线路上共设6个车站，则在这条线路上往返行车需要设计车票价有（    ） A．25种 B．15种 C．30种 D．21种 15．（24-25七年级上·湖北武汉·期末）某列车往返于武汉站与南昌西站，途经鄂州、黄石北与庐山站，列车迷贤哥想收集该列车所有不同的车票（起点或终点不一样都算不同的车票），则他需要购买（   ）张车票 A．6 B．10 C．15 D．20 题型6 尺规作图：作线段（共3小题） 16．（24-25七年级上·吉林·期末）如图，点在线段上． (1)尺规作图：在线段上，截取． (2)尺规作图：延长到点，使． 17．（24-25七年级上·甘肃张掖·期末）如图，已知线段、．请你用尺规作图，求作线段，使．（不写作法，保留作图痕迹） 18．（24-25七年级上·陕西西安·期末）如图，已知，请在的延长线上求作点，在的延长线上求作点，使得的长等于的周长．（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） 题型7 两点之间线段最短（共3小题） 19．（25-26七年级上·全国·期末）小海的爸爸准备开车从A地去往B地，在导航地图上显示两地距离为，导航推荐的三条可选路线长分别为和（如图）．能用来解释这一事实的数学知识是（　　） A．两点之间，线段最短 B．经过一点可以画无数条直线 C．点动成线 D．经过两点有且只有一条直线 20．（25-26七年级上·山西太原·月考）2025年12月5日，由中铁十一局承建的渝万高铁全线第二长隧道——光裕寨隧道顺利贯通．该隧道位于重庆市万州区，全长8575米，最大埋深约350米，系渝万高铁全线重难点控制性工程之一．渝万高铁是中国“八纵八横”高铁网包（银）海通道与京昆通道的重要组成部分，该项目建成通车后，重庆中心城区至万州的铁路运行时间将缩短至1小时以内．在铁路的建设中，通常要从大山中开挖隧道穿过，把道路取直，以缩短路程，这样做蕴含的数学道理是（   ） A．两点确定一条直线 B．两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离 C．两点之间，线段最短 D．平面内经过一点有无数条直线 21．（24-25七年级上·河南商丘·期末）下列说法错误的是（   ） A．过两点有且只有一条直线 B．连接两点间线段的长度叫做两点的距离 C．两点之间，线段最短 D．射线和射线是同一条射线 题型8 两点间的距离（共3小题） 22．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）下列说法中，①过两点有且只有一条直线；②连接两点的线段叫做两点间的距离；③两点之间直线最短；④线段与线段是同一条线段，正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图A、B、C、D四个车站的位置顺次在一条直线上，A，C两站之间的距离，B，C两站之间的距离，B，D两站之间的距离．若A，B两站之间的距离，则C，D两站之间的距离为________． 24．（25-26七年级上·河北唐山·期中）如图，、、是一条公路上的三个村庄，、间的路程为，、间的路程为、现要在之间建一个车站，若要使车站到三个村庄的路程之和最小，则车站应建在___________． 题型9 最短路径问题（共3小题） 25．（25-26七年级上·江苏·期末）下列生活现象：①建筑工人砌墙时，经常先在两端立桩拉线，然后沿着线砌墙；②把弯曲的公路改直，就能缩短路程；③植树时，只要确定两棵树的位置，就能确定同一行树所在的直线；④从地到地架设电线，总是尽可能沿着线段架设．其中能用“两点之间线段最短”来解释的有_____ ．（填序号） 26．（24-25八年级上·河南郑州·月考）如图，一只电子蚂蚁从正方体的顶点处沿着表面爬到顶点处，电子蚂蚁的爬行路线在平面展开图（部分）中如实线所示，其中路线最短的是（    ） A． B． C． D． 27．（24-25七年级上·湖北咸宁·期末）如图，甲、乙两个圆柱体，底面半径分别为，高均为． (1)请分别画出它们的侧面展开图并标注各边长； (2)请用代数式表示两个圆柱体的侧面的面积之和______________； (3)如果一只蚂蚁从点A沿甲圆柱体侧面爬行两圈到达点，另一只蚂蚁从点沿乙圆柱体侧面爬行一圈到达点，均沿最短路线爬行，请猜想：它们的路线长是否相等？请在（1）问所画的侧面展开图基础上，用虚线画出最短路线． 题型10 线段中点的有关计算（共3小题） 28．（25-26七年级上·河北邯郸·期中）如图，已知C为线段的中点，D为的中点，下列结论：①，②，③，其中正确的是（   ） A．①②③ B．①② C．②③ D．①③ 29．（25-26七年级上·江苏南通·月考）已知：点A，B，C都是直线l上的点，且，点D是中点， (1)求线段的长； (2)求线段的长． 30．（24-25七年级上·四川成都·期末）如图1，点C为线段上一点，，点D为的中点，点E为的中点，点F为的中点． (1)若m、n满足， ①求的长； ②求的长； (2)若，求的值． 题型11 线段N等分点的有关计算（共3小题） 31．（25-26七年级上·山东·期末）若点是线段中点，点、点是线段上的三等分点，且，则的长为________． 32．（25-26七年级上·湖南长沙·月考）已知数轴上三点，，表示的数分别为，0，4，动点从点出发，沿数轴向右运动．在运动过程中，点始终为线段靠近点的三等分点，点始终为靠近点的三等分点，点在从点出发往右运动的过程中，则线段的长度为_________． 33．（25-26七年级上·山东德州·期末）如图，点在线段上，且是线段的中点，是线段上一点，且，则下列结论：①；②；③；④．其中结论正确的是：______． 题型12 线段之间的数量关系（共3小题） 34．（25-26七年级上·全国·期末）如图，点C在线段上，点M，N分别是，的中点． (1)若，，求线段的长； (2)若点C为线段上任意一点，满足，其他条件不变，请猜想的长度，并说明理由； (3)若点C在线段的延长线上，且满足，M，N分别为，的中点，请画出图形，猜想的长度，并说明理由． 35．（25-26七年级上·四川成都·期中）如图，点C在线段上，点M是的中点，，． (1)求线段的长； (2)在线段上取一点N，使得，求线段的长． 36．（24-25七年级上·江苏无锡·月考）如图，点是定长线段上一定点，点，分别从点P，B同时出发以，的速度沿直线向左运动（点在线段上，点在线段上），其中、满足条件：．运动的时间为，且点，运动到任一时刻，总有． (1)直接写出：_____，_____； (2)若，请求出的长； (3)若点是直线上一点，且，求的值； (4)若、运动5秒后，恰好有，此时点停止运动，点继续运动（点在线段上），、分别是、的中点，问的值是否发生变化？若变化，请说明理由，若不变，请求出的值． 题型13 与线段有关的动点问题（共3小题） 37．（2025七年级上·江苏·专题练习）点C在线段上，． (1)如图1，P、Q两点同时从C、B出发，分别以、的速度沿直线向左运动． ①在P还未到达A点时，的值为 _ ； ②当Q在P右侧时（点Q与C不重合），取中点M，的中点N，求的值； (2)若D是直线上一点，且，则的值为 _ ． 38．（25-26七年级上·福建厦门·月考）如图，点C在线段上，，点D，E在直线上，点D在点E的左侧． (1)若，且D为的中点，求的长． (2)若D为的中点，E为的中点，求的值． (3)若，线段在直线上移动，且满足关系式，求的值． 39．（25-26七年级上·全国·期末）如图，M是线段上一点，，C，D两点分别从M，B两点同时出发以，的速度沿线段向左运动．（假设C在线段上且不与点A重合，D在线段上且不与点M重合） (1)【知识技能】当点C，D运动了时，这时图中有______条线段； (2)【数学思考】当点C，D运动了时，求的值； (3)【思维延伸】当点C，D运动时，总有，求的长． 题型14 角的基本概念（共3小题） 40．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）图中的角是，若用一个放大5倍的放大镜看这个角，它是（   ） A． B． C． D． 41．（24-25七年级上·甘肃武威·期末）下列说法正确的是（    ） A．射线就是直线 B．连接两点间的线段，叫做这两点的距离 C．两条射线组成的图形叫做角 D．经过两点有一条直线，并且只有一条直线 42．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）下列说法正确的有（    ）． ①0是多项式；②角是两条射线组成的图形；③互补且相等的两个角都是直角；④单项式的系数是，次数是5；⑤如果是正数，那么一定是负数；⑥的奇数次幂等于；⑦一个有理数和它的相反数的积是负数；⑧如果线段，则点是线段的中点；⑨连接两点间的线段，叫做这两点的距离；⑩在单价一定的情况下，购买《故事会》的总价和数量成反比例． A．5个 B．3个 C．2个 D．4个 题型15 角的比较（共3小题） 43．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）若，，则与的大小关系是（ ） A． B． C． D．以上都不对 44．（24-25七年级上·江西吉安·期末）已知，，，下面结论正确的是（   ） A． B． C． D． 45．（24-25七年级上·北京大兴·期末）如图，点是射线外一点．按下列语句画图并回答问题： (1)画射线； (2)在射线上截取； (3)连接； (4)根据图形可得：_（用“”，“”或“”填空）； (5)与的大小关系是：_（用“”，“”或“”填空） 题型16 三角板中角度计算问题（共3小题） 46．（25-26七年级上·全国·期末）如图，将摆放在桌面上的一副三角板的直角顶点重合，若，则__________． 47．（25-26七年级上·黑龙江·期末）如图，将一副三角板叠放，使直角顶点重合，若，则_______度． 48．（24-25七年级上·河北邯郸·期末）如图1，已知，点为直线上一点：在直线的上方，．一直角三角板的直角顶点放在点处，三角板一边在射线上，另一边在直线的下方． (1)在图1的时刻，的度数为_°，的度数为_°； (2)如图2，当三角板绕点O旋转至一边OM恰好平分时，求的度数； (3)如图3，当三角板绕点O旋转至一边ON在的内部时，求的度数． (4)如图4，三角板绕点O旋转到如图位置，请直接写出与的数量关系． 题型17 几何图形中角度计算问题（共3小题） 49．（24-25七年级上·湖南株洲·期末）如图所示，点A、C、B三点共线，，、、分别平分，，，下列结论：①；②；③；④；其中正确的是______． 50．（25-26七年级上·山东·期末）已知点O是直线上的一点，，平分． (1)如图1，若，求的度数； (2)如图2，若（为锐角），请直接写出的度数（用含的代数式表示）； (3)在（2）的条件下，将绕点O顺时针旋转，使得恰好平分，求的度数． 51．（24-25七年级上·甘肃兰州·期末）综合与探究 【背景知识】 如图甲，已知线段，，线段在线段上运动，，分别是，的中点． 【知识探究】 （1）若，则______； （2）当线段在线段上运动时，试判断的长度是否发生变化？如果不变，请求出的长度，如果变化，请说明理由； 【类比探究】 （3）对于角，也有和线段类似的规律． 如图乙，已知在内部转动，，分别平分和． ①若，，则______． ②请你猜想、和三个角有怎样的数量关系请说明理由． 题型18 角度的四则运算（共3小题） 52．（24-25七年级上·湖北荆州·期末）计算：______． 53．（25-26六年级上·上海·期末）计算：___________． 54．（25-26七年级上·全国·期末）计算：______________ ． 题型19 实际问题中的角度计算（共3小题） 55．（24-25七年级上·河南商丘·期末）“宋韵开封·菊香中国”，中国开封第42届菊花文化节于2024年10月18日至11月18日在开封举办．小亮与家人在周末前往清明上河园观赏菊花，由于观赏游客较多，小亮与妈妈一组，和爸爸分别走不同路线进行观赏．如图所示，一小时后，小亮和妈妈（B点）在东门（A点）的北偏西）方向，爸爸（C点）在小亮他们（B点）的南偏西方向，则的度数为______． 56．（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，甲从处出发沿北偏东向走向处，乙从处出发沿南偏西方向走到处，则的度数是______． 57．（24-25七年级下·甘肃定西·月考）如图，点B，C在直线l上，直线l外有一点A，连接，，则是钝角，将三角形沿着直线l向右平移得到三角形，连接，在平移过程中，当时，的度数是______． 题型20 角平分线的有关计算（共3小题） 58．（25-26七年级上·山东·期末）如图，点、、在同一条直线上，平分，平分，则的度数为（　　） A． B． C． D．无法确定 59．（25-26七年级上·江苏·期末）如图，平分，C为内部一点，连接，平分，若，则的度数为_____ ． 60．（25-26七年级上·陕西西安·期中）如图，，，平分． (1)求的度数． (2)若，求的度数． 题型21 角N等分线的有关计算（共3小题） 61．（24-25七年级上·河北石家庄·期末）如图，点O在直线上，射线在直线的上方，平分，，已知，求的度数． 62．（24-25七年级上·江西上饶·期末）定义：从一个角的顶点出发，把这个角分成的两个角的射线，叫作这个角的三分线，显然，一个角的三分线有两条．例如：如图①，若，则是的一条三分线． (1)已知：如图①，是的一条三分线，且，若，求的度数； (2)已知：，如图②，若是的两条三分线，求的度数． 63．（24-25七年级下·北京·期末）如图， 点O在直线 上，， 射线在内部， 且． (1)如图1， 若是的平分线， 求的度数；下面是小张同学的解答过程，请帮小张补充完整答案 解：如图1， ∵是的平分线， ∴_， ∴， ∵， ∴_， ， ∴_． (2)如图2，小张发现当不是的平分线时，与的数量关系仍然保持不变，请你用等式表示出与的数量关系，并说明理由． 题型22 求一个角的余角（共3小题） 64．（25-26七年级上·贵州黔东南·期末）如图，学校在小聪家南偏西的方向上，点表示超市所在的位置，，则超市在小聪家的（   ） A．南偏东的方向上 B．南偏西的方向上 C．北偏东的方向上 D．北偏东的方向上 65．（24-25七年级上·云南红河·期末）一个锐角是，它的余角是（   ） A． B． C． D． 66．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的余角是__________． 题型23 求一个角的补角（共3小题） 67．（25-26七年级上·江苏苏州·期末）若一个角的补角是，则这个角的度数是________． 68．（25-26七年级上·全国·期末）已知，则的补角的度数是__________． 69．（25-26七年级上·辽宁·期末）如图，已知，点B、O、D在同一条直线上，则的度数为（    ） A． B． C． D． 题型24 与余角、补角有关的计算（共3小题） 70．（25-26七年级上·全国·期末） 如图，已知，与互余，平分． (1)在图中，若，求的度数； (2)在图中，设，，请探索与之间的数量关系； (3)已知条件不变，当绕点逆时针转动到如图的位置时，中与的数量关系是否仍然成立？若成立，请说明理由；若不成立，请探索与之间的数量关系． 71．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）如图，，，平分，平分． (1)求出及其补角的度数； (2)求出和的度数，并判断与是否互补； (3)若,,则与是否互补? 请说明理由． 72．（25-26七年级上·河北石家庄·期中）综合与实践： 【实践操作】 在数学实践活动课上，励志小组准备研究如下问题：如图，点，，在同一条直线上，将一直角三角尺如图放置，直角顶点与点重合，是直角，平分 【问题发现】 (1)若，则的度数为______． (2)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，若，求的度数； (3)将这一直角三角尺如图放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由； (4)将直角三角尺绕点顺时针旋转，旋转过程中始终平分，当时，请直接写的度数． 题型25 同（等）角的余（补）角相等的应用（共3小题） 73．（25-26七年级上·云南·期末）如图，一副三角尺按不同的位置摆放，摆放位置中的图形个数是（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 74．（25-26七年级上·浙江宁波·期末）定义：若，且，则我们称是的差余角．例如：若，则的差余角．如图1，点O在直线上，是上方的一条射线，且． (1)若是的差余角，求． (2)将含角的直角三角尺按图2放置，使得直角顶点与O点重合，且平分． ①判断和的数量关系，并说明理由． ②图2中的差余角有哪些？请说明理由． 75．（25-26七年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，点O为直线上一点，过点O作，在内有一条射线，平分，且． (1)试说明：； (2)在（1）的条件下，过点O在直线的上方有一条射线，若，，求的度数． / 学科网（北京）股份有限公司 $