复习篇 11 等比数列与前n项和- 2024-- 2025学年高二数学寒假复习讲义（人教A版2019）

11 等比数列及其前n项和 【题型1】 等比数列的证明 【基础知识】 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【巩固练习】 1（2024·吉林·模拟预测）若互不相等的正数满足，则（    ） A．成等差数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等比数列 2（23-24高一下·陕西西安·期末）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）． A． B． C． D． 【题型2】等比数列通项公式及其性质 【基础知识】 1 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 2 等比数列的基本性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； ； 若 则 ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 【经典例题】 角度1 等比数列通项公式的基本量计算 【例1】（2024高三·全国·专题练习）等比数列中，若，则（    ） A．16 B． C．32 D． 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，，则数列的公比q等于（   ） A．2 B．1 C．或1 D．或2 2（24-25高三上·河南许昌·期中）已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 3（2023高三·江西南昌·专题练习）若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 角度2 等比数列通项公式的性质 【例1】（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 2（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 3（2024高三·全国·专题练习）已知为等比数列，，则 A．1 B． C．1或 D． 【题型3】等比数列的前n项和 【基础知识】 1 等比数列的前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 2 基本性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 【经典例题】 角度1 等比数列前n项和的基本量计算 【例1】（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．3 D．4 2（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．32 D．64 角度2 等比数列前n项和的性质 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【巩固练习】 1（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 2（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【题型5】等比数列的综合 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【例2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若为数列的前项和，求证：． 【巩固练习】 1（多选）（2024高三·全国·专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 3（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【A组---基础题】 1（20-21高一下·福建福州·期中）下列命题中正确的是 A．若正数是等差数列，则是等比数列 B．若正数是等比数列，则是等差数列 C．若正数是等差数列，则是等比数列 D．若正数是等比数列，则是等差数列 2（24-25高二上·全国·课后作业）设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 3（24-25高三上·江苏镇江·期中）等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．588 B．448 C．896 D．224 4（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 5（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 6（2024高二·全国·专题练习）已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 7（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 8（24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 9（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【B组---提高题】 1（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 2（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 3（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 11 等比数列及其前n项和 【题型1】 等比数列的证明 【基础知识】 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，记为. 代数形式：是常数， 或 是常数， 【经典例题】 【例1】（24-25高二上·福建·期中）已知数列各项都是正数的数列，下列说法正确的是（   ） A．若是等差数列，则是等差数列 B．若是等比数列，则是等比数列 C．若是等差数列，则是等比数列 D．若是等比数列，则是等差数列 【答案】C 【分析】利用等差数列、等比数列的定义逐项判断，可得出合适的选项. 【详解】对于AC选项，若数列为等差数列，设其公差为，则为正常数， 所以，数列是等比数列， 但不是常数，故数列不是等差数列，A错C对； 对于BD选项，若数列为等比数列，设其公比为， 则不是常数，故数列不是等比数列， 不是常数，故数列不是等差数列，BD都错. 故选：C. 【巩固练习】 1（2024·吉林·模拟预测）若互不相等的正数满足，则（    ） A．成等差数列 B．成等比数列 C．成等差数列 D．成等比数列 【答案】D 【分析】根据互不相等，且得到，转化为，根据等比中项的概念，判断成等比数列. 【详解】因为互不相等，且，所以 ，即， 所以成等比数列. 故选：D 2（23-24高一下·陕西西安·期末）若数列是等比数列，则下列数列一定是等比数列的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】C 【详解】分析：求出，在A中，不一定是常数，在B中，可能有零项，在D中，当时，数列存在负项，此时无意义，只有C项满足等比数列的定义，并且公比是原数列公比的倒数，从而求得结果. 详解：因为数列是等比数列，所以， 对于A，不一定是常数，故A不一定是等比数列； 对于B，可能有项为零，故B不一定是等比数列； 对于C，利用等比数列的定义，可知的公比是数列公比的倒数，故C项一定是等比数列； 对于D，当时，数列存在负项，此时无意义，故D项不符合题意； 故选C. 【题型2】等比数列通项公式及其性质 【基础知识】 1 通项公式 等比数列的首项为，公比为，则.(由定义与累乘法可得) 2 等比数列的基本性质 设是首项为, 公比为的等比数列，其中，那么 ； ； 若 则 ； 数列(是不为零的常数)仍是公比为的等比数列；若数列是公比为的等比数列， 则数列是公比为的等比数列； 下标成等比数列且公比为的项组成公比为的等比数列. 【经典例题】 角度1 等比数列通项公式的基本量计算 【例1】（2024高三·全国·专题练习）等比数列中，若，则（    ） A．16 B． C．32 D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式计算即可. 【详解】设等比数列公比为， ，则，即. 又，即，则， 又，则. 故选：A 【巩固练习】 1（2024高三·全国·专题练习）在等比数列中，，则数列的公比q等于（   ） A．2 B．1 C．或1 D．或2 【答案】D 【分析】根据等比数列的通项公式结合已知条件，解方程，即可求得答案. 【详解】由题意知在等比数列中，，故， 而，所以，所以或． 故选：D 2（24-25高三上·河南许昌·期中）已知是正项等比数列，若成等差数列，则的公比为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】C 【分析】由题意设出公比，根据等差中项的性质建立方程，可得答案. 【详解】设等比数列的公比为，由数列为正项数列，则， 由为等差数列，则，，， ，解得或（舍去）. 故选：C. 3（2023高三·江西南昌·专题练习）若等差数列和等比数列满足，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列为等差数列应用基本量运算得出,应用数列为等比数列应用基本量运算得出,计算即可. 【详解】因为是等差数列，设公差为，所以，所以, 又因为是等比数列，设公比为,所以，所以， 则. 故选：A. 角度2 等比数列通项公式的性质 【例1】（24-25高三上·福建·期中）已知数列是等差数列，数列是等比数列，若，则（    ） A． B． C．1 D． 【答案】C 【分析】先根据等差数列和等比数列的性质分别求出和的值，再代入式子求解. 【详解】在等差数列中，， 即，则. 在等比数列中，. 即，则.   把，代入，得到. 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高二上·江苏连云港·期中）等比数列中，，，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】运用等比数列的下标性质计算即可. 【详解】等比数列中，，，则. 故选：C. 2（24-25高三上·安徽黄山·期中）设各项均为正数的等比数列满足，则等于（    ） A． B． C．11 D．10 【答案】C 【分析】等比数列中若，，则.我们先根据此条性质和已知条件求出的值,最后运用对数性质计算即可. 【详解】在等比数列中，，得. 根据等比数列性质，. 所以 ，. 故选：C. 3（2024高三·全国·专题练习）已知为等比数列，，则（    ） A．1 B． C．1或 D． 【答案】C 【分析】根据等比性质得，然后解方程求得，，然后利用等比数列的基本量运算求解即可. 【详解】在等比数列中，， 因此解得或 显然，，则当时，， 当时，， 所以的值是1或. 故选：C 【题型3】等比数列的前n项和 【基础知识】 1 等比数列的前项和 等比数列的首项为，公比为，则其前项和为 2 基本性质 (1)若,则成等比数列，且公比； (，是偶数时，) 【经典例题】 角度1 等比数列前n项和的基本量计算 【例1】（24-25高三上·上海杨浦·期中）设等比数列的公比为，前项和为，若，，则符合条件的数列的个数是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由等比数列的下标性质和前项和公式求解即可； 【详解】当时，由题意得解得或； 当时，，不满足，不符合题意； 所以符合条件的数列的个数是， 故选：C. 【巩固练习】 1（24-25高三上·黑龙江·阶段练习）已知等比数列的前3项和为168，，则（    ） A．14 B．12 C．3 D．4 【答案】C 【分析】由等比数列的前项和，项之间的关系建立方程组，求得数列首项和公比，即可求得. 【详解】设数列的首项为，公比为， 则， ， ∴，即，则， ∴， ∴， 故选：C. 2（24-25高三上·山西吕梁·阶段练习）记等比数列的前n项和为，若，，则（   ） A． B． C．32 D．64 【答案】D 【分析】根据给定条件，求出等比数列的公比，再利用通项公式求出. 【详解】设等比数列的公比为，由，得， 则，即，而，因此， 所以. 故选：D 角度2 等比数列前n项和的性质 【例1】（24-25高三上·黑龙江哈尔滨·期中）已知等比数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定条件，结合等比数列片断和性质，列式计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，得，则， 又为的前项和，则成等比数列，公比为， 于是， 所以. 故选：B 【巩固练习】 1（24-25高三上·安徽·期中）记为正项等比数列的前项和，若，，则（    ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】运用等比数列前项和的性质，即：等比数列依次项的和仍为等比数列求解即可. 【详解】设正项等比数列的公比为， 由题意知，， 所以，，成等比数列， 所以，即， 解得（舍负）. 故选：B. 2（24-25高三上·辽宁丹东·期中）记为等比数列的前项和，若，，则（   ） A．36 B．32 C．24 D．16 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用等比数列的公比，再利用性质计算即得. 【详解】设等比数列的公比为，由，，得， 因此，所以. 故选：A 【题型5】等比数列的综合 【经典例题】 【例1】（多选）（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）数列的前项和为，若，则有（    ） A． B．为等比数列 C． D． 【答案】AD 【分析】利用与关系，推得是等比数列，进而依次求得和，从而得解. 【详解】 ，即， 又， 是首项为1，公比为的等比数列， ，故A正确； 又当时， 当时，不符合上式， ，故BC错误； 当时，，故D正确. 故选：AD. 【例2】（24-25高三上·江西赣州·阶段练习）已知等差数列的公差不为零，，且成等比数列. (1)求的通项公式： (2)若为数列的前项和，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）设出等差数列公差，利用基本量表示已知等量关系，建立方程求解可得； （2）由数列通项证明是等比数列，再利用公式法求和，结合表达式及条件，分析范围可得. 【详解】（1）由题意，设等差数列的公差为， 因为成等比数列，所以， 整理得，由，解得， ， 所以的通项公式为； （2）由（1）可得，则， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 由，故单调递增，则， 又因为． 故，得证. 【巩固练习】 1（多选）（2024高三·全国·专题练习）在公比为整数的等比数列中，是数列的前项和，若，，则下列说法正确的是（    ） A． B．数列是等比数列 C． D．数列是公差为2的等差数列 【答案】ABC 【分析】根据等比数列的通项公式与前项和公式，求出与，逐项判断即可. 【详解】由 ，又公比为整数. 解得. 对于A，，故A正确， 对于B，.所以，， 所以数列是公比为2的等比数列，故B正确， 对于C，，故C正确， 对于D，，， 所以数列是公差为的等差数列，故D错误. 故选：ABC 2（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，. (1)令，证明：数列为等比数列； (2)求数列的前项和. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等比数列的定义证明. （2）先根据（1）的结论，求出数列的通项公式，再结合分组求和法求数列的前项和. 【详解】（1）因为. 又，故数列是首项为1，公比为3的等比数列. （2）由（1）有，可得， 所以有. 3（湖南省长郡十八校2024-2025学年高二上学期12月检测数学试卷（A卷））已知数列是首项为2的等比数列，各项均为正数，且. (1)求数列的通项公式； (2)设为数列的前项和.若对任意的恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据已知条件得到，即可得到，从而得到答案. （2）首先利用错位相减法得到，从而得到，即可得到答案. 【详解】（1）设等比数列的公比为，由，得或. 又数列的各项均为正数，. （2）由（1）得，， ，① ，② ①-②得， . 由，化简得， 对任意的恒成立. 又的最大值为，所以， 的取值范围为. 【A组---基础题】 1（20-21高一下·福建福州·期中）下列命题中正确的是 A．若正数是等差数列，则是等比数列 B．若正数是等比数列，则是等差数列 C．若正数是等差数列，则是等比数列 D．若正数是等比数列，则是等差数列 【答案】D 【解析】根据等差数列与等比数列的性质，结合对数的运算性质，逐一判断真假，可得答案. 【详解】若正数a, b, c是等差数列，则2a, 2b, 2c是等差数列，但不一定是等比数列，例如，1,2,3是等差数列，2,4,6是等差数列，但不是等比数列，故A错误; 若正数a，b，c是等比数列，则2a，2b, 2c是等比数列，但不一定是等差数列，例如，1，2，4成等比数列，2,4,8成等比数列，不是等差数列，故B错误; 若正数a, b, c是等差数列，但中可能有0，不能做为等比数列的项,故C错误; 若正数a, b, c是等比数列，则 故成等差数列，故D正确. 故选：D 【点睛】本题以命题的真假判断为载体考查了等差数列和等比数列的定义，熟练掌握等差，等比数列的定义及性质是解答的关键，属于中档题. 2（24-25高二上·全国·课后作业）设，，，成等比数列，其公比为，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的性质求解即可. 【详解】由题意，，，，成等比数列，其公比为， 则. 故选：A. 3（24-25高三上·江苏镇江·期中）等比数列的各项均为正数，若，，则（    ） A．588 B．448 C．896 D．224 【答案】B 【分析】根据等比数列基本量运算结合各项为正得出公比为2，再应用通项公式计算即可. 【详解】因为等比数列的各项均为正数且，所以，可得或（舍） . 故选：B． 4（24-25高二上·福建漳州·期中）等比数列中，，，则（   ） A．4 B．8 C．16 D．32 【答案】D 【分析】由等比数列性质计算即可. 【详解】由， 可得：即， 又，所以， 由，可得：， 故选：D 5（24-25高三上·湖北·期中）已知等比数列的前3项和为28，且，则（    ） A．28 B．56 C．64 D．128 【答案】D 【分析】通过前3项和以及，求解，由通项公式可计算结果. 【详解】因为，所以， 的前3项和为28，即，  ① ，   ② ②式比①式可得：，即，解得：（舍）或， 代入②式得，则. 故选：D 6（2024高二·全国·专题练习）已知在等比数列中，为其前项和．若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和的性质直接列方程计算即可. 【详解】 为等比数列，且，且，公比， ，，是公比为的等比数列， 即，，是公比为的等比数列． ，解得或（舍去）. 故选：A． 7（多选）（24-25高二上·江苏苏州·期中）设为数列的前n项和.若，则（    ） A． B．数列为递减数列 C． D． 【答案】BC 【分析】A选项，利用得到为公比为2的等比数列，求出；B选项，当时，，B正确；C选项，计算出，得到C正确；D选项，利用等比数列求和公式计算出，，D错误. 【详解】A选项，当时，，解得， 当时，， 故， 所以为公比为2的等比数列，，A错误； B选项，当时，， 故，所以为递减数列，B正确； C选项，，，， 故，C正确； D选项，，， 故，D错误. 故选：BC 8（24-25高三上·北京·阶段练习）已知数列的前n项和为． (1)求的通项公式： (2)若等比数列满足，求的前n项和． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）借助关系式，即可求解； （2）根据（1）的结论可求出等比数列中的，进而求出公比，代入等比数列前n项和公式即可求出. 【详解】（1）因为数列的前n项和为， 当时，； 当时，； 又因为，符合， 所以的通项公式为：，. （2）设等比数列的公比为. 因为等比数列满足，即，， 所以，所以， 所以的前n项和. 9（24-25高二上·江苏淮安·期中）已知数列的前n项和为，，． (1)证明：数列为等差数列，并求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和为； (3)若对任意恒成立．求实数的取值范围． 【答案】(1)证明见解析，； (2)； (3). 【分析】（1）根据题设递推关系有，结合等差数列定义判断证明，进而写出通项公式； （2）应用错位相减法及等比数列前n项和公式求； （3）将问题化为恒成立，作差法判断右侧的最小值，即可得参数范围. 【详解】（1）由，则，又， 所以数列是首项、公差均为的等差数列，则， 所以. （2）由，则， 所以， 所以. （3）由（1）（2），则，整理得恒成立， 令，则 ， 当时，当时，当时， 所以，即的最小值为， 综上，. 【B组---提高题】 1（23-24高二上·重庆·期中）已知等比数列有项，，所有奇数项的和为85，所有偶数项的和为42，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的性质得到奇数项为，偶数项为，得到等比数列的公比q的值，然后用等比数列的前n项和的公式求出n即可． 【详解】因为等比数列有项，则奇数项有项，偶数项有项，设公比为， 得到奇数项为， 偶数项为，整体代入得， 所以前项的和为，解得. 故选：B 2（2024·新疆·模拟预测）定义：对于数列，若存在，使得对一切正整数，恒有成立，则称数列为有界数列．设数列的前项和为，则下列选项中，满足数列为有界数列的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于A：根据题意结合等差数列求和公式分析判断；对于B：根据题意结合裂项相消法判断；对于C：根据题意结合并项求和法分析判断；对于D：根据题意结合等比数列求和公式分析判断. 【详解】对于选项A：因为为等差数列，则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故A错误； 对于选项B：因为， 则， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故B错误； 对于选项C：当为偶数时，， 可知对任意，当时，， 不满足有界数列的定义，故C错误； 对于选项D：可知数列是以首项、公比均为的等比数列， 则， 可知当时，，符合有界数列的定义，故D正确； 故选：D. 3（2024高三·全国·专题练习）已知数列中，，，对任意都成立，数列的前n项和为． (1)若是等差数列，求k的值； (2)若，，求； (3)是否存在实数k，使数列是公比不为1的等比数列，且任意相邻三项，，按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）根据等差数列性质得，即可得参数值； （2）根据已知得，讨论的奇偶性求； （3）由题设有，，，讨论不同的等差中项，结合已知求参数值，判断存在性. 【详解】（1）由题意，数列是等差数列，可得， 即，即，故． （2）由时，，即， 整理得，故． 当n是偶数时，； 当n是奇数时，， ． 综上，． （3）若是等比数列，则公比， 由题意，故，，． ①若为等差中项，则，即，，解得（舍去）； ②若为等差中项，则，即，． 因为，解得，； ③若为等差中项，则，即，． 因为，解得，， 综上，存在实数k满足题意，． 2 / 2 多反思总结多交流的学习才高效！ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$