寒假作业03 等差数列的前n项和公式及其性质（4知识点+8大考点+分层巩固培优）高二数学人教A版

限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 等差数列的前n项和公式及其性质 一、等差数列的前n项和公式 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 二、等差数列的前n项和常用的性质 1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； 2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 三、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 四、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 1、将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2、邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的Sn基本量计算 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 2．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 6．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 题型二 Sn片段和性质 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 2．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 3．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 4．（24-25高二下·辽宁·期中）设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 题型三 与Sn有关的比值性质 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 3．已知等差数列的前项和为，，，则 . 4．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 5．两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ． 题型四 Sn的最值问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）（多选题）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值 3．（25-26高二上·宁夏·月考）（多选题）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 4．（24-25高二下·安徽·期中）（多选题）已知等差数列的公差为，其前项和为，则（   ） A． B． C．中最大 D． 5．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 题型五 含绝对值求和 1．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 2．记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 3．（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 题型六 奇偶项的性质 1．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 2．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 3．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 5．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 题型七 等差数列an与Sn的关系 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 2．（25-26高二上·天津河东·月考）已知数列的前项和，则通项公式 . 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 5．（24-25高二下·四川泸州·期中）（多选题）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 题型八 Sn在实际问题中的应用 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 2．（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 3．（25-26高二上·山东济南·月考）把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 2．（24-25高二下·北京·期中）等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 3．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 4．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 6．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 7．（24-25高二上·福建宁德·月考）（多选题）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 8．（25-26高二上·浙江·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 9．（25-26高二上·山东泰安·月考）（多选题）在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·重庆·期中）（多选题）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为 . 12．一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为 ． 13．设与是两个等差数列，它们的前n项和分别为和，若， 则：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； 14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（    ）辆车 A．14 B．14或19 C．15 D．15或16 2．（2024高二下·北京·专题练习）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（    ）    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 3．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 5．（25-26高二上·江苏泰州·月考）（多选题）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 6．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）（多选题）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, 7．数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $ 限时练习：40min 完成时间： 月 日 天气： 作业03 等差数列的前n项和公式及其性质 一、等差数列的前n项和公式 1、等差数列的前n项和公式 已知量 首项，末项与项数 首项，公差与项数 选用公式 2、等差数列前n项和公式的推导 对于公差为d的等差数列， ① ② 由①＋②得 n个＝， 由此得等差数列前n项和公式， 代入通项公式得. 二、等差数列的前n项和常用的性质 1、设等差数列的公差为，为其前n项和，等差数列的依次项之和，，，…组成公差为的等差数列； 2、数列是等差数列⇔(a，b为常数)⇔数列为等差数列，公差为； 3、若S奇表示奇数项的和，表示偶数项的和，公差为d； ①当项数为偶数时，，，； ②当项数为奇数时，，，. 4、在等差数列，中，它们的前项和分别记为则 三、等差数列的前n项和公式与二次函数的关系 将等差数列前n项和公式，整理成关于n的函数可得. 当时，关于n的表达式是一个常数项为零的二次函数式，即点在其相应的二次函数的图象上，这就是说等差数列的前n项和公式是关于n的二次函数，它的图象是抛物线上横坐标为正整数的一系列孤立的点． 四、求等差数列的前n项和Sn的最值的解题策略 1、将配方，若，则从二次函数的角度看： 当时，Sn有最小值； 当时，有最大值． 当n取最接近对称轴的正整数时，取到最值． 2、邻项变号法： 当，时，满足的项数n使取最大值； 当，时，满足的项数n使取最小值。 三层必刷：巩固提升+能力培优+创新题型 题型一 等差数列的Sn基本量计算 1．（25-26高二上·江苏·期末）已知是等差数列，，，则的前10项和为（    ） A．90 B．100 C．110 D．120 【答案】D 【分析】根据已知条件求出的公差和首项，代入前项和公式可得答案. 【详解】设的公差为， 因为，， 所以，解得， 则的前10项和为. 故选：D. 2．（24-25高二下·广东江门·期末）记为等差数列的前n项和，已知，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，列式求出数列的首项和公差，进而求出通项公式和前n项和公式． 【详解】设等差数列的公差为，由，得，解得， 所以，，ABC错误，D正确. 故选：D 3．（25-26高二上·重庆·月考）设等差数列的前项和为，若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据等差数列的前项和公式求出该数列的首项和公差，进而可求出结果. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 因为，所以有. 化简得，解得. 所以. 故选：B. 4．（25-26高二上·宁夏·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．4 B．8 C．12 D．16 【答案】C 【分析】由等差数列的前项公式有，再由解得答案． 【详解】因为为等差数列的前项和，且， 所以等差数列的前项公式有，即 又因为，所以， 则. 故选：C 5．（25-26高二上·黑龙江哈尔滨·月考）已知等差数列的前项和为，且，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】C 【分析】设等差数列的公差为，利用等差数列的前项和公式求出，再计算即可. 【详解】设等差数列的公差为，则， 则，得， 则. 故选：C 6．设等差数列的前项和为，若，则（    ） A．8 B．7 C．6 D．5 【答案】C 【分析】方法一：先利用关系式，求出公差，进而用等差数列求和公式即可求出答案. 方法二：利用等差数列的性质即为等差数列求解. 【详解】方法一：由题意得：，， 则等差数列的公差， 则，， 所以. 方法二：因为等差数列的性质即为等差数列， 则，得，解得. 故选：C 题型二 Sn片段和性质 1．（25-26高二上·江苏南京·月考）设等差数列的前n项和为，若，，则（ ） A． B． C． D．与有关 【答案】C 【分析】根据等差数列的前项和性质可知：成等差数列，然后根据等差中项计算即可. 【详解】由题可知：成等差数列 所以， 又，所以 故选：C 2．已知等差数列的前项和为，则（    ） A．18 B．13 C． D． 【答案】D 【分析】由等差数列的性质可知依旧成为等差数列，据此求解. 【详解】由，可设， 为等差数列，为等差数列， 即成等差数列， ， 即. 故选：D. 3．（25-26高二上·宁夏银川·月考）已知等差数列前项和，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列中，成等差数列，代数计算，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以成等差数列， 所以，即， 解得. 故答案为： 4．（24-25高二下·辽宁·期中）设为等差数列的前n项和，且，，则 ． 【答案】 【分析】根据题意，由等差数列前项和的性质，代入计算，即可得到结果. 【详解】因为为等差数列的前n项和，则成等差数列， 且，，则，则其公差为， 所以， 所以. 故答案为： 题型三 与Sn有关的比值性质 1．（24-25高二上·全国·课后作业）在等差数列中，，其前n项和为，若，则 ． 【答案】 【分析】由等差数列前n项和的性质,知也为等差数列，由题意得其公差，，根据等差数列的通项公式可得，即可求解. 【详解】由等差数列前n项和的性质可知，数列也为等差数列， 设其公差为d，则由， 可得，即． 又， 所以， 所以． 故答案为：. 2．（24-25高二下·四川乐山·期末）已知是等差数列的前项和，设为数列的前项和，若，，则 . 【答案】 【分析】根据等差数列性质，可得数列为等差数列，求出其公差和首项，利用等差数列前项和公式求解. 【详解】根据等差数列性质，数列为等差数列，设其公差为. 因为，， ，又，， . 故答案为：. 3．已知等差数列的前项和为，，，则 . 【答案】 【分析】设等差数列的公差为，推导出数列为等差数列，且公差为，求出的值，可求得的值，即可得解. 【详解】设等差数列的公差为， ，则， 所以，数列为等差数列，且公差为， 所以，， 故，所以，. 故答案为：. 4．设两个等差数列，的前项和分别为、，已知，则= . 【答案】 【分析】根据等差数列前项和性质计算即可. 【详解】由题意得 所以. 故答案为： 5．两个等差数列和的前n项和分别为，且，则的值等于 ． 【答案】/4.75 【分析】根据题意，分别设出的表达式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，可设， 则． 故答案为： 题型四 Sn的最值问题 1．（24-25高二下·云南曲靖·期末）等差数列满足，若为前项和，则最大时，的值为（    ） A．9或10 B．8 C．9 D．10或11 【答案】A 【分析】根据已知条件求出，把表示为关于n的二次函数，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】， ∴， 关于n的二次函数，其对称轴为， ∵，∴当或时，最大． 故选：A． 2．（24-25高二下·四川绵阳·期中）（多选题）设数列是以为公差的等差数列，是其前项和，，且，则下列结论正确的是（ ） A． B． C．使>0成立的的最大值为14 D．为的唯一最大值 【答案】ABC 【分析】由等差数列的求和公式代入计算，即可得到，从而判断AB，再由即可判断CD. 【详解】根据题意可得，即． 因为，，所以，所以数列是递减数列，所以A，B正确； 对于C，因为，，故C正确； 对于D，因为，所以，又为递减数列， 所以或为的最大值，故D不正确． 故选：ABC 3．（25-26高二上·宁夏·月考）（多选题）已知是等差数列的前项和，且，，则下列选项正确的是（    ） A．数列为递减数列 B． C．的最大值为 D．使得时的最大值是13 【答案】AC 【分析】由等差数列的性质得到，从而判断数列的增减性，再结合等差数列的前项和公式，判断各选项． 【详解】对于B，，∵，∴，B选项错误； 对于A，因为数列的公差，所以数列为递减数列，A选项正确； 对于C，设最大，则，，所以，，故， 所以的最大值为，C选项正确； 对于D，∵，， ∴使得时的最大值是14，D选项错误. 故选：AC. 4．（24-25高二下·安徽·期中）（多选题）已知等差数列的公差为，其前项和为，则（   ） A． B． C．中最大 D． 【答案】ABD 【分析】由等差中项及等差数列的前项分别化简和，得到和的正负情况，然后根据等差数列的性质判断各个选项. 【详解】因为数列为等差数列， 则，可得，故A正确； 且，则，可得， 所以公差，故B正确； 结合等差数列性质可知：， 所以中最大，故C错误； 因为，且， 即，所以，故D正确. 故选：ABD. 5．（多选题）设等差数列的前项和为，公差为，首项为，若，，则下列结论正确的是（   ） A． B．当时，取最大值 C． D．数列为等差数列并且与数列具有相同的单调性 【答案】ABD 【分析】利用等差数列的性质，以及前项和的性质，可判断ABC，利用前项和公式来求的通项公式可判断D. 【详解】因为，所以，即， 因为，所以； 因为，又因为，所以， 又因为，所以，则，故A正确； 且当时，取最大值，且，故B正确，C错误； 因为，所以数列单调递减； 因为，所以， 所以数列也是等差数列，并且也为单调递减数列，故D正确． 故选:ABD． 题型五 含绝对值求和 1．（25-26高二上·天津红桥·月考）已知数列满足，则数列的前10项和为（　　） A．58 B．52 C．62 D．60 【答案】B 【分析】先根据判断数列的正负性，进而确定数列的表达式，再计算数列的前10项和. 【详解】因为，，令，得， 因为，所以当时，； 当时，. 所以，记数列的前项和为， 则 . 故选：B 2．记等差数列的前项和为，已知，. (1)求的通项公式； (2)记数列的前项和为，求. 【答案】(1) (2)8872 【分析】（1）利用等差数列的性质和基本量法，列出方程，即可求解； （2）根据通项公式去绝对值，再根据等差数列的前项和公式，即可求解. 【详解】（1）由 则 设的公差为 则 则 所以数列的通项公式为. （2）由题可知 ， . 3．（23-24高二下·河南·期中）在等差数列中，，． (1)求数列的通项公式； (2)设，求的值． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和求和公式可得答案； （2）确定数列的正负项，分类讨论，去绝对值可求答案. 【详解】（1）设其公差为d，由题意可得． 解得，， ∴，． （2）设数列的前n项和为，则由（1）可得，，， 由（1）知，令，得，当时，， 当时，可得， 当时，可得 ， 因为，所以， 所以． 题型六 奇偶项的性质 1．（24-25高二下·四川南充·月考）等差数列的前16项和为640，前16项中偶数项和与奇数项和之比为，则公差的值是（   ） A． B．4 C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据给定条件，求出前16项中偶数项和与奇数项和，再利用等差数列性质求解. 【详解】，， 根据题意，可得，解得，， 又， . 故选：C. 2．一个等差数列共有2n项，奇数项的和与偶数项的和分别为24和30，且末项比首项大10.5，则该数列的项数是（    ） A．4 B．8 C．12 D．20 【答案】B 【分析】根据等差数列的性质得到方程组，求出，从而求出数列的项数. 【详解】根据等差数列的性质得：，， 解得：，故该数列的项数为. 故选：B 3．设等差数列的项数为奇数，则其奇数项之和与偶数项之和的比为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和公式解决即可. 【详解】由题知，奇数项有项，偶数项有项， 奇数项之和为， 偶数项之和为， 所以奇数项之和与偶数项之和的比为， 故选：D 4．（25-26高二上·江苏连云港·月考）等差数列共有12项，所有的奇数项之和为132，所有的偶数项之和为120，则公差 ． 【答案】 【分析】根据等差数列偶数项和与奇数项和的差即可求解. 【详解】由题意，①， ②， ②①可得，，即， 故答案为： 5．（24-25高二·全国·课堂例题）若等差数列的项数为，则 ． 【答案】 【分析】根据，与联立求出，即可化简得到结果. 【详解】因 联立解得： 故. 故答案为：. 题型七 等差数列an与Sn的关系 1．（23-24高二上·吉林长春·期末）已知数列的前项和,则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据前项和表达式，通过分类讨论，当时，当时，利用，即可求出数列的通项公式. 【详解】在数列中，， 当时，， 当时，， ∵， ∴， 故答案为：. 2．（25-26高二上·天津河东·月考）已知数列的前项和，则通项公式 . 【答案】 【分析】当时，由求得，当时，由求得，验证当时是否成立，即可得结果. 【详解】当时，， 当时，， 当时，成立， ∴. 故答案为：. 3．（25-26高二上·上海·月考）已知等差数列前项和为，则 . 【答案】 【分析】结合等差数列前项和的性质建立方程，求解参数即可. 【详解】因为，所以， 若为等差数列前项和，则，解得. 故答案为： 4．（24-25高二上·湖南长沙·期中）已知各项均为正数的数列的前项和为，且满足，则 . 【答案】2024 【分析】根据的关系，分是否等于1讨论即可. 【详解】由于数列的各项均为正数，即， 当时，，即， 当时，由，可得，两式相减得， 又， 为一个以2为首项，2为公差的等差数列，. 故答案为：2024. 5．（24-25高二下·四川泸州·期中）（多选题）已知数列的前项和，则下列正确的是（    ） A． B． C．取最小值时， D．为递增数列 【答案】AD 【分析】由求出数列的通项公式，可判断AB选项；利用二次函数的基本性质可判断C选项；利用数列的单调性可判断D选项. 【详解】因为，令得， 当时，①，②，    由①②可得：， 因当时，，故，A对B错； 因时，单调递增，且，故为递增数列，D对； 因为，故当或时，取最小值，C错. 故选：AD. 题型八 Sn在实际问题中的应用 1．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）《张丘建算经》是中国古代的数学著作，书中有一道题为：“今有女善织，日益功疾（注：从第2天开始，每天比前一天多织的布量相同），第一天织5尺布，现一月（按30天计）共织360尺布”，则第30天织布（    ） A．7尺 B．14尺 C．21尺 D．19尺 【答案】D 【分析】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，由等差数列前项和公式计算可得公差的值，由此能求出第30天织布数量． 【详解】由题意该女每天织布数量构成首项为的等差数列，设公差为， 则， 解得， 所以第30天织布（尺）． 故选：D． 2．（24-25高二下·河南·月考）《哪吒2》的播放掀起了观影热潮，某影院欲新建一个播放厅，可以容纳1160个座位，若第一排安排20个座位，从第二排起，后一排比前一排多4个座位，则播放厅最多可以建的座位的排数为（    ） A．24 B．22 C．20 D．18 【答案】C 【分析】根据题意，设每排的座位数构成等差数列，其中且，利用等差数列的求和公式，列出方程，即可求解. 【详解】由题意，设每排的座位数构成等差数列，其中，公差， 再设播放厅最多可以建的座位的排数为， 可得，即， 解得或（舍去），即播放厅最多可以建的座位的排数为. 故选：C. 3．（25-26高二上·山东济南·月考）把正整数以下列方法分组，，其中从第二组起每组都比它的前一组多一个数，设表示第组中所有数的和，那么等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质和求和公式结合题意计算可得. 【详解】第组共有个数，构成一个等差数列，公差为，首项比第组的最后一个数大，所以先求前组一共有多少个数. 因为第组有个数，所以前组一共有个数， 于是第组的第一个数为，这组一共有个数， 所以. 故选：B. 4．（24-25高二下·广东佛山·期中）小明从店购买了一辆价格为25万元的家用轿车，首付11万元，剩余的款项采用分期付款的方式还款，还款方式为：每年年底还固定款项2万元以及余款的当年利息，年利率为10%，直到全部还完为止．则购买这辆车小明最后实际共花（   ） A．28.5万元 B．30.6万元 C．31.8万元 D．32.2万元 【答案】B 【分析】设每次付款数组成数列，结合题意可得数列是首项3.4，公差为的等差数列，进而结合等差数列的前项和公式求解即可. 【详解】首付11万元，余款14万元，按题意可知是分7次还清， 设每次付款数组成数列， 则（万元）， （万元）， （万元），， （万元）， 因而数列是首项3.4，公差为的等差数列， 则（万元）， 因此购车款最后实际共付万元. 故选：B. 1．已知等差数列的前项和为，且，则（ ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用等差数列的前项和公式和性质化简得到，则. 【详解】因为，所以，即， 所以公差 ，所以 故选：C 2．（24-25高二下·北京·期中）等差数列各项均为正整数，前n项和为,，若，则n＝（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】D 【分析】先由等差数列各项均为正整数，分析出和也为整数，再结合得到和的具体值，根据等差数列的前n项和公式求出值即可. 【详解】设等差数列的公差为， 由可得， 因为等差数列各项均为正整数，所以和也为正整数， 所以可得，所以， 由，可得. 故选：D 3．（25-26高二上·河北衡水·月考）已知等差数列中，为其前项和，若，则（    ） A．10 B．11 C．12 D．13 【答案】B 【分析】先利用等差数列求和公式及条件得，然后由等差数列的下标和性质求解即可. 【详解】因为，所以， 所以，因此，解得. 故选：B. 4．已知数列是等差数列，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列前项和的性质求解即可. 【详解】由，得，设，为非零实数，则， 因为数列是等差数列， 所以，…，是以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得， 所以， 故选：D 5．（24-25高二上·河北沧州·月考）已知为等差数列的前项和，若常数且，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】由等差数列的性质可得为等差数列，则，即可求出. 【详解】由等差数列的性质可得为等差数列， 所以，则. 故选：B. 6．一个等差数列共100项，其和为80，奇数项和为30，则该数列的公差为（     ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】根据等差数列的项的关系及和的性质列式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，则由条件可知： 数列的奇数项之和为，① 偶数项之和为，② 由②-①，得，所以，即该数列的公差为. 故选：D. 7．（24-25高二上·福建宁德·月考）（多选题）已知为数列的前n项和，且满足，则下列结论正确的是（   ） A． B． C．是单调递增数列 D． 【答案】BCD 【分析】当时，，可得选项A错误；代入通项公式可得选项B正确；由可得选项C正确；根据等差数列的性质求和可得选项D正确. 【详解】A.当时，， 当时，， 故，选项A错误. B.由得，，故，选项B正确. C. ∵， ∴是单调递增数列，选项C正确. D. 由得，, 故，选项D正确. 故选：BCD. 8．（25-26高二上·浙江·月考）（多选题）已知等差数列的前项和为，若，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的最大值为 D． 【答案】ABC 【分析】根据，通过得出，判断A，通过得出，进而推出，判断B的正误，等差数列中，由，结合等差数列性质可得的最大值为，判断C，借助等差数列性质，将转化为，结合，得出，判断D. 【详解】对于A选项，因为，所以，故，A正确， 对于B选项，因为，所以，即，又， 所以，B正确， 对于C选项，因为，，所以数列的公差小于0， 且当时，，当时，， 所以的最大值为，C正确， 对于D选项，，所以D错. 故选：ABC. 9．（25-26高二上·山东泰安·月考）（多选题）在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用可判断AB；由等差中项和求和公式可得C；利用求和公式和下标性质可得D. 【详解】，所以前10项都为负数，选项正确； ，选项C正确； ，，选项D错误. 故选：ABC 10．（25-26高二上·重庆·期中）（多选题）已知等差数列的前n项和为，，则（   ） A． B． C．使的n的最大值为25 D． 【答案】ABD 【分析】根据等差数列前项和公式可得，结合等差数列的通项公式即可判断AB；令，解出的值，可得不等式的解集，即可判断C；令可得恒为负，，恒为正，开绝对值即可求解. 【详解】设等差数列的公差为，则， 又，所以，解得， 则，故AB正确； 令即，解得或（舍去）， 所以不等式的解集为， 又，所以的最大值为26，故C错误； 令， 则恒为负，，恒为正， 所以 .故D正确. 故选；ABD 11．（25-26高二上·江苏苏州·期中）期中考试以后，王老师把100个糖果分给5个人，使每人所得糖果个数成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小的一份的个数为 . 【答案】10 【分析】利用等差数列的前n项和、通项公式列方程求基本量. 【详解】设5个人分得的糖果从小到大依次为，公差为， 所以，则， 所以，可得. 故答案为：10 12．一个等差数列的前10项和为30，前30项的和为10，则前40项的和为 ． 【答案】 【详解】解法一：易知数列，，，成等差数列，设其公差为d，则前3项和为，即，又，所以，所以，所以． 解法二：因为数列是等差数列，所以数列也是等差数列，点在一条直线上，即，，三点共线，于是，将，代入解得． 解法三：利用，可得． 解法四：当，时，．由于，，可得． 13．设与是两个等差数列，它们的前n项和分别为和，若， 则：（1） ；（2） ；（3） ；（4） ；（5） ； 【答案】 【详解】（1）因为等差数列，的前n项和分别是，，所以； （2）若，不妨设，，时，，同理可得，则． （3）； （4），同（3）； （5）； 14．已知一个等差数列的项数为奇数，其中，，则项数为 ． 【答案】19 【分析】根据给定条件，利用等差数列前项和公式，结合等差数列的性质列式求解. 【详解】设等差数列的项数为， 则， ， 因此，解得，所以所求项数为. 故答案为：19 15．（25-26高二上·陕西西安·期中）已知数列的前项和. (1)求数列的通项公式； (2)设，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由与的关系即可求解； （2）结合数列项的正负特点对的范围进行分类讨论，然后结合等差数列的求和公式即可求解. 【详解】（1）当时，， 当时，， 所以； （2）由可知当时，，当时，． 当时，， 当时，， 所以 1．（23-24高二上·云南昆明·期末）一支运输车队某天上午依次出发执行运输任务，第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车.假设所有司机都连续开车，并都在中午12时停下来休息.每辆车行驶的速度都是80千米/小时，截止到12时这个车队所有车辆一共行驶了2660千米，则该车队一共发出（    ）辆车 A．14 B．14或19 C．15 D．15或16 【答案】A 【分析】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，由题可得，又设前n项和为，则，据此可得答案. 【详解】设共发出n辆车，第n辆车行驶时间为，其中. 因第一辆车于早上8时出发，以后每隔15分钟发出一辆车，则，即为等差数列. 又设前n项和为，则. 但注意到， ，则. 故选：A 2．（2024高二下·北京·专题练习）北京天坛的圆丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层．上层地面的中心有一块圆形石板（称为天心石），环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块．下一层的第一环比上一层的最后环多9块，向外每环依次也增加9块．已知每层环数相同，且上、中下三层共有扇面形石板（不含天心石）3402块，则中层共有扇面形石板（    ）    A．1125块 B．1134块 C．1143块 D．112块 【答案】B 【分析】根据题意将实际问题转化为等差数列，再根据等差数列及其前n项和的性质进行求解即可. 【详解】记从中间向外每环扇面形石板数为，则是以9为首项，9为公差的等差数列，设每层有环， 则，， 由等差数列的性质可得，，也成等差数列， 所以， 所以， 所以， 所以中层共有扇面形石板1134块． 故选：B． 3．已知等差数列的前n项和为，公差为d，若，则的最大值为（   ） A． B．30 C． D．18 【答案】B 【分析】根据等差数列前n项和的公式列方程求解和d，进而得到的表达式即可求得最值． 【详解】已知等差数列的前n项和为，公差为d，所以， 所以，． 又，即 亦即解得 所以， 根据二次函数的性质知当或6时，取得最大值30， 故选：B． 4．（25-26高二上·江苏苏州·月考）（多选题）已知数列的前项和为，则下列说法正确的是（ ） A． B． C．为的最小值 D． 【答案】ABD 【分析】利用数列前项和公式求出数列的通项公式和数列的求和公式，进而判断各选项的结论． 【详解】数列的前项和为， 当时，， 当时，， 当时，也成立， ，故A正确； ，令，解得， 当时，，， ，故B正确； ，为开口向下的二次函数，对称轴为， ，，均为最大值，故C错误； ， 数列是首项为公差的等差数列， 数列奇数项组成的新数列是首项为，公差为的等差数列，项数为， ，故D正确． 故选：． 5．（25-26高二上·江苏泰州·月考）（多选题）设为等差数列的前项和，若，，，则（　　） A．数列的公差小于 B． C．的最小值是 D．使成立的的最小值是 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，结合等差数列前项和公式及等差数列的性质，逐项计算判断作答. 【详解】对于A选项，设等差数列的公差为，则， 由得，故， 可得，故数列的公差大于，A错； 对于B选项，由得， 因为，故数列单调递增，所以，B对； 对于C选项，因为数列单调递增，且， 故当且时，；当且时，. 所以的最小值是，C对； 对于D选项，因为， ， ， 故成立的的最小值是，D对. 故选：BCD. 6．（25-26高二上·湖南衡阳·月考）（多选题）已知等差数列的前n项和为,公差,若存在正整数m,k（）,使得,则（   ） A． B．当时, C．存在最小值 D．当为偶数时, 【答案】AB 【分析】由等差数列前项和的函数特性可判断A和B，通过举反例可判断C，设,由，整理可得，再由等差数列的通项公式和性质可得从而判断D. 【详解】设,由（）,可知二次函数的图象关于直线对称, 所以,即,A正确. 因为,所以当时,,B正确. 取,则,但不存在最小值,C错误. 若为偶数,不妨设,由,可得,即, 则,即,即,所以不成立,D错误. 故选：AB. 7．数列的前项和为，且满足，，则可能的不同取值的个数为 ． 【答案】46 【分析】根据题意，得到，其中，得到，且奇偶交错出现，若为奇数，得到可取遍中的每一个奇数；若为偶数， 可取遍中的每一个偶数，再由，推得，进而得到当时，能取遍中的奇数，即可得到答案. 【详解】由数列的前项和为，且满足，， 可得，其中， 故，且奇偶交错出现， 若为奇数，由，可得对可取遍中的每一个奇数； 若为偶数，由，可得对可取遍中的每一个偶数， 又由， 当时，，考虑由调整为， 则对应的可增加，对诸（至少一个）调整为3后， 满足， 即， 从上述的调整过程可得能取遍中的奇数或偶数（取奇数还是偶数取决于的奇偶性）， 当时，能取遍中的奇数，合计46个． 故答案为：46． 1 / 5 学科网（北京）股份有限公司 $