2026年高二数学人教A版寒假作业 等差数列

2025-2026学年高二数学人教A版选修二 4.2 等差数列 寒假练习 一、选择题 1． 我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题： “今有善走男， 日增等里， 首日行走一百里， 九日共行一千二百六十里， 问日增几何?"， 该问题中 “善走男” 第5日所走的路程里数为 （　　） A．110 B．120 C．130 D．140 2．已知数列的前项和为，且，，则（　　） A．210 B．110 C．50 D．55 3．已知等差数列的前项和为，，则（　　） A．6 B．12 C．18 D．24 4．南宋数学家杨辉在《详解九章算法》中，研究了二阶等差数列．若是公差不为零的等差数列，则称数列为二阶等差数列．现有一个“三角垛”，共有40层，各层小球个数构成一个二阶等差数列，第一层放1个小球，第二层放3个小球，第三层放6个小球，第四层放10个小球，，则第40层放小球的个数为（　　） A．1640 B．1560 C．820 D．780 5．已知等差数列的前项和为，则等于（　　） A．27 B．24 C．21 D．18 6．已知数列的各项均为正数，记数列的前项和，且满足，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 二、多项选择题 7．已知为等差数列，其前项和，若，，则（　　） A．公差 B． C． D．当且仅当时 8．设是公差为（）的无穷等差数列的前项和，则下列命题正确的是（　　） A．若，则是数列的最大项 B．若数列有最小项，则 C．若数列是递减数列，则对任意的：，均有 D．若对任意的，均有，则数列是递增数列 9．已知递增的正整数列的前n项和为．以下条件能得出为等差数列的有（　　） A． B． C． D． 三、填空题 10. 设 为等差数列 的前 项和， ， ，则 　 　. 11．已知正项数列的前n项和为，满足，则　 　． 12．将数列中的项排成下表： ， ， ，，， ，，，，，，， … 已知各行的第一个数，，，，…构成数列，且的前项和满足（且），从第三行起，每一行中的数按从左到右的顺序均构成等差数列，且公差为同一个常数.若，则第6行的所有项的和为　 　. 四、解答题 13．在等差数列中，，． （1）求的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 14．已知数列满足. （1）证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 15．已知数列的奇数项是公差为的等差数列偶数项是公差为的等差数列，是数列的前n项和，． （1）若，求； （2）已知，且对任意恒成立，求数列的前n项和． 16．在①，②（b为常数），③这三个条件中选择一个，补充在下面横线中，并给出解答． 已知等差数列的前n项和为，，且____． （1）求的通项公式； （2）求数列的前n项和． 注：如选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 答案解析部分 1．【答案】D 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【解析】【解答】解：由题意设此人第一天走a1里，第二天走a2里， 第n天走an里，{an}是等差数列，首项是a1=100 ， 因为 ，所以a5=140 ． 故选：D． 【分析】由题意可得此人所走的里数为等差数列，利用等差数列的性质计算可得答案． 2．【答案】A 【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和 【解析】【解答】因为，所以当时，，两式相减得， 由，可得，进而， 所以数列的奇数项与偶数项分别成等差数列，公差为2， 又，而，所以， 故答案为：A. 【分析】根据已知条件，结合等差数列的前n项和公式，即可求解出答案. 3．【答案】B 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【解析】【解答】由等差数列的性质，可得， 所以. 故答案为：B. 【分析】 根据等差数列的性质，求得，结合等差数列的求和公式，即可求解出答案. 4．【答案】C 【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和 【解析】【解答】设第n层放小球的个数为an， 由题意得，， 可得数列 是首项为2，公差为1的等差数列， 即 故 即 故 故选：C. 【分析】 首先由二阶等差数列的定义，得到数列 是首项为2，公差为1的等差数列，再求和得到数列 的通项公式，进而求出，可得答案. 5．【答案】A 【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的前n项和 【解析】【解答】 等差数列的公差为 ，则，又，解得 . 故答案为：A 【分析】先利用等差数列通项求出公差，再利用求和公式求出 . 6．【答案】B 【知识点】数列的概念及简单表示法；等差数列的通项公式；等差关系的确定；数列的递推公式 【解析】【解答】因为，则有： 当时，，则，且，可得，故A错误； 当时，，整理得； 所以数列是以首项，公差的等差数列， 则，且，所以，故C错误； 当时，， 且上式对也成立，所以， 可知数列为递减数列，可得，故B正确； 因为， 所以 ， 故D错误； 故选：B. 【分析】根据与的关系可得，，进而逐项分析判断. 7．【答案】A,B,C 【知识点】等差数列的前n项和；等差数列的性质 【解析】【解答】由，得，即. 因，所以，且，AB符合题意； 因，且，故时，最大，即，C符合题意； 由，得，即，D不符合题意. 故答案为：ABC. 【分析】根据题意，结合等差数列前项和的公式和性质，一一判断即可. 8．【答案】B,D 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等差数列的性质 【解析】【解答】对于A：取数列为首项为4，公差为的等差数列，，A不符合题意； 对于B：等差数列中，公差，，是关于n的二次函数.当数列有最小项，即有最小值，对应的二次函数有最小值，对应的函数图象开口向上，，B符合题意； 对于C：取数列为首项为1，公差为的等差数列，，，即恒成立，此时数列是递减数列，而，C不符合题意； 对于D：若数列是递减数列，则，一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有. 故若对任意，均有，有数列是递增数列，D符合题意． 故答案为：BD 【分析】取数列为首项为4，公差为的等差数列，可判定A不符合题意；利用等差数列的求和公式，结合二次函数的性质，可判定B符合题意；取数列为首项为1，公差为的等差数列，得到恒成立，可判定C不符合题意；若数列是递减数列，得到一定存在实数，当时，之后所有项都为负数，不能保证对任意，均有，对任意，均有，有数列是递增数列，可判定D符合题意． 9．【答案】A,C,D 【知识点】等差数列概念与表示；数列的递推公式 【解析】【解答】对于A，时，，当时，满足， 而且时，，则为等差数列，A符合题意； 对于B，，当时，不满足上式， 得，因此数列不是等差数列，B不符合题意； 对于C，，即为隔项等差数列，且是递增的正整数列， 则，，，且，有，即， 于是，，因此， 所以为等差数列，C符合题意； 对于D，，， ，，即数列是以为首项，为公比的等比数列，，则， 从到中间恰有项：，它们是递增的正整数， 而到中间恰有个递增的正整数：， 于是得，，又，， 令，即有，又， 故对，，显然数列是等差数列，D符合题意. 故答案为：ACD 【分析】根据递推公式结合等差数列的定义，逐项进行判断，可得答案. 10.【答案】0 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】设数列的公差为 ，则 ， ，所以 ． 故答案为：0． 【分析】根据题意由等差数列的定义结合等差数列的前n项和公式计算出结果即可。 11．【答案】18 【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式 【解析】【解答】当时，由得，即，解得或，因为是正项数列，所以； 当时，由得， 则， 整理得，所以， 因此数列是以为公差的等差数列，则， 所以. 故答案为：. 【分析】 由已知数列递推式求解首项，且n≥2时，有，与原递推式联立，可得数列是以4为首项，以2为公差的等差数列，利用等差数列的通项公式可求出答案. 12．【答案】1344 【知识点】等差数列概念与表示；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和 【解析】【解答】 的前项和满足（且） ，，， 数列是公差为2的等差数列，又 ，（且） 观察各行的规律可知第行的第1个数为，最后一个数为，共有项 ， 为第8行的第3个数，， 每一行中的数按从左到右的顺序构成公差为的等差数列， 第6行第1个数为，最后一个数为，共有项， 第6行的所有项的和为 故答案为：1344 【分析】先求出的通项并分析出各行第1个数和最后一个数的规律，进而求出从第三行起每一行的公差，最后求解第6行的所有项的和。 13．【答案】（1）解：设数列的公差为d， 则， 解得， 故． （2）解：由（1）知， 则， 所以． 【知识点】等差数列的通项公式；数列的求和 【解析】【分析】 (1)由已知得关于首项与公差的方程组，解方程组可求出首项与公差，从而可求出 的通项公式； (2)由(1)可得 ， 然后利用裂项相消求和法求解出数列的前n项和． 14．【答案】（1）证明：， 数列是以1为首项，1为公差的等差数列， ，则； （2）解：， ， ； 综上，，. 【知识点】等差数列的通项公式；数列的递推公式 【解析】【分析】（1）首先将题干中递推公式两边取倒数，经过推导可得和d，可求出数列的通式，即可得出答案； （2）首先根据的通式计算出数列{bn}的通项公式，再运用裂项相消法即可计算出Tn． 15．【答案】（1）解：由题意得，当n为奇数时，， 当n为偶数时，， 由，得， 解得，所以． （2）解：当n为偶数时，由恒成立，得， 即恒成立，所以且d1>1， 当n为奇数时，由，恒成立，得， 即恒成立，所以，因此， 又由，得， 即，解得， 所以，即数列是等差数列， 所以． 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和 【解析】【分析】(1)由已知条件的数列的递推公式，结合等差数列的前n项和公式计算出公差的取值，再把数值代入到通项公式由此计算出答案。 (2)首先由等差数列的前n项和公式以及等差数列的通项公式，整理化即可得出不等式结合不等式的简单性质由已知条件，即可得出公差的取值，从而得出数列的通项公式，由等差数列的前n项和公式代入数值计算出结果即可。 16．【答案】（1）解：设等差数列的公差为d， 由，得∴． 若选①，则由，得， 又，解得，， ∴． 若选②：由（b为常数），得，∴b＝4， ∴，∴，∴． ∴． 若选③：∵，则， 由，得，∴， ∴． （2）解：令，则， 所以 ． 【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $