专题04 二元一次方程组（3大知识点+8大考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材北师大版

专题04 二元一次方程组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 二元一次方程与二元一次方程组的概念 二元一次方程：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程（形式：(ax + by = c)，(a、b≠0)）。 二元一次方程组：由2个（或多个）二元一次方程组成的方程组。 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值。 知识点02 代入与加减消元法解二元一次方程组 1.将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为一元一次方程求解（核心：“消元”）。 2.通过将方程组中两个方程相加/减，消去一个未知数（需使某一未知数的系数相等或互为相反数）。 知识点03 二元一次方程组的实际应用 从实际情境中抽象出2个等量关系，设2个未知数，列方程组求解，最后检验解的合理性。 【考点1 二元一次方程（组）的概念】 【例1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下列方程中，是二元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程的定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1的整式方程，叫二元一次方程．根据二元一次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A．含有三个未知数，不是二元一次方程，不符合题意； B．中含有未知数的项次数不是1，不是二元一次方程，不符合题意； C．中含，不是整式方程，不是二元一次方程，不符合题意； D．是二元一次方程，符合题意； 故选：D． 【变式1】（25-26七年级上·全国·期末）下列各方程组中，属于二元一次方程组的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1，据此一一判断即可． 【详解】解：∵二元一次方程组要求只有两个未知数，且每个方程都是整式方程，未知数最高次数为1． 选项A中，是二次方程，不符合； 选项B中，有x、y、z三个未知数，不符合； 选项C中，只有x和y两个未知数，且两个方程均为一次方程，符合； 选项D中，为分式，不是整式方程，不符合． ∴ 属于二元一次方程组的是C． 故选C 【变式2】（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知方程是关于x，y的二元一次方程，则的值（ ） A．7 B．5 C． D．7或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，二元一次方程要求未知数和的次数均为1，且系数不为零，根据指数和系数条件列出方程求解，并排除无效解． 【详解】解：∵方程是关于的二元一次方程， ∴的指数 ， ∴， 解得或， 又∵的指数， ∴， 解得：， 检查系数： 当时，，符合条件； 当时，，系数为零，不符合二元一次方程要求，故舍去， ∴， ∴． 故选：A． 【变式3】（24-25七年级下·西藏昌都·期末）若，是关于，的二元一次方程，则，的值分别是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解二元一次方程组，熟练掌握含有2个未知数，且未知数的次数均为1的整式方程是二元一次方程是解题的关键．根据二元一次方程的定义，可得到关于m，n的方程组，即可求解． 【详解】解：若，是关于，的二元一次方程， 则 解得：，． 故选：C． 【考点2 二元一次方程（组）的解】 【例2】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）是二元一次方程的一组解，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握二元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据二元一次方程的解的定义把代入二元一次方程中即可求出a的值． 【详解】解：把代入二元一次方程中，得， 解得， 故答案为： 【变式1】（24-25七年级上·辽宁盘锦·期末）如果是方程的一组解，那么代数式的值是 ． 【答案】8 【分析】本题考查二元一次方程的解和代数式求值． 将解代入方程得到，然后代入代数式计算即可． 【详解】解：将代入方程得：， ∴． 故答案为：8． 【变式2】（24-25七年级下·云南昆明·期末）若是关于x，y的二元一次方程组的解，则的值是 ． 【答案】3 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，代数式求值，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将代入原方程组得：，得到一个关于、的方程组，两方程相加求值即可． 【详解】解：将代入原方程组得：， ①+②得：， ∴． 故答案为：3 【变式3】（24-25七年级下·浙江宁波·期末）若是方程组的解，则的值是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了二元一次方程组的解． 将代入得到，进而得到，即可求出的值． 【详解】解：将代入得， 即 ∴， 故答案为：． 【考点3 解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·云南临沧·期末）用适当的方法解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题重点考查了解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法，是解题的关键． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先将方程进行变形，然后用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：， 整理方程得：， 得：， 整理解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． （2）解：， 原方程组可变成， 得：， 整理解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． （1）根据代入消元法解二元一次方程组即可； （2）根据代入消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：将代入， 得， ， ∴， ． 将代入， 得． 原方程组的解为． （2）解：由， 得， 把代入， 得， ∴， ． 将代入， 得． 原方程组的解为． 【变式2】（24-25八年级上·全国·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，解题的关键是利用代入消元法或加减消元法消去一个未知数． （1）方程组利用加减消元法求解即可； （2）方程组利用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解： 由得：， 解得：， 把代入①得， 解得：， ∴方程组的解为：； （2）解： 由得， 解得：， 把代入①得， 解得： ∴方程组的解为：． 【变式3】（24-25八年级上·山东枣庄·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组成为解题的关键． （1）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可； （2）先整理方程组，然后再运用加减消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． （2）解：， 整理得：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 所以该方程组的解为：． 【考点4 二元一次方程组-错解复原问题】 【例4】（24-25七年级下·河南商丘·期末）小华解方程组时，给出了两种解法． 解法一：由，得． …… 解法二：由①，得③． …… (1)上述两种解法的解题过程中，解法________（填“一”或“二”）的解题过程有错误． (2)请运用解法二解此方程组． 【答案】(1)一 (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）利用加减消元法和代入消元法进行计算，逐一判断即可解答； （2）利用代入消元法进行计算，即可解答． 【详解】（1）解：解法一： 由得：； 故此解法错误； 解法二中变形正确； 上述两种解题过程中你发现解法一的解题过程有错误，错误的原因是：计算错误，应该为， 故答案为：一； （2）解：由①，得③， 把③代入②，得， 解得． 把代入③，得， 解得， ∴原方程组的解为． 【变式1】（24-25七年级下·河北廊坊·期末）下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：，得，③第一步 ，得，第二步 解得．第三步 将代入①，得，第四步 所以原方程组的解为第五步 任务： (1)第_____步开始出现错误． (2)写出正确的解方程组的过程． 【答案】(1)一 (2)见解析 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是消元，把二元方程转化为一元方程是解题的关键． （1）根据解二元一次方程组的基本解题过程进行判断即可； （2）加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：第一步开始出现错误； （2），得③ ，得， 解得， 将代入①，得， 解得， 所以原方程组的解为． 【变式2】（24-25七年级下·河北张家口·期末）下面是小明同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并解决问题． 解：由①得，③                                        第一步 将③代入②，得，                  第二步 解得．                                                             第三步 将代入③，得，                              第四步 ∴原方程组的解为 ．                                 第五步 (1)①以上求解过程中，小明用了___________消元法（填“代入”或“加减”）；②第___________步开始出现错误； (2)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程． 【答案】(1)①代入,②三 (2) 【分析】本题考查了用代入消元法与加减消元法解二元一次方程组，掌握两种消元方法是解题的关键． （1）①由解题的第一步可确定消元的方法；②分别对各步进行检查，即可确定错误所在； （2）方程①乘3，再减去方程②，消去y，求得x的值，再求出y的值即可． 【详解】（1）解：①由第一步知，是用代入消元法解二元一次方程组； 故答案为：代入； ②第一步变形正确；第二步代入正确；第三步解方程错误，正确的解应是，导致后面两步都错误； 故答案为：三； （2）解：得：， 解得：； 把代入方程①中，得， 解得：； ∴方程组的解为：． 【变式3】（24-25七年级下·吉林长春·期末）小明同学在解方程组时发现：如果用常规的代入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： 得：，即． 再得：， 最后重新组成方程组，进而求得方程组的解．这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方程组的轮换对称解法． (1)方程组的解为___________； (2)利用轮换对称解法解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】题目主要考查加减消元法解二元一次方程组，熟练掌握求解方法是解题关键． （1）根据例题过程，利用加减消元法求解即可； （2）仿照例题方法求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得：， 得：， 解得：， 将代入③得：， ∴方程组的解为， 故答案为：； （2）， ，得，即③，                 ，得④，                     ，得，解得，                     把代入③，得，                     ． 【考点5 二元一次方程组-同解问题】 【例5】（24-25七年级下·陕西延安·期末）若关于x，y的方程组与方程组的解相同． (1)求两个方程组的相同解； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟练掌握解二元一次方程组方法是解题关键． （1）由题意得出并解出即可； （2）把代入方程组求出，代入计算即可． 【详解】（1）解：与的解相同， ， 解得， 两个方程组的相同解为． （2）解：把代入方程组， 得， 解得， ． 【变式1】（24-25七年级下·江西新余·期末）已知关于，的方程组与有相同的解． (1)请求出这个相同的解； (2)求，的值. 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二元一次方程组的解法，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． （1）联立两方程组中不含a，b的方程求出相同的解即可； （2）把求出的解代入剩下的方程中，再联立方程组求出a与b的值即可． 【详解】（1）根据题意，得：， 解得：； （2）将代入方程组，得：， 解得：． 【变式2】（24-25七年级下·山西吕梁·期末）对于有理数，，定义新运算：，，其中，是常数．例如：，，已知，，则根据定义可以得到． 回答下列问题： (1)________，________； (2)若，求的值； (3)若关于x，y的方程组的解也满足方程，求的值． 【答案】(1)1， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组和二元一次方程组的解，根据新定义列出二元一次方程组，利用方程组的解列出二元一次方程组是解题的关键． （1）用加减消元法解方程组即可； （2）由，得到，，代入，求解即可； （3）根据题意得出关于x、y的二元一次方程组，求出方程组的解，再代入方程求解即可． 【详解】（1）解： ，得， ∴， 把代入②，得， ∴， 解得：； 故答案为：，； （2）， ，． ， ． 解得； （3）依题意得， 解得：， ， ． 解得∶． 【变式3】（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 【考点6 二元一次方程组中特殊解法问题】 【例6】（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知关于x，y的方程组（m，n为实数）． (1)当时，求方程组的解； (2)当时，试探究方程组的解x，y之间的关系． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组，掌握加减消元法解二元一次方程组是解题的关键． （1）根据题意，原方程组为，运用加减消元法求解即可； （2）运用加减消元法求解出关于的表达式，再根据代数式的值即可求解． 【详解】（1）解：当时，则原方程组为， ①②得，，解得：， 将代入①，得，解得：， 则方程组的解为； （2）解：， ①②得，， ∴， ①②得，， ∴， ④③得， ， ∵， ∴，即． 【变式1】（24-25七年级下·辽宁大连·期末）阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题． 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算．例如，解下面的方程组：时，可以采用以下方法．解：②①得，，所以③，将③，得④，①④，得，从而可得，所以原方程组的解为． (1)请你用上述方法解方程组 (2)猜测关于x、y的方程组的解，并说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，熟知解二元一次方程组的加减消元法和代入消元法并灵活变通是解答此题的关键． （1）本题先得，在求得，然后即可求解； （2）本题先①②得： ③，③得：④，然后即可求解； 【详解】（1）解：①②得：，即③， ③：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， 所以这个方程组的解是． （2）解：猜测关于x、y的方程组的解为， 理由如下： ， ①②得：，即③， ③得：④， ①④得，，解得，， 把代入③得， ∴这个方程组的解是． 【变式2】（24-25七年级下·江苏苏州·期末）“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题． 例如，已知方程组：，求，的值． 解：原方程组即为，设， 原方程组可变形为：， 解得，即． 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于的一元一次方程（，为常数，且）的解为，则关于的一元一次方程的解为________； (2)已知关于，的方程组，求的值； (3)已知关于，，的方程组，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题围绕“整体思想”展开，通过将复杂式子中的部分看作整体进行代换，简化计算，涉及解二元一次方程组，完全平方公式的应用，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）利用换元法，设，因为，所以，即可求得的值； （2）设，，解关于，的二元一次方程组，求出的值，再利用，即可求出的值； （3）设，，解关于，的二元一次方程组，即可求出，的值，进而可求出的值． 【详解】（1）解：设， ，即， 的解为， ， 解得， 故答案为：； （2）解：原方程组为， 设，， 原方程组可变形为：， 解得，即， ∵， ∴； （3）解：设，， 由可得，即①， 由可得，即②， ①②得， 解得， 把代入①得，， ． 【变式3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）阅读探索： 材料一：解方程组时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 解：设，，原方程组可化为， 解得，即，解得． 材料二：解方程组时，采用了一种“整体代换”的解法，解法如下： 解：将方程②，变形为③， 把方程①代入③得，，则； 把代入①得，，所以方程组的解为：． 根据上述材料，解决下列问题： (1)运用换元法解求关于a，b的方程组：的解； (2)若关于x，y的方程组的解为，求关于m，n的方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了用换元法解二元一次方程组；换元法：如果方程或方程组由某几个代数式整体组成，那么可以引入一个或几个新的变量来代替它们，使之转化为新的方程或方程组，然后求解，进而求原方程的解． （1）用换元法替换和，解方程组即可； （2）用换元法替换和，根据已知条件解方程组即可； 【详解】（1）解：∵， 设，， ∴原方程可以化为， 用得：，解得， 把代入到①得：，解得， ∴方程组的解为，即， 解得， ∴原方程组的解为； （2）解：∵， 设， ∴原方程化为：， ∵关于x，y的方程组的解为， ∴， 解得； 【考点7 二元一次方程组的应用】 【例7】（25-26八年级上·广东深圳·期末）李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示． 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)求篮球和足球的标价分别为多少元； (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售．若李老师准备花费960元再次购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【答案】(1)篮球的标价是80元，足球的标价是100元 (2)李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个 【分析】本题考查了二元一次方程组的建立与求解，以及在实际问题（打折销售和方案设计）中的应用；解题的关键是正确设未知数，根据表格信息列出方程组求解单价，并利用打折后的价格和总预算列出方程寻找整数解． （1）设篮球标价为 元，足球标价为 元，根据两次购买的数量和总费用，列出二元一次方程组并求解； （2）先根据第一问结果计算打折后的单价（六折），设购买篮球 个、足球 个（均为正整数），根据总费用 960 元列出方程，化简后寻找所有正整数解，即为购买方案． 【详解】解：（1）设篮球的标价是元，足球的标价是元， 依题意，得：， 解得：， 答：篮球的标价是80元，足球的标价是100元． （2）设李老师再次购买篮球个，足球个， 依题意得：，化简，得 ， 、均为正整数， 或或， 答：李老师共有三种方案：①购买篮球15个、足球4个；②购买篮球10个、足球8个；③购买篮球5个、足球12个． 【变式1】（25-26八年级上·全国·期末）某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元． (1)购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ (2)预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次．若该公司同时购买A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在（2）的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元 (2)共有3种购车方案；方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． (3)在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元 【分析】（1）设购买每辆A型公交车需x万元，每辆B型公交车需y万元，根据“若购买A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万元”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m辆A型公交车，n辆B型公交车，根据要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120万人次，即可得出关于m,n的二元一次方程，结合m,n均为正整数，即可得出各购车方案； （3）利用总费用＝单价数量，即可求出选项各方案所需总费用，比较后即可得出结论． 【详解】（1）解：设购买每辆型公交车需万元，购买每辆型公交车需万元． 依题意，得 解得 故购买每辆型公交车需150万元，购买每辆型公交车需200万元． （2）解：设购买辆型公交车，辆型公交车． 依题意，得 ． 均为正整数， 或或 该公司共有3种购车方案； 方案1：购买9辆型公交车，2辆型公交车； 方案2，购买6辆型公交车，4辆型公交车； 方案3：购买3辆型公交车，6辆型公交车． （3）解：选择方案1所需总费用为（万元）； 选择方案2所需总费用为（万元）； 选择方案3所需总费用为（万元）． ， 在（2）的条件下，购车方案3总费用最少，最少费用是1650万元． 【变式3】（24-25八年级上·贵州毕节·期末）在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税，一系列优惠政策如同春风拂面．某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元． (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价； (2)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，已知中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆．根据销售经验，购中级型汽车的数量不低于25辆，设购进辆中级型汽车，100辆车全部售完获利万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车各多少辆．才能使最大？最大为多少万元？ 【答案】(1)24万元， 16万元 (2)购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆；350万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一次函数的应用； （1）设中级型汽车进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可求解； （2）根据题意得出，，进而根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】（1）解：设中级型汽车的进货单价为万元，紧凑型汽车的进货单价为万元， 由题意得： 解得： 答：中级型汽车的进货单价为24万元，紧凑型汽车的进货单价为16万元； （2）设购进中级型汽车辆，则购进紧凑型汽车辆， 由题意得：， ， ， 随的增大而减小， 当，取最大值，最大值， 此时，， 答：该经销商应购进中级型25辆，紧凑型汽车75辆，才能使最大，最大为350万元． 【变式3】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 【考点8 二元一次方程组中新定义型问题】 【例8】（24-25七年级下·海南省直辖县级单位·期末）阅读材料：对于任意实数、，定义关于“”的一种运算如下：，例如：． (1)则 ； (2)若，则 ； (3)若，求、的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了新定义运算，解一元一次方程，解二元一次方程组； （1）根据，进行计算即可求解； （2）根据，得出一元一次方程，解方程，即可求解； （3）根据，列出方程组，求出方程组的解，即可求解． 【详解】（1）解： 故答案为：． （2）解：∵ ∴ 解得： （3）解：根据题中的新定义得： ①+②得：， 解得， 将代入①得 ∴ 【变式1】（24-25七年级下·浙江金华·期末）定义：如果关于x，y的二元一次方程为常数且满足，我们就称方程为“阶梯方程”． (1)下列方程是“阶梯方程”的是 ． ①        ②        ③        ④ (2)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解． (3)若方程组的解为整数，求整数的值． 【答案】(1)③④ (2) (3)2或3 【分析】本题主要考查了二元一次方程（组）的解，解题关键是熟练掌握解二元一次方程组的一般步骤，理解新定义的含义． （1）根据已知条件中的新定义，求出，，然后判断即可； （2）根据已知条件将b和c用a表示出来，转换成关于x，y的方程组，解方程组即可； （3）根据已知条件中的新定义，把方程换成含有a，x，y的方程，然后解方程组求出x，y，再根据方程组的解为整数，判断a的整数值即可． 【详解】（1）解：①， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故①不符合题意； ②， ， ， ∴， ∴不是“阶梯方程”，故②不符合题意； ③化为：， ， ， ∴， ∴是“阶梯方程”，故③符合题意； ④， ， ，， ∴， ∴是“阶梯方程”，故④符合题意， 故答案为：③④； （2）解：∵， ∴， ∴变为：， ， ， ∵等式a为任意数时都成立， ∴， 由②得：， 把代入①得：， ∴这组解为：； （3）解：∵， ∴， ∴方程组化为， 由②得：，③代入①得： ， ， ， ， ， 把代入③得：， ∵y为整数， ∴或， 解得：或或2或3， ∵，， ∴或2或3， 当时，，此情况不存在； 当时，； 当时，； ∴a的整数值为：2或3． 【变式2】（24-25七年级下·广东中山·期末）中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们定义：如果实数m，n满足，那么就称点为“中山点”． (1)判断点是否为“中山点”，并说明理由； (2)若点是“中山点”，求k的值； (3)已知p，q为有理数，且关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点”，求p，q的值． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) (3)， 【分析】（1）根据题意得到，，求出，，然后代入求解判断即可； （2）根据“中山点”的定义得到，，表示出，，然后根据列方程求解即可； （3）首先解方程组得到，然后根据题意得到，，表示出，，根据得到，然后根据p，q为有理数求解即可． 【详解】（1）解：∵点 ∴， ∴， ∴ ∴点是“中山点”； （2）解：若点是“中山点”， ∴， ∴， ∵ ∴ 解得； （3）解： 得， 解得 将代入②得， ∴方程组的解为 ∵关于x，y的方程组的解为坐标的点是“中山点” ∴， ∴， ∵ 整理得， ∵p，q为有理数， ∴ ∴ ∴． 【变式3】（24-25七年级下·北京通州·期末）小明在解方程组时发现，可以将①＋②得：③，将③得：④，将④得：⑤，用⑤－①得：，②－⑤得：，方程组的解为，小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法”解决下列问题． (1)已知关于的方程组，则方程组的解是________． (2)已知关于的方程组，则________．方程组的解是________． (3)对于有理数定义一种新的运算：，其中是常数，等式的右边是有理数的运算，若，，求的值． 【答案】(1) (2)； (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解法，三元一次方程组的解法，新定义．掌握凑整消元法是解题的关键，注意计算过程中系数的准确性． （1）通过将方程组两方程相加化简得到，再利用代入消元法逐步求解和的值． （2）通过将方程组三个方程相加化简得到的值，再用该值分别减去原方程，逐步求出的值． （3）根据新定义运算列出关于的方程组，通过方程组相减和变形求出的值，即的结果． 【详解】（1）解：， 将①＋②得：③， 将③得：④， 将④得：⑤， 将⑤－①得：， 将代入③得：， ∴方程组得解为． （2）解：， 由①＋②＋③得：④， 将④得：⑤， 将⑤①得：， 将⑤②得：， 将⑤③得：， ∴方程组得解为． （3）解：∵且，， ∴， ∴， 由②①得：③， 将③得：④， 将①④得：， ∴． 一、单选题 1．（24-25七年级下·云南临沧·期末）已知是二元一次方程的解，则实数a的值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了已知二元一次方程的解，求参数．将代入方程，直接计算a的值，即可作答． 【详解】解：∵是二元一次方程的解， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 2．（24-25七年级下·贵州遵义·期末）《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重，燕俱轻．一雀一燕交而处，衡适平．并燕、雀重一斤．问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，准确找出等量关系式解题关键． 设一只雀重斤，一只燕子重斤，根据“5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一样重，如果把他们合到一起，总共1斤”，可得二元一次方程组，即可选出答案． 【详解】解：设一只雀重斤，一只燕子重斤，则可得方程组为：， 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·期末）若方程组和同解，则a的值是（   ） A．2 B．3 C．4 D．不存在 【答案】B 【分析】本题考查的是解二元一次方程组，由于所给两个方程组的解相同，那么先利用加减消元法对第二个方程组进行求解，从而得到x和y的值； 再将所得x和y的值代入含有a的方程中，进而通过解方程组就能得到a的值． 【详解】解：， 得：， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴方程组的解为， ∵方程组和同解， ∴把代入，得， 解得：， 故选：B． 4．（24-25七年级下·广西钦州·期末）我们定义一种新运算“※”，规定：，其中，为常数，等式的右边是通常的加法和乘法运算，若，，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组． 根据已知条件得出方程组，求出、的值，根据题意得出4※，再求出答案即可． 【详解】解：、， ， ①②，得， 解得：， 把代入①，得， 解得：， ∴， 故选：B 5．（24-25七年级下·吉林·期末）若方程组的解为，则方程组的解为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查换元法求方程组的解，把和作为一个整体，进而得到方程组的解为，再进行求解即可． 【详解】解：∵方程组的解为， ∴方程组的解为， 解得； 故选D． 二、填空题 6．（25-26八年级上·山东·期末）以方程组的解为坐标的点，在直角坐标系中所在的象限是 ． 【答案】第四象限 【分析】此题主要考查二元一次方程组的求解，解题的关键是熟知直角坐标系中点的坐标特点．通过解二元一次方程组求得点的坐标，再根据各象限内点的坐标符号特征判断所在象限即可． 【详解】解：解方程组， 将两方程相加得，解得； 代入得，解得， 故点的坐标为， 由于，，符合第四象限点的坐标特征， 故答案为：第四象限． 7．（24-25七年级下·甘肃武威·期末）如果是二元一次方程，那么 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二元一次方程的定义，解题的关键是正确理解二元一次方程的定义，本题属于基础题型．根据二元一次方程的定义即可求出a与b的值即可． 【详解】解：由题意可知：， 解得， ∴． 故答案为：0． 8．（23-24七年级下·浙江温州·期末）已知关于的方程组无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查解含参数的二元一次方程组．掌握加减消元法是解题的关键． ，,得,即得解． 【详解】解：∵， ∴,得． ∴无论取何值，的值都是一个定值，则这个定值为11． 故答案为：11． 9．（24-25七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末）我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示），就是一个三阶“幻方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为 ． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，根据每行、每列及对角线上的三个数之和都相等，即可列出关于，的二元一次方程组，此题得解，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：第一列与对角线上的三个数之和相等， ∴； 第二行与第三列上的三个数之和相等， ∴． 根据题意可列出方程组， 故答案为：． 10．（24-25七年级下·河北沧州·期末）请你根据王老师所给的内容，完成下列各小题．我们定义一个关于非零常数，的新运算，规定：，例如： ． （1）如果，，则 ； （2）若，，求 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组、解一元一次方程等知识点，结合已知条件列得正确的方程及方程组是解题的关键． （1）根据题意列得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据题意列得二元一次方程组，然后求解即可． 【详解】解：（1）由题意可得：，解得：； 故答案为：． （2）由题意可得，解得：， 所以． 故答案为2． 三、解答题 11．（24-25八年级上·河北邯郸·期末）解方程组 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法，其中涉及到代入消元法、加减消元法等知识，掌握两种方法的准确运用，是解题的关键，难度较易． （1）用代入消元法解二元一次方程组即可； （2）先将第一个方程去分母转化为整式方程，再用加减法消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解: 由②得：③， 把③代入①得， 解得， 把代入③得， 原方程组的解为； （2）解： 整理方程得： 得， ， 把代入③得，得 解得， 原方程组的解为． 12．（23-24八年级上·山西运城·期末）下面是小林同学解方程组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：，由①，得．    第一步 把③代入②，得．    第二步 整理得．    第三步 解得，即．    第四步 把代入③，得． 则方程组的解为    第五步 任务一： （1）①以上求解过程中，小林用了______消元法．（填“代入”或“加减”） ②第______步开始出现错误，这一步错误的原因是______． 任务二： （2）该方程组的正确解为______． 任务三： （3）请你根据平时的学习经验，就解二元一次方程组时还需要注意的事项给其他同学提一点建议． 【答案】（1）①代入 ②三；去括号时没有变号  （2）   （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可） 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，掌握代入消元法解二元一次方程组是关键． （1）①根据把③代入②可知运用了代入消元法； ②根据去括号法则可知小林在第三步出现错误； （2）更正错误的步骤并继续完成小林的解题步骤即可得出答案； （3）本题小林出现的错误是去括号出现的错误，根据去括号法则可给出建议． 【详解】（1）解：①以上求解过程中，小林用了代入消元法， 故答案为：代入； ②第三步开始出现错误，这一步错误的原因是去括号时没有变号，把整理得应该为． 故答案为：三，去括号时没有变号； （2）解：，由①，得．   把③代入②，得．   整理得．   解得，即．   把代入③，得． 则方程组的解为 故答案为： （3）去括号时，如果括号前是负号，括号里面的各项都要变号（合理即可）． 13．（23-24七年级下·四川绵阳·期末）毓秀学校在“读书日”期间购进了一批图书，需要用大小两种规格的纸箱来装运.3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书． (1)一个大纸箱和一个小纸箱一次分别可以装多少本书？ (2)如果一共购进100本书，每个纸箱恰好装满，且两种规格的纸箱都有，分别需要用多少个大、小纸箱？ 【答案】(1)一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书 (2)需要2个大纸箱、2个小纸箱 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设一个大纸箱可以装x本书，一个小纸箱可以装y本书，根据“3个大纸箱和2个小纸箱一次可以装130本书，2个大纸箱和3个小纸箱一次可以装120本书”，即可得出关于x,y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设需要用m个大纸箱，n个小纸箱，根据这些纸箱共装100本书，即可得出关于m，n的二元一次方程，结合m，n均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：设一个大纸箱可以装本书，一个小纸箱可以装本书， 依题意得：， 解得：， 答：一个大纸箱可以装30本书，一个小纸箱可以装20本书． （2）解：设需要用个大纸箱，个小纸箱， 依题意得：， ． 又两种规格的纸箱都有， 均为正整数， 答：需要2个大纸箱、2个小纸箱． 14．（24-25七年级下·湖北黄冈·期末）若关于、的二元一次方程变形为的形式（、是常数，），则其中一对常数、称为该二元一次方程的“相伴系数对”，记为．例如二元一次方程变形为，则二元一次方程的“相伴系数对”为． (1)二元一次方程的“相伴系数对”为____________． (2)已知是关于、的二元一次方程的一个解，且该方程的“相伴系数对”为，求出这个二元一次方程； (3)关于、的二元一次方程，已知该方程的“相伴系数对”之和为2，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二元一次方程的解，新定义“相伴系数对”，理解题意是解题的关键． （1）先把二元一次方程变形为，根据“相伴系数对”的定义解答即可； （2）先根据“相伴系数对”的值写出方程，然后把的值代入即可求出k的值，从而写出方程； （3）先求出方程的“相伴系数对”的值，然后根据已知条件列出关于的方程，从而求出的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴二元一次方程的“相伴系数对”为， 故答案为：； （2）解：∵方程的“相伴系数对”为， ∴该方程为， ∵是关于、的二元一次方程的一个解， ∴， 解得， ∴， 即； （3）解：∵， ∴， 即， ∵关于、的二元一次方程的“相伴系数对”之和为2， ∴， 整理得， 即． 15．（24-25七年级下·湖北荆州·期末）如图，这是一架天平，天平左盘放有一个物体，质量为克，右盘放有一些砝码，每个砝码的质量为15克，当右盘放有2个相同的砝码时，天平处于平衡状态． (1)若，求天平处于平衡状态时x的值； (2)若一个二元一次方程的解m，n都是正整数，我们把m，n称为该方程的正整数解，如：方程的正整数解为，求天平处于平衡状态下的x，y的正整数值； (3)期中考试后，老师计划购买笔记本和圆珠笔给表现优秀的同学作为奖品，笔记本和圆珠笔的单价均为正整数．若购买5本笔记本，8支圆珠笔，共需要120元，求该方程的所有正整数解． 【答案】(1) (2) (3)每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元 【分析】本题考查了二元一次方程的应用，理解题意，正确列出二元一次方程是解此题的关键． （1）由题意可得，代入计算即可得解； （2）通过题意得，整理可得，结合、为正整数，求解即可； （3）设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元，通过题意得，整理可得，结合a和b都是正整数，求解即可． 【详解】（1）解：当天平平衡时，则：， 即：， 当时，得：， 解得：； （2）解：通过题意，得：， 整理可得：， ∵、为正整数， ∴， ∴天平处于平衡状态下的x，y的正整数值是． （3）解：设每本笔记本为a元，每支圆珠笔为b元， 通过题意，得：， 整理可得：， ∵a和b都是正整数， ∴或， 故每本笔记本为元，每支圆珠笔为元；或每本笔记本为元，每支圆珠笔为元． 16．（24-25七年级下·重庆巴南·期末）阅读下面文字，然后回答问题 给出定义：对于关于x，y的二元一次方程（其中），若将其x的系数a与常数c互换，得到的新方程称为原方程的“镜像方程”．例如方程的“镜像方程”为． (1)写出的“镜像方程”______，以及它们组成的方程组的解为______； (2)若关于x，y的二元一次方程与其“镜像方程”组成的方程组的解为，求的平方根； (3)若关于x，y的二元一次方程的系数满足，且与它的“镜像方程”组成的方程组的解恰是关于x，y的二元一次方程的一个解，请直接写出代数式的值． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的新定义，加减消元法，代入消元法解二元一次方程组的方法，理解“镜像方程”的定义，掌握解二元一次方程（组）的方法是解题的关键． （1）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （2）根据“镜像方程”的定义可得方程，联立方程组求解即可； （3）根据题意，先联立方程组，求出x，y的值，代入方程得到，代入代数式化简求值即可． 【详解】（1）解：根据定义可得：的“镜像方程”． 则；由得： 则：，带入得； ∴ （2）由题意可知，的镜像方程为， 联立方程组得， ∵方程组的解为， ∴． 解得． ∴． 故的平方根为． （3）， ． 与其镜像方程所组成的方程组为， 解得． 将代入方程中，得． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04二元一次方程组 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01二元一次方程与二元一次方程组的概念 知识点02代入与加减消元法解二元一次方程组 知识点 知识点03二元一次方程组的实际应用 【考点1二元一次方程（组）的概念】 二元一次方程组 【考点2二元一次方程（组）的解】 【考点3解二元一次方程组】 【考点4二元一次方程组错解复原问题】 考点 【考点5二元一次方程组-同解问题】 【考点6二元一次方程组中特殊解法问题】 【考点7二元一次方程组的应用】 【考点8二元一次方程组中新定义型问题】 重点速记 属知识点01二元一次方程与二元一次方程组的概念 二元一次方程：含有2个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程（形式：(a+by=c),(a、b ≠0)。 二元一次方程组：由2个（或多个）二元一次方程组成的方程组。 方程组的解：使方程组中所有方程都成立的未知数的值。 1/13 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 同知识点2代入与加减消元法解二元一次方程组 1将一个方程中的某个未知数用含另一个未知数的式子表示，代入另一个方程，消去一个未知数，转化为 一元一次方程求解（核心：“消元”）。 2通过将方程组中两个方程相加/减，消去一个未知数（需使某一未知数的系数相等或互为相反数）。 属知识点03二元一次方程组的实际应用 从实际情境中抽象出2个等量关系，设2个未知数，列方程组求解，最后检验解的合理性。 卜核心考点举一反三 【考点1二元一次方程（组)的概念】 【例1】(24-25七年级下·河北廊坊·期末)下列方程中，是二元一次方程的是() A.3a-b=5cB.3xy+9=0 C.1+4y=3 D.4x=y-2 4 【变式1】(25-26七年级上·全国期末)下列各方程组中，属于二元一次方程组的是() 3x+2y=7 [2x+y=1 A. B y=5 x+z=2 y=2x 3+y=1 C. D 3x+4y=2 x32 x+2y=3 【变式2】(25-26八年级上：广东佛山期末)已知方程xm-8-(m+3)y=5是关于x,y的二元一次方程， 则m+n的值() A.7 B.5 C.-1 D.7或-1 【变式3】(24-25七年级下·西藏昌都期末)若xm-"-2ym+m-2=2025,是关于x,y的二元一次方程，则m, 的值分别是() A.m=1,n=0B.m=0,n=1 C.m=2,n=1D.m=2,n=3 【考点2二元一次方程（组)的解】 x=2 【例2】(24-25七年级下·河北廊坊期末) 是二元一次方程3x+2y=12的一组解，则a的值为」 y=a U=6是方程x-3y=2的一组解，那么代数式 x=a 【变式1】(24-25七年级上·辽宁盘锦期末)如果 4-2a+6b的值是 【变式2】(2425七年级下云俏昆明期未)若2是关于y的二元-次方程组 2a+bx=3 a+y=6的解，则 a+b的值是· 2/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 3x+ay=5 【变式3】(24-25七年级下·浙江宁波期末)若 x=1 是方程组 y=-2 2bx+2y=2 的解，则a+b的值是 【考点3解二元一次方程组】 【例3】（24-25七年级下·云南临沧期末)用适当的方法解下列方程组. 、4x-y=5 (0)5y-2=4x+5 「2x.3y7 (2) 3+43 x y I 623 【变式1】(25-26八年级上·全国期末)解方程组： y=1-x 05x+2y=8 -”=2 m (2)3 2 2m+3n=12 【变式2】(24-25八年级上全国期末)解方程组： x+2y=3① (1) x-2y=1② 2x-y=5① (2) 4x+3y=-10② 【变式3】(24-25八年级上山东枣庄·期末)解方程组： x+y=16 (03x+2+y+2)=36 x+y+x-y-1 (2)23 (x+y)-2(x-y)=10 【考点4二元一次方程组-错解复原问题】 【例4】(24-25七年级下河南商丘·期末)小华解方程组 x-2y=6① 3x-2y=2② 时，给出了两种解法. 解法一：由①-②，得2x=4. 解法二：由①，得x=6+2y③， (①)上述两种解法的解题过程中，解法 (填“一”或“二”)的解题过程有错误. (②)请运用解法二解此方程组. 3/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1】(24-25七年级下·河北廊坊·期末)下面是嘉嘉同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完 成相应的任务。 2x-y=4① 解方程组： 3x+2y=13② 解：①×2，得4x-2y=4,③第一步 ②+③，得7x=17,第二步 解得x只.第三步 将x=7代入①，得y ，第四步 6 17 x= 所以原方程组的解为 第五步 6 J= 7 任务： (1)第 步开始出现错误. (②)写出正确的解方程组的过程. 3x-y=4 ① 【变式2】(24-25七年级下·河北张家口·期末)下面是小明同学解二元一次方程组 6x-3y=-10② 的过 程，请认真阅读并解决问题 解：由①得y=3x-4,③ 第一步 将③代入②，得6x-3(3x-4=-10, 第二步 解得x=-2 第三步 3 将x=一 卡代入③，得=6 第四步 2 原方程组的解为 x二3 第五步 y=-6 ()①以上求解过程中，小明用了 消元法（填“代入”或“加减”）；②第 步开始出现错 误； (②)请用另一种消元法写出此题正确的解答过程， 【变式3】(24-25七年级下·吉林长春期末)小明同学在解方程组 5x+6y=1① 6x+5y=10② 时发现：如果用常规的代 入消元法、加减消元法来解，计算量大，且易出现运算错误，若采用下面的解法则比较简单： ①+②得：11x+11y=11,即x+y=1. 再②-①得：x-y=9, 4/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 x+y=1 最后重新组成方程组 (x-y=9' 进而求得方程组的解.这种解二元一次方程组的方法我们称为二元一次方 程组的轮换对称解法， 5x+6y=1 (1)方程组 的解为 6x+5y=10 2024x+2025y=4047 (2)利用轮换对称解法解方程组 2025x+2024y=4051 【考点5二元一次方程组-同解问题】 【例5】(24-25七年级下·陕西延安期末)若关于x,y的方程组 3x+2y=↓与方程组 bx+ay=4 的解相同. ax-by=2 4x-y=5 (1)求两个方程组的相同解； (2)求(4a+b)25的值， ax+2by=4,x+y=1 【变式1】(24-25七年级下·江西新余·期末)已知关于x,y的方程组 与 x-y=3 br+(a-1)y=3有相 同的解， (1)请求出这个相同的解； (2)求a,b的值 【变式2】（24-25七年级下山西吕梁期末)对于有理数x,y,定义新运算：x*y=ax+by, x⑧y=a-by,其中a,b是常数.例如：3*2=3a+2b,2⑧1=2a-b,已知3*2=-1,2⑧1=4，则根 3a+2b=-1 据定义可以得到 2a-b=4· 回答下列问题： (1)a= ,b= (2)若(x*2y)+(x⑧y)=10,求x-y的值； x*y=8+m (3)若关于x,y的方程组 的解也满足方程x-y=9,求m的值。 x⑧y=5m 【变式3】(24-25七年级下·山东泰安期末)阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想. 4x-3y=17 (1)解方程组 4x+3y=-1' 利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为 4(X-3)-3(Y+1)=17 (2)如何解方程组 4(X-3)+3(Y+1)=-1 呢？我们可以把X-3,Y+1看成一个整体，设X-3=x, Y+1=y,很快可以求出原方程组的解为 由此请你解决下列问题： 5/13 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 am+bn=11 3m+n=5 若关于m,的方程组 有相同的解，求a、b的值. 2m-bn=-2 am-bn =-3 【考点6二元一次方程组中特殊解法问题】 x+y=3m+1 【例6】(24-25七年级下·山东滨州期末)己知关于x,y的方程组 (m,n为实数). 2x-y=8-6n (1)当m=-3,n=2时，求方程组的解： (2)当m+4n=5时，试探究方程组的解x,y之间的关系. 【变式1】(24-25七年级下·辽宁大连·期末)阅读下面解方程组的方法，然后解答下列问题 17x+18y=16① 解方程组时，有时采用特殊的代数技巧可以简化计算.例如，解下面的方程组： 20x+21y=192时，可以 采用以下方法.解：②-①得，3x+3y=3,所以x+y=1③，将③×17，得17x+17y=17④，①-④，得 x=2 y=-1,从而可得x=2,所以原方程组的解为 y=-1 2023x+2025y=2021① (1)请你用上述方法解方程组 2017x+2019y=2015② (a+1)x+(a+3)y=a-1 (2)猜测关于x、y的方程组 (b+)x+(b+3到y=b-ia≠b)的解，并说明理由. 【变式2】(24-25七年级下·江苏苏州期末)“整体思想”是中学数学解题过程中的一种重要的思想方法，常 常用这样的方法把复杂的问题转化为简单问题. a-2ab+b=1 例如，已知方程组： 2a+ab+2b=-3'求a+b,ab的值， a+b-2ab=1 解：原方程组即为 2(a+b)+ab=-3’设a+b=x,ab=y x-2y=1 原方程组可变形为： 2x+y=-31 x=-1 a+b=-1 解得， 即 y=-1 ab=-1· 理解上述内容，解决下列问题： (1)若关于x的一元一次方程ax+b=2x(a,b为常数，且a≠2)的解为x=-4,则关于y的一元一次方程 ay-9+b=2y-18的解为y= 3m-2mn-6n=-9 (2)已知关于m,的方程组 2m+mn-4n=1，求m+2n的值； 3a-b+9c=-34 (3)已知关于Q,b,c的方程组 -2a+4h-11c=16'求a+b+c的值. 6/13 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式3】(24-25六年级下…上海宝山期末)阅读探索： [(a-1)+2(b+2)=6 材料一：解方程组 时，采用了一种“换元法”的解法，解法如下： 2(a-1)+(b+2)=6 x+2y=6 解：设a-1=x,b+2=y,原方程组可化为 2x+y=61 ,a-1=2 a=3 解得 x=2 平6+2=2解得6=0 4x+10y=6① 材料二：解方程组 8x+2y=10②时，采用了一种整体代换的解法，解法如下： 解：将方程②8x+20y+2y=10,变形为2(4x+10y)+2y=10③， 把方程①代入③得，2×6+2y=10,则y=-1; x=4 把y=-1代入①得，x=4,所以方程组的解为： y=-1 根据上述材料，解决下列问题： 2*24 (1)运用换元法解求关于α，b的方程组： 的解： (2)若关于x,y的方程组 ax+by=c x=10 的解为 求关于m,n的方程组 5a,(m-3)+3b,(m+2)=G的 a,x+bay=Cz y=6 5a,(m-3)+3b,(n+2)=c2 解. 【考点7二元一次方程组的应用】 【例7】(25-26八年级上·广东深圳期末)李老师在某体育用品商店分两次购买篮球和足球，购买时，均 按标价购买，两次购买篮球和足球的数量和费用如表所示. 篮球/个 足球/个 总费用/元 第一次 6 5 980 第二次 3 7 940 (1)求篮球和足球的标价分别为多少元： (2)元旦期间，商店举行优惠促销活动，篮球和足球同时按标价的六折出售，若李老师准备花费960元再次 购买篮球和足球（篮球、足球均购买），则李老师有哪几种购买方案？ 【变式1】（25-26八年级上·全国期末)某市公交公司计划购买A型和B型两种环保节能公交车，若购买 A型公交车1辆，B型公交车2辆，共需550万元；若购买A型公交车2辆，B型公交车1辆，共需500万 元 7/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (①)购买每辆A型和B型公交车各需多少万元？ (2)预计在该线路上每辆A型和B型公交车的年均载客量分别为10万人次和15万人次.若该公司同时购买 A型和B型公交车，且全部投入使用，要使得全部投入使用的公交车在该线路上的年均载客量总和为120 万人次，则该公司有哪几种购车方案？ (3)在(2)的条件下，请问哪种购车方案总费用最少？最少费用是多少？ 【变式3】(24-25八年级上·贵州毕节·期末)在2024年，国家出台政策减免新能源汽车的购置税与车船税， 一系列优惠政策如同春风拂面.某新能源汽车经销商购进紧凑和中级两种型号的新能源汽车，据了解3辆 中级型汽车、2辆紧凑型汽车的进价共计104万元；2辆紧凑型汽车比3辆中级型汽车的进价少40万元. (1)求中级型和紧凑型汽车两种型号汽车的进货单价： (②)由于新能源汽车需求不断增加，该店准备购进中级型和紧凑型汽车两种型号的新能源汽车100辆，己知 中级型汽车的售价为26万元/辆，紧凑型汽车的售价为20万元/辆.根据销售经验，购中级型汽车的数量不 低于25辆，设购进Q辆中级型汽车，100辆车全部售完获利W万元，该经销商应购进中级型和紧凑型汽车 各多少辆.才能使W最大？W最大为多少万元？ 【变式3】(23-24七年级下·安微合肥期末)某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙 三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨/辆） 5 8 10 运费（元/辆） 450 600 700 (①)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车a(a≥1)辆、乙车b(b≥1)辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14 辆，直接写出a、b的值和总运费 【考点8二元一次方程组中新定义型问题】 【例8】(24-25七年级下·海南省直辖县级单位期末)阅读材料：对于任意实数a、b,定义关于“⑧”的一 种运算如下：a⑧b=2a+b,例如：3⑧4=2？3+4=10 (1)则2⑧(-1)=- (2)若x⑧5=9，则x=- ③)若x@-列=2,5⑧x=7,求xy的值。 【变式1】(24-25七年级下·浙江金华期末)定义：如果关于x,y的二元一次方程ax+by=c(a,b,c为常数 且a≠0，b≠0)满足c=b+1=a+2,我们就称方程ax+by=c为阶梯方程”. (1)下列方程是“阶梯方程”的是_ 8/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 135 ①x-2y=-3 ②2x-3y=4 ③x+2y-3=0 ④2+2y= 2 2 (②)任意阶梯方程都有一组相同的解，请求出这组解. ax+by=c (3)若方程组 x+2y=1 的解为整数，求整数a的值. 【变式2】(24-25七年级下·广东中山期末)中山市是孙中山先生的出生地，为了纪念孙中山先生，我们 定义：如果实数m,n满足8m-6n=5,那么就称点P(1+n,1-2m为中山点”. (1)判断点A 怎-小足有为中山京并说男是： (2)若点B(k,3)是“中山点”，求k的值； y+9=0 (3)己知p,q为有理数，且关于x,y的方程组 x-2y=3p+ 。的解为坐标的点C(x,)是“中山点”，求P, 9的值. 【变式3】(24-25七年级下·北京通州期末)小明在解方程组 3x-2y=7@时发现，可以将①+②得： 2x-3y=3① 5x-5y=10③，将③÷5得：x-y=2④，将④x2得：2x-2y=4⑤，用⑤-①得：y=1,②-⑤得：x=3, x=3 ·方程组的解为 y=1 小明高兴的给自己发现的解法取名为“凑整消元法”，请你参考小明的“凑整消元法” 解决下列问题， 16x+15y=51 (①)已知关于x、y的方程组 13x+14y=36 则方程组的解是 x+y=8 (2)已知关于x,y,z的方程组{y+z=-3,则x+y+z= 方程组的解是 z+x=-1 (3)对于有理数，y定义一种新的运算：x*y=ax+by+c,其中a,b,c是常数，等式的右边是有理数的运 算，若3*5=16,4*7=23，求1*1的值. 复习提升 一、单选题 1.（24-25七年级下·云南临沧期末)已知 =20是二元一次方程ax+2y=100的解，则实数a的值为() x=10 A.2 B.4 C.6 D.8 9/13 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 2.(24-25七年级下·贵州遵义·期末)《九章算术》中记录这样一道数学问题：“今有五雀、六燕，雀俱重， 燕俱轻.一雀一燕交而处，衡适平.并燕、雀重一斤.问燕、雀一枚各重几何？”大意为：今有5只雀和六 只燕子，每只雀都一样重，每只燕也一样重，5只雀比6只燕子重，如果交换一只雀和一只燕子，两边就一 样重，如果把他们合到一起，总共1斤，问一只雀和一只燕子分别重多少？设一只雀重x斤，一只燕子重y 斤，则可得方程组为() 6x=5y 4x+y=5y+x 5x+y=6y+x 5x=4y A. C. 5x+6y=1 5x+6y=1 D. 5x+6y=1 6x+5y=1 2x+ay=10 x-y=-2.5 3.(25-26八年级上全国期末)若方程组 3r+4y=13.5和 x-y=-1.5同解，则的值是() A.2 B.3 C.4 D.不存在 4.(24-25七年级下·广西钦州期末)我们定义一种新运算“※”，规定：x※y=ax+by,其中a,b为常数， 等式的右边是通常的加法和乘法运算，若5※2=7,3※(-4)=12，则4※3的值为() A.-12 B. D. 25 2 2a-3b=13 a=8.3 5.(24-25七年级下·吉林.期末)若方程组 3a+5h=30.g的解为 =1.2’则方程组 2(x+2)-3y-1)=13 3(x+2+5y-l)=30.9的解为() [x=8.3 x=10.3 x=9.3 D. x=6.3 A. B y=1.2 y=0.2 y=-1.2 y=2.2 二、填空题 6.(25-26八年级上山东期末)以方程组 x-y=5 的解为坐标的点(x,y,在直角坐标系中所在的象限 x+y=-1 是 7.(24-25七年级下.甘肃武威期末)如果4x+26-5-2y3a--3=8是二元一次方程，那么a-b= x+2y=k+3 8.(23-24七年级下浙江温州期末)已知关于x,y的方程组 2x-3y=3k-2无论k取何值，x+9y的值都 是一个定值，则这个定值为 9.(2425七年级下·内蒙古鄂尔多斯·期末)我国古代夏禹时期的“洛书”（如图①所示)，就是一个三阶“幻 方”（如图②所示），观察图①、图②，我们可以寻找出“九宫图”中各数字之间的关系，在显示部分数据的 新“幻方”（如图③所示）中，根据寻找出的关系，可列方程组为_一 10/13