专题03 一次函数的图象和性质（4大知识点+9大考点+复习提升）（寒假复习讲义）八年级数学新教材北师大版

专题03 一次函数的图象和性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点01 函数的概念 - 知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y，如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02 一次函数的表达式 - 知识点：形如y = kx + b（k，b为常数，k≠0）的函数叫做一次函数。当b = 0时，y = kx（k≠0）叫做正比例函数。 知识点03 一次函数的图象与性质 - 知识点：一次函数y = kx + b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0,b)和(- ,0)）画出。当k>0时，y随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(0,b)。 知识点04 一次函数的实际应用 - 知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型，再结合图象或性质求解。 【考点1 一次函数的定义】 【例1】（24-25八年级下·辽宁营口·期末）下列函数中，是一次函数的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一次函数的．根据一次函数的定义，形如（，为常数，且）的函数为一次函数，逐一分析选项即可． 【详解】解：选项A：，分母含x，不符合一次函数的定义． 选项B：，整理为，符合的形式，其中，满足一次函数的条件． 选项C：，变量a的次数为2，属于二次函数，不符合一次函数的定义． 选项D：，虽然形式类似一次函数，但未明确．若，不符合一次函数的定义．因此无法确定其必然为一次函数． 故选：B． 【变式1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）在下列函数解析式中，①；②；③；④；⑤，y一定是x的一次函数的有（   ）个． A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解， 本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是：一次函数的定义一般形如（，是常数，），其中是自变量，是因变量‌。． 【详解】解：①当时，不是一次函数， ②，是一次函数， ③，是一次函数， ④，是一次函数， ⑤，不是一次函数， 综上所述，②③④是一次函数，共3个， 故选：C． 【变式2】（24-25八年级下·云南红河·期末）已知函数是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义，x的指数必须为1，且系数不能为0，进行分析，即可作答． 【详解】解：∵函数是关于x的一次函数， ∴ ∴， 解得m的值为， 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·广东汕头·期末）若是关于x的一次函数，则m的值为（   ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，函数表达式中的未知数的最高次数为1，且该项系数不为零，列方程求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴且， 解得， 故选：A． 【考点2 一次函数的图象和性质】 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末）关于一次函数的图像，下列结论正确的是（   ） A．图像与轴的交点坐标为 B．若点、点在函数图像上，则 C．图像经过第二、三、四象限 D．点在图像上 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图像和性质，根据函数解析式逐项判断即可． 【详解】解：函数为 ， 对于A：令 ，则 ， 解得，与轴交点为 ，不是 ，故不符合题意； 对于B：点 在图像上，则 ；点 在图像上，则 ；，故，故不符合题意； 对于C：，，图像经过第一、三、四象限，不经过第二象限，故不符合题意； 对于D：当 时，，故点 在图像上，故符合题意． 故选D． 【变式1】（24-25八年级下·河北秦皇岛·期末）关于直线，以下说法正确的是（   ） A．直线经过第一、二、三象限 B．直线与x轴交点坐标为 C．直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为 D．将直线沿x轴翻折得直线 【答案】D 【分析】本题考查一次函数的图象和性质，一次函数图象的平移和翻折，根据一次函数的图象和性质，以及平移和翻折的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴一次函数的图象过一，二，四象限，故选项A错误； 当时，，当时， ∴直线与x轴交点坐标为，与轴的交点坐标为，故选项B错误； 直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为，故选项C错误； 将直线沿x轴翻折，则翻折后的直线经过点，， 设翻折后的解析式为，把代入，得：， ∴将直线沿x轴翻折得直线，故选项D正确； 故选D． 【变式2】（24-25八年级下·山东临沂·期末）对于一次函数，下列结论中正确的个数是（   ） ①它的图象与y轴交于点，②y随x的增大而减小，③当时，，④它的图象经过第一、二、三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数的图象与性质．根据一次函数的图象与性质，逐一分析各结论的正确性即可． 【详解】解：结论①：当时，，故图象与y轴交于点 ，正确． 结论②：函数中，故y随x的增大而增大，而非减小，错误． 结论③：解不等式得，即当时，，结论③错误． 结论④：，图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限，结论④错误． 故选：A 【变式3】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）关于一次函数，现给出以下结论： ①当时，y的值随着x的值的增大而增大； ②当，时，该函数图象经过第一、二、三象限； ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到，则，； ④当时，无论a取何值，直线一定过定点． 其中正确的是（   ） A．①②③④ B．①②③ C．①②④ D．②③④ 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，包括增减性、图象所过象限、平移规律及定点问题，根据一次函数的图象和性质，逐一进行判断即可． 【详解】①当时，，故随增大而增大，正确． ②当且时，，故图象经过第一、二、三象限，正确． ③原函数向下平移2个单位后为，与对比得，，解得，，正确． ④当时，函数为，变形为．令，则，无论取何值，直线必过定点，正确． 故选A． 【考点3 利用一次函数的增减性求解】 【例3】（24-25八年级下·黑龙江七台河·期末）若一次函数图象上有两个点，，则m，n的大小关系是：m （填“”，“”或“”） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，y随x的增大而增大；，y随x的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出y随x的增大而减小，再结合，即可得出． 【详解】解：， 随x的增大而减小， 又一次函数图象上有两个点，，且， ． 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·湖南湘潭·期末）已知一次函数，若，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质，由，可得出y随x的增大而减小，结合，即可求出y的最小值． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∴当时，y取得最小值，此时． 故答案为：． 【变式2】（24-25八年级下·海南·期末）已知函数，当自变量的取值范围是时，的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质：当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而增减小．熟练掌握一次函数的性质是解题的关键． 由解析式可得，则随着的增大而增大，则当，函数取得最大值，代入求解即可． 【详解】解：∵函数中， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴当时，， ∴的最大值为， 故答案为：． 【变式3】（24-25八年级下·山东日照·期末）一次函数（k为常数，且），当时，y的最大值是，则k的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数的增减性，分两种情况：当时，一次函数中随着的增大而减小；当时，一次函数中随着的增大而增大；分别求解即可，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当时，一次函数中随着的增大而减小， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得； 当时，一次函数中随着的增大而增大， ∵当时，y的最大值是， ∴当时，y的最大值是，即，解得， 综上所述，k的值是或， 故答案为：或． 【考点4 一次函数图象的共存问题】 【例4】（24-25八年级下·山东临沂·期末）直线和的图象可能是（   ） A．B．C．D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握一次函数图象的性质是解题的关键．分和讨论，根据一次函数的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解∶∵， ∴， 当时，，此时的图象不经过第二象限，的图象不经过第三象限； 当时，，此时的图象不经过第一象限，的图象不经过第四象限； 观察各选项，只有选项A符合题意， 故选∶A． 【变式1】（24-25八年级上·安徽池州·期末）y关于x的一次函数和在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数图象：一次函数、为常数，是一条直线，当，图象经过第一、三象限，随的增大而增大；当，图象经过第二、四象限，随的增大而减小；图象与轴的交点坐标为． 对于每个选项，先确定一个解析式所对应的图象，根据一次函数图象与系数的关系确定、的符号，然后根据此符号看另一个函数图象的位置是否正确． 【详解】解：A、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以A选项不符合题意； B、对于，当，图象经过第一、三象限，则经过第二、四象限，与轴的交点在轴上方，所以B选项符合题意； C、对于，当，图象经过第一、三象限，则也要经过第一、三象限，所以C选项不符合题意； D、对于，当，图象经过第二、四象限，若，则经过第一、三象限，所以D选项不符合题意． 故选：B． 【变式2】（24-25八年级下·河南信阳·期末）下列表示一次函数与正比例函数（a，b为常数，且）的图象的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的图象．将a、b与0进行比较，然后分情况讨论其图象的位置即可． 【详解】解：∵正比例函数，∴经过原点，∴排除选项C和D， 若，， 则经过一、二、三象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、三、四象限，经过二、四象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过二、三、四象限，经过一、三象限，没有符合题意的图象； 若，， 则经过一、二、四象限，经过二、四象限，选项A符合题意； 故选：A． 【变式3】（24-25八年级下·四川凉山·期末）两直线与在同一坐标系中的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数图象与系数的关系：对于一次函数（k为常数，），当的图象在一、二、三象限；当的图象在一、三、四象限；当的图象在一、二、四象限；当的图象在二、三、四象限；据此根据对应选项中两个函数经过的象限分别判断出的符号，看是否一致即可得到答案． 【详解】解：A、直线的图象经过第一、三、四象限，则，直线的图象经过第一、二、四象限，则，二者一致，符合题意； B、直线的图象经过第一、二、三象限，则，直线的图象经过第一、二、四象限，则，二者不一致，不符合题意； C、直线的图象经过第一、三、四象限，则，直线的图象经过第二、三、四象限，则，二者不一致，不符合题意； D、直线的图象经过第一、二、三象限，则，直线的图象经过第第二、三、四象限，则，二者不一致，不符合题意； 故选：A． 【考点5 求一次函数的表达式】 【例5】（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 【变式1】（24-25八年级下·广西来宾·期末）已知与成正比，且时，． (1)求关于的函数表达式； (2)当时，求的值； (3)将所得函数的图象平移，使它过点，求平移后图象的表达式． 【答案】(1)关于的函数表达式为； (2)； (3)平移后图象的表达式为． 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数的平移， （1）根据题意设；然后利用待定系数法求一次函数解析式； （2）把代入一次函数解析式可求得； （3）设平移后直线的解析式为，把点代入求出b的值，即可求出平移后直线的解析式． 【详解】（1）解：依题意设 ∵时，， ∴，解得 ∴关于的函数表达式为； （2）解：当时，； （3）解：将函数平移的表达式设为 因为平移后的函数的图象经过点， 所以， 解得 因此，平移后图象的表达式为． 【变式2】（23-24八年级上·甘肃兰州·期末）如图所示，点A的坐标为，点的坐标为． (1)求过A，两点直线的函数表达式； (2)过点作直线与轴交于点，且使，求的面积． 【答案】(1) (2)2或6 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数与几何的应用等知识点，掌握数形结合以及分类讨论思想是解题的关键． （1）直接利用待定系数法求解即可； （2）由点A、B的坐标，可得出的长，结合，可求出的长，然后再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：设过A，B两点直线的函数表达式为， 将，代入得： ，解得：， ∴过A，B两点直线的函数表达式为． （2）解：∵点A的坐标为，点的坐标为， ∴． ∵， ∴， ∴或， ∴或． 综上，的面积为2或6． 【变式3】（23-24八年级下·河北石家庄·期末）如图，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的另一条直线交轴于点． (1)求直线的函数表达式． (2)求的面积． (3)若点在线段上（可与点A,B重合），点在直线上，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3)最小值为4 【分析】本题考查一次函数的性质及应用： （1）先求出点A坐标，再利用待定系数法求解； （2）根据求解； （3）将转化为t的一次函数，结合t的取值范围进行求解即可． 【详解】（1）解：点在直线上， ， ， 设直线的函数表达式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的函数表达式为； （2）解：对于，当时，， ， ， ， ； （3）解：点在线段上，点在直线上， ，， ， 点在线段上，，， ， ， 随t的增大而减小， 当时，取最小值，最小值为． 【考点6 画一次函数的图象】 【例6】（24-25八年级下·青海玉树·期末）已知一次函数． (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； (2)根据函数图象，方程的解为___________． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查画一次函数图象，一次函数与一元一次方程的关系，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）根据解析式求出直线与坐标轴的交点坐标，描点、连线即可； （2）直线与横坐标轴的交点的横坐标即为方程的解． 【详解】（1）解：， 当时，； 当时，，解得， 点和点在直线上， 描点，连线，可得该函数的图象如下： （2）解：由（1）知，直线与x轴的交点坐标为， 故方程的解为， 故答案为：． 【变式1】（24-25八年级下·福建泉州·期末）在平面直角坐标系中，已知一次函数，完成下列问题： (1)画出一次函数的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是______； (3)将直线沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标． 【答案】(1)见解析 (2)4 (3) 【分析】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，一次函数图象与几何变换，熟知一次函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解答此题的关键． （1）画出函数图象； （2）分别求出直线与x轴、y轴的交点，进而解答即可； （3）根据平移的规律求得平移后的函数解析式，然后求出与x轴的交点即可． 【详解】（1）解：令，解得，令，则， 一次函数的图象如图： （2）令，解得，令，则， 直线与x轴交点坐标为，与y轴交点坐标为， 函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是； 故答案为：4； （3）将直线沿y轴向下平移3个单位长度，得，即， 令，则，解得， 平移后的直线与x轴的交点坐标为 【变式2】（24-25八年级下·河北张家口·期末）已知函数． (1)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； x … _____ … … ___ … (2)当时，求y的取值范围． 【答案】(1)4，5；见解析 (2) 【分析】本题考查了画函数图象，并利用图象求函数值取值范围；会利用图象求解是解题的关键． （1）分别将，代入解析式求解，描点、连线，画出图象即可； （2）当时，；当时，，根据图象求解即可． 【详解】（1）解：表格中第一行横线处为4，第二行横线处为5； 故答案为：4，5； 如图； （2）解：当时，． 当时，． 综合图象可得y的取值范围是． 【变式3】（24-25八年级上·山东青岛·期末）小颖根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究．下面是小颖的探究过程，请你补充完整． (1)列表： … 0 1 2 … … 2 1 0 2 … ①根据函数的关系式和表中的数据，可以计算 ， ； ②若点和点是该函数图象上的两点，则 ； (2)描点并画出该函数的图象； (3)请写出该函数图象的性质（至少两条）； (4)若直线（）过点，当这条直线与函数的图象有两个交点时，则的取值范围是 ． 【答案】(1)①，；② (2)见解析 (3)轴对称为，最低点为 (4) 【分析】本题考查了画分段函数的图象和性质，一次函数的图象和性质，解一元一次不等式等知识，解决问题的关键是分类讨论． （1）①分别将和代入，从而求得结果； ②可得出不等式，去绝对值得或，两式相加得出结果； （2）分别得出和的函数关系式，进而画出图象； （3）可从变化趋势和最值上描述； （4）数形结合：画出临界情形，进而得出结果． 【详解】（1）解：①当时，， ∴， 当时，， ∴， 故答案为：0，1； ②由题意得，， ∴或， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：当时，即， ， 当时，即， ， 画的图象： 列表如下： x ⋯ 0 3 ⋯ ⋯ 0 3 ⋯ 描点，图象如下： 画的图象： 列表如下： x ⋯ ⋯ ⋯ 0 1 ⋯ 描点，图象如下： （3）解：性质1：函数图象的对称轴为直线； 性质2：函数图象有最低点为； （4）解：如图， 当时， 当直线平行于时， 此时， 将代入得 ， ∴， 当直线平行于时，， 将代入得， ， ∴， ∴． 故答案为：． 【考点7 一次函数与面积问题】 【例7】（24-25八年级下·湖南永州·期末）如图，直线与轴、轴分别交于、两点， (1)求、两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)，； (2)． 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，三角形面积公式等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一次函数图象上点的坐标特征求解即可； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴点， 当时，， 解得：， ∴点； （2）解：∵，， ∴， ∴． 【变式1】（24-25八年级上·广西梧州·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别相交于，两点，是直线上的一点，过点的另一条直线与轴相交于点． (1)求m，b的值； (2)求△的面积． 【答案】(1) (2)8 【分析】本题主要考查一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． （1）将代入即可求出的值，再将点坐标代入，即可得到的值； （2）求出、的坐标即可求出三角形的面积． 【详解】（1）解：由条件可知， ， ， 将点坐标代入， 得：， ； （2）解：由（1）可知：， 当时，，， ，， ， ， ． 【变式2】（23-24八年级上·宁夏银川·期末）如图，直线与y轴、x轴交于点A、B，点C在直线上，点C的横坐标为m． AI (1)求点A、B的坐标； (2)当时，求的面积； (3)当时，求m的值． 【答案】(1)， (2) (3)或 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴的交点问题，一次函数与三角形面积的综合应用； （1）分别令，，即可求解； （2）当时求出的纵坐标，由三角形的面积，即可求解； （3）求出的面积，由，即可求解； 掌握一次函数与坐标轴的交点的求法，并熟练利用三角形面积求解是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， ， 当时， ， 解得：， ，； （2）解：当时， ， ； （3）解：由题意得 ， ， ， ， 解得：或， 故m的值为或． 【变式3】（24-25八年级上·河北保定·期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与轴，轴分别交于点，，点为直线与轴交点． (1)直接写出点的坐标； (2)设点为直线，在第一象限的交点，其横坐标为．当的面积与的面积相等时： ①求点的坐标； ②直接写出此时的值． 【答案】(1) (2)①点坐标为；② 【分析】本题考查了一次函数与坐标轴的交点，平面直角坐标系内点的坐标特征，平面直角坐标系内两点之间的距离，坐标与图形，掌握一次函数与坐标轴的交点是解题的关键． （1）令，得到，即可得到答案； （2）①根据题意得出，求出的值，即可得到点的坐标； ②将代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：点为直线与轴交点 令， ， ， （2）解：①点横坐标为，点在直线上， ， 直线与轴，轴分别交于点，， 令，则， ， 令，则， 解得， ， ， ， ， ， ， 解得， ； ②把代入得， 解得：. 【考点8 一次函数的实际应用】 【例8】（24-25八年级下·湖北咸宁·期末）某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/件，销售人员对该产品一个月（30天）销售情况记录绘成图象．图中的折线表示日销量y（件）与销售时间x（天）之间的函数关系，若线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件． (1)第26天的日销量是______件，这天销售利润是______元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围； (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【答案】(1)320；640 (2) (3)720元；8天 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用． （1）根据题意“线段表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件”，已知第22天的销售量，可求第26天的销售量；再根据日利润单件利润 日销售量，求出当天总利润即可； （2）根据点的坐标，利用待定系数法可求出直线、的函数关系式，进而可以判断得解； （3）由函数的图象可得，当时，可求出最高销售量，即可求最大利润；根据日销售量日销售利润每件的利润，可求出日销售量，将其分别代入、的函数关系式中求出x值，将其相减加1即可求出日销售利润不低于660元的天数． 【详解】（1）解：由题意，∵时间每增加1天，日销量减少5件，且第22天的销售量为340件， ∴第26天的日销售是（件）， ∴这天销售利润是（元）， 故答案为：320，640； （2）解：设直线的函数关系式为，将代入， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为； 当，； 当，， ∴过，， 设直线的函数关系式为， ∴， ∴， ∴直线的函数关系式为， 令， 解得， ∴直线和直线的交点坐标为， 综上，y与x的函数关系式； （3）解：由函数的图象可得，当时，日销售为， 此时日销售利润最大为：（元）； 又∵每件利润为：（元）， ∴当销售利润为660元时，销售量为330件， ∴令，则有或， ∴或， ∴日销售利润不低于660元的天数在17到24之间， ∴（天）， ∴日销售利润不低于660元的天数共有8天． 【变式1】（24-25八年级下·河北廊坊·期末）近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱．古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示．设购进甲系列汉服x套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元． 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 (1)求y与x的函数关系式． (2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【答案】(1) (2)至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元 【分析】本题主要考查了一次函数与不等式的综合运用，根据题意找出正确的等量关系是解题关键． （1）若购进甲系列汉服套，则购进乙系列汉服套，然后根据题意可得出甲乙两款售出后每件的利润，据此进一步列出关系式化简即可； （2）根据题意首先表示出购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元，据此进一步列出不等式，求出的范围即可得出至少购进甲系列汉服的数量，然后利用一次函数的性质进一步求出最大利润即可． 【详解】（1）解：∵购进甲系列汉服套， ∴购进乙系列汉服套， 根据题意得，， 化简得：， 即与的函数关系式为：； （2）解：由题意得：购进甲系列汉服的费用为元，购进乙系列汉服的费用为元， ∴， 解得：， ∴至少要购进甲系列汉服套． 又，其中， ∴随的增大而减小， ∴当时，有最大值，此时最大值为：， ∴若售完全部的甲、乙系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元， 答：至少要购进甲系列汉服套，若售完全部的甲、乙两个系列汉服，则汉服店可获得的最大利润是元． 【变式2】（24-25八年级下·黑龙江牡丹江·期末）甲、乙两车分别从相距360千米的、两地同时相向出发，甲车到达地，停留1小时后，返回地，返回时速度是原速的倍，乙车匀速从地驶往地．如图表示甲、乙两车距地的路程（千米）与两车行驶时间（小时）的函数关系． (1)乙车的速度是______千米/时，甲车返回时的速度是______千米/时； (2)求甲车从地返回地的过程中，与的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案． 【答案】(1)60，120 (2) (3)或或 【分析】本题考查了实际问题的函数图像，一次函数的应用，一元一次方程的应用，看懂函数图象是解题的关键． （1）根据速度路程时间求解即可； （2）用返回时行驶的速度表示即可； （3）根据题意分3种情况讨论，分别列出算式或方程求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，乙车的速度是（千米/时）， 甲车从A地到B地的速度是（千米/时）， 甲车返回时的速度是（千米/时）； （2）解：根据题意得，， （小时）， ∴（小时）， ∴自变量的取值范围是； （3）解：当甲，乙相遇前，根据题意得，（小时）； 当4小时时，甲车到达B地， 当甲、乙两车甲，乙相遇后第一次相距260千米时，（小时）； 当甲返回时，， 解得（小时）， 综上所述，出发或或小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米． 【变式3】（24-25七年级下·河南郑州·期末）为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过部分 元 超过，不超过部分 元 超过部分 元 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准． (1)小明同学家年用水，应交水费元．写出与之间的关系式； (2)小明家年交了元水费，求年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查一次函数的应用，根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯y与x之间的关系式是解题的关键． （1）根据第一阶梯收费标准计算即可； （2）根据“阶梯式水价”收费标准，写出各阶梯与之间的关系式，当时，求出对应的值即可； （3）适当调整各阶梯的水量标准，既能减轻居民经济负担，又能引导居民合理用水，从这方面提出合理的建议即可． 【详解】（1）解：当时，与之间的关系式为． （2）当时，与之间的关系式为， 当时，与之间的关系式为， 当时，解得舍去)， 当时，解得， 年小明家用了水． （3）建议：适当调整各阶梯的水量标准； 原因：随着生活水平提升和用水设备普及，部分家庭用水量增长较快．若阶梯水量标准过低，大量家庭易进入高收费阶梯，增加经济负担；适当调整标准可平衡居民用水成本与节水意识，既减轻负担又引导合理用水． 【考点9 一次函数与几何图形的综合】 【例9】（25-26七年级上·全国·期末）如图所示，直线与x轴，y轴交于A，B两点，过点作轴于点D，连接．试说明：，且． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了余角、补角及其性质；一次函数图象与坐标轴交点问题；三角形全等的判定和性质．根据直线求出的长度，然后根据C点坐标求出和，再利用证明，由三角形全等的性质得出，再根据余角的性质即可求出，即可解答． 【详解】解：令，即， 解得， ∴，即， 令，得， ∴，即， ∵点作轴 ∴， ∴， ∴． 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式1】（23-24八年级下·贵州黔东南·期末）小明学了正方形和一次函数后，很感兴趣．他利用相关知识对如下问题进行探究．如图，在平面直角坐标系中，已知一次函数的图象与x 轴、y轴分别交于A、B两点，以为边在第二象限内作正方形． (1)【初步探究】填空：点A 和点B的坐标分别是 ， ； (2)【综合解决】求点 C、D的坐标； (3)【拓展延伸】连接、，设两对角线交于点 M，试探究在x轴上是否存在一点 P，使的值最小？若存在，请在图中画出点M、点P的位置并直接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)存在，点P的坐标为 【分析】（1）根据一次函数的解析式为，令求解可得点A的坐标，令求解可得点B的坐标； （2）作轴，轴，由正方形的性质和等角的余角相等可证，进而可求点 C、D的坐标； （3）作点关于轴的对称点，，由中点坐标公式可得点的坐标，进而可得点的坐标，用待定系数法可求出直线的解析式，令求解可得点P的坐标； 【详解】（1）解：令，， 解得， ∴点； 令，， ∴点； 故答案为：． （2）如图，作轴，轴，垂足分别是E、F， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． （3）存在，点M、点P的位置如图所示，点P的坐标为． 作点关于轴的对称点，， ∴，， 连接与轴交于点，此时且值最小， 设直线的解析式为， 将点代入解析式得， ∴解得， ， 令，解得， ∴点P的坐标为． 【变式2】（24-25七年级下·黑龙江大庆·期末）如图，直线与x轴，y轴分别交于点A，B．点C在y轴正半轴上，把沿折叠，点B恰好落在x轴负半轴上的点D处．直线交直线于点M．点P是y轴正半轴上的一动点，点Q是直线上的一动点． (1)填空：点A，B，C坐标分别为A_______，B_______，C______． (2)求的面积， (3)连接．与全等（点P与点C不重合），直接写出所有满足条件的点Q坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)所有满足条件的点Q坐标为或或 【分析】（1）当时，，即，当时，，解得，即，由勾股定理可得，设，则，由折叠的性质可得，，求出，再由勾股定理计算即可得解； （2）求出直线的表达式为，联立求得，再由三角形面积公式计算即可得解； （3）用勾股定理逆定理证明得出为直角三角形，且，分三种情况：当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴；当点在的延长线上时，当时，过点作轴；当点在上时，当；分别利用全等三角形的性质求解即可． 【详解】（1）解：在中，当时，，即， 当时，，解得，即， ∴，， ∴， 设，则， 由折叠的性质可得，， ∴， 由勾股定理可得：， ∴， 解得：， ∴； （2）解：设直线的表达式为， 由（1）可得：，， 代入表达式可得， 解得， ∴直线的表达式为， 联立，解得， ∴， ∴； （3）解：由（1）（2）可得：，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵与全等（点P与点C不重合）， ∴当点在的延长线上时，当时，过点作轴，过点作轴，如图： ， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在的延长线上时，当时，过点作轴，如图： ， 由题意可得：，， ∴， ∵， ∴， 把代入可得，， 此时； 当点在上时， ∵点与点不重合， ∴不存在； 当点在上时，当，如图： ， ∵， ∴， ∴把代入可得，， 此时； 综上所述，所有满足条件的点Q坐标为或或． 【变式3】（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）建立模型：如图1，等腰中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，可证明得到． 模型应用： (1)如图2，直线与轴、轴分别交于、两点，经过点和第一象限点的直线，且，求点、点和点的坐标； (2)在（1）的条件下，求的面积； (3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在轴左侧的平面内是否存在一点，使得是以为直角边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)， (2)10 (3)存在，点的坐标为或或，理由见解析 【分析】（1）过点C作轴于点H，根据直线解析式得出A、B坐标，根据直角三角形两锐角互余得出，利用“可证得”，得到，即可求解； （2）连接，由（1）中A、B、C的坐标可知，再利用 即可求解； （3）设，分情况计算即可． 【详解】（1）解：如图，过点C作轴于点H， 直线与轴、轴分别交于、两点， 当时，；当时，， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 点C的坐标为； （2）连接， 由（1）可知，， ， ； （3）存在，理由如下： 设， 当点P为直角顶点，Q在上方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 同（1）可证， ， ， 解得， ； 当点P为直角顶点，Q在下方时，过点P作轴交x轴于点T，过点作交的延长线于点K，如图： 可得， ， ， ； 当O为直角顶点，过点P作轴交y轴于点K，过点作于点T，如图： 可得， ， ， ； 综上所述，点Q的坐标为或或 一、单选题 1．（24-25八年级下·上海嘉定·期末）下列函数中，是的一次函数的是 （   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的定义，根据一次函数的定义，形如（、为常数，且）的函数为一次函数．需逐一验证各选项是否符合该形式． 【详解】解：A.，其中，，符合一次函数的定义． B.，x的次数为2，不符合一次函数的形式． C.，即，x的次数为，不符合一次函数中x次数为1的要求． D.，可视为，其中，不满足的条件，属于常函数而非一次函数． 故选：A． 2．（24-25八年级下·云南普洱·期末）已知点和点都在直线上，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的性质是解题关键．根据一次函数的增减性是解题关键． 【详解】解：∵在一次函数中，， ∴随的增大而减小， 又∵点和点都在直线上，且， ∴， 故选：A． 3．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）一次函数，下列结论正确的是（ ） A．的值随值的增大而增大 B．它的图象经过一、二、三象限 C．当时， D．它的图象必经过点 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，熟练掌握一次函数的图象和性质是解题的关键． 根据一次函数的图象和性质，逐项判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴A、的值随值的增大而减小，故本选项错误，不符合题意； B、它的图象经过一、二、四象限，故本选项错误，不符合题意； C、当时，，故本选项正确，符合题意； D、当时，，它的图象必经过点，故本选项错误，不符合题意； 故选：C 4．（23-24七年级下·重庆·期末）小舒和妈妈在沙滨路沿江跑步，中途休息了一阵后，用相同速度继续跑，第分钟时运动结束．所走路程用表示，出发时间用表示，与的关系如图所示．下列说法中，正确的是（    ） A．她们一共走了4500米 B．在跑步中她们的速度是150米/分 C．的值为15 D．她们中途休息了2.5分钟 【答案】D 【分析】本题考查了函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用方程思想和数形结合的思想解答．观察函数图象可知，函数的横坐标表示时间，纵坐标表示路程，根据图象上特殊点的意义即可求出答案． 【详解】解：A、她们一共走了3000米，故本选项不符合题意； B、在跑步中她们的速度是（米/分），故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、她们中途休息了（分钟），说法正确， 故选项符合题意． 故选：D． 5．（24-25八年级上·四川成都·期末）一次函数与的图象如图所示，下列结论中正确的有（　　） ①函数中，随x的增大而减小； ②函数的图象不经过第三象限； ③函数的图象不经过第一象限； ④． A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】B 【分析】本题考查的是一次函数图象与性质，根据一次函数的图象与性质逐项分析判断即可． 【详解】解：①由图象可知：函数中，随x的增大而减小；故①正确； ②由图象可知，图象不经过第二象限；故②错误； ③由图象可知：；则函数的图象经过第二、三、四象限，不经过第一象限；故③正确； ④由图象可知，两函数图象交点的横坐标为3，故，所以，故④正确； 所以结论正确的有3个， 故选：B． 二、填空题 6．（24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·期末）若点，都在直线上，则与的大小关系是 ． 【答案】 【分析】根据，可得y随x的增大而增大，即可求解． 本题主要考查了一次函数的增减性，熟练地掌握一次函数的图像及其性质是解题的关键． 【详解】解：∵中， ， ∴y随x的增大而增大， ∵，， ，     ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级下·北京密云·期末）在平面直角坐标系中，直线与轴的交点坐标为 ，与两坐标轴围成的三角形的面积为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求一次函数与坐标轴交点问题，掌握坐标轴上点的坐标特征是解题关键． 分别令，求出直线与轴的交点坐标，即可求解面积． 【详解】解：当时，， 解得：， ∴与轴的交点坐标为， 当， ∴与轴的交点坐标为， ∴与两坐标轴围成的三角形的面积为：， 故答案为：，． 8．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知直线与直线平行，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 根据两条直线平行时，k相等但b不同列方程求解即可． 【详解】解：∵直线与直线平行， ∴且 ∴且， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·河北沧州·期末）关于一次函数，给出下列结论：①图象经过第一，二，四象限；②图象与轴交于点；③图象向下平移个单位经过原点；④点在函数图象上其中正确的说法是 ．（只填序号） 【答案】①③/③① 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与系数的关系以及坐标与图形变化平移，逐一分析各说法的正误是解题的关键． 由，，利用一次函数图象与系数的关系，可得出一次函数的图象经过第一、二、四象限； 代入，可求出的值，进而可得出一次函数的图象与轴交于点；代入，可求出的值，进而可得出一次函数的图象与轴交于点，再利用平移，可得出将一次函数的图象向下平移个单位经过原点；代入，可求出的值，由，可得出点不在函数图象上． 【详解】解：，， 一次函数的图象经过第一、二、四象限，说法正确； 当时，， 解得：， 一次函数的图象与轴交于点，说法不正确； 当时，， 一次函数的图象与轴交于点， 将一次函数的图象向下平移个单位经过原点，说法正确； 当时，， ， 点不在函数图象上，说法不正确． 综上所述，正确的说法有． 故答案为：． 10．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，点P在y轴上（点P在点B下方且不与原点重合），并且使以点A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，则点P到原点的距离为 ． 【答案】4或或 【分析】本题考查了一次函数图像上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关知识点是解答的关键．先求出点A、B坐标，再画出示意图，根据等腰三角形的性质求出点P坐标即可． 【详解】解：一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B， ，， ， 当时，根据等腰三角形的三线合一，， ∴， 当时，， ∵点P在点B下方且不与原点重合， ∴可以看作点向下平移个单位长度所得， ∴， 当垂直平分线段时，设长为，则， 由勾股定理得，， 即， 解得， ∴， 点P到原点的距离为：4或或． 故答案为：4或或． 三、解答题 11．（24-25八年级下·甘肃定西·期末）如图，一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点． (1)求的取值范围； (2)若该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象，求该一次函数的解析式． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一次函数的性质，正比例函数的性质，一次函数的平移问题． （1）根据一次函数k与b的特点列不等式组计算即可； （2）先根据正比例函数的特点求出m的值，再代入计算即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别与轴正半轴、轴负半轴相交于点， ∴， 解得：， ∴； （2）解：∵该一次函数的图象向上平移5个单位长度后可得某正比例函数的图象， ∴是正比例函数， ∴， 解得：， ∴． 12．（24-25八年级下·河北沧州·期末）已知y与x成正比例，当时，． (1)求y与x之间的函数关系式； (2)请判断点是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果，是这个函数图像上的两点，请比较与的大小． 【答案】(1) (2)不在，见解析 (3) 【分析】本题考查了正比例函数的性质、求函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，得到，结合点的坐标即可判断； （3）根据正比例函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：设y与x之间的函数关系式为． 由题意得，，解得， ∴与之间的函数关系式为； （2）解：不在，理由如下： 把代入，得． ∵， ∴点不在这个函数的图像上． （3）解：∵， ∴y随的增大而减小， ∵， ∴． 13．（23-24八年级下·北京密云·期末）已知一次函数与轴交于点，与轴交于点． (1)求点，点的坐标； (2)点在轴上，是以为腰的等腰三角形，直接写出符合题意的点的坐标． 【答案】(1) (2)或或 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、等腰三角形性质和勾股定理等知识，熟练掌握这些知识点并灵活运用是解决问题的关键． （1）按照求一次函数与坐标轴的交点解法解答即可得到答案； （2）画出图形，由等腰三角形性质及勾股定理求解即可写出点的坐标． 【详解】（1）解：一次函数与轴交于点，与轴交于点， 令，得，则；令，得，则； ∴； （2）解：根据题意，作出等腰，如图所示： 当时，点与点关于轴对称，即； 在中，由勾股定理可知， 当时，分两种情况： 当点在轴负半轴上时，则，即； 当点在轴正半轴上时，则，即； 综上所述，点的坐标为或或． 14．（24-25八年级下·河南平顶山·期末）兄弟俩赛跑，哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．已知弟弟每秒跑，哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为，弟弟所跑的路程为． (1)直接写出关于的函数关系式，并在如图所示的平面直角坐标系中画出函数的图象； (2)根据图象回答下列问题： ①当秒时，___________跑在前面(填“哥哥”或“弟弟”)；当___________秒时，哥哥追赶上弟弟； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为___________； ③___________先跑过20m，___________先跑过100m．(填“哥哥”或“弟弟”) 【答案】(1)图见解析 (2)①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥 【分析】本题考查了列函数关系式，画函数图象，根据函数图象获取信息，数形结合是解题的关键； （1）根据题意列出函数关系式，即可求解； （2）①根据函数图象，时，弟弟的路程大于哥哥的路程，则弟弟跑在哥哥的前面，根据函数图象可得两人路程相等时，； ②根据①的结论，即可求解； ③根据函数图象可得时，两人路程为米，哥哥追赶上弟弟，则米之前是弟弟在前面，米后是哥哥在前面，即可求解． 【详解】（1）解：哥哥每秒跑．设哥哥出发秒后，哥哥所跑的路程为， ∴ 哥哥先让弟弟跑，然后自己才开始跑．弟弟每秒跑，哥哥出发秒后，弟弟所跑的路程为． ∴ 如图， （2）①根据图象可知：当秒时，弟弟跑在前面，当9秒时，哥哥追赶上弟弟；； ②当哥哥跑在弟弟的前面时，时间的取值范围为； ③弟弟先跑过20m，哥哥先跑过100m． 故答案为：①弟弟，9；②；③弟弟，哥哥． 15．（24-25八年级下·全国·期末）某公司推销一种产品，设x（件）是推销产品的数量，y（元）是推销费．如图所示，图中表示了公司每月付给推销员推销费的两种方案，根据图中所示信息解答下列问题： (1)写出与对应的二元一次方程组；（不考虑取值范围） (2)请直接写出（1）中方程组的解，并解释的含义； (3)解释图中表示的两种方案是如何付推销费的； (4)如果你是推销员，应如何选择付费方案？ 【答案】(1) (2)当销售300件时，两种付费方式相同，都是6000元 (3)第一种付费方案：没有底薪，每推销一件付20元推销费；第二种付费方案：底薪3000元，每推销一件付10元推销费 (4)要根据自己的推销能力，如果估计每月能推销300件以上，就选第一种付费方案；如果认为自己每月推销不了300件，就选第二种付费方案 【分析】本题考查了一次函数的应用，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）利用待定系数法求出，其对应的二元一次方程是；，其对应的二元一次方程是，即可得解； （2）解函数图象即可得解； （3）根据函数图象分析即可得解； （4）根据函数图象分析即可得解． 【详解】（1）解：依据题意，设，， ∵过点， ， 解得， ，其对应的二元一次方程是； 经过点和点， ∴， 解得， ，其对应的二元一次方程是， ∴二元一次方程组是； （2）解：由图可知方程组的解为，点的含义是当销售300件时，两种付费方式相同，都是6000元． （3）解：第一种付费方案：没有底薪，每推销一件付20元推销费；第二种付费方案：底薪3000元，每推销一件付10元推销费； （4）解：要根据自己的推销能力，如果估计每月能推销300件以上，就选第一种付费方案；如果认为自己每月推销不了300件，就选第二种付费方案． 16．（24-25八年级下·河南安阳·期末）问题：探究函数的图象与性质．数学兴趣小组根据学习一次函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究． (1)在函数中，自变量可以是任意实数，如表是与的几组对应值． ．．． 0 1 2 3 4 ．．． ．．． 0 1 2 3 4 2 1 0 ．．． ①表格中的值为___________； ②若为该函数图象上的点，则___________． (2)在平面直角坐标系中，描出上表中的各点，画出该函数的图象． (3)结合图象回答下列问题： ①函数的最大值为___________； ②写出该函数的一条性质：___________． 【答案】(1)①3；② (2)图见解析 (3)①4，②关于轴对称 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，采用数形结合的思想是解此题的关键． （1）①代入的值计算即可得出的值；②把代入函数解析式计算即可得解； （2）描点，连线即可； （3）①根据函数图象即可得解；②根据函数图象即可得解． 【详解】（1）解：①当时，，即； ②∵为该函数图象上的点， ∴， 解得：； （2）解：描点，画出函数的图象如图： （3）解：①由函数图象可得：函数的最大值为4； ②由函数图象可得：该函数的一条性质：关于轴对称（答案不唯一）． 9 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03一次函数的图象和性质 内容导航 串讲知识：思维导图串讲知识点，有的放矢 围重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 食举一反三：核心考点能举一反三，能力提升 回复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 卜》思维导图串知识 知识点01函数的概念 知识点02一次函数的表达式 知识点 知识点03一次函数的图象与性质 知识点04一次函数的实际应用 【考点1一次函数的定义】 一次函数的图象和性质 【考点2一次函数的图象和性质】 【考点3利用一次函数的增减性求解】 【考点4一次函数图象的共存问题】 【考点5求一次函数的表达式】 考点 【考点6画一次函数的图象】 【考点7一次函数与面积问题】 【考点8一次函数的实际应用】 【考点9一次函数与几何图形的综合】 重点速记 属知识点01函数的概念 ·知识点：在一个变化过程中，有两个变量x和y,如果对于x的每一个确定的值，y都有唯一确定的值与 之对应，那么就说y是x的函数，x是自变量。 知识点02一次函数的表达式 1/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 -知识点：形如y=+b(k,b为常数，k≠0)的函数叫做一次函数。当b=0时，y=(k≠0)叫做正 比例函数。 局知识点03一次函数的图象与性质 -知识点：一次函数y=a+b的图象是一条直线，可通过两点法（如(0，b)和(，0)画出。当心0时，y 随x的增大而增大；当k<0时，y随x的增大而减小。b决定直线与y轴的交点(O,b)。 圖知识点04一次函数的实际应用 。知识点：利用一次函数解决实际问题，如行程问题、成本利润问题、方案选择问题等，需先建立函数模型， 再结合图象或性质求解。 ●●●核心考点举一反三 【考点1一次函数的定义】 【例1】(24-25八年级下·辽宁营口期末)下列函数中，是一次函数的是() A.y=1 B.y=50-0.1x C.S=a2 D.y=kx+b 【变式1】（2425八年级上·安徽池州期末)在下列函数解析式中，①y=x;②y=-2x;③y=7-3x; ④y=-(红+2x-3引：@y一定是x的一次函数的有()个. A.5 B.4 C.3 D.2 【变式2】(24-25八年级下·云南红河期末)已知函数y=(m-2)xm-3是关于x的一次函数，则m的值为() A.-2 B.2 C.±2 D.4 【变式3】(24-25八年级下·广东汕头期末)若y=(m+1x2m+1是关于x的一次函数，则m的值为() A.1 B.-1 C.±1 D.±2 【考点2一次函数的图象和性质】 【例2】（24-25八年级下·云南红河·期末)关于一次函数y=3x-5的图像，下列结论正确的是() A.图像与x轴的交点坐标为(0，-5) B.若点A(-3,m、点B(1,n)在函数图像上，则m>n C.图像经过第二、三、四象限 D.点3,4)在图像上 【变式1】(2425八年级下·河北秦皇岛·期末)关于直线y=-2x+4,以下说法正确的是() A.直线经过第一、二、三象限 B.直线与x轴交点坐标为4,0) 2/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C.直线向下平移3个单位长度得到的直线解析式为y=-2x+7 D.将直线沿x轴翻折得直线y=2x-4 【变式2】(24-25八年级下·山东临沂·期末)对于一次函数y=2x-1,下列结论中正确的个数是() ①它的图象与y轴交于点(0，-1)，②y随x的增大而减小，③当x>时，y<0,④它的图象经过第一、二、 2 三象限. A.1 B.2 C.3 D.4 【变式3】(24-25八年级下·湖北咸宁·期末)关于一次函数y=(a-2)x+b,现给出以下结论： ①当a>2时，y的值随着x的值的增大而增大； ②当a>2,b>0时，该函数图象经过第一、二、三象限： ③将该函数图象向下平移2个单位长度后得到y=2x+1,则a=4,b=3; ④当b=a时，无论a取何值，直线y=(a-2)x+b一定过定点(-1,2). 其中正确的是() A.①②③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④ 【考点3利用一次函数的增减性求解】 【例3】(24-25八年级下·黑龙江七台河期末)若一次函数y=-3x+b图象上有两个点P(1,m),Q(-2,n), 则m,n的大小关系是：mn(填“>”，“=”或“<”) 【变式1】(24-25八年级下·湖南湘潭·期末)已知一次函数y=-4x+1,若-2≤x≤1，则y的最小值 为 【变式2】(24-25八年级下海南期末)已知函数y=3x-5,当自变量x的取值范围是-3≤x≤5时，y的 最大值为」 【变式3】(24-25八年级下山东日照.期末)一次函数y=+3(k为常数，且k≠0)，当-3≤x≤4时， y的最大值是？，则k的值是 【考点4一次函数图象的共存问题】 【例4】(24-25八年级下·山东临沂期末)直线y,=mx-n2和y2=-mx+n的图象可能是() 3/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1】(24-25八年级上·安微池州期末)y关于x的一次函数y=ax+b和y=bx+a在同一平面直角坐 标系中的图象可能是() 【变式2】(24-25八年级下·河南信阳·期末)下列表示一次函数y=ax+b与正比例函数y=abr(a,b为常 数，且ab≠0)的图象的是() 【变式3】(24-25八年级下·四川凉山期末)两直线y=ax+b与y2=bx+a在同一坐标系中的图象可能是() 、 【考点5求一次函数的表达式】 【例5】(24-25八年级下河北沧州期末)己知y与x成正比例，当x=-1时，y=4. 4/15 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)求y与x之间的函数关系式： (2)请判断点A(-2,6)是否在这个函数的图像上，并说明理由； (3)如果P(m,y),Q(m+1,y是这个函数图像上的两点，请比较y与的大小. 【变式1】(24-25八年级下广西来宾期末)已知y+2与x成正比，且x=2时，y=6. (1)求y关于x的函数表达式： 2当x=时，求y的值； 4 (3)将所得函数的图象平移，使它过点(-2,1，求平移后图象的表达式。 【变式2】(23-24八年级上甘肃兰州期末)如图所示，点A的坐标为(-1,0)，点B的坐标为0,4). YA A (I)求过A,B两点直线的函数表达式： (2)过点B作直线BP与x轴交于点P,且使OP=2OA,求△ABP的面积. 【变式3】(23-24八年级下·河北石家庄·期末)如图，在平面直角坐标系中，点A(2,m)在直线y=4x-5上， 过点A的另一条直线交y轴于点B(0,6). =4x-5 B (I)求直线AB的函数表达式. (2)求ABC的面积. (3)若点P(1,y)在线段AB上（可与点A,B重合），点Q(t-1,y)在直线y=4x-5上，求y-y2的最小值. 【考点6画一次函数的图象】 【例6】(2425八年级下青海玉树期末)已知一次函数y=- 2x+2. 5/15 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 4 3 -5-4-3-2-10 1 2 345 3 5 (1)在平面直角坐标系中，画出该函数的图象； ②根据函数图象。方程-x+2=0的解为 【变式1】(24-25八年级下·福建泉州期末)在平面直角坐标系中，已知一次函数y=-2x+4,完成下列问 题： '本 4 3 -- 2 1 -5-4-3-2-10 1 2345 3 -4 为 (1)画出一次函数y=-2x+4的图象； (2)此函数图象与坐标轴围成的三角形的面积是 (3)将直线y=-2x+4沿y轴向下平移3个单位长度，求平移后的直线与x轴的交点坐标. 【变式2】(24-25八年级下.河北张家口期末)已知函数y=-x+3. (①)填表，并在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； -2 y=-x+3 -1 … 6/15 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 01 (2)当-1≤x<2时，求y的取值范围. 【变式3】(2425八年级上山东青岛期末)小颖根据学习一次函数的经验，对函数y=x+1-1的图象与 性质进行了探究.下面是小颗的探究过程，请你补充完整。 5432912345x (1)列表： -3 -2 -1 0 1 2 y 2 1 m -10n2 ①根据函数的关系式和表中的数据，可以计算m=-,n=-: ②若点Aa,c和点B(b,c是该函数图象上的两点，则a+b=-; (2)描点并画出该函数的图象： (3)请写出该函数图象的性质（至少两条）； (4)若直线y=x+b(k≠0)过点(1,2)，当这条直线与函数y=x+-1的图象有两个交点时，则b的取值范 围是 0 3 v=x 0 3 -2 -3 -X-2 0 7/15 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【考点7一次函数与面积问题】 【例7】(24-25八年级下·湖南永州期末)如图，直线：y=-x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点， VA B (1)求A、B两点的坐标； (2)求AOB的面积. 【变式1】(24-25八年级上·广西梧州期末)如图，在平面直角坐标系中，直线l:y=-x+3与x轴、y轴 分别相交于A,B两点，E(m,-1)是直线上的一点，过点E的另一条直线l2:y=-2x+b与y轴相交于点C. B A E (1)求m,b的值； (2)求△BEC的面积. 【变式2】(23-24八年级上宁夏银川期末)如图，直线y=-3, x+3与y轴、x轴交于点A、B,点C在直 4 线AB上，点C的横坐标为m. AI B (I)求点A、B的坐标； (2)当m=1时，求aB0C的面积； (③)当Sax=Sm时，求m的能 【变式3】(24-25八年级上河北保定·期末)如图，在平面直角坐标系中，直线y=-2x+4与y轴，x轴分 别交于点A,B,点C为直线y2=kx-4k≠0)与y轴交点. 8/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (①)直接写出点C的坐标； (②)设点P为直线y,在第一象限的交点，其横坐标为Q.当AOB的面积与△PAC的面积相等时： ①求点P的坐标； ②直接写出此时k的值， 【考点8一次函数的实际应用】 【例8】(24-25八年级下·湖北咸宁.期末)某商店销售一种产品，该产品成本价为8元/件，售价为10元/ 件，销售人员对该产品一个月(30天)销售情况记录绘成图象.图中的折线0DE表示日销量y(件)与销 售时间x(天)之间的函数关系，若线段DE表示的函数关系中，时间每增加1天，日销量减少5件， 个y件) D 340 172230 (天) (1)第26天的日销量是 件，这天销售利润是 元； (2)求y与x之间的函数关系式，并写出x的取值范围： (3)销售期间日销售最大利润是多少元？日销售利润不低于660元的天数共有多少天？ 【变式1】(24-25八年级下河北廊坊期末)近年来，文旅业爆火出圈，尤其以“汉服文化”最为游客喜爱. 古城附近某汉服店同时购进甲、乙两种系列的汉服共300套，进价和售价如下表所示.设购进甲系列汉服x 套，该汉服店全部售完甲、乙两个系列汉服获得的总利润为y元. 汉服款式 甲系列 乙系列 进价（元/套） 60 80 售价（元/套） 100 150 (I)求y与x的函数关系式. (2)该汉服店计划投入2万元购进这300套汉服系列，则至少购进多少套甲系列汉服？若售完全部汉服，则 9/15 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 汉服店可获得的最大利润是多少元？ 【变式2】(2425八年级下·黑龙江牡丹江期末)甲、乙两车分别从相距360千米的A、B两地同时相向 出发，甲车到达B地，停留1小时后，返回A地，返回时速度是原速的号倍，乙车匀速从B地驶往A地。如 图表示甲、乙两车距B地的路程y(千米)与两车行驶时间x(小时)的函数关系. y(千米) 360 DE/E 456 x(小时) (1)乙车的速度是 千米/时，甲车返回时的速度是千米/时： (②)求甲车从B地返回A地的过程中，y与x的函数解析式，写出自变量的取值范围； (3)出发多少小时后，行驶中的甲、乙两车相距260千米？请直接写出答案。 【变式3】(24-25七年级下河南郑州期末)为了增强公民的节水意识，郑州市制定了居民用水“阶梯式水 价”收费标准，具体如下： 年用水量 收费标准 不超过180t部分 4.40元/t 超过180t,不超过300t部分 5.95元/t 超过3001部分 10.60元/t 小明同学是郑州市居民，他家用水符合居民用水“阶梯式水价”收费标准， (1)小明同学家2023年用水xt(x<180),应交水费y元.写出y与x之间的关系式： (2)小明家2024年交了911元水费，求2024年小明家用了多少 (3)请你从居民用水收费方面提出你的一点建议，并简单说明原因. 【考点9一次函数与几何图形的综合】 【例9】(25-26七年级上全国期未)如图所示，直线y-x+5与x轴，y轴交于4，B两点，过点 C(-7,2作CD⊥x轴于点D,连接CA.试说明：AC=AB,且AC⊥AB. 10/15