第03讲 分式（复习讲义，2考点7题型3重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦“分式”专题，覆盖分式的概念、性质、运算及化简求值等中考核心考点，构建“基础概念-运算规律-综合应用”的知识体系。通过考情剖析明确命题方向，考点解析梳理知识要点，真题训练突破运算难点，形成系统性复习路径。 亮点在于“重难突破”模块设计，如通过“已知特殊条件求分式值”培养学生运算能力和推理意识，“分式新定义问题”发展创新意识。分层练习从基础巩固到全国新趋势，配合典例变式训练，帮助学生高效掌握解题方法，教师可据此精准把控复习节奏，提升学生应考能力。

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第一章数与式 第03讲分式 目录(Ctrl并单击鼠标可跟踪链接) 01缩折瞻… 2 02●安1%reseseseseseeeecesessssesseeeceseeseseessseeseseeeseeesereceeseeseececeeeeeeeecegecceecececececcee奶 3 03新张 3 04瑞列 9 题型01分式有无意义的条件 命题点一分式的相关概念 题型02分式值为0的条件 命题点二分式的基本性质 题型01判断分式变形是否正确 题型01分式的乘除 命题点三分式的运算 题型02分式的加减 题型03分式的混合运算 题型04分式的化简求值 05被准 25 突破一已知特殊条件求分式的值 突破二分式运算的新定义问题 突破三分式运算的规律问题 06•题 37 基础巩因一→能力提升一→全国新趋势 -01- 考情剖析·命题前瞻 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 辽宁省卷 辽宁省卷 掌握分式的基本性质，能进行分 分式的运算 T16 T16 式加减、乘除，及混合运算，注 1/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 意运算顺序。 鞍山卷T17 丹东卷T19 盘锦卷T19 能对分式进行化简，并能代入适 分式的化简 锦州卷T17 当的数值进行求值；在化简过程 求值 阜新卷T17 中，体会数与式、运算与推理的 营口卷T17 逻辑关系。 抚顺、葫芦岛卷T19 本溪、铁岭、辽阳卷T19 分式相关考点围绕着分式运算、分式化简求值为主进行考察，题型以解答题为主，为每 年的必考内容，注重分式的加减乘除混合运算，要注意约分与通分的准确性，常与整式 命题预测 运算、因式分解结合考查， 综合性较强，但难度不大，注意合理运用运算律与混合运算 顺序。 02- 知识导航·网络构建 分式的定义 分式的相关概念 分式有无意义的条件 分式值为0的条件 约分 公因式、最简分式 分式的基本性质 通分 最简公分母 分式 分式的乘除 同分母 分式的加减 异分母 分式的运算 分式的乘方 分式的混合运算 分式的化简求值 2/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 -03- 考点解析·知识通关 知识·核心梳理 1.分式的定义 一般地，若A、B为整式，且除式B中含有字母，则称会为分式。 三要素：①形如4的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母。 2.分式有意义的条件：分母不等于零。若B≠0，则会有意义。 分式无意义的条件：分母等于零。若B=0,则会无意义。 3.分式的值为0的条件 分子等于零且分母不等于零。若A=0且B≠0，则后=0. 4.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 4-4:C(C≠0)或=4÷C(C≠0)，其中A,B,c均为整式 BB·C BB÷C 5.分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 合=浩-普=贵，骨=-浩=冷= 改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 6.分式的约分 1)分式的约分：根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分 式的约分。 2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 3)确定公因式的方法： ①取分子、分母系数的最大公因数作为公因式的系数； ②取相同因式的最低次幂作为公因式的因式。 分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，约分时分子、分母出现多项式，应先将多项式分 解因式再约分。 7.分式的通分 1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这 一过程叫做分式的通分。 3/16 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 分式加减运算的关键是通分，通分的关键是寻找最简公分母。 2)确定最简公分母的方法： 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母。 ①分母为单项式： a.取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数； b.取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. ②分母为多项式： a.对每个分母因式分解； b.找出每个出现的因式的最高次幂，它们的积为最简公分母： ℃.若有系数，求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数， 8.分式的加减法运算 回分玲式相弧减：分母不变，把分于有咖减名 2》异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。“±C=a以±bc-ad±bc b d bdbd bd 9.分式的乘除法运算 1)分式的乘法法则：分式乘分式，用分了的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 aca·C b d b.d 2)分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 a.c_ad_a…d b d bc b·c 10.分式的乘方运算 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。 （m为正整数，b≠0) b" 11.分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级 运算，按照从左到右的顺序进行。 真题·实战精练 1.(2025辽宁中考真题)计算：1÷，m 1 m+1m2+2m+1m3 2.(2024辽宁中考真题)计算：0.a-1+1 +二 a+l a2 a 4/16 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.(2025辽宁沈阳模拟预测)化简： x2+4x+4 x-1 克分直 真题·实战精练人 1.(2023辽宁营口中考真题)先化简，再求值： （a+2+2n),英m=i+n5. 2.(2023辽宁丹东中考真题)先化简，再求值： x2-2x+1x-1 3.(2025辽宁丹东·一模)先化简，再求代数式的值： a2+4a+4,其中 a+1 a-5-2+m60+( 4.(2025辽宁朝阳·二模)先化简，再求值： 1-5） x+4 -2x+1,其中x满足X-2x-24=0. x+4 -04 命题洞悉·题型预测 恶分相家 ~题型01分式有无意义的条件 点方法 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0.若B≠0，则合有意义。 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0.若B=0,则骨无意义。 【典例】1.(2025辽宁丹东模拟预测)若分式x有意义，则x的取值范围是 x-2 【典例】2.(2025辽宁沈阳一模)函数y=2x+的白变量x的取值范围是() B.具0 c月 D.22 1 A.≠0 【变式】1.(2025辽宁丹东二模)要使分式 一有意义，则x的取值应该满足的条件为 x+ 【变式】2.(2025辽宁沈阳三模)使分式。3有意义的条件是一 5/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式】3.(2025辽宁抚顺模拟预测)代数式Vr+2中x的取值范围是 x-5 ~题型02分式值为0的条件 方法 分子等于零且分母不等于零，两个条件需同时具备，缺一不可。若A=0且B≠0，则管-0。 群易特 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。 【典例】1. (2025辽宁抚顺模拟预测)若分式一的值为零，则x的值为一 x+1 【典例】2.(2025辽宁盘锦一模)若分式4的值为0，则x的值为 x-4 【变式】1.(2025辽宁丹东·模拟预测) 若分式-2的值为零，则x= 【变式】2.(2025辽宁辽阳·模拟预测)已知分式 x-3 =0,则x= 2x-6 质 ~题型01判断分式变形是否正确 点方法 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关 键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的。 舞易猪 运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式： ②隐含条件：分式的分母不等于0。 【典例】1.(2025辽宁丹东·模拟预测)根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是() A.bb+2 -a+2 B. a=a+2a bb+2b C.a=a D.-a+2=-a+2 b b2 b b 【典例】2.(2025辽宁鞍山三模)下列从左到右的变形中，一定正确的是() 6/16 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 4. b b-1 B. y(a+1)_y a a-1 x(a+1 x C.atb_1+b a2 D.x-1 =x-1 0 x-1 【变式】1.(2025辽宁沈阳·模拟预测)下列各式中，变形错误的是() A.22 B. -bb C.b36 D. b_b+3 -3a3a -2a2a a 3a aa+3 【变式】2.(2025辽宁丹东·二模)下列各式从左到右的变形正确的是() A.Bbm B.+xx a am 1-x=x-司 C. 0.1x-y=x-y x+0.2yx+2y D.(b-a)=a-b a-b 在算 ~题型01分式的乘除 点方法 分式的乘法法则：分式果分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。名。分 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 a.c a d a.d b d b c b·c 舞易精 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分 式或整式；若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘。 当分式与整式相乘除时，要把整式的分母看作1。 【典例】1.(2025辽宁本溪二模)分式2m+m的化简结果为() m-n m2-n2 A.-2m-2n B.2n-2m C.2m-2n D.2m+2n 【典例】2.(2025辽宁一模)化简：产-4x-2 x2+4x+4”x-1 【变式】1.(2025辽宁模拟预测)化简：a-L+a2-a a2+2a+1a+1 【变式】2.(2025辽宁大连模拟预测)化简：a+1·a-l a a2 7/16 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式]3.205辽宁筷报预0)若品，，x运算的结果为整式，测。中的式子可能是() 1 A.y-x B.y+x C. D.3x ·题型02分式的加减 点方法 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。“±S=a±9 bb b 2)异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。±S=ad±bc-ad±bc bd bdbd bd 舞易猪 当分式与整式相加减时，要把整式的分母看作1。 分式的加减法运算结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分。 2x一1的结果是 【典例】1.(2025辽宁大连一模)化简分式x二少x+y 【典例】2. (2025辽宁.一模)计算：1+a+b-a2-b2 a-b a2-2ab+b2 【变式】1.(2025辽宁大连模拟预测)计算1-2 x-1x2-1 的结果等于() 1 A.-1 B.x-1 D. x+1 x2-1 【变式】2.(2025辽宁丹东二模)计算 x-1-1+ 2-x x+2 x2-4 【变式】3.(2025辽宁沈阳一模)计算： 1+a+b a2-b2 a-b a2-2ab+b2' ·题型03分式的混合运算 皮方法 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同 级运算，按照从左到右的顺序进行。 分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。 【典例】1.(2025辽宁铁岭·二模)化简： 1+1）÷a2-12a-2 a)a a2-2a+l 8/16 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例】2.（2025辽宁盘锦三模)计算： x2+x 【变式】1.(2025辽宁铁岭.一模)计算： 1-1_）m2-6m+9 m-2 2m-4 【变式】2.(2025辽宁营口模拟预测)化简： 【变式】3.(2025辽宁抚顺模拟预测) 化简： ·题型04分式的化简求值 群易绪 分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值。化简时不能跨度太大，而缺少必要的 步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式=…”。 代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。 当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0。 【典例】1.(2025辽宁鞍山三模)先化简，再求值： 2a 2a-4 a-2 a2-4a+4’其中 (元-3.14)°+4sin30° 3 【典例】2. (2025辽宁洗阳二模)已知x-2y-2=0,求x+-x-x+-y+2+3的值. x2-4xy+4y2 【变式】1. (2025辽宁营口三模)先化简，再求值：一4，x+2上，其中x=2-2. x2-4x+4x+1x-2 【线式]2.2025江宁沈阳一酸)先化商.再球值：。二号-(a-小，其中a=3。 【变式】3.(2025辽宁抚顺三模)先化简： ÷8大4+4，再从-2,0,1,2中选取一个适 合的数代入求值. -05- 重难突破·思维进阶 突破一己知特殊条件求分式的值 【典例】1.若号子则的值为一 a+b 9/16 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【典例】2.已 3_2=3,则 2x-3y-xy x y xv+9v-6x 【变式】1. 若a-2b=0,且a≠0，则分式a+ 的值为 -b 【变式】2.已知m2-4m+1=0,则代数式值m2+ m38、 【变式】3.阅读理解 提洲句圈已奥号号求分式的名伯雀： a-3b [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t,得出α，b,c与t的关系，然后再代 入待求的分式化简即可； （①[解决问题设号-。=9=1，则a=3弘，6=56C=21,将它们分别代入 4b+2c 中并化简，可得分式 352 a-3b 4b+2c a-3b 的值为； 2拓混应用已角子首-名求分式”：识的值。 4x2+2xz-3y 突破二分式运算的新定义问题 【真例1.定义新运第：ae办-日分若：9-小=3，则5的能是 【典例】2.我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为 这个分式的巧整式.例如：4-8x_4x2】=4x,则称分式4-8x是巧分式，4x为它的巧整式 x-2 x-2 x-2 根据上述定义，解决下列问题 (1)下列分式中是“巧分式”的有 (填序号)： 2,@号 x+y 2)若分式r-4x+m (m为常数)是一个“巧分式”，它的“巧整式”为x-7,求m的值： x+3 6)若分式-2r+2x的巧整式为1-x. A ①求整式A. ②2x+4r+2x是巧分式吗？ A 【变式】1.定义：若分式A和分式B满足A-B=n(n为正整数)，则称A是B的“阶差分式”.例如： 3北3=3，我们称3x是3的3阶差分式， x-1x-1 x-1 x-1 10/16 第一章 数与式 第03讲 分式 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 3 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 分式的相关概念 题型01分式有无意义的条件 题型02分式值为0的条件 命题点二 分式的基本性质 题型01判断分式变形是否正确 命题点三 分式的运算 题型01分式的乘除 题型02分式的加减 题型03分式的混合运算 题型04分式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 25 突破一 已知特殊条件求分式的值 突破二 分式运算的新定义问题 突破三 分式运算的规律问题 06·优题精选·练能提分 37 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 分式的运算 辽宁省卷 T16 辽宁省卷 T16 / 掌握分式的基本性质，能进行分式加减、乘除，及混合运算，注意运算顺序。 分式的化简求值 / / 鞍山卷T17 丹东卷T19 盘锦卷T19 锦州卷T17 阜新卷T17 营口卷T17 抚顺、葫芦岛卷T19 本溪、铁岭、辽阳卷T19 能对分式进行化简，并能代入适当的数值进行求值；在化简过程中，体会数与式、运算与推理的逻辑关系。 命题预测 分式相关考点围绕着分式运算、分式化简求值为主进行考察，题型以解答题为主，为每年的必考内容，注重分式的加减乘除混合运算，要注意约分与通分的准确性，常与整式运算、因式分解结合考查，综合性较强，但难度不大，注意合理运用运算律与混合运算顺序。 考点一 分式的运算 1.分式的定义 一般地，若、为整式，且除式中含有字母，则称为分式。 三要素：①形如的形式；②A、B都是整式；③分母中必须含有字母。 2.分式有意义的条件：分母不等于零。若，则有意义。 分式无意义的条件：分母等于零。若，则无意义。 3.分式的值为0的条件 分子等于零且分母不等于零。若且，则=0． 4.分式的基本性质 分式的分子和分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变。 或，其中均为整式． 5.分式符号法则 分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变。 改变其中一个或三个，分式变为原分式的相反数。 6.分式的约分 1)分式的约分:根据分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做分式的约分。 2)最简分式：分子与分母没有公因式的分式，叫做最简分式。 3)确定公因式的方法： ①取分子、分母系数的最大公因数作为公因式的系数； ②取相同因式的最低次幂作为公因式的因式。 分式乘除运算的关键是约分，约分的关键是确定公因式，约分时分子、分母出现多项式，应先将多项式分解因式再约分。 7.分式的通分 1)分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母分式，这一过程叫做分式的通分。 分式加减运算的关键是通分，通分的关键是寻找最简公分母。 2)确定最简公分母的方法： 通常取各分母系数的最小公倍数与所有字母因式的最高次幂的积作为公分母。 ①分母为单项式： a.取单项式中所有系数的最小公倍数作为最简公分母的系数; b.取单项式中每个字母出现的最高次数作为最简公分母中该字母的次数. ②分母为多项式: a.对每个分母因式分解; b.找出每个出现的因式的最高次幂,它们的积为最简公分母; c.若有系数,求各分母系数的最小公倍数作为最简公分母的系数. 8.分式的加减法运算 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。 9.分式的乘除法运算 1）分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 2）分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 10.分式的乘方运算 分式的乘方运算法则：分式的乘方是把分子、分母分别乘方。为正整数， 11.分式的混合运算 含有分式的乘方、乘除、加减的多种运算叫做分式的混合运算。 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行。 1．（2025·辽宁·中考真题）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键．先将除法化为乘法，再进行分式的减法计算． 【详解】解： ． 2．（2024·辽宁·中考真题）计算：． 【答案】1 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握知识点是解题的关键．先计算乘法，再计算加法即可． 【详解】解： 原式 ． 3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题考查分式的化简，掌握相关运算法则是解题的关键．运用分式的运算法则运算即可． 【详解】 考点二 分式的化简求值 1．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式 【分析】先根据分式的混合计算法则化简，然后根据特殊角三角函数值和二次根式的性质求出m的值，最后代值计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值，求特殊角三角函数值，化简二次根式等等，正确计算是解题的关键． 2．（2023·辽宁丹东·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，1 【分析】先将分子分母因式分解，除法改写为乘法，括号里面通分计算，再根据分式混合运算的运算法则和运算顺序进行化简，根据负整数幂和0次幂的运算法则，求出x的值，最后将x的值代入计算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【点睛】本题考查分式的化简求值，熟练掌握平方差公式、完全平方公式和分式的混合运算法则，以及负整数幂和0次幂的运算法则是解题的关键． 3．（2025·辽宁丹东·一模）先化简，再求代数式的值：，其中． 【答案】；． 【分析】本题考查了分式的化简求值，实数的混合运算，特殊角的三角函数值和负整数指数幂等知识点，能正确根据实数和分式的运算法则进行计算是解此题的关键，先根据分式的加减法法则进行计算，再根据分式的除法变成乘法，算乘法，求出a的值，最后代入求出答案． 【详解】解： ， ， 当时，原式． 4．（2025·辽宁朝阳·二模）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，解一元二次方程，熟知相关计算法则是解题的关键：先根据分式的混合计算法则化简，再解一元二次方程得到，根据分式有意义的条件确定的值，再代值计算即可． 【详解】解：原式 ， ， ， 当时，分式无意义， 把代入得： 原式 命题点一 分式的相关概念 ►题型01 分式有无意义的条件 1.分式有意义的条件：分式的分母不等于0. 若，则有意义。 2.分式无意义的条件：分式的分母等于0. 若，则无意义。 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）若分式有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查分式有意义的条件，根据分式的分母不为0求解即可． 【详解】解：要使分式有意义，则，即． 故答案为： 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·一模）函数的自变量x的取值范围是（    ） A．x≠0 B．x≥且x≠0 C．x＞ D．x≥ 【答案】B 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于，分母不等于，列不等式求解． 【详解】解∶根据分式有意义可得：， 根据二次根式有意义可得：，解得： ， 综合可得：且． 故选B． 【点睛】本题主要考查求函数自变量的取值范围，解决本题的关键是要熟练掌握分式有意义和二次根式有意义的条件． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·二模）要使分式有意义，则的取值应该满足的条件为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件．根据分式有意义的条件：分母不为零，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意可得：， 解得：， 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）使分式有意义的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据题意，可得，进而即可求解． 【详解】解：∵分式有意义， ， ， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）代数式中x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查代数式有意义，根据二次根式的被开方数为非负数，分式的分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， ∴且； 故答案为：且． ►题型02 分式值为0的条件 分子等于零且分母不等于零，两个条件需同时具备，缺一不可。若且，则=0。 分式的值为0，必须保证分母≠0，否则分式无意义。 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）若分式的值为零，则x的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了分式值为0的条件，明确分式的值为0时，分子为0，分母不为0是解题的关键； 根据分式的值为0时，分子为0，分母不为0求解即可． 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：； 故答案为：1． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·一模）若分式的值为0，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查分式的值为零的条件，根据分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零求解即可． 【详解】解：∵分式的值为0， ∴，且， 解得， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测） 若分式的值为零，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的值为0，掌握分式的值为0的条件即可． 【详解】解：根据题意可知， 解得． 故答案为：2． 【变式】2．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知分式，则 ． 【答案】 【分析】本题考查分式值为零的条件，理解分式值为零（分子为零且分母不为零）的条件是解题关键． 根据分子为零且分母不为零列不等式组计算求解． 【详解】解：由题意得：， 解①得：， 解②得：， ∴， 故答案为：． 命题点二 分式的基本性质 ►题型01 判断分式变形是否正确 分式的基本性质是分式恒等变形和分式运算的理论依据，正确理解和熟练掌握这一性质是学好分式的关键，利用分式的基本性质可将分式恒等变形，从而达到化简的分式，简化计算的目的。 运用分式的基本性质时，要注意： ①限制条件：同乘（或除以）一个不等于0的整式； ②隐含条件：分式的分母不等于0。 【典例】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）根据分式的基本性质对分式变形，下列正确的是（ 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 根据分式的基本性质分别计算判断即可． 【详解】解：A．分子分母同时加上同一个数，分式值不一定相等，故此选项不符合题意； B．，故此选项符合题意． C．∵，当，，当时，，∴不一定等于，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意； 故选：B． 【典例】2．（2025·辽宁鞍山·三模）下列从左到右的变形中，一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分式的性质，分式的分子、分母同时乘以（或除以）同一个不为零的数（或式子），分式的值不变，由此即可求解． 【详解】解：、，错误，不符合题意； 、，正确，符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 、，故原选项错误，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查分式的性质，掌握分式的性质，分式的运算是解题的关键． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列各式中，变形错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变，可得答案． 【详解】A. ，故A正确； B、分子、分母同时乘以−1，分式的值不发生变化，故B正确； C、分子、分母同时乘以3，分式的值不发生变化，故C正确； D. ，故D错误， 故选：D． 【点睛】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以（或除以）同一个不为零的数（整式），分式的值不变． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·二模）下列各式从左到右的变形正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分式的性质逐个判断即可．分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变． 【详解】解：A、当时，，故选项错误，不符合题意； B、，故选项错误，不符合题意； C、，故选项错误，不符合题意； D、，故选项正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了分式的性质，解题的关键是熟练掌握分式的性质．分式的基本性质：分式的分子和分母乘（或除以）同一个不等于0的整式，分式值不变． 命题点三 分式的运算 ►题型01 分式的乘除 分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母。 分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘。 分式与分式相乘，若分子、分母是单项式，则先将分子、分母分别相乘，然后约去公因式，化为最简分式或整式；若分子、分母是多项式，则先把分子、分母分解因式，看能否约分，再相乘。 当分式与整式相乘除时,要把整式的分母看作1。 【典例】1．（2025·辽宁本溪·二模）分式的化简结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的除法，根据分式的除法运算进行计算，即可求解，熟练掌握运算法则是解题关键． 【详解】解： 故选：D ． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）化简： 【答案】 【分析】本题考查了分式的除法运算，正确掌握相关运算法则是解题的关键．先把除法化为乘法，再进行化简，即可作答． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）化简： 【答案】 【分析】本题主要考查分式的除法，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．原式分子与分母先进行因式分解，再把除法转换为乘法，约分后即可得到结果． 【详解】解： ． 【变式】2．（2025·辽宁大连·模拟预测）化简：． 【答案】． 【分析】本题考查分式化简．先将除法转化为乘法，再因式分解化简月份即可． 【详解】解：， ， ， ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）若运算的结果为整式，则“□”中的式子可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式的乘除法和整式，根据分式的乘除法的运算法则进行解题即可得到答案． 【详解】解：， ∵运算的结果为整式， ∴中式子一定有公因式的整式， ∴只有D项符合， 故选：D． ►题型02 分式的加减 1）同分母分式相加减：分母不变，把分子相加减。 2）异分母分式相加减：先通分，变为同分母的分式，再加减。 当分式与整式相加减时,要把整式的分母看作1。 分式的加减法运算结果必须化成最简分式或整式，运算中要适当约分。 【典例】1．（2025·辽宁大连·一模）化简分式 的结果是 . 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式加减运算，根据异分母分式加减运算法则，先通分，然后再进行加减运算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母的分式加减运算，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．先将后面分式化简，再进行同分母分式减法计算即可． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算的结果等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据异分母分式加减法法则进行计算即可． 【详解】解： ； 故选：C． 【点睛】本题考查了异分母分式加减法法则，解答关键是按照相关法则进行计算． 【变式】2．（2025·辽宁丹东·二模）计算． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减混合运算，解题关键是注意运算的顺序．先将括号里面的通分计算，同时将后面的分式约分，再与后面的分式相加即可． 【详解】原式= = =． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了异分母的分式加减运算，熟练掌握运算法则，正确计算是解题的关键．先将后面分式化简，再进行同分母分式减法计算即可． 【详解】解： ． ►题型03 分式的混合运算 分式的混合运算顺序与实数类似，即先乘方，再乘除，最后加减；有括号时，先进行括号内的运算；同级运算，按照从左到右的顺序进行。 分式的混合运算一般按常规运算顺序，但有时应先根据题目的特点，运用乘法的运算律进行灵活运算。 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简等知识点，解题的关键是熟练掌握运算法则．先进行括号内的分式的加法，利用提公因式法和公式法对分式进行因式分解，然后再约分化简即可． 【详解】解： ． 【典例】2．（2025·辽宁盘锦·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除加减混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先通分括号内，再运算除法，化简后再运算加法，即可作答． 【详解】解： ． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·一模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握相关知识是解题的关键．先算括号内，再把除法变成乘法进行运算即可． 【详解】解： = ． 【变式】2．（2025·辽宁营口·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，熟知相关计算法则是解题的关键．先把小括号内的式子通分化简，再计算乘法即可． 【详解】解： ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分相减，再把除法变成乘法后分子分母分解因式，约分化简即可． 【详解】解： ． ►题型04 分式的化简求值 分式的化简求值，一般是先化简为最简分式或整式，再代入求值。化简时不能跨度太大，而缺少必要的步骤，代入求值的模式一般为“当…时，原式＝…”。 代入求值时，有直接代入法，整体代入法等常用方法。解题时可根据题目的具体条件选择合适的方法。当未知数的值没有明确给出时，所选取的未知数的值必须使原式中的各分式都有意义，且除数不能为0。 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·三模）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，实数的混合运算，特殊三角函数值． 根据分式的运算法则即可化简，再根据实数的混合运算法则求出的值，再代入的值，进行计算，即可求出答案． 【详解】解： ； ∴原式． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·二模）已知，求的值． 【答案】1 【分析】此题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解答此题的关键．运用乘法公式将分子化简，分母因式分解，约分化简后，再将条件式整体代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴， ∴ ． 【变式】1．（2025·辽宁营口·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】. 【分析】本题是一个分式化简求值题．解题思路是先根据平方差公式、完全平方公式对分子分母进行因式分解，再将除法转化为乘法进行约分，最后进行分式的减法运算化简式子，然后将的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： 当时， 原式 . 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理原式，再运算除法，然后运算加减，得，最后把代入计算，即可作答． 【详解】解： ， ∵， ∴． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简：，再从，，，中选取一个适合的数代入求值． 【答案】，或． 【分析】本题主要考查了分式的化简求值．首先根据分式的运算法则把分式化简，可得：原式，根据分式有意义的条件可知可选或，分情况求出分式的值即可． 【详解】解： ， 分式的分母不能为、除数不能为， ，， 且， 可选或， 当时， 原式， 当时， 原式． 突破一 已知特殊条件求分式的值 【典例】1．若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了比例，求代数式的值；根据已知比例关系，设参数表示和，再代入所求分式计算． 【详解】解：由，设，（其中）， 则； 故答案为：． 【典例】2．已知，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是分式求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 先根据题意得出，再代入原式进行计算即可． 【详解】解：， ∴，即， ∴． 故答案为：． 【变式】1．若，且，则分式的值为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了分式的求值，利用已知得到，然后代入分式化简得出答案． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】2．已知，则代数式值 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的求值，完全平方公式，先根据题意得到，再由完全平方公式推出，则． 【详解】解：∵， ∴（不符合题意）， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式】3．阅读理解 [提出问题]已知，求分式的值； [分析问题]本题已知条件是连等式，因此可用设参数法，即设出参数t，得出a，b，c与t的关系，然后再代入待求的分式化简即可； (1)[解决问题]设，则，将它们分别代入中并化简，可得分式的值为 ____； (2)[拓展应用]已知，求分式的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）把a，b，c的值代入进行计算，即可解答； （2）仿照（1）的解题思路进行计算，即可解答． 本题考查了分式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键． 【详解】（1）解：设，则， 将它们分别代入中， 则2， 故答案为：； （2）解：设t， ∴， ∴． 突破二 分式运算的新定义问题 【典例】1．定义新运算：，若，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查代数式求值，读懂题意，得到是解决问题的关键． 根据新定义的运算，由得到，代入代数式求解即可得到答案． 【详解】解：， ，即， ， 故答案为：． 【典例】2．我们给出定义：若一个分式约分后是一个整式，则称这个分式为“巧分式”，约分后的整式称为这个分式的“巧整式”．例如：，则称分式是“巧分式”，为它的“巧整式”．根据上述定义，解决下列问题． (1)下列分式中是“巧分式”的有__________（填序号）； ①；②；③． (2)若分式（m为常数）是一个“巧分式”，它的“巧整式”为，求m的值： (3)若分式的“巧整式”为． ①求整式A． ②是“巧分式”吗？ 【答案】(1)①③ (2) (3)①；②是“巧分式” 【分析】本题考查了分式的化简、因式分解及分式的混合运算．解决本题的关键是弄清楚“巧分式”的定义． （1）根据“巧分式”的定义，逐个判断得结论； （2）根据“巧分式”的定义，得到关于的方程，求解即可； （3）①根据给出的“巧分式”的定义求解即可；②将A代入，约分后看是否是一个整式，即可得出结论． 【详解】（1）解：，是整式， ①是“巧分式”； ，不是整式， ②不是“巧分式”； ，是整式， ③是“巧分式”； 故答案为：①③； （2）解：分式（m为常数）是一个“巧分式”， 它的“巧整式”为， ， ， ； （3）解：①分式的“巧整式”为． ， ，即； ②， 又是整式， 是“巧分式”． 【变式】1．定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： (1)分式是分式的“______阶差分式”． (2)分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 【答案】(1)1 (2)3或6 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论求解即可． 【详解】（1）解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； （2）解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为3或6． 【变式】2．【阅读学习】 若规定，则，例如：，则． 【初步运用】 （1）若，则______； 【拓展延伸】 （2）若，且，回答下列问题： ①若，求的值； ②当时，求的值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【分析】本题考查了新定义运算，理解即为的倒数是解题的关键． （1）根据新定义作答即可； （2）①根据新定义得到，根据完全平方公式变形求值即可； ②根据新定义得到，结合根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：若，则； 故答案为：； （2）①解：； ②解：， ∵，且， ∴， ∴． 【变式】3．分式中，在分子、分母都是整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式，例如：分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如：． (1)将假分式化为一个整数与一个真分式的和； (2)若x是整数，且假分式的值为正整数，求x的值； (3)若假分式化为一个整式与一个真分式的和的形式为，A，B均为关于x的多项式，若，，求的最小值． 【答案】(1) (2)或4或6 (3)75 【分析】本题主要考查了分式的性质、分式的化简、分式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）仿照例题操作即可得解； （2）先将化成一个整式和真分式的和，再看真分式是整数即可得解； （3）先将式化成A的形式，再得到a和b的式子，进而利用完全平方式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解：∵为正整数，， ∴， ∴， ∵， 又，且为整数，为正整数， ∴或2或4， ∴或4或6； （3）解： ， ，， ，， ，， ，， ， ， 当，即时，有最小值75， 的最小值为75． 突破三 分式运算的规律问题 【典例】1．已知为正整数且，且，则计算的结果为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式的规律性问题，熟悉掌握运算法则是解题的关键．通过计算序列的前几项，发现序列具有周期性，周期为，每项的乘积为常数，总项数为，恰好是的倍数，因此总乘积为的奇数次幂，结果为． 【详解】∵， ， ， ， ∴序列周期为， 每项乘积：， ∵， ∴． 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）数学规律探究是提升思维能力的有效方式，通过观察、归纳、验证，从表象中发现内在规律，既能提升观察力，又能提升数学素养． 例如：给定一列式子，并规定：，，（为正整数）， 则：， ， ， ⋯⋯， 照此规律，解答下列问题： (1)________； (2)若，求的值； (3)求的最小值． 【答案】(1)1 (2) (3) 【分析】本题主要考查求代数式的值，分式方程求解及规律探索，理解题意是解题关键． （1）根据题意直接代入求解即可； （2）根据题意写出相应式子，然后得出方程求解即可； （3）根据题意得出5个式子为一个周期，循环出现，确定，，，求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：1； （2）根据提题意，得，，，，， ， ， ， ， ⋯⋯， ∵， ∴． 解得，． 经检验是方程的解，且符合题意． ∴． （3）由（2）知，5个式子为一个周期，循环出现， ，，， ∴ ∵， ∴时，的最小值是． 【变式】1．已知，，，利用发现的规律计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了分式规律问题，分式的混合运算，根据已知规律将每一项拆分为两个分式的差的形式，进而通过中间项抵消求出结果． 【详解】∵，，， ∴ ． 故答案为：． 【变式】2．已知，，，，，，，即当n为大于1的奇数时，；当n为大于1的偶数时，．计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了分式的规律性问题，从题目所给的式子中发现并总结出一般规律是解题的关键． 先找到一般规律：的值每个一循环，再求出，由可得，于是得解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ， ， 的值每个一循环， ， 且， ， 故答案为：． 1．（2025·辽宁·模拟预测）若分式的值为0，则x的值为（　　）． A．0 B．1 C．﹣1 D．±1 【答案】B 【分析】根据分式值为0的条件，分子为0分母不为0,列式进行计算即可得. 【详解】解：∵分式的值为零， ∴， 解得：x=1， 故选B． 【点睛】本题考查了分式值为0的条件，熟知分式值为0的条件是分子为0分母不为0是解题的关键. 2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）函数中的自变量的取值范围是 ． 【答案】 且 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，根据分母不能为零，且二次根式的被开方数必须非负，得到关于的不等式，解不等式求出自变量的取值范围． 【详解】解：函数 有意义， 可得：， 解得：且； 故答案为：且． 3．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）下列式子的变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式的性质逐一判断即可． 【详解】解：A. 不一定正确； B. 不正确； C. 分子分母同时除以2，变形正确； D. 不正确； 故选：C． 【点睛】本题考查分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 4．（2025·辽宁·一模）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的运算，熟练掌握各运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法即可得． 【详解】解： ． 5．（2025·辽宁丹东·二模）在化简的过程中，小玉、小强同学分别给出了如下的部分运算过程： 小玉：原式 …… 小强：原式 …… (1)小玉解法的依据是___________，小强解法的依据是___________；（填序号） ①等式的基本性质；②分式的基本性质；③乘法分配律；④乘法交换律． (2)试选一种解法，写出完整的解答过程． 【答案】(1) ②，③；(2)见解析 【分析】此题考查了分式的四则混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据分式的基本性质和乘法分配律进行解答即可；（2）根据分式的运算法则计算即可． 【详解】（1）解：小玉解法的依据是分式的基本性质；小强解法的依据是乘法分配律， 故答案为：②，③； （2）解：小玉：原式 ； 小强：原式 ． 6．（2025·辽宁朝阳·一模）已知为整式，若计算的结果为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的混合运算，利用分式的运算法则计算即可求解，掌握分式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：． 7．（2025·辽宁·模拟预测）已知，这是一道分式化简题，因为一不小心一部分被墨水污染了，若只知道该题化简的结果为整式，则被墨水覆盖的部分不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据整式的概念，将各选项依次代入判断即可． 【详解】A、= 不是整式，此选项符合题意； B、=是整式，此选项不符合题意； C、=是整式，此选项不符合题意； D、=是整式，此选项不符合题意， 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的运算、平方差公式、整式的判断，熟练掌握分式的除法运算法则及平方差公式是解答的关键． 8．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据分式的运算法则把所给分式化简，再把代入计算． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 9．（2025·辽宁沈阳·三模）先化简，再求值：，请从，，，，中选择一个合适的数，求此分式的值． 【答案】， 【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再选取使分式有意义的的值代入计算可得．本题主要考查分式的化简求值，解题的关键是掌握分式的混合运算顺序和运算法则． 【详解】解：原式 ， 且，， ， 则原式． 10．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简，再求值：，其中a，b满足． 【答案】， 【分析】本题考查了分式的化简求值，掌握运算法则是解题的关键．将除法化为乘法，进行乘法计算，再进行分式的减法计算，然后将化为，再代入求值． 【详解】解：原式， ， ∵， ∴， ∴原式． 11．（2025·辽宁辽阳·模拟预测）已知，则代数式的值为 . 【答案】 【详解】解：根据，得出a+2b=6ab，再把ab=（a+2b）代入要求的代数式即可得出=． 故答案为：． 【点睛】本题考查分式的化简求值，掌握运算法则，整体代入思想解题是关键． 12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，则的值是　　 A．60 B．64 C．66 D．72 【答案】A 【分析】将代入原式，计算可得． 【详解】解：当时， 原式 ， 故选A． 【点睛】本题主要考查分式的加减法，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． 13．（2025·辽宁·模拟预测）已知的值为正数，则的取值范围为 ． 【答案】 且 【分析】此题主要考查了分式的值，能够根据分式的值的符号来判断分子和分母的符号是解题的关键．分式的值为正数，分母恒为正（且），因此分子 必须大于零，计算求解即可． 【详解】解：∵的值为正数， ∴分子与分母同号， 又∵对于任意实数，，且作为分母， ∴， ∴， 即且． 故答案为：且． 14．（2025·辽宁·模拟预测）已知（且），，，…，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查式子规律，根据已知式子，找准规律是解决问题的关键． 根据前面几个式子的化简结果，得到规律是计算结果是以、、为循环节进行循环，由，即可得到的值． 【详解】解：， ， ， ， 计算结果是以、、为循环节进行循环， ， ， 故答案为：． 15．（2025·辽宁·模拟预测）阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可以化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． ，这样的分式就是假分式；再如：这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式），如：； 解决下列问题： (1)分式 是________________（填“真分式”或“假分式”）； (2)将假分式化为整式与真分式的和的形式： =____________； (3)若假分式的值为正整数，则整数的值为________________； (4)将假分式化为带分式（写出完整过程）． 【答案】(1)真分式 (2) (3) (4) 【分析】（1）根据定义即可求出答案； （2）根据定义进行化简即可得到答案； （3）根据题意列出方程即可求出的值； （4）先化为，在计算即可． 【详解】（1）解：由题意得： 分式 是真分式， 故答案为：真分式； （2）解：根据题意可得： ， 故答案为：； （3）解：由（2）可得：， 当为正整数时， 或， ， 故答案为：； （4）解：根据题意可得： ． 【点睛】本题主要考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型． 16．（2025·辽宁·模拟预测）定义：若分式M与分式N的差等于它们的积，即，则称分式N是分式M的“关联分式”．如与，因为，，所以是的“关联分式”． (1)请判断分式与分式是否为“关联分式”，并说明理由； (2)小明在求分式的“关联分式”时，用了以下方法： 设的“关联分式”为N，则， ∴，∴． 请你仿照小明的方法求分式的“关联分式”； (3)①观察（1）、（2）的结果，寻找规律，直接写出分式的“关联分式”：______； ②用发现的规律解决问题：若是的“关联分式”，求实数m，n的值． 【答案】(1)是，见解析 (2) (3)①；② 【分析】本题主要考查分式的运算，解题的关键是理解“关联分式”的定义； （1）根据“关联分式”的定义可进行求解； （2）设的“关联分式”为N，则，然后根据分式的运算即可求解； （3）①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：，然后可得，进而问题可求解； ②根据①中规律可得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ， ∴， ∴分式与分式的“关联分式”； （2）解：设的“关联分式”为N，则， ∴， ∴，即， ∴． （3）解：①由题意可设分式，，则根据“关联分式”的定义可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的“关联分式”为， ∴分式的“关联分式”为； ②由①可知： ∵是的“关联分式”， ∴， ∴， 解得：． 1．（2025·山东淄博·中考真题）若分式有意义，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C．且 D．且且 【答案】D 【分析】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得且且， 故选：D． 2．（2025·贵州·中考真题）若分式的值为0，则实数的值为（  ） A．2 B．0 C． D．-3 【答案】A 【分析】本题考查分式的值为0的条件，根据分式的值为0的条件是分子为0且分母不为0，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：且， 解得：； 故选A． 3．（2025·湖南长沙·二模）下列分式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查判断分式变形是否正确，根据分式的基本性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，变形错误，不符合题意； B、，变形错误，不符合题意； C、，变形错误，不符合题意； D、，变形正确，符合题意； 故选D． 4．（2025·广东广州·中考真题）要使代数式有意义，则x的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了二次根式和分式有意义的条件，根据题意得出且，即可求解． 【详解】解：依题意，且， 解得：且， 故答案为：且． 5．（2025·黑龙江绥化·中考真题）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查分式混合运算，熟练掌握运算法则是解决问题的关键．先将分式的分子分母因式分解，再由分式混合运算法则求解即可得到答案． 【详解】解： 故答案为：． 6．（2025·四川南充·中考真题）已知，则的值是（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查了比例的性质，分式的化简．根据，可得，从而得到，然后代入化简即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D 7．（2025·四川泸州·中考真题）化简：． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的混合计算，先把小括号内的式子通分，再把分子合并同类项后分解因式，再把第一个分式的分子分解因式，接着把除法变成乘法后约分化简即可得到答案． 【详解】解： ． 8．（2025·山东德州·中考真题）（1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）（2）． 【分析】（1）根据二次根式，绝对值，乘方计算解答即可； （2）利用因式分解，约分，混合运算的法则解答即可． 本题考查了二次根式的化简，绝对值，有理数的乘方，分式的化简，熟练掌握运算法则和性质是解题的关键． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 9．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）先化简，再求代数式的值，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了分式的化简求值以及特殊角的三角函数值，熟练掌握分式的运算法则和特殊角的三角函数值是解题的关键． 先对代数式中的分式进行通分、化简，再计算出的值，最后代入化简后的式子求值． 【详解】解： ． 当时， 原式． 10．（2025·青海西宁·中考真题）先化简，再求值：，其中满足． 【答案】； 【分析】本题考查分式的化简求值，运用整体思想是解题的关键；根据分式的运算法则先化简，由已知求出，再整体代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ， ， ∴原式 ． 11．（2025·江苏宿迁·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则，正确化简是解题的关键． 先计算括号内分式的减法，再将除法化为乘法计算，然后再代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 12．（2025·北京·中考真题）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先对分式的分子分母进行因式分解，化至最简分式，再将变形，进行整体代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵， ∴， ∴原式． 13．（2025·山东东营·中考真题）（1）计算： （2）先化简，再求值：，其中是使不等式成立的正整数． 【答案】（1）；（2）， 【分析】本题主要考查了实数的混合运算，特殊角的三角函数值，分式化简求值，分式有意义的条件，解不等式，解题的关键是熟练掌握分式混合运算法则，准确计算． （1）先把特殊角的三角函数值代入，并计算零指数幂和负整数指数幂，进行开方运算，再算加减即可； （2）先根据分式混合运算法则进行化简，然后求出不等式的解集，得出正整数的值，再代入数据计算即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） ， 是使不等式成立的正整数， 且为正整数， ，2，3， 又，， ，3，， ， 当时，原式． 14．（2025·四川凉山·中考真题）（1）解不等式：； （2）先化简，再求值：，求值时请在内取一个使原式有意义的x（x为整数）． 【答案】（1）；（2）；当时，值为；当时，值为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，分式的化简求值，分式有意义的条件，掌握分式的混合运算法则和解一元一次不等式的步骤是解题的关键． （1）先去分母，然后去括号，合并同类项，系数化1即可求解； （2）先将除法化为乘法计算，再进行分式的减法计算，根据分式有意义的条件得到，再选择合适的整数代入求值即可． 【详解】（1）解：， ， ， 解得：， ∴原不等式的解集为：； （2）解： ， ∵分式有意义， ∴， ∴或； 当时，原式； 当时，原式． 15．（2025·重庆·中考真题）先化简，再求值：，其中． 【答案】，原式= 【分析】本题考查分式的化简求值，零指数幂，根据多项式乘以多项式，单项式乘以多项式，分式的混合运算法则，进行化简，根据绝对值的意义，零指数幂求出的值，再把的值代入化简后的式子中进行计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵， ∴原式． 16．（2025·山东滨州·中考真题）已知，，． (1)若，求C的值； (2)当，且为整数时，求x的整数值． 【答案】(1) (2)或4 【分析】本题考查分式的化简，分式的混合运算，熟练掌握分式的基本性质，分式的混合运算法则，是解题的关键： （1）化简，得到，根据混合运算法则求出，即可得出结果； （2）根据，结合，得到，进而得到，根据为整数得到，且，进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ． ∴． ∵， ∴． （2）由（1），得：， ∴， 当时，． ∵与均为整数， ∴或． ∴， 又∵且， ∴且． ∴或4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $