第02讲 整式与因式分解（复习讲义，5考点14题型6重难）（辽宁专用）2026年中考数学一轮复习讲练测

该初中数学中考复习讲义聚焦整式与因式分解专题，覆盖整式加减、乘除运算、因式分解及代数式求值等中考核心考点，通过考情剖析、知识网络构建梳理考点联系，设计考点解析、真题训练等环节突破同类项、乘法公式等难点，体现复习的系统性和针对性。 亮点在于创新设计重难突破模块，如通过“赵爽弦图”探究乘法公式几何应用，培养学生运算能力与推理意识，配合基础巩固、能力提升、全国新趋势分层练习及限时测试，确保高效复习，助力教师把控节奏，提升学生中考应考能力。

第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 9 命题点一 整式的加减 题型01同类项 题型02合并同类项 题型03去（添）括号 题型04整式的加减 命题点二 整式的乘除 题型01幂的运算 题型02整式的乘法 题型03整式的除法 题型04乘法公式 题型05整式的混合运算 命题点三 因式分解 题型01提公因式法分解因式 题型02公式法分解因式 题型03综合提公因式与公式法分解因式 命题点四 求代数式的值 题型01求代数式的值 题型02整式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 18 突破一 整式运算无关型问题 突破二 乘法公式的几何应用 突破三 整式运算新定义问题 突破四 整式运算整除问题 突破五 数字类规律探究 突破六 图形类规律探究 06·优题精选·练能提分 25 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的加减 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 盘锦卷T5 锦州卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握合并同类项与去括号法则，能进行整式的加减运算。 幂的运算 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 丹东卷T3 盘锦卷T5 锦州卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握幂的运算法则，能进行同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等运算，及其混合运算。 整式的乘除 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握整式乘法与整式除法的法则，及混合运算，能灵活运用平方差公式与完全平方公式。 因式分解 / / 沈阳卷T11 鞍山卷T10 丹东卷T12 盘锦卷T12 锦州卷T10 抚顺、葫芦岛卷T12 本溪、铁岭、辽阳卷T12 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法等基本因式分解方法，能进行简单多项式的因式分解。 代数式求值 / / 沈阳卷T12 能进行代数式的求值，灵活运用代入法与整体思想等。 命题预测 整式与因式分解相关考点以选择题与填空题为主进行考察。整式的运算为必考内容，侧重于对合并同类项法则、幂的混合运算、整式乘除法法则、平方差与完全平方公式为主进行考察。因式分解在统考前为各市的高频考点，统考后继续结合融入在分式化简的解答题中考察，主要应用提公因式法与公式法进行因式分解。代数式求值可单独考察，也可结合在整式运算等解答题中考查，要注意整体代入求值的应用。整式与因式分解考点整体题目难度不大，要注重基础内容的锻炼，训练计算的效率与准确性。 考点一 整式的加减 1.同类项 1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 特殊地，常数项与常数项是同类项。 2）同类项的“两同两无”： 两同：①所含字母相同； ②相同字母的指数也相同。 两无：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关。 3）同类项可以有两项，也可以有三项，四项或更多项，但至少有两项。 2.合并同类项 1）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 2）合并同类项法则：同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。 3）合并同类项的一般步骤： ①找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); ②运用加法交换律，加法结合律将多项式中的同类项结合； ③利用合并同类项法则合并同类项； ④写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式)。 3.去（添）括号法则 1）如果括号前面是"+"号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 2）如果括号前面是"-"号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 注意：去多层括号时，先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号。有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号。 4.整式的加减 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 1．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁锦州·二模）若单项式与是同类项，则的值为 ． 考点二 幂的运算 1.同底数幂的乘法：底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：等于各因式乘方的积. 4.同底数幂的除法：底数不变，指数相减.（） 5.零指数幂：（） 6.负整数指数幂：（） 1．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2023·辽宁丹东·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 考点三 整式的乘除 1.整式的乘法 1）单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式。对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。 2）单项式乘多项式：用单项式和多项式每一项分别相乘，再把所得的积相加。 3）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 2.平方差公式 平方差公式： 3.完全平方公式 完全平方公式：. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 常见的变形公式： 4.整式的除法 1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2）多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁营口·二模）化简：． 考点四 因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解。 因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法 3.公式法 平方差公式法： 完全平方公式法： 4.分组分解法 5.十字相乘法 （口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 6.因式分解的步骤 一提、二套、三检查 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）分解因式： ． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）因式分解： ． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）因式分解： ． 考点五 代数式求值 1.直接代入法 把已知字母的值直接代入代数式计算求值。 2.间接代入法 用间接代入法求代数式的值，要先根据条件求出相关字母的值，再把求得的值代入代数式中计算求值。 3.整体代入法 给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不容易求出时，一般对给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入，实现快速求值。 ①观察已知代数式和所求代数式的关系； ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系； ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值。 4.赋值求值法 指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一。在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值。 1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 2．（2025·辽宁阜新·一模）若，则代数式的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 4．（2025·辽宁大连·二模）先化简，再求值：，其中． 命题点一 整式的加减 ►题型01 同类项 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列各项中的两项，为同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列各式与成同类项的是 （ ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）请写出的一个同类项： ． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·二模）若单项式与是同类项，则的值为 ． ►题型02 合并同类项 1.系数相加(减)，所得的结果作为系数，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； 2.若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0； 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型03 去（添）括号 去（添）括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 1.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． ►题型04 整式的加减 1.整式的加减运算的实质就是去括号与合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，乘法与加法的分配律。 2.整式加减的一般步骤为：①去括号；②找出同类项；③合并同类项；④计算出结果. 需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）化简 (1) (2) 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）化简 (1)； (2)． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）化简． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 命题点二 整式的乘除 ►题型01 幂的运算 1.熟练掌握幂的基本性质，要做到会直接套用公式，还要能逆用. 2.注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式. 3.幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 4.底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·三模）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． ►题型02 整式的乘法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率。 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 【典例】1．（2025·辽宁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁本溪·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·三模）计算：． ►题型03 整式的除法 【典例】1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： ． ►题型04 乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，继续用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的结构特征； 2.再利用完全平方公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况． 【典例】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·二模）化简：． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 ►题型05 整式的混合运算 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·三模）计算：． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【变式】1．（2025·辽宁本溪·二模）计算：． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算：． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）计算： (1)； (2) 命题点三 因式分解 ►题型01 提公因式法分解因式 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 【典例】1．（2025·辽宁本溪·一模）因式分解： ． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）分解因式： ． 【变式】1．（2023·辽宁锦州·中考真题）因式分解： ． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）分解因式：xy+x= ． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·模拟预测）因式分解： ． ►题型02 公式法分解因式 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）分解因式： ． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）分解因式： ． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）分解因式： 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）分解因式： ． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． ►题型03 综合提公因式与公式法分解因式 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）分解因式： ． 【典例】2．（2025·辽宁朝阳·三模）分解因式： ． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）因式分解： ． 【变式】2．（2025·辽宁营口·一模）因式分解： ． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）分解因式： ． 命题点四 求代数式的值 ►题型01 求代数式的值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的值为 ． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若，则 ． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）当时，代数式的值是 ． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若，则值为 ． ►题型02 整式的化简求值 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）先化简，再求值：，其中． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）先化简，再求值： ， 其中，． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简，再求值：，其中． 突破一 整式运算无关型问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知，．若的值与x的取值无关，则 ． 【典例】2．阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，解得， 当时，值与字母的取值无关， 知识应用： 已知，， 用含，的式子表示； 若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值． 【变式】1．若关于x，y的多项式的值与字母x取值无关，则的值为 ． 【变式】2．对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【变式】3．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 突破二 乘法公式的几何应用 【典例】1．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B．C． D． 【典例】2．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【变式】1． “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 【变式】2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B．4 C．3 D．1 【变式】3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 突破三 整式运算新定义问题 【典例】1．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【变式】1．我们规定：若一个正整数A能写成，其中x与y都是两位数，且x与y的十位数字相同，个位数字之和为6，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以510是“方减数”，510分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最大的“方减数”是 ． 【变式】2．符号“”表示一种运算，表示在运算作用下的结果，如表示在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，… 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 【变式】3．定义一种新的运算“”，其规则为：当与同号时，；当与异号时，． 例如：，． (1)请直接写出结果：_____，_____； (2)计算：； (3)已知，均为正整数，且，则一定能被9整除，请你通过计算说明理由； (4)已知，，设，当时，请直接写出的值_____． 突破四 整式运算整除问题 【典例】1．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 【变式】1．综合与实践 【问题背景】 一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．验证方法如下：以两位数为例，一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_____； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【拓展探究】 判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的两位数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． （3）请用代数推理方法验证：如果一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为、、，若“能被7整除，则就能被7整除”这个结论． 【变式】2．若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b，我们将这个两位数简记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)若，求a的值； (2)证明：能被11整除； (3)将一个三位数的中间数字b去掉变为一个两位数，若满足，求b的最大值； (4)一个三位数M，a，b，c分别是数M其中一个数位上的数字，且，，在a，b，c中任选两个数字组成两位数和，若为整数，请直接写出所有满足条件的数M． 突破五 数字类规律探索 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘2得：②， ②①得，即． 请你仿照此法求的值为（　　） A． B． C． D． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在人教版八年级上册数学书页提到了杨辉三角，材料如下： 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数． 根据上述材料，请回答： (1)请根据的展开式证明其对应第四行的系数； (2)请根据的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质； (3)请你预测并直接写出展开式的第二项系数______． 突破六 图形类规律探索 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律: 按上规律推断，S与n的关系是 ． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）用黑白两种颜色的四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，则第个图案中 张白色纸片.    【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 1．（2025·辽宁盘锦·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（2025·辽宁本溪·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2025·辽宁大连·一模）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）因式分解： ． 6．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）分解因式： ． 7．（2025·辽宁·模拟预测）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 8．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）要使多项式化简后不含的项，则 ． 9．（2025·辽宁·模拟预测）（1）计算： （2）计算： 10．（2025·辽宁铁岭·二模）（1）计算：； （2）计算：． 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点是线段上任意一点（不与，重合），以，为边在上方作正方形，，若两个正方形的周长和为40，面积和为80，则阴影部分的面积为 ． 12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，那么 ． 13．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子个数为（   ） A． 18 B． 20 C． 22 D． 24 14．（2025·辽宁·模拟预测）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 16．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 18．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 19．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 21．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 22．（2025·青海西宁·中考真题）分解因式： ． 23．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 24．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 25．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 26．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 27．（2025·青海西宁·中考真题）（1）计算：． （2）化简：． 28．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 29．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 30．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 数与式 第02讲 整式与因式分解 目 录（Ctrl并单击鼠标可跟踪链接） 01·考情剖析·命题前瞻 2 02·知识导航·网络构建 3 03·考点解析·知识通关 4 04·命题洞悉·题型预测 13 命题点一 整式的加减 题型01同类项 题型02合并同类项 题型03去（添）括号 题型04整式的加减 命题点二 整式的乘除 题型01幂的运算 题型02整式的乘法 题型03整式的除法 题型04乘法公式 题型05整式的混合运算 命题点三 因式分解 题型01提公因式法分解因式 题型02公式法分解因式 题型03综合提公因式与公式法分解因式 命题点四 求代数式的值 题型01求代数式的值 题型02整式的化简求值 05·重难突破·思维进阶难 39 突破一 整式运算无关型问题 突破二 乘法公式的几何应用 突破三 整式运算新定义问题 突破四 整式运算整除问题 突破五 数字类规律探究 突破六 图形类规律探究 06·优题精选·练能提分 61 基础巩固→能力提升→全国新趋势 考点 2025年 2024年 2023年 课标要求 整式的加减 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 盘锦卷T5 锦州卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握合并同类项与去括号法则，能进行整式的加减运算。 幂的运算 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 丹东卷T3 盘锦卷T5 锦州卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握幂的运算法则，能进行同底数幂乘除、幂的乘方、积的乘方等运算，及其混合运算。 整式的乘除 辽宁省卷 T4 辽宁省卷 T5 沈阳卷T4 鞍山卷T3 营口卷T5 抚顺、葫芦岛卷T3 本溪、铁岭、辽阳卷T4 掌握整式乘法与整式除法的法则，及混合运算，能灵活运用平方差公式与完全平方公式。 因式分解 / / 沈阳卷T11 鞍山卷T10 丹东卷T12 盘锦卷T12 锦州卷T10 抚顺、葫芦岛卷T12 本溪、铁岭、辽阳卷T12 理解因式分解的概念，掌握提公因式法、公式法等基本因式分解方法，能进行简单多项式的因式分解。 代数式求值 / / 沈阳卷T12 能进行代数式的求值，灵活运用代入法与整体思想等。 命题预测 整式与因式分解相关考点以选择题与填空题为主进行考察。整式的运算为必考内容，侧重于对合并同类项法则、幂的混合运算、整式乘除法法则、平方差与完全平方公式为主进行考察。因式分解在统考前为各市的高频考点，统考后继续结合融入在分式化简的解答题中考察，主要应用提公因式法与公式法进行因式分解。代数式求值可单独考察，也可结合在整式运算等解答题中考查，要注意整体代入求值的应用。整式与因式分解考点整体题目难度不大，要注重基础内容的锻炼，训练计算的效率与准确性。 考点一 整式的加减 1.同类项 1）定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的单项式叫作同类项。 特殊地，常数项与常数项是同类项。 2）同类项的“两同两无”： 两同：①所含字母相同； ②相同字母的指数也相同。 两无：①与系数无关； ②与字母的排列顺序无关。 3）同类项可以有两项，也可以有三项，四项或更多项，但至少有两项。 2.合并同类项 1）合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项，叫作合并同类项。 2）合并同类项法则：同类项的系数相加减，字母和字母的指数不变。 3）合并同类项的一般步骤： ①找出同类项，当项数较多时，通常在同类项的下面作相同的标记(连同各项的符号一同标记); ②运用加法交换律，加法结合律将多项式中的同类项结合； ③利用合并同类项法则合并同类项； ④写出合并后的结果(可能是单项式，也可能是多项式)。 3.去（添）括号法则 1）如果括号前面是"+"号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同。 2）如果括号前面是"-"号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反。 注意：去多层括号时，先观察式子的特点，再考虑去括号的顺序，一般由内向外，即先去小括号，再去中括号，最后去大括号。有时也可以由外向内，即先去大括号，再去中括号，最后去小括号。 4.整式的加减 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项。 1．（2025·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方等知识点，掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据合并同类项、单项式乘法、积的乘方、幂的乘方逐项判断即可． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意； B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意． 故选D． 2．（2025·辽宁盘锦·一模）下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查合并同类项、积的乘方和完全平方公式，熟练掌握各项运算法则是解题的关键． 根据合并同类项法则，积的乘方法则，完全平方公式逐项判断，即可得出答案． 【详解】解：，故A选项计算错误，不合题意； 与指数不同，不是同类项，不能合并，故B选项计算错误，不合题意； ，故C选项计算正确，符合题意； ，故D选项计算错误，不合题意； 故选：C． 3．（2025·辽宁锦州·二模）若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类项，熟知“所含字母相同，相同字母也相同的项，叫做同类项”是解题的关键． 根据同类项的定义可得，解答即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． 考点二 幂的运算 1.同底数幂的乘法：底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：等于各因式乘方的积. 4.同底数幂的除法：底数不变，指数相减.（） 5.零指数幂：（） 6.负整数指数幂：（） 1．（2024·辽宁·中考真题）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式等知识点进行判定即可． 【详解】A．，故本选项原说法不符合题意； B．，故本选项原说法不合题意； C．，故本选项原说法不合题意； D．，故本选项符合题意． 故选：D． 【点睛】此题考查了整式的运算，涉及的知识有：合并同类项、同底数幂的乘法、幂的乘方、单项式乘以多项式的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 2．（2023·辽宁丹东·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】直接利用积的乘方运算法则以及幂的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别化简，进而得出答案． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．，故此选项不合题意； C．，故此选项不合题意； D．，故此选项不合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了积的乘方运算以及幂的乘方运算、同底数幂的乘除运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3．（2023·辽宁盘锦·中考真题）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则、同底数幂的除法法则、幂的乘方法则、积的乘方法则分别计算，即可得出答案． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故该选项计算错误； B、，故该选项计算错误； C、，故该选项计算正确； D、，故该选项计算错误； 故选：C． 【点睛】本题考查合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方等，熟练掌握运算法则是解题的关键． 考点三 整式的乘除 1.整式的乘法 1）单项式乘单项式：把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式。对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它们的指数作为积的一个因式。 2）单项式乘多项式：用单项式和多项式每一项分别相乘，再把所得的积相加。 3）多项式乘多项式：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加。 2.平方差公式 平方差公式： 3.完全平方公式 完全平方公式：. 口诀：首平方，尾平方，二倍乘积放中央 常见的变形公式： 4.整式的除法 1）单项式除以单项式：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式。对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式。 2）多项式除以单项式：一般地，多项式除以单项式，先把多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加. 1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方，多项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法、积的乘方、完全平方公式和平方差公式分别计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算错误，不合题意； 、，该选项计算正确，符合题意； 故选：． 3．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了去括号，积的乘方，平方差公式等知识，掌握这些计算法则与公式是解题的关键；根据这些知识逐项判断即可． 【详解】解：A、非同类项，不能合并，故计算错误； B、，故计算错误； C、，故计算错误； D、，故计算正确； 故选：D． 4．（2025·辽宁营口·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的乘法，正确掌握相关内容是解题的关键．根据整式乘法运算法则和乘法公式进行计算，即可作答． 【详解】解：原式 ． 考点四 因式分解 1.因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式叫作因式分解。 因式分解与整式乘法是互逆变形。 2.提公因式法 3.公式法 平方差公式法： 完全平方公式法： 4.分组分解法 5.十字相乘法 （口诀：首尾分解，交叉相乘，实验筛选，求和凑中） 6.因式分解的步骤 一提、二套、三检查 1．（2023·辽宁盘锦·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式继续分解即可． 【详解】 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 2．（2025·辽宁沈阳·二模）因式分解： ． 【答案】 【详解】解：x3-4x2+4x =x（x2-4x+4） =x（x-2）2． 故答案为：x（x-2）2． 【点睛】本题考查提公因式法与公式法的综合运用． 3．（2025·辽宁抚顺·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解．先提取公因式，再利用完全平方公式分解即可． 【详解】解： 故答案为： 考点五 代数式求值 1.直接代入法 把已知字母的值直接代入代数式计算求值。 2.间接代入法 用间接代入法求代数式的值，要先根据条件求出相关字母的值，再把求得的值代入代数式中计算求值。 3.整体代入法 给出一个含字母的代数式的值，当单个字母的值不能或不容易求出时，一般对给出的代数式或要求值的代数式进行适当变形，通过整体代入，实现快速求值。 ①观察已知代数式和所求代数式的关系； ②利用提公因式法、平方差公式、完全平方公式将已知代数式和所求代数式进行变形，使它们成倍分关系； ③把已知代数式看成一个整式代入所求代数式中计算求值。 4.赋值求值法 指代数式中的字母的取值由答题者自己确定，然后求出所提供的代数式的值的一种方法。这是一种开放型题目，答案不唯一。在赋值时，要注意取值范围，选择合适的代数式的值。 1．（2023·辽宁沈阳·中考真题）当时，代数式的值为 ． 【答案】2 【分析】先将原式去括号，然后合并同类项可得，再把前两项提取，然后把的值代入可得结果. 【详解】解： 当时，原式， 故答案为：． 【点睛】此题主要是考查了整式的化简求值，能够熟练运用去括号法则，合并同类项法则化简是解题的关键. 2．（2025·辽宁阜新·一模）若，则代数式的值为（   ） A．2025 B． C．2026 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了代数式求值、等式的性质等知识点，根据等式的性质对等式进行变形成为解题的关键．由可得，然后对进行变形并将代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选B． 3．（2025·辽宁·模拟预测）已知实数a，b，满足，，则的值为 ． 【答案】42 【分析】首先提取公因式，将已知整体代入求出即可． 【详解】 ． 故答案为：42． 【点睛】此题考查了求代数式的值，提公因式法因式分解，整体思想的应用，解题的关键是掌握以上知识点． 4．（2025·辽宁大连·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】先根据完全平方公式展开，根据单项式乘多项式法则计算，然后合并同类项进行化简，最后将代入化简后的式子求值． 【详解】解：原式 ． 当时，原式． 【点睛】本题主要考查乘方运算、乘法运算、完全平方公式、单项式乘多项式以及代数式求值等知识点．解题关键在于准确运用相关运算法则和公式进行计算，在代数式化简求值中要先化简再代入求值． 命题点一 整式的加减 ►题型01 同类项 1.所有常数项都是同类项. 2.“同类项口诀”：①两同两无关，识别同类项: ②一相加二不变，合并同类项. “两同”：一是所含字母相同；二是相同字母的指数也相同，这两点也是判断同类项的标准，缺一不可. “两无”：一是与系数大小无关；二是与所含字母的顺序无关. “一相加”：系数相加作为结果的系数.“二不变”：字母连同字母指数不变. 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·三模）下列整式与为同类项的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同类项的定义：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项，结合选项求解． 【详解】解：由同类项的定义可知，a的指数是1，b的指数是2． A、a的指数是2，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； B、a的指数是1，b的指数是2，与是同类项,故选项符合题意； C、a的指数是1，b的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意； D、a的指数是1，b的指数是2，c的指数是1，与不是同类项,故选项不符合题意． 故选：B． 【点睛】此题考查了同类项，判断同类项只要两看，即一看所含有的字母是否相同，二看相同字母的指数是否相同． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列各项中的两项，为同类项的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】本题考查同类项的定义，所含字母相同且相同字母的指数也相同的项是同类项，同类项与字母的顺序无关，与系数无关． 【详解】解：A．相同字母的指数不同，不是同类项，故本选项不合题意； B. 与，所含字母不同，不是同类项，故本选项不合题意； C. 与字母相同，且相同的字母的指数也相同，是同类项，故本选项符合题意； D．与所含字母不尽相同，不是同类项，故本选项不合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查同类项定义中的两个“相同”：相同字母的指数相同，是易混点，因此成了中考的常考点． 【变式】1．（2025·辽宁丹东·模拟预测）下列各式与成同类项的是 （ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 本题考查了同类项；根据所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫同类项逐项判断即可． 【详解】解：A．与，相同字母的指数不同，不是同类项； B．与，相同字母的指数不同，不是同类项； C．与，符合同类项的定义，是同类项； D．与，所含字母不同，不是同类项； 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）请写出的一个同类项： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查的是同类项的含义，根据同类项的定义直接可得答案． 【详解】解：的一个同类项为， 故答案为： 【变式】3．（2025·辽宁锦州·二模）若单项式与是同类项，则的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了同类项，熟知“所含字母相同，相同字母也相同的项，叫做同类项”是解题的关键． 根据同类项的定义可得，解答即可． 【详解】解：∵单项式与是同类项， ∴， 解得：， 故答案为：． ►题型02 合并同类项 1.系数相加(减)，所得的结果作为系数，字母部分不变，不能把字母的指数也相加(减)； 2.若两个同类项的系数互为相反数，则合并同类项的结果为0； 3.合并同类项一定要完全、彻底，不能有漏项，而且合并同类项结果可能是单项式，也可能是多项式. 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）下列运算中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据合并同类项法则计算即可作出判断． 【详解】解：A、原式不能合并，不符合题意； B、原式=-5a2，不符合题意； C、原式=-a2b，符合题意； D、原式=-2x+8，不符合题意． 故选：C． 【点睛】此题考查了整式的加减，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了同底数幂的除法、积的乘方、合并同类项等知识．根据运算法则计算后即得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；      B. 与不是同类项，不能合并，故选项错误，不符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项正确，符合题意； 故选：D 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项和去括号法则，解答本题的关键是掌握去括号法则和合并同类项法则． 根据去括号法则和合并同类项法则判定即可． 【详解】解：A、，故A错误； B、，故B正确； C、，故C错误； D、，故D错误． 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·二模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同底数幂的除法，合并同类项，正确的计算是解题的关键． 根据单项式乘以单项式，同底数幂的除法，合并同类项逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A． ，故该选项错误，不符合题意；     B． ，故该选项错误，不符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意；     D． ，故该选项正确，符合题意； 故选D． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式，根据单项式乘以单项式、合并同类项、单项式除以单项式的运算法则逐项判断即可，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项正确，符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． ►题型03 去（添）括号 去（添）括号法则：如果括号前面是“＋”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号前面是“－”号，那么去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 1.去括号只是改变式子形式，但不改变式子的值，它属于多项式的恒等变形． 2.去括号和添括号是两种相反的变形，因此可以相互检验正误. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了合并同类项，去括号，根据合并同类项、去括号法则逐一排除即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式去括号正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了去括号的法则．若括号前是负号，括号内各项变符号；若括号前是正号，括号内各项不变符号． 根据去括号的法则逐一判断即得． 【详解】A、∵，∴选项A不正确； B、∵，∴选项B不正确； C、∵，∴选项C正确； D、∵，∴选项D不正确． 故选：C． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列各式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查添括号，去括号，根据添括号和去括号法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原式不成立，不符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、，原式成立，符合题意； D、，原式不成立，不符合题意； 故选：C． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列各化简变形中，去括号正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了去括号法则，正确掌握去括号法则是解题关键．根据去括号法则，括号前是正数时，括号内各项符号不变；括号前是负数时，括号内各项符号改变，同时需用分配律将系数乘以括号内的每一项． 【详解】解：A. ，故选项计算错误，不符合题意； B.，故选项计算错误，不符合题意； C.，故选项计算正确，符合题意； D. 故选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）下列去括号正确的是：（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查整式加减运算中的去括号，需根据去括号法则逐一验证各选项．括号前为“+”时，直接去掉括号且符号不变；括号前为“−”或系数为负数时，需改变括号内各项的符号． 【详解】解：选项A：，与选项一致，正确． 选项B：，但选项写为，符号错误，故错误． 选项C：．选项写为，符号错误，故错误． 选项D：，但选项写为，符号错误，故错误． 故选：A． ►题型04 整式的加减 1.整式的加减运算的实质就是去括号与合并同类项.主要的理论依据是：去括号法则，合并同类项法则，乘法与加法的分配律。 2.整式加减的一般步骤为：①去括号；②找出同类项；③合并同类项；④计算出结果. 需要注意的是整式加减的最后结果中：①不能含有同类项，要合并到不能再合并为止；②不能出现带分数，带分数要化成假分数. 【典例】1．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）化简 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查整式的加减运算，熟练掌握去括号，合并同类项的法则，是解题的关键： （1）去括号，合并同类项即可； （2）去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）化简 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查整式的加减，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用合并同类项的法则进行运算即可； （2）先去括号，再合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式】2．（2025·辽宁鞍山·模拟预测）化简． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减，熟练掌握相关运算法则是解答的关键．先去括号，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解： ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）在日历上，某些数满足一定的规律．如图是某年8月份的日历，任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则下列叙述中正确的是（    ）． 日 一 二 三 四 五 六 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 A．左上角的数字为 B．左下角的数字为 C．右下角的数字为 D．方框中4个位置的数相加，结果是4的倍数 【答案】D 【分析】根据日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7，然后用含a的式子表示其余三个数，表达规律即可． 【详解】解：日历中的数字规律：同一行中后面的数字比它前面的大1，同一列中上一行比下一行的大7， 任意选择其中所示的含4个数字的方框部分，设右上角的数字为a，则有： 左上角的数字为，故选项A错误，不符合题意； 左下角的数字为，故选项B错误，不符合题意； 右下角的数字为，故选项C错误，不符合题意； 把方框中4个位置的数相加，即：，结果是4的倍数，故选项D正确； 故选：D． 【点睛】本题考查整式的混合运算和列代数式，解题的关键是掌握整式相关运算的法则． 命题点二 整式的乘除 ►题型01 幂的运算 1.熟练掌握幂的基本性质，要做到会直接套用公式，还要能逆用. 2.注意要求的代数式与已知条件的联系，没明显关系时常常逆用公式. 3.幂的底数是常数且指数中有常数也有未知数时，通常把常数的整数指数幂化成常数作为其它幂的系数，然后进行其它运算（例：已知22x+3－22x+1=48，求x的值）. 4.底数不同而指数可变相同的，可通过比较底数确定其大小关系，还可通过积的乘方的逆运算相乘. 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·三模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，同底数幂的除法，熟练掌握运算性质是解题的关键．根据运算法则，对各选项计算后即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确， 不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）下列计算正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了积的乘方和幂的乘方计算，同底数幂乘法计算，负整数指数幂，根据相关计算法则求出对应选项中式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·二模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方等知识点．根据同底数幂的乘除法、积的乘方、幂的乘方的运算法则逐项分析判断即可解答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【变式】2．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）下列运算一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方，根据同底数幂相乘、同底数幂相除、幂的乘方与积的乘方的运算法则逐项判断即可得出答案，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意； B、，故原选项计算错误，不符合题意； C、，故原选项计算错误，不符合题意； D、，故原选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·三模）若a，b是正整数，且满足，则a与b的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，有理数乘方的逆运算，熟练掌握各运算法则是解题的关键．根据已知等式可得，则，由此即可得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． ►题型02 整式的乘法 当我们遇到多项式与多项式相乘或者是单项式与单项式相乘时，字母前的系数可以先进行相乘，然后再把相同的字母进行相乘，这样分类不容易出错，也能提高大家的计算效率。 1）计算过程要注意符号；2）最后有同类项时，必须合并，从而得到最简结果. 【典例】1．（2025·辽宁·一模）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了幂的运算，单项式乘以多项式，合并同类项，熟练掌握计算公式和运算法则是解题的关键． 分别由同底数幂的乘法、幂的乘方计算公式和合并同类项，单项式乘以多项式计算法则判断即可． 【详解】解：A、，原运算错误，故不符合题意； B、与不能合并，原运算错误，故不符合题意； C、，原运算错误，故不符合题意； D、，原运算正确，故符合题意； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁·一模）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多项式乘多项式，单项式乘多项式，平方差公式，同底数幂相乘，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 【变式】1．（2025·辽宁本溪·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了整式的运算，根据单项式除以单项式、积的乘方、单项式乘以多项式和完全平方公式分别计算，进而即可求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 故选：． 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A．； B．； C．； D．； 【答案】C 【分析】本题考查了整式的混合运算，掌握同底数幂的乘除法运算法则，多项式乘以多项式的运算法则是关键． 根据整式的混合运算法则计算即可求解． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故原选项错误，不符合题意； B、，故原选项错误，不符合题意； C、，正确，符合题意； D、，故原选项错误，不符合题意； 故选：C ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·三模）计算：． 【答案】． 【分析】本题考查了整式的乘法运算，掌握运算法则并正确计算是解题的关键．计算单项式乘多项式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． ►题型03 整式的除法 【典例】1．（2025·辽宁丹东·二模）下列运算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方，多项式除以单项式，积的乘方，完全平方公式．根据各自的运算法则一一计算即可得出答案． 【详解】解：A、，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【典例】2．（2025·辽宁大连·一模）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查合并同类项，积的乘方和幂的乘方，同底数幂的乘法以及单项式除以单项式，运用相关知识分别计算各选项结果再进行判断即可． 【详解】解：Ａ．，故原选项计算错误，不符合题意； B. ，故原选项计算错误，不符合题意； C. ，故原选项计算错误，不符合题意； D.，计算正确，符合题意， 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了合并同类项、幂的乘方、单项式的除法、同底数幂的乘法等知识．根据运算法则计算后即可得到答案． 【详解】A. ，故选项错误，不符合题意；     B. ，故选项正确，符合题意； C. ，故选项错误，不符合题意；     D. ，故选项错误，不符合题意； 故选：B 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）下列运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查整式的运算，根据积的乘方、合并同类项、完全平方公式及多项式除单项式的运算法则逐项计算作出判断． 【详解】解：A、，故本选项计算错误，不符合题意； B、和不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算错误，不符合题意； D、，故本选项计算正确，符合题意； 故选：D． 【变式】3．（2025·辽宁大连·模拟预测）计算： ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式除以单项式，解题关键是掌握多项式除以单项式法则． 直接利用多项式除以单项式法则计算． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． ►题型04 乘法公式 1.应用完全平方公式计算时，应注意以下几个问题： ①公式中的a，b可是单项式，也可以是多项式； ②对形如两数和（或差）的平方的计算，都可以用这个公式； ③对于三项的可以把其中的两项看作一项后，继续用完全平方公式． 2.应用平方差公式计算时，应注意以下几个问题： ①左边是两个二项式相乘，并且这两个二项式中有一项完全相同，另一项互为相反数； ②右边是相同项的平方减去相反项的平方； ③公式中的a和b可以是具体数，也可以是单项式或多项式； ④对形如两数和与这两数差相乘的算式，都可以运用这个公式计算，且会比用多项式乘以多项式法则简便． 1.在运用平方差公式和完全平方公式时，要熟记平方差公式和完全平方公式的结构特征； 2.再利用完全平方公式进行配方时，要注意首尾乘积的2倍如果有参数要注意有正负两种情况． 【典例】1．（2025·辽宁葫芦岛·一模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式，解题的关键在于正确掌握相关运算法则． 根据积的乘方，完全平方公式，同底数幂的乘法，平方差公式计算各项并判断，即可解题． 【详解】解：A. ，选项计算错误，不符合题意； B. ，选项计算错误，不符合题意； C. ，选项计算正确，符合题意； D. ，选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 【典例】2．（2025·辽宁沈阳·三模）如图，将个长、宽分别为，的长方形摆成一个大正方形．利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，完全平方公式的几何背景，根据图形中各个部分面积与总面积的关系可得答案．掌握完全平方公式、平方差公式的结构特征是正确解答的前提，用代数式表示各个部分面积是解决问题的关键． 【详解】解：∵总体大正方形的边长为，则面积为， 中间小正方形的边长为，则面积为， 个长方形的面积为， 又∵大正方形的面积减去小正方形的面积等于个长方形的面积， ∴． 故选：D． 【变式】1．（2025·辽宁·模拟预测）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方计算，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据完全平方公式，平方差公式，单项式除以单项式，积的乘方逐一判断各个选项即可 【详解】解：A、，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算正确，符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 故选：B． 【变式】2．（2025·辽宁锦州·二模）化简：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简．先根据积的乘方、平方差公式、单项式乘多项式运算法则展开各式，再合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式】3．（2025·辽宁抚顺·二模）“赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形的两条直角边长分别为m，．若小正方形面积为5，，则大正方形面积为（    ） A．12 B．13 C．14 D．15 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是熟练运用勾股定理以及完全平方公式，本题属于基础题型．由题意可知，中间小正方形的边长为，根据勾股定理以及题目给出的已知数据即可求出大正方形的面积为． 【详解】解：由题意可知，中间小正方形的边长为， ∴，即①， ∵， ∴②， ①②得， ∴大正方形的面积， 故选：B． ►题型05 整式的混合运算 【典例】1．（2025·辽宁朝阳·三模）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，熟练掌握相关定义与运算法则是解题的关键．利用完全平方公式，平方差公式，整式的除法进行化简即可． 【详解】解： ． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）（1）计算：； （2）运用乘法公式计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】本题主要考查了整式的混合运算，平方差和完全平方公式，解题的关键是掌握整式运算的法则． （1）先进行乘除运算，再进行加减运算； （2）先利用平方差公式运算，再进行完全平方运算． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式】1．（2025·辽宁本溪·二模）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了整式的混合运算，熟练掌握乘法公式是关键．利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则计算即可。 【详解】解： ． 【变式】2．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，先利用完全平方公式、平方差公式、单项式乘以多项式法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键； （1）根据多项式除以单项式运算法则，进行计算即可； （2）根据平方差公式，完全平方公式，单项式乘多项式运算法则，进行计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式， ， ， ． 命题点三 因式分解 ►题型01 提公因式法分解因式 1）提取公因式后，括号内的各项是用这个多项式的各项除以公因式得到的商，特别注意不要漏项 2）公因式要提“全”、提“净”，使系数不含公约数，字母不含公因式. 3）当多项式的首项系数为负数时，要把“-”提出来，使括号内的首项系数变为正数. 【典例】1．（2025·辽宁本溪·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解的方法，提公因式即可，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法． 【详解】解：， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁葫芦岛·一模）分解因式： ． 【答案】 【分析】该题考查了因式分解，根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】1．（2023·辽宁锦州·中考真题）因式分解： ． 【答案】 【分析】直接提取公因式即可． 【详解】． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解——提取公因式法，掌握知识点是解题关键． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·二模）分解因式：xy+x= ． 【答案】x（y+1） 【详解】试题分析：提取公因式x，进而分解因式即可：xy+x=x（y+1）． 故答案为x（y+1）． 考点：因式分解-提公因式法． 【变式】3．（2025·辽宁锦州·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键. 根据提公因式法分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． ►题型02 公式法分解因式 1）要熟练掌握公式的结构特征并牢记这些公式. 2）看项数选公式：“二项”考虑平方差公式，“三项”考虑完全平方公式， 3）在运用公式前要先判断一个多项式是否符合公式的特点. 若符合，则把多项式写成公式的结构，再去套公式，否则不能套公式. 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，根据平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】此题考查了公式法分解因式，涉及完全平方公式，熟练掌握相关知识是解题的关键；整理后用完全平方公式分解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁·一模）分解因式： 【答案】 【分析】此题考查了因式分解，利用平方差公式进行分解即可 【详解】解： 故答案为： 【变式】2．（2025·辽宁朝阳·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，直接利用平方差公式分解因式即可得到答案． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）若多项式能用完全平方公式因式分解，则的值是 ． 【答案】 【分析】此题考查了因式分解-运用公式法，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出m的值． 【详解】解：多项式能用完全平方公式因式分解， ， ， 故答案为：． ►题型03 综合提公因式与公式法分解因式 【典例】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握这两种因式分解的方法是解题的关键．先提公因式，再根据完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【典例】2．（2025·辽宁朝阳·三模）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法，是解题的关键．先提公因式，然后用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）因式分解： ． 【答案】 【分析】此题考查了提公因式及公式法分解因式．先提取公因式再运用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式】2．（2025·辽宁营口·一模）因式分解： ． 【答案】 【分析】先提公因式，再利用完全平方公式，即可解答． 本题考查了提公因式法和公式法进行因式分解，解决本题的关键是熟记提公因式法和公式法． 【详解】解； ． 故答案为：． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·二模）分解因式： ． 【答案】/ 【分析】先提取公因式，再根据平方差公式因式分解即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了提公因式法和平方差公式，掌握是解题的关键． 命题点四 求代数式的值 ►题型01 求代数式的值 【典例】1．（2025·辽宁·模拟预测）若，则(   ) A．5 B．1 C． D．0 【答案】A 【分析】把变形后整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴ ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查代数式求值，利用整体思想是解题的关键． 【典例】2．（2025·辽宁·模拟预测）已知，则的值为 ． 【答案】1 【分析】先将a2−4b2+4b化为(a+2b)(a−2b)+4b，再将a+2b=1代入所化式子计算即可． 【详解】解：∵a+2b=1， ∴a2−4b2+4b=(a+2b)(a−2b)+4b =(a−2b)+4b = a+2b=1， 故答案为：1． 【点睛】此题考查了平方差公式的应用，解题的关键是掌握平方差公式，利用整体代入思想求解． 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，先根据，整理得，再代入，进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， 故答案为：6 【变式】2．（2025·辽宁·模拟预测）当时，代数式的值是 ． 【答案】2024 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，完全平方公式，代数式求值等知识点，运用配方法是解题的关键．本题也可以直接代入，但使用配方法更为简便． 先将变形为，然后将代入求值即可． 【详解】解：当时， ， 故答案为：2024． 【变式】3．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）若，则值为 ． 【答案】24 【分析】本题考查代数式求值，整式的加减运算,掌握知识点是解题的关键． 由已知条件和，通过加法运算得到，再将化简，并将代入求解即可． 【详解】解：由，，两式相加得 ， 即， ∴ ． 故答案为24． ►题型02 整式的化简求值 【典例】1．（2025·辽宁鞍山·一模）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，二次根式的混合计算等等：先根据完全平方公式，单项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项即可． 【详解】解： ， 当时，原式 【变式】1．（2025·辽宁铁岭·模拟预测）先化简，再求值： ， 其中，． 【答案】， 【分析】本题考查整式的化简求值，熟练掌握相关运算法则并正确求解是解答的关键．先根据整式的加减运算和去括号运算法则化简，再代值求解即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 【变式】2．（2025·辽宁抚顺·三模）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题主要考查了整式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算．根据整式混合运算法则进行化简，然后再代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 突破一 整式运算无关型问题 【典例】1．（2025·辽宁沈阳·一模）已知，．若的值与x的取值无关，则 ． 【答案】2 【分析】先化简，再令x的系数为0即可求出k的值． 【详解】∵， ， ∴， ， ， ∵的值与的值无关， ∴， ∴． 故答案为：2． 【点睛】本题考查多项式的运算，解题的关键是理解题意，根据的值与的值无关得到． 【典例】2．阅读理解： 已知；若值与字母的取值无关，解得， 当时，值与字母的取值无关， 知识应用： 已知，， 用含，的式子表示； 若的值与字母的取值无关，求的值； 知识拓展： 春节快到了，某超市计划购进甲、乙两种羽绒服共件进行销售，甲种羽绒服每件进价元，每件售价元，购进羽绒服后，返还顾客现金元，乙种羽绒服每件进价元，每件售价元．设购进甲种羽绒服件，当销售完这件羽绒服的利润与的值无关时，求的值． 【答案】知识应用：   知识拓展： 【分析】本题考查了列代数式、整式的加减-化简求值，掌握整式的加减-化简求值的方法是关键． 知识应用：把与代入中，去括号、合并同类项即可得到结果； 把的化简结果变形后，根据的值与字母的取值无关，确定出的值即可； 知识拓展：根据题意列出代数式并求解，结合获得的利润与的取值无关，即可获得答案． 【详解】解：知识应用：， ， ； 的值与字母的取值无关，， ， ； 知识拓展： 设购进甲种羽绒服件，则购进乙种羽绒服件， 则甲种羽绒服利润为：元， 乙种羽绒服利润为：元， 总利润为：， 销售完这件羽绒服的利润与的取值无关， ， 解得：． 【变式】1．若关于x，y的多项式的值与字母x取值无关，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查整式的加减运算，解题的关键是熟练运用整式的加减运算法则． 先对多项式进行合并同类项，再根据多项式的值与x取值无关的条件求出m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解： ∵多项式的值与字母x取值无关， ∴， ∴，， ∴． 故答案为：． 【变式】2．对于、，定义了一种新运算“★”为：． 如：，． (1)计算：①__________；②__________． (2)若，，且当时，的值与字母的取值无关，求，的值． (3)在（2）的条件下，求的值． 【答案】(1), (2), (3) 【分析】本题考查函数值，理解新定义运算是正确解答的前提． （1）根据新定义的运算方法进行计算即可； （2）由，根据新定义的运算得到，最后根据当时，的值与字母的取值无关，得到，； （3）先化简式子，然后代入求值即可． 【详解】（1）解：①； ②； 故答案为：,． （2）解：当时，， ∵当时，的值与字母的取值无关， ∴，， 解得,； （3）解：在（2）的条件下，，， ∴ ． 【变式】3．【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式，∵代数式的值与x的取值无关，∴，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为 ． （2）已知，，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查阅读理解，整式的加减运算，单项式乘多项式的应用，涉及代数式的值与x的取值无关问题解法，读懂题意，理解方法是解决问题的关键． （1）由材料中的解法直接求解即可得到答案； （2）先计算，再由材料中的解法直接求解即可得到答案； （3）设，由图可知，，可得：，根据当的长变化时，的值始终保持不变，可得：，进而可得结论． 【详解】解：（1）， ∵关于x的代数式的值与x的取值无关， ∴， 解得：， （2）∵ ， ， ∴， ∵的值与x无关， ∴， 解得：； （3）设，由图可知，， ∴ ， ∵当的长变化时，的值始终保持不变， ∴取值与x无关， ∴， ∴． 突破二 乘法公式的几何应用 【典例】1．在下面的正方形分割方案中，可以验证的图形是（   ） A． B．C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何应用，解题关键是能根据图形准确列出整式，根据图形进行列式表示图形的面积即可得出答案． 【详解】A中不存在等量关系，故A不符合题意； 由B可得，故B不符合题意； 由C可得，故C符合题意； 由D可得，故D不符合题意； 故选：C． 【典例】2．青朱出入图（图1）是东汉末年数学家刘徽根据“割补术”运用数形关系证明勾股定理引入的图形，该图中的两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等，朱入与朱出的三角形全等，朱方与青方是两个正方形．为便于叙述，将其绘成图2，若记朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b，已知，，则图2中的阴影部分面积为 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查勾股定理的证明、全等三角形的性质、完全平方公式等知识点，掌握数形结合思想成为解题的关键． 根据题意可得可以求出，即可得到图2中的阴影部分面积为，用a，b表示，再运用完全平方公式计算即可． 【详解】解：如图2， ∵朱方对应正方形的边长为a，青方对应正方形的边长为b， ∴， ∵朱入与朱出的三角形全等， ∴， ∴， ∵两个青入的三角形分别与两个青出的三角形全等， ∴， ∴， ∴阴影部分面积为 ， ∵，， ∴，即阴影部分的面积为10． 故答案为：10． 【变式】1． “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 【变式】2．如图，大正方形与小正方形的面积之差是6，则阴影部分的面积是（   ） A．8 B．4 C．3 D．1 【答案】C 【分析】本题考查了已知式子的值求代数式的值，平方差公式的实际应用，解题关键是掌握平方差公式． 先根据大正方形与小正方形的面积之差是6，得出，再用代数式表示出，展开后整体代入求值． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， ∵大正方形与小正方形的面积之差是6， ∴， ∵由于阴影部分是两个三角形的面积和， ∴ ， 故选：C． 【变式】3．有两个正方形A，B，现将B放在A的内部如图①，将A，B并排放置后构造新的正方形如图②，若图①和图②中阴影部分的面积分别为和，则正方形A，B的面积之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，整式乘法；掌握完全平方公式是解题的关键． 设正方形 A，B 的边长分别为，由几何图形得，，，进而即可求解． 【详解】解：设正方形 A，B 的边长分别为，则 图①中阴影部分面积为 图②中阴影部分面积为 ∴ ∴ ∴． 故答案为： 突破三 整式运算新定义问题 【典例】1．【新型定义】若，则称与是关于7的“奇妙数”． 例如：如果，那么与是关于7的“奇妙数”． (1)【初步探究】求①5与___________是关于7的“奇妙数”； ②___________与是关于7的“奇妙数”； ③与___________是关于7的“奇妙数”； (2)【拓展提升】若与是关于7的“奇妙数”，求的值． 【答案】(1)①，②，③ (2) 【分析】本题考查了整式的混合运算，能灵活运用整式的运算法则进行计算是解此题的关键，也考查了解一元一次方程的应用． （1）根据已知条件得出即可； （2）根据已知条件得出，再求出方程的解即可． 【详解】（1）解：（1）①∵， ∴5与是关于7的“奇妙数” ②∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数” ③∵ ∴， ∴与是关于7的“奇妙数”； ∴答案为；；． （2）∵与是关于7的“奇妙数”， ∴， ∴． 【变式】1．我们规定：若一个正整数A能写成，其中x与y都是两位数，且x与y的十位数字相同，个位数字之和为6，则称A为“方减数”，并把A分解成的过程，称为“方减分解”．例如：因为，24与22的十位数字相同，个位数字4与2的和为6，所以510是“方减数”，510分解成的过程就是“方减分解”．按照这个规定，最大的“方减数”是 ． 【答案】8946 【分析】本题考查了新定义下的整式运算，解题的关键是用字母表示数并分析最值条件． 通过设未知数表示出“方减数”的表达式，根据数位范围分析参数的最大值，进而计算出最大的“方减数”． 【详解】解：设， 其中是十位数字, 、是个位数字，且，即，,, 则“方减数”， 将代入得， 展开得， 要使最大，需让取最大值取最大值6， 当时， 则， 代入得． 故答案为：8946． 【变式】2．符号“”表示一种运算，表示在运算作用下的结果，如表示在运算作用下的结果，它对一些数或式的运算结果如下： ，，，… 利用上述运算定义计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查新定义运算，有理数的混合运算及整式的加减，掌握新定义的运算法则，利用新定义规则转化为正常运算是解题关键． （1）按新定义的运算法则代入计算即可； （2）按新定义的法则转化为正常运算，再去括号，合并同类项即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式】3．定义一种新的运算“”，其规则为：当与同号时，；当与异号时，． 例如：，． (1)请直接写出结果：_____，_____； (2)计算：； (3)已知，均为正整数，且，则一定能被9整除，请你通过计算说明理由； (4)已知，，设，当时，请直接写出的值_____． 【答案】(1)，40； (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查了有理数的混合运算和整式的加减，弄清题中的新定义是解本题的关键． （1）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （2）原式利用题中的新定义计算即可求出值； （3）利用题中的新定义化简原式，得，即可得证． （4）根据题意得，，将原式化简得，从而可得结论． 【详解】（1）解：∵4与9同号， ∴； ∵与6异号， ∴． 故答案为：；40； （2）解： ； （3）解：∵，均为正整数， ∴，同号， ∴ ， ∵， ∴ ∴3与异号， ∴， ∴一定能被9整除； （4）解：∵，， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 突破四 整式运算整除问题 【典例】1．【教材呈现】 在小学，我们知道像，，，，，……这样的自然数能被整除．一般地，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被整除，那么这个自然数能被整除．你能说出其中的道理吗？ 先来看两位数的情形． 若一个两位数的十位，个位上的数字分别为，则通常记这个两位数为．于是．显然能被整除，因此，如果能被整除，那么就能被整除，即能被整除． 【方法运用】 请你用类似的方法表示三位数，四位数，并说明前面结论的道理． （1）我们用表示一个三位数．其中分别表示百位，十位，个位上的数，即．若能被整除，则能被整除． 请你补全下面的证明过程： 证明：__________， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除． （2）若三位数能被整除，且的值是偶数，直接写出的值． （3）已知三位数中，若能被整除，求证：能被整除． 【类比应用】 （4）试分析四位数与三位数的差能否被整除，若能请说明理由；若不能，请举例说明． （5）若五位数能被整除，求的值． 【答案】（1）； （2） （3） 见解析 （4）能 （5） 【分析】本题主要考查了数的整除性、代数式的拆分与整式的加减，熟练掌握将数拆分为含9（或9的倍数）的部分与数字和部分的方法是解题的关键． （1）将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质补全证明； （2）根据能被整除的数的数字和特征，结合是偶数确定的值； （3）类比能被整除的证明方法，将三位数拆分为含、的部分与数字和的部分，利用的倍数能被整除的性质证明； （4）先表示出四位数与三位数，计算出差后拆分为含的倍数的部分与数字和的部分，判断是否能被整除； （5）根据能被整除的数的数字和特征，计算五位数的数字和，结合的取值范围确定的值． 【详解】（1）证明： ， 又和能被3整除，能被3整除， 能被3整除， 故答案为：；． （2）解：∵ 三位数能被3整除， ∴ 能被3整除， ∴ 的可能值为9、12、15， 解得、、， 又∵ 是偶数， ∴ ． （3）证明：∵ ， 又∵ 和能被9整除，能被9整除， ∴能被9整除． （4）解：能被3整除． 理由：四位数， 三位数， 则差为：， ∵ 能被3整除， ∴ 四位数与三位数的差能被3整除． （5）解：∵ 五位数能被9整除， ∴ 数字和能被9整除， ∴ （是个位数）， 解得． 【变式】1．综合与实践 【问题背景】 一般的，如果一个自然数的所有数位上的数字之和能被3整除，那么这个自然数就能被3整除．验证方法如下：以两位数为例，一个两位数的十位、个位上的数字分别为，，通常记这个两位数为，于是，显然能被3整除，因此，如果能被3整除，那么就能被3整除，即能被3整除． 【类比探究】 已知一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为a，b，c． （1）请用含a，b，c的代数式表示三位数_____； （2）请仿照【问题背景】中的代数推理方法验证：若可以被3整除，则这个数可以被3整除． 【拓展探究】 判断一个三位整数能否被7整除，只需看去掉这个数的末位数字后，所得到的两位数与此末尾数字5倍的和能否被7整除，如果这个和能被7整除，则原数就能被7整除． （3）请用代数推理方法验证：如果一个三位数，百位、十位、个位上的数字分别为、、，若“能被7整除，则就能被7整除”这个结论． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题考查了整式加减与数的整除，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据题意可得出三位数为百位数字十位数字个位数字，可得出答案； （2）先将三位数字变形，然后分析各项与的整除关系得，即可得出结论； （3）对三位数变形，利用已知条件替换，最后化简式子并判断整除性即可． 【详解】解：（1）， 故答案为：； （2） ， ， 能被3整除，能被3整除， 又∵可以被3整除， 就能被3整除，即就能被3整除； （3）， ， ∵“能被7整除，能被7整除， 就能被7整除，即就能被7整除． 【变式】2．若一个两位数十位、个位上的数字分别为a、b，我们将这个两位数简记为，易知，同理，一个三位数、四位数等均可以用此记法，如． (1)若，求a的值； (2)证明：能被11整除； (3)将一个三位数的中间数字b去掉变为一个两位数，若满足，求b的最大值； (4)一个三位数M，a，b，c分别是数M其中一个数位上的数字，且，，在a，b，c中任选两个数字组成两位数和，若为整数，请直接写出所有满足条件的数M． 【答案】(1) (2)见解析 (3)b的最大值为9 (4)754，745，547，574，457，475，853，835，583，538，358，385，952，925，592，529，259，295 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，整式的混合运算以及应用等知识． （1）根据题意将十位数和百位数的计算方式展开，得到一个关于a的一元一次方程，求解即可得出答案． （2）根据百位数的计算方式展开得出，再由a， c都是正整数即可得出是整数，进而可得出能被11整除． （3）将展开得出，由a，b的值可得出b的最大值为9． （4）根据题意可知C的最大值为5，再化简式子得出为5的倍数．故得出b只能取5，然后分别讨论即可得出答案． 【详解】（1）解： 整理得： 解得 （2）证明∶ ∵a， c都是整数， ∴是整数， ∴能被11整除． （3）解∶由 得∶， 整理得∶， ∴b的最大值为9． （4）解：∵， ∴， ∴， ∴C的最大值为5， ∴， ∵为整数， ∴为5的倍数． ∵b为正整数，且， ∴b只能为5． 当取4时，取5，则，此时M为754或745或547或574或457或475． 当c取3时，取5，则，此时M为853或835或583或538或358或385． 当c取2时，取5，则，此时M为952或925或592或529或259或295． 当c取1时，取5，则，不符合题意． 综上：M的值为754，745，547，574，457，475，853，835，583，538，358，385，952，925，592，529，259，295． 突破五 数字类规律探索 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）按一定规律排列的代数式：，，，，，，第个代数式是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了数列的规律变化，根据数列找到变化规律即可求解，仔细观察和总结规律是解题的关键． 【详解】解：∵按一定规律排列的代数式：，，，，，， ∴第个代数式是， 故选：． 【变式】1．（2025·辽宁锦州·模拟预测）如图，下列各圆中三个扇形上标记的数字之间都有相同的规律，则根据此规律，可以得出图中b的值为(    ) A．143 B．140 C．123 D．120 【答案】A 【分析】本题考查了数字类规律探究，先求出前几个数之间的关系，找到规律为，再代入计算． 【详解】解：， ， ， ， ， 第个圆中规律为：， 当时， ， 故选：A． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）阅读材料：求的值． 解：设①， 将等式两边同时乘2得：②， ②①得，即． 请你仿照此法求的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查数字的变化规律，根据原式得出正确的倍数关系是解题的关键．设原式，则得出，即可求出S的值． 【详解】解：设①， ① 将等式两边同时乘，得②， 将②①，得，即． 故选：A． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）在人教版八年级上册数学书页提到了杨辉三角，材料如下： 在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图所示的三角形解释二项和的乘方规律．杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪也用过上述方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．事实上，这个三角形给出了的展开式（按的次数由大到小的顺序）的系数规律．例如，此三角形中第行的个数，，，恰好对应着展开式中的各项的系数． 根据上述材料，请回答： (1)请根据的展开式证明其对应第四行的系数； (2)请根据的展开式补齐第七行的系数，并写出一个杨辉三角的性质； (3)请你预测并直接写出展开式的第二项系数______． 【答案】(1)证明见解析 (2)第七行的系数为：，，，，，，；递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和 (3) 【分析】本题考查了整式乘法，数字规律的探索，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． （1）利用整式的乘法求解验证即可； （2）写出的展开式补齐第七行的系数，根据题意知每行系数的规律为：每个数字等于上一行的左右两个数字之和； （3）观察数字规律即可知：从第二行开始第二项的系数与的次幂相等，即可求解． 【详解】（1）解：， 的展开式的系数为，，，， 的展开式的系数对应第四行的系数； （2）解：， 第七行的系数为：，，，，，，， 杨辉三角的性质：递推关系：每个数字等于上一行的左右两个数字之和； （3）解：由题意知，从第二行开始第二项的系数与的次幂相等， 展开式的第二项系数为， 故答案为：． 突破六 图形类规律探索 【典例】1．（2025·辽宁抚顺·模拟预测）如图是由一些同样大小的三角形按照一定规律所组成的图形，第1个图有4个三角形．第2个图有7个三角形，第3个图有10个三角形……按照此规律排列下去，第674个图中三角形的个数是（    ） A．2022 B．2023 C．2024 D．2025 【答案】B 【分析】此题考查了图形的变化规律，解题的关键是根据图形的排列，归纳出图形的变化规律．根据前几个图形的变化发现规律，可用含n的代数式表示出第n个图形中三角形的个数，从而可求第674个图形中三角形的个数． 【详解】解：第1个图案有4个三角形，即， 第2个图案有7个三角形，即， 第3个图案有10个三角形，即， …， 按此规律摆下去，第n个图案有个三角形， 则第674个图案中三角形的个数为：（个）． 故选：B． 【变式】1．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）某广场要做一个由若干盆花组成的形如正六边形的花坛，每条边（包括两个顶点）有n（n>1）盆花，设这个花坛边上的花盆的总数为S，请观察图中的规律: 按上规律推断，S与n的关系是 ． 【答案】S=6n-6 【详解】观察可得，n=2时，S=6； n=3时，S=6+（3-2）×6=12； n=4时，S=6+（4-2）×6=18； …； 所以，S与n的关系是：S=6+（n-2）×6=6n-6． 故答案为S=6n-6． 【点睛】本题是一道找规律的题目，这类题型在中考中经常出现．对于找规律的题目首先应找出哪些部分发生了变化，是按照什么规律变化的． 【变式】2．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）用黑白两种颜色的四边形纸片，按黑色纸片数逐渐增加1的规律拼成下列图案，则第个图案中 张白色纸片.    【答案】 【分析】观察图形可知：白色纸片在4的基础上，以此多3个；根据其中的桂林村得出第n个图案中有多少白色纸片即可． 【详解】∵第1个图案中有白色纸片 张 第2个图案中有白色纸片 张 第3个图案中有白色纸片 张 ∴第n个图案中有白色纸片的张数成等差数列，差为3 根据等差数列的公式 可得第n个图案中有白色纸片 张 故答案为：． 【点睛】本题考查了等差数列的性质以及应用，掌握等差数列的公式是解题的关键． 【变式】3．（2025·辽宁·模拟预测）阅读材料，解决下列问题： 如图是一个三角点阵，从上向下数有无数多行，其中第一行有1个点，第二行有2个点，…，第行有个点，…． (1)探索：三角点阵中前6行的点数之和为______，前9行的点数之和为______； (2)总结：前行的点数之和为______（用含的式子表示，为正整数）； (3)运用：某商场举办促销活动，计划用气球装饰中庭，其中一种装饰方案需要悬挂650个气球．按照第一串挂2个，第二串挂4个，第三串挂6个，…，第串挂2n个的规律排列，求这种装饰方案一共需要悬挂多少串气球？ 【答案】(1)21；45 (2) (3)要悬挂25串气球 【分析】本题考查了有理数的图形类规律，解一元二次方程的应用． （1）直接把前面6行、9行点分别相加即可求解； （2）把前n行点数相加即可； （3）根据题意列出方程，利用（2）的结论解一元二次方程即可求解． 【详解】（1）解：前6行点数和为：； 前9行点数和为：； 故答案为：21；45； （2）解：前n行点数和为：； 故答案为：； （3）解：由题意得：， 即 ∴， 整理得：， 解得：（舍去）， 答：这种装饰方案一共需要悬挂25串气球． 1．（2025·辽宁盘锦·三模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了合并同类项，积的乘方，负整数指数幂，单项式除以单项式，利用合并同项类，负整数指数幂的运算法则，积的乘方的法则，单项式除以单项式的法则对各选项进行运算判断即可，熟练掌握运算运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算错误，不符合题意； 、，原选项运算正确，符合题意； 故选：． 2．（2025·辽宁本溪·二模）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式，熟练掌握合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式法则是解决本题的关键．根据合并同类项、单项式除以单项式、积的乘方、完全平方公式解决此题． 【详解】解：A．根据合并同类项法则，与不是同类项，无法合并，那么A不符合题意． B．根据单项式除以单项式法则，得，那么B不符合题意． C．根据积的乘方，得，那么C符合题意． D．根据完全平方公式，得，那么D不符合题意． 故选：C． 3．（2025·辽宁大连·一模）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】A. ，不成立； B. ，成立； C. ，不成立；     D. ，不成立． 【详解】A. ，∵，故不能选；     B. ，正确，故能选； C. ，∵，故不能选； D. ，∵，故不能选． 故答案为B 【点睛】本题考查了整式的运算，解决问题的关键是熟练掌握乘方运算，平方差公式，完全平方公式，同底数幂除法的法则． 4．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）图2是图1中长方体的三视图，若用表示面积，则（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由主视图和左视图的宽为x，结合两者的面积得出俯视图的长和宽，从而得出答案． 【详解】∵S主=x2+2x=x（x+2），S左=x2+x=x（x+1），∴俯视图的长为x+2，宽为x+1，则俯视图的面积S俯=（x+2）（x+1）=x2+3x+2． 故选A． 【点睛】本题考查了由三视图判断几何体，解题的关键是根据主视图、俯视图和左视图想象几何体的前面、上面和左侧面的形状，以及几何体的长、宽、高． 5．（2025·辽宁铁岭·二模）因式分解： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了分解因式，先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 6．（2025·辽宁盘锦·模拟预测）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先提公因式，再利用完全平方公式因式分解即可，掌握因式分解的方法是解题的关键． 【详解】解：， 故答案为：． 7．（2025·辽宁·模拟预测）赵爽是我国著名的数学家，“赵爽弦图（如图）”是他研究勾股定理的重要成果，该图形由四个全等的直角三角形拼成，已知图中大正方形的面积为34，阴影小正方形的面积为4，若直角三角形的两条直角边长分别为m、n，则 ． 【答案】8 【分析】本题考查了勾股定理的背景图中与面积有关的计算．本题根据面积关系列式得到：，，然后得到，然后由，代入数据即可求解． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长分别为m、n， ∴大正方形的边长为， ∵大正方形的面积为34， ∴， ∵小正方形的面积为4， ∴小正方形的边长为2， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：8． 8．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）要使多项式化简后不含的项，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了整式的加减中，不含某项的计算，熟练掌握不含某项的意义是解题的关键． 根据题意，得，结合多项式化简后不含的项，得，解答即可． 【详解】解：， ∵多项式化简后不含的项， ∴， 解得． 故答案为：． 9．（2025·辽宁·模拟预测）（1）计算： （2）计算： 【答案】（1）；（3） 【分析】本题考查了整式的混合运算和平方差公式，熟练掌握运算法则和平方差公式是解题的关键． （1）根据多项式除以单项式，先将多项式的每一项分别除以单项式，然后将得到的商相加，同时运用平方差公式计算即可； （2）根据多项式乘多项式的法则及平方差公式，计算即可． 【详解】解：（1） ； （2） ． 10．（2025·辽宁铁岭·二模）（1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）（2） 【分析】此题主要考查了实数运算及整式的乘法运算，正确化简各数是解题关键． （1）直接利用绝对值的性质和负整数指数幂的性质及二次根式的性质分别化简得出答案； （2）根据多项式的乘法以及完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】解：（1） （2） 11．（2025·辽宁·模拟预测）如图，点是线段上任意一点（不与，重合），以，为边在上方作正方形，，若两个正方形的周长和为40，面积和为80，则阴影部分的面积为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，设正方形的边长为a，正方形的边长为b，由题意得，，则可根据完全平方公式推出，则． 【详解】解：设正方形的边长为a，正方形的边长为b， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：5． 12．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式的应用，求代数式的值．将两边平方并展开，即可得解．掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 13．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）如图，某类简单化合物中前6种化合物的分子结构模型，其中黑球代表碳原子，白球代表氢原子．按照这一规律，第10种化合物的分子结构模型中氢原子个数为（   ） A． 18 B． 20 C． 22 D． 24 【答案】C 【分析】本题主要考查了图形类的规律探索及代数式求值，掌握相关知识是解题的关键．观察前面6幅图可知氢原子的个数是序号的2倍加2，据此规律求解即可． 【详解】解：由所给图形可知， 第1种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为； 第2种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为； 第3种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为； …， 所以第n种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为个． 当时， ， 即第10种化合物的分子结构模型中氢原子的个数为22个． 故选：C． 14．（2025·辽宁·模拟预测）探究：把四块如图1所示的小正方形按图2所示的方式拼成一个大正方形，空白部分是两个长为，宽为的互相垂直的矩形； 尝试：用不同的代数式表示图2中阴影部分的面积，可得到的等式为_____； 应用：如图3，已知是线段上一点，分别以为直角边向上和向下作等腰直角三角形，若，求阴影部分的面积； 拓展：已知，求的最小值． 【答案】尝试：，应用：12，扩展：2 【分析】本题考查的是完全平方公式的几何背景，根据图形中面积的不同表示方法得到相关等式是解题的关键． 尝试：从整体上看，阴影部分的面积=边长为的正方形的面积；从组成上看，阴影部分的面积=边长为m的大正方形的面积个长为m、宽为n的小长方形的面积再加上边长为n的正方形的面积； 应用：设，得，求出，从而可求出阴影部分的面积； 拓展：进行整式的减法得，再进行配方可得结论． 【详解】解：尝试：， 故答案为：； 应用：设， 由题意，得． 又， ， ． 阴影部分的面积为． 拓展：， 的最小值为2． 15．（2025·辽宁沈阳·模拟预测）定义：多项式A，B，C，如果满足，m为常数时，则称多项式A，B，C为一组和谐多项式．其中m是该组和谐多项式的和谐果． 例如：对于多项式，，，因为，所以多项式，，是一组和谐多项式，4是该组和谐多项式的和谐果． (1)判断多项式，，是否为一组和谐多项式？若是，请求出该组和谐多项式的和谐果；若不是，请说明理由； (2)多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式，求a，b，c之间的数量关系； (3)多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式，请直接写出该组和谐多项式的和谐果m的值． 【答案】(1)多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为； (2)； (3)9 【分析】本题考查了新定义，整式的混合运算的应用，理解题意，熟练计算是解题的关键． （1）根据和谐多项式的概念，计算即可验证； （2）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； （3）根据和谐多项式的概念，列式，可得结果中和的系数都为０，即可解答； 【详解】（1）解：， ， ， 故多项式，，是一组和谐多项式，和谐果为 （2）解： ， ， 多项式，，（a，b，c是常数）是一组和谐多项式， ； （3）解： 多项式，，（d，e是常数）是一组和谐多项式， ， 解得， ． 16．（2025·黑龙江·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 17．（2025·山东东营·中考真题）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式，熟记对应法则是解题的关键．根据合并同类项，同底数幂的乘法法则，同底数幂的除法法则，完全平方公式对每一项判断解答即可． 【详解】解：A．、不是同类项不能合并，故原计算错误，不符合题意； B．，故原计算错误，不符合题意； C．，故原计算错误，不符合题意； D．，故原计算正确，符合题意； 故选：D． 18．（2025·山东德州·中考真题）已知m，n是正整数，且满足，则m与n的关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法运算，熟练掌握同底数幂的乘法是解题的关键；由题意易得，即可求解． 【详解】解：， ， 故选：A． 19．（2025·四川巴中·中考真题）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式，熟知相关计算法则是解题的关键． 根据幂的乘方计算，同底数幂的乘法计算，单项式乘以多项式，完全平方公式逐项计算判断即可． 【详解】解：A．，原式计算错误，故本选项不符合题意； B．，原式计算错误，故本选项不符合题意； C．，原式计算错误，故本选项不符合题意； D．，原式计算正确，故本选项符合题意； 故选：D． 20．（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）定义新运算：，则的运算结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查新定义的题型和整式的乘法运算，解决此题的关键是正确的计算；将 和 代入公式 进行计算． 【详解】解：由题意得，； 故答案为 ． 21．（2025·山东威海·中考真题）若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代数式求值，掌握整体的思想是解题的关键． 先将变形为，然后将变形为，再整体代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：． 22．（2025·青海西宁·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，先提公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解：； 故答案为：． 23．（2025·山东东营·中考真题）分解因式： ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，先运用提公因式法进行因式分解，再运用完全平方公式进行因式分解，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 24．（2025·四川内江·中考真题）已知实数a，b满足，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式因式分解，根据平方差公式因式分解，将已知等式代入，即可求解． 【详解】解：∵， ∴ 故答案为：． 25．（2025·四川自贡·中考真题）若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了求代数式的值、整式的混合运算，由题意可得，整体代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：． 26．（2025·山东潍坊·中考真题）（1）先化简，再求值：，其中，满足． （2）解方程组：． 【答案】（），；（）． 【分析】本题考查了整式的化简求值，解二元一次方程组，掌握运算法则和方程组解法是解题的关键． （）先由单项式乘以多项式，完全平方公式进行化简，然后合并同类项化成最简，再把代入求解即可； （）利用代入消元解方程组即可． 【详解】解：（）， 因为， 所以． （）解：， 由得， 将代入，得， 解得， 将代入，得， ∴该方程组的解为． 27．（2025·青海西宁·中考真题）（1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查立方根，算术平方根，绝对值，二次根式的加减，完全平方公式，平方差公式，合并同类项，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算立方根，算术平方根，绝对值，再进行二次根式的加减即可； （2）先计算完全平方公式，平方差公式，再进行合并同类项即可． 【详解】解：（1）原式 ． （2）原式 ． 28．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 29．（2025·新疆·中考真题）对多项式A，B，定义新运算“”：；对正整数k和多项式A，定义新运算“”：（按从左到右的顺序依次做“”运算）．已知正整数m，n为常数，记，，若不含项，则 ． 【答案】15 【分析】本题考查数字类规律探究，整式加减中不含某一项问题，先根据，令，求出相应的结果，进而推导出当时的结果，利用新定义，求出，再根据新定义求出，根据不含项，得到项的系数为0，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，， 当时，， 当时，， ∴当时，，当时，， ∴，， ∴ ， ∵不含项， ∴， ∴， 设，则：， ∴， ∵均为的整数幂，为偶数， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：15． 30．（2025·宁夏·中考真题）定义：若一个三位数的十位数字减去个位数字的差恰好等于百位数字，则这个三位数叫做“极差数”．例如，三位数，因为，所以它是“极差数”． 【理解定义】 三位数是否为“极差数”？___________． 【建模推理】 （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为，则与的关系式为___________； （2）任意一个“极差数”都能被11整除吗？为什么？ 【答案】理解定义：不是；建模推理：（1）；（2）任意一个“极差数”都能被11整除．理由见解析． 【分析】本题考查数字类问题．旨在考查学生的信息处理能力． 理解定义：根据定义进行验证即可； 建模推理： （1）根据“极差数”的定义即可求出答案； （2）设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c，根据定义和（1）的结论即可求证． 【详解】理解定义：∵十位数字减去个位数字的差为，百位数字为， ∴十位数字减去个位数字的差不等于百位数字， ∴三位数不是“极差数” 故答案为：不是 建模推理： （1）设一个“极差数”的百位、十位、个位数字分别为， 根据题意可得，， 故答案为：； （2）任意一个“极差数”都能被11整除． 证明：设任意一个“极差数”的百位数字是a，十位数字是b，个位数字是c， ∵， ∴， ∴能被11整除， ∴任意一个“极差数”都能被11整除． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $