期末专题07 锐角三角函数的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

期末专题07 锐角三角函数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的三角函数值 类型二、特殊角的三角函数值的计算 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 类型四、几何图形中的三角函数问题 压轴专练 类型一、求角的三角函数值 1. 直角三角形内抓边角 若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入 sin A、cos A、tan A 计算；非直角三角形可作高构造直角三角形。 2. 特殊图形中用性质 遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关系，再转化为直角三角形中的边角计算；特殊角直接套用对应函数值。 例1．（23-24九年级上·陕西汉中·期末）如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正方形的顶点上，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题考查勾股定理和正切，利用勾股定理求出三角形的三条边，并利用勾股定理的逆定理判断其为直角三角形，最后根据正切的定义即可求得答案． 【详解】解：由图可知，，， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 【变式1-1】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·期末）如图，在中，，设所对的边分别为、、，则下列式子正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了求角的三角函数值． 求出的正弦值、余弦值、正切值，进而判断即可． 【详解】解：∵，设所对的边分别为、、， ∴，，， 只有B正确 故选：B 【变式1-2】（25-26九年级下·全国·期末）在中，，都是锐角，若，则的度数是 ． 【答案】 【分析】本题考查非负数的性质、特殊角的三角函数值、三角形内角和定理，掌握特殊角的三角函数值是解题关键． 利用非负数的性质和三角函数，求出和的度数，再根据三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵， 且，， ∴ ，， ，． ，都是锐角， ∴，， 在中，． 故答案为： 【变式1-3】（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，矩形中，点在边上．将矩形沿直线折叠，点恰好落在边的点处．若，，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质、勾股定理以及三角函数定义等知识；熟练掌握翻折变换的性质和三角函数定义是解题的关键．由翻折变换的性质得出，由勾股定理求出的长，再由求出的长，再由三角函数定义求出的长，进而求出的长，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， 由折叠的性质得：，，， ， ， 在中，，， ， ， ， ， ， ． 类型二、特殊角的三角函数值的计算 1. 等腰直角三角形（45°）：设两直角边为1，则斜边为，可直接得出sin45°、cos45°、tan45°。 含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为。由此可推导出30°和60°的所有三角函数值。 强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。 2. 巧用转化与逆向思维 角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用“互余角”（sinA = cos(90°-A)）和“互补角”（sinA = sin(180°-A)）关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。 知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，已知sinα = √3/2，则锐角α可能是60°；若α是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。 核心是 “模型记忆 → 角度转化 → 得出结论” 。 例2．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）计算的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算． 先求出特殊角的三角函数值，再计算二次根式即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-1】（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）计算： 【答案】 【分析】本题考查了特殊角三角函数值的混合运算，熟记特殊角三角函数值是关键；计算出各特殊角的三角函数值，再相加减即可． 【详解】解： ． 【变式2-2】（25-26九年级上·全国·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了特殊角的三角函数值，乘方运算等知识，熟知特殊角的三角函数值是解题关键． （1）先计算出特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解； （2）先计算乘方、特殊角的三角函数值，再进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ； （2） ． 【变式2-3】（24-25九年级下·全国·期末）计算下列各题： (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查三角函数的计算，二次根式的性质，零指数幂；熟练掌握特殊角的三角函数值以及零次幂的意义是解决本题的关键． （1）根据特殊角的三角函数值代入计算即可； （2）根据特殊角的三角函数值代入并化简，零指数幂，化简二次根式，然后求值即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 1. 建模转化 从实际场景中抽象直角三角形模型，标注已知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系，锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。 2. 精准计算 优先选择含已知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍，必要时借助计算器求角的近似值。 例3．（24-25八年级下·北京·期末）如图，斜坡的坡度为，坡面的长为，则坡顶到水平地面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坡度、勾股定理的应用，坡度是坡面的铅直高度与水平宽度的比．根据斜坡的坡度为，设，则，根据勾股定理可得，又因为，可知，可得坡顶到水平地面的距离为． 【详解】解：斜坡的坡度为， ， 设，则， 在中，， ， ， ， 解得：， 坡顶到水平地面的距离为． 故选A 【变式3-1】（24-25九年级上·四川资阳·期末）如图，有一斜坡，坡顶离地面的高的长为，斜坡的坡度为，现有一辆小车从A点以的速度沿爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为 ． 【答案】20 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理， 利用斜坡的坡度为求出，再利用勾股定理求，进而求解即可． 【详解】解：∵，斜坡的坡度为，坡顶离地面的高的长为， ∴， ∴， ∴， ∵小车从A点以的速度沿爬坡 ∴当爬到坡顶B处时，需要时间为． 故答案为：20． 【变式3-2】（25-26九年级上·山东青岛·期末）五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动测量一个古塔的高度．如图，在古塔附近有一斜坡，斜坡坡度为，，古塔落在斜坡上的影长，同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为（古塔在圆圆的正前方）． (1)求古塔的高度； (2)圆圆站在斜坡上点处，已知目高为米．某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行方向，以米秒的速度向前匀速飞行，求经过秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理解三角形，相似三角形的判定与性质，比例的性质，解决本题的关键是添加辅助线构造相似三角形． （1）先根据坡度比求出B到地面的竖直高度与水平宽度，再求解出影长，再由影长为即可求解； （2）先由平行证明，即可得，再由，即可求解． 【详解】（1）解：如图：连接并延长交于，延长交于， 斜坡坡度为，即竖直高度与水平宽度的比为， 设B到地面的竖直高度为，水平宽度为， 又，， 由勾股定理可得， 即，即， 解得， ∴B到地面的竖直高度为，水平宽度为， ∵， ∴古塔在地面的影长为， ， ， ， ； （2）解：如图：连接并延长交于，延长，交延长线于，， 则，， ， ， ， ， ， ， ， ， 遥控无人机离地面的高度为． 【变式3-3】（2024·浙江绍兴·二模）随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新潮流．某种手机支架如图1所示，立杆垂直于地面，其高为为支杆，它可绕点B旋转，其中长为为悬杆，滑动悬杆可调节的长度．（参考数据：） (1)如图2，当B、C、D三点共线，时，且支杆与立杆之间的夹角为，求端点D距离地面的高度； (2)调节支杆，悬杆，使得，如图3所示，且点D到地面的距离为，求的长．（结果精确到） 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查解直角三角形的运用，掌握锐角三角函数的计算是解题的关键． （1）如图所示，过点D作，过点B作于点E，则，由题意得到，在中，，可得，再根据，即可求解； （2）如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H，则，，在中，由，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示，过点D作，过点B作于点E，则， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴端点D距离地面的高度为； （2）解：如图所示，过点D作，过点C作，交于点K，H， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴． 类型四、几何图形中的三角函数问题 1. 构造直角三角形 针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、角转移到直角三角形中，建立边角关联。 2. 结合几何性质 联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正弦、余弦、正切）列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。 例4．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）如图，在中，，，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和勾股定理是解题的关键．过点作于点，先利用三角函数的定义和勾股定理求出和的长度，进而得到的长度，最后在中求出的度数． 【详解】如图所示，过点作于点， ，， 在中，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：C． 【变式4-1】（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，是的切线，点为上任意一点，点为的中点，连接交于点，延长与相交于点，若，则的长为 ． 【答案】 【分析】证明，得出，证，从而求出，则可得出答案． 本题主要考查相似三角形的判定和性质、切线的性质、圆周角定理，垂径定理，解直角三角形，熟练掌握相关知识是解题关键． 【详解】解：是的直径， ， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， 点为的中点， ， ， ， ， 即， ． 故答案为：． 【变式4-2】（24-25九年级下·湖南·期末）如图，四边形内接于，点O在上，，过点C作的垂线，分别交，的延长线于点E，F． (1)求证：为的切线； (2)若G为位于上下方的一点，且，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了切线的判定、圆周角定理、锐角三角函数的定义，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）连接，，由推出，由得到，进而得到，再利用平行线的性质推出，再根据切线的判定定理即可证明； （2）连接，根据平行线的性质以及同弧所对的圆周角相等得到，得到，设的半径为，在中利用余弦的定义列出方程，求出的值，由是的直径，得出，，最后在中利用余弦的定义即可求出的长． 【详解】（1）证明：如图，连接，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵是的半径， ∴为的切线； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 设的半径为，则， ∴， 在中，， 解得：， ∵是的直径， ∴，， ∵在中，， ∴． 【变式4-3】（25-26九年级上·福建泉州·期末）【问题提出】（1）如图①，在矩形中，M是的中点，连接并延长与的延长线交于点E，连接并延长与的延长线交于点G，连接交于点F′，求证：； 【问题解决】（2）如图②，在矩形中，M是的中点，延长到P，连接并延长与的延长线交于点E，连接、，与交于点F，已知，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由题易证，．再根据相似比结合，即可得证； （2）过点E作，交、分别于点H、G，易得，可得，即可得解． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴． ∴，． ∴，， ∵， ∴； （2）过点E作，交、分别于点H、G， 在矩形中，，，M是的中点， ∴，，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 一、单选题 1．（22-23九年级上·山东泰安·期末）在中，为锐角，且，则的值为（    ） A． B． C．1 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 直接利用特殊角的三角函数值得出的值，进而得出答案． 【详解】解：在中，为锐角，， ， ， ． 故选：D． 2．（25-26九年级上·山东青岛·期末）如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的的内角的正弦值是（    ） A． B． C． D．以上都不对 【答案】B 【分析】本题考查正弦，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据正弦的定义求解即可． 【详解】解：如图 有， ∴． 故选B． 3．（23-24九年级上·河南周口·期末）如图，在中，延长斜边到点C，使，连接，若，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，正切函数的计算，熟练掌握相似三角形的判定和性质和正切的定义是解题关键，过点D作交于点E，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过点D作交于点E． ∵，， ∴． ∵， ∴设，． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 4．（24-25九年级上·四川资阳·期末）圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角，夏至时正午阳光入射角．已知“表”高，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义，是解题的关键． 分别解和，求出和的长度，然后利用线段的和差关系求解即可． 【详解】解：在中，，，， ∴， 在中，，，， ∴， ∴． 故选：B． 5．（24-25九年级上·宁夏银川·期末）如图，是的直径，、、为的弦，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆周角，解直角三角形的应用，掌握相关知识点是解题关键．由直径可知，结合勾股定理可得，由同弧所对的圆周角相等，得到，再求正切值即可． 【详解】解：如图，连接， ，是的直径， ，， ， ， ， ， 在中，， ， 故选：A． 二、填空题 6．（24-25九年级上·辽宁大连·期末）计算：= ． 【答案】1 【分析】本题主要考查特殊角的三角函数值，解题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值． 根据角的三角函数值计算． 【详解】解： ＝1． 故答案为：1． 7．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）在中，，，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查解直角三角形，掌握知识点是解题的关键． 在直角三角形中，根据正切值设两直角边长度，利用勾股定理求斜边，再根据正弦定义求解角B的正弦值即可． 【详解】解：在中，，， 设， 则， ∴． 故答案为：． 8．（24-25九年级上·四川巴中·期末）如图，已知中，的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点，，为垂足，若，，，则的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，求正切值，由勾股定理逆定理得出是直角三角形是解题的关键．根据线段垂直平分线的性质得出的长，利用勾股定理逆定理得出是直角三角形，进而利用正切定义解答即可． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∵的垂直平分线交于点，的垂直平分线交于点， ∴，， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生）如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题，计划打通一条东西方向的隧道，无人机从处的正上方处，沿正东方向以的速度飞行到达处，此时测得A处的俯角为，然后以同样的速度沿正东方向又飞行到达处，此时测得处的俯角为．由以上测量数据，计算得隧道的长度为 m．（结果精确到；参考数据：，，） 【答案】242 【分析】本题考查了解直角三角形的应用—仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，再在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而求出的长，最后利用线段的和差关系进行计算，即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为， 由题意得：，，，， 在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴隧道AB的长度约为. 故答案为：242 ． 10．（24-25九年级上·山东临沂·期末）如图，是的直径，、是圆上的两点不与、重合，已知，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是圆周角定理，先根据圆周角定理得出，再由特殊角的三角函数值判断出，故可得出，所以是等腰直角三角形，再由勾股定理即可得出的长． 【详解】解：∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·山东泰安·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2) 【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值的混合计算，熟知特殊角三角函数值是解题的关键． （1）分别求出对应的特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可； （2）分别求出对应的特殊角三角函数值，再根据二次根式的混合计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式． （2）解：原式． 12．（25-26九年级上·山东烟台·月考）如图，在中，，于点D，点E是上的一点，，，，求的长和的值． 【答案】， 【分析】本题考查了解直角三角形、勾股定理，由同角的余角相等可得，从而得出，解直角三角形得出，由勾股定理可得，设，则，再由勾股定理计算得出，从而得出，最后由正切的定义计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 由勾股定理可得：，即， 解得：， ∴， ∴． 13．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度，在处用高为米的测角仪测得摩天轮顶端的仰角，再向摩天轮方向前进30米至处，又测得摩天轮顶端的仰角．求摩天轮的高度．（参考数据：，，，） 【答案】米 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，矩形的判定与性质，延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形，则，米，然后分别在中，，在中，，代入数值化简得，进而求得的长，根据，即可求解． 【详解】解：延长交于点，根据题意得四边形和都是矩形 ∴，米，，米 在中， ∴ 在中， ∴ ∴ ∴ ∴（米） 答：摩天轮的高度大约是米． 14．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）【问题探究】 （1）如图1，在正方形中，E、F分别是边和对角线上的点，．易证，此时的值是___________； 【拓展延伸】     （2）如图2，在矩形中，，对角线，相交于点O，E、F分别是边和对角线上的点，连接，，，，求的长． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，相似三角形的判定与性质． （1）先求出，根据正方形的性质证明，根据正方形的性质和相似三角形的性质计算即可； （2）连接交于点O，先证，再通过计算得到求出证出，再利用相似三角形的性质即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ∵四边形为正方形，为对角线， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：连接交于点O， ， ， ∵在矩形中，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．（2025·上海·一模）左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长米，宽米，初始时点、、在同一水平线上，车厢底部离地面的高度为1.3米． 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点旋转，箱体底部形成不同角度的斜坡． (1)当斜坡的坡角为时，求车厢最高点离地面的距离； (2)点处的转轴与后车轮转轴（点处）的水平距离叫做安全轴距，已知该车的安全轴距为．货箱对角线、的交点是货箱侧面的重心，卸货时如果、两点的水平距离小于安全轴距时，会发生车辆倾覆安全事故．当斜坡的坡角为时，根据上述车辆设计技术参数，该货车会发生车辆倾覆安全事故吗？试说明你的理由．（精确到0.1米，参考值：，，，） 【答案】(1)米 (2)不会，理由见解析． 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，三角形的重心，旋转的性质，添加辅助线构造直角三角形是解题的关键． （1）要求车厢最高点C离地面的距离，所以过点C作，垂足为H，再过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q，这样构造一个矩形，两个直角三角形和，然后进行计算即可； （2）要求A、G两点的水平距离，所以过点G作，垂足为O，再过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K，这样构造一个矩形，四个直角三角形，分别为，，，，然后进行计算即可． 【详解】（1）解：过点C作，垂足为H，过点B作，垂足为P，过点B作，垂足为Q， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， ∴， 答：车厢最高点C离地面的距离是米； （2）解：不会发生安全事故， 理由是：过点G作，垂足为O，过点C作，垂足为M，交于点I，过点B作，垂足为N，过点B作，垂足为K， 则四边形为矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， 在中， ∵， ∴， ∴， 在中， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∵， ∴不会发生安全事故． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题07锐角三角函数的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、求角的三角函数值 类型二、特殊角的三角函数值的计算 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 类型四、几何图形中的三角函数问题 压轴专练 典例详解 类型一、求角的三角函数值 1.直角三角形内抓边角 若角在直角三角形中，直接紧扣三角函数定义，明确对边、邻边、斜边，代入sinA、cosA、tanA计 算；非直角三角形可作高构造直角三角形。 2.特殊图形中用性质 遇到等腰三角形、矩形、菱形等特殊图形，先利用图形性质（如三线合一、对角线特点）确定边长关 系，再转化为直角三角形中的边角计算：特殊角直接套用对应函数值。 例1.(23-24九年级上陕西汉中·期末)如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C都在这些小正 方形的顶点上，则tan∠BAC的值为() 2 B.2 C.1 D.2 【变式1-1】(23-24九年级上·黑龙江哈尔滨期末)如图，在△ABC中，∠C=90°，设∠A,∠B,∠C所 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对的边分别为a、b、C,则下列式子正确的是() 9 A. COsB=c a B.sinB=b C.tanB= c b D.tanB=b 【变式1-2】(25-26九年级下·全国期末)在△ABC中，∠A,∠B都是锐角，若 2 1 SinA- cos B- =0,则∠C的度数是 【变式1-3】(25-26九年级上山东青岛期末)如图，矩形ABCD中，点E在边AB上.将矩形ABCD沿 直线DE折叠，点A恰好落在边BC的点F处.若AE=10,BF=6,求tan∠ADE的值. D 类型二、；殊角的三角函数值的计算 1. 等腰直角三角形（45°)：设两直角边为1，则斜边为V2,可直接得出 sin45°、cos45°、tan45°。 含30°的直角三角形：设30°所对直角边为1，则斜边为2，另一条直角边为√3。由此可推导出 30°和60°的所有三角函数值。 强烈建议在理解此几何推导的基础上进行记忆，而非死记硬背表格。 2.巧用转化与逆向思维 角度转化：当遇到120°、135°等大于90°的角时，利用“互余角”(siA=cos(90°-A))和 “互补角”(simA=sin(180°-A))关系，将其转化为锐角30°、45°、60°来计算。 知值求角：若已知一个特殊角的三角函数值反过来求角，属于上述过程的逆向应用。例如，己知 sima=√3/2，则锐角a可能是60°；若a是钝角，则可能是120°。关键在于明确角的范围。 核心是“模型记忆→角度转化→得出结论” 。 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(25-26九年级上河南平顶山期末)计算V2sin45°+an60°-c0s30° 的值为一。 2sin60°+tan45°-√3cos30° 【变式2-1】(25-26九年级上·西藏拉萨·期末)计算： 【变式2-2】(25-26九年级上·全国期末)计算： 0)2sin260°-tan450+4cos60° 2-)4+2sin45°-cos30°+sin30°+tam260 【变式2-3】(24-25九年级下·全国·期末)计算下列各题： (1)cos30°-tan60°-cos45°： 1 +sin30° (2)2 2cos450-(tan40°+0°+ 类型三、锐角三角函数的实际应用问题 1.建模转化 从实际场景中抽象直角三角形模型，标注己知边/角与未知量，无直角时作高构造，明确边角对应关系， 锁定需用的三角函数（正弦、余弦、正切）。 2.精准计算 优先选择含已知量与目标量的三角函数关系式列方程，计算时注意单位统一，结果结合实际意义取舍， 必要时借助计算器求角的近似值。 例3。(2425八年级下北京期末)如图，斜坡B的坡度为3，坡面4B的长为10m ,则坡顶B到水 平地面AC的距离为() B A A.1m B.2m C.√10m D.5m 【变式3-1】(24-25九年级上·四川资阳·期末)如图，有一斜坡AB,坡顶离地面的高BC的长为20m,斜 1:v5 坡AB的坡度为：V3,现有一辆小车从A点以2s的速度沿AB爬坡，则当爬到坡顶B处时，需要时间为. 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 · B 【变式3-2】(25-26九年级上山东青岛·期末)五一假期，圆圆来到公园开展综合实践活动--测量一个 古塔的高度.如图，在古塔附近有一斜坡AB,斜坡坡度i为5：12，AE=10m,古塔落在斜坡上的影长 AB=6.5m’同一时刻，圆圆又测得竖立于地面上长1m的旗杆的影长为gm(古塔在圆圆的正前方)· 飞行方向 B A 7777777777777777777777777777 (1)求古塔DE的高度： (2)圆圆站在斜坡上点B处，已知目高BF为1.6米.某一时刻，圆圆刚好看见远处的无人机沿着平行EA方 向，以4米/秒的速度向前匀速飞行，求经过6秒后，无人机正好在圆圆正上方，求遥控无人机离地面的高 度 【变式3-3】(2024浙江绍兴·二模)随着时代的发展，手机“直播带货”已经成为当前最为强劲的购物新 潮流.某种手机支架如图1所示，立杆B 115cm,BC 垂直于地面，其高为 为支杆，它可绕点B旋转，其中 BC长为30Cm,CD为悬杆，滑动悬杆可调节CD的长度.（参考数据： sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33) .D 图1 图2 图3 (1)如图2，当B、C、D三点共线，CD=40Cm时，且支杆BC与立杆AB之间的夹角∠ABC为53°，求端 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点D距离地面的高度； BC CD 2)调节支杆，悬杆 ∠ABC=60°，∠BCD=97° 48cm ,使得 ,如图3所示，且点D到地面的距离为 求CD的长.（结果精确到lcm) 类型四、几何图形中的三角函数问题 1.构造直角三角形 针对非直角几何图形（如三角形、四边形），通过作高、作垂线等辅助线构造直角三角形，将已知边、 角转移到直角三角形中，建立边角关联。 2.结合几何性质 联动图形固有性质（如等腰三角形三线合一、圆的半径相等）推导隐含条件，选定合适的三角函数（正 弦、余弦、正切)列关系式，计算时注意等量代换与结果验证。 例4.(25-26九年级上河南平顶山期末)如图，在△ABC中，AB=√5，BC=3cosB=2V5 5,则∠C 的度数为() B A.60° B.50° C.45° D.30 【变式4-1】(24-25九年级上·山东临沂·期末)如图，AB是⊙0的直径，AH是⊙0的切线，点C为⊙0 上任意-点，点D为C的中点，连接BD交AC于点E:延长BD与A仙利交于点，若DF-2mB方， 则AE的长为一 H D 【变式4-2】(24-25九年级下·湖南期末)如图，四边形ABCD内接于⊙O,点O在AB上，BC=CD, 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 过点C作AD的垂线，分别交AB,AD的延长线于点E,F. B G (I)求证：EF为⊙O的切线： ②若G为位于O0上AB下方的一点，且0s∠BGD 3,BE=1,求AD的长。 【变式4-3】(25-26九年级上·福建泉州·期末)【问题提出】(1)如图①，在矩形ABCD中，M是AD的 中点，连接BM并延长与CD的延长线交于点E,连接EA并延长与CB的延长线交于点G,连接AC交BE EM MF 于点F,求证：EB=BF； 【问题解决】(2)如图②，在矩形ABCD中，M是AD的中点，延长BC到P,连接PD并延长与BM的延 长线交于点E,连接AB、P,P与E交于点，已知AB=40,8C=50,m☑PD-,求PE的 面积. E M D A 名 A D F B B C 图① 图② 压轴专练 一、单选题 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1. (22-23九年级上山东泰安·期末)在Rt△ABC中，∠a为锐角，且 in(a-15)= 2,则tana的值为 () 2 5 A.2 B.3 C.1 D.5 2.(25-26九年级上·山东青岛期末)如图，每个小正方形的边长均为1，则图中的△ACB的内角∠ACB 的正弦值是（) B V10 V10 1 A.5 B.10 C. D.以上都不对 入.（23-24九年级上河南周口期末)如图，在RaB1D中，延长斜边BD到点C,使DC=方BD,连接 AC,若tanB= F3,则an∠CAD的值为（） B C √5 √5 1 1 A.3 B.5 C.3 D.5 4.(24-25九年级上四川资阳·期末)圭表是度量日影长度的一种天文仪器，由“圭”和“表”两个部件 组成，垂直于地面的直杆叫“表”，水平放置于地面且刻有刻度以测量影长的标尺叫“圭”，如图是小明 根据所在城市设计的圭表示意图，其中冬至时正午阳光入射角∠ABC=α，夏至时正午阳光入射角 ∠ADC=B AC=hcm BD 已知“表”高 ，则“圭”上所刻冬至线与夏至线之间的距离为() 7/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 北 B D 南 冬至线 夏至线 h h h cm cm A.tana-tan B B. tana tan B h h cm h cm c. （tanB tang D tan a tan B 5.(24-25九年级上·宁夏银川期末)如图，AB是⊙O的直径，AE、CE、CB为⊙0的弦， 13 A0= 2,ME=12,则an∠BCE（) B 5 3 12 A.12 B.1 c是 D. 二、填空题 cos260°+sin260° 6.(24-25九年级上辽宁大连期末)计算： 7.（25:26九年级上：辽宁沈阳期米)在R1△ABC中，2C=0,a1-子， F4,则sinB的值为. 8.(24-25九年级上·四川巴中期末)如图，已知△ABC中，AB的垂直平分线交BC于点D,AC的垂直 平分线交BC于点E,M,N为垂足，若BD=6,DE=8,EC=10,则tanB+tanC的值是一· 9.(22-23九年级下·湖北黄冈·自主招生)如图，某地政府为解决当地农户网络销售农产品物流不畅问题， 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 计划打通一条东西方向的隧道AB,无人机从A处的正上方C处，沿正东方向以6m/s的速度飞行15s到达 D处，此时测得A处的俯角为60°，然后以同样的速度沿正东方向又飞行60s到达E处，此时测得B处的俯 角为37°.由以上测量数据，计算得隧道AB的长度为m.(结果精确到1m;参考数据：sin37°≈0.60， c0s37°≈0.80V3≈1.73 C60%D 379E 西 东 B 10.(24-25九年级上山东临折期未)如图，4B是O0的直径，C、D是圆上的两点不与4、8重合）， 己知BC=2,tan∠ADC=1,则AB=, B 三、解答题 11.(25-26九年级上山东泰安·期中)计算： (I)sin45°.cos45°+tan30°，sin60°， (2)cos60°-sin245°+tan260° 4 12.(25-26九年级上山东烟台·月考)如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,点E是BC上 的-点：4E=BE:AB=10:c0s∠ACD-号 =5,求AC的长和tan∠AEC的值. E 9/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 13.(25-26九年级上·河南平顶山期未)在综合实践活动中，为了测得摩天轮的高度C℉，在A处用高为 1.6米的测角仪AD测得摩天轮顶端C的仰角=39°，再向摩天轮方向前进30米至B处，又测得摩天轮顶 端C的仰角B=50°.求摩天轮CF的高度.（参考数据：sin39°≈0.6，tan39°≈0.8，sin50°≈0.8， tan50°≈1.2) 14.(24-25九年级上·甘肃兰州期末)【问题探究】 图1 图2 (I)如图1，在正方形ABCD中，E、F分别是边AB和对角线AC上的点，∠EDF=45°.易证 BE △DBE∽△DCF,此时CF的值是 【拓展延伸】 ABCD AB=6,BC= (2)如图2，在矩形 中， 8,对角线1C,BD相交于点O,E、F分别是边 B 和对角 线AC上的点，连接DE'DF,an∠EDF 3’BE=4'求CF的长. 15.(2025·上海·一模)左图是一种自卸货车，右图是该货车的示意图，货箱侧面是一个矩形，长AB=4 米，宽BC=2米，初始时点A、B、F在同一水平线上，车厢底部AB离地面的高度为1.3米， 卸货时货箱在千斤顶的作用下绕着点A旋转，箱体底部AB形成不同角度的斜坡. 10/11