专题11 锐角三角函数（期末真题汇编30题，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 解直角三角形实际应用 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接相交于点O，与相交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正方形的性质和等腰三角形的性质易证，由证得，得出，设，易得求出，即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为正方形， ， ， ， ， ∵四边形是正方形， ， ， ， 在和中， ， ， ， 设， ，为正方形， ，，， ，， ，即， ， ， 又， ， ， 为正方形， ， 在中，，即， 解得：， 四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”， ，， ， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、等腰三角形的性质、锐角三角函数定义等知识，熟练掌握正方形的性质和全等三角形的判定与性质是解题的关键． 2．(23-24九上·天津滨海新区·期末)如图，点A,B,C是上的点，，．若的半径为2，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了垂径定理，特殊角的三角函数，等腰三角形的三线合一性质，连接，过点O作于点D，连接，利用垂径定理，勾股定理，三线合一性质计算即可． 【详解】连接，过点O作于点D， ∵，的半径为2， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， 连接， ∵， ∴于点D， ∵， ∴点O，点D，点B三点共线， ∴， ∴， ∴四边形的面积为， 故选A． 3．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在中，若，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了正弦，余弦，正切．熟练掌握，，是解题的关键． 根据，，求解作答即可． 【详解】解：由题意知，，A正确，故符合要求； ，B错误，故不符合要求； ，C错误，故不符合要求； ，D错误，故不符合要求； 故选：A． 4．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交于点D，当时，的长是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先证，再求出的长，最后根据弧长公式求得即可． 【详解】解：，， ， 是绕点A逆时针旋转得到， ，， 在中，， ， ， ， ， ， ， 的长为：， 故选：B． 【点睛】本题考查了图形的旋转变换，等腰三角形的性质，三角函数定义，弧长公式，正确运用三角函数定义求线段的长度是解本题的关键． 5．(23-24九上·天津河西区·期末)如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中的正切值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了求角的正切值，解一元二次方程，设小直角三角形的直角边为a，b，根据两个正方形的面积得到，，进而推出，，则可得方程，解方程求出，则，再由正切的定义可得． 【详解】解：设小直角三角形的直角边为a，b， ∵大正方形面积为100，小正方形面积为4， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 故选C． 6．(23-24九上·天津河西区·期末)的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了特殊角三角函数值，根据特殊角三角函数值，可得答案． 【详解】解：， 故选：D． 二、解答题 1．(24-25九上·天津部分区·期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形的对应点分别为．旋转角为．的延长线交x轴于点，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)①，；② 【分析】（1）根据正方形的性质即可解答； （2）①如图1，过点作于G，先证明，得，由含角的直角三角形的性质可得和的长，由勾股定理可得的长，即可解答； ②根据在上随的增大而增大，可先计算当时，可得m的取值范围为，根据①可知：，则是等腰直角三角形，即可解答． 【详解】（1）解：∵A的坐标为， ， ∵四边形是正方形， ，， ∴点B的坐标为，点C的坐标为； 故答案为：； （2）①如图1，过点作于G， 当时，， 由旋转得：四边形是正方形， ， ， ， 中，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ∴（负值舍）， ， ∴， ∴点E的坐标为， 中， ， ∴， ； 故答案为：，； ②在上随的增大而增大，如图2， 在中，，当时，的最大值为， 即的最大值小于4； ∴， 如图3中，由①可知：， ， ∴是等腰直角三角形， ∴． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查的是三角形全等的性质和判定，正方形的性质，图形和坐标的性质，旋转的性质，勾股定理，含30°角的直角三角形的性质等知识，掌握旋转的性质和直角三角形的性质是解本题的关键． 2．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，设，，根据已知条件以及直径所对的圆周角相等，证明，进而求得，即可证明是的切线； （2）根据已知条件结合（1）的结论可得四边形是正方形，进而求得的长，根据，，即可求解． 【详解】（1）如图，连接， ， 则， 设，， ， ， 为的直径， ， ， 即， ， ， ， ， ， ， ， 为的半径， 是的切线； （2）如图， 是的切线，则，又， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， 在中，， ， ， 由（1）可得， ， ， ， 解得 ． 【点睛】本题考查了切线的性质与判定，正方形的性质与判定，等腰三角形的性质，正弦的定义，掌握切线的性质与判定是解题的关键． 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了圆的切线的性质、等边三角形的性质、解直角三角形等知识，熟练掌握圆的切线的性质和等边三角形的性质是解题的关键； 根据题意作出图形，连接、，，根据切线的性质得到，，根据等边三角形的性质得到，根据直角三角形的性质即可求出答案； 【详解】解：如图所示，连接、，   、是的切线， ，， ， ， ， ， ， ； 故选：A 二、填空题 1．(24-25九上·天津河东区·期末)如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． 若 ． （1）当 时， 的值为 ； （2） 的最小值为 ． 【答案】 / / 【分析】本题主要考查了正方形中的旋转问题，解题的关键是掌握旋转的性质，正确做出辅助线构造全等三角形． （1）过点作于，交于，由，，求出，可得出，，再根据勾股定理计算即可； （2）连接，将绕逆时针旋转得，连接，证明，得，知的运动轨迹是以点为圆心，为半径的弧，求出，，根据，即可得的最小值． 【详解】解：（1）过点作于，交于，如图： ，， ， 是正方形边的中点，， ， ， 四边形是矩形， ，同理， ，， ； 故答案为：； （2）连接，将绕逆时针旋转得，连接，如图： ，， ， 共线， 由旋转性质得，， ， ， ， 的运动轨迹是以为圆心，1为半径的弧， ，， ， ，， ， ， ， 的最小值为， 故答案为： ． 2．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，已知正方形的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为边的中点，连接，则的长为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质和等边三角形的判定和性质以及勾股定理的运用；通过添加辅助线构造等边三角形是解决问题的关键．连接、、、，延长交于G，可证明三角形AEB是等边三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理即可求出边上的高线，同理可求出边上的高线，进而求出的长． 【详解】连接、、、，延长交于G， 正方形的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E， 是等边三角形，， ，，， ， ， ， 点F为边的中点， 是线段的垂直平分线， 四边形是正方形， 是线段的垂直平分线，且 ， 在中， ， ， 故答案为： 三、解答题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)已知的顶点都在上，，过圆上的点D作的切线交的延长线于点P． (1)如图①，若为直径，D为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，若为直径，，于点E，交于点F，，求线段的长． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据直径所对的圆周角是直角，可求出的大小，连接，根据圆的切线的性质和圆周角定理，即可求出的大小； （2）连接，，证明是等边三角形，得到，根据圆的切线的性质，得到，，再结合锐角三角函数求解即可 【详解】（1）解：为直径， ， ， ， D为的中点， ， 如图，连接， 是的切线，切点为， ， ， ， ； （2）解：如图，连接，， 为直径， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， 是的切线，切点为， ， ，， 在中，． 【点睛】本题考查了圆周角定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，解直角三角形的应用等知识，熟练掌握圆的相关性质是解题关键． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 【答案】(1)；点的坐标为； (2)①；；②． 【分析】（1）在中，利用正切定义求出即可，过作于H，在中，利用余弦定义求出即可，利用勾股定理求出，即可求解； （2）①解直角三角形，分别用t表示出，，，，然后求解即可； ②分；；三种情况讨论，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：由题意，得， ∵矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点， ∴，，， 在中，， 过作于H， ∵折叠， ∴，， ∴， 在中，， ∴，， ∴点的坐标为 （2）解：①过F作于K， 则四边形，都是矩形， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴，， ∵折叠， ∴，，， ∴， ∴， 在中，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，，， ∴， ∴ ， ∵折叠后与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I， ∴， ∴， ∴； ②当时，如图， 此时 当时，随t的增大而增大， ∴当时，S有最小值为， 当时，S有最大值为； 当时，， ∴抛物线开口向下，点到对称轴的距离越大，函数值越小， ∵， ∴当时，S有最大值为， ∵，， 当或时，S有最小值为， 当时，如图， 此时 ， 当时，随t的增大而减少， ∴当时，S有最大值为，当时，S有最小值为， 综上，当时，． 【点睛】本题考查了矩形与折叠，解直角三角形，勾股定理，二次函数的性质等知识，理解重叠图形的变化规律是解题的关键． 3．(24-25九上·天津河东区·期末)在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． (1)如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____； (2)如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； (3)连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由已知、根据直角三角形中的边角关系可得∶，从而得到点B的坐标；由已知“点C为的中点可得点C的坐标； （2）由已知、根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”知∶，得是等边三角形，由旋转知∶、，由已知、根据“平面内，如图一条直线垂直于两条平行线中的一条，那么它也垂直于另一条”知∶轴，设交y轴于点E、由直角三角形中的边角关系得，从而得到，在中，由边角关系得到，即可得出点D的坐标； （3）取的中点，连接，则是的中位线，从而得到，进而可得∶在的旋转过程中点P在以点M为圆心、为半径的圆上，从而可得∶当点P在与的交点处时，的值最小，为；当点P在M与的交点处时，的值最大，为，即可得出的取值范围． 【详解】（1）解：点 ， ， ， ， 点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点， ，即； 故答案为：，； （2）解：设与轴的交点为E， ， ， 点 为 的中点， ， 是等边三角形， 由旋转的性质可知：， ，， 轴， ， ， ， ， ， ； （3）解：取的中点，连接，如图： 则， 点是的中点， 是的中位线 ， 在的旋转过程中，点在以点为圆心、为半径的圆上， 当点在与的交点处时，的值最小，为； 当点在与的交点处时，的值最大，为． 的取值范围是 【点睛】本题是三角形综合题目，考查了坐标与图形性质，旋转的性质、等边三角形的性质与判定、直角三角形的性质及解直角三角形的相关知识等，综合性强，有一定难度，正确找到动点的运动轨迹是解题的关键。 4．(24-25九上·天津河西区·期末)已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点． (1)如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； (2)如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； (3)已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】（1）根据数值得出关系式，即可求出点A，B的坐标，可得，进而得出，然后求出，再根据直角三角形的性质结合勾股定理求出，进而得出点C的坐标； （2）先写出直线关系式，再求出点A，B的坐标，即可得，作轴，然后根据“角角边”证明，可得，进而得出点的坐标； （3）在x轴上取点D和E，使得，作，根据点C的坐标可得，进而表示，再根据“角角边”证明，可得，结合点A的坐标表示，然后根据特殊角的三角函数表示，，可得点，，最后根据待定系数法求出答案． 【详解】（1）解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． 过点C作轴，交x轴于点D， 在中，， ∴，， ∴， ∴点； 故答案为：45，，； （2）解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴． 过点C作轴，交x轴于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点； （3）解：在x轴上取点D和E，使得，过点C作于点F． ∵点C的坐标是， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点，． ∵直线经过点A，B， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求一次函数的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 5．(24-25九上·天津河北区·期末)在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形． (1)如图①，点在y轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； (2)如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； (3)已知，记直线与交点为Q，直接写出长度的最大值与最小值． 【答案】(1)旋转角， (2)旋转角， (3)最大值为，最小值为 【分析】（1）由点对应点落在轴上可知旋转角为，再根据长度得出点坐标即可； （2）先由线段长度可求得，进而求得旋转角，过点作轴于，易得，再解即可得解； （3）先证点是中点，因为的运动轨迹是以为圆心，以为半径的圆，所以根据瓜豆模型，点的运动轨迹也是圆，进而根据点圆最值求解即可． 【详解】（1）解：∵在矩形中，，， ∴， 又点在轴正半轴上， 故矩形中， 旋转角， ，， ； （2）解：连接， 同（1）理，矩形中，，， 在中，， ， ，同理， 由旋转得：，故，旋转角， 由矩形得到：，， ∴在中，，， 过点作轴于， 在中，， ∴， ，， ； （3）解：过点作的平行线与延长线交于点，连接，，取的中点，连接，， ∵， ∴， 由旋转得：， ∴， ∵矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵旋转得， ∴在和中， ， ， ， ∵点N为中点 ∴为中位线， ， 由（2）知， ， 即点在以为圆心，1为半径的圆上运动， 当、、三点共线时有最大值和最小值， 且最大值为，最小值为 ，， ， ∵， ， ，， 综上，最大值为，最小值为． 【点睛】本题主要考查了圆的定义，矩形的性质、全等三角形的判定与性质，两点间距离公式，旋转的的性质，三角形的中位线定理，轨迹等内容，综合性强，最后一问识别点的运动轨迹是解题关键． 6．(24-25九上·天津河西区·期末)已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点．    (1)如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； (2)如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； (3)已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 【答案】(1)；； (2) (3) 【分析】对于（1），根据数值得出关系式，即可求出点A，B的坐标，可得，进而得出，然后求出，再根据特殊角三角函数值求出，进而得出点C的坐标； 对于（2），先写出直线关系式，再求出点A，B的坐标，即可得，作轴，然后根据“角角边”证明，可得，进而得出点的坐标； 对于（3），在x轴上取点D和E，使得，作，根据点C的坐标可得，进而表示，再根据“角角边”证明，可得，结合点A的坐标表示，然后根据特殊角的三角函数表示，，然后结合，求出，即可得点，最后根据待定系数法求出答案． 【详解】（1）解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴， ∴， 根据勾股定理，得， ∴． ∵， ∴． 过点C作，交x轴于点D， 在中，， ∴， 即， ∴， ∴点； 故答案为：45，，．    （2）解：当， ∴． 当时，，点； 当时，，点， ∴． 过点C作轴，交x轴于点D， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴点；    （3）解：在x轴上取点D和E，使得，过点C作于点F． ∵点C的坐标是， ∴． 在中，， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵点， ∴， ∴． 在中，， ∴，， ∴． ∵， ∴， 解得， ∴， ∴点． ∵直线经过点A，B， ∴， 解得， ∴直线的关系式为． 故答案为：．    【点睛】本题主要考查了旋转的性质，求一次函数的关系式，全等三角形的判定和性质，解直角三角形，勾股定理等，作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 7．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)已知A，B，C是上的三个点，四边形是平行四边形． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，其他条件不变，为的直径，，且，点H为垂足，连接，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查圆的基本概念辨析，菱形的判定和性质，解直角三角形． （1）连接，根据已知条件得出四边形是菱形，则是等边三角形，即可得到的度数； （2）根据含30度角的直角三角形的性质，余弦的定义求得即可． 【详解】（1）解：如图，连接． 四边形是平行四边形，， 四边形是菱形． ． 是等边三角形． ． （2）， ． 由（1）知：， ． 又为直径且， ． ． 8．(23-24九上·天津第二十中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段外一动点，且．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将顺时针旋转至，连接． (1)① ； ②求证：为等边三角形； (2)当轴，B（，0）时，求的长； (3)当点B的坐标为时，求线段的最大值（直接写出结果即可）． 【答案】(1)①；②见解析 (2)2或 (3)5 【分析】（1）由旋转的性质可得，，可得结论； （2）由锐角三角函数可求，由直角三角形的性质和勾股定理可求解； （3）由“”可证，可得，则当取最大值时，有最大值，即可求解． 【详解】（1）解：①解：由旋转的性质得， 故答案为：； ②证明：由旋转的性质得，， 是等边三角形； （2），，轴， ，， ，， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， 若点在轴下方时，同理可求， 综上所述：的长为2或． （3）如图，以为边在轴下方作等边三角形，连接， 点的坐标为，点，，都是等边三角形， ，，， ， ， ， 当取最大值时，有最大值， ， 点在以点为圆心，为半径的圆上运动， 当点，点，点共线时，有最大值， 的最大值为5． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数，勾股定理等知识，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键． 9．(24-25九上·天津静海区·期末)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标； (3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可； （2）设与轴的交点为，由题意得出，由勾股定理得出，求出直线的解析式为，与二次函数的交点即为点； （3）分别求出直线的解析式为，同理直线的解析式为，联立求出，从而得出，，求出，得到轴，求出直线的解析式为，则，作于，求出，，再结合，解直角三角形即可得解． 【详解】（1）解：将代入抛物线解析可得： 解得：． ∴C点的坐标为； （2）解：设与轴的交点为， ， ∵， ∴， ∵， ∴， 由（1）可得：，令，则， 解得：，， ∴， ∴， 在中，， 解得：， ∴， 设直线的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时， 解得：或， ∴D点的坐标为： （3）解：设直线的解析式为， 当时，， ∴， ∴直线的解析式为， ∴， 同理直线的解析式为， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴， ∴轴， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为， 令，则， ∴， 作于，则，， ， ∴，， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象及性质、等腰三角形的性质、勾股定理、一次函数、直角三角形的性质、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 10．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以1单位长度/秒的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒． (1)当点P运动到的中点，求此时x的值和的面积； (2)①当时，求y与x之间的函数关系式； ②当时，求y与x之间的函数关系式； (3)求在运动过程中面积的最大值．（直接写出结果即可） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先证明是等边三角形，得到，，如图所示，过点作于点，由题 意得，当时，，则，解得到，则，当点P运动到的中点，则，则； （2）由（1）可得当时，；当时，过点Q作于H，先求出，根据题意得，，解得到，则，据此可得答案； （3）根据（2）所求，利用二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 如图所示，过点作于点， 由题意得，当时，， ∴， 在中，， ∴， 当点P运动到的中点，则， ∴； （2）解：由（1）可得当时，； 当时，过点Q作于H， ∵， ∴， 由题意得，， 在中，， ∴； 综上所述，； （3）解：∵， ∴由二次函数的性质可得当时，； 当时，y随x增大而增大，则当时， ； 综上所述，， ∴在运动过程中面积的最大值为． 【点睛】本题主要考查了二次函数的意义，解直角三角形，菱形的性质，等边三角形的性质与判定等等，正确求出y关于x的函数关系式是解题的关键． 11．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，二次函数图象交坐标轴于点，．点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； (3)当取最小值时，求此时点的坐标及：的最小值． 【答案】(1)，顶点坐标为 (2)线段的最大值为；此时的面积 (3)的最小值为，此时 【分析】（1）待定系数法求解析式即可求解； （2）先求得直线的解析式为，设，则，，表示出，根据二次函数的性质求得的最大值，进而根据三角形的面积公式，即可求解； （3）过点作直线，使得，则，构造含的直角三角形，过点作，交轴于点，则，此时取得最小值，则，进而解直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：∵二次函数图象交坐标轴于点，． ∴， 解得：， ∴， ∵， ∴顶点坐标为； （2）解：∵， 设直线的解析式为，代入，则 ∴ ∴直线的解析式为 设， 则， ∴ 当时，取最大值为， ∴ （3）解：设，， 过点作直线，使得，则 ∴， 过点作，交轴于点，则，此时取得最小值， ∴， ∵则 ∴ 即的最小值为 ∵，则，即 【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，面积问题，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． 12．(23-24九上·天津和平区·期末)将等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为点，旋转后的对应点为，． (1)如图1，当轴时，则旋转角______；可以看作是绕点______顺时针旋转______°后得到的；直线与所夹角为______； (2)如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长； (3)将（2）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大？最大值是多少？（直接写出结果）． 【答案】(1)，，， (2) (3)， 【分析】（1）根据旋转的性质可得旋转角；连接，根据旋转的性质得出，则可以看作是绕点顺时针旋转后得到的；设直线与交于点，根据全等三角形的性质得出，即可求解； （2）设交轴于点，根据已知条件得出，进而得出直线的解析式为，设,则代入解析式得出，进而根据旋转的性质以及勾股定理求得，的长； （3）根据（2）的结论可得点在以为圆心为半径的圆上运动，当与的距离最大时，的面积最大，作于点，则半径为的与相切于点，当在的垂直平分线上且在第三象限时，得出，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，又， ∴是等腰直角三角形， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴, ∵旋转， ∴ ∵轴 ∴，即旋转角； 连接，如图所示， ∵ ∴ ∴ 又∵， ∴可以看作是绕点顺时针旋转后得到的； 设直线与交于点， ∵ ∴， 又∵是等腰直角三角形， ∴ ∴，则， 即直线与所夹角为 故答案为：，，，    ． （2）解：如图所示，设交轴于点， ∵，则， ∵旋转角，点，，恰好共线， ∴， ∴，则 设直线的解析式为 ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 设,则 ∴ 解得： ∴ ∴ ∴，； （3）∵， ∴点在以为圆心为半径的圆上运动， ∴当与的距离最大时，的面积最大， 如图所示， ∵，作于点，则 ∴半径为的与相切于点， ∴当在的垂直平分线上且在第三象限时，如图所示，此时， 的面积最大值为． 【点睛】本题考查了坐标与图形，旋转的性质，直线与圆的位置关系，等腰三角形的性质，解直角三角形，一次函数与坐标轴交点问题，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 13．(23-24九上·天津西青区·期末)在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，． (1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______． (2)如图②，直线与直线交于点． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． ②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______ 【答案】(1)； (2)（1）中的两个结论仍然成立，理由见解析； 【分析】（1）线段与的数量关系是，位置关系是．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论； （2）（1）中的两个结论仍然成立．证明，根据全等三角形的性质及三角形内角和定理即可得出结论； 点和在以为圆心，为半径的圆上运动，当，与相切时，最大和最小（图中和是最小时），可求得，进而得出，进一步得出结果即可． 【详解】（1）解：线段与的数量关系是，位置关系是, 理由：设交于点， ∵，，， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ， ∴， ∴， 故答案为：；； （2）（1）中的两个结论仍然成立． 理由：∵，，， ∴， ，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴； 如下图， ， 点和在以为圆心，为半径的圆上运动， 当，与相切时，最大和最小（图中和时最小时）， 在中，，， ， ， ， ，， 构造含的直角三角形如下图， 在中，， ， ， ， ， ， ， 线段长度的取值范围是， 故答案为：． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，等边对等角，确定圆的条件，圆的切线性质等知识点，掌握以上知识点是解题的关键． 14．(23-24九上·天津河西区·期末)请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答： (1)在中，若，若，，求的长； (2)在中，，，求的正弦． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解直角三角形，勾股定理，求角的正弦，熟练掌握性质是解题的关键． （1）根据题意得到，然后代数求解即可； （2）过点A作交于点D，首先根据等腰三线合一性质得到，然后根据勾股定理求出，然后利用正弦的概念求解即可． 【详解】（1）如图所示， ∵，， ∴ ∴ 解得； （2）如图所示，过点A作交于点D， ∵，， ∴ ∴ ∴． 15．(23-24九上·天津河东区·期末)已知是的直径，弦于点E，连接． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，G是弧上一点，的延长线交于点F，若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，证明是等边三角形，则，由垂径定理得到，，根据得到，即可得到的长； （2）连接，由是的直径得到，则，根据圆周角定理即可得到的度数． 【详解】（1）解：连接， ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∴弦于点E， ∴，， ∵， ∴， ∴； （2）解：连接， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了圆周角定理、垂径定理、解直角三角形、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆周角定理、垂径定理是解题的关键． 地 城 考点03 解直角三角形实际应用 一、解答题 1．(24-25九上·天津北辰区·期末)综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数）． 【答案】(1) (2)①；②31米 【分析】本题考查解直角三角形的应用，涉及含45度角的直角三角形的性质、矩形判定与性质、锐角三角函数，理解题意，掌握作辅助线构造直角三角形解决问题是解答的关键． （1）直接利用勾股定理计算即可； （2）①在中，利用锐角三角函数定义求得，进而可求解；②过点作，垂足为．可证明四边形是矩形，得到，，．在中，利用锐角三角函数定义得到，然后求解即可． 【详解】（1）解：由题意得， 在中，，， ， 即的长为； （2）①由题意得， 在中，，， ， ， 即的长为； ②过点作，垂足为， 根据题意，， 所以四边形是矩形． ，，， 在中，， ， ， 解得． 答：信号塔的高约为31米． 2．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，建筑物上有一旗杆，从与相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B 的仰角为 ，求旗杆的高度（结果取整数）．参考数据： ． 【答案】旗杆的高度为 【分析】本题考查解直角三角形的应用．在中求出的长，在中，求出的长，利用求出的长即可． 【详解】解：由题意，得：， 在中，， 在中，， ∴； 答：旗杆的高度为． 3．(24-25九上·天津蓟州区·期末)如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m） 【答案】乙楼CD的高度为53m． 【分析】由题意易得∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，然后根据特殊三角函数值可求解AE，CE的长，进而问题可求解． 【详解】解：由题意得：∠AEC=∠AED=90°，AB=DE=40m，∠EAD=60°，∠CAE=30°， ∴， ∴， ∴， 即乙楼CD的高度为53m． 【点睛】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握特殊三角函数值是解题的关键． 4．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位） 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414． 【答案】AC=38.2m；CB=45.0m. 【详解】试题分析：根据锐角三角函数，可用CD表示AD，BD，AC，BC，根据线段的和差，可得关于CD的方程，根据解方程，可得CD的长，根据AC=CD，CB=，可得答案． 试题解析：过点C作CD⊥AB垂足为D， 在Rt△ACD中，tanA=tan45°==1，CD=AD， sinA=sin45°=，AC=． 在Rt△BCD中，tanB=tan37°=≈0.75，BD=； sinB=sin37°=≈0.60，CB=． ∵AD+BD=AB=63， ∴CD+=63， 解得CD≈27， AC=≈1.414×27=38.178≈38.2， CB==45.0， 答：AC的长约为38.2m，CB的长约等于45.0m 考点：解直角三角形的应用 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11 锐角三角函数 3大高频考点概览 考点01锐角三角函数 考点02 解直角三角形 考点03 解直角三角形实际应用 地 城 考点01 锐角三角函数 一、单选题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)如图，四个全等的直角三角形拼成“赵爽弦图”，得到正方形与正方形．连接相交于点O，与相交于点P．若，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．(23-24九上·天津滨海新区·期末)如图，点A,B,C是上的点，，．若的半径为2，则四边形的面积为（    ） A． B． C． D．2 3．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在中，若，则有（    ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在中，，，将绕点A逆时针旋转，得到，连接并延长交于点D，当时，的长是（    ）    A． B． C． D． 5．(23-24九上·天津河西区·期末)如图所示，是我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算经》时给出“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形．如果大正方形面积为100，小正方形面积为4，则图中的正切值为（    ） A． B． C． D． 6．(23-24九上·天津河西区·期末)的值等于（    ） A． B． C． D． 二、解答题 1．(24-25九上·天津部分区·期末)在平面直角坐标系中，O为坐标原点，正方形的顶点A的坐标为，点B在第一象限，点C在y轴正半轴上． (1)如图①，点B的坐标为 ，点C的坐标为 ； (2)将正方形绕点O逆时针旋转，得到正方形的对应点分别为．旋转角为．的延长线交x轴于点，与y轴交于点E． ①如图②，当时，点的坐标为 ，点E的坐标为 ； ②如图③，在旋转过程中，连接，设，的面积为S，求S关于m的函数表达式，并直接写出m的取值范围． 2．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，在中，，为上一点，以为直径的与相切于点，交于点，，垂足为． (1)求证：是的切线； (2)若，，求的长． 地 城 考点02 解直角三角形 一、单选题 1．(24-25九上·天津河西区·期末)把一个圆三等分，经过三个分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的三角形，叫做这个圆的外切正三角形．如果这个圆的半径为，则它的外切正三角形的边长为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 1．(24-25九上·天津河东区·期末)如图， 是正方形 边 的中点， 是正方形内一点，连接 ，线段 以 为中心逆时针旋转 得到线段 ，连接 ． 若 ． （1）当 时， 的值为 ； （2） 的最小值为 ． 2．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，已知正方形的边长为2，以顶点C、D为圆心，2为半径的两弧交于点E，点F为边的中点，连接，则的长为 ． 三、解答题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)已知的顶点都在上，，过圆上的点D作的切线交的延长线于点P． (1)如图①，若为直径，D为的中点，连接，求和的大小； (2)如图②，若为直径，，于点E，交于点F，，求线段的长． 2．(24-25九上·天津西青区·期末)如图1，将一个矩形纸片放置在平面直角坐标系中，点，点，点，点D在边上（点D不与点O，C重合），折叠该纸片，使折痕所在的直线经过点D，并与直线相交于点F，且，点C的对应点为﹒设． (1)如图2，当折痕经过点B时，求t的值和点的坐标； (2)若折叠后的图形为四边形，点B的对应点为，与边相交于点G，，分别与x轴相交于点H，I，设折叠后四边形与矩形重合部分的面积为S． ①如图3，当折叠后四边形与矩形重合部分为五边形时，试用含有t的式子表示S，并直接写出t的取值范围； ②当时，直接写出S的取值范围． 3．(24-25九上·天津河东区·期末)在平面直角坐标系中， 为原点，点 ，点 在 轴的正半轴上， ， 点 为 的中点． 把 绕点 逆时针旋转，得 ，点 旋转后的对应点为 ． (1)如图①，点 的坐标为_____，点 的坐标为_____； (2)如图②， 与 交于点 ，当 轴时，求点 的坐标； (3)连接 是 的中点，连接 ． 请直接写出 的取值范围． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点． (1)如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； (2)如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； (3)已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 5．(24-25九上·天津河北区·期末)在平面直角坐标系中，，，将矩形绕点O逆时针旋转得到矩形． (1)如图①，点在y轴正半轴上时，求旋转角的度数及点的坐标； (2)如图②，点在射线上时，求旋转角的度数及点的坐标； (3)已知，记直线与交点为Q，直接写出长度的最大值与最小值． 6．(24-25九上·天津河西区·期末)已知直线（，为常数，）分别与轴，轴交于点，点，将线段绕着点顺时针旋转，旋转角为，得到线段，的对应点为点．    (1)如图①，当，，且时，______；______；点的坐标为______； (2)如图②，当，，且时，求点的对应点的坐标； (3)已知点，点在轴正半轴上，，若旋转后点的坐标为，则直线的解析式为______． 7．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)已知A，B，C是上的三个点，四边形是平行四边形． (1)如图1，求的度数． (2)如图2，其他条件不变，为的直径，，且，点H为垂足，连接，求的长． 8．(23-24九上·天津第二十中学·期末)如图，在平面直角坐标系中，已知，点P为线段外一动点，且．点B为x轴上一点，现在以B为旋转中心，将顺时针旋转至，连接． (1)① ； ②求证：为等边三角形； (2)当轴，B（，0）时，求的长； (3)当点B的坐标为时，求线段的最大值（直接写出结果即可）． 9．(24-25九上·天津静海区·期末)如图1所示，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于和B两点，与y轴交于点C． (1)求C点的坐标； (2)连接，D为抛物线上一点，当时，求点D的坐标； (3)如图2所示，点为第二象限内一动点，经过H的两条直线与分别与抛物线均有唯一的公共点E和F（点E在点F的左侧），直线与y轴交于点G，M为线段的中点，连接、，当时，求h的值． 10．(23-24九上·天津河西区·期末)如图，在菱形中，，，动点P从点B出发，以1单位长度/秒的速度沿折线运动到点C，同时动点Q从点A出发，以相同速度沿折线运动到点D，当一个点停止运动时，另一个点也随之停止．设的面积为y，运动时间为x秒． (1)当点P运动到的中点，求此时x的值和的面积； (2)①当时，求y与x之间的函数关系式； ②当时，求y与x之间的函数关系式； (3)求在运动过程中面积的最大值．（直接写出结果即可） 11．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，二次函数图象交坐标轴于点，．点为线段上一动点． (1)求二次函数的解析式及顶点坐标； (2)过点作轴分别交线段、抛物线于点和点，求线段的最大值及此时的面积； (3)当取最小值时，求此时点的坐标及：的最小值． 12．(23-24九上·天津和平区·期末)将等腰直角三角形放置在平面直角坐标系中，点，，，点，分别在边，上，且，连接．现将绕点顺时针旋转，旋转角为点，旋转后的对应点为，． (1)如图1，当轴时，则旋转角______；可以看作是绕点______顺时针旋转______°后得到的；直线与所夹角为______； (2)如图2，当旋转角时，点，，恰好共线，求的各边长； (3)将（2）中的旋转，当旋转角为何值时的面积最大？最大值是多少？（直接写出结果）． 13．(23-24九上·天津西青区·期末)在和中，，，，将绕点旋转任意角度，连接，． (1)完成填空：如图①，当点恰好在线段上时，线段与的数量关系是______，位置关系是_______． (2)如图②，直线与直线交于点． ①（1）中的两个结论是否仍然成立？请说明理由． ②若，，请直接写出在旋转过程中，线段长度的取值范围______ 14．(23-24九上·天津河西区·期末)请你结合题意，分别画出示意图，并完成解答： (1)在中，若，若，，求的长； (2)在中，，，求的正弦． 15．(23-24九上·天津河东区·期末)已知是的直径，弦于点E，连接． (1)如图①，若，，求的长； (2)如图②，G是弧上一点，的延长线交于点F，若，求的度数． 地 城 考点03 解直角三角形实际应用 一、解答题 1．(24-25九上·天津北辰区·期末)综合与实践活动中，要测量一个信号塔的高度，如图，信号塔前有一段高为的台阶，已知的长为5米，高为3米，点在同一条水平直线上．在点处测得点的仰角为，在点处测得点的仰角为． (1)求的长； (2)设塔的高度为（单位：）． ①用含有的式子表示线段的长； ②求塔的高度（，结果保留整数）． 2．(23-24九上·天津河北区·期末)如图，建筑物上有一旗杆，从与相距20m的D处观测旗杆顶部A的仰角为 ，观测旗杆底部B 的仰角为 ，求旗杆的高度（结果取整数）．参考数据： ． 3．(24-25九上·天津蓟州区·期末)如图，从甲楼AB的楼顶A，看乙楼CD的楼顶C，仰角为30°，看乙楼（CD）的楼底D，俯角为60°；已知甲楼的高AB=40m．求乙楼CD的高度，（结果精确到1m） 4．小明上学途中要经过A，B两地，由于A，B两地之间有一片草坪，所以需要走路线AC，CB，如图，在△ABC中，AB=63m，∠A=45°，∠B=37°，求AC，CB的长．（结果保留小数点后一位） 参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75，取1.414． 2 / 61 1 / 61 学科网（北京）股份有限公司 $