期末专题05 反比例函数的六类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题05反比例函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数的定义 类型二、反比例函数的图象与性质 类型三、反比例函数与一次函数的综合问题 类型四、反比例的k值的几何意义 类型五、反比例函数的应用问题 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、反比例函数的定义 1.抓核心形式判定 紧扣反比例函数的两种核心形式x(k为常数，k≠0)和y=k(k为常数，k≠0)。判定函数是否 为反比例函数时，先将式子化为这两种形式之一，再验证k是否为非零常数，同时注意自变量x的取值 范围。 2.用定义求参数值 已知函数为反比例函数时，根据定义列方程求解参数。 例1.(25-26九年级上西藏拉萨期末)反比例函数y=←(k≠0)的图象经过点(2,3)，则下列各点中，在该 函数图象上的是() A.(2,-3) B.（-2,3) C.1,6 D.（6,-1 【变式1-1】(22-23九年级上山东济南期末)若点(-1，，(1，，(2，y)在反比例函数y=(k<0)的图象 上，则下列结论正确的是() A.y1>y3>2B.y>y2>y3 C.y3>y>y2 D.y3>y2> 【变式1-2】(24-25九年级上湖南永州期末)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AB0的边A0在x轴上， 且A0=3,反比例函数y=-6的图象经过点B,延长BO,与反比例函数y=-6的图象交于点P,则点P的 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 坐标为」 【变式1-3】(2425九年级上内蒙古包头期末)已点A(-2,B1,),C(2⅓)在反比例函数y=3的 图象上，则y,y2,y的大小关系为 (用“<”连接) 类型二、反比例函数的图象与性质 1.图像判定抓关键点 依据反比例函数 (k为常数，k≠0)中k的符号判断图像所在象限，o0时图像在一、三象限， <0时在二、四象限；结合双曲线的渐近性，确定图像不与坐标轴相交，快速排除错误图像选项。 2.性质应用抓增减性 利用性质解题时，需先明确在每个象限内这一前提，再根据k的符号判断函数增减性；比较函数值大小 时，先看自变量所在象限，同一象限内用增减性，不同象限直接结合象限特点判断。 例2.(2024山西模拟预测)如图，反比例函数y=(k≠0)和y=8的部分图象与直线y=a(a>0)分别交 于A,B两点，如果△AB0的面积是9.5，则k的值为() A.11 B.-11 c D.号 【变式2-1】(2425九年级上重庆期末)如图，点A在反比例函数y=的图象上，作AB1x轴于点B, 己知点B,C关于原点对称，△ABC的面积为6，则比例系数k为() 2/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C衣 A.-3 B.-6 C.9 D.12 【变式2-2】(2425九年级上甘肃武威期末)已知反比例函数y=6的图像的一支如图所示，则△0AB的 面积是」 B 4 【变式23】(24-25九年级下.全国期末)如图，过原点0的直线与反比例函数y-《(>0)和，=4(x>0) 的图象分别交于点A,A,若OA2=2A42,则k=一· 类型三、反比例函数与一次函数的综合问题 1.联立方程求交点 求两函数交点坐标时，联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可；若方程组无解，说明两函 数图像无交点，可据此判断参数范围。 2.数形结合判范围 解不等式>a+b时，结合图像找反比例函数图像在一次函数图像上方的区间；判断函数值正负、比较大 小等问题，也需借助图像象限分布和增减性分析。 例3.(23-24九年级上·黑龙江绥化期末)在同一平面直角坐标系中，若b<0,则函数y=x+b与y=b的 大致图象是() 3/14 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-1】(24-25八年级下甘肃天水期末)在同一坐标系中，函数y=m与y=m-2(m≠0)的图像大 概是() 【变式32】(2425八年级下江苏宿迁期末)一次函数y=:-k与反比例函数y=《在同一平面直角坐标 系中的图像可能是() VA 4/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式3-3】(24-25九年级上·广东茂名期末)如图所示，在平面直角坐标系中，函数y=kx与y= x (k,太，不为零)的图象相交于点4-2，-3，B2,3),则关于x的不等式kx>上的解集是一 类型四、反比例的k值的几何意义 1.面积定值速算 牢记反比例函数上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为个，直角三角形面积为 。解题时直接 用面积与k的关系求k,再结合图像象限确定k的正负。 2.坐标转化破题 遇到与双曲线上点相关的线段、面积问题，先将线段长度转化为点的横、纵坐标绝对值，再关联的 几何意义列式；若涉及多个点，可利用=y建立坐标间的等式关系。 例4.(2425八年级下河南南阳期末)如图，一次函数y=+b与反比例函数y=←(k>0)的图象交于点 A2,m,B-4,m).则关于x的不等式ax+b>《的解集是() v=ax+b A.0<x<2,或x<-4 B.x>4,或-2<x<0 C.x<-2,或0<x<4 D.x>2,或-4<x<0 【变式4-1】(2025江苏苏州模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，过点Am,0)且垂直于x轴的直线1与 4 反比例函数y=--的图象交于点B,将直线1绕点B逆时针旋转45°，所得的直线经过第一、二、四象限， 则m的取值范围是() 5/14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A.m<-2或m>2 B.-2<m<0或m>2 C.-2<m<2且m≠0 D.m<-2或0<m<2 【变式4-2】(25-26九年级上安徽期末)如图，直线y=ax+4(a≠0)与双曲线y=《(k≠0)交于 A1,n,B(-3,-2)两点，直线BO与双曲线在第一象限交于点C,连接AC. (1)点A的坐标是」 (2)ABC的面积是 【变式43】(2025九年级上全国专题练习)如图，一次函数y=，x-1的图象与反比例函数为，=《(k≠0) 的图象相交于点A(m,2),点B,与y轴交于点C. A (1)求反比例函数的解析式： (②)请结合图象直接写出不等式！x-1<女的解集： 6/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (3)点P是y轴上的一个动点，且△ACP是AC为腰的等腰三角形，求点P的坐标. 类型五、反比例函数的应用问题 1.建模转化抓关系 k y=- 分析实际问题中的两个变量，判断是否满足乘积为定值的反比例关系，设函数解析式x，代入己知 条件求出k,完成数学建模。 2.结合实际定范围 求解函数值或自变量时，除计算外，需结合实际情境确定自变量的取值范围；涉及最优方案时，利用反 比例函数增减性，结合定义域分析得出结论。 例5.(24-25九年级上河北沧州期末)已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流1（单位：A)与 电阻R(单位：S)是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是(） 9 R A.该蓄电池的电压为36V B.当R=10时，1=3.6 C.当电阻R(2越大时，蓄电池的电流I也越大 D.当R<9时，I>4 【变式5-1】(24-25九年级上·内蒙古包头期末)在恒温下，气体对汽缸壁的压强p(kPa)与汽缸内气体 体积V(mL)的函数关系如图所示.若压强由75kPa加压到100kPa,则气体体积压缩了mL. A pkPa 100 60 0 100 【变式5-2】(24-25八年级下·黑龙江大庆期末)1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出 的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼晴行走时，虽然主观上沿某一方向直线 前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈现象.经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的 半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米(x>0)的反比例函数，其图象如下图所示.请根据图象中的信 息解决下列问题： 7/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 Ay/米 x/厘米 (1)求y与x之间的函数表达式； (②)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼晴走出的大圆圈的半径为多少米？ 【变式5-3】(23-24八年级下·江苏宿迁期末)在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内 空气中C0的浓度达到4mg/L,此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值46mg/L,会发生爆炸， 爆炸后空气中CO的浓度下降，此时浓度与时间成反比例.根据题中相关信息，回答下列问题： ←y/(mg/L) 46 0 (I)求爆炸前、后空气中CO的浓度y(g/L)与时间x(h)之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的 取值范围 (2)当空气中的CO浓度达到34mg/L时，井下3m处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速 度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中CO的浓度降到4gL及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆 炸后多长时间才能下井？ 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 1.锚定k值建联系 利用几何图形性质（如平行、垂直、全等）确定双曲线上关键点的坐标，再根据=y计算k值；或由 己知k值推出点的坐标关系，搭建函数与几何的桥梁。 2.面积转化巧破题 遇到几何图形面积问题时，将不规则图形割补为与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，结合k的几何意义 快速计算面积；也可反向由面积求点坐标或k值。 例6.(24-25八年级下吉林长春期末)已知反比例函数y=k≠0)的图象，如图所示，点P,P在反比例 函数的图象上，连接P,B两点，PP刚好经过原点，A为第四象限内一点，且PA与y轴平行，PA与x轴平 8/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 行，若S△APm=12,则k的值为() A.7 B.6 C.5 D.4 【变式6-1】(25-26九年级上·安徽合肥期末)如图，矩形0ABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴 上，点D在边BC上，点E在边AB上，反比例函数y=二(k>O)的图象经过点D、E及AC的中点M. D B M E A (1)若0C=6,0A=8,BD= (2)若△D0M的面积为6，则k= 【变式6-2】(24-25九年级上内蒙古包头期末)如图，已知A(m,4)、B是反比例函数y=《(k≠0)图象上 的两个点，BC⊥x轴于点C,若△OBC的面积为2. B (1)求m的值； (②)以OA边作菱形OADE,使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形OADE的面积 【变式6-3】(24-25九年级上安徽宿州期末)如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC1x轴于点C, BD⊥y轴于点B,反比例函数G:y=2的图象经过点M,M是AC的中点. 9/14 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 C S D B M (1)求经过点A的反比例函数C,的表达式： (②)若点D恰好也在图象C,上，证明：四边形ABCD是菱形. 压轴专练 一、单选题 1.(2-23八年级下陕西汉中期末)若点A-3,),81,y),C(2,y都在反比例函数y=《(k>0)的图 象上，则，，的大小关系是() A.1<y2<y3B.y1<y3<y2 C.y2<y3< D.片3<<y2 2.(25-26九年级上·广东揭阳·月考)如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流 I(A)与电阻R(2)之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是() 0.1 0 500R/2 图① 图② A.I与R的函数解析式是1=500 R>0) B.当I=0.2时，R=200 C.I随R的增大而增大 D.当200<R<1000时，I的取值范围是0.05<1<0.25 3.(25-26九年级上安徽合肥期未)关于反比例函数y=4下列说法不正确的是() 1 A,图象位于第一、三象限 B.当x>0时，y随x的增大而增大 C.图象与坐标轴无交点 D.若点(a,b)在该函数图象上，则点(-a,-b)也在该函数图象 10/14 期末专题05 反比例函数的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、反比例函数的定义 类型二、反比例函数的图象与性质 类型三、反比例函数与一次函数的综合问题 类型四、反比例的k值的几何意义 类型五、反比例函数的应用问题 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 压轴专练 类型一、反比例函数的定义 1. 抓核心形式判定 紧扣反比例函数的两种核心形式 （k为常数，）和 xy=k（k为常数，）。判定函数是否为反比例函数时，先将式子化为这两种形式之一，再验证 k 是否为非零常数，同时注意自变量 x 的取值范围。 2. 用定义求参数值 已知函数为反比例函数时，根据定义列方程求解参数。 例1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）反比例函数的图象经过点，则下列各点中，在该函数图象上的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，判断点在反比例函数图象上，求出反比例函数解析式是关键． 由点求出反比例函数的比例系数k，再验证各选项中的点是否满足解析式． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴解析式为． 对于选项A：，此点不在函数图象上； 选项B：，不在函数图象上； 选项C：，在函数图象上； 选项D：，不在函数图象上． 故选C． 【变式1-1】（22-23九年级上·山东济南·期末）若点在反比例函数的图象上，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，利用反比例函数图象上点的坐标特征，可求出的值，比较后即可得出结论． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， ， ， ， 故选：A． 【变式1-2】（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图，在平面直角坐标系中，的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点，延长，与反比例函数的图象交于点，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟知反比例函数图象的对称性是解答的关键． 先求得点B坐标，再根据反比例函数图象关于原点对称求解点P坐标即可． 【详解】解：∵的边在轴上，且，反比例函数的图象经过点， ∴点B的横坐标为， 将代入中，得， ∴点B坐标为， ∵延长，与反比例函数的图象交于点， ∴点P与点B关于原点对称， ∴点P的坐标为， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）已知点在反比例函数的图象上，则的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟记反比例函数的增减性是解题的关键． 先判断出反比例函数图象在第一、三象限，再根据反比例函数的性质，在每一个象限内，随的增大而减小，即可解答． 【详解】， 反比例函数的图象上位于第一、三象限，且在每一个象限内，随的增大而减小， ， ， ， 综上，． 故答案为：． 类型二、反比例函数的图象与性质 1. 图像判定抓关键点 依据反比例函数 （k为常数，）中 k 的符号判断图像所在象限，k>0 时图像在一、三象限，k<0 时在二、四象限；结合双曲线的渐近性，确定图像不与坐标轴相交，快速排除错误图像选项。 2. 性质应用抓增减性 利用性质解题时，需先明确在每个象限内这一前提，再根据 k 的符号判断函数增减性；比较函数值大小时，先看自变量所在象限，同一象限内用增减性，不同象限直接结合象限特点判断。 例2．（2024·山西·模拟预测）如图，反比例函数和的部分图象与直线分别交于，两点，如果的面积是，则的值为（   ） A．11 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，掌握反比例函数的几何意义是解本题的关键． 记交轴于点，根据求出，再由求出，即可解题． 【详解】解：记交轴于点，如图所示： 由知，， 的面积是， ， ， ， ， ， 故选：B． 【变式2-1】（24-25九年级上·重庆·期末）如图，点A在反比例函数的图象上，作轴于点B，已知点B，C关于原点对称，的面积为6，则比例系数k为（   ） A． B． C．9 D．12 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，解题的关键是掌握反比例函数值的几何意义，根据点，关于原点对称，的面积为，则，再利用求解即可． 【详解】解：∵点B，C关于原点对称，的面积为6， ∴， ∵，且反比例函数图象在第二象限， ∴． 故选：B． 【变式2-2】（24-25九年级上·甘肃武威·期末）已知反比例函数的图像的一支如图所示，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，正确表示出三角形面积是解题关键． 过双曲线上任意一点与原点所连的线段、坐标轴、向坐标轴作垂线所围成的直角三角形面积S是个定值，即，依此解答即可． 【详解】解：根据题意可知：， 故答案为：3． 【变式2-3】（24-25九年级下·全国·期末）如图，过原点O的直线与反比例函数和的图象分别交于点，若，则 ． 【答案】9 【分析】本题考查反比例系数k的几何意义，相似三角形的判定与性质，熟练掌握k的几何意义是解题的关键． 利用k的几何意义和相似三角形的面积比等于相似比的平方即可求解． 【详解】解：过点分别作轴于点C，轴于点B，根据题意得 ，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴． 故答案为：9． 类型三、反比例函数与一次函数的综合问题 1. 联立方程求交点 求两函数交点坐标时，联立反比例函数与一次函数的解析式，解方程组即可；若方程组无解，说明两函数图像无交点，可据此判断参数范围。 2. 数形结合判范围 解不等式>ax+b 时，结合图像找反比例函数图像在一次函数图像上方的区间；判断函数值正负、比较大小等问题，也需借助图像象限分布和增减性分析。 例3．（23-24九年级上·黑龙江绥化·期末）在同一平面直角坐标系中，若，则函数与的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的图象，分类讨论是关键．根据a、b的取值，分别判断出两个函数图象所过的象限，要注意分类讨论． 【详解】解：∵， ∴，或，， ①若，，则直线经过一、三、四象限，反比例函数图象位于二、四象限， ②若，，则直线经过一、二、四象限，反比例函数图象位于一、三象限， 只有选项A符合题意， 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·甘肃天水·期末）在同一坐标系中，函数与的图像大概是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的图像，解题时注意：系数k的符号决定直线的方向以及双曲线的位置．根据m的取值分别讨论函数与的图像经过的象限确定即可． 【详解】解：当时，反比例函数图像位于第一、三象限，经过第一、三、四象限，C选项符合题意； 当时，反比例函数的图像位于第二、四象限，经过第二、三、四象限，不符合题意． 故选：C ． 【变式3-2】（24-25八年级下·江苏宿迁·期末）一次函数与反比例函数在同一平面直角坐标系中的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象与一次函数图象的综合判断，根据反比例函数与一次函数的图象，进行判断即可． 【详解】解：当时，则：，故双曲线过一，三象限，直线过一，三，四象限； 当时，则：，故双曲线过二，四象限，直线过一，二，四象限； 故符合题意是只有选项D； 故选D． 【变式3-3】（24-25九年级上·广东茂名·期末）如图所示，在平面直角坐标系中，函数与（不为零）的图象相交于点，，则关于x的不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，熟练掌握该知识点是关键． 根据反比例函数与一次函数的交点问题解答即可． 【详解】解：函数与（不为零）的图象相交于点，， 关于x的不等式的解集是：或． 故答案为：或． 类型四、反比例的k值的几何意义 1. 面积定值速算 牢记反比例函数 上任意一点向坐标轴作垂线，所得矩形面积为 |k|，直角三角形面积为。解题时直接用面积与 |k| 的关系求 k，再结合图像象限确定 k 的正负。 2. 坐标转化破题 遇到与双曲线上点相关的线段、面积问题，先将线段长度转化为点的横、纵坐标绝对值，再关联 |k| 的几何意义列式；若涉及多个点，可利用 k=xy 建立坐标间的等式关系。 例4．（24-25八年级下·河南南阳·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于点．则关于x的不等式的解集是（    ） A．，或 B．，或 C．，或 D．，或 【答案】D 【分析】本题考查根据函数图象的交点确定不等式的解集．由求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围，再结合图象即可求解． 【详解】解：求关于x的不等式的解集，即为求一次函数的图象在反比例函数的图象上方时，x的取值范围． ∵， 由图象可知，当或时，一次函数的图象在反比例函数的图象上方， ∴关于x的不等式的解集是或． 故选D． 【变式4-1】（2025·江苏苏州·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，过点且垂直于轴的直线与反比例函数的图象交于点，将直线绕点逆时针旋转，所得的直线经过第一、二、四象限，则的取值范围是(　　) A．或 B．或 C．且 D．或 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点，一次函数的解析式，关键是要分两种情况讨论．当在原点右侧时，点坐标为，设旋转后的直线的解析式为：，得到，求出；当在原点左侧时，设旋转后的直线的解析式为：，，求出，即可得到的取值范围． 【详解】解：当在原点右侧时，点坐标为， 直线绕点逆时针旋转， 所得的直线与直线平行， 设这条直线的解析式为：， 这条直线经过第一、二、四象限， ， 在直线上， ， ， ， ， ； 当在原点左侧时， 设这条直线的解析式为：， 同理：， ， ， ， ， ． 的取值范围是或． 故选：B． 【变式4-2】（25-26九年级上·安徽·期末）如图，直线与双曲线交于两点，直线与双曲线在第一象限交于点C，连接． （1）点A的坐标是 ； （2）的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题、三角形的面积，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据点B的坐标可以求得双曲线的解析式，然后即可求得点A的坐标； （2）根据反比例函数的中心对称性求出点C的坐标，再用割补法即可求得的面积． 【详解】解：（1）∵点在双曲线上， ∴， ∴． ∵点在双曲线上， ∴， ∴ 故答案为：； （2）如图，过点B作轴，过点C作轴，和交于点G，过点B作轴，过点A作轴，和交于点E，与交于点F． ∵直线BO与双曲线在第一象限交于点C，点， ∴点C的坐标为． ∵点，，， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式4-3】（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与双曲线交点的横坐标，再由函数图象即可求解． （3）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 类型五、反比例函数的应用问题 1. 建模转化抓关系 分析实际问题中的两个变量，判断是否满足乘积为定值的反比例关系，设函数解析式 ，代入已知条件求出 k，完成数学建模。 2. 结合实际定范围 求解函数值或自变量时，除计算外，需结合实际情境确定自变量的取值范围；涉及最优方案时，利用反比例函数增减性，结合定义域分析得出结论。 例5．（24-25九年级上·河北沧州·期末）已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）是反比例函数关系，它们的图像如图所示，下列说法不正确的是（   ） A．该蓄电池的电压为 B．当时， C．当电阻越大时，蓄电池的电流也越大 D．当时， 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的应用，待定系数法求反比例函数解析式，求函数值，反比例函数的性质，先求出反比例函数的解析式，然后根据反比例函数的图象及性质逐一判断即可求解，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：设使用蓄电池时，电流与电阻的解析式为， 根据图象可得：， ∴电流与电阻的解析式为， ∴、该蓄电池的电压为，原说法正确，不符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 、当电阻越大时，蓄电池的电流越小，原说法错误，符合题意； 、当时，，原说法正确，不符合题意； 故选：． 【变式5-1】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）在恒温下，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）的函数关系如图所示．若压强由加压到，则气体体积压缩了 mL． 【答案】20 【分析】本题考查反比例函数的实际应用，涉及从图象中获取信息、待定系数法确定函数关系式，数形结合，熟练掌握待定系数法确定函数关系式是解决问题的关键． 根据题意压强p与汽缸内气体体积V成反比例函数，设，代入点可得，再求两种气压下对应气体体积即可求解． 【详解】由图可知，气体对汽缸壁的压强p（）与汽缸内气体体积V（）成反比例函数关系， 设， ∵函数图象过点， ∴，解得， ∴， 当时，，解得， 当时，，解得， ， 气体体积压缩了L． 故答案为：20． 【变式5-2】（24-25八年级下·黑龙江大庆·期末）1896年，挪威生理学家古德贝发现，每个人有一条腿迈出的步子比另一条腿迈出的步子长的特点，这就导致每个人在蒙上眼睛行走时，虽然主观上沿某一方向直线前进，但实际上走出的是一个大圆圈！这就是有趣的“瞎转圈”现象．经研究，某人蒙上眼睛走出的大圆圈的半径y/米是其两腿迈出的步长之差x/厘米（）的反比例函数，其图象如下图所示．请根据图象中的信息解决下列问题： (1)求y与x之间的函数表达式； (2)当某人两腿迈出的步长之差为0.5厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为多少米？ 【答案】(1) (2)半径为米 【分析】（1）设y与x之间的函数表达式为，把点代入，解方程即可得到结论； （2）把代入反比例函数的解析式即可得到答案； 本题考查了反比例函数的应用，正确的理解题意是解题的关键． 【详解】（1）解：设反比例函数解析式为， 由图象可知，反比例函数图象过点， ∴ ∴， ∴； （2）解：当时，， ∴当某人迈出的步长差为厘米时，他蒙上眼睛走出的大圆圈的半径为米． 【变式5-3】（23-24八年级下·江苏宿迁·期末）在一次煤矿安全事故的调查中发现：如图，从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，会发生爆炸，爆炸后空气中的浓度下降，此时浓度与时间成反比例．根据题中相关信息，回答下列问题： (1)求爆炸前、后空气中的浓度y（）与时间x（h）之间的函数表达式，并写出相应的自变量x的取值范围． (2)当空气中的浓度达到时，井下3km处的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产救援工作，则矿工至少在爆炸后多长时间才能下井？ 【答案】(1)，；， (2) (3) 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的综合，涉及待定系数法求函数解析式、求函数值等知识，理解题意，看懂图象，利用数形结合思想求解是解答的关键． （1）根据图象形状和经过点的坐标，利用待定系数法求解即可； （2）求得爆炸前时的x值即可求解； （3）求得爆炸后时的x的值即可求解． 【详解】（1）解：设爆炸前空气中的浓度与时间之间的函数表达式为． 由题图，可知直线过点、， ∴， 解得， ∴．此时自变量的取值范围是， ∵爆炸后空气中的浓度下降，且浓度与时间成反比例， ∴可设与之间的函数表达式为． 由题图，可知函数的图象过点， ∴， 解得， ∴， 此时自变量的取值范围是； （2）解：在中，令，得， 解得， ∴撤离的最长时间为， ∴撤离的最慢速度为， 即他们至少要以的速度撤离才能在爆炸前逃生； （3）解：在中，令，解得， ∵， ∴矿工至少在爆炸后才能下井． 类型六、反比例函数与几何图形的综合问题 1. 锚定k值建联系 利用几何图形性质（如平行、垂直、全等）确定双曲线上关键点的坐标，再根据 k=xy 计算 k 值；或由已知 k 值推出点的坐标关系，搭建函数与几何的桥梁。 2. 面积转化巧破题 遇到几何图形面积问题时，将不规则图形割补为与坐标轴垂直的直角三角形或矩形，结合 k 的几何意义 |k| 快速计算面积；也可反向由面积求点坐标或 k 值。 例6．（24-25八年级下·吉林长春·期末）已知反比例函数的图象，如图所示，点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点，为第四象限内一点，且与y轴平行，与x轴平行，若，则的值为（    ） A．7 B．6 C．5 D．4 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据对称性可得点关于原点对称，设点坐标，则可表示出；再根据“与y轴平行，与x轴平行”可知，从而可得A的坐标，进而可以表示出，最后根据列式求解即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上，连接两点，刚好经过原点， ∴由反比例函数的对称性可知点关于原点对称， 设，则， ∵与y轴平行，与x轴平行， ∴， ∴， 故选：B． 【变式6-1】（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，矩形的顶点A、C分别在轴、轴的正半轴上，点D在边上，点E在边上，反比例函数的图象经过点D、E及的中点． （1）若 ； （2）若的面积为6，则 ． 【答案】 6 8 【分析】（1）求出C、A、M的坐标，再求出k，然后求出即可； （2）设，表示出M的坐标，用a、c表示k，求出D的横坐标，从而可求出；连接，根据矩形的性质可知三点共线，则，据此即可计算； 本题考查反比例函数图象的性质、矩形的性质、中点坐标公式的应用． 【详解】解：（1）由题可知，，则， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴； （2）设，则， 连接， 根据矩形的性质可知三点共线， 将M代入，得， ∴反比例函数的解析式为， 当时，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：6；8． 【变式6-2】（24-25九年级上·内蒙古包头·期末）如图，已知、B是反比例函数图象上的两个点，轴于点C，若的面积为2． (1)求m的值； (2)以边作菱形，使点D在第二象限，点E在x轴负半轴上，求菱形的面积． 【答案】(1)m的值为1 (2)菱形的面积为 【分析】本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义、反比例函数图象上点的坐标特征及菱形的性质，熟知反比例函数的图象与性质、菱形的性质是解题的关键． （1）根据反比例函数系数的几何意义求出的值，据此求出m的值即可； （2）根据菱形的面积公式进行计算即可． 【详解】（1）解：由题知点B在反比例函数图像上， 因为轴于点C，的面积为2， 所以， 又， 所以， 则反比例函数解析式为， 将点代入得， 解得， 所以m的值为1． （2）解：由（1）知，则， 因为四边形是菱形， 所以，且边上的高为点A的纵坐标值，即为4， 所以菱形的面积为． 【变式6-3】（24-25九年级上·安徽宿州·期末）如图，M是四边形对角线的交点，轴于点C，轴于点，反比例函数：的图象经过点M，M是的中点． (1)求经过点A的反比例函数的表达式； (2)若点D恰好也在图象上，证明：四边形是菱形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题将反比例函数与四边形的性质结合，解题关键是利用反比例函数的性质和中点坐标求出相关点的坐标关系，再结合菱形的判定定理进行证明，考查了知识的综合运用能力． 设点M的坐标为，根据点M在反比例函数上，求出，根据轴，M是的中点，求出点A的坐标，设经过点A的反比例函数的表达式为，代入点A的坐标即可解答； 根据题意证明与互相垂直平分即可得证． 【详解】（1）解：设点M的坐标为， 点M在反比例函数上， ， 轴，M是的中点， 点A的坐标为， 设经过点A的反比例函数的表达式为， 把代入可得， 即， 又， ， 则反比例函数的表达式为； （2）证明：设点M的坐标为， 轴， 点D的纵坐标与点M的纵坐标相同， 点D在图象上， 点D的坐标为， 由知，，即， 点M的坐标为， ， 是的中点， ； 轴，轴， 轴，轴， 即， 四边形是菱形． 一、单选题 1．（22-23八年级下·陕西汉中·期末）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数图像上点的坐标特征，利用代入法求y值并比较大小是关键．根据反比例函数性质，时，函数图像在第一、三象限，代入点坐标计算y值并比较大小． 【详解】解：∵点，，在反比例函数上，   ∴，，， ∵， ∴，，， ∴， ∴，，的大小关系为， 故选：B． 2．（25-26九年级上·广东揭阳·月考）如图①为亮度可调节的台灯，在电压一定的情况下，该台灯的电流与电阻之间的函数关系如图②所示，则下列说法正确的是（   ） A．与的函数解析式是 B．当时， C．随的增大而增大 D．当时，的取值范围是 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的应用，由待定系数法求出反比例函数的解析式是解决问题的关键．由待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的性质逐项分析即可得到答案． 【详解】解：设与的函数关系式为：， 该图像经过点， ， ， 与的函数关系式是，故选项A不符合题意； 当时，，解得，故选项B不符合题意； ，随的增大而减小，故选项C不符合题意； 当时，，当时，， 当时，的取值范围是，故选项D符合题意； 故选：D． 3．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）关于反比例函数下列说法不正确的是（   ） A．图象位于第一、三象限 B．当时，随的增大而增大 C．图象与坐标轴无交点 D．若点在该函数图象上，则点也在该函数图象上 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象的性质，解题关键是掌握反比例函数图象的性质并熟练运用． 根据反比例函数图象的性质判断即可． 【详解】解：反比例函数，， 图象位于第一、三象限， A选项是正确的，不符合题意； 根据反比例函数的图象可知，图象与坐标轴无交点， C选项是正确的，不符合题意； 对于B：当时，， 增大，减小， 随的增大而减小，故B是错误的，符合题意； 对于D：若点在图象上，则，代入点，有， ，成立，故D是正确的，不符合题意． 故选：B． 4．（25-26九年级上·江西·期末）下列函数是反比例函数的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的定义，掌握反比例函数的几种形式是解题的关键． 根据反比例函数的定义分别进行分析即可，形如：或或其中的函数是反比例函数． 【详解】解：A、不是反比例函数，故本选项不符合题意； B、变形为，不是反比例函数，故本选项不符合题意； C、不是反比例函数，故本选项不符合题意； D、是反比例函数，故本选项符合题意； 故选：D 5．（25-26九年级上·湖南株洲·期中）反比例函数和在第一象限的图象如图所示，点在函数图象上，点在函数图象上，轴，点是y轴上的一个动点，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线间的距离，反比例函数比例系数的几何意义，延长交轴于点，连接，，根据平行线间的距离得，又，从而求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，延长交轴于点，连接，， ∵轴， ∴轴，， ∵， ∴， 故选：． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河南平顶山·期末）若点、、在反比例函数的图象上，则、、的大小关系为 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数点的特征，求反比例函数的函数值．代入各点横坐标计算纵坐标后比较大小即可得出答案． 【详解】解：当时，， 当时，， 当时，， 由于， 因此． 故答案为：． 7．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）反比例函数的图象在第二、第四象限，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握这一知识点是关键；反比例函数图象的象限位置由比例系数k的符号决定，当时，图象在第二、第四象限，据此列出不等式，解不等式即可， 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、第四象限， ∴比例系数， 解得； 故答案为． 8．（24-25九年级上·河北张家口·期末）如图，在反比例函数的图象上有四点，它们的横坐标依次为1，2，3，4，分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为，若，则k的值为 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，根据题意可得，再根据长方形面积公式分别表示出，根据建立方程求解即可． 【详解】解：在中，当时，，当时，，当时，，当时，， ∴， ∵分别过这些点作垂直于x轴与y轴的垂线，图中所构成的阴影部分的面积从左到右依次为， ∴，，，， ∵， ∴， 解得， 故答案为：4． 9．（23-24八年级下·海南海口·期末）如图，正方形的顶点、在轴上，反比例函数的图象经过点，交于点，则的值为 ，的面积等于 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征、正方形的性质以及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数值的求法和正方形顶点坐标的确定是解题的关键． 先利用反比例函数图象上点的坐标特征求出值，得到反比例函数解析式，再根据正方形性质确定各顶点坐标，进而求出点坐标，最后结合三角形面积公式求出的面积． 【详解】解：∵ 反比例函数经过点， ∴ ，反比例函数解析式为． ∵ 四边形是正方形，，、在轴上， ∴ ，，，． 把，代入得，即， ∵ ，， ∴ ． 故答案为：；． 10．（24-25九年级下·江苏·自主招生）如图，在平面直角坐标系中，点P在函数（x>0）的图象上从左向右运动，轴，交函数（）的图象于点A，轴交的延长线于点B，则的面积为 ． 【答案】16 【分析】本题主要考查了反比例函数的性质、一次函数解析式的求法及三角形面积的计算，熟练掌握反比例函数上点的坐标特征并设出点的坐标进行推导是解题的关键． 设点的坐标，利用反比例函数表达式表示出点的坐标，求出的长度；再求出直线的解析式，结合轴得到点的坐标，求出的长度，最后利用三角形面积公式计算． 【详解】解：设（）． ∵ 轴，在上， ∴ ， ∴ ． 设直线的解析式为，将代入得：， 解得， ∴ 直线的解析式为． ∵ 轴， ∴ 的纵坐标为，将代入得：，解得， ∴ ， ∴ ． ∴ ． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖南常德·期中）如图1，已知反比例函数的图象与矩形的边分别交于点与点． (1)求该反比例函数的表达式； (2)连接交反比例函数的图象于点，若，求点的坐标； (3)如图2，连接，过点作轴的平行线交于点，连接．记与四边形的面积分别为与，求证：为定值． 【答案】(1)该反比例函数的表达式为； (2)点的坐标为； (3)证明过程见解析． 【分析】本题考查求反比例函数的解析式，矩形的性质，反比例函数与几何综合． （1）把代入，可得，即可得反比例函数的表达式； （2）由矩形的性质，结合点，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，可得，从而可得，代入反比例函数的表达式，可得，即可得点的坐标； （3）设直线的解析式为，由矩形的性质，反比例函数的解析式，结合已知可得，，，可得四边形为梯形，代入对应的面积公式，可得，，计算，即可证得结论． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴该反比例函数的表达式为． （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∵点在上， ∴， 设， ∵， ∴点是的中点， ∴，， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴点的坐标为． （3）证明：设直线的解析式为， ∵四边形是矩形，点在上， ∴， ∴， ∵点在上，， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵轴，， ∴， ∵点在上， ∴， ∴， ∴四边形为梯形， ∴，， ∴， ∴为定值． 12．（25-26九年级上·山东威海·月考）近年来，我国煤矿安全事故频频发生，其中危害最大的是瓦斯，其主要成分是．在一次矿难事件的调查中发现：从零时起，井内空气中的浓度达到，此后浓度呈直线型增加，在第7小时达到最高值，发生爆炸；爆炸后，空气中的浓度成反比例下降．如图所示，根据题中相关信息回答下列问题： (1)求爆炸前后空气中浓度与时间的函数关系式； (2)当空气中的浓度达到时，井下的矿工接到自动报警信号，这时他们至少要以多少的速度撤离才能在爆炸前逃生？ (3)矿工只有在空气中的浓度降到及以下时，才能回到矿井开展生产自救，求矿工至少在爆炸后多少小时才能下井？ 【答案】(1)爆炸前：，爆炸后： (2) (3)小时 【分析】本题考查了一次函数的应用、反比例函数的应用． （1）分别设爆炸前y与x的函数关系式为，爆炸后y与x的函数关系式为，进而求解即可； （2）将代入，求出撤离的最长时间，进而求撤离的最小速度即可； （3）将代入，求出减7即可． 【详解】（1）解：因为爆炸前浓度呈直线型增加， 所以可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点与， 则，解得，则， ∵爆炸后浓度成反比例下降， ∴可设y与x的函数关系式为， 由图象知过点， ∴， ∴， ∴； （2）解：当时，由得，，， ∴撤离的最长时间为（小时）， ∴撤离的最小速度为； （3）解：当时，由得，，（小时）． ∴矿工至少在爆炸后小时才能下井． 13．（25-26九年级上·山西·月考）如图，点A是反比例函数的图象上的一点，连接在的右下方构造正方形，连接，延长，与轴交于点，点的坐标为，且． (1)求的值； (2)求直线的解析式． 【答案】(1)6 (2) 【分析】此题是反比例函数综合题，主要考查了函数图象上的点的特点，勾股定理，待定系数法求一次函数解析式，解本题的关键是用方程的思想解决问题． （1）过点作轴于点,设，则，，，在中，，求出的值，由等面积法求出点A的坐标，即可求出的值； （2）过点作轴于点，证明，求出点的坐标，由待定系数法即可求出直线的解析式． 【详解】（1）解：如图，过点作轴于点． ， 设，则， ，． 点的坐标为， ． 在中，， ，解得（负值舍去）． ，． ， ． ． 点A的坐标为． ． （2）解：如图，过点作轴于点． ． ． 又， ． 又， ． ，． ∴点的坐标为． 设直线的关系式为， ∵点，在直线上， ，解得， ∴直线的解析式为． 14．（25-26九年级上·安徽合肥·期末）如图，一次函数与反比例函数的图象交于A、B两点，A点的横坐标为3． (1)求反比例函数的解析式； (2)请连接、．并求出的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求出A的坐标，再求出k即可； （2）设一次函数图象与y轴交于D，求出D的坐标，联立一次函数和反比例函数的解析式求出B的横坐标，根据几何关系即可求解． 本题考查一次函数和反比例函数的图象性质． 【详解】（1）解：对于，当时，， ∴， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：如图， 设一次函数图象与y轴交于D， ∴， 由，得，即， ∴， ∴B的横坐标， ∴． 15．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，与轴交于点． (1)求反比例函数和一次函数的解析式； (2)设为线段上的一个动点（不与重合），过点作轴交反比例函数图象于点，当的面积等于时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及利用一元二次方程求三角形面积，理解题意，熟练掌握这些知识点是解题关键． （1）先利用待定系数法求得反比例函数解析式，再求得，利用待定系数法即可求得一次函数解析式； （2）根据题意得出，设，则，利用三角形面积公式列出关于的方程，求解即可． 【详解】（1）解：在反比例函数的图象上， ， ∴反比例函数的解析式为， 在反比例函数的图象上， ，解得：， ，， ，在一次函数的图象上， ，解得 ∴一次函数的解析式为； （2）把代入得． ， 设，则， ， 化简得：， 解得：，． ∴点的坐标为：或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $