期末专题03 旋转的四类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题03旋转的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、中心对称图形 类型二、根据旋转的性质求解 类型三、旋转作图 类型四、几何图形的旋转综合问题 压轴专练 典例详解 类型一、中心对称图形 1.判定技巧：抓住核心定义一图形绕某点旋转180°后与自身重合，可通过“找对称中心+旋转验证”判 断，常见图形（平行四边形、圆等）可直接套用结论。 2.作图技巧：确定对称中心，连接图形关键点与中心并延长相同长度，得到对应点，依次连接对应点即 得中心对称图形。 3.解题技巧：与中心对称结合时，利用“对应点连线过对称中心且被平分的性质，转化线段、角度关 系，简化几何计算或证明。 例1.(25-26九年级上·内蒙古通辽期末)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是() 公H 【变式1-1】(24-25八年级上·河北石家庄·期末)瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是 中国特有的文化艺术遗产，下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是() 1/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 9 B D 【变式1-2】 (25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末)下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的 是( 【变式1-3】(2025山东东营·中考真题)中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中 国智慧.下列中国航天图标中是中心对称图形的是() D 类型二、根据旋转的性质求解 1.找等量关系，转化条件 紧扣旋转的核心性质：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；旋转 角相等。解题时先定位旋转中心、旋转角，将分散的线段、角转化到同一三角形或图形中，建立等量关 系。 2.构造旋转图形，突破难点 遇线段相等、角相等的条件时，可主动构造旋转图形，把不规则图形转化为规则图形（如三角形、四边 形)，将分散条件集中，快速解决线段和差、角度计算、面积求解等问题。 例2.(24-25七年级下·吉林四平·期末)如图，在△ABC中，∠B=40°，将△ABC绕点C逆时针旋转得到 △A'B'C,点A、B的对应点分别是A、B,边AB'经过点A,若∠B'CA=37°，则∠BAC的度数为 () 2/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.40° B.74° C.770 D.80° 【变式2-1】(25-26九年级上·河南安阳期末)如图，平面直角坐标系中，△ABC中AB=BC,顶点 B、C的坐标分别是-2,0.0，-，点A的横坐标为3.将△ABC绕点0顺时针旋转，每次旋转90°，则 第2025次旋转结束后点A的对应点 A25的纵坐标为（） A.3 B.-3 C.2 D.-2 【变式22】(25-26九年级上天津期末)如图.△6C中，∠C=90,4C=BC-5,将 ABC 绕点A 顺时针方向旋转60到△C的位置，连接C,BC的延长发交4B于点D 到 AB (I)AB的长为一： (I)BD的长为一 【变式2-3】(24-25九年级上·湖北武汉期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，将△ABC绕点A逆 时针旋转90°得到△ADE,延长DE交BC于点F. B D E (I)则∠BFD= 3/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AB=10,DF=14 (2)若 、BF ,求的长 类型三、旋转作图 1.抓核心要素，建等量关系 锁定旋转中心、旋转方向和旋转角三大要素，依据旋转前后图形全等的性质，梳理对应边、对应角的等 量关系，将分散条件集中到同一几何模型中，为计算或证明搭建基础。 2.巧构辅助图形，破解题障碍 针对线段和差、面积计算等综合问题，可通过构造旋转图形，把不规则图形转化为三角形、平行四边形 等规则图形，利用全等三角形、勾股定理等知识快速求解。 例3.(23-24七年级下·陕西汉中·期末)如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中， △ABC的顶点均为格点（网格线的交点）· ①△4BC与△48G关于点0对称，画出 △ABC (2)将 △A,BC 向左平移4个单位 △A,BC,画出 ABC2 【变式3-1】(24-25九年级上云南红河期末)如图，△4BC三个顶点的坐标分别为 A1,1B(4,2) 4/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C(3,4) (I)请画出△ABC以点O为旋转中心，顺时针旋转180°后得到的图形△AB'C”(A的对应点为A,B的对应 点为B',C的对应点为C): (2)求△ABC的面积. 【变式3-2】(25-26九年级上：内蒙古通辽·期末)如图，△ABC在坐标平面内（正方形网格中，每个小正 方形的边长是1个单位长度，点A,B,C都在格点上)· 5 3 2 5-4-3-2-19 2345 2 3 5 (I)作△ABC关于原点中心对称的△A'B'C,并直接写出点B的坐标： (2)求以，A,C为顶点的三角形的面积。 【变式3-3】(25-26九年级上新疆期末)如图. 5/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 染 5 3 2 C 5-4-3-2-1Q 1 2345 +2 3 (I)请画出△ABC 向下平移6个单位长度后得到的 ABG:并写出点B的对应点的坐标为 6 (2)请画出△1BC关于点O成中心对称的 A,B,C2 B 并写出点B的对应点的坐标为 类型四、几何图形的旋转综合问题 1.抓核心要素，建等量关系 锁定旋转中心、旋转方向和旋转角三大要素，依据旋转前后图形全等的性质，梳理对应边、对应角的等 量关系，将分散条件集中到同一几何模型中，为计算或证明搭建基础。 2.巧构辅助图形，破解题障碍 针对线段和差、面积计算等综合问题，可通过构造旋转图形，把不规则图形转化为三角形、平行四边形 等规则图形，利用全等三角形、勾股定理等知识快速求解。 例4.(25-26九年级上·四川凉山期末)如图，点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上，且. ∠MAN=45°，把△ADN绕点A顺时针旋转90°得到△ABE. D M (1)求证：△AEM≌△ANM: (2)若BM=6,DN=4,求MN的长. 【变式4-1】(25-26九年级上内蒙古乌兰察布·期末)如图，点G是矩形ABCD内一点，∠BGC=90°，把 Rt心BGC绕点C按顺时针方向旋转90°，得到△B'GC(点B对应点B,点G对应点G)·.延长BG交 B'G于点E,连接AG. 6/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B D (1)判断四边形CGEG的形状，并说明理由. 2若B'C=8,EG=6,CD=7,求 A3,0).B0,4) 【变式4-2】(24-25九年级上·河北张家口·期末)在平面直角坐标系中，0为原点，点 ,点 把△ABO绕点B逆时针旋转，得△ABO,点A,O旋转后的对应点为A,O',记旋转角为a. B B O A A A 图① 图② 备用图 (I)如图①，若a=90°，求AA'的长： (2)如图②，若0=45°，求点0'的坐标. 【变式4-3】(24-25八年级下·四川内江·期末)综合实践 【初步探究】如图1，在正方形ABCD中，点E,F分别在边BC,CD上，连接AE,AF,EF,若 ∠EAF=45°，将△ADF绕点A顺时针旋转90°得到△ABG.易证：△AEF∽aAEG. B E B E 图1 图2 图3 (1)根据以上信息填空： ①∠EAG= ②线段BE,EF,DF之间满足的数量关系为 【迁移探究】 7/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)如图2，在正方形ABCD中，若点E在CB的延长线上，点F在DC的延长线，∠EAF=45°，猜想线段 BE,EF,DF之间的数量关系，并证明. 【拓展探索】 (3)如图3，已知正方形1BC 的边长为3 ,E,F分别在BC,CD上，E1F=45°，连接BD分别交 AE,AF于点M,N,若点M恰好为线段BD的三等分点，且BM<DM,求线段MN的长. 压轴专练 一、单选题 1.(2526九年级上全国期未)已知点4的坐标为Q-2,点B与点4关于原点对称，则点8的坐标为 () A.(-2,0) (2,0 B C.0,2 D.0,-2 2. (25-26九年级上·全国·期末)下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是() 份赛 3.(24-25八年级下·陕西汉中·期末)如图，在△ABC中，∠CAB=58°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到 △ABC',当点C落在边AB上时，连接CC',则∠CCA的度数为() B A.82° B.62° C.58 D.61° 4.(24-25八年级下广东揭阳·期末)如图，点E是正方形ABCD内一点，连接AE、BE、CE,将△ABE 绕点B顺时针旋转90°到△CBE的位置.若AE=1,BE=2,CE=3,则求∠BEC的度数为() 8/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D A.135° B.120° C.90° D.105° 5.(24-25八年级上·浙江湖州期末)如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4,点D是 直角边AC上一点，连接BD,将BD绕点B顺时针旋转6O°得到BE,连接CE,随点D位置的改变，线段 CE的最小值为() E C D A. 2 B.1 C.5 D.2 二、填空题 6.(23-24七年级下·四川乐山期末)如图，△ABC绕顶点A逆时针旋转25°至△ADE,∠B=50°， ∠E=60°，则∠BAE=_°. 7.(25-26八年级上·全国·单元测试)如图，在△ABC中，∠CAB=65°，将△ABC在平面内绕点A旋转到 △AB'C'的位置.若∠CAB'=25°，则∠CAC'的度数为一· 9/12 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 8。(25-26九年级上福建期末)在平面直角坐标系中，点1a,l与点8-2，) 关于原点成中心对称，则 a+b的值是一 9.(23-24八年级下·四川雅安·期末)等边△ABC边长为4，点D是线段CA上的动点，将线段DB绕点D 逆时针旋转6O°得到线段DE,连接AE,点D在运动过程中，△ADE的周长的最小值为一 B 10.(23-24九年级上~山西阳泉·期末)如图，点E为正方形ABCD的边BC上一点，且∠BAE=30°，以点 B为旋转中心，将线段柜顺时针旋转0°，得到线段FE,连接CF.若MB=35,则CF的长为一 B 三、解答题 11.(25-26九年级上·全国·期末)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，将△ABC绕着点B逆时针旋转得到 △FBE,点C,A的对应点分别为E,F.点E落在BA上，连接AF. 10/12 期末专题03 旋转的四类综合题型 目录 典例详解 类型一、中心对称图形 类型二、根据旋转的性质求解 类型三、旋转作图 类型四、几何图形的旋转综合问题 压轴专练 类型一、中心对称图形 1. 判定技巧：抓住核心定义——图形绕某点旋转180°后与自身重合，可通过“找对称中心+旋转验证”判断，常见图形（平行四边形、圆等）可直接套用结论。 2. 作图技巧：确定对称中心，连接图形关键点与中心并延长相同长度，得到对应点，依次连接对应点即得中心对称图形。 3. 解题技巧：与中心对称结合时，利用“对应点连线过对称中心且被平分”的性质，转化线段、角度关系，简化几何计算或证明。 例1．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合． 根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； C、是轴对称图形也是中心对称图形，符合题意； D、不是中心对称图形，是轴对称图形，不符合题意． 故选C． 【变式1-1】（24-25八年级上·河北石家庄·期末）瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查中心对称图形与轴对称图形的概念．判定轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形两部分折叠后可重合；判定中心对称图形是寻找对称中心，使图形旋转180度后与自身重合． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐一分析选项是否同时满足“轴对称”和“中心对称”的条件． 【详解】解： A．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B．既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C．是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D．既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：． 【变式1-2】（25-26九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形，如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．掌握中心对称图形与轴对称图形的定义是解题的关键． 根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B．既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意； D．是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 【变式1-3】（2025·山东东营·中考真题）中国的航天技术已达到世界先进水平，为世界科技进步贡献了中国智慧．下列中国航天图标中是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是中心对称图形的概念，掌握中心对称图形的概念是解答本题的关键．把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．根据中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， 不是中心对称图形； B、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形； C、图案能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴是中心对称图形； D、图案不能找到一个点，使图形绕这个点旋转后与原来的图形重合， ∴不是中心对称图形． 故选：C． 类型二、根据旋转的性质求解 1. 找等量关系，转化条件 紧扣旋转的核心性质：旋转前后图形全等，对应边、对应角相等；对应点到旋转中心的距离相等；旋转角相等。解题时先定位旋转中心、旋转角，将分散的线段、角转化到同一三角形或图形中，建立等量关系。 2. 构造旋转图形，突破难点 遇线段相等、角相等的条件时，可主动构造旋转图形，把不规则图形转化为规则图形（如三角形、四边形），将分散条件集中，快速解决线段和差、角度计算、面积求解等问题。 例2．（24-25七年级下·吉林四平·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，点、的对应点分别是、，边经过点，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，三角形外角的性质，等腰三角形的性质．由旋转前后对应边、对应角相等，可得，，，由三角形外角的性质可得，由等边对等角得出，即可求解． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，，， 又， ， ， ， ， 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·河南安阳·期末）如图，平面直角坐标系中，中，顶点的坐标分别是，点的横坐标为．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第2025次旋转结束后点的对应点的纵坐标为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标规律探索、旋转的性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的性质是解题关键； 先画出第一次旋转的图形，然后利用全等三角形的证明与性质求出第一次旋转时A点的纵坐标，再通过循环求出的纵坐标． 【详解】解：如图，作点绕点顺时针旋转得到点， 过点作轴于点，过点作轴于点，连接， ∵点绕点顺时针旋转得到点 ∴， 又∵， ∴， 又∵轴，轴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵点的横坐标为， ∴， ∴点纵坐标为3， ∵将绕点顺时针旋转，每次旋转， ∴每四次一个循环， ∵， ∴与重合， 故的纵坐标为3． 故选：A． 【变式2-2】（25-26九年级上·天津·期末）如图，中，，，将绕点A顺时针方向旋转到的位置，连接，的延长线交于点D． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）的长为 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查三角形的全等的判定与性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，旋转的性质，掌握性质与定理是解题的关键． （1）根据勾股定理即可求解；            （2）连接，先证明是线段的垂直平分线，根据计算即可． 【详解】（Ⅰ）∵， ∴ （Ⅱ）解：如图，连接， 由旋转的性质得：，， ∴是等边三角形， ∴， ∵ ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵中，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·湖北武汉·期末）如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，延长交于点． (1)则___________； (2)若，求的长． 【答案】(1)90 (2) 【分析】本题考查了旋转的性质、勾股定理、平行线的判定与性质等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键． （1）先根据旋转的性质可得，再根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，由此即可得； （2）先根据旋转的性质可得，利用勾股定理可得的长，然后在中，利用勾股定理求解即可得． 【详解】（1）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：90． （2）解：∵将绕点逆时针旋转得到，且， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴在中，． 类型三、旋转作图 1. 抓核心要素，建等量关系 锁定旋转中心、旋转方向和旋转角三大要素，依据旋转前后图形全等的性质，梳理对应边、对应角的等量关系，将分散条件集中到同一几何模型中，为计算或证明搭建基础。 2. 巧构辅助图形，破解题障碍 针对线段和差、面积计算等综合问题，可通过构造旋转图形，把不规则图形转化为三角形、平行四边形等规则图形，利用全等三角形、勾股定理等知识快速求解。 例3．（23-24七年级下·陕西汉中·期末）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均为格点（网格线的交点）． (1)与关于点O对称，画出； (2)将向左平移4个单位得，画出． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作中心对称图形，作平移图形． （1）根据题意作图即可； （2）根据题意作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【变式3-1】（24-25九年级上·云南红河·期末）如图，三个顶点的坐标分别为，，． (1)请画出以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到的图形（A的对应点为，B的对应点为，C的对应点为）； (2)求的面积． 【答案】(1)画图见解析； (2)． 【分析】（）根据旋转变换的性质找出对应点即可求解； （）利用正方形面积减去三个直角三角形面积即可； 本题考查了作图－旋转变换，三角形面积，解题的关键是根据旋转变换的性质画出图形． 【详解】（1）解：如图，以点O为旋转中心，顺时针旋转后得到； ∴即为所求； （2）解：的面积 ． 【变式3-2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）如图，在坐标平面内（正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度，点A，B，C都在格点上）． (1)作关于原点中心对称的，并直接写出点的坐标； (2)求以，，为顶点的三角形的面积． 【答案】(1)作图见解析；点的坐标为 (2)的面积为12 【分析】此题考查了中心对称作图、点的坐标、利用网格求面积等知识． （1）找到关于原点的对称点，顺次连接得到，再写出点的坐标即可； （2）根据三角形面积公式计算即可． 【详解】（1）解：如解图，即为所求，点的坐标为； （2）解：由（1）得点，连接， 的面积为． 【变式3-3】（25-26九年级上·新疆·期末）如图． (1)请画出向下平移6个单位长度后得到的；并写出点B的对应点的坐标为____________； (2)请画出关于点成中心对称的；并写出点B的对应点的坐标为____________． 【答案】(1)图见解析，； (2)图见解析， 【分析】本题考查作图：原点对称变换，平移变换等知识． （1）利用平移变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可； （2）利用中心对称变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，，顺次连接可得到，根据点的位置写出的坐标即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求， 点的坐标为：； （2）解：如图，即为所求， 点的坐标为：． 类型四、几何图形的旋转综合问题 1. 抓核心要素，建等量关系 锁定旋转中心、旋转方向和旋转角三大要素，依据旋转前后图形全等的性质，梳理对应边、对应角的等量关系，将分散条件集中到同一几何模型中，为计算或证明搭建基础。 2. 巧构辅助图形，破解题障碍 针对线段和差、面积计算等综合问题，可通过构造旋转图形，把不规则图形转化为三角形、平行四边形等规则图形，利用全等三角形、勾股定理等知识快速求解。 例4．（25-26九年级上·四川凉山·期末）如图，点M，N分别在正方形的边上，且．，把绕点A顺时针旋转得到． (1)求证：； (2)若求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10． 【分析】本题主要考查了正方形的性质、旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定定理（）和性质是解题的关键． （1）利用旋转的性质得到对应角和对应边相等，再结合已知角的关系，通过判定定理证明三角形全等． （2）根据（1）中的全等关系，将线段进行转化，进而求出的长度． 【详解】（1）证明：由旋转的性质得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴（）； （2）解：∵，， 由（）知：， ∴， ∵， ∴． 【变式4-1】（25-26九年级上·内蒙古乌兰察布·期末）如图，点是矩形内一点，，把绕点按顺时针方向旋转，得到（点对应点，点对应点）．延长交于点，连接． (1)判断四边形的形状，并说明理由． (2)若，，，求． 【答案】(1)四边形是正方形，理由见解析 (2) 【分析】此题考查了正方形的判定和性质、勾股定理、旋转的性质等知识，熟练掌握正方形的判定和性质、旋转的性质是解题的关键． （1）根据旋转的性质得，证明，即可得到结论； （2）由旋转得，，由勾股定理求得，过G作于M，于H，等面积法求出  求出，根据三角形面积公式即可得到答案． 【详解】（1）四边形是正方形 理由：由旋转可知， 且， 故， ∴四边形是正方形． （2）由旋转得，， 正方形中， 由勾股定理求得， 过G作于M，于H， 由等面积法可得    ∵四边形是个矩形 ， 由勾股定理得 【变式4-2】（24-25九年级上·河北张家口·期末）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点，把绕点B逆时针旋转，得，点A，O旋转后的对应点为，，记旋转角为． (1)如图①，若，求的长； (2)如图②，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由勾股定理求出的长，由旋转的性质得出，，由勾股定理可得出答案； （2）过点作于点，由旋转的性质及直角三角形的性质可求出，的长，则可得出答案． 【详解】（1）解： 点，点， ，， ， 把绕点逆时针旋转，得， ，， ； （2）解：如图②，若，则，过点作于点，    则是等腰直角三角形，， 把绕点逆时针旋转，得， ， ∴ ， ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质，直角三角形的性质，勾股定理，利用二次根式的性质化简，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【变式4-3】（24-25八年级下·四川内江·期末）综合实践 【初步探究】如图1，在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，．若，将绕点A顺时针旋转得到．易证：． （1）根据以上信息填空： ①________； ②线段，，之间满足的数量关系为________； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点E在的延长线上，点F在的延长线，，猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，E，F分别在，上，，连接分别交，于点M，N，若点M恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①；②；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质综合，旋转的性质，勾股定理等知识，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）①证明，由全等三角形的性质得出，从而可求得； ②证明，由全等三角形的性质得出； （2）将绕点A顺时针旋转到，连接，证明，由全等三角形的性质得出，，证明，由全等三角形的性质得出； （3）将绕点A顺时针旋转，得到，证明，得，再证，然后由勾股定理得出，即可解决问题． 【详解】（1）解：①如图（1），延长到点G，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； 在和中， ， ∴， ∴， ∵ ∴； 故答案为：； （2）． 证明如下：如图（2），在上截取，连接． 在和中， ∴， ∴， ∴ 即 ∵ ∴ 在和中， ∴ ∴ ∵ ∴； （3）如图（3），将绕点A顺时针旋转得到，连接． ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴ ∴， 由旋转可得，，，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， ∴ 解得：， ∴． 一、单选题 1．（25-26九年级上·全国·期末）已知点A的坐标为，点B与点A关于原点对称，则点B的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查两点关于原点对称的特点，正确记忆两点关于原点对称，横纵坐标均互为相反数是解题关键． 根据关于原点对称的点的特点求解即可． 【详解】解：点A的坐标为，关于原点对称的点B的坐标应为， 故选：C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）下列图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了中心对称图形和轴对称图形的识别．根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解，把一个图形绕某一点旋转度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、是轴对称图形，也是中心对称图形，故本选项符合题意； C、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：B． 3．（24-25八年级下·陕西汉中·期末）如图，在中，，将绕点A顺时针旋转得到，当点落在边上时，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和，熟练掌握这些性质是解题的关键． 利用旋转得出，再利用等边对等角和三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得，， ． 故选：D． 4．（24-25八年级下·广东揭阳·期末）如图，点是正方形内一点，连接、、，将绕点顺时针旋转到的位置．若，，，则求的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线的夹角等于旋转角．也考查了勾股定理的逆定理、等腰直角三角形的判定与性质． 连接，如图，根据旋转的性质得，，，则可判断为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质得，，在中，由于，根据勾股定理的逆定理得到为直角三角形，即，然后利用求解． 【详解】解：连接，如图， 绕点顺时针旋转得到， ，，， 为等腰直角三角形， ，， 在中，，，， ， ， 为直角三角形， ， ． 故选：A． 5．（24-25八年级上·浙江湖州·期末）如图，在中，，，，点是直角边上一点，连接，将绕点顺时针旋转得到，连接，随点位置的改变，线段的最小值为（    ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题主要考查含30度角直角三角形的性质及旋转的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握含30度角直角三角形的性质及旋转的性质是解题的关键；取的中点F，连接，由题意易得，由旋转的性质可知：，然后可得，则有，进而问题可求解． 【详解】解：取的中点F，连接，如图所示： ∵，，， ∴， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 要求线段的最小值，即求线段的最小值， ∴当时，线段有最小值， ∵，， ∴； 故选B． 二、填空题 6．（23-24七年级下·四川乐山·期末）如图，绕顶点A逆时针旋转至，，，则 °． 【答案】 【分析】本题考查图形旋转性质，三角形内角和，角的和差，掌握图形旋转性质，三角形内角和，角的和差是解题关键．根据图形旋转可得，，进而可求的度数． 【详解】解：∵绕顶点逆时针旋转至， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故答案为95． 7．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置．若，则的度数为 ． 【答案】/40度 【分析】本题考查了旋转的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． 根据旋转的性质可得，根据可得． 【详解】解：∵将在平面内绕点旋转到的位置，， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·福建·期末）在平面直角坐标系中，点与点关于原点成中心对称，则的值是 ． 【答案】1 【分析】本题考查已知两点关于原点对称求参数，已知字母的值，求代数式的值． 根据关于原点对称的点的坐标特征，可得，的值，代入计算即可． 【详解】解：∵点与点关于原点成中心对称， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：1． 9．（23-24八年级下·四川雅安·期末）等边边长为4，点是线段上的动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，点在运动过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，旋转的性质，等边三角形的判定和性质，垂线段最短等知识．连接，由旋转可得，，则是等边三角形，所以，证明，所以的周长，所以当最小时，的周长最小，最小值，当时，最小，此时的周长最小，由勾股定理得，即可求解． 【详解】解：连接，如图， 由旋转可得， ∴是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴的周长， ∴当最小时，的周长最小，最小值， ∴当时，最小，此时的周长最小， ∵，是等边三角形， ∴， 由勾股定理，得， ∴的周长最小值． 故答案为：． 10．（23-24九年级上·山西阳泉·期末）如图，点为正方形的边上一点，且，以点为旋转中心，将线段顺时针旋转，得到线段，连接．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】过点F作，交的延长线于点G，利用直角三角形的性质和勾股定理求出，然后证明，则，得到，最后在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点F作，交的延长线于点G，则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得， 即， ∴（舍负）， ∵， ∴， 由旋转的性质得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴， ∴，即， 在中由勾股定理得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，角直角三角形的性质，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 三、解答题 11．（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，将绕着点B逆时针旋转得到，点C，A的对应点分别为E，F．点E落在上，连接． (1)若，求的度数； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，掌握旋转的性质是解题的关键． （1）由旋转的性质可得，再由等腰三角形的性质即可求解； （2）由勾股定理可求的长，由旋转的性质可得，再根据勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ； （2）解：，， ， ∵将绕着点B逆时针旋转得到， ， ， ． 12．（25-26九年级上·新疆·期末）如图，在中，，，点D在边上，将绕点B逆时针旋转得到，连接． (1)求的度数； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． （1）先由旋转的性质得，则，再根据可得的度数； （2）由得，，求得，再根据勾股定理可得到线段的长． 【详解】（1）解：∵绕点B逆时针旋转得到， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 在中，． 13．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）如图所示，四边形是正方形，旋转后得到，，说明的形状． 【答案】等腰三角形，见解析． 【分析】本题考查了旋转的性质，正方形的性质，等角对等边，等角的余角相等，由四边形是正方形，得，由旋转性质可得， ，所以，，所以，然后通过等角对等边即可求解，熟知旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：是等腰三角形，理由： ∵四边形是正方形， ∴， ∵旋转后得到， ∴旋转角是， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 14．（24-25八年级下·四川成都·期末）在中，，点D在边上，连接，将绕点B逆时针旋转（），得线段． (1)如图1，若，连接，求证：； (2)如图2，若，连接，作的中线，用等式表示线段之间的数量关系，并证明你的结论； (3)如图3，在（2）的条件下，若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3)或 【分析】（1）先证明≌，再由全等三角形的性质证明即可； （2）延长使，则是的中位线，那么，然后证明≌，则，即可证明； （3）分两种情况讨论，在左侧时，以及在右侧时，利用（2）的辅助线，分类讨论求解即可． 【详解】（1）证明：将绕点B逆时针旋转得线段 ，， 又， ， ，即， 在和中， ， ≌， ， 又， ； （2）解：，证明如下： 如图，延长使，连接 是的中线， ， 是的中位线， ， 将绕点B逆时针旋转得线段 ，， ，即， 又， ， ，即， ，， ， 在和中， ， ≌， ， ； （3）解：情况一：当在左侧时，设与的交点为G，过B点作于H点． ，， ， 又，， ， 设则，则，解得负值舍， ， ， ， 若， ，由知≌， ， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ，， 由知 情况二：当在右侧时，延长使，连接 ， 同上有， ∴， 同上可得， ∴ 则， ， 是CE中点， ， 综上，或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，等腰三角形的性质，角直角三角形的性质，勾股定理等知识点，难度较大，解题的关键是正确添加辅助线，构造全等三角形． 15．（25-26九年级上·河南安阳·期末）综合与实践 在数学活动课上，某兴趣小组用两张完全相同的长方形纸片（长）展开探究活动． (1)他们先将两张完全相同的长方形纸片和摆成图1的形状，点与点重合，边与边共线，边与边在同一直线上．请写出图中一个的角___________； (2)如图2，他们继续将长方形绕点顺时针旋转后，边与边交于点，连接，若． ①求证：是等腰三角形； ②求的长； (3)从图2开始，他们将长方形绕点顺时针旋转一周，，当边所在的直线恰好经过线段的中点时，连接，直接写出的长． 【答案】(1)（表示形式不唯一） (2)①证明见解析；② (3)或 【分析】本题考查“等腰三角形的判定”“全等三角形的性质与判定”“直角三角形边和角的性质”，通过两个完全相同的长方形，找到对应的角度和线段关系，从而利用30°角和中点得到所需角和线段的关系是解题关键． （1）根据完全相同的两个长方形，判断出图形中唯一的等腰直角三角形，即可得到45°角； （2）①利用角度关系，分别求出和的值，从而推出两角相等，利用等角对等边证明等腰三角形； ②利用①中得到的关系，推出，利用30°角所对直角边等于斜边一半得到的长，再利用勾股定理即可求解； （3）利用中点的条件，通过作垂线构造全等三角形，从而求出的值，再通过线段的和差计算即可求出，注意分类讨论不同位置下的情况，以免漏解． 【详解】（1）解：由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故可填：或，由于点A与点E重合，故也可填或，两者仅角的表示形式不同； （2）①证明：由题意，得， ∵四边形是长方形， ∴，， ∴，， ∵ 又， ∴， ∴，是等腰三角形； ②解：由①，得，， ∴， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴； （3）解：分两种情况： 第一种：经过线段的中点，如图所示，过点B作于点M， 由题意，可知长方形与完全相同， ∴，，， ∴， ∵点O是中点， ∴， 又， ∴， ∴，， 又，即， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 第二种：的延长线经过线段的中点，如图所示，过点B作于点N， 同第一种情况，同理可得， ∴， ∴， 同第一种情况，同理可得， ∴， 综上，的长为或． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $