期末专题02 二次函数的五类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

期末专题02 二次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的定义 类型二、二次函数的图象与性质 类型三、二次函数中字母系数问题 类型四、二次函数中求图象面积问题 类型五、利用二次函数解决实际问题 压轴专练 类型一、二次函数的定义 1.形如（其中是常数，）的函数叫做二次函数，称为二次项系数，为一次项系数，为常数项. 注意：二次项系数，而可以为零．二次函数的自变量的取值范围是全体实数． 2.二次函数的结构特征： ⑴ 等号左边是函数，右边是关于自变量的二次式，的最高次数是2． ⑵ 是常数，是二次项系数，是一次项系数，是常数项． 例1．（24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列函数中，是关于的二次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数的定义，解题的关键是掌握形如的是二次函数．根据二次函数的定义，逐个判断即可． 【详解】解：A、是是二次函数，符合题意； B、不是二次函数，不符合题意； C、是一次函数，不符合题意； D、不是二次函数，不符合题意； 故选：A． 【变式1-1】（24-25九年级上·河南周口·期末）若关于x的函数是二次函数，则m的值为（   ） A．2 B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次函数定义，根据概念得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是二次函数， ∴， 解得， 故选：B． 【变式1-2】（24-25八年级下·云南昆明·期末）若是关于的二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的定义，根据二次函数的定义易得，且，解得的值即可得到答案．熟练掌握其定义是解题的关键． 【详解】解：是关于的二次函数， ，且， 解得， 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·山东东营·期末）如果是二次函数，则的值为 ． 【答案】 【分析】本考查了二次函数的定义，解题的关键是熟练掌握二次函数的定义：一般地，形如（a、b、c是常数，）的函数，叫做二次函数．根据二次函数中未知数的最高次数为2，二次项系数不能为0，可知，，由此可解． 【详解】解：函数是二次函数， ，， 解得：或， 解得：， ， 故答案为：． 类型二、二次函数的图象与性质 1. 锚定图像关键点 抓住抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点等核心关键点，结合开口方向，快速定位函数的增减区间、最值等性质，搭建图像与性质的关联桥梁。 2. 性质联动破综合题 联动函数的对称性、增减性、最值等性质，结合题干条件建立方程或不等式，求解参数取值范围或具体数值，解题后回代图像验证结果是否合理。 例2．（24-25九年级上·河北张家口·期末）下列关于二次函数的说法正确的是（    ） A．图象是一条开口向下的抛物线 B．顶点坐标是 C．函数图象与y轴交于正半轴 D．y有最大值，最大值为 【答案】C 【分析】本题考查二次函数的性质．由解析式 可知其为顶点式，通过分析开口方向、顶点坐标、与y轴交点及最值，逐一判断选项． 【详解】解：∵ 二次函数 中，， ∴ 图象开口向上，故A错误； ∵ 顶点形式为 ，其中，， ∴ 顶点坐标为 ，故B错误； 当时，， ∴ 函数图象与 y 轴交于正半轴，故C正确； ∵ ，开口向上， ∴ y 有最小值，最小值为，故D错误． 故选：C． 【变式2-1】（25-26九年级上·浙江温州·期末）抛物线经过，，三点，则，，的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次函数的性质，根据三个点的横坐标分别计算出它们所对应的纵坐标，根据计算结果比较大小． 【详解】解： 抛物线， 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； 对于点 ， 有； ， ， 即 ． 故选：D． 【变式2-2】（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）若点，，都在二次函数的图象上，则，，的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了比较二次函数的函数值大小，先确定二次函数的开口方向和对称轴，然后计算各点与对称轴的距离，根据开口向下时距离对称轴越远函数值越大的性质，判断函数值的大小关系． 【详解】解：∵二次函数解析式为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， ∴离对称轴越远函数值越大， ∵点，，都在二次函数的图象上， ∵，， ∴， 故答案为：． 【变式2-3】（25-26九年级上·浙江温州·期末）已知抛物线，当时，的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数的性质．由二次函数解析式可得抛物线开口方向及顶点坐标，进而求解． 【详解】解：∵，， ∴抛物线开口向下，顶点坐标为， ∴函数最大值为3， 将代入得， 将代入得， ∴当时，， 故答案为：． 类型三、二次函数中字母系数问题 1. 数形结合推系数 依据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等图像特征，反向推导二次项系数a、一次项系数b、常数项c的符号及数量关系，规避代数计算的繁琐。 2. 代数运算求参数 将图像上已知点坐标代入函数解析式，建立关于字母系数的方程或方程组，结合判别式\Delta、对称轴公式等约束条件，求解参数值并检验合理性。 例3．（24-25八年级下·云南昆明·期末）如图是二次函数的图象，则下列说法正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对称轴是直线，可得，即，即可判断A；根据抛物线开口判断，然后根据对称轴判断，抛物线交y轴于正半轴，，可判断B；由图象知：当时，，可判断C；由图可知时，可判断D． 本题考查了二次函数的图象与系数的关系，理解题意，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题关键． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴； ∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴，故选项A正确； ∵， ∴， ∵抛物线交y轴于正半轴得：； ∴，故选项B错误； 由图象知：当时，， ∴， ∴，故选项C错误； 由图可知，时， ∴，故选项D错误． 故选：A． 【变式3-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）二次函数的图象如图所示．下列结论：①；②；③为任意实数，则；④；⑤若点和点都在抛物线上，则．其中正确结论的个数有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的图象和性质，二次函数的图象与系数的关系，根据二次函数对称轴，以及与轴交点情况，即可判断①；利用二次函数对称轴列式变形即可判断②；利用二次函数的最值情况即可判断③，利用抛物线对称性和增减情况即可判断④，利用二次函数增减情况即可判断⑤． 【详解】解：①由图知，对称轴在轴右侧， ， 函数图象与轴交于正半轴， ， ， 故①正确； ②函数图象对称轴为， 则， 故②正确； ③函数图象开口向下， 则当时，函数取得最大值， 即为任意实数，则 为任意实数，则， 故③正确； ④函数图象与轴正半轴交点小于， 函数图象与轴负半轴交点大于， 即时，， 当时，， 则， 故④错误； ⑤若点和点都在抛物线上， ， 则， 故⑤错误； 综上所述，正确结论的个数有3个； 故选：B． 【变式3-2】（24-25九年级上·江苏镇江·期末）平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，且经过，其部分图象如图所示，下列结论：①；②；③点在抛物线上，则；④点在抛物线上且，则，正确结论的序号是 ． 【答案】①③/③① 【分析】根据抛物线的图象的开口方向，对称轴，与x轴的交点坐标，与y轴的交点坐标，逐一判断各结论，即可得到结果． 本题考查了二次函数图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：抛物线的图象开口向上， ， 故结论①正确； 抛物线的对称轴为直线， ∴， 则， ∴， 故结论②错误； 抛物线经过，对称轴为直线， 抛物线与x轴的另一个交点坐标为， 抛物线的图象开口向上，点在抛物线上， ， 故结论③正确； 抛物线的图象与y轴交点坐标为，点在抛物线上且， 或， 故结论④错误， 故正确结论的序号为①③． 故答案为：①③． 【变式3-3】（24-25九年级上·河南新乡·期末）已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④，其中正确结论的序号为 ． 【答案】①③ 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键．先根据抛物线的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上可得，，再根据对称轴可得，由此即可判断①正确；根据当时，即可判断②错误；根据时的函数值与时的函数值相等可得当时，，由此即可判断③正确；求出当时，取得最大值，最大值为，由此即可判断④错误． 【详解】解：∵二次函数的图象的开口向下，与轴的交点位于轴正半轴上， ∴，， ∵二次函数的对称轴为直线， ∴， ∴，则结论①正确； 由函数图象可知，当时，， ∴，则结论②错误； 由函数的对称性可知，时的函数值与时的函数值相等， ∴当时，，则结论③正确； ∵二次函数的图象的开口向下，对称轴为直线， ∴当时，取得最大值，最大值为， ∵当时，， ∴当时，， ∴，则结论④错误； 综上，正确结论的序号为①③， 故答案为：①③． 类型四、二次函数中求图象面积问题 1. 割补转化定图形 针对抛物线与直线围成的不规则图形，采用割补法转化为三角形、梯形等规则图形，结合函数解析式求交点坐标，确定规则图形的底和高。 2. 坐标公式算面积 利用点的坐标计算线段长度（水平/竖直线段直接算坐标差），代入规则图形面积公式求解；含倾斜线段时，优先以水平或竖直线为底，简化计算。 例4．（24-25九年级上·内蒙古乌海·期末）若二次函数的图象交x轴于A，B两点，交y轴于点C，则的面积是 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查抛物线与坐标轴的交点求法．令求抛物线与x轴的两个交点从而求出的底边长，令求抛物线与y轴的交点坐标从而求出的高，从而求出的面积． 【详解】解：对于， 当时，， 解得，， 所以； 当时，，所以， 所以， 故答案为：3． 【变式4-1】（24-25九年级上·全国·期末）已知直线与抛物线交于点，，抛物线的顶点为点，对称轴与直线交于点． (1)求抛物线的解析式； (2)动点为直线上方对称轴左侧抛物线上一点，当的面积最大时，求的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了待定系数求二次函数的解析式，抛物线与直线的交点，在坐标系中利用三角形的面积求点的坐标，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键． （1）将代入求出k值，进而求出点B的坐标，再将A，B的坐标代入，利用待定系数法求解； （2）将（1）中解析式变为顶点式求出对称轴，进而求出D点坐标，作轴，交直线于点E，设点P的横坐标为m，则，，则，，变形为顶点式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入，得：， 解得， 直线解析式为， 将代入，得：， ， 将，代入， 得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：， 抛物线的对称轴为直线， 对称轴与直线交于点， ； 如图，作轴，交直线于点E， 设点P的横坐标为m，则，， ， ， ， 当时，的面积最大， 此时点P的坐标为． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）已知，如图抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点B的坐标为，． (1)求抛物线的解析式； (2)点M是抛物线对称轴l上的一个动点，当的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次函数综合运用，二次函数的图象和性质、面积的计算、点的对称性，会利用待定系数法求函数解析式，能根据对称性求最短路径是解题的关键． （1）由待定系数法即可求解； （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小，即可求解； （3）把分解为，转化为二次函数求最值． 【详解】（1）解；点的坐标为， 则点, 由题意得，解得；, 则抛物线的表达式为；; （2）点关于抛物线对称轴的对称点为点，连接交抛物线对称轴于点，则此时的值最小， 理由；为最小， ∵抛物线的对称轴为直线，点B的坐标为， ∴点， 设过点的直线为， ，解得， 直线的表达式为， 当时，， 即点； （3）如图2所示；过点作轴，交于点， ， ， ， 由（2）知，直线的解析式为， 设，则， ， 当时，有最大值，最大值为， 的最大面积， 四边形的面积的最大值． 【变式4-3】（24-25九年级上·山东滨州·期末）如图①，抛物线与轴交于和点，与轴交于点，点是直线下方抛物线上的点． (1)求抛物线的解析式； (2)当的面积是面积的时，求点的坐标； (3)如图②，点是在直线上方的抛物线上一动点，当时，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求解的面积是，设直线解析式为，可得直线解析式为，设，则，求解，可得，再进一步即可求出结果； （3）设直线交轴于，证明，求得D的坐标，同理得直线解析式为，联立方程组，解方程组即可得出答案． 【详解】（1）解：把，代入中得， ， ， 抛物线解析式为； （2）解：在中， 当时， ， 如图，连接， ，，， ∴， ∵的面积是面积的， ∴的面积是， 设直线解析式为， ， 直线解析式为， 设，则， ． ∴， 解得：， 此时； （3）解：如图，设直线交轴于， ，，， ， ， ， 同理可得：直线解析式为． 联立， 解得或（不符合题意舍去）， ． 【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数与几何综合，全等三角形的性质和判定等知识，熟练掌握二次函数的相关知识是解答本题的关键． 类型五、利用二次函数解决实际问题 1. 建模转化明关系 分析实际问题中的变量关系，设自变量与因变量，结合题意列出二次函数解析式，注意标注自变量的实际取值范围，舍去不符合实际的解。 2. 性质应用求最值 利用二次函数的开口方向、对称轴，求解实际问题的最值（如最大利润、最高高度），结合顶点坐标公式或配方法计算，验证结果符合实际场景。 例5．（24-25九年级上·湖南永州·期末）日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地，叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为，一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为（   ） A．40秒 B．60秒 C．80秒 D．100秒 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的应用，结合一枚炮弹从发射到落地，即把代入，进行计算，得，解得（舍去），即可作答． 【详解】解：∵迫击炮发射炮弹的飞行高度米与飞行时间秒的关系式为 ∴一枚炮弹从发射到落地，即 ∴， 则， 解得（舍去）， ∴一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为80秒， 故选：C 【变式5-1】（25-26九年级上·安徽合肥·月考）“嫦娥”揽月、“祝融”探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游星辰．新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展．某网店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型．已知该模型每件成本为20元，按每件24元出售，每日可售出40件．经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大． 【答案】8 【分析】本题考查了二次函数的应用． 设当涨价a元时，单日利润为W元，则，即可求解． 【详解】解：设当涨价a元时，单日利润为W元， 则， 因为，抛物线开口向下， 所以当时，， 即当每件模型应涨价8元，才能使每日利润最大． 故答案为：8． 【变式5-2】（2024·陕西宝鸡·一模）掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目．如图1是一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示，掷出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处． (1)求关于的函数表达式； (2)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于时，成绩为优秀．请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀． 【答案】(1) (2)该男生在此项考试中得优秀 【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数、二次函数与坐标轴的交点、二次函数的应用等知识点，熟练掌握待定系数法求二次函数的解析式是解题的关键． （1）根据待定系数法求解即可； （2）令，即，解得，再与比较即可解答． 【详解】（1）解：由题意可知：抛物线顶点为， 设函数表达式为， 抛物线过点， ，解得：， 关于的函数表达式为：． （2）解：令，即， 解得，（不合题意，舍去）， ， 该男生在此项考试中得优秀． 【变式5-3】（25-26九年级上·河南安阳·期末）悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能力极强．如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线．实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的函数解析式为． (1)求该函数的解析式； (2)若两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度． 【答案】(1) (2)28米 (3)3.8米 【分析】本题主要考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的图象性质是关键． （1）依据题意，用待定系数法进行计算可得抛物线的解析式； （2）结合（1），当时，求出x的值即可得解． （3）依据题意，由桥长70米，每两根悬吊钢缆间的距离是 (米)，再结合（1），当时求出y的值即可； 【详解】（1）解：由题意知，抛物线顶点为， 设抛物线的解析式为，将代入得： ， 解得， ∴， 答：该函数的解析式为； （2）解：由题意得， 当时，， 解得或， ∴之间的水平距离为米；． （3）解：若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，则每两根悬吊钢缆距离为（米）， 即离桥头最近的悬吊钢缆位置距桥头为米， 在平面直角坐标系中，这个点的横坐标为，代入解析式可得， 当时，， ∴离桥头最近的悬吊钢缆的长度为米． 一、单选题 1．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）二次函数的顶点坐标和开口方向分别是（   ） A．，开口向下 B．，开口向上 C．，开口向上 D．，开口向下 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据顶点式确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴及最大值或最小值是基本的要求；由二次函数的顶点式可直接得出顶点坐标和开口方向． 【详解】解：∵， ∴顶点坐标为，且，开口向上． ∴故选C． 2．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数 的常数项为零，则 的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次函数的关系式， 根据常数项为零的条件列出方程，并结合二次函数的定义（二次项系数不为零）求解． 【详解】解：∵二次函数的常数项为零， ∴， 即， ∴或． 又∵函数为二次函数， ∴二次项系数， ∴， ∴． 故选：B． 3．（23-24九年级上·内蒙古兴安盟·期末）将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次函数的平移． 根据二次函数平移规律“左加右减，上加下减”进行变换即可． 【详解】解：将抛物线向左平移 1个单位长度，再向下平移3 个单位长度，得到的抛物线的解析式为． 故选：A． 4．（25-26九年级上·新疆·期末）若抛物线与 x 轴的一个交点是，则该抛物线与 x 轴的另一个交点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点，一元二次方程根与系数的关系，利用二次方程根与系数的关系，根据已知交点求另一个交点横坐标． 【详解】解：∵ 抛物线与 x 轴的一个交点是， ∴ 方程的一个根为， 设另一个根为， 由根与系数的关系，， ∴ ， ∴ 另一个交点为． 故选：C． 5．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）抛物线的顶点为，且经过点，其部分图象如图所示．对于此抛物线有如下四个结论： ①；②；③；④若此抛物线经过点，则一定是关于的方程的一个根．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，抛物线与一元二次方程的关系，根据二次函数图象判断式子的符号，抛物线的对称性质等． 由图象可得，，即可判断①；由题意可得抛物线的对称轴为直线，从而由对称性可得抛物线经过点，即可判断②；求出，，再结合抛物线的顶点为，即可判断③；由抛物线的对称性可得点关于对称轴对称的点为，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线图象开口向下， ∴， ∵抛物线图象交y轴于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵抛物线的顶点为， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵抛物线经过点， ∴由对称性可得抛物线经过点， 将代入，得：， 故②正确； ∵， ∴， 将代入，得：， ∴， 将代入，得：， ∴，即， ∴，故③错误； ∵抛物线经过点， ∴点D关于对称轴对称的点为， ∴一定是关于x的方程的一个根，故④正确； 综上所述，正确的有①②④，共3个， 故选：C． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北秦皇岛·期末）二次函数 的最大值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的性质，因为顶点式，其顶点坐标是，据此求二次函数最值即可． 【详解】解：∵二次函数是顶点式，， ∴开口向下，顶点坐标为，函数有最大值1， 故答案为：1． 7．（24-25九年级上·湖南永州·期末）如图所示，二次函数的图象与一次函数的图象交于，两点，当时，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象及性质，熟练掌握二次函数与一次函数的图象及性质是解题的关键；因此此题可根据图象直接进行求解． 【详解】解：由图象可知：当时，自变量的取值范围是； 故答案为． 8．（25-26九年级上·全国·期末）将抛物线先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得抛物线的解析式是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数的平移，熟练掌握函数平移的特点是解题的关键，根据函数的平移规律：“左加右减，上加下减”即可得到答案． 【详解】解：根据函数的平移规律可得： 抛物线先向左平移1个单位长度，得：， 再向下平移2个单位长度，得：， 故答案为：． 9．（24-25九年级上·河北张家口·期末）用总长为米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为米，窗框的面积为米，关于的函数图象如图2，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的应用，二次函数的图象与性质，理解顶点的意义是解题的关键． 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为，设窗框的长为，则根据矩形的面积公式，可知，进而根据总长为，即可求得的值． 【详解】解：设窗框的长为， 根据函数图象，可知当时，窗框的面积最大，最大值为， 即 故答案为：． 10．（25-26九年级上·全国·期末）已知二次函数的自变量x与函数值y之间满足下列数量关系： x 3 4 y 10 10 202 则的值为 ． 【答案】2020 【分析】本题考查了二次函数的性质． 利用表中数据直接代入二次函数表达式，得到和的值，然后计算它们的乘积． 【详解】解：由时，代入函数得； 由时，代入函数得； 因此． 故答案为：2020． 三、解答题 11．（25-26九年级下·全国·期末）如图，抛物线与轴交于两点，其中点的坐标为，与轴交于点，点在抛物线上． (1)求抛物线的表达式； (2)若抛物线的对称轴上有一动点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由待定系数法，将、代入抛物线表达式解方程组即可得到答案； （2）由抛物线的对称性，求出，得到，由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长，利用两点之间距离公式代值计算即可得到答案． 【详解】（1）解：抛物线过、， ， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 抛物线与轴交于两点， 两点关于对称轴对称， 连接，如图所示： ， 则， 由两点之间线段最短可知，当三点共线时，有最小值，为线段长， ，对称轴， ， ， ， 则的最小值为． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法求二次函数表达式、抛物线的对称性、两点之间线段最短、两点之间距离公式等知识，熟记二次函数图象与性质是解决问题的关键． 12．（25-26九年级下·全国·期末）如图①是某个拱形彩灯门，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两条相等的线段构成的，如图②，以地面所在直线为轴，过抛物线的最高点且垂直于的直线为轴，建立平面直角坐标系，其中为的中点． (1)求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆，其中和长度相等且垂直于地面，求所需支撑杆长度和的最大值； (3)如图③，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低于，相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔，若灯笼高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的数量．（参考数据：） 【答案】(1) (2) (3)个 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，涉及待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图象与性质、解一元二次方程等知识，读懂题意，求出二次函数解析式，熟练运用二次函数图象与性质及一元二次方程的解法是解决问题的关键． （1）根据拱形彩灯门的横截面各部分的长度，得到抛物线顶点的坐标是，点的坐标是，利用待定系数法求出抛物线的解析式即可； （2）设点的坐标是，则有撑杆的长度和是，整理成顶点坐标式为，根据二次函数的性质可知所需支撑杆长度和的最大值为； （3）因为灯笼到地面的垂直距离不低于，可得关于的一元二次方程，解一元二次方程得到时，两点之间的水平距离为，因为两端各需要悬挂一个灯笼，所以最多可以悬挂个灯笼． 【详解】（1）解：由条件可知抛物线顶点的坐标是， 为的中点，， ∴点的坐标是， 设抛物线的解析式为， 将代入解析式可得， 解得， ∴抛物线的函数表达式是； （2）解：设点的坐标是，则由抛物线的对称性可得， 则，， 则撑杆的长度和是， 整理得， ∴当时，所需支撑杆长度和的最大值为； （3）解：由（1）知，抛物线的函数表达式是， 令， 整理得， 解得， ∴时，两点之间的水平距离为， 两端各需要悬挂一个灯笼， ∴最多可以悬挂灯笼的数量是个． 13．（24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末）某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表∶ 每件销售价（元） 50 60 70 75 80 85 …… 每天售出件数 300 240 180 150 120 90 …… 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式； (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为元，在每天售出量不超过件时，每件产品应定价多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？(纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资后的余额，其它开支不计)？ 【答案】(1) (2)产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元 【分析】本题考查了二次函数的应用，利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值，运用二次函数解决实际问题，比较简单. （1）经过图表数据分析，每天售出件数y与每件售价x（元）之间的函数关系为一次函数，设，解出k、b即可求出； （2）由利润=（售价-成本）×售出件数-工资，列出函数关系式，求出最大值． 【详解】（1）解：由图可知每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系为一次函数，设函数解析式为，代入、        解得， （2）设每件产品定价为元，每天纯利润为元， ， 当时，即：，解得：， ∵， ∴当时，随的增大而减小， ∴当时，利润取得最大，则； 则产品定价为元时纯利润最大，最大利润是元． 14．（25-26九年级上·江苏南京·期末）已知一次函数与二次函数的图象相交于点、，且二次函数与轴相交于点． (1)求的值和二次函数的解析式； (2)当时，求的取值范围； (3)请直接写出当时，自变量的取值范围． 【答案】(1)，； (2)； (3)当或时，． 【分析】（1）把点坐标代入一次函数式中，即可求得的值；利用待定系数法即可求得二次函数解析式； （2）依据题意，结合（1）将二次函数化成顶点式，再根据二次函数的增减性和自变量范围,求对应函数值的范围； （3）已知一次函数与二次函数的交点坐标，再结合函数图象即可写出自变量的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数与二次函数的图象相交于点、， ∴把点的坐标代入得：，解得：； ∴把点，点的坐标代入二次函数得： ，解得：， ∴二次函数解析式为． （2）∵由（1）可得函数解析式为， ∴化为顶点式：， ∴二次函数开口向上，对称轴为，有最小值为． ∵， ∴当时，；当时，；当时，， ∴当时，． （3）∵，从图形上看是一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴结合图象观察得，当或时，一次函数的图象位于二次函数图象的下方， ∴当或时，． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式、待定系数法求二次函数解析式、二次函数的图像与性质，求二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象与性质是解答本题的关键． 15．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）如图，抛物线与x轴相交于A，B两点，点B在点A的右侧，与y轴相交于点C． (1)求点A，B，C的坐标； (2)在抛物线的对称轴上有一点P，使的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N，使以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点N的坐标． 【答案】(1)，， (2) (3)，或 【分析】（1）把代入抛物线解析式可求得C点的坐标，把代入抛物线解析式，解方程可求得A、B两点的坐标； （2）根据二次函数的性质得到抛物线的对称轴为直线，连接，交抛物线的对称轴于点，连接，分析可知当三点共线时，的值最小，利用待定系数法求出直线的解析式为，再代入到，即可求得点的坐标； （3）设，，分3种情况讨论：①若是对角线；②若是对角线；③若是对角线，利用平行四边形的性质列出方程组，求出的值，即可得出点N的坐标． 【详解】（1）解：当时，则； ∴， 当时，则， 解得，， ∵点B在点A的右侧， ∴，； ∴综上所述，，，； （2）解：， ∴抛物线的对称轴为直线， 如图，连接，交抛物线的对称轴于点，连接， ∵点和点关于抛物线的对称轴对称， ∴， ∴， ∴当三点共线时，的值最小， 设直线的解析式为， 将代入，得， 解得， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点P的坐标为； （3）解：由（1）得，，， 设，， ∵以A，C，M，N四点构成的四边形为平行四边形， ∴分3种情况讨论： ①若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ②若是对角线， 则， 解得或， ∴或； ③若是对角线， 则， 解得（舍去）或， ∴； ∴综上所述，点N的坐标为，或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何综合，涉及求抛物线与坐标轴的交点、最短路径问题、求一次函数的解析式、平行四边形的判定，运用分类讨论和数形结合的思想解决问题是解题的关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题02二次函数的五类综合题型 目录 典例详解 类型一、二次函数的定义 类型二、二次函数的图象与性质 类型三、二次函数中字母系数问题 类型四、二次函数中求图象面积问题 类型五、利用二次函数解决实际问题 压轴专练 典例详解 类型一、二次函数的定义 1.形如y=ax2+bx+c(其中a,b,c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数，称a为二次项系数，b为 一次项系数，c为常数项： 注意：二次项系数a≠0，而b,c可以为零.二次函数的自变量的取值范围是全体实数. 2.二次函数y=ax2+bx+c的结构特征： ()等号左边是函数，右边是关于自变量x的二次式，x的最高次数是2. (2)a,b,c是常数，a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项 例1.(24-25九年级上·安徽合肥期末)下列函数中，y是关于x的二次函数的是() A.y=4x2+2 B.y=3 C.y=2x+1 2 D.y= 【变式1-1】(24-25九年级上河南周口·期末)若关于x的函数y=2xm+1-x+1是二次函数，则m的值为() A.2 B.1 C.0 D.3 【变式1-2】(24-25八年级下·云南昆明期末)若y=(a+2)xa+(a+1)x+a是关于x的二次函数，则a的 值为 1/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(24-25九年级上山东东营期末)如果y=(k-3)x-+x-3是二次函数，则k的值为 类型二、二次函数的图象与性质 1.锚定图像关键点 抓住抛物线的顶点、对称轴、与坐标轴的交点等核心关键点，结合开口方向，快速定位函数的增减区间、 最值等性质，搭建图像与性质的关联桥梁。 2.性质联动破综合题 联动函数的对称性、增减性、最值等性质，结合题干条件建立方程或不等式，求解参数取值范围或具体 数值，解题后回代图像验证结果是否合理。 例2.(24-25九年级上·河北张家口期末)下列关于二次函数y=(x-3)2-4的说法正确的是() A.图象是一条开口向下的抛物线 B.顶点坐标是-3，-4 C.函数图象与y轴交于正半轴 D.y有最大值，最大值为-4 5 【变式2-1】(25-26九年级上浙江温州期末)抛物线y=2(x-1)2+c经过(-2，y),(0,2), 三点， 则y,,的大小关系正确的是（) A.1>y2>y3B.y2>y3>y C.y3>y1>y2 D.1>3>y2 【变式2-2】(25-26九年级上·内蒙古通辽期末)若点A(-1,),B(2,y2),C(3,y)都在二次函数 y=x2-4x-n的图象上，则乃，，⅓的大小关系是 【变式2-3】(25-26九年级上浙江温州期末)已知抛物线y=-2(x-1+3,当0≤x≤3时，y的取值范围 为 类型三、二次函数中字母系数问题 1.数形结合推系数 依据抛物线的开口方向、对称轴位置、与坐标轴的交点等图像特征，反向推导二次项系数α、一次项系数 b、常数项c的符号及数量关系，规避代数计算的繁琐。 2.代数运算求参数 将图像上已知点坐标代入函数解析式，建立关于字母系数的方程或方程组，结合判别式Delta、对称轴公 式等约束条件，求解参数值并检验合理性。 例3.(24-25八年级下·云南昆明·期末)如图是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象，则下列说法正确的是 ) 2/10 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 1x=1 A.b+2a=0 B.abc>0 C.2b<4a+c D.a+b+c<0 【变式3-1】(24-25八年级下·湖南长沙.期末)二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示.下列结论： ①abc<0:②2a+b=0;⑧m为任意实数，则a+b≥am2+bm:④(a+cP-b2>0:回若点3y和点 (2,y2)都在抛物线上，则y<2.其中正确结论的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 【变式3-2】(24-25九年级上江苏镇江期末)平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴 为直线x=1,且经过A(-1,0),其部分图象如图所示，下列结论：①a>0;②2a-b=0;③点P(4,在抛 物线上，则t>0;④点Q(m,n)在抛物线上且n>C,则m<0,正确结论的序号是一 AO 【变式3-3】(24-25九年级上河南新乡·期末)己知二次函数y=ax2+bx+ca≠0)的图象如图所示，有下 列4个结论：①abc<0;②b<a+c;③4a+2b+c>0;④a+b<m(am+b)m≠1)，其中正确结论的序号 为一 3/10 厨学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 70 类型四、二次函数中求图象面积问题 1.割补转化定图形 针对抛物线与直线围成的不规则图形，采用割补法转化为三角形、梯形等规则图形，结合函数解析式求 交点坐标，确定规则图形的底和高。 2.坐标公式算面积 利用点的坐标计算线段长度（水平/竖直线段直接算坐标差），代入规则图形面积公式求解；含倾斜线段时 优先以水平或竖直线为底，简化计算。 例4.（24-25九年级上·内蒙古乌海期末)若二次函数y=x2+4x+3的图象交x轴于A,B两点，交y轴于 点C,则ABC的面积是 【变式4-1】(24-25九年级上全国·期末)己知直线y=c与抛物线y=-x2+bx+c交于点A(2,2),B(-1,) ,抛物线的顶点为点C,对称轴与直线AB交于点D. (1)求抛物线的解析式： (2)动点P为直线AB上方对称轴左侧抛物线上一点，当△POD的面积最大时，求P的坐标。 【变式4-2】(25-26九年级上全国期末)己知，如图抛物线y=x2+bx+c与y轴交于点C,与x轴交于A, B两点，点A在点B左侧.点B的坐标为1,0)，OC=30B. (1)求抛物线的解析式： (2)点M是抛物线对称轴1上的一个动点，当MB+MC的值最小时，求点M的坐标； (3)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四边形ABCD面积的最大值 【变式4-3】(24-25九年级上山东滨州期末)如图①，抛物线y=ax2+bx-3与x轴交于A(-4,0)和点 B(1,0),与y轴交于点C,点P是直线下方抛物线上的点。 4/10 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图① 图② (1)求抛物线的解析式： (2)当aPAC的面积是ABC面积的！时，求P点的坐标； (3)如图②，点M是在直线AC上方的抛物线上一动点，当LMA0=∠OAC时，求点M的坐标. 类型五、利用二次函数解决实际问题 1.建模转化明关系 分析实际问题中的变量关系，设自变量与因变量，结合题意列出二次函数解析式，注意标注自变量的实 际取值范围，舍去不符合实际的解。 2.性质应用求最值 利用二次函数的开口方向、对称轴，求解实际问题的最值（如最大利润、最高高度），结合顶点坐标公式 或配方法计算，验证结果符合实际场景。 例5.(2425九年级上·湖南永州期末)日渐强大的祖国给了我们安静祥和的学习环境，殊不知，这个世界 并不安宁，尤其是最近战事日渐白热化的中东地区，以色列占领戈兰高地缓冲区，还在毗邻地区布设阵地， 叙利亚某炮兵利用迫击炮进行抵抗，已知叙利亚的某门迫击炮发射炮弹的飞行高度y米与飞行时间x秒的关 系式为y=-。x+10x,一枚炮弹从发射到落地，经过的时间为() A.40秒 B.60秒 C.80秒 D.100秒 【变式5-1】(25-26九年级上·安徽合肥月考)“嫦娥”揽月、“祝融探火、“羲和”逐日、“北斗”指路、“天和”遨游 星辰.新中国成立75年来，中国航天事业从无到有、从弱到强，实现历史性、高质量、跨越式发展.某网 店为满足航空航天爱好者的需求，特推出了航空航天模型.己知该模型每件成本为20元，按每件24元出售， 每日可售出40件.经市场调查发现，这种模型每件涨价1元，日销售量会减少2件，每件模型应涨价 元，才能使每日利润最大. 【变式5-2】(2024陕西宝鸡一模)掷实心球是东营市初中学生学业水平体育考试的必考项目.如图1是 一名男生投实心球，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度ym)与水平距离xm)之间的函数关系如图2 5/10 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 5 所示，掷出时起点处高度为。m,当水平距离为4m时，实心球行进至最高点3m处. VA 图1 图2 ()求y关于x的函数表达式： (②)根据东营市学校招生体育考试男生评分标准，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于 9.60m时，成绩为优秀.请计算说明该男生在此项考试中是否能得优秀， 【变式5-3】(25-26九年级上·河南安阳·期末)悬索桥起源于古代藤索桥，以主缆受拉、锚碇固定，跨越能 力极强.如图，一悬索桥的桥面水平，桥拱近似为抛物线.实际测量发现当距离桥头35米时，桥面和桥拱 的悬吊钢缆最长，为20米，以桥面为x轴，桥头为原点建立如图的平面直角坐标系，设桥拱所在抛物线的 函数解析式为y=a(x-h)+k. y/m 20 35 x/m (1)求该函数的解析式： (2)若A、B两根悬吊钢缆的长度均为16.8米，求A、B之间的水平距离； (3)若该桥平均分布19根悬吊钢缆支撑，直接写出离桥头最近的悬吊钢缆的长度， 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上西藏拉萨.期末)二次函数y=2(x-3)2+1的顶点坐标和开口方向分别是() A.(3,1),开口向下 B.（-3,),开口向上 C.3,1,开口向上 D.（-3,-1,开口向下 2.(25-26九年级上全国期末)已知二次函数y=(m+2)x2+3x+m2-4的常数项为零，则m的值为() 6/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 A.-2 B.2 C.±2 D.4 3.(2324九年级上内蒙古兴安盟期末)将抛物线)”+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单 位长度，得到的抛物线的解析式为() 4.y=x+-2 1 B.y=x-1-2 c*-3 。y-2 4.(25-26九年级上新疆期末)若抛物线y=ax2-6ax+ca≠0)与x轴的一个交点是(-2,0)，则该抛物线 与x轴的另一个交点的坐标是() A.(0,0 B.(3,0 C.(8,0 D.(0,-3 5.(25-26九年级上辽宁抚顺期末)抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A(-2,m),且经过点B(1,0),其部分图 象如图所示.对于此抛物线有如下四个结论： ①ac<0;②25a-5b+c=0;③m+9a<0;④若此抛物线经过点D(s,t),则-4-s一定是关于x的方程 ax2+bx+c=t的一个根.其中正确结论的个数是（) 0 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 6.(25-26九年级上河北秦皇岛期末)二次函数y=-4x2+1的最大值为 7.(24-25九年级上湖南永州期末)如图所示，二次函数y,=ax2+bx-3的图象与一次函数y2=-x+m的图 象交于A(-1,0),B(2,-3)两点，当y2>y时，自变量x的取值范围是一· 7/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 A .4 8.(25-26九年级上全国·期末)将抛物线y=-5x2先向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度， 所得抛物线的解析式是 9.(24-25九年级上·河北张家口·期末)用总长为Q米的材料做成如图1的矩形窗框，设窗框的宽为x米，窗 框的面积为y米2，y关于x的函数图象如图2，则a的值是一· .5 图1 图2 10.(25-26九年级上·全国·期末)已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的自变量x与函数值y之间满足下列 数量关系： -1 4 10 10 202 则(16a+4b+c)(a-b+c的值为. 三、解答题 11.(25-26九年级下·全国期末)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A,B两点，其中点A的坐标为 (-3,0),与y轴交于点C,点D(-2,-3)在抛物线上. 8/10 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B (1)求抛物线的表达式： (②)若抛物线的对称轴上有一动点P,求PA+PD的最小值. 12.(25-26九年级下·全国期末)如图①是某个拱形彩灯门，抽象为数学模型是由抛物线和垂直于地面的两 条相等的线段AB,CD构成的，如图②，以地面BC所在直线为x轴，过抛物线的最高点M且垂直于BC的 直线为y轴，建立平面直角坐标系，其中BC=12m,OM=7m,AB=3m,0为BC的中点. M M B E HC B 图① 图② 图③ ()求抛物线的函数表达式； (2)如图②，为支撑拱形彩灯门的结构，需要制作3条支撑杆EF,GH,FG,其中EF和GH长度相等且垂 直于地面BC,求所需支撑杆长度和的最大值： (3)如图③，工作人员计划在拱形彩灯门上悬挂灯笼，挂满后呈轴对称分布，且灯笼到地面的垂直距离不低 于4m,相邻灯笼间的水平距离相等且至少间隔1m,若灯笼高度忽略不计，请直接写出最多可以悬挂灯笼的 数量.（参考数据：√5≈1.73) 13.(24-25九年级上·内蒙古兴安盟·期末)某工厂设门市部专卖某产品，该产品每件成本40元，从开业一 段时间的每天销售统计中，随机抽取一部分情况如下表： 每件销售价（元) 50 60 70 75 每天售出件数 300 240 180 150 假设当天定的售价是不变的，且每天销售情况均服从这种规律 (1)观察这些统计数据，找出每天售出件数y与每件售价x(元)之间的函数关系，并写出该函数关系式： (2)门市部设有两名营业员，营业员每人每天工资为100元，在每天售出量不超过168件时，每件产品应定价 多少元，才能使每天门市部纯利润最大？最大利润是多少？（纯利润指的是销售收入扣除成本及营业员工资 9/10 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 后的余额，其它开支不计)？ 14.(25-26九年级上·江苏南京期末)己知一次函数=-x+m与二次函数y2=ax2+bx-3的图象相交于点 A(-1,0)、B(2,-3),且二次函数与y轴相交于点C. (I)求m的值和二次函数的解析式： (2)当-1<x≤4时，求的取值范围： (3)请直接写出当乃<y2时，自变量的取值范围。 C2324九年级上内蒙古鸟海期末)如图，揽物线y)2+2x+二与x轴相交于4，B两点， 点A的右侧，与y轴相交于点C. (1)求点A,B,C的坐标： (2)在抛物线的对称轴上有一点P,使PA+PC的值最小，求点P的坐标； (3)点M为x轴上一动点，在抛物线上是否存在一点N,使以A,C,M,N四点构成的四边形为平行四边形？ 若存在，请直接写出点N的坐标. 10/10