期末专题01 一元二次方程的七类综合题型（压轴题专项训练）数学人教版九年级上学期

品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 期末专题01一元二次方程的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 类型二、一元二次方程的根求参数 类型三、解一元二次方程 类型四、一元二次方程根的判别式 类型五、一元二次方程根与系数的关系 类型六、一元二次方程的判别式与系数的关系 类型七、一元二次方程的应用 压轴专练 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 1.抓定义判定方程类型 紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”的核心定义，解题时先整理方程为 ax2+br+c=0(a≠0)的一般形式，再根据a是否为0判定是否为一元二次方程，排除含分式、根式的 干扰项。 2.用系数特征求参数值 己知方程为一元二次方程时，利用二次项系数α≠0列不等式；己知方程根的情况求参数时，结合概念先 确定a、b、c的值，再代入判别式或根与系数的关系求解。 例1.(25-26九年级上·全国期末)下列方程是一元二次方程的是（) A.3x2-7=5y+1 B.5-5-+ C.2x2-7y-2=0 D.3x2-5x+7=3x2+6x-4 【变式1-1】(24-25八年级下·云南期末)已知方程(k+1)x1-3x+1=0是一元二次方程，则k的值为() A.-1 B.1或-1 C.1 D.0 【变式1-2】(24-25九年级上·广西河池期末)若关x于的方程(m-1)x2+mx-3=0是一元二次方程，则m的 取值范围是。 1/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-3】(24-25九年级上湖南湘西·期末)已知关于x的方程(m-)x1-3x+1=0是一元二次方程，则m 的值为 类型二、一元二次方程的根求参数 “方程逢解必带”，己知方程解将方程的解带入求参数 例2.(24-25九年级上：广东清远期末)一元二次方程x2+3x-m=0的一个根是x=1,则m的值为() A.2 B.4 C.-4 D.5 【变式2-1】(25-26九年级上全国期末)已知x=m是方程3x2+2x-1=0的一个根，则代数式 6m2+4m+106的值为() A.105 B.106 C.107 D.108 【变式2-2】(24-25九年级上四川泸州期末)若m是方程x2-x-1=0的一个根，则m3-3m2+m+5的值 为 【变式2-3】(24-25九年级上海南月考)关于x的一元二次方程(a-1)x2+x+a2-1=0的一个根是0，则a 的值为」 类型三、解一元二次方程 1.优先判定方程类型 先看方程是否为特殊形式（如缺少一次项x2+c=0或常数项a+bx=0),特殊形式可直接用开平方法或 提公因式法，简化计算。 2.常规方程先试因式分解 将方程整理为x+bx+C=0标准式，尝试十字相乘法分解因式，若能分解则直接得解，避免复杂计算 3.通用公式法兜底求解 无法因式分解时，计算判别式△=方-4ac判新根的情况，再代入求根公式x=一b士B一4ac 计算， 2a 适用于所有一元二次方程。 例3.（2425九年级上·江西赣州期末)方程x2-2x=0的根为 【变式3-1】(25-26九年级上甘肃兰州期末)解方程： (1)x2-2026x=0; 2/8 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (2)3x(x+1=2(x+1. 【变式3-2】(24-25九年级上·云南大理期末)解方程： (1)3x(x-1=2(x-1: (2)x2+4x-5=0. 【变式3-3】(23-24九年级上广东深圳期末)解下列方程： (1)x-3)2=4x(x-3): (2)x2+8x-9=0. 类型四、一元二次方程根的判别式 1.定系数算判别式 先将一元二次方程化为ax2+bx+c=0(a≠0)的一般形式，准确确定a、b、c的符号与数值，代入 △=b2-4ac计算；注意含参数时需关注参数取值对△符号的影响，避免漏解。 2.判根的情况用结论 根据△的符号判断根的情况：△>0有两个不相等实根，△=0有两个相等实根，△<0无实根；反之，已知 根的情况可列不等式或等式求参数取值范围。 例4.(25-26九年级上·河南期末)关于x的一元二次方程x2-2x=-1的根的情况是() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 【变式4-1】(24-25八年级下山东日照期末)若关于x的一元二次方程m-1)x2+4x+3=0有两个不相等 的实数根，则m的取值范围为」 【变式4-2】(24-25八年级下.安微六安期末)己知关于x的一元二次方程x2+mx-2=0. (①)求证：该方程总有两个不相等的实数根： (2)若x=-1是方程的一个根，求m的值 【变式4-3】(24-25九年级上四川达州期末)己知关于x的方程x2+(2k-1x-2k-1=0. (1)求证：无论k取何值，关于x的方程x2+(2k-1)x-2k-1=0都有两个不相等的实数根； (2)若-1是此方程的一个根，求k的值， 3/8 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型五、一元二次方程根与系数的关系 已知一元二次方程ax2+bx+c-0(a≠0)的两根1,2，根与系数的关系（韦达定理）为 b x1+X2=- xx2= a, a 2.结合关系转化条件 己知方程根求参数时，直接代入列方程；遇根的代数式求值时，将代数式变形为含和的形式，整体代入 简化计算。 例5.(24-25九年级上广东东莞期末)设a、B是方程x2+x+2024=0的两个根，则a2+2a+B的值为() A.-2025 B.2024 C.2025 D.-2014 【变式5-1】(24-25八年级下·湖南长沙期末)若关于x的一元二次方程x2-5x+a=0有两个实数根x1,: ,且x2+x2=15,则a的值为() A.2 B.4 C.5 D.6 【变式5-2】(25-26八年级上·上海静安期末)方程x2+4x-6=0的根是x与x2,则x2+x,2=」 【变式5-3】(24-25九年级上·甘肃兰州期末)已知方程x2-5x-1=0的两根为xx2,不解方程，求 +上的值 xI X2 类型六、一元二次方程的判别式与系数的关系 例6.(23-24八年级下.安徽合肥期末)已知关于x的一元二次方程x2+9x+20-2k2=0. (1)求证：对于任意实数k,方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根 【变式6-1】(24-25八年级下·湖南长沙期末)已知关于x的一元二次方程x2-2(k+1x+k2-3=0. (1)若该方程有两个实数根，求k的取值范围 (2)若该方程的两个实数根x,七满足(x-(x2-1)=11,求k的值. 【变式6-2】(24-25八年级下·湖南长沙期末)己知关于x的一元二次方程x2-4x+m+1=0有两个实数根. (I)求m的取值范围； (2)若该方程的两个实根x,x2满足x+x2=2xx2-1,求m的值. 4/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式6-3】(24-25八年级下山东日照期末)已知关于x的一元二次方程x2+(k-1x+k-2=0。 ()求证：方程总有两个实数根： (②)若这个方程的两根为X,名，且满足x-3xx2+x=1,求k的值. 类型七、一元二次方程的应用 1.审题建模，转化为数学问题 仔细梳理实际问题中的数量关系，找出等量关系，设合适的未知数（直接设或间接设），将文字描述转化 为ax2+bx+c-0(a≠0)的一元二次方程模型，注意单位统一。 2.求解验证，贴合实际意义 用配方法、公式法或因式分解法解方程，得到解后需结合实际场景验证，舍去不符合题意的根（如负根、 超出范围的根)，确保答案符合问题的实际背景。 例7.(25-26九年级上·辽宁抚顺期末)2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努 力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也 向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有x名学生，则下列方程成立的是() 4.x+ =1600 B.x+xx-1=1600 c. x(x-1) =1600 D.x(x-1=1600 2 【变式7-1】(25-26八年级上·上海静安期末)某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为 x,如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元.根据题意可列出方程为」 【变式7-2】(24-25九年级上·福建莆田期末)公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带” 的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销 售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同. ()求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上 售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每 个的售价应为多少元？ 【变式7-3】(24-25八年级下·安微合肥期末)铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框.如图， 窗框上方是两个全等的正方形，下方ABCD是矩形.若正方形边长为xm· 5/8 高学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (I)矩形边长BC= m;窗框ABFE面积= m2(用含x的代数式表示) 回当宿框面积为9m时，求x的值。 压轴专练 一、单选题 1.(25-26九年级上·福建泉州期末)下列方程是一元二次方程的是() A.x2+x-y=0B.x3+2x-3=0 C.x2=1 D.x2-x-3=0 2.(24-25九年级上湖北武汉·期末)下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是() A.x2+x-1=0 B.x2-2x+1=0 C.2x2-x-1=0 D.x2-x-1=0 3.(25-26九年级上·内蒙古通辽·期末)若关于x的一元二次方程x2-4x-m=0有两个不相等的实数根，则 m的取值范围是（) A.m<4 B.m<-4 C.m>4 D.m>-4 4.(23-24九年级上·内蒙古乌海期末)设m,n分别为一元二次方程x2+2x-2018=0的两个实数根，则 m2+3m+n=() A.2019 B.2018 C.2017 D.2016 5.(25-26九年级上全国·期末)某厂1月印刷科技书籍40万册，第一季度共印刷140万册，问2月、3月平 均每月增长率是多少？设平均增长率为x,则列出下列方程正确的是() A.(1+x)2=140 B.401+x)2=140 C.40+40(1+x)+40(1+x)2=140 D.40+401+x=140 二、填空题 6/8 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 6.(24-25九年级上·甘肃酒泉·期末)一元二次方程x2-5x=0的解是 7.(24-25八年级上·上海奉贤期末)若xm--x-5=0是关于x的一元二次方程，则m的值为 8.(24-25九年级上·广西饮州期末)关于x的一元二次方程2x2-x-4=0的二次项系数是」 9.(24-25九年级上·新疆阿克苏期末)设x1,x2是一元二次方程x2+x-2026=0的两个根，则 x2+2x1+x2=」 10.(25-26八年级上上海静安期末)方程(m-2)x2-2x+1=0有两个实数根，则m的范围」 三、解答题 11.(25-26九年级上·西藏拉萨.期末)用适当的方法解方程： (1)x2-2x-3=0; (2)4x(x-2)=x-2 12.(25-26九年级上·全国期末)请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程 ax2+bx+c=0a≠0，b2-4ac之0)的两根x1,x有如下的关系：x+x3= b =C a 材料2：如果实数m、n满足m2-m-1=0、n2-n-1=0,且m≠n,则可利用根的定义构造一元二次方程 x2-x-1=0,将m、n看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数m、n满足(m+1}+4m+1)+2=0、(2+4”+2=0,且m+1≠？，则可利用根的定 k 义构造一元二次方程x2+4x+2=0,将m+1、”看作是此方程的两个不相等的实数根； b 材料4：如果实数m、m满足m+n=一。m=日，则可利用韦达定理构造一元二次方程+r+c=0,将 a m、n看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有m、n两个实数根， 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数m、满足m2+4m-2=0、n2+4n-2=0,且m≠n,，求m2+n2的值. 2)已知实数P、9满足p2-3p-2=0、1-3g-2g=0,且p%≠1，求p++2的值. ③)已如实数ab、c满是a+b+兰主0、b+长0，求G胸最大值 1-c 13.(25-26九年级上江苏南京·月考)关于x的方程x2+mx+2m-5=0. 7/8 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 (1)若该方程的一个根为-1，求m的值及该方程的另一根； (②)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根， 14.(25-26九年级上·全国期末)己知关于x的方程x2-5x+m2-3m=0的一根为1 (1)侧m2-3m的值是- (2)求方程的另一根。 15.(24-25九年级上·云南红河·期末)实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三 农”工作的总抓手.农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜 爱动脑筋的创意设计者.下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米， 在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方 形仓库？ 8/8 期末专题01 一元二次方程的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、一元二次方程的相关概念求解 类型二、一元二次方程的根求参数 类型三、解一元二次方程 类型四、一元二次方程根的判别式 类型五、一元二次方程根与系数的关系 类型六、一元二次方程的判别式与系数的关系 类型七、一元二次方程的应用 压轴专练 类型一、一元二次方程的相关概念求解 1. 抓定义判定方程类型 紧扣“只含一个未知数、未知数最高次数为2、整式方程”的核心定义，解题时先整理方程为（a≠0）的一般形式，再根据a是否为0判定是否为一元二次方程，排除含分式、根式的干扰项。 2. 用系数特征求参数值 已知方程为一元二次方程时，利用二次项系数a≠0列不等式；已知方程根的情况求参数时，结合概念先确定a、b、c的值，再代入判别式或根与系数的关系求解。 例1．（25-26九年级上·全国·期末）下列方程是一元二次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键，一元二次方程是只含有一个未知数，且未知数的最高次数为的整式方程．根据一元二次方程的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； B、，是整式方程，只含有一个未知数，且的最高次数为，故是一元二次方程，符合题意； C、，含有两个未知数和 ，故不是一元二次方程，不符合题意； D、，化简后为，未知数的最高次数为，是一元一次方程，故不是一元二次方程，不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（24-25八年级下·云南·期末）已知方程是一元二次方程，则的值为（    ） A． B．1或 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的定义：①是整式方程，②只含有一个未知数，③所含未知数的项的最高次数是2． 根据一元二次方程的概念得到，，进而求解即可． 【详解】∵方程是一元二次方程 ∴， ∴， ∴． 故选：C． 【变式1-2】（24-25九年级上·广西河池·期末）若关于的方程是一元二次方程，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，准确分析判断是解题的关键．根据一元二次方程的定义得出答案即可； 【详解】解：∵关于的方程是一元二次方程， ∴， 解得：； 故答案为：． 【变式1-3】（24-25九年级上·湖南湘西·期末）已知关于x的方程是一元二次方程，则m的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是一元二次方程的定义：“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的整式方程，叫做一元二次方程”，熟练掌握一元二次方程的定义是解题关键． 由一元二次方程的定义得到，，由此即可求解． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，， ∴， 故答案为：． 类型二、一元二次方程的根求参数 “方程逢解必带”，已知方程解 将方程的解带入求参数 例2．（24-25九年级上·广东清远·期末）一元二次方程的一个根是，则m的值为（   ） A．2 B．4 C． D．5 【答案】B 【分析】此题考查了一元二次方程根的概念．根据一元二次方程根的概念，将代入方程，求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得， 故选：B． 【变式2-1】（25-26九年级上·全国·期末）已知是方程的一个根，则代数式的值为（   ） A．105 B．106 C．107 D．108 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的解，求代数式的值，整体代入思想的运用是解题的关键；由题意得，得，再整体代入即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即， ∴ ， 故选：D． 【变式2-2】（24-25九年级上·四川泸州·期末）若m是方程的一个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键． 根据一元二次方程的解的意义可得，则，将原式变形后代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴， 即． ∴ ． 故答案为：． 【变式2-3】（24-25九年级上·海南·月考）关于x的一元二次方程 的一个根是0，则a的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把 代入求解即可． 【详解】解：把 代入，得 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为： 类型三、解一元二次方程 1. 优先判定方程类型 先看方程是否为特殊形式（如缺少一次项 ax2+c=0 或常数项 ax2+bx=0），特殊形式可直接用开平方法或提公因式法，简化计算。 2. 常规方程先试因式分解 将方程整理为 标准式，尝试十字相乘法分解因式，若能分解则直接得解，避免复杂计算。 3. 通用公式法兜底求解 无法因式分解时，计算判别式 判断根的情况，再代入求根公式 计算，适用于所有一元二次方程。 例3．（24-25九年级上·江西赣州·期末）方程的根为 ． 【答案】0和2 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0和2． 【变式3-1】（25-26九年级上·甘肃兰州·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查一元二次方程的解法，熟练掌握因式分解法和整体思想是解题关键． （1）运用因式分解法解方程即可； （2）移项后，用因式分解法解方程即可． 【详解】（1）解：， 因式分解得，， 解得，，； （2）解：， 移项得，， 因式分解得，， 解得，，． 【变式3-2】（24-25九年级上·云南大理·期末）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握因式分解法是解题的关键． （1）采用因式分解法解方程即可； （2）采用十字相乘法解方程即可； 【详解】（1）解： 解得：，． （2）解： 解得：，． 【变式3-3】（23-24九年级上·广东深圳·期末）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，解题的关键在于正确掌握因式分解法． （1）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题； （2）利用因式分解法解一元二次方程，即可解题． 【详解】（1）解： 则或， 解得； （2）解： 则或， 解得． 类型四、一元二次方程根的判别式 1. 定系数算判别式 先将一元二次方程化为ax 2+bx+c=0（a≠0）的一般形式，准确确定a、b、c的符号与数值，代入计算；注意含参数时需关注参数取值对符号的影响，避免漏解。 2. 判根的情况用结论 根据的符号判断根的情况：>0有两个不相等实根，=0有两个相等实根，<0无实根；反之，已知根的情况可列不等式或等式求参数取值范围。 例4．（25-26九年级上·河南·期末）关于的一元二次方程的根的情况是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键；通过将方程化为标准形式，计算判别式Δ的值，根据Δ的符号判断根的情况即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴化为标准形式：， 其中，，， ∴判别式， ∵， ∴方程有两个相等的实数根； 故选B． 【变式4-1】（24-25八年级下·山东日照·期末）若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围为 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，根的判别式的运用，掌握其定义，判别式求根的情况是关键． 根据题意得到，，，由此即可求解． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴且， 解得，且， 故答案为：且 ． 【变式4-2】（24-25八年级下·安徽六安·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个不相等的实数根； (2)若是方程的一个根，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2)的值为 【分析】此题考查了根据一元二次方程的根的判别式判断一元二次方程的根的情况，一元二次方程的解，掌握知识点的应用是解题的关键． （）求出，从而得证； （）将代入方程得：，然后求出的值即可． 【详解】（1）证明：， ∴该方程总有两个不相等的实数根； （2）解：将代入方程得：， 解得：， ∴的值为． 【变式4-3】（24-25九年级上·四川达州·期末）已知关于的方程． (1)求证：无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； (2)若是此方程的一个根，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查根的判别式，一元二次方程的解： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）把代入方程，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴ ； ∵， ∴； ∴无论取何值，关于的方程都有两个不相等的实数根； （2）把代入，得：， 解得：． 类型五、一元二次方程根与系数的关系 1.  已知一元二次方程 ax 2+bx+c=0（a≠0）的两根x1，x2，根与系数的关系（韦达定理）为 ，​。 2. 结合关系转化条件 已知方程根求参数时，直接代入列方程；遇根的代数式求值时，将代数式变形为含和的形式，整体代入简化计算。 例5．（24-25九年级上·广东东莞·期末）设、是方程的两个根，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解以及根与系数的关系，先把代入，得出，然后结合，得出，即可作答． 【详解】解：由条件可知，， ， 则， 故选：A． 【变式5-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则a的值为（    ） A．2 B． C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式．先根据判别式的意义得到，再根据根与系数的关系得，，由变形得到，则，然后解一元一次方程． 【详解】解：根据题意得，解得， ，， ， ， ， ． 故选：C． 【变式5-2】（25-26八年级上·上海静安·期末）方程的根是与，则 ． 【答案】28 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，完全平方公式的应用．利用根与系数的关系求出两根之和与两根之积，再根据完全平方公式求解． 【详解】解：∵方程的根是与， ∴，． ∴． 故答案为：28． 【变式5-3】（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）已知方程的两根为，不解方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，分式的求值，利用一元二次方程根和系数的关系可得，，再把分式通分后代入计算即可求解，掌握一元二次方程根和系数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵方程的两根为， ∴，， ∴． 类型六、一元二次方程的判别式与系数的关系 例6．（23-24八年级下·安徽合肥·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的一个根是1，求k的值及方程的另一个根． 【答案】(1)见解析 (2)； 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程，熟知根的判别式和根与系数的关系是解题的关键． （1）只需要证明即可； （2）设方程的另一个根为m，由根与系数的关系可得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得，， ∵， ∴， ∴， ∴对于任意实数k，方程总有两个不相等的实数根； （2）解：设方程的另一个根为m， 由根与系数的关系可得， ∴， ∴， 解得． 【变式6-1】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程． (1)若该方程有两个实数根，求的取值范围． (2)若该方程的两个实数根，满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．也考查了根的判别式； （1）根据根的判别式的意义得到，然后解不等式即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后利用确定的值． 【详解】（1）解：该方程有两个实数根， ， 解得． 即的取值范围是； （2）解：该方程的两个实数根，， ，， ， 化简得， 解得，， ， 的值为5． 【变式6-2】（24-25八年级下·湖南长沙·期末）已知关于的一元二次方程有两个实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个实根满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，掌握相关的知识是解题的关键． （1）一元二次方程有两个实数根的条件是判别式的值大于等于零； （2）根据根与系数的关系可得，，再建立关于的方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵一元二次方程的两个实根是和， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 【变式6-3】（24-25八年级下·山东日照·期末）已知关于x的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 类型七、一元二次方程的应用 1. 审题建模，转化为数学问题 仔细梳理实际问题中的数量关系，找出等量关系，设合适的未知数（直接设或间接设），将文字描述转化为ax2+bx+c=0（a≠0）的一元二次方程模型，注意单位统一。 2. 求解验证，贴合实际意义 用配方法、公式法或因式分解法解方程，得到解后需结合实际场景验证，舍去不符合题意的根（如负根、超出范围的根），确保答案符合问题的实际背景。 例7．（25-26九年级上·辽宁抚顺·期末）2026年元旦即将来临，某校九年级班主任为了鼓励本班学生期末努力学习，亲自购买了1600张元旦贺卡，准备在元旦来临的前一天，向每位同学赠送一张贺卡，每位同学也向班里其他每一位同学赠送了一张贺卡，贺卡恰好用完，设班级有名学生，则下列方程成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．班主任赠送每位学生一张贺卡，共张；学生互赠贺卡，每位学生送出张，总互赠贺卡数为张；总贺卡数为两者之和． 【详解】解：设班级有名学生，则班主任赠送贺卡数为，学生互赠贺卡总数为， 根据题意得 故选：B． 【变式7-1】（25-26八年级上·上海静安·期末）某厂前年的产值为400万元，去年的产值比前年的增长率为x，如果这个增长率保持不变，预计今年的产值将达到600万元．根据题意可列出方程为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程解决实际问题．根据增长率为x不变，则去年产值是前年产值的倍，今年产值是去年产值的倍，因此今年产值是前年产值的倍，结合今年产值达到600万元，列出方程． 【详解】解：根据题意，得． 故答案为：． 【变式7-2】（24-25九年级上·福建莆田·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔3月份到5月份的销量，该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个，且从3月份到5月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为多少元？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意得到各数量间的关系是解题的关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔3月份销售375个，5月份销售540个建立方程求解即可； （2）设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元，根据利润（售价进价）销售量建立关于y的关系式，利用配方法求解即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个的售价为y元，获得的利润为W元， 由题意得：， 整理得：， ∵， ∴当，即时，W取得最大值． 答：要使销售该品牌头盔每月获得的利润最大，则该品牌头盔每个的售价应为65元． 【变式7-3】（24-25八年级下·安徽合肥·期末）铝型线材每根长10米，现用2根铝型线材做成窗框．如图，窗框上方是两个全等的正方形，下方是矩形．若正方形边长为． (1)矩形边长____________；窗框面积____________（用含x的代数式表示） (2)当窗框面积为时，求x的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的运用，解一元二次方程，分别写出和窗框面积的代数式是解题的关键． （1）根据窗框的总长度计算即可； （2）根据题意，列关于x的一元二次方程并求解即可． 【详解】（1）解：， 窗框面积， 故答案为：；； （2）根据题意得：， 整理得：， 解得：． 一、单选题 1．（25-26九年级上·福建泉州·期末）下列方程是一元二次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的定义，熟练掌握“只含有一个未知数，且未知数的次数最高为次的整式方程叫做一元二次方程”是解题的关键．根据一元二次方程的定义判定即可． 【详解】解：、中含有两个未知数和，不是一元二次方程，不符合题意； 、中未知数的最高次数为，不是一元二次方程，不符合题意； 、中含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； 、中只含有一个未知数，且未知数的次数最高为次的整式方程，是一元二次方程，符合题意； 故选：． 2．（24-25九年级上·湖北武汉·期末）下列一元二次方程中，两个实数根的和为1的方程是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系． 利用一元二次方程根与系数的关系，对于方程 ，两根之和为．计算各选项的该值，判断是否等于1． 【详解】解：A．，，； B．，，； C．，，； D．，，； 只有D选项的两根之和为1． 故选：D． 3．（25-26九年级上·内蒙古通辽·期末）若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查根据一元二次方程根的情况求参数．一元二次方程有两个不相等的实数根，则；有两个相等的实数根，则；没有实数根，则．据此即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：． 故选：D． 4．（23-24九年级上·内蒙古乌海·期末）设m，n分别为一元二次方程的两个实数根，则（    ） A．2019 B．2018 C．2017 D．2016 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义、根与系数的关系，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 利用一元二次方程根的定义得到，利用根与系数的关系得到，再将所求表达式变形后代入求值即可． 【详解】解：∵m，n分别为一元二次方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴． 故选：D． 5．（25-26九年级上·全国·期末）某厂月印刷科技书籍万册，第一季度共印刷万册，问月、月平均每月增长率是多少？设平均增长率为，则列出下列方程正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，理解“第一季度总印刷量1月+2月+ 3月印刷量”是解题关键． 设平均增长率为，则月印刷量为，月印刷量为；第一季度总印刷量为、、月印刷量之和，据此列出方程即可． 【详解】解：已知月印刷量为万册，设平均增长率为， 根据题意，可得： 月印刷量为万册， 月印刷量为万册， 由第一季度总印刷量为万册， 可得． 故选：． 二、填空题 6．（24-25九年级上·甘肃酒泉·期末）一元二次方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元二次方程，利用因式分解法求解该方程即可． 【详解】解：， ， ∴或， ∴． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·上海奉贤·期末）若是关于的一元二次方程，则的值为 ． 【答案】3或 【分析】本题考查一元二次方程，只有一个未知数，且未知数最高次数为 2 的整式方程叫做一元二次方程． 根据一元二次方程的定义，可知，由此即可求得m的值． 【详解】解：由题意可知，， 解得或． 故答案为：3或． 8．（24-25九年级上·广西钦州·期末）关于x的一元二次方程的二次项系数是 ． 【答案】2 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式是：，在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a，b，c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据定义解答即可． 【详解】解：一元二次方程的二次项系数是2 故答案为：2 9．（24-25九年级上·新疆阿克苏·期末）设是一元二次方程的两个根，则 ． 【答案】2025 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，一元二次方程的根．根据根与系数的关系可得，由根的意义得，将转化为后代入求值，即可作答． 【详解】解：∵ , 是一元二次方程 的两个根， ∴ ，且 ， ∴ ， ∴. 故答案为：2025 10．（25-26八年级上·上海静安·期末）方程有两个实数根，则m的范围 ． 【答案】且 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及一元二次方程的定义． 根据一元二次方程二次项系数不为零，且判别式大于等于零得到，即可求解． 【详解】解：由题意得，， 解得且， 故答案为：且 三、解答题 11．（25-26九年级上·西藏拉萨·期末）用适当的方法解方程： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了用因式分解法解一元二次方程，正确对多项式分解因式是关键； （1）直接利用因式分解求解即可； （2）先移项，再提取公因式即可求解； 【详解】（1）解：， ， 即或， ∴； （2）解：， ， ， 即或， ∴． 12．（25-26九年级上·全国·期末）请认真阅读材料 材料1：法国数学家弗朗索瓦·韦达在著作《论方程的识别与订正》中提出一元二次方程的两根，有如下的关系：，； 材料2：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料3：如果实数、满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个不相等的实数根； 材料4：如果实数、满足、，则可利用韦达定理构造一元二次方程，将、看作是此方程的两个实数根，且此方程一定有、两个实数根． 请根据上述材料解决下面问题： (1)已知实数、满足、，且，求的值． (2)已知实数、满足、，且，求的值． (3)已知实数、、满足、，求的最大值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，同时涉及方程的构造、代数式的恒等变形，识别 材料中的“同型结构”，构造对应方程是解题关键． （1）根据根与系数的关系可得，，进而根据完全公式变形即可得出； （2）首先把方程进行变形可得出，结合，可得出和为的两个不相等实数根，进而根据根与系数的关系可得出，，进一步即可得出； （3）首先根据已知条件进行变形，可得出，，即可得出和为方程的两个实数根，进一步根据根的判别式可得出，解得，即可得出的最大值． 【详解】（1）解：由题意得：、为的两个不相等实数根， 可得，， 故． 答：． （2）解：， ， ， ，，， 和为的两个不相等实数根， ，， ． 答：． （3）解：由 ，， 可构造，和是方程的两个实数根， ， ， 可得的最大值为2． 答：2． 13．（25-26九年级上·江苏南京·月考）关于x的方程． (1)若该方程的一个根为，求m的值及该方程的另一根； (2)求证：不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】本题考查一元二次方程的求解： （1）将代入方程求出m的值，再求解方程即可得到另一个根； （2）证明一元二次方程的根的判别式恒为正即可． 【详解】（1）解：将代入代入方程得，，则， 方程为， 因式分解为， ∴方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴不论m取何实数，该方程都有两个不相等的实数根． 14．（25-26九年级上·全国·期末）已知关于x的方程的一根为 (1)则的值是 ； (2)求方程的另一根． 【答案】(1)4 (2)4 【分析】本题主要考查了根与系数的关系及一元二次方程的解，熟知一元二次方程根与系数的关系及一元二次方程解的定义是解题的关键 （1）把代入方程即可得出答案； （2）利用一元二次方程根与系数的关系即可求出另一个根． 【详解】（1）解：将代入方程得： ， ； （2）解：设方程的另一根为，由根与系数的关系，得，解得， 所以方程的另一根为 15．（24-25九年级上·云南红河·期末）实施乡村振兴战略是中国共产党的重大决策部署，是新时代做好“三农”工作的总抓手．农业大学毕业的小宇积极响应号召回乡发展，他不仅是一个蔬菜种植能手，还是一个喜爱动脑筋的创意设计者．下面是他设计的一个矩形蔬菜仓库，如图，仓库的一边靠墙，这堵墙的长为18米，在与墙平行的一边，要开一扇2米宽的门，用33米长的木板材料，怎样围成一个面积为150平方米的长方形仓库？ 【答案】长方形的长取15米，宽取10米． 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决几何问题，解题的关键是找准等量关系，列出方程求解． 设长方形的长为米，根据木板材料的长度，表示出宽的长度，然后利用面积列出方程求解即可． 【详解】解：设长方形的长为米，则每个长用的木板材料为米，每个宽用的木板材料为米， ∴， 解得，， 当时，，不符合题意，舍去， ∴， ∴长方形的长为15米，宽为10米． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $