专题01 一元二次方程（期末真题汇编40题，天津专用）九年级数学上学期人教版

专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程 考点02 解一元二次方程 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 一元二次方程 计算题 考点05 一元二次方程实际应用 地 城 考点01 一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2， B．2，3 C．5， D．5，2 【答案】A 【分析】此题考查了一元二次方程的各项系数．熟练掌握一元二次方程的一般形式（a，b，c为常数，且）是解题的关键． 根据方程的一般形式，找出二次项系数，一次项系数及常数项即可． 【详解】解：方程的二次项系数，一次项系数和常数项分别是5，2，． 故选：A． 2．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根，把代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的方程 的一个根是2， ∴把代入得，解得， 故选：C． 3．(24-25九上·天津静海区·期末)一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则常数项是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了一元二次方程的一般形式，即．其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项．据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴二次项的系数是2，则常数项是． 故选D． 4．(24-25九上·天津和平区·期末)若x1是方程（a≠0）的一个根，设，，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 【答案】A 【分析】把x1代入方程ax2-2x-c=0得ax12-2x1=c，作差法比较可得． 【详解】解：∵x1是方程ax2-2x-c=0（a≠0）的一个根， ∴ax12-2x1-c=0，即ax12-2x1=c， 则p- q=（ax1-1）2-（ac+1.5） =a2x12-2ax1+1-1.5-ac =a（ax12-2x1）-ac-0.5 =ac-ac-0.5 =-0.5， ∵-0.5＜0， ∴p- q＜0， ∴p＜q． 故选：A． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及作差法比较大小，熟练掌握能使方程成立的未知数的值叫做方程的解，利用比差法比较大小是解题的关键． 5．(24-25九上·天津南开区·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2 【答案】C 【分析】一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．由这四个条件对四个选项进行验证，满足这四个条件者为正确答案． 【详解】A、不是方程，故本选项错误； B、方程含有两个未知数，故本选项错误； C、符合一元二次方程的定义，故本选项正确； D、不是整式方程，故本选项错误． 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的概念，判断一个方程是否是一元二次方程，首先要看是否是整式方程，然后看化简后是否是只含有一个未知数且未知数的最高次数是2． 二、填空题 6．(24-25九上·天津滨海新区·期末)关于x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为 ． 【答案】4 【分析】把代入原方程，解关于n的一元一次方程即可． 【详解】解：∵关于 x 的一元二次方程有一根为， ∴， 解得， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的定义即使得一元二次方程左右两边相等的未知数的值，正确理解定义，灵活代入计算是解题的关键． 三、解答题 7．(24-25九上·天津河西区·期末)已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根. 【答案】a=-3；另一个根为-1. 【分析】根据一元二次方程的解的定义把x=3代入x2-2x+a=0可求出a的值，然后把a的值代入方程得到x2-2x-3=0，再利用因式分解法解方程即可得到方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一个根为m，则 解得：    ∴方程的另一个根为 ∴a=-13=-3. 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．又因为只含有一个未知数的方程的解也叫做这个方程的根，所以，一元二次方程的解也称为一元二次方程的根． 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，利用一元二次方程根有两个不相等的实数根得到，，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴，且， 解得且， 故选：A． 2．(24-25九上·天津红桥区·期末)方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】方程利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解． 此题考查了解一元二次方程−因式分解法，熟练掌握因式分解法是解本题的关键． 【详解】解： ∴或 解得： 故选：B． 3．(23-24九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及运用完全平方公式进行运算． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为，, ∴根据根与系数的关系可得：，， ∴， ． 故选：C． 4．(23-24九上·天津和平区·期末)用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查的是配方法解一元二次方程，根据配方法凑完全平方公式，即可求解． 【详解】解： 即 ∴ ∴ 故选：A． 二、填空题 5．(24-25九上·天津滨海新区·期末)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 【答案】// 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，掌握一元二次方程根的情况与判别式的关系是解题的关键． 根据一元二次方程有两个相等的实数根的根的判别式等于零列关于c的方程求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴，解得：． 故答案为：． 6．(24-25九上·天津河东区·期末)如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则 ． 【答案】/0.25 【分析】连接，设，用表示、，再证明，由勾股定理得通过进行等量代换列出方程便可求得，再进一步求出，便可求得结果． 【详解】解：连接，设，则， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ， 由折叠知，， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， 解得，或， 当时，，不合题意，应舍去， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，解一元二次方程，折叠的性质，熟练掌握矩形的性质，勾股定理及解一元二次方程是解题的关键． 7．(24-25九上·天津滨海新区·期末)一元二次方程的解是 ． 【答案】， 【分析】本题主要考查了因式分解法解一元二次方程 ，解题的关键是能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，根据方程的特点先去括号和移项，然后运用因式分解法即可解答． 【详解】解： ∴或 ∴，． 8．(23-24九上·天津静安区·期末)知一元二次方程有一个根是2，则另一个根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数关系定理，设方程的另一个根为n，根据题意，得，解得，解答即可． 【详解】设方程的另一个根为n，根据题意，得， 解得， 故答案为：． 9．(23-24九上·天津宁河区·期末)若方程的两根为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键． 由题意知，，，然后代值求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故答案为：． 三、解答题 10．(24-25九上·天津第一中学滨海学校·期末)（1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 【答案】（1），；（2）见解析 【分析】本题考查了解一元二次方程和一元二次方程根的判别式，熟知一元二次方程：若，则方程有两个不相等的实数根；若，则方程有两个相等的实数根；若，则方程无实数根是解本题的关键． （1）根据因式分解法求解即可； （2）根据一元二次方程根的判别式证明即可 【详解】（1）解：整理得， 因式分解得， ∴或 ∴，； （2）证明：由题意可知， ∵， ∴，即， ∴无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 11．(24-25九上·天津滨海新区·期末)解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查解一元二次方程，掌握配方法，公式法是解题的关键． （1）运用配方法，先移项，在等式两边同时加上一次项系数一半的平方，由此得到，直接开方即可求解； （2）确定，得到，运用求根公式即可求解． 【详解】（1）解： 移项得，， 等式两边同时加上得，， ∴配方得，， ∴， ∴， ∴，； （2）解： ∴，， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得，，． 12．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)已知方程是关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程无实数根，请试着求出的取值范围． 【答案】(1)． (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法和根的判别式，解题关键是熟练运用因式分解法解方程，熟记根的判别式． （1）把代入原方程，利用因式分解法解方程即可； （2）根据方程没有实数根，列出不等式，解不等式得到的取值范围即可． 【详解】（1）解：把代入原方程得，， 则， ∴， ∴． （2）解：∵该一元二次方程无实数根， ∴， 解得． 13．(23-24九上·天津第二十中学·期末)（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值． 【答案】（1）都不正确，过程见解析；（2）2 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）由题意知，，，，则，由，整理得，，计算求出满足要求的解即可． 【详解】（1）解：都不正确， ， ， ∴，， 解得，，； （2）解：由题意知，，，， ∴， ∵， ∴，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴m的值为2． 【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的根与系数的关系，完全平方公式的变形是解题的关键． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若，为方程的两个根，则，与系数的关系式：，．根据根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴，． 故选D． 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，关键掌握是方程的两根时，，． 【详解】解：是方程的两个根， ，． 故选∶ A． 3．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)设方程的两根为， 则 的值为（   ） A．5 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，本题可利用根与系数的关系，先化为一般式求出该一元二次方程的二次项系数以及一次项系数的值，代入公式求解即可． 【详解】解：由可知， 其二次项系数，一次项系数， ∴， 故选：C． 4．(24-25九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系，解题关键是明确，； 求出，再整体代入计算即可． 【详解】解：一元二次方程的两根为，， 则，， ， 故选：D． 5．(24-25九上·天津南开区·期末)已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 【答案】C 【分析】本题考查根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题关键．根据根与系数的关系得到，整体代入法进行计算即可． 【详解】解：由题意，得：， ∴． 故选：C． 6．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)设是方程的两根，则（   ） A． B． C．1 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，若是一元二次方程的两个根，则． 根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． 【详解】解：∵、是方程的两根， ∴． 故选：C． 二、填空题 7．(24-25九上·天津河东区·期末)已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键. 先根据根与系数的关系得到，，然后整体代入即可． 【详解】解：方程 的两根分别为 ，， ，， ； 故答案为： 8．(24-25九上·天津红桥区·期末)已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．根据根与系数的关系得到，，然后结合已知条件，即可解题． 【详解】解：∵是关于的一元二次方程的两个根， ∴，， ∵，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25九上·天津汇文中学·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； (2)若方程的两个实数根、满足，则的值为 ． 【答案】(1) (2)2 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，根的判别式： （1）利用根的判别式的意义得到，则解方程得到的值，此时方程为，然后解一元二次方程即可； （2）先根据根与系数的关系得，，再利用得到，解得，，然后根据根的判别式的意义得到，从而可确定的值． 【详解】（1）解：根据题意得 解得， 此时方程为， ， 解得； （2）解：根据根与系数的关系得，， ， ， 整理得， 解得，， ， 解得， 的值为2． 10．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 【答案】(1) (2)，另一个根为 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式及根与系数的关系是解题的关键． （1）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可； （2）把方程的一个根为代入求出m，然后利用根与系数的关系进行求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有实数解， ∴， ∴； （2）解：∵是方程的一个根， ∴， 解得：， 设方程的另一个根为， ∵， ∴． ∴，方程的另一个根为． 地 城 考点04 一元二次方程 计算题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是灵活掌握一元二次方程的解法，一元二次方程的解法有直接开方法，因式分解法，公式法，配方法，属于中考常考题型． （1）用公式法先求出根的判别式再代入求根公式求解即可； （2）用十字相乘法将方程先变形成，再解两个一元一次方程即可． 【详解】（1）解： ，，， ， ． ，； （2）解：， ． 或． ，． 2．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． （1）先移项，再利用因式分解法求解； （2）先化为一般式，再利用公式法求解． 【详解】（1）解：， ， ， ∴或， 解得：； （2）解：， ， ， ， ∴， ∴． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及配方法解一元二次方程、因式分解法解一元二次方程等知识． （1）根据所给方程结构特征，利用提公因式法解一元二次方程即可得到答案； （2）根据配方法解一元二次方程的方法步骤，先配方，再直接开平方求解即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， ， ，． 4．(24-25九上·天津河东区·期末)解下列方程： (1) ； (2) ． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，常用的方法有直接开平方法、配方法、因式分解法、求根公式法，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． （1）用配方法求解即可； （2）用公式说法求解即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴ ∴ ∴ ， ． （2）解： ， ， ， ． 5．(24-25九上·天津西青区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，解题关键是选择恰当的方法解一元二次方程； （1）用因式分解法解一元二次方程即可； （2）用配方法解一元二次方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， 或， ，． （2）解：， ， ， 或， ，． 6．(24-25九上·天津红桥区·期末)解一元二次方程． 【答案】 【分析】本题主要考查了利用公式法解一元二次方程，先将方程变形，然后根据可得出根的情况，直接利用求根公式求解即可． 【详解】解：原方程化为． 可得． ． 方程有两个不等的实数根．有． 即． 7．(23-24九上·天津河西区·期末)运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】（）运用直接开平方法解方程即可； （）运用直接开平方法解方程即可； 本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解方程的步骤及方法是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ∴，； （2）解：， ∴或， ∴，． 8．(23-24九上·天津第十九中学·期末)（1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程有一个根是5，求k的值及方程的另一个根． 【答案】（1）（2），方程的另一个根为 【分析】（1）本题考查解一元二次方程，利用因式分解法解方程即可； （2）本题考查根与系数的关系，设另一个根为，根据根与系数的关系列出方程，进行求解即可，掌握根与系数的关系，是解题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴， 解得：； （2）设方程的另一个根为，由题意，得：， ∴， 即：方程的另一个根为，． 9．(23-24九上·天津宁河区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、因式分解法、配方法、直接开平方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用因式分解法计算即可； （2）利用因式分解法计算即可． 【详解】（1）解：， ， 或， ，； （2）解：， ， ， ， 或， ，． 10．(23-24九上·天津和平区·期末)（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 【答案】（1）；（2），或 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根与系数的关系： （1）利用因式分解法解方程即可； （2）利用根与系数的关系得到，再由得到，则，解得，则原方程为，解方程即可得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴或， 解得； （2）∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴原方程为， 解得或； 地 城 考点05 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．设年平均增长率为x，根据2024年底森林覆盖率2022年底森林覆盖率，据此即可列方程求解． 【详解】解：根据题意，得 即， 故选：C． 2．(24-25九上·天津南开区·期末)两年前生产1kg某种药品的成本是50元，随着生产技术的进步，现在生产1kg这种药品的成本是30元，如果这种药品成本的年平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，根据平均变化率的等量关系，增长为，下降为，列出方程即可． 【详解】解：由题意，可列方程为：； 故选C． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，设矩形的宽为，则长为，根据矩形的面积计算公式列出方程求出x的值，进而根据矩形的周长公式计算即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 所以， 则这个矩形的周长为． 所以，这个矩形的周长为． 故选：C． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了矩形的性质，一元二次方程的应用，设矩形的宽为，则长为，根据矩形的面积计算公式列出方程求出x的值，进而根据矩形的周长公式计算即可． 【详解】解：设矩形的宽为，则长为， 根据题意，得， 解得：（不合题意，舍去），， 所以， 则这个矩形的周长为． 所以，这个矩形的周长为． 故选：C． 5．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，设计一长，宽的彩旗，图中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度比为，若使彩条所占面积是彩旗的，设竖彩条宽度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据每个竖彩条的宽度是，则每个横彩条的宽度是，根据彩条所占面积是图案面积的，即可得出关于的一元二次方程，此题得解．找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设每个竖彩条的宽度是，则每个横彩条的宽度是，根据彩条所占面积是图案面积的， ∴， 故选：． 二、填空题 6．(24-25九上·天津西青区·期末)某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用；根据“2021年的降尘量年平均下降率年的降尘量”求解即可． 【详解】解：设降尘量的年平均下降率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 答：降尘量的年平均下降率为． 故答案为：． 7．(24-25九上·天津西青区·期末)某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，涉及平均增长率问题的解法，读懂题意，找到等量关系列出方程是解决问题的关键．根据“2021年的降尘量年平均下降率年的降尘量”求解即可． 【详解】解：若设降尘量的年平均下降率为，根据题意得： ， 解得：，（舍去）， 即降尘量的年平均下降率为． 故答案为：． 8．(23-24九上·天津西青区·期末)某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的增长率问题，设平均每次降价的百分率为，根据题意列出关于x的一元二次方程求解，最后把不符合的答案舍去即可． 【详解】解：设平均每次降价的百分率为， 根据题意得：， 解得：，（舍去） 故， 则平均每次降价． 故答案为：． 三、解答题 9．(24-25九上·天津静海区·期末)两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率． (1)设这种产品成本的年平均下降率为，一年前这种产品的成本为________元（用含的代数式表示），现在这种产品的成本为________元（用含的代数式表示）； (2)列出方程并完成本题解答． 【答案】(1)； (2)这种产品成本的年平均下降率为 【分析】本题主要考查的是一元二次方程的实际应用．销售中成本乘以降价率是成本所降的价格，所以理解和掌握“上一年的成本减去成本所降价格是下一年的成本”是解题的关键． （1）两年前的成本为7000元，一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为； （2）两年前的成本是7000元，成本下降率设为 ，则一年前的成本是，即成本减去成本所降的价格（成本所降价格是成本乘以下降率），以此类推，即可列出方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论．． 【详解】（1）解：两年前的成本为7000元，一年前这种产品的成本为，现在这种产品的成本为； 故答案为：；； （2）解：依题意得：， 解得：，（不合题意，舍去）， 答：这种产品成本的年平均下降率为． 10．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)王庙村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答） 解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示： ①2022年种的水稻平均每公顷的产量为____________； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为___________； (2)根据题意，列出相应方程___________； (3)解这个方程，得___________； (4)检验：___________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为___________%． 【答案】(1)①；② (2) (3) (4)都是原方程的根，但不适合题意，舍去，只取 (5)10 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用．找准等量关系，列出代数式和方程，是解题的关键． （1）根据增长率写出代数式即可； （2）根据（1）中所列的代数式以及2023年平均每公顷产，列出方程即可； （3）直接开方法解方程即可； （4）根据题意，进行检验即可； （5）根据方程的解，作答即可． 【详解】（1）解：①2022年种的水稻平均每公顷的产量为； 故答案为：； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为； 故答案为：； （2）由题意，可列方程为：； 故答案为：； （3）∵， 解得：； 故答案为：； （4）都是原方程的根，但不适合题意，舍去，只取； （5）， 答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为； 故答案为：10． 11．(24-25九上·天津西青区·期末)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为．    (1)填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； (2)矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 【答案】(1)①；② (2)能， 【分析】本题考查了列代数式，一元二次方程的应用，理解题意是解答的关键． （1）①由“中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形”得，即可得，再由即可得出结论； ②由“墙的长度为”得，继而可得x的取值范围； （2）根据题意列一元二次方程，解方程，有附合题意的解，即可得出结论． 【详解】（1）解：①由题意得，， ∵中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，即， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； ②∵墙的长度为， ∴， 即， ∴x的取值范围是， 故答案为：； （2）解：能． 根据题意，列方程得， 整理，得， 解方程，得，， 由（1）可知，， ， 即矩形养殖场的面积能达到，此时的值是． 12．(23-24九上·天津第二十中学·期末)如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃，其中，墙长，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆．设CD的长为． (1)则的长为 ，的长为 ，（用含x的代数式表示） (2)若花圃的面积为，求花圃一边的长； (3)花圃的面积能达到？说明理由． 【答案】(1)， (2)花圃一边的长为10． (3)花圃的面积不能达到．理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，列代数式，一元二次方程根的判别式， （1）设的长为，根据矩形的性质和共用篱笆即可得到答案； （2）先求出x的取值范围，由题意知，求出满足要求的解即可； （3）根据花圃的面积列出方程，根据一元二次方程根的判别式判断方程根的情况，即可得到结论． 解题的关键在于根据题意列正确的方程并求解． 【详解】（1）解：设CD的长为， ∵四边形是矩形， ∴， ∵花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆． ∴的长为， 故答案为：，； （2）∵， ∴， 由题意知， 解得（舍去），， ∴花圃一边的长为10． （3）花圃的面积不能达到．理由如下： ， ∴， ∴， ∴一元二次方程没有实数根， ∴花圃的面积不能达到130． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 一元二次方程 5大高频考点概览 考点01 一元二次方程 考点02 解一元二次方程 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 考点04 一元二次方程 计算题 考点05 一元二次方程实际应用 地 城 考点01 一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)一元二次方程，它的一次项系数和常数项分别是（   ） A．2， B．2，3 C．5， D．5，2 2．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)已知关于x的方程 的一个根是2．则m的值为（   ） A．0 B．3 C．2 D． 3．(24-25九上·天津静海区·期末)一元二次方程化成一般形式后，二次项的系数是2，则常数项是（    ） A．2 B． C．3 D． 4．(24-25九上·天津和平区·期末)若x1是方程（a≠0）的一个根，设，，则p与q的大小关系为（　　） A．p＜q B．p＝q C．p＞q D．不能确定 5．(24-25九上·天津南开区·期末)下列方程是一元二次方程的是（    ） A．2x2－5x+3 B．2x2－y+1=0 C．x2=0 D．+ x=2 二、填空题 6．(24-25九上·天津滨海新区·期末)关于x 的一元二次方程有一根为，则 n 的值为 ． 三、解答题 7．(24-25九上·天津河西区·期末)已知3是一元二次方程x2-2x+a=0的一个根，求a的值和方程的另一个根. 地 城 考点02 解一元二次方程 一、单选题 1．(24-25九上·天津西青区·期末)已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（   ） A．且 B．且 C． D． 2．(24-25九上·天津红桥区·期末)方程的两个根为（   ） A． B． C． D． 3．(23-24九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，下列式子正确的是（   ） A． B． C． D． 4．(23-24九上·天津和平区·期末)用配方法解方程，变形后的结果正确的是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 5．(24-25九上·天津滨海新区·期末)若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数c的值为 ． 6．(24-25九上·天津河东区·期末)如图，在矩形纸片中，，，将沿翻折，使点落在处，为折痕；再将沿翻折，使点恰好落在线段上的点处，为折痕，连接．若，则 ． 7．(24-25九上·天津滨海新区·期末)一元二次方程的解是 ． 8．(23-24九上·天津静安区·期末)知一元二次方程有一个根是2，则另一个根为 ． 9．(23-24九上·天津宁河区·期末)若方程的两根为，则 ． 三、解答题 10．(24-25九上·天津第一中学滨海学校·期末)（1）解方程：． （2）已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取任何实数，此方程总有两个不相等的实数根． 11．(24-25九上·天津滨海新区·期末)解方程： (1)（配方法） (2)（公式法） 12．(24-25九上·天津第二十一中学·期末)已知方程是关于的一元二次方程． (1)当时，求该一元二次方程的根； (2)若该一元二次方程无实数根，请试着求出的取值范围． 13．(23-24九上·天津第二十中学·期末)（1）小敏与小霞两位同学解方程的过程如下框： 你认为他们的解法中是否有正确的？如果有，指出哪位同学的解法正确；如果没有，写出正确的解法． 小敏： 两边同除以，得， ， 则． 小霞： 移项，得， 提取公因式，得． 则或， 解得，． （2）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，若方程的两实数根分别为， ，且满足，求实数m的值． 地 城 考点03 一元二次方程的根与系数的关系 一、单选题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津滨海新区·期末)若，是方程的两个根，则（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)设方程的两根为， 则 的值为（   ） A．5 B． C． D． 4．(24-25九上·天津西青区·期末)已知一元二次方程的两根为，，式子的值是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25九上·天津南开区·期末)已知方程的两个根分别为和，则的值为（   ） A． B． C．2 D．6 6．(24-25九上·天津第六十一中学·期末)设是方程的两根，则（   ） A． B． C．1 D．3 二、填空题 7．(24-25九上·天津河东区·期末)已知方程 的两根分别为 ， ，则 的值为 ． 8．(24-25九上·天津红桥区·期末)已知是关于的一元二次方程的两个根，若，则的值为 ． 三、解答题 9．(24-25九上·天津汇文中学·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)若方程有两个相等的实数根，求实数k的值并解这个方程； (2)若方程的两个实数根、满足，则的值为 ． 10．(24-25九上·天津和平区第二耀华中学·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)当m为何值时，方程有实数解； (2)当该方程的一个根为时，求m的值及方程的另一根． 地 城 考点04 一元二次方程 计算题 1．(24-25九上·天津静海区·期末)解方程： (1)； (2)． 2．(24-25九上·天津和平区天津第十九中学·期末)解方程 (1)； (2)． 3．(24-25九上·天津西青区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 4．(24-25九上·天津河东区·期末)解下列方程： (1) ； (2) ． 5．(24-25九上·天津西青区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 6．(24-25九上·天津红桥区·期末)解一元二次方程． 7．(23-24九上·天津河西区·期末)运用直接开平方法解下列方程： (1)； (2)． 8．(23-24九上·天津第十九中学·期末)（1）解方程：； （2）关于x的一元二次方程有一个根是5，求k的值及方程的另一个根． 9．(23-24九上·天津宁河区·期末)解下列方程： (1)； (2)． 10．(23-24九上·天津和平区·期末)（1）用适当方程解一元二次方程：； （2）已知关于的一元二次方程有两个实数根，．若时，求k值及方程的解． 地 城 考点05 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25九上·天津滨海新区·期末)某市2022年底森林覆盖率为，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到．如果这两年森林覆盖率的年平均增长率为，则根据题意列出的方程是（   ） A． B． C． D． 2．(24-25九上·天津南开区·期末)两年前生产1kg某种药品的成本是50元，随着生产技术的进步，现在生产1kg这种药品的成本是30元，如果这种药品成本的年平均下降率为，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 3．(24-25九上·天津河西区·期末)一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25九上·天津河西区·期末)一个矩形的长和宽相差，面积是，则这个矩形的周长为（   ） A． B． C． D． 5．(23-24九上·天津和平区·期末)如图，设计一长，宽的彩旗，图中有两横两竖的彩条，横、竖彩条宽度比为，若使彩条所占面积是彩旗的，设竖彩条宽度为，则根据题意可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．(24-25九上·天津西青区·期末)某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ． 7．(24-25九上·天津西青区·期末)某城区采取多项综合措施降低降尘量提升空气质量，降尘量由2021年的吨/平方公里下降至2023年的吨/平方公里，则降尘量的年平均下降率为 ． 8．(23-24九上·天津西青区·期末)某种药品原售价为16元，经过连续两次降价后售价为9元，则平均每次降价的百分率为 ． 三、解答题 9．(24-25九上·天津静海区·期末)两年前生产1t产品的成本是7000元，随着生产技术的进步，现在生产1t这种产品的成本为5670元．求这种产品成本的年平均下降率． (1)设这种产品成本的年平均下降率为，一年前这种产品的成本为________元（用含的代数式表示），现在这种产品的成本为________元（用含的代数式表示）； (2)列出方程并完成本题解答． 10．(23-24九上·天津第六十一中学·期末)王庙村种的水稻2021年平均每公顷产，2023年平均每公顷产，求该村水稻每公顷产量的年平均增长率．（注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路按下面的要求填空，完成本题的解答．也可以选用其他的解题方案，此时不必填空，只需按照解答题的一般要求进行解答） 解题方案：设该村水稻每公顷产量的年平均增长率为x． (1)用含x的代数式表示： ①2022年种的水稻平均每公顷的产量为____________； ②2023年种的水稻平均每公顷的产量为___________； (2)根据题意，列出相应方程___________； (3)解这个方程，得___________； (4)检验：___________； (5)答：该村水稻每公顷产量的年平均增长率为___________%． 11．(24-25九上·天津西青区·期末)某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一边靠墙（墙的长度为），其他边均用栅栏围成，中间用与墙垂直的栅栏把它分成两个面积为的矩形，如图所示．已知栅栏的总长度为，设较小矩形中与墙平行的一边长为．    (1)填空： ①养殖场中每一条与墙垂直的边长均可用含的代数式表示为_____； ②x的取值范围是_____； (2)矩形养殖场的面积能否达到？如果能，请求出的值；如果不能，请说明理由． 12．(23-24九上·天津第二十中学·期末)如图，学校为美化环境，在靠墙的一侧设计了一块矩形花圃，其中，墙长，花圃三边外围用篱笆围起，共用篱笆．设CD的长为． (1)则的长为 ，的长为 ，（用含x的代数式表示） (2)若花圃的面积为，求花圃一边的长； (3)花圃的面积能达到？说明理由． 2 / 23 1 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $