专题7.3 正弦函数、余弦函数的图象（高效培优讲义）数学苏教版2019高一必修第一册

本讲义聚焦高中数学正弦函数、余弦函数的图象这一核心知识点，系统梳理从三角函数线（几何法）到五点法作图，再到余弦函数通过正弦函数图象平移变换得到的完整脉络，为后续学习函数性质奠定基础支架。 该资料以“作图-识别-应用”三阶设计为特色，通过五点法作图培养学生几何直观（数学眼光），典例与变式题结合提升推理能力（数学思维），含绝对值、零点等问题训练用图象解决问题的数学语言表达。课中助力教师分层教学，课后练习题覆盖全面帮助学生查漏补缺。

专题7.3 正弦函数、余弦函数的图象 教学目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象4.通过两类函数图象认识函数图象的特点，并能通过两类图象的形状能通过函数图象解决简单的问题 教学重难点 1.重点 利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线； 2.难点 正弦曲线与余弦曲线的应用；正弦函数与余弦函数图象间的关系, 图象变换. 知识点01 正弦函数图象 正弦函数图象的画法 （1）描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． （2）几何法：利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． （3）五点法：先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 【即学即练】 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（  ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 【答案】D 【分析】用五点法作三角函数的图，五个点的横坐标分别为，求出值. 【解析】由“五点法”作图知，令， 解得，即为五个关键点的横坐标. 故选：D． 2．作出函数，的大致图象. 【答案】作图见解析 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. 知识点02 余弦函数图象 余弦函数的图象的作法： ①图象变换法： 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法： 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 【即学即练】 1．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据余弦函数的性质即可求解. 【解析】五个关键点分别为，，，，故D选项不在函数图象上． 故选：D. 2．作出下列函数的大致图象. 【答案】作图见解析 【解析】按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 题型01 五点法画正弦、余弦函数的图象 【典例1】画出下列函数的简图: (1),; (2),. 【答案】（1）见解析（2）见解析 【分析】根据五点作图法的方法描点,再用光滑曲线连接起来即可. 【解析】(1)按五个关键点列表: x 0 0 1 0 -1 0 1 2 1 0 1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    (2)按五个关键点列表: x 0 1 0 -1 0 1 -1 0 1 0 -1 描点并将它们用光滑的曲线连接起来(如图):    1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点． 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换． 【变式1】已知函数.画出在上的图象. 【答案】答案见解析 【分析】结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解析】因为，所以列表如下： 0 π x 0 π y 2 4 0 0 2 【变式2】已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【答案】答案见解析 【分析】结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解析】根据五点法列表如下： 0 π x y 0 2 0 －2 0 【变式3】作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 【答案】(1)作图见解析；(2)作图见解析 【分析】分析函数的性质，结合正弦曲线、余弦曲线的“五点法”，可作出函数图象. 【解析】（1）因为的定义域为，关于原点对称， ，故为偶函数， 又，所以函数是以为周期的周期函数. 列表 x 0 0 1 0 作图：先作出的图象，又原函数是偶函数，且周期为，将图象向两边延伸，即可得函数，的图象. （2）按五个关键点列表： 0 1 0 0 1 0 1 2 1 0 描点，并将它们用光滑的曲线连接起来（如图）： 题型02 正、余弦函数图象的识别 【典例1】（1）函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】函数的定义域为R， 由，可得函数是R上的奇函数， 图象关于原点对称， AC错误； 当时，，且当或时取等号，则B不满足，D满足. 故选：D. （2）若函数的图象如图，则的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】由图形判断函数的定义域为，且为偶函数， 对A，，故错误； 对C，，故错误； 对B，， 当且始终是正数，故正确； 对D，， 当，但可以为负数，所以不符合要求，故错误. 故选：B 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 【变式1】对应的图象是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】由题,为偶函数,且当时, 又为的图象沿轴翻折. 故选：C 【变式2】函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】因为，， 且定义域关于原点对称，所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，排除选项A和C； 当时，，所以， 排除选项D，只有选项B符合题意. 故选：B. 【变式3】函数图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】根据函数图象的对称性排除AC，再结合函数值大小排除B，从而得正确结论． 【解析】从四个选项中可以看出，函数的周期性、奇偶性、函数值的正负无法排除任一个选项， 但是，因此的图象关于直线对称，可排除AC， 又，排除B， 故选：D． 【变式4】函数，的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数奇偶性及函数在区间上的符号排除不正确选项即得. 【解析】因为定义域关于原点对称，又， 即为奇函数，所以选项A和B错误， 又当时，，当时，，此时， 又易知当时，，所以时，，结合图象可知选项C错误，选项D正确， 故选：D. 题型03 含绝对值的正、余弦函数 【典例1】（多选）已知函数，则（  ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．对任意 【答案】ABD 【分析】对于A：利用函数的奇偶性的定义证明； 对于B、C、D：作出函数的图象，直接判断. 【解析】对于A：因为，所以是偶函数，A正确． 对于B、C、D：当时，， 当，． 画出的图象，如图所示，由图可得B，D正确，C错误． 故选：ABD 含绝对值的正、余弦函数的常规处理： （1）分类讨论解决绝对值问题；（2）借助正、余弦函数的图像分析问题。 【变式1】若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有（  ） A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【答案】C 【解析】因为函数的图象与函数的图象关于原点对称， 所以函数的友好点的对数即方程，的解的个数， 即函数与的图象的交点个数， 作出函数与的图象，如图所示:    可知共有7个交点，即函数的友好点共有7对. 故选:C． 【变式2】函数在区间内的零点个数是 . 【答案】4 【解析】令，则， 设， 则当时，， 当时，， 画出函数的图象， ， 易知函数的图象与直线有4个不同的交点， 故答案为：4 题型04 利用正、余弦函数的图像研究定义域、值域与最值 【典例1】（1）函数的定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依题意可得，根据正弦函数的性质计算可得. 【解析】对于函数， 令，即，解得， 所以函数的定义域为. 故选：A. （2）函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由，令，转化为二次函数求解. 【解析】， 令，由，得，变为． 该二次函数开口向下，对称轴，在递增，递减． 当时，时，，所以值域为. 故选：C. 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式1】函数定义域为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的解析式有意义，得到，即可求解函数的定义域. 【解析】由题意，函数有意义，则满足，即 解得， 所以函数的定义域. 故选：A. 【变式2】函数的最大值为（  ） A． B． C．2 D．1 【答案】A 【分析】首先切化弦，然后根据的取值范围去绝对值，化简即可得到函数的最大值. 【解析】由于，且 ， ∴，由图像可知，当时最大 即 故选：A 【变式3】函数的值域为 . 【答案】 【分析】由转化为二次函数求解. 【解析】由正弦函数的性质可知，当， 当时，；当或时，，故值域为. 故答案为： 题型05 利用正、余弦函数的图像解三角不等式 【典例1】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合 【答案】，. 【解析】首先作出y＝sin x在[0，2π]上的图象.如图所示，作直线y＝，根据特殊角的正弦值，可知该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和； 作直线y＝，该直线与y＝sin x，x∈[0，2π]的交点横坐标为和. 观察图象可知，在[0，2π]上，当<x≤，或≤x<时，不等式<sin x≤成立. 所以<sin x≤的解集为 ，. 借助三角函数的图象解（或）的方法： （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式1】在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集. 【答案】 【解析】画出y＝sin x，x∈[0，2π]的草图如下. 因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－.即在[0，2π]内，满足sin x＝－的x＝或.可知不等式sin x<－在[0，2π]内的解集是 【变式2】在x∈(0，2π)上，满足cosx>sinx的x的取值范围是（  ） A. B. C. ∪ D. 【答案】C　 【解析】作出y＝sinx和y＝cosx在x∈(0，2π)的函数图象(图略)，根据函数图象可得满足cosx>sinx 的x的取值范围为∪. 故选:C． 【变式3】若0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】由|cosx－sinx|＝sinx－cosx，得sinx－cosx≥0，即sinx≥cosx.在同一坐标系中画出y＝sinx，x∈[0，2π]与y＝cosx，x∈[0，2π]的图象如图所示，结合图象可知，当≤x≤时，sinx≥cosx，所以x∈. 故答案为： 题型06 与正、余弦函数有关的零点问题 【典例1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分类讨论去绝对值号，得出函数的解析式，然后画出函数与的图象进行判断. 【解析】， 如图所示， 要使的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则只需. 故选：C. 【变式1】函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】在平面直角坐标系中作出函数，的图象与直线的图象，数形结合即可求解. 【解析】在同一直角坐标系中，作出，与图象， 由图象可知，函数，的图象与直线（为常数）的交点个数可能为0，1，2，结合选项可知选项A正确； 故选：A. 【变式2】已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】将函数零点转换为两函数的交点，通过图像即可得到答案. 【解析】∵ ∴ 设，画出图像    可得在图像上的零点的个数为3. 故选：C. 【变式3】函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】D 【解析】由题意可知：的定义域为， 且，可知为偶函数， 令，，可得，    由图象可知与在内有3个交点， 即在内有3零点， 结合对称性可知在定义域内有6个零点. 故选：D. 【变式3】函数，关于函数的零点情况说法正确的是（  ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 【答案】ABC 【解析】画出函数的图象，如图所示， 因为，令，即， 则函数的零点，即为与的交点的横坐标， 对于A，当时，在上与无公共点，所以A正确； 对于B，当时，在上与只有1个公共点，所以B正确； 对于C，当时，在上与有2个公共点，所以C正确； 对于D，由图象可得，函数与不相邻的两个交点的横坐标间的距离为最小正周期的整数倍， 即， 因为，可得， 所以不存在t的值，使得有3个零点，所以D不正确. 故选：ABC. 题型07 正、余弦函数图像的其他应用 【典例1】（1）（多选）若函数f(x)＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法中正确的是（  ） A. 当x∈时，y<0 B. f(0)＝1 C. f＝0 D. 阴影部分的面积为2π 【答案】AC　 【解析】作出函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象，函数y＝2cosx，x∈[0，2π]的图象与直线y＝2围成的平面图形为如图所示的阴影部分，由图可知，A正确；B错误；C正确；利用图象的对称性，可知该阴影部分的面积等于矩形OABC的面积．又因为OA＝2，OC＝2π，所以S阴影部分＝S矩形OABC＝2×2π＝4π，故D错误． 故选：AC. （2）已知函数 若，，互不相等，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出函数的图象,根据,结合函数的图象可得,从而求出结论. 【解析】画出的图像如下图所示: 因为(a)(b)(c),且,不妨设, 结合函数图象可知,,, 且即, , 故选:C. 【变式1】函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】作出函数的图象，如图所示， 利用割补法，将到部分的图象与轴围成的图形补到图中到处阴影部分，凑成一个长为，宽为的长方形，后面到，同理；∴的图象与直线，及轴所围成的面积为， 故选：C. 【变式2】已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（  ） A．12 B．10 C．6 D．5 【答案】B 【解析】由得函数周期是，又偶函数， 且在时，，因此可得， 是偶函数，作出函数与时，的图象， 由图象可知，当时，两函数图象有5个交点. 又函数与均为偶函数， 所以函数的零点个数是10.， 即函数的零点个数是10． 故选：B． 1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【分析】分，化简，结合正弦函数图象求解即可. 【解析】当时， 当时，， 由正弦函数的图象可知，A选项符合题意， 故选：A． 2．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 【答案】C 【详解】依题意，， 令，则，由，得， 显然，即方程有两个不等的实数根，， 即，，此时在上恰有3个实根， 而，因此，则. 故选：C. 3．已知的部分图象如右图，则可能的解析式为（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用函数的定义域逐项判断即可。 【解析】由图可知的定义域为且， 选项A，，则的定义域是R，故A错误； 选项B，，因此的定义域是，故B错误； 选项C，，因此的定义域是，故C错误； 选项D，若，则的定义域为且，故D正确． 故选：D． 4．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由函数的奇偶性和指定区间的函数值，排除法得正确选项. 【解析】函数，定义域为， ，则为奇函数， 函数图象关于原点对称，排除BD选项； 当时，，，，则，排除C选项. 故选：A. 5．关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈(，2π]的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法中正确的是（  ） A. 当t<0或t≥2，有0个交点 B. 当t＝0或<t<2时，有1个交点 C. 当0<t≤，有2个交点 D. 当0<t<2时，有2个交点 【答案】B　 【解析】在同一个坐标系内做出f(x)＝1＋cosx，x∈的图象与直线y＝t的图象如图示．根据图象，进行判断．对于A，当t＝2时，有一个交点，故A错误；对于B，当t＝0或<t<2时，有1个交点，故B正确；对于C，当0<t<，有2个交点，当t＝，有1个交点，故C错误；对于D，当t＝，有1个交点，故D错误． 故选：B. 6．方程的解的个数为（  ） A．1 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】试题分析：本题中方程不可解，但方程解的个数可以借助于函数和的图象的交点的个数来解决，作出这两个函数的图象（如图），，，但当时，，而，故两个函数图象有三交点，即原方程有三个解． 故选：B. 7．（多选）函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（  ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】由题目分析可得实际上是求的最小值，由解出来取最靠近y轴的值. 【解析】的最大值为1，即，解得. 因为要与y轴最近，所以，即坐标为或. 故选：BD 8．（多选）关于函数，下列说法不正确的是（  ） A．的一个周期是 B．的最小值为2 C．的图像关于y轴对称 D．的图像关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用反例可判断ABC的正误，根据函数解析式的特征可判断D的正误. 【解析】对于A，，它们不相等，故A错误. 对于B，，故的最小值不是2，故B错误. 对于C，，它们不相等，故C错误. 对于D，， 故的图像关于直线对称，故D正确. 故选：ABC. 9．（多选）对于函数，下列说法正确的是（  ） A.该函数的最小值为； B.该函数是以为最小正周期的周期函数； C.当且仅当（）时，该函数取得最大值； D.当且仅当（）时，． 【答案】BD 【解析】依题意，， 则， ，因此函数为周期函数，是的一个周期， 作出函数的图象（图中实线），如图： 观察函数图象，得： 对于B，函数的最小正周期为，B正确； 对于A，函数的最小值为，A错误； 对于C，当且仅当或时，函数取得最大值，C错误； 对于D，当且仅当时，，D正确. 所以所有正确结论的序号是BD. 故答案为：BD 10．已知函数满足性质：(1)在定义域上有；(2)，恒有，则函数可能为____________ ① ② ③ ④ 【答案】② 【分析】根据函数的奇偶性和单调性即可结合选项逐一求解. 【详解】由①，得，即函数是奇函数.由②，得，即函数在上单调递增. ①：是正比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意； ②：是奇函数.当时，.因为在上单调递增，所以在上单调递增，符合题意； ③：是顶点在原点的二次函数，是偶函数，不符合题意； ④：是反比例函数，是奇函数，但在上单调递减，不符合题意. 故答案为：②. 11．在[0，2π]内，不等式sinx<－的解集是________． 【答案】　 【解析】画出y＝sinx，x∈[0，2π]的草图如下，因为sin＝，所以sin＝－，sin＝－，即在[0，2π]内，满足sinx＝－的是x＝或x＝.结合图象可知不等式sinx<－的解集是. 故答案为：　 12．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为__________个 【答案】2 【详解】由，得，令函数与， 依题意，所求问题即为函数与在上的交点个数， 在同一坐标系内作出函数与在上的图象，    观察图象得函数与在上的图象有2个交点， 所以函数在区间上的零点个数为2. 故答案为：2 13．利用“五点法”作出下列函数的简图． (1) y＝2sinx－1(0≤x≤2π)； (2) y＝－1－cosx(0≤x≤2π)． 【答案】 （1）答案见解析；（2）答案见解析 【解析】(1) 列表： x 0 π 2π 2sinx 0 2 0 －2 0 2sinx－1 －1 1 －1 －3 －1 描点作图，如图所示． (2) 列表： x 0 π 2π cosx 1 0 －1 0 1 －1－cosx －2 －1 0 －1 －2 描点作图，如图所示． 14．已知函数f(x)＝ (1) 作出该函数的图象； (2) 若f(x)＝，求x的值． 【答案】 （1）答案见解析；（2）－或或 【解析】(1) 作出函数f(x)＝的图象，如图所示． (2) 因为f(x)＝，所以在(1)中的图上再作出直线y＝，如图所示， 则当－π≤x<0时，由图象知x＝－； 当0≤x≤π时，x＝或x＝. 综上可知x的值为－或或. . 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题7.3 正弦函数、余弦函数的图象 教学目标 1.能借助正弦线画出正弦函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象4.通过两类函数图象认识函数图象的特点，并能通过两类图象的形状能通过函数图象解决简单的问题 教学重难点 1.重点 利用“五点法”作出简单的正弦、余弦曲线； 2.难点 正弦曲线与余弦曲线的应用；正弦函数与余弦函数图象间的关系, 图象变换. 知识点01 正弦函数图象 正弦函数图象的画法 （1）描点法：按照列表、描点、连线三步法作出正弦函数图象的方法． （2）几何法：利用三角函数线作出正弦函数在内的图象，再通过平移得到的图象． （3）五点法：先描出正弦曲线的波峰、波谷和三个平衡位置这五个点，再利用光滑曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线在一个周期内的图象． 在确定正弦函数在上的图象形状时，起关键作用的五个点是 正弦曲线 （1）定义：正弦函数的图象叫做正弦曲线． （2）图象 【即学即练】 1．用“五点法”作的图象，首先描出的五个点的横坐标是（  ） A．0，，，， B．0，，，， C．0，，，， D．0，，，， 2．作出函数，的大致图象. 知识点02 余弦函数图象 余弦函数的图象的作法： ①图象变换法： 由诱导公式六，我们知道，而函数,x∈R的图象可以通过正弦函数y=sinx,x∈R的图象向左平移个单位长度而得到.所以将正弦函数的图象向左平移个单位长度，就得到余弦函数的图象，如图所示. ②五点法： 类似于正弦函数图象的作法，从余弦函数y=cosx,x∈R的图象可以看出，要作出函数y=cosx在[0,2π]上的图象，起关键作用的五个点是：(0,1)，，(π,-1)，，(2π,1).先描出这五个点，然后把这五个点用一条光滑的曲线连接起来就得到了函数y=cosx在[0,2π]上的简图，再通过左右平移(每次移动2π个单位长度)即可得到余弦函数y=cosx,x∈R的图象. 【即学即练】 1．用“五点法”画函数在的图象时，下列选项中不是关键点的是（  ） A． B． C． D． 2．作出下列函数的大致图象. 题型01 五点法画正弦、余弦函数的图象 【典例1】画出下列函数的简图: (1),; (2),.    1、五点作图法：作正弦曲线、余弦曲线要理解几何法作图，掌握五点法作图．“五点”即或的图象在内的最高点、最低点和与x轴的交点． 2、图象变换：平移变换、对称变换、翻折变换． 【变式1】已知函数.画出在上的图象. 【变式2】已知函数，用五点法画出长度为一个周期的闭区间上的简图． 【变式3】作出下列函数的大致图像： (1)，. (2). 题型02 正、余弦函数图象的识别 【典例1】（1）函数的部分图象可能是（  ） A． B． C． D． （2）若函数的图象如图，则的解析式可能为（  ） A． B． C． D． 函数图象的辨识可从以下方面入手： (1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． (2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势； (3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性； (4)从函数的特征点，排除不合要求的图象. 【变式1】对应的图象是（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数在区间上的图象大致为（  ） A． B． C． D． 【变式3】函数图像可能是（  ） A．   B．   C．   D．   【变式4】函数，的图象大致为（  ） A． B． C． D． 题型03 含绝对值的正、余弦函数 【典例1】（多选）已知函数，则（  ） A．是偶函数 B．的最小正周期为 C．在区间上单调递减 D．对任意 含绝对值的正、余弦函数的常规处理： （1）分类讨论解决绝对值问题；（2）借助正、余弦函数的图像分析问题。 【变式1】若函数的图象上存在两个不同点A，B关于原点对称，则称A，B为函数的一对友好点，记作，规定和是同一对友好点．已知，则函数的友好点共有（  ） A．3对 B．5对 C．7对 D．14对 【变式2】函数在区间内的零点个数是 . 题型04 利用正、余弦函数的图像研究定义域、值域与最值 【典例1】（1）函数的定义域为（  ） A． B． C． D． （2）函数在上的值域为（  ） A． B． C． D． 三角函数是函数的特殊形式，一般方法也适用，但要结合三角函数本身的性质． 常见的三角函数求值域或最值的类型有以下几种： （1）形如的三角函数，令，根据题中的取值范围，求出的取值范围，再利用三角函数的单调性、有界性求出的最值（值域）． （2）形如的三角函数，可先设，将函数化为关于的二次函数，根据二次函数的单调性求值域（最值）． （3）对于形如（或）的函数的最值还要注意对的讨论． 【变式1】函数定义域为（  ） A． B． C． D． 【变式2】函数的最大值为（  ） A． B． C．2 D．1 【变式3】函数的值域为 . 题型05 利用正、余弦函数的图像解三角不等式 【典例1】利用正弦曲线，求满足<sin x≤的x的集合 借助三角函数的图象解（或）的方法： （1）作出直线，作出（或）的图象． （2）确定（或）的x值． （3）确定（或）的解集． 【变式1】在[0，2π]内，求不等式sin x<－的解集. 【变式2】在x∈(0，2π)上，满足cosx>sinx的x的取值范围是（  ） A. B. C. ∪ D. 【变式3】若0≤x≤2π，且|cosx－sinx|＝sinx－cosx，则x的取值范围是________． 题型06 与正、余弦函数有关的零点问题 【典例1】函数的图象与直线有且仅有两个不同的交点，则k的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】函数，的图象与直线（为常数）的交点可能有（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式2】已知函数，则在上的零点的个数为（  ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式3】函数的零点个数为（  ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【变式3】函数，关于函数的零点情况说法正确的是（  ） A．当取某些值时，无零点 B．当取某些值时，恰有1个零点 C．当取某些值时，恰有2个不同的零点 D．当取某些值时，恰有3个不同的零点. 题型07 正、余弦函数图像的其他应用 【典例1】（1）（多选）若函数f(x)＝2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y＝2围成一个封闭的平面图形，则下列说法中正确的是（  ） A. 当x∈时，y<0 B. f(0)＝1 C. f＝0 D. 阴影部分的面积为2π （2）已知函数 若，，互不相等，且，则的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【变式1】函数的图象与直线，及轴所围成的图形的面积是（  ） A． B． C． D． 【变式2】已知是上的偶函数，，当时，，则函数的零点个数是（  ） A．12 B．10 C．6 D．5 1．函数的图象是（  ） A．   B．   C．   D．   2．已知函数，若在区间内恰好有2025个零点，则n的取值为（  ） A．2025 B．1012 C．1350 D．1348 3．已知的部分图象如右图，则可能的解析式为（  ） A． B． C． D． 4．我国著名数学家华罗庚说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”函数的部分图象大致为（  ） A． B． C． D． 5．关于函数f(x)＝1＋cosx，x∈(，2π]的图象与直线y＝t(t为常数)的交点情况，下列说法中正确的是（  ） A. 当t<0或t≥2，有0个交点 B. 当t＝0或<t<2时，有1个交点 C. 当0<t≤，有2个交点 D. 当0<t<2时，有2个交点 6．方程的解的个数为（  ） A．1 B．3 C．4 D．5 7．（多选）函数的图象中与y轴最近的最高点的坐标为（  ） A． B． C． D． 8．（多选）关于函数，下列说法不正确的是（  ） A．的一个周期是 B．的最小值为2 C．的图像关于y轴对称 D．的图像关于直线对称 9．（多选）对于函数，下列说法正确的是（  ） A.该函数的最小值为； B.该函数是以为最小正周期的周期函数； C.当且仅当（）时，该函数取得最大值； D.当且仅当（）时，． 10．已知函数满足性质：(1)在定义域上有；(2)，恒有，则函数可能为____________ ① ② ③ ④ 11．在[0，2π]内，不等式sinx<－的解集是________． 12．已知表示不超过的最大整数，如：，，则函数在区间上的零点个数为__________个 13．利用“五点法”作出下列函数的简图． (1) y＝2sinx－1(0≤x≤2π)； (2) y＝－1－cosx(0≤x≤2π)． 14．已知函数f(x)＝ (1) 作出该函数的图象； (2) 若f(x)＝，求x的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $