8.2 函数与数学模型【十大考点+十大题型】讲义-2025-2026学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版必修第一册）

本高中数学讲义聚焦函数与数学模型核心知识点，系统梳理一次函数、二次函数、指数型、对数型等六大函数模型的解析式，构建从函数概念到模型应用的学习支架，涵盖审题、建模、求模、还原四步解决实际问题的完整过程。 资料以丰富现实情境例题为特色，如二次函数求利润最值、分段函数解决游戏防沉迷系统，培养学生用数学眼光观察现实世界，通过建模过程训练数学思维，用函数语言表达实际关系，课中助力分层教学，课后达标检测帮助学生查漏补缺。

8.2 函数与数学模型 【知识梳理】 【考点梳理】 知识点一：函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二：应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【题型归纳】 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 【例1】．（25-26高一上·湖南·月考）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·全国·期中）某商场若将进货单价为8元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少件.那么要保证每天所赚的利润在元以上，销售价每件应定为（    ） A．元 B．元 C．元到元之间 D．元到元之间 【变式2】．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 题型二：分段函数模型 【例4】．（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【变式1】．（25-26高一上·云南·月考）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【变式2】．（25-26高一上·山东枣庄·月考）某高科技公司计划投资生产某款设备.经过调研得知，初期需投入固定成本100万元，除此之外，生产台该款设备需另投入成本万元，且其中.已知每台设备的售价为50万元，且生产的设备均能全部售出. (1)求公司生产该款设备的利润（万元）关于产量的函数关系式； (2)生产多少台该款设备，能给公司带来最大利润? 题型三：分式型函数模型 【例3】．（25-26高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）安徽省博物馆是安徽省唯一一家集自然、历史、社教为一体的省级综合类博物馆．博物馆配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量）．如果前4个小时消除了64%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（   ） A．78.4% B．88.4% C．96.0% D．98.0% 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 题型四：指数函数模型 【例4】．（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【变式1】．（25-26高一上·广东江门·月考）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 【变式2】．（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 题型五：对数函数模型 【例5】．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【变式1】．（23-24高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【变式2】．（21-22高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 题型六：幂函数模型 【例6】．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【变式1】．（25-26高一上·北京·月考）某企业准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的成品的销售价格定为元/件． (1)求此批产品利润的表达式（用表示）；（利润=销售额成本推广促销费） (2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【变式2】．（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 题型七：给定函数模型求解 【例7】．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）2025年截至10月下旬，榕江县接待游客964.71万人次，旅游综合收入达104.04亿元．当地某旅游公司计划在2026年开发新的旅游项目，需要全年投入固定成本300万元，若该项目在2026年有游客万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目每张门票的售价为50元，当地政府为鼓励企业更好地发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2026年该项目的利润（单位：万元）关于游客人数（单位：万人）的函数关系式（利润=收入成本）． (2)当2026年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【变式1】．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【变式2】．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏苏州·月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（   ） （参考数据：，） A．690年 B．700年 C．710年 D．720年 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知某种垃圾的分解率y与时间t（月）近似满足关系（其中），经过24个月，这种垃圾的分解率为20％，经过48个月，这种垃圾的分解率为40％，则这种垃圾完全分解大约需要经过（   ）个月．（参考数据：）（   ） A．80 B．90 C．100 D．120 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，······，如果分裂一次需要，则1个细胞分裂成64个细胞需要的时间是（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．120小时 B．144小时 C．168小时 D．180小时 6．（25-26高一上·江苏南京·期中）牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 二、多选题 8．（2024·河南郑州·一模）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 9．（23-24高一上·江苏苏州·月考）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关．当每月投入的研发经费不高于万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是（    ） A．投入万元研发经费可以获得最大利润率 B．要再投入万元研发经费才能获得最大月利润 C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费万元 D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费万元 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A．且 B．在10℃的保鲜时间是60小时 C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃ D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时 11．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 12．（23-24高一上·吉林长春·月考）设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏盐城·月考）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 . 14．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 15．（24-25高一上·江苏·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 16．（23-24高一上·江苏南通·月考）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待 分钟. （参考数据：.） 四、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）2025年第15届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地举行，吸引了约1.5万名运动员参与决赛阶段比赛，全运会是国内规模最大、水平最高的综合体育盛会，核心意义在于推动全民健身普及，我校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择： 模型1： 模型2： 模型3： (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于4分，求该学生每天至少需要锻炼的时间. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 20．（25-26高一上·江苏苏州·月考）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额（单位：万元）是销售利润（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：A.；B.；C. (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②当销售利润为20万元时，总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 21．（25-26高一上·江苏扬州·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 22．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 23．（25-26高一上·江苏南京·期中）2025年7月，西藏林芝，雅鲁藏布江下游水电工程正式开工.“雅下工程”主要采取截弯取直、隧洞引水的开发方式，建设5座梯级电站，利用雅鲁藏布江丰富的水能资源，带动周边太阳能、风能资源开发，建设水风光互补的清洁能源基地，为加快构建新发展格局、推动高质量发展发挥积极作用. 某单位在设计矩形断面无盖导流明渠的过程中，依据相关规范，给出渠体材料的设计参数如下： 项目 数值 规范 总容积 按导流总量1.2亿立方米的0.005%预留 深度 4m 满足最大流速的抗冲刷要求 渠底、渠壁材料 防渗、抗冻型混凝土 设渠底长为米，宽为米，总造价为元. (1)求此方案下，总造价最低时导流明渠的尺寸； (2)若某新材料方案综合报价为（元），试确定的最大值，使新方案能在渠体设计中具备竞争力（即存在，，使得）. 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 8.2 函数与数学模型 【知识梳理】 【考点梳理】 知识点一：函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 反比例函数模型 f(x)＝＋b(k，b为常数且k≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 指数型函数模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 对数型函数模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，b≠0，a>0且a≠1) 幂函数型模型 f(x)＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) 知识点二：应用函数模型解决问题的基本过程 1．审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2．建模——将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数学模型； 3．求模——求解数学模型，得出数学模型； 4．还原——将数学结论还原为实际问题． 【题型归纳】 题型一：利用二次函数模型解决实际问题 【例1】．（25-26高一上·湖南·月考）如图，在一块等腰三角形空地中欲建一个内接矩形花园（阴影部分），已知，，则内接矩形花园面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设，矩形的面积为．取的中点，连接，交于． 因为，所以，，则． 易知，则，则， 则AI＝，所以， 所以， 当时，取得最大值，且最大值为96，故内接矩形花园面积的最大值为． 故选： 【变式1】．（25-26高一上·全国·期中）某商场若将进货单价为8元的商品按每件元出售，每天可销售件，现准备采用提高售价来增加利润，已知这种商品每件销售价提高1元，销售量就要减少件.那么要保证每天所赚的利润在元以上，销售价每件应定为（    ） A．元 B．元 C．元到元之间 D．元到元之间 【答案】C 【分析】根据题意可得利润的函数解析式，再解一元二次不等式可得. 【详解】设销售价定为每件元，利润为，则， 依题意，得，即，解得， 所以每件销售价应定为12元到16元之间. 故选：C. 【变式2】．（24-25高一上·浙江绍兴·期中）某灯具商店销售一种节能灯，每件进价8元，每月销售量y（单位：件）与销售价格x（单位：元）之间满足如下关系式：（且），则灯具商店每月的最大利润为（   ） A．2560元 B．3496元 C．3520元 D．3528元 【答案】D 【分析】设灯具商店每月的利润为，则，根据二次函数的性质求最大值即可. 【详解】设灯具商店每月的利润为， 则 ， 故当时，的最大值为3528， 所以灯具商店每月的最大利润为3528元. 故选:D. 题型二：分段函数模型 【例4】．（25-26高一上·河北承德·期中）某游戏厂商对新出品的一款游戏设定了“防沉迷系统”．设游玩时间为，规则如下：①当的时间为健康时间，玩家在这段时间内获得的累计经验值（单位：EXP）与游玩时间（单位：）满足关系式：；②当时时间为疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0（即累计经验值不变）；③当的时间为不健康时间，累计经验值开始损失，损失的经验值与不健康时长成正比例关系，正比例系数为50． (1)写出与的函数关系式； (2)该游戏厂商把与的比值称为“玩家愉悦指数”，记为，当时，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由题意得，当时，；因为， 所以当时，； 当时，； 综上， （2）由题意， 当时，，当且仅当，即时，等号成立， 即当时，取得最小值26； 当时，，随着的增大，减小， 所以当时，取得最小值，最小值为． 因为，所以当游玩时间为时，取到最小值，为 【变式1】．（25-26高一上·云南·月考）某公司生产某种机器的固定成本为10000元，每生产一台机器需增加投入100元，已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：台）满足函数： (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】(1) (2)300台，最大利润为20000元 【分析】（1）根据固定成本、生产一台机器需投入的费用，结合利润的计算方式进行求解即可； （2）利用二次函数的单调性分类讨论进行求解即可. 【详解】（1）由题可知， 化简，得 （2）当时，， 所以当时，取最大值10000； 当时，在上单调递减， 所以， 故当时，取最大值20000， 即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润为20000元． 【变式2】．（25-26高一上·山东枣庄·月考）某高科技公司计划投资生产某款设备.经过调研得知，初期需投入固定成本100万元，除此之外，生产台该款设备需另投入成本万元，且其中.已知每台设备的售价为50万元，且生产的设备均能全部售出. (1)求公司生产该款设备的利润（万元）关于产量的函数关系式； (2)生产多少台该款设备，能给公司带来最大利润? 【答案】(1)，其中 (2)18 【分析】（1）根据投入成本函数分段计算利润函数，再表示成分段函数即可； （2）利用基本不等式和二次函数的性质，对利润函数分段计算最值，比较即得最大利润. 【详解】（1）当时， ； 当时， ； 所以，其中. （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是125万元； 当时， ， 当且仅当时，即时，利润最大，此时利润是140万元. 因为，所以当生产18台该款设备时，利润最大，是140万元. 题型三：分式型函数模型 【例3】．（25-26高一上·河北承德·期中）牛顿冷却定律是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：．已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过20分钟温度降至，则欲温度降至，大约还需要（   ） A．40分钟 B．30分钟 C．20分钟 D．10分钟 【答案】D 【分析】先将，代入题设求出，设再经过分钟温度可由降为，将数据代入题设关系式即可求解. 【详解】由题，， 当，，由得， 则，所以． 设再经过分钟，温度可由降为，即， 即，即. 故选：D． 【变式1】．（25-26高一上·安徽合肥·期中）安徽省博物馆是安徽省唯一一家集自然、历史、社教为一体的省级综合类博物馆．博物馆配备了先进的污水、雨水过滤系统，已知过滤过程中废水的污染物数量与时间的关系为为最初污染物数量）．如果前4个小时消除了64%的污染物，那么前6个小时消除了污染物的（   ） A．78.4% B．88.4% C．96.0% D．98.0% 【答案】A 【分析】由题意通过，求得，进而可求解. 【详解】由前4个小时消除了64%的污染物， 可得，解得， 则经过6个小时，废水的污染物数量， 所以消除了污染物的 故选：A． 【变式2】．（25-26高一上·北京·月考）随着新一代人工智能技术的快速发展和突破，以深度学习计算模式为主的AI算力需求呈指数级增长，现有一台计算机每秒能进行次运算，用它处理一段自然语言的翻译，需要进行次运算，那么处理这段自然语言的翻译所需时间约为（   ）（参考数据：，） A．秒 B．秒 C．秒 D．秒 【答案】C 【分析】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒，得到，结合指数幂与对数的运算法则，即可求解. 【详解】设处理这段自然语言的翻译所需时间为秒， 由题意得， 两边同时取对数，得，即， 即， 所以秒. 故选：C. 题型四：指数函数模型 【例4】．（25-26高一上·广东东莞·期中）近年来，“北斗”指路、“天宫”览胜、“墨子”传信、“嫦娥”问月，中国航天硕果累累，令国人倍感自豪.这些航天器的发射中，都遵循“理想速度方程”：，其中是理想速度（单位：），是燃料燃烧时产生的喷气速度（单位：），是火箭起飞时的燃料与火箭质量的总和（单位：），是火箭自身的质量（单位：）.小婷同学所在社团向有关部门申请，准备制作一个试验火箭，得到批准后，她们利用某民用燃料燃烧时产生的喷气速度为，火箭自身的质量为，火箭起飞时燃料的质量为，在不计空气阻力等因素影响的理想状态下发射，该试验火箭的理想速度大约为（    ）（，） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由已知得出，，，代入等式计算即可. 【详解】由题意可得，，， 所以该试验火箭的理想速度为 . 故选：A. 【变式1】．（25-26高一上·广东江门·月考）2025年4月24日17时17分，搭载神舟二十号载人飞船的长征二号F遥二十运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射，神舟二十号载人飞船进入预定轨道，发射取得圆满成功．假设在某次火箭发射任务中，在不考虑空气阻力的条件下，若火箭的最大速度（单位：）、燃料的质量（单位：kg）和火箭（除燃料外）的质量（单位：kg）的函数关系式为，则当火箭的最大速度为时，燃料质量与火箭（除燃料外）质量的比值约为（    ）（参考数据：） A．134 B．269 C．539 D．540 【答案】B 【分析】将函数值代入求解即可. 【详解】由题意可得，则． 故选：B. 【变式2】．（24-25高一上·北京·期中）在信息通信技术领域中，香农公式是广泛公认的理论基础和研究依据，它表示在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率取决于信道带宽，信道内信号的平均功率，信道内部的高斯噪声功率的大小，其中称为信噪比．以下有关于香农公式的个命题，其中正确的是（    ） ①若将视为常数，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢； ②令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍； ③由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到，则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约．（取） A．①② B．①②③ C．①③ D．① 【答案】A 【分析】利用对数函数的单调性与增长速度可判断①；利用对数的运算性质可判断②③. 【详解】对于①，因为对数函数为增函数，且， 由对数函数的单调性可知，则随信噪比增大而逐渐增大，且增长速度越来越慢，①对； 对于②，由， 即令保持不变，信噪比从增大到，可以使增大为原来的倍，②对； 对于③，由 ， 由于技术提升，信道带宽变为原来的倍，信噪比从原来的提升到， 则提升后的最大信息传递速率比提升前增大了约，③错. 故选：A. 题型五：对数函数模型 【例5】．（25-26高一上·广东揭阳·期中）在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比．若气体在半径为的管道中，流量为，气体在半径为的管道中，流量大于且小于，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，当，时，求出的值，再由可求出的取值范围. 【详解】根据题意，设，由题意可得，解得，故， 当时，，解得， 故选：D. 【变式1】．（23-24高一上·广东深圳·期末）科学家很早就提出关于深度睡眠问题，随着现代生活节奏的加快，睡眠成了严重影响生活的问题．经研究，睡眠中恒温动物的脉搏率f（单位：心跳次数）与体重W（单位：Kg）的次方成反比．若A、B为两个睡眠中的恒温动物，A的体重为2Kg、脉搏率为210次，B的脉搏率是70次，则B的体重为（    ） A．6Kg B．8Kg C．18Kg D．54Kg 【答案】D 【分析】根据给定信息求出关系式，再代入计算即得. 【详解】依题意，设，由，得，则， 当时， ，所以． 故选：D 【变式2】．（21-22高一上·青海西宁·期末）为了预防信息泄露，保证信息的安全传输，在传输过程中都需要对文件加密，有一种加密密钥密码系统，其加密、解密原理为：发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明文．现在加密密钥为，如“4”通过加密后得到密文“2”，若接受方接到密文“”，则解密后得到的明文是（    ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据题意中给出的解密密钥为，利用其加密、解密原理， 求出的值，解方程即可求解. 【详解】由题可知加密密钥为， 由已知可得，当时，， 所以，解得， 故，显然令，即， 解得，即． 故选：A. 题型六：幂函数模型 【例6】．（25-26高一上·广东深圳·期中）某科技企业为增加产能，第1年年初投入560万元购买了一台新设备，并立即进行生产，预计使用该设备前年的材料费、维修费、人工工资等共万元，该台设备可使该企业每年的销售收入为360万元，设使用该设备前年的总盈利额为万元. (1)写出关于的函数关系式，并计算该设备从第几年开始使企业盈利； (2)若第3年年初企业再投入560万元购买了一台该设备，该设备使用第年与第1台设备使用第年的材料费、维修费、人工工资等一样，且该台设备同样可使该企业每年的销售收入为360万元，若，求这两台设备的年平均盈利额最大时的值. 【答案】(1)，从第3年开始盈利 (2)7 【分析】（1）根据利润=销售收入-总成本求出，再解一元二次不等式可得答案； （2）先求出前年的总盈利再求出，结合双勾函数的性质即可得结果. 【详解】（1）由题意得， 令，得，而， 所以该设备从第3年开始使企业盈利. （2）当时，第 1 台设备使用了年，第 2 台设备使用了年， 前年的总盈利为 ， 则年平均盈利额， 由双勾函数的性质可得在上单调递增，在上单调递减， 当时，，当时，，而， 所以当时，取得最大值， 这两台设备的年平均盈利额最大时. 【变式1】．（25-26高一上·北京·月考）某企业准备投入资金将当地农产品二次加工后进行推广促销，预计该批产品销售量Q万件（生产量与销售量相等）与推广促销费万元之间的函数关系为（其中推广促销费不能超过3万元）．已知加工此批农产品还要投入成本万元（不包含推广促销费用），若加工后的成品的销售价格定为元/件． (1)求此批产品利润的表达式（用表示）；（利润=销售额成本推广促销费） (2)当推广促销费投入多少万元时，此批产品的利润最大？最大利润为多少？ 【答案】(1) (2)当推广促销费投入万元时，最大利润为万元 【分析】（1）根据利润的定义表示出利润即可，注意定义域； （2）利用基本不等式求解出利润的最大值并确定出推广促销费用. 【详解】（1）设此批产品利润为万元， 所以，； （2）因为， 当且仅当，即时取等号， 故当推广促销费投入万元时，此批产品的利润最大，最大利润为万元. 【变式2】．（24-25高一上·云南曲靖·期末）在一座历史悠久、文化绚烂的古城中，有一家声名远扬的传统工艺工厂，此手工艺品蕴含着丰富的文化内涵，制作工艺精细复杂，该厂近期接到一份制作传统手工艺品的重要订单.已知生产该手工艺品的固定成本为8万元.每生产x万件，额外投入成本万元，且这款手工艺品在市场上广受欢迎，出厂单价统一为15元.但由于市场需求和工艺限制，预估市场需求量最多为20万件.问题： (1)当工厂生产4万件时，求工厂的利润（利润=销售收入-总成本）. (2)要使工厂利润最大，应生产多少万件？并求出最大利润. 【答案】(1)36万元； (2)9万件，72万元； 【分析】（1）将，代入求解； （2）根据利润为，分和，分别求得最大值，再取最大的求解. 【详解】（1）设利润为万元， 当工厂生产4万件时，， 则工厂利润为：万元； （2）当时， ， 当时， ； 当时， ， ， 当且仅当 ，即时，等号成立，， 综上：要使工厂利润最大，应生产9万件，最大利润72万元. 题型七：给定函数模型求解 【例7】．（25-26高一上·贵州黔东南·月考）2025年截至10月下旬，榕江县接待游客964.71万人次，旅游综合收入达104.04亿元．当地某旅游公司计划在2026年开发新的旅游项目，需要全年投入固定成本300万元，若该项目在2026年有游客万人，则需另投入成本万元，且，该游玩项目每张门票的售价为50元，当地政府为鼓励企业更好地发展，每年给该游玩项目财政补贴10x万元． (1)求2026年该项目的利润（单位：万元）关于游客人数（单位：万人）的函数关系式（利润=收入成本）． (2)当2026年的游客人数为多少时，该项目所获利润最大？最大利润是多少？ 【答案】(1)；(2)30万，最大利润为205万元. 【详解】（1）该项目的门票收入为万元，财政补贴收入为万元，共万元收入， 则利润 化简得. （2）①当时，单调递增， ； ②当时，对应二次函数的图象开口向下，对称轴为， 则； ③当时，， 当且仅当，即时，等号成立， ． 综上，当年的游客人数为万时，利润最大，最大利润为万元． 【变式1】．（25-26高一上·重庆·月考）2025年10月29日，成都龙泉驿区汽车推出新款新能源车型，这彰显了我国新能源汽车的蓬勃发展．如今中国已经成为全球最大的新能源汽车消费市场，并且建成了高效的协同产业体系．某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，每生产（千辆）该型车辆，扣除制造车辆的成本后获利（万元），关系如下：，该公司预计2025年全年其他成本总投入为万元．由市场调研知，该种车销路畅通，供不应求．记2025年的全年利润为（单位：万元）． (1)求函数的解析式； (2)当2025年产量为多少千辆时，该企业利润最大？最大利润是多少？请说明理由． 【答案】(1); (2)4千辆时取得最大值30万元. 【详解】（1）由函数，得 ; （2）当时，，在处取最大值，（万元）； 当时，（万元），当且仅当（千辆）时取等号，而，所以在千辆时取得最大值30万元. 【变式2】．（25-26高一上·广东深圳·月考）中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种普洱茶用95℃的水冲泡，等茶水温度降至60℃饮用，口感最佳．某科学兴趣小组为探究在室温条件下，刚泡好的茶水达到最佳饮用口感的放置时间，每隔1分钟测量一次茶水温度，得到茶水温度y（单位：℃）与时间（单位：分钟）的部分数据如下表所示： 时间/分钟 0 1 2 3 4 5 水温/℃ 95.00 88.00 81.70 76.03 70.93 66.33 (1)给出下列三种函数模型：①，②，③，请根据上表中的数据，选出你认为最符合实际的函数模型，并利用前2分钟的3组数据求出相应的解析式． (2)根据（1）中所求模型， （ⅰ）请推测实验室室温（注：茶水温度接近室温时，将趋于稳定）； （ⅱ）求刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间． （参考数据：lg3≈0.48，lg5≈0.7） 【答案】(1)选模型②，理由见解析，解析式为 (2)（i）实验室室温为，（ii）刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【详解】（1）由表格数据可知，函数单调递减且递减速度逐渐变慢， 模型③为单调递增的函数，不符合， 模型①为直线型，不符合递减速度逐渐变慢， 故模型①③不符合，选模型②，则，解得，所以； （2）（i）因为当趋于无穷大时，无限接近于， 所以推测实验室室温为； （ii）令，则， 所以， 即刚泡好的普洱茶达到最佳饮用口感的放置时间为． 【高分达标】 一、单选题 1．（25-26高一上·江苏苏州·月考）尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究已经对地震有所了解，地震时释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为．2008年5月12日我国汶川发生里氏级地震，它所释放出来的能量大约是2025年12月4日15时44分新疆克州阿合奇县发生里氏级地震所释放能量的多少倍（   ） A． B． C．1000 D．3165 【答案】C 【分析】分别设里氏级地震和里氏级地震所释放出来的能量为和，通过给定的式子求出和，再求比值可得答案. 【详解】设里氏级地震所释放出来的能量为，里氏级地震所释放出来的能量为， 则，所以， ，所以， 所以． 故选：C 2．（25-26高一上·江苏扬州·月考）已知某放射性物质的质量随时间（单位：年）的衰变规律满足（表示原有的某种物质的质量）.经过测定，学堂梁子遗址中某件石制品化石样本中的某种物质的质量约是原来的倍，据此推测该石制品生产的时间距今约（   ） （参考数据：，） A．690年 B．700年 C．710年 D．720年 【答案】B 【分析】根据题意，得到，即，结合对数的运算公式，得到，代入参考数值，即可求解. 【详解】由题意知，某放射性物质的质量随时间的衰变规律满足， 要使得某放射性物质的质量是原来的倍，可得，即， 两边取自然对数，可得，可得， 所以年. 故选：B. 3．（25-26高一上·江苏苏州·月考）已知某种垃圾的分解率y与时间t（月）近似满足关系（其中），经过24个月，这种垃圾的分解率为20％，经过48个月，这种垃圾的分解率为40％，则这种垃圾完全分解大约需要经过（   ）个月．（参考数据：）（   ） A．80 B．90 C．100 D．120 【答案】A 【分析】根据题意，列出方程组，求得，得到，令，可得，结合对数的运算公式，即可求解. 【详解】由某种垃圾的分解率y与时间t（月）近似满足关系， 因为经过24个月，这种垃圾的分解率为20％，经过48个月，这种垃圾的分解率为40％， 可得，解得，所以， 令，可得，即，两边取对数， 可得，解得. 故选：A. 4．（25-26高一上·江苏扬州·期中）某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，······，如果分裂一次需要，则1个细胞分裂成64个细胞需要的时间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先找出细胞分裂个数与分裂次数之间的关系，根据已知条件计算出分裂成指定个数细胞所用的时间即可. 【详解】由题意得，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个，······，细胞个数与分裂次数的关系为， 当细胞个数时，得，解得，即细胞分裂成个细胞需要分裂次， 又分裂一次需要，则1个细胞分裂成64个细胞需要的时间为. 故选：. 5．（25-26高一上·江苏无锡·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储藏温度x（单位：）满足函数关系（为自然对数的底数，为常数）．若该食品在的保鲜时间是60小时，在的保鲜时间是15小时，则该食品在的保鲜时间是（   ） A．120小时 B．144小时 C．168小时 D．180小时 【答案】A 【分析】利用给定函数模型结合指数的运算计算即可. 【详解】由题意可知，作商得，所以， 则. 故选：A 6．（25-26高一上·江苏南京·期中）牛顿冷却定律（Newton’s law of cooling）是牛顿在1701年用实验确定的：物体在空气中冷却，如果物体的初始温度为，环境温度为，则分钟后物体的温度（单位：）满足：.已知环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降至，那么大约再经过（    ）分钟，温度降至. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定函数模型代入值，化简可得，进而可得解. 【详解】由已知， 又环境温度为，一块面包从温度为的烤箱里拿出，经过分钟温度降为， 即，，，， 代入可知，则， 设再经过分钟，温度可由降为， 即， 即，即， 故选：B. 7．（25-26高一上·浙江杭州·期中）某车企生产型汽车，每年需要固定投入100万元，此外每生产辆型汽车另需增加投资万元，当该款汽车年产量低于400辆时，，当年生产量不低于400辆时，，若该款汽车售价为每辆15万元，且生产的汽车均能售完，则该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为（    ） A．2000万元 B．2100万元 C．2200万元 D．2300万元 【答案】C 【分析】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为，得出函数的解析式，结合二次函数的性质，以及基本不等式，求得函数的最大值，即可求解． 【详解】设该工厂生产并销售这款新能源汽车的年利润为（万元）， 由题意可得， 即， 当时，函数的对称轴为，则； 当时，， 当且仅当，即时，取得最大值， 因为，所以生产辆时该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元， 综上可得，该工厂生产并销售这款新能源汽车的最高年利润为万元． 故选：C． 二、多选题 8．（2024·河南郑州·一模）溶液酸碱度是通过来计量的．的计算公式为，其中表示溶液中氢离子的浓度，单位是摩尔/升．例如纯净水中氢离子的浓度为摩尔/升，则纯净水的是7．当时，溶液呈酸性，当时，溶液呈碱性，当（例如：纯净水）时，溶液呈中性．我国规定饮用水的值在之间，则下列选项正确的是（    ）（参考数据：取） A．若苏打水的是8，则苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升 B．若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则胃酸的是 C．若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的是 D．若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则该种水适合饮用 【答案】ABC 【分析】利用的计算公式可得A正确，将溶液中氢离子的浓度代入计算式利用参考数据可分别求得选项BCD的值，可得结论. 【详解】对于A，若苏打水的是8，即，所以， 即苏打水中的氢离子浓度为摩尔/升，所以A正确； 对于B，若胃酸中氢离子的浓度为摩尔/升，则，即B正确； 对于C，若海水的氢离子浓度是纯净水的倍，则海水的氢离子浓度是， 因此，即海水的是，所以C正确； 对于D，若某种水中氢离子的浓度为摩尔/升，则； 而不在范围内，即可得该种水不适合饮用，即D错误； 故选：ABC 9．（23-24高一上·江苏苏州·月考）几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润（单位：万元）与每月投入的研发经费（单位：万元）有关．当每月投入的研发经费不高于万元时，，研发利润率．他们现在已投入研发经费万元，则下列判断正确的是（    ） A．投入万元研发经费可以获得最大利润率 B．要再投入万元研发经费才能获得最大月利润 C．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费万元 D．要想获得最大月利润，还需要再投入研发经费万元 【答案】BC 【分析】根据二次函数性质可判断最大月利润，再根据基本不等式可判断最大利润率. 【详解】由，所以当投入万元时，月利润最大，所以需再投入万元研发经费，B选项正确，D选项错误； 研发利润率， 又，当且仅当，即时，利润率最大，所以需再投入研发经费万元，可获得最大利润率，A选项错误，C选项正确； 故选：BC. 10．（23-24高一上·浙江宁波·期中）某食品的保鲜时间y（单位：小时）与储存温度x（单位：℃）满足函数关系（，k，b为常数）．若该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时，则（    ） A．且 B．在10℃的保鲜时间是60小时 C．要使得保鲜时间不少于15小时，则储存温度不低于30℃ D．在零下2℃的保鲜时间将超过150小时 【答案】AB 【分析】本题首先可根据题意得出是减函数，且，可判断出正确；根据及，可得，则可求得的值，判断出正确；解不等式得，则错误；当时，可求得，则错误. 【详解】因为该食品在0℃的保鲜时间是120小时，在20℃的保鲜时间是30小时， 易得是减函数，结合复合函数的单调性可知， 又，可知，所以正确； 又，即，故，， 则，故正确； 若，则，结合， 不等式化为，即，又，所以， 故错误； 当时，，故错误； 故选： 11．（23-24高一上·辽宁辽阳·期中）某商家为了提高一等品M的销售额，对一等品M进行分类销售．据统计，该商家有200件一等品M，产品单价为元．现计划将这200件一等品分为两类：精品和优品．其中优品x件（，），分类后精品的单价在原来的基础上增加2x%，优品的单价调整为元（），因市场需求旺盛，假设分类后精品与优品可以全部售完．若优品的单价不低于分类前一等品M的单价，且精品的总销售额不低于优品的总销售额，则n的值可能为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】BC 【详解】依题意，则， 由知：，且， 由知：在上恒成立， 因为在上递增，所以，即， 综上，，. 故选： BC 12．（23-24高一上·吉林长春·月考）设矩形的周长为，将沿向折叠，折过去后交于点.设，则下列结论正确的是（    ） A．的取值范围为 B．设，则与的关系是 C．的面积与的关系是 D．当的面积最大时，矩形的面积为 【答案】BCD 【分析】A.根据矩形的周长为，由求解判断；B. 易得，从而，再由化简求解判断；C.由 化简求解判断；D.由C选项的结论，再利用对勾函数的性质求解判断. 【详解】解：如图所示：    因为矩形的周长为， 所以，解得，故A错误； 由题意得， ， 所以，则， 又 ，则 ， 化简得，故B正确； ，故C正确； 令，由对勾函数的性质得，当时，取得最小值，此时取得最大值，，故D正确； 故选：BCD 三、填空题 13．（25-26高一上·江苏盐城·月考）国家速滑馆配备了先进的污水、雨水过滤系统.已知过滤过程中废水的污染物数量（单位：mg/L）与时间（单位：h）的关系为（为最初污染物数量）.如果前4h消除了20%的污染物，那么污染物消除至最初的64%还需要的时间为 . 【答案】4 【分析】先列出关于还需要过滤时间x小时的方程，解之即可求得还需要过滤时间为4小时. 【详解】根据题意有，，可得，即 设污染物消除至最初的还需要过滤x小时， 则，即 则，即， 则，解之得 故答案为：4. 14．（24-25高一上·四川成都·期末）声压级（单位：）与声压（单位：）的关系为，其中为人在空气中能听到的最低声压．已知飞机发动机声音的声压级比人正常说话声音的声压级大，则 ． 【答案】/ 【分析】利用对数的运算性质结合关系求即可. 【详解】由题设， 所以， 所以. 故答案为：. 15．（24-25高一上·江苏·月考）物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却规律来描述：设物体的初始温度是，经过一段时间后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期.现有一杯用热水冲的速溶咖啡，放在的房间中，如果咖啡降温到需要，那么降温到，需要的时长为 . 【答案】 【分析】根据题意得出函数关系，求出h，然后即可得出答案. 【详解】由题得， ，代入得，解得， 所以，当时，解得， 即降温到，需要的时长为. 故答案为：. 16．（23-24高一上·江苏南通·月考）牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体初始温度为，则经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足，其中是环境温度，为常数，现有一杯的热水用来泡茶，研究表明，此茶的最佳饮用口感会出现在.经测量室温为，茶水降至大约用时一分钟，那么为了获得最佳饮用口感，从泡茶开始大约需要等待 分钟. （参考数据：.） 【答案】6 【分析】根据已知条件求出参数的值，进而转化为解指数方程，利用对数的运算以及换底公式即可求出结果. 【详解】根据题意可知, 环境温度，初始温度， 经过一定时间（单位：分钟）后的温度满足 因为茶水降至大约用时一分钟，即， 所以，解得，则， 所以要使得该茶降至，即，则有，得， 故. 所以大约需要等待6分钟. 故答案为：6. 四、解答题 17．（25-26高一上·上海·期中）国内某知名玩偶公司出售一款2025年特别款纪念玩偶产品．某连锁特大商场购买此产品，需要固定投入300万元费用.假设购进该款产品全部售出，每件产品的最高售价为80元．若按最高售价销售，可售出15万件，且每降价1元，销量增加五千件．若购进该产品数量不超过30万件，则经销商按照每件30元成本收费，若购进30万件以上，则直接与玩偶公司合作，以全新方式进行销售，此时利润（万元）与销量（万件）的关系为 (1)当购进产品数量为10万件、25万件、40万件时，利润分别是多少？ (2)该连锁特大商场购进并销售产品多少万件时，利润最大？此时利润是多少？ 【答案】(1)万元，万元，万元 (2)当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元 【详解】（1）设利润为当时，； 当时，不妨设降价元，则，得到，所以；当时，，所以当， 当， 当． （2）由（1）知，当时，， 当时，利润最大，此时利润是450万元； 当时，， 当时，利润最大，此时利润是500万元； 当时，当时， ， 当且仅当，即时，利润最大，此时利润是810万元． 因为，所以当购进并销售产品40万件时，利润最大，此时利润是810万元． 18．（25-26高一上·江苏淮安·期中）2025年第15届全运会于11月9日至21日在粤港澳三地举行，吸引了约1.5万名运动员参与决赛阶段比赛，全运会是国内规模最大、水平最高的综合体育盛会，核心意义在于推动全民健身普及，我校鼓励学生利用课余时间积极参加体育锻炼，学生每天能用于锻炼的课余时间有60分钟，现需要制定一个课余锻炼考核评分标准，建立一个学生每天得分（单位：分）与当天锻炼时间（单位：分钟）的函数关系.满足的条件如下： ①函数是区间上的增函数；②每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分； ③每天运动时间为10分钟时，当天得分为2分；④每天运动时间为30分钟时，当天得分不超过5分. 现有以下三个函数模型供选择： 模型1： 模型2： 模型3： (1)请你根据条件从中选择一个合适的函数模型（说明理由），并求出函数的解析式； (2)若每位学生每天得分不少于4分，求该学生每天至少需要锻炼的时间. 【答案】(1)模型2；理由见解析； (2)30分钟 【详解】（1）解：验证三个函数模型的约束条件： 模型1：由，将代入函数， 可得，解得，此时， 当时，可得，不符合题意； 模型3：由，将代入函数， 可得 解得，此时， 当时，可得，不符合题意； 模型2：由， 将代入函数，可得， 解得，此时， 当时，可得，符合题意， 所以函数的解析式为. （2）解：由（1）知：函数的解析式为， 因为每位学生每天得分不少于4分，可得， 即，可得，即，解得， 所以该学生每天至少需要锻炼30分钟. 19．（25-26高一上·江苏苏州·期中）某公司生产某种产品的固定成本为20000元，每生产一件产品需增加投入100元.已知总收入（单位：元）关于月产量（单位：件）满足函数：，总收入=利润+总成本. (1)将利润（单位：元）表示为月产量的函数； (2)在企业经营的财务分析中，产品的单位利润是一个重要指标，用来评估单个产品的盈利效率，以便控制成本，制定定价策略.试计算当月产量为何值时，产品的单位利润最大？最大单位利润为多少元？（单位利润=利润÷月产量） 【答案】(1) (2)当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 【详解】（1）依题设知，总成本为元， 则； （2）产品的单位利润 当时，， 当且仅当即时，； 当时，是减函数，所以. 所以当月产量为200件时，产品的单位利润最大，最大单位利润为100元. 20．（25-26高一上·江苏苏州·月考）某公司为了提升销售利润，准备制定一个激励销售人员的奖励方案.公司规定奖励方案中的总奖金额（单位：万元）是销售利润（单位：万元）的函数，并且满足如下条件：①图象接近图示；②销售利润为0万元时，总奖金为0万元；③销售利润为30万元时，总奖金为3万元.现有以下三个函数模型供公司选择：A.；B.；C. (1)请你帮助该公司从中选择一个最合适的函数模型，并说明理由； (2)根据你在（1）中选择的函数模型，解决如下问题： ①如果总奖金不少于9万元，则至少应完成销售利润多少万元？ ②当销售利润为20万元时，总奖金能否超过销售利润的五分之一？ 【答案】(1)模型C，理由见解析； (2)①210万元；②不能超过. 【分析】（1）根据函数的图象性质，结合各模型函数的性质即可判断并选择. （2）①令，解对数不等式即得；②由①中函数，求出时的值，再借助对数函数单调性比较大小即得. 【详解】（1）模型A，，由，得随匀速增长，不符合图形特征； 模型B，，由，得随先慢后快增长，不符合图形特征； 模型C，，由，得随先快后慢增长，符合图形特征， 所以最合适的函数模型是模型C. （2）由销售利润x为0万元时，总奖金y为0万元，得，即， 由销售利润x为30万元时，总奖金y为3万元，得，即， 由，解得，因此， ①由总奖金不少于9万元，得，即， 整理得，即，解得， 所以至少应完成销售利润210万元. ②当时，， 销售利润的五分之一，即，因此当时，， 所以当销售利润为20万元时，总奖金不会超过销售利润的五分之一. 21．（25-26高一上·江苏扬州·期中）2025年被称为“智能体元年”，基于AI大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革.某科技AI研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分（满分100分）和有效训练时长（单位：百GPU小时）的关系分为两个阶段.通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系：；已知初始综合性能评分，且在处函数图象是连续不断的. (1)求常数和的值； (2)已知大模型的标准化训练效率定义为，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？ 【答案】(1)， (2)（百GPU小时）时，“天穹”模型的标准化训练效率最高. 【分析】（1）根据函数的初始值和连续性求出的值即可. （2）先求出不同的范围时的解析式，然后根据基本不等式的性质以及二次函数的性质分别求出不同的范围时的最大值，然后进行比较即可. 【详解】（1）因为， 又，所以. 所以当时， 又因为在处函数图象是连续不断的， 所以， 解得. （2）由（1）可得， 当时，， 此时. 因为，所以， 当且仅当时，即时等号成立， 此时，此时的最大值为； 当时，， 此时 ， 综上，当时，，此时“天穹”模型的标准化训练效率最高. 22．（25-26高一上·江苏宿迁·期中）如图，居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的面积为（四个阴影部分加中间小正方形）的十字形地域.计划在正方形上建一座花坛，造价为4200元/；在四个相同的矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为210元/；再在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为80元/.设总造价为（单位：元），长为（单位：m）. (1)试用表示的长，并求的取值范围； (2)求关于的函数关系式，当为何值时，最小？并求出这个最小值. 【答案】(1)； (2)，且时元. 【详解】（1）设，由两个相同的矩形和构成的面积为， 得，解得，由，得， 所以. （2）由（1）知，则， 矩形的面积为，正方形为， 所以 ，由及，得， 所以， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以当时，取得最小值118000元. 23．（25-26高一上·江苏南京·期中）2025年7月，西藏林芝，雅鲁藏布江下游水电工程正式开工.“雅下工程”主要采取截弯取直、隧洞引水的开发方式，建设5座梯级电站，利用雅鲁藏布江丰富的水能资源，带动周边太阳能、风能资源开发，建设水风光互补的清洁能源基地，为加快构建新发展格局、推动高质量发展发挥积极作用. 某单位在设计矩形断面无盖导流明渠的过程中，依据相关规范，给出渠体材料的设计参数如下： 项目 数值 规范 总容积 按导流总量1.2亿立方米的0.005%预留 深度 4m 满足最大流速的抗冲刷要求 渠底、渠壁材料 防渗、抗冻型混凝土 设渠底长为米，宽为米，总造价为元. (1)求此方案下，总造价最低时导流明渠的尺寸； (2)若某新材料方案综合报价为（元），试确定的最大值，使新方案能在渠体设计中具备竞争力（即存在，，使得）. 【答案】(1)时，总造价最小，为元； (2)15 【分析】（1）根据总体积得，又，利用基本不等式求最值； （2）根据题意得，设，得，则，令，求出有最大值即可. 【详解】（1）根据题意，渠底长为米，宽为米， 则总体积，即， 则总造价为， 因为，则， 当且仅当时，等号成立， 所以当时，总造价最小，为元； （2）新材料方案综合报价为， 存在，且，使得， 即， 整理得， 设，得，则， 令， 则， 当时，有最大值15，此时， 所以当时，的最大值为15. 2 学科网（北京）股份有限公司 $