重难点突破06 平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式（寒假预习讲义）高一数学沪教版

重难点突破06 平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：与模有关的数量积最值问题 一、必备知识 1.数量积核心公式：（为与的夹角，） 2.模的核心性质：；（三角不等式） 3.最值关联逻辑：当、为定值时，的最值由最值决定；当夹角固定时，最值由模的取值范围决定 二、必备解法 1.定模定角型：直接代入数量积公式，利用求最值.例：若，，则的最大值为，最小值为 2.定模变角型：抓住模为定值的条件，分析夹角的取值范围，再求的最值，代入公式计算.关键是通过图形或题意确定的边界 3.变模定角型：根据题意确定模的取值范围（如），结合固定夹角，将转化为关于模的一次或二次函数，利用函数单调性求最值 4.模长约束型：若存在（定值），可平方展开得，结合已知模的条件求解的范围 三、常见误区 1.忽略夹角的取值范围，直接用求最值，导致结果偏差.例：两向量夹角实际仅为，却错误代入计算最小值 2.误用三角不等式，未注意“同向”“反向”的取等条件，导致模的范围判断错误 3.忘记的转化技巧，面对模长平方类条件时无从下手 知识点2：与夹角有关的数量积最值问题 一、必备知识 1.夹角公式变形：，，且在上单调递减 2.数量积与夹角的关联：；； 3.最值逻辑：夹角最值对应最值，进而转化为数量积的最值；反之，数量积的范围可通过夹角公式反推夹角范围 二、必备解法 1.已知夹角范围求数量积最值：由得（因单调递减），结合、的定值或范围，代入数量积公式求最值 2.已知数量积范围求夹角最值：先确定的范围，即的范围，再利用的单调性反求的最值 3.含变量夹角的最值问题：设夹角为变量，将表示为的函数（），结合的实际约束范围（如几何图形中角的限制），利用三角函数单调性求最值 三、常见误区 1.混淆的单调性，错误认为增大时增大，导致夹角与数量积的对应关系颠倒 2.忽略（同向）和（反向）时的特殊情况，未验证这两个边界的数量积是否为最值 3.计算时，遗漏或的计算，直接用数量积代替，导致夹角范围判断错误 知识点3：基底法求解数量积的最值问题 一、必备知识 1.基底定义：选平面内两个不共线的向量、作为基底，平面内任意向量均可表示为（、为实数） 2.基底法核心：将所求数量积的两个向量均用基底表示，再利用数量积运算律展开，转化为关于基底数量积和系数的表达式 3.运算律支撑：； 二、必备解法 1.步骤1：选基底.优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等腰三角形的两腰、矩形的邻边等 2.步骤2：分解向量.将所求数量积的两个向量、分别用基底、表示，即， 3.步骤3：展开运算.计算 4.步骤4：求最值.若展开后含变量（如动点对应的系数），将表达式转化为关于变量的函数（一次、二次函数或三角函数），结合变量范围求最值 三、常见误区 1.基底选择不当，选了共线向量或模长、夹角未知的向量，导致后续运算无法推进 2.向量分解错误，遗漏系数或分解形式错误（如将错误表示为，实际应为） 3.展开数量积时，误用运算律，如错误认为，忽略的含角项 知识点4：坐标法求解数量积的最值问题 一、必备知识 1.坐标运算公式：若，，则； 2.坐标法核心：建立合适的平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，把数量积问题转化为代数运算问题（函数最值、不等式求解等） 3.建系原则：优先让更多向量的坐标简化（如让定点在坐标轴上、对称中心在原点等） 二、必备解法 1.步骤1：建坐标系.根据题意选择合适的坐标原点和坐标轴，常见技巧：①固定点（如线段端点、顶点）放在原点；②对称图形以对称轴为坐标轴；③水平、竖直方向为坐标轴 2.步骤2：求坐标.确定所有相关点的坐标，进而写出对应向量的坐标（动点坐标用变量表示，如、） 3.步骤3：算数量积.代入坐标运算公式，将表示为关于变量的代数函数（如） 4.步骤4：求最值.结合变量的取值范围（由几何图形或题意确定，如动点在线段上则坐标满足线性约束），利用函数单调性、二次函数配方法或不等式（如基本不等式）求最值 三、常见误区 1.坐标系建立不合理，导致向量坐标复杂，增加运算量且易出错 2.动点坐标的变量范围确定错误，如动点在圆上却未考虑圆的方程约束，导致函数定义域偏差 3.计算数量积时，混淆坐标运算公式，错误写成（与向量叉乘混淆） 知识点5：平面向量系数的最值问题 一、必备知识 1.核心模型：已知（、为系数，、为已知向量），结合的约束条件（如模长范围、与某向量垂直等），求、的最值或、的最值 2.关联工具：基底法、坐标法、不等式（基本不等式、柯西不等式）、函数思想 3.线性约束逻辑：若、不共线，中、唯一确定，约束条件可转化为关于、的方程或不等式 二、必备解法 1.基底法转化：将代入约束条件（如），展开后得到关于、的方程（如二次方程），结合几何意义（如圆上点的坐标范围）求系数最值 2.坐标法转化：建立坐标系，将、、转化为坐标，得到的坐标与、的关系式，结合约束条件列出、的不等式组，用线性规划或函数思想求最值 3.不等式法求解：若已知、、，可利用柯西不等式或基本不等式求系数和或积的最值 4.几何意义法：将、看作平面内的点，约束条件转化为点的轨迹（直线、圆、线段等），系数最值对应轨迹上点的横纵坐标或其组合的最值 三、常见误区 1.未明确、是否共线，直接套用唯一分解定理，导致系数关系错误（共线时、不唯一） 2.使用基本不等式或柯西不等式时，忽略等号成立的条件，导致最值无法取到 知识点6：数量积中的极化恒等式与最值问题 一、必备知识 1.极化恒等式核心公式：①平面内任意向量、，有；②若为线段的中点，则（三角形极化恒等式，为平面内任意点） 2.适用场景：涉及“向量数量积”与“中点”“线段长度”相关的最值问题，尤其适合解决动点到两定点的数量积最值 3.几何意义：的最值等价于的最值（因为定值），即动点到中点的距离最值 二、必备解法 1.通用型极化恒等式用法：当已知或的范围时，代入，将数量积转化为两个模长平方的差，再结合模长范围求最值 2.三角形型极化恒等式用法（核心）：①确定定点、，取中点，计算（定值）；②将转化为；③分析动点的轨迹，求的最值（最大值、最小值）；④代入转化式求的最值 3.特殊场景技巧：若动点在圆上，为定点，则的最值为圆心到的距离加减圆的半径；若动点在线段上，则的最值为到线段两端点的距离 三、常见误区 1.误用极化恒等式，将三角形型公式错误记为，符号颠倒导致结果错误 2.未正确识别适用场景，对不涉及“中点”“两定点”的数量积问题强行使用极化恒等式，增加解题难度 3.求最值时，忽略动点的轨迹约束（如仅在某条线段或圆弧上），错误取到轨迹外的距离值 4.忘记极化恒等式的推导前提（平面内任意向量），在空间向量中错误套用公式 【题型1 与模有关的数量积最值】 例1．起点重合，，则的取值范围为 【答案】 【分析】根据数量积公式，可得，根据求模公式，可得，根据题意，化简可得，根据，结合一元二次不等式的解法，即可得答案． 【详解】由题意， ，则， 因为， 所以， 所以， 所以， 因为，所以， 整理得且（恒成立）， 解得． 故答案为：． 例2．平面向量满足，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】建立平面直角坐标系，作，设，根据已知求得，然后代入向量的模长公式，结合二次函数性质可得. 【详解】因为，所以， 作，以为原点，分别为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，作，设， 则，， 因为，所以， 整理得：，则， 由二次函数性质可知，当时，取得最小值. 故选：C 变式1．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由可推导得到，结合可设，，利用向量坐标运算表示出，计算可得，可知当时，取得最小值，进而得到结果. 【详解】， ，则， ，两点在以为圆心，为半径的圆上， 设，由可取， ， ， 则当时，取得最小值，. 故选：C. 变式2．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据，求出，进而可以用向量表示出，即可解出． 【详解】因为，， 由平方可得，，所以． ，， 所以， ， 又，即， 所以，即， 故选：D. 【题型2 与夹角有关的数量积最值】 例1．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ． 【答案】/ 【分析】将两边同时平方得到，再利用向量夹角的余弦值公式，结合基本不等式即可求出最小值. 【详解】因为，两边平方得：， 即， 所以，当且仅当时等号成立， 所以向量与向量夹角的余弦值的最小值为． 故答案为：. 例2．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由两边平方，根据平面向量数量积的运算性质可得，然后由向量夹角公式求解． 【详解】因为均为单位向量，所以， 由，得， 则， 则，即， 则， 因为，所以. 则与的夹角的取值范围是. 故选：D. 变式1．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量数量积的运算性质，表示向量夹角的余弦，再结合二次函数的性质求最值. 【详解】不妨设等边的边长为1，则. , . 所以，则. 又因为， 所以，当时取等号. 所以. 故选：C 变式2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得以及，或，由此即可得解. 【详解】由，，若对任意模为2的向量，均有， 则， ， 平方得到，即，即， 同时， ，即， 平方得到，即，即， 综上，即， 向量的夹角的取值范围. 故选：B. 【题型3 基底法求数量积的最值】 例1．已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据三角形边角关系确定边上的高，由的面积可得的长度，不妨设点靠近点，得，设，则，从而根据平面向量基底运算结合数量积运算得关于的表达式，利用二次函数求解最值即可. 【详解】过作于， 因为满足，，， 所以， 则，所以， 不妨设点靠近点，则， 设，则， 所以， 因为， 则 因为，故当时，的最小值为. 故答案为：. 例2．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，由，，结合数量积的运算律即可求解. 【详解】设， 则， 由为的中点，得， 在菱形中，，， 所以，， 所以， 故选：D 变式1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则 ，若点是线段AB上的动点，则的最大值为 . 【答案】 / / 【分析】取定平面向量的一个基底，利用向量数量积的定义及运算律求解即得. 【详解】在中，由，得， 设，则，， ， 整理得，而，解得，又， 则，所以； 设，，， ，当且仅当时取等号，所以的最大值为. 故答案为：； 变式2．在中，，则 ；若，点E在线段BD上，则的最大值为 ． 【答案】 4 【分析】利用数量积的定义以及运算律运算可得，根据题意设，利用向量的线性运算结合数量积的运算律可得，利用二次函数性质可求得最大值. 【详解】    如图，， 则， 解得. 设，则,， 所以 , 因为，， 所以， 又因为，所以时，为最大值. 故答案为：. 【题型4 坐标法求数量积的最值】 例1．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为 【答案】/ 【分析】以的外心O为原点建系，设，根据坐标运算即可求出. 【详解】如图所示：为的外心，以O为原点，平行于的直线为轴建立平面直角坐标系， 因等边的高为，则， 因圆，则设， 则， 所以，所以当时，的最大值为. 故答案为： 例2．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系，设出点的坐标，写出各个点坐标，利用数量积的坐标运算，求解问题. 【详解】在中，由余弦定理，故为钝角； 又，故点在底边的高线上， 则以所在直线为轴，以其上的高线为轴建立平面直角坐标系如下所示：    又，则， 故，； 则，设，， 故，当且仅当时取得等号； 也即的最小值为. 故答案为：. 变式1．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 变式2．（24-25高三上·上海·月考）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设的坐标，由平面向量数量积的坐标和三角函数的有界性计算即可求得． 【详解】以的中点为坐标原点，所在直线为轴，的中垂线所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 因为等边的边长为6， 所以的内切圆圆心在上，半径， 则，，，，， 所以，， 所以， 所以当时，取得最小值． 故答案为：． 【题型5 平面向量系数的最值】 例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】以为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量数量积坐标运算可表示出，，根据大小关系可求得的取值范围. 【详解】以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图平面直角坐标系， 则，，，，， 为边上的点，，； ，，，， ，， ，，解得：， 又，，即的取值范围为. 故选：C. 例2．在中，已知，且，则 ；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为 ． 【答案】 2 / 【分析】根据给定条件，利用和角的正弦公式化简求得，再利用数量积运算律求得；利用共线向量定理的推论及基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】在中，， 则，而，于是，，即， 由，得，因此； 由，得，又点在线段上， 则，而， 因此 ， 当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为. 故答案为：2； 变式1．设为两个非零向量，所成的角，已知对任意，的最小值为，则 . 【答案】或. 【分析】令，，，根据向量减法及模的几何意义得即为线段AC的长度，数形结合得，即可求夹角. 【详解】令，，， 如下图所示，即为线段AC的长度，由对任意，的最小值为，即， 而，时，线段AC最短， 此时， 所以，又，故或.    故答案为：或. 变式2．在中，，若为其外心，满足 ，且，则的最大值为 . 【答案】1 【分析】根据数量积的定义结合正弦定理化简向量等式，可得，结合基本不等式求最大值. 【详解】如图： 若为的外心，则， 设点为线段的中点，设点为线段的中点， 则， 因为， ， 所以可化为： ， 所以， 由正弦定理可得，故 所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立. 所以的最大值为1. 故答案为：1 【题型6 极化恒等式与最值】 例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接、、、，则为的中点，利用平面向量数量积的运算性质得出，数形结合求出的最大值，即可得出的最大值. 【详解】如下图所示，连接、、、，则为的中点， 则，且，故是边长为的等边三角形， 易知，则 ， 当且仅当与正六边形的顶点重合时，取最大值. 故选：C. 例2．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】首先根据向量的运算将转化为，然后观察几何图形求得的最大值与最小值，进而求解的取值范围. 【详解】如图，在等边中，为的中点，连接，取的中点并连接. ， 由于，，得：，， 因此可得：， 如图易知：由于为三角形内一点（包括边界）， 因此当点与点重合时，取得最小值，最小值为， 当点与点或点重合时，取得最大值，最大值为， 综上可得：，即. 故答案为： 变式1．如图，在中，，，为上的动点，且，则的取值范围为 ．    【答案】 【分析】根据题意分别取的中点，由极化恒等式可得，分别讨论的最值情况，从而可求解. 【详解】如图，分别取的中点，则．    当点运动到点时取到最大值，此时， 由余弦定理解得， 此时， 当点都运动到的中点，即点与点重合时取到最小值，， 此时，所以． 故的取值范围为. 故答案为： 变式2．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律及向量数量积定义计算求解. 【详解】如图，取的中点，， 而，所以． 故答案为： 一、核心基础 1.数量积公式：（为与的夹角，） 2.模的关联：；（三角不等式） 3.运算律：分配律；展开律 二、题型模块（必备知识+核心解法+常见误区） 题型1：与模有关的数量积最值 必备知识：数量积公式、模的性质、三角不等式 核心解法： 定模定角：用直接求； 定模变角/变模：结合夹角/模的范围转化为函数最值； 模长约束：平方展开关联数量积 常见误区：忽略夹角范围、误用三角不等式取等条件 题型2：与夹角有关的数量积最值 必备知识：（在单调递减） 核心解法： 已知夹角范围→求范围→代入数量积公式； 已知数量积范围→反推范围→求夹角最值 常见误区：混淆单调性、遗漏特殊情况 题型3：基底法求数量积最值 必备知识：向量基底分解、数量积运算律 核心解法：选已知模/夹角的向量为基底→分解目标向量→展开数量积→转化为函数最值 常见误区：基底选择不当、向量分解错误、误用运算律 题型4：坐标法求数量积最值 必备知识：向量坐标运算（） 核心解法：建坐标系（简化向量坐标）→写向量坐标（动点用变量表示）→算数量积为代数函数→结合变量范围求最值 常见误区：建系不合理、动点范围错误、混淆坐标运算公式 题型5：平面向量系数的最值 必备知识：向量分解定理、线性约束逻辑 核心解法：基底/坐标法转化为系数方程→不等式法（柯西/基本不等式）→几何意义（轨迹上点的坐标最值） 常见误区：忽略向量共线性、不等式等号条件缺失、可行域判断错误 题型6：极化恒等式与最值 必备知识： 通用式：； 三角形式：（为中点） 核心解法：转化数量积为模长平方差→求动点到中点的距离最值 常见误区：公式符号错误、误用场景、忽略动点轨迹约束 一、填空题 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据题设条件，设出的坐标，利用坐标运算进行求解. 【详解】依题意，设，，， 则， 由，则，整理得， 显然，否则，，与已知矛盾， 故，可得， 由，即，故，解得， 故. 故答案为：. 2．（25-26高二上·上海·开学考试）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】利用向量数量积的运算律计算可得，根据向量数量积的定义可得，不等式两边取平方计算得，利用向量的模长公式结合数量积的运算律计算得，利用换元法计算可得其最小值. 【详解】由题意，， ， 设向量与向量的夹角为，则， ，， 则，即，，解得， ， 令，则， 设， 则， ， 的最小值为，即的最小值是. 故答案为：. 3．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 【答案】/ 【分析】利用平面向量数量积的运算性质求出、的值，再由并结合向量模的三角不等式可求得的最大值. 【详解】因为平面向量、、满足且，故， ， 因为，则，即，即， 所以， 当且仅当与方向相反时，等号成立， 故的最大值为. 故答案为：. 4．（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 【答案】 【分析】由题可设，结合已知条件求得及，再结合向量夹角的坐标表示即可求解. 【详解】由题可设， 则， 所以， 两式相减可得：， 再代入第一个式子，可得：， 设向量与向量夹角为， 则， 易知对于表达式，当，即取得最大值， 此时取得最大值， 所以，当时，取得最大值， 所以的最小值为. 故答案为：. 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为 .    【答案】 【分析】借助向量线性运算及数量积公式可得，再求出的取值范围，即可得解. 【详解】连接，则 ， 又，，，所以，则， 所以， 又，则边上的高为， 要确保以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点， 当在靠近，且时，， 当在靠近，且时，， 所以，则， 即.      故答案为：. 6．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】设，先求出，以点为原点，为x轴的正方向建立平面直角坐标系，根据求出点的轨迹，进而可得出答案. 【详解】如图，设， 因为， 所以，故， 如图，以点为原点，为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，设，由得，由，得, 故. 由，得， 所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆， 表示两点间的距离， 所以的最大值为. 故答案为：. 7．（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是 . 【答案】 【分析】根据给定条件，利用数量积的运算律及数量积的定义，结合余弦函数的有界性求出最大值. 【详解】由且，得， 当时，成立； 当时，由，得， 则，当且仅当与同向时取等号， 因此，即的最大值是. 故答案为： 8．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 . 【答案】 【分析】由题意设，根据数量积的坐标表示计算，即可求解. 【详解】因为为直线上的一个动点，所以与共线，设， 所以 ， 所以当时，取最小值，此时. 故答案为： 9．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】连接，设，利用转化法结合辅助角公式及三角函数的性质计算即可. 【详解】 连接，由， 知， 设，则为锐角，且， 所以 ， 由于，所以， 即的取值范围为. 故答案为： 10．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】建立直角坐标系，由题意可得：，由题意可得，，结合平面向量数量积的坐标运算得到关于的二次函数，即可求解． 【详解】建立如图所示的直角坐标系，由题意可得：， 设，即，据此可得：， 故，同理可得， 据此可得：， 则 ， 由于，所以当时，取得最大值，为． 故答案为： 11．（25-26高三上·上海·开学考试）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】设，如图，不妨设 ，设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 设，，分析得到，，求出，再求出的值即得解. 【详解】设，如图， 不妨设. 则要使最小，只需最大， 设为AB的中点，为OC的中点，为BD的中点，为AD的中点. 则. ， 设，，点在平行四边形内（含边界）， 所以，由题知恒成立. 为了使最大，则为钝角，即点在第一或第四象限. 不小于到直线的距离，所以为点到直线的距离， 所以.即，即 即，即. 所以.所以 所以向量与夹角的最大值的余弦值为. 则的最小值为 故答案为： 12．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于 . 【答案】2 【分析】先由数量积的定义推得，再将问题转化为二次不等式恒成立的问题，从而得解. 【详解】依题意，设的夹角为，， 因为，所以，所以； 又因为对任意的 ，都有 成立，所以即即， 整理可得：，对任意的 恒成立，故， 整理可得：，又因为，解得，即，故 的最小值等于2. 故答案为：2 13．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量满足，则的最小值为 . 【答案】/ 【分析】根据条件，结合数量积公式，可得，如图建系，可得，设，根据条件，可得，将条件代入所求，化简整理，根据点与圆的位置关系，分析计算，即可得答案. 【详解】因为， 所以，则，解得， 因为，所以， 以起点为坐标原点，为x轴正方向，与x轴垂直方向为y轴正方向建系，如图所示， 则，设， 因为，所以，整理得， 表示以为圆心，半径为1的圆， 则 又表示与距离的平方， 则的最小值为， 所以的最小值为. 故答案为： 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】建立平面直角坐标系，设，表示向量的坐标，进而得出，最后利用基本不等式求解最小值． 【详解】以点为坐标原点，建立如下图所示直角坐标系，     ，四边形是矩形， ， 设，，则，则，， ， 当且仅当时取等号， 的最小值为． 故答案为：． 15．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意， ； 【答案】 【分析】问题等价于，当且仅当时取到最小值，通过平方的方法，结合最值的知识求得正确答案. 【详解】，又，所以， 对于任意成立， 等价于，当且仅当时取到最小值， 则，解得. 故答案为：. 16．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为 . 【答案】 【分析】由题可得，根据垂直关系及向量运算画出图形，数形结合求解即可. 【详解】由题可得， 所以， 如图，设， 则，可得， 则点在以为直径的圆上运动， 由图可得，当时，， 设，则， 所以当时，取得最大值为. 故答案为：. 17．（25-26高三上·上海·期中）三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， ． 【答案】 【分析】设，，，，设，由得到点在以为直径的圆上，计算，求就是，此时与圆相切，结合图形得到. 【详解】设，，，， 设，，点在以为直径的圆上， 以所在直线为轴，的中垂线为轴建立直角坐标系， ， ，则，此时与圆相切，此时如图. 故答案为： 18．（25-26高三上·上海·月考）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】由，则，再由余弦定理和基本不等式求得，得到，即可求解． 【详解】如图，在中，，点为的中点，点为的中点，，则． 设，，由余弦定理可得， 又，故，当且仅当时取等号． 又， 则， 则 即的最大值为 故答案为：． 19．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】借助模长与数量积的关系结合根的判别式可得，设、、，再利用向量坐标运算可得，最后利用几何性质计算即可得. 【详解】由，则， 即有， 化简得， 则有， 即，则， 则，即， 可设，，， 则 ， 故， 设点、、， 则点在圆上， 又，， 则， ，即， 则，故圆与线段无交点， 则当点是以、为焦点的椭圆与圆相切的切点时，取最小， 由线段垂直平分线为，即， 该直线过原点，故点、关于对称，圆关于对称， 联立，解得或， 则当点为时，取最小， 此时， 故的最小值为.    故答案为：. 20．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 【答案】/ 【分析】设，，，分析可知的最小值为，的最大值为1，结合向量加法可得的最小值为，最大值为2，即可得结果. 【详解】设，，，可知点在标准单位圆上， 不妨设， 因为，则，， 可知，， 取单位圆的六等分点，逆时针排列依次为， 则点在上，点在上， 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最小值为，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且三点共线时，等号成立， 所以的最小值为； 设， 因为， 当且仅当，即点与点（或点）重合时，等号成立， 所以的最大值为1，且， 可得， 当且仅当点与点（或点）重合，且点与点重合时，等号成立， 所以的最大值为2； 综上所述：的最小值与最大值之和为. 故答案为：. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破06 平面向量数量积最值与范围问题+极化恒等式 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：与模有关的数量积最值问题 一、必备知识 1.数量积核心公式：（为与的夹角，） 2.模的核心性质：；（三角不等式） 3.最值关联逻辑：当、为定值时，的最值由最值决定；当夹角固定时，最值由模的取值范围决定 二、必备解法 1.定模定角型：直接代入数量积公式，利用求最值.例：若，，则的最大值为，最小值为 2.定模变角型：抓住模为定值的条件，分析夹角的取值范围，再求的最值，代入公式计算.关键是通过图形或题意确定的边界 3.变模定角型：根据题意确定模的取值范围（如），结合固定夹角，将转化为关于模的一次或二次函数，利用函数单调性求最值 4.模长约束型：若存在（定值），可平方展开得，结合已知模的条件求解的范围 三、常见误区 1.忽略夹角的取值范围，直接用求最值，导致结果偏差.例：两向量夹角实际仅为，却错误代入计算最小值 2.误用三角不等式，未注意“同向”“反向”的取等条件，导致模的范围判断错误 3.忘记的转化技巧，面对模长平方类条件时无从下手 知识点2：与夹角有关的数量积最值问题 一、必备知识 1.夹角公式变形：，，且在上单调递减 2.数量积与夹角的关联：；； 3.最值逻辑：夹角最值对应最值，进而转化为数量积的最值；反之，数量积的范围可通过夹角公式反推夹角范围 二、必备解法 1.已知夹角范围求数量积最值：由得（因单调递减），结合、的定值或范围，代入数量积公式求最值 2.已知数量积范围求夹角最值：先确定的范围，即的范围，再利用的单调性反求的最值 3.含变量夹角的最值问题：设夹角为变量，将表示为的函数（），结合的实际约束范围（如几何图形中角的限制），利用三角函数单调性求最值 三、常见误区 1.混淆的单调性，错误认为增大时增大，导致夹角与数量积的对应关系颠倒 2.忽略（同向）和（反向）时的特殊情况，未验证这两个边界的数量积是否为最值 3.计算时，遗漏或的计算，直接用数量积代替，导致夹角范围判断错误 知识点3：基底法求解数量积的最值问题 一、必备知识 1.基底定义：选平面内两个不共线的向量、作为基底，平面内任意向量均可表示为（、为实数） 2.基底法核心：将所求数量积的两个向量均用基底表示，再利用数量积运算律展开，转化为关于基底数量积和系数的表达式 3.运算律支撑：； 二、必备解法 1.步骤1：选基底.优先选择模长和夹角已知的向量作为基底（如等腰三角形的两腰、矩形的邻边等 2.步骤2：分解向量.将所求数量积的两个向量、分别用基底、表示，即， 3.步骤3：展开运算.计算 4.步骤4：求最值.若展开后含变量（如动点对应的系数），将表达式转化为关于变量的函数（一次、二次函数或三角函数），结合变量范围求最值 三、常见误区 1.基底选择不当，选了共线向量或模长、夹角未知的向量，导致后续运算无法推进 2.向量分解错误，遗漏系数或分解形式错误（如将错误表示为，实际应为） 3.展开数量积时，误用运算律，如错误认为，忽略的含角项 知识点4：坐标法求解数量积的最值问题 一、必备知识 1.坐标运算公式：若，，则； 2.坐标法核心：建立合适的平面直角坐标系，将向量转化为坐标形式，把数量积问题转化为代数运算问题（函数最值、不等式求解等） 3.建系原则：优先让更多向量的坐标简化（如让定点在坐标轴上、对称中心在原点等） 二、必备解法 1.步骤1：建坐标系.根据题意选择合适的坐标原点和坐标轴，常见技巧：①固定点（如线段端点、顶点）放在原点；②对称图形以对称轴为坐标轴；③水平、竖直方向为坐标轴 2.步骤2：求坐标.确定所有相关点的坐标，进而写出对应向量的坐标（动点坐标用变量表示，如、） 3.步骤3：算数量积.代入坐标运算公式，将表示为关于变量的代数函数（如） 4.步骤4：求最值.结合变量的取值范围（由几何图形或题意确定，如动点在线段上则坐标满足线性约束），利用函数单调性、二次函数配方法或不等式（如基本不等式）求最值 三、常见误区 1.坐标系建立不合理，导致向量坐标复杂，增加运算量且易出错 2.动点坐标的变量范围确定错误，如动点在圆上却未考虑圆的方程约束，导致函数定义域偏差 3.计算数量积时，混淆坐标运算公式，错误写成（与向量叉乘混淆） 知识点5：平面向量系数的最值问题 一、必备知识 1.核心模型：已知（、为系数，、为已知向量），结合的约束条件（如模长范围、与某向量垂直等），求、的最值或、的最值 2.关联工具：基底法、坐标法、不等式（基本不等式、柯西不等式）、函数思想 3.线性约束逻辑：若、不共线，中、唯一确定，约束条件可转化为关于、的方程或不等式 二、必备解法 1.基底法转化：将代入约束条件（如），展开后得到关于、的方程（如二次方程），结合几何意义（如圆上点的坐标范围）求系数最值 2.坐标法转化：建立坐标系，将、、转化为坐标，得到的坐标与、的关系式，结合约束条件列出、的不等式组，用线性规划或函数思想求最值 3.不等式法求解：若已知、、，可利用柯西不等式或基本不等式求系数和或积的最值 4.几何意义法：将、看作平面内的点，约束条件转化为点的轨迹（直线、圆、线段等），系数最值对应轨迹上点的横纵坐标或其组合的最值 三、常见误区 1.未明确、是否共线，直接套用唯一分解定理，导致系数关系错误（共线时、不唯一） 2.使用基本不等式或柯西不等式时，忽略等号成立的条件，导致最值无法取到 知识点6：数量积中的极化恒等式与最值问题 一、必备知识 1.极化恒等式核心公式：①平面内任意向量、，有；②若为线段的中点，则（三角形极化恒等式，为平面内任意点） 2.适用场景：涉及“向量数量积”与“中点”“线段长度”相关的最值问题，尤其适合解决动点到两定点的数量积最值 3.几何意义：的最值等价于的最值（因为定值），即动点到中点的距离最值 二、必备解法 1.通用型极化恒等式用法：当已知或的范围时，代入，将数量积转化为两个模长平方的差，再结合模长范围求最值 2.三角形型极化恒等式用法（核心）：①确定定点、，取中点，计算（定值）；②将转化为；③分析动点的轨迹，求的最值（最大值、最小值）；④代入转化式求的最值 3.特殊场景技巧：若动点在圆上，为定点，则的最值为圆心到的距离加减圆的半径；若动点在线段上，则的最值为到线段两端点的距离 三、常见误区 1.误用极化恒等式，将三角形型公式错误记为，符号颠倒导致结果错误 2.未正确识别适用场景，对不涉及“中点”“两定点”的数量积问题强行使用极化恒等式，增加解题难度 3.求最值时，忽略动点的轨迹约束（如仅在某条线段或圆弧上），错误取到轨迹外的距离值 4.忘记极化恒等式的推导前提（平面内任意向量），在空间向量中错误套用公式 【题型1 与模有关的数量积最值】 例1．起点重合，，则的取值范围为 例2．平面向量满足，若，则最小值为（　　） A．1 B． C． D． 变式1．已知，，点，为坐标原点，则的最小值是（   ） A． B． C． D． 变式2．在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型2 与夹角有关的数量积最值】 例1．两个非零向量，，满足，则向量与向量夹角的余弦值的最小值为 ． 例2．已知均为单位向量，且，则与的夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 变式1．为等边三角形所在平面内的一点，向量，且，.设向量与的夹角为，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 变式2．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知平面向量、，满足，，若对任意模为的平面向量，均有，则向量、夹角的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【题型3 基底法求数量积的最值】 例1．已知满足，，，，为直线上的动点，且，则的最小值为 ． 例2．在菱形中，，，E为边上的动点（包括端点），F为的中点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式1．已知平行四边形ABCD的两条对角线相交于点，其中点M在线段OB上且满足，则 ，若点是线段AB上的动点，则的最大值为 . 变式2．在中，，则 ；若，点E在线段BD上，则的最大值为 ． 【题型4 坐标法求数量积的最值】 例1．（2025·上海闵行·一模）若点是边长为1的正三角形ABC外接圆上的一点，则的最大值为 例2．在中，，，点为所在平面内一点且，则的最小值为 . 变式1．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为 ． 变式2．（24-25高三上·上海·月考）已知是边长为6的等边三角形，M是的内切圆上一动点，则的最小值为 ． 【题型5 平面向量系数的最值】 例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）在直角中，，，为边上的点且，若，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例2．在中，已知，且，则 ；若在线段上存在动点，使得，则的最小值为 ． 变式1．设为两个非零向量，所成的角，已知对任意，的最小值为，则 . 变式2．在中，，若为其外心，满足 ，且，则的最大值为 . 【题型6 极化恒等式与最值】 例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）如图，正六边形的边长为，半径为的圆的圆心为正六边形的中心，若点在正六边形的边上运动，动点、在圆上运动且关于圆心对称，则的最大值为（   ） A． B． C． D． 例2．已知是边长为2的等边三角形，为三角形内一点（包括边界），为的中点，则的取值范围是 ． 变式1．如图，在中，，，为上的动点，且，则的取值范围为 ．    变式2．如图，在边长为1的正方形中，是以为圆心，为半径的圆弧（在正方形内，包括边界点）上的任意一点，则的取值范围是 ． 一、核心基础 1.数量积公式：（为与的夹角，） 2.模的关联：；（三角不等式） 3.运算律：分配律；展开律 二、题型模块（必备知识+核心解法+常见误区） 题型1：与模有关的数量积最值 必备知识：数量积公式、模的性质、三角不等式 核心解法： 定模定角：用直接求； 定模变角/变模：结合夹角/模的范围转化为函数最值； 模长约束：平方展开关联数量积 常见误区：忽略夹角范围、误用三角不等式取等条件 题型2：与夹角有关的数量积最值 必备知识：（在单调递减） 核心解法： 已知夹角范围→求范围→代入数量积公式； 已知数量积范围→反推范围→求夹角最值 常见误区：混淆单调性、遗漏特殊情况 题型3：基底法求数量积最值 必备知识：向量基底分解、数量积运算律 核心解法：选已知模/夹角的向量为基底→分解目标向量→展开数量积→转化为函数最值 常见误区：基底选择不当、向量分解错误、误用运算律 题型4：坐标法求数量积最值 必备知识：向量坐标运算（） 核心解法：建坐标系（简化向量坐标）→写向量坐标（动点用变量表示）→算数量积为代数函数→结合变量范围求最值 常见误区：建系不合理、动点范围错误、混淆坐标运算公式 题型5：平面向量系数的最值 必备知识：向量分解定理、线性约束逻辑 核心解法：基底/坐标法转化为系数方程→不等式法（柯西/基本不等式）→几何意义（轨迹上点的坐标最值） 常见误区：忽略向量共线性、不等式等号条件缺失、可行域判断错误 题型6：极化恒等式与最值 必备知识： 通用式：； 三角形式：（为中点） 核心解法：转化数量积为模长平方差→求动点到中点的距离最值 常见误区：公式符号错误、误用场景、忽略动点轨迹约束 一、填空题 1．（24-25高二下·上海杨浦·期末）设平面向量满足：，，，，则的取值范围是 . 2．（25-26高二上·上海·开学考试）平面上，已知向量满足．若存在单位向量，使得，则的最小值是 ． 3．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量、、满足且，向量满足，则的最大值是 . 4．（25-26高三上·上海·期中）已知为空间中三个单位向量，且，若向量满足，，则向量与向量夹角的最小值为 ．（用反三角表示） 5．（25-26高三上·上海黄浦·期中）如图，中，，，，点是线段一个动点，若以为圆心半径为1的圆与线段交于，两点，则的取值范围为 .    6．（25-26高三上·上海·期中），若平面向量满足，则的最大值为 . 7．（25-26高三上·上海松江·期中）已知且，若向量满足，则的最大值是 . 8．（2025·上海嘉定·一模）已知向量，，，为直线上的一个动点，当取最小值时，向量的坐标为 . 9．（2025·上海静安·一模）如图，已知是半圆O的直径，直径长为2，点均在半圆O上，且都不与点重合，四点依次按照逆时针方向排列. 若CD的长为，则的取值范围为 ． 10．如图，在直角梯形中，．若、分别是、上的动点，满足，其中，则的最大值为 ． 11．（25-26高三上·上海·开学考试）已知平面向量.若对区间内的三个任意的实数，都有，则的最小值为 ． 12．（25-26高三上·上海宝山·月考）已知不平行的两个向量 满足 . 若对任意的 ，都有 成立， 则 的最小值等于 . 13．（25-26高三上·上海·期中）已知平面向量满足，则的最小值为 . 14．（25-26高三上·上海嘉定·期中）如图，已知矩形的边，点分别在边上，且，则的最小值为 ．    15．（25-26高三上·上海杨浦·期中）已知，是空间单位向量，，若空间向量满足，且对于任意， ； 16．（25-26高三上·上海嘉定·期中）已知，均为单位向量，与，共面的向量满足，则的最大值为 . 17．（25-26高三上·上海·期中）三个非零向量、、满足，且，则当取得最大值时， ． 18．（25-26高三上·上海·月考）在中，，，点为的中点，点为的中点，若设，，若，则的最大值为 ． 19．（25-26高三上·上海虹口·月考）已知、、均为平面向量，且，若对任意实数恒成立，则的最小值为 ． 20．（25-26高三上·上海嘉定·期中）平面中的三个单位向量，若，则的最大值与最小值之和为 . 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $