重难点突破03 正余弦定理常考题型归纳（寒假预习讲义，知识必备+12大题型精讲+过关）高一数学沪教版

重难点突破03 正余弦定理常考题型归纳 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备核心知识 1.正余弦定理核心 正弦定理：；核心变形：（边角互化关键）、正弦定理：（为外接圆半径）；核心变形：①边化角：、、（适用于式子为正弦齐次式或需用角表示边的场景）；②角化边：等（适用于用边表示角简化计算）；③隐含结论：（因，适用于消去一个角的恒等变换） 余弦定理：；核心变形：（求角核心）余弦定理：（为角对边）；核心变形：（求角核心，适用于已知三边或两边夹角求角，可直接判断角为锐角、直角或钝角）；适用场景：涉及边的平方关系、已知两边夹角求第三边时优先使用 2.特殊线段公式 中线：；角平分线：（比例）、；高线：①中线：（为边上中线），适用于已知两边求中线或已知中线求边长；辅助思路：可拆分三角形为两个小三角形，用余弦定理列方程求解（当记不清公式时适用）；②角平分线：比例关系（在上），适用于求线段比例或拆分边长；长度公式，适用于直接求角平分线长度；辅助思路：面积法（）建立方程，避免记复杂公式；③高线：（为边上高线），适用于求高线长度或通过高线求角/边；核心要点：高线与对应边垂直，可构建直角三角形用三角函数求解 3.面积与周长核心 面积：；周长：①面积：核心公式（已知两边夹角优先用，高频考点）；关联外接圆：（已知三边和外接圆半径，或已知两边及外接圆半径求面积）；关联内切圆：（已知周长和内切圆半径，或求内切圆半径）；海伦公式（，已知三边直接求面积，无需求角）；②周长：基础公式；转化公式（已知外接圆半径和角，或求周长最值时适用） 4.外接/内切圆关键 外接圆：；内切圆：（）；直角三角形：①外接圆：核心公式（已知一边及对角直接求，最常用）；辅助公式（已知三边或面积时求）；特殊结论：直角三角形（快速求解，无需计算角）；②内切圆：核心公式（为半周长，已知面积和周长即可求）；特殊结论：直角三角形（为斜边，直接用直角边和斜边求解）；实用要点：、常与面积、边长联动，解题时可优先关联面积公式 5.辅助结论 恒等变换：、；最值：基本不等式；内角和①恒等变换：常用公式（二倍角，适用于化简三角函数式）、（和差化积，求角的三角函数和最值时优先用）；核心技巧：利用将多角转化为单角（如），简化运算；②最值相关：基本不等式（，适用于边长乘积或和的最值，注意等号成立条件）；内角范围约束：，故，（求最值时需结合范围判断）；③必备前提：（所有三角形问题的隐含条件，恒等变换、求角范围必用） 知识点2：必备核心解法 1.综合解三角形 ①判断已知条件类型（两角一边/两边一角/三边）；②选定理：两角/两边对角用正弦，两边夹角/三边用余弦；③验证解（大角对大边、内角和）①判断已知条件类型：明确是“两角一边”（如）、“两边一角”（如）还是“三边”（），这是选定理的关键；②精准选定理：两角一边/两边及其中一边的对角→优先正弦定理；两边夹角/三边→优先余弦定理；③验证解的合理性：核心依据“大角对大边”（如则）和“内角和为”；特别注意：两边及对角题型需先算，对比与、的大小，判断解的个数（无解/一解/两解），避免漏解或多解 2.判断三角形形状 ①边化角：正弦定理转化为角，恒等变换判断角关系；②角化边：转化为边，代数运算判断边关系；③结合大角对大边快速判定核心思路：通过边角互化转化为纯边或纯角关系，再判断关系；①边化角法：用正弦定理将边转化为角，结合恒等变换化简，判断角的关系（如则或）；适用场景：式子中角的三角函数形式更易化简时；②角化边法：用正弦定理将角转化为边，通过代数运算（如配方、因式分解）判断边的关系（如则直角三角形）；适用场景：式子中边的关系更直观时；③快速判定技巧：结合“大角对大边”，若已知角的大小关系，可直接对应边的关系，辅助验证形状 3.面积与周长计算 面积：已知两边夹角直接用，三边用海伦公式，边角混合先补全缺失量；周长：已知边角用正弦转化求和，已知特殊线段先求边长再求和①面积计算：按已知条件选公式：已知两边夹角→直接用；已知三边→用海伦公式；已知边角混合（如）→先由正弦定理求另一边，再用夹角面积公式；已知或→用或；关键：若缺少核心量（如、某条边），先通过正余弦定理补全；②周长计算：已知三边→直接相加；已知边角（如）→用正弦定理将角转化为边（、），再求和；已知特殊线段（中线/角平分线）→先通过专用公式求对应边长，再汇总三边求和；实用技巧：周长与面积联动时，可先求面积再反推边长，或反之 4.中线/角平分线/高线题型 中线：中线定理/向量法/拆分三角形列余弦方程；角平分线：比例定理/长度公式/面积法；高线：面积法/拆分直角三角形求解①中线题型：优先策略→中线定理（已知两边求中线或已知中线求边，直接套公式）；备选策略：向量法（），通过向量数量积求角（已知中线和两边，求夹角时适用）；应急策略：拆分三角形（如和），利用两三角形共中线，列余弦定理方程（记不清中线公式时用）；②角平分线题型：核心步骤→先由角平分线比例定理（）求线段比例，拆分边长；求长度→用角平分线长度公式或面积法（，代入面积公式建立方程，计算量更小）；③高线题型：最简方法→面积法（，已知面积和对应边即可求）；核心思路→高线构建直角三角形，利用三角函数（如）或勾股定理求未知量（已知角或其他边时适用）；注意：高线可能在三角形内或外，需结合三角形类型（锐角/钝角）判断 5.恒等变换题型 ①边角互化（齐次式优先）；②用内角和消去一角；③结合二倍角、和差化积化简；④按所求目标定向变形核心目标：化简式子，求出未知角或边的关系；①边角互化：优先处理齐次式（判断标准：各项边的次数相同，或角的正弦次数相同，如、），非齐次式需结合其他定理（如余弦定理）；②消角技巧：利用，将其中一个角用另外两个角表示（如），代入式子消去一个角，减少变量；③化简方向：结合所求目标，若求角则化简为单一角的三角函数（如），若求边则化简为边的代数关系；④常用工具：二倍角公式、和差化积公式、同角三角函数基本关系（），灵活搭配使用 6.外接/内切圆问题 ①求半径：套核心公式，补全缺失量；②关联边/角：将、代入定理建方程；③直角三角形用特殊结论快速解①求半径：核心逻辑→套对应核心公式，缺什么补什么；如求缺，则先由余弦定理求，再求；求缺，则先由正余弦定理求面积；②关联边/角：将、代入正余弦定理或面积公式，建立等式（如已知和，则，可直接用表示）；③特殊三角形简化：直角三角形直接用专用结论（），等边三角形、（为边长），节省计算时间 7.实际应用 ①建模转化为三角形，标注已知量；②选正弦/余弦定理；③计算求解；④验证实际合理性核心步骤：建模→选定理→计算→验证；①建模转化：将实际场景（如测量距离、高度）转化为三角形问题，明确已知量（边长、角度：仰角/俯角/方位角）和所求量；关键：准确标注角度，方位角是“正北顺时针转至目标方向的角”，仰角/俯角是“视线与水平方向的角”，利用平行线性质转化为三角形内角；②选定理：根据建模后的三角形已知条件，按综合解三角形的定理选择原则判断（两角一边用正弦，两边夹角用余弦）；③计算求解：代入定理公式计算，注意单位统一（如海里、米）；④验证合理性：结果需符合实际场景（如长度为正、角度在合理范围），避免因建模错误导致荒谬答案 8.面积与周长最值 面积最值：固定角与对边，用余弦+基本不等式求最大值；周长最值：固定角与对边，和差化积求三角函数最大值，或用基本不等式关联边长核心思路：利用定理和不等式/三角函数单调性求最值，关键验证等号成立条件；①面积最值：常见场景“固定角和对边”→由余弦定理，结合基本不等式，求出的最大值，再代入得面积最大值；等号成立条件：（此时三角形为等腰三角形）；②周长最值：常见场景“固定角和对边”→由正弦定理将周长转化为，利用和差化积公式，当时最大，即周长最大；也可利用基本不等式关联边长求和的最值；注意：所有最值需满足“能构成三角形”，即等号成立时的边/角关系符合内角和为、大角对大边的条件 知识点3：常见误区规避 1.综合解三角形 误区：忽略两边对角的解个数判断、未验证角范围；规避：先算定解数，检查值范围，结合大角对大边验证误区1：忽略两边对角题型的解个数判断，直接得出一个解，导致漏解或多解；原因：未考虑三角形大角对大边的隐含条件；规避：先计算，对比与、的大小（无解，一解，两解，一解），结合示意图辅助判断；误区2：未验证角的范围，出现仍继续计算；规避：先检查值是否在内，再结合大角对大边验证角的合理性（如则，若求出则解错误） 2.判断形状 误区：随意约去公因式漏解；规避：移项用和差化积化简，确保不遗漏解误区：等式变形时随意约去含三角函数或边长的公因式（如由直接约去得，忽略的情况），导致漏解；原因：未考虑公因式可能为0或三角函数的多解性；规避：优先移项，将式子化为“一边为0”的形式（如），再用和差化积等公式化简（转化为），逐一分析因式为0的情况，确保不遗漏解 3.特殊线段题型 误区：混淆公式、误用定理；规避：牢记公式核心，角平分线先求比例再求解，高线标注垂直关系明确对应角误区1：混淆特殊线段公式（如错记中线定理为），导致计算错误；规避：牢记公式核心逻辑（中线定理：4倍中线平方=2倍两边平方和-第三边平方），记不清时用拆分三角形列方程的方法替代；误区2：角平分线题型直接用余弦定理求长度，计算量大且易出错；规避：先由角平分线比例定理拆分边长，再用面积法建立方程，减少计算量；误区3：高线与非对应边关联（如将边上的高线错用为）；规避：画图标注高线与边的垂直关系，明确对应边，关联或（即高线=邻边×对角正弦） 4.恒等变换 误区：忽略内角和关联；规避：优先用内角和消去一角再化简误区：忽略三角形内角和的关联作用，单独化简多个角的三角函数，导致式子复杂无法求解；原因：未利用的隐含条件简化变量；规避：看到式子中有多个角（如、、）时，优先用内角和消去一个角（通常消去，转化为、的关系），再进行恒等变换，减少变量个数 5.外接/内切圆 误区：混淆半径公式；规避：牢记关联边与对角正弦，关联面积与半周长误区：混淆外接圆与内切圆半径公式（如错用、）；原因：未明确两半径的核心关联对象；规避：牢记核心区别：外接圆半径关联“边和对角的正弦”（核心公式），内切圆半径关联“面积和半周长”（核心公式）；辅助记忆：直角三角形的特殊结论（），通过特殊情况验证公式正确性 6.实际应用 误区：混淆角定义、建模错误；规避：明确方位角/仰角定义，用平行线性质转化角度为三角形内角误区1：混淆方位角、仰角/俯角的定义，导致建模错误（如将方位角当作三角形内角、将俯角当作与竖直方向的角）；规避：建模时先明确角的定义，画图标注：方位角从正北顺时针标注，仰角/俯角与水平方向平行标注，再利用平行线的内错角、同旁内角性质，将实际角度转化为三角形的内角；误区2：未验证结果的实际合理性（如求出的距离为负数、角度大于180°）；规避：计算完成后，检查结果是否符合实际场景（长度为正、角度在0°~180°之间），不符则重新建模或检查计算 7.最值问题 误区：忽略基本不等式等号条件、扩大角范围；规避：验证等号成立的边/角关系，结合题设确定角范围误区1：用基本不等式求最值时，忽略等号成立条件（如未验证是否能构成三角形）；原因：未考虑“等号成立”与“三角形存在”的兼容性；规避：求出最值后，必须验证等号成立时的边/角关系是否符合三角形定义（如且，则三角形为等边三角形，符合内角和要求）；误区2：扩大角的范围（如认为的最大值为1，就直接取，忽略题设中的约束条件）；规避：先结合题设已知角，确定未知角的范围（如已知，则，），再在范围内求三角函数的最值 【题型1 正余弦定理面积公式综合解三角形】 例1．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 【答案】 【分析】根据三角形面积公式，结合余弦定理、基本不等式、辅助角公式进行求解即可. 【详解】因为， 所以， 由余弦定理得，， 即，且 ， 则，当且仅当时取等号， 又， 因为，所以，所以 所以， 所以，所以， 故. 故答案为： 例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 【答案】 【分析】根据正弦定理以及余弦定理，可得答案. 【详解】由题意可得， 因为，所以. 故答案为：. 变式1．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）利用二倍角的余弦公式求出的值，再结合三角形的面积公式可求得结果； （2）利用余弦定理结合同角三角函数的平方关系可得出的值，再利用正弦定理可求得的值. 【详解】（1）由二倍角余弦公式可得，可得， 因为，所以，故， 故的面积为. （2）在中，，，， 由余弦定理可得， 故为锐角，且， 由正弦定理可得，故. 变式2．（2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 【答案】/ 【分析】由余弦定理及已知条件，整理得到的值，然后求，由三角形面积公式即可求得结果. 【详解】由余弦定理得， ∵，，∴，即， 整理得，即，所以， ∵，∴， ∴. 故答案为：. 【题型2 判断三角形的形状】 例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 【答案】B 【分析】由余弦定理化简得出，即可得出结论. 【详解】由余弦定理可得， 整理可得，所以，所以是底边为的等腰三角形. 故选：B. 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】利用二倍角余弦公式和正弦边角互化，结合三角形内角性质可得，即可判断形状. 【详解】由，可得，， 所以， ，故， 因为，所以，， 即是直角三角形. 故选：B. 变式1．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 【答案】A 【分析】应用正弦边角关系及差角正弦公式可得，即可得. 【详解】由题设及正弦边角关系有，即， 由，故，即三角形为等腰三角形. 故选：A 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【答案】(1)等腰三角形 (2)直角三角形. 【分析】（1）利用余弦定理即可化简得，即可判断三角形形状； （2）利用两角和的余弦公式即可得，则，即可判断三角形形状. 【详解】（1）由余弦定理知，得，则， 所以为等腰三角形. （2）， 所以，从而有， 即，又因为， 故，三角形为直角三角形. 【题型3 三角形面积周长的计算】 例1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）已知，，，利用余弦定理，即可求得边；根据面积公式：，代入即可求得面积. （2）先将进行切化弦，再利用边角互化和射影定理，即可求得的值，利用知一求二得的值，最终利用正弦定理求得的结果. 【详解】（1）根据余弦定理，因为，，， 代入公式计算得：； 根据面积公式：. （2）； 根据边角互化的原则得：； 化简得：； 根据射影定理：，所以，所以； 根据三角函数的定义得：； 由正弦定理：，将，，代入得：. 例2．（25-26高三上·上海·月考）在中， . (1)求； (2)求c以及的值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可求解； （2）由余弦定理及面积公式即可求解. 【详解】（1）由，根据正弦定理得，， 因为，所以， 由，则，解得. （2）由余弦定理得，， 则，解得（负值舍去）， 所以. 变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中． (1)若，且，求边长的值； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理边化角结合两角差的正弦公式化简，可求出，即可求出，利用正弦定理即可求得答案； （2）利用正弦定理边化角化简可求出，结合两角和的正弦公式即可求出，继而求出c，利用三角形面积公式即可求得答案. 【详解】（1）由，可得，结合， 得，即， 则，可得， 由于，故，则, 故，得； （2）由题意知，故， 由于，故， 结合，可知C为锐角，则， 故，， 故，得； 所以. 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）由正弦边角关系及已知可得，化简整理得，结合角的范围确定大小； （2）由三角形面积公式列方程求得，再由余弦定理得，即可得. 【详解】（1）由正弦边角关系，， 所以 ， 所以，，可得. （2）由（1）知，又, 则，，则， 由余弦定理， 所以的周长为. 【题型4 三角形面积周长的最值与范围】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余弦定理证出，结合题目信息可得，求出，进而可得角大小； （2）根据正弦定理求出，结合余弦定理推导出，然后根据基本不等式算出，再利用三角形的面积公式求出面积的最大值，可得答案． 【详解】（1）根据余弦定理得， 由，可得， 因为，所以， 又因为，解得， 所以角的值为. （2）若外接圆的直径， 根据正弦定理得， 由余弦定理得， 即，可得， 根据基本不等式，可得，所以， 解得，当且仅当时，等号成立， 可得的面积， 所以当时，的面积取得最大值， 所以面积的最大值为． 例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理将角化为边，并结合余弦定理求解即可； （2）由三角形的面积公式结合余弦定理求解即可； 【详解】（1）在中，由正弦定理得，又， 所以，故， 又，， 由余弦定理，得，即， 解得， 所以. （2）因为，， 所以， 由余弦定理，得，当且仅当时等号成立， 当取最小值时，取最大值，最大值， 所以的面积的最大值为. 变式1．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】切化弦后化简，利用正弦定理得出，再由余弦定理及三角形面积公式转化为关于的二次函数求最值. 【详解】，， 则， ， 所以的面积 ， ，即时，的面积的最大值为 故答案为： 变式2．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理即可得； （2）由余弦定理结合重要不等式可得取值范围，再由三角形的面积公式可求出面积的最大值. 【详解】（1）由题意可知，， 由正弦定理得， 因为，所以， 即； （2）由（1）可知， 所以（不符合题意舍去）或， 在中，由余弦定理得， 因为且，即， 当且仅当时取等号，即， 故的面积， 即面积的最大值为. 【题型5 三角形的中线问题】 例1．记的内角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求； (2)若是的中点，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）通过三角恒等变换与三角形内角和，约去非零项后求得角； （2）设边长，利用余弦定理求出边，再计算三角形面积. 【详解】（1）对等式移项， 得， 即①. 由 ， 且，故，则， 代入①得， 即. 因，且是三角形的内角，故，， 约去后得，即. 又，故. （2）设，则.在中，，，， 由余弦定理：， 即，化简得， 整理为，解得（舍去负根）. 的面积为. 【点睛】 例2．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 【答案】(1)； (2)10. 【分析】（1）根据给定条件，利用余弦定理求解即得. （2）由（1）的结论，结合数量积的运算律可得，再由已知求出即得. 【详解】（1）在中，由及余弦定理，得， 而，所以. （2）由为边上的中线，得，两边平方得， 即，而，则 因此，所以. 变式1．在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)①②不符合题意③ 【分析】（1）由正弦定理可解得；（2）选条件①由余弦定理可得；选条件②，验证不符合题意；选条件③由三角形的面积公式和余弦定理可得. 【详解】（1）在中，因为，又，所以． 因为，所以．因为，所以． （2）选条件①：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．因为， 所以．所以． 设点为线段的中点，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 选择条件②：由（1）知，所以，可知， 不唯一，故②不符合题意，不可选择条件②. 选择条件③：因为中，，，， 所以，即为等腰三角形，其中．设边上的高线长为， 则面积，即，解得，因此， 设点为线段的中点，则，在中，由余弦定理得 ， 所以，即边上的中线的长. 变式2．在中，角的对边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理可得；进而可求得，可求得角的大小； （2）由面积可得，结合（1）可得，利用，计算可求得的长． 【详解】（1）由，结合余弦定理可得， 所以，所以，所以， 又，所以； （2）因为的面积为，所以， 由（1）知，所以， 又，，所以， 因为为线段的中点，所以， 所以 ， 所以. 【题型6 三角形的角平分线问题】 例1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由余弦定理化简可得，从而可得； （2）由等面积法，利用三角形面积公式化简可得，再由基本不等式可得结果. 【详解】（1）， ， ， 化简可得，； （2） C的平分线与交于点D，， ， ， 化简可得，即， ， 当且仅当，即，时，等号成立， 的最小值是. 例2．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理、倍角公式化简得出即可； （2）根据以及，以及在中利用余弦定理，即可得出关于的方程组，求解即可. 【详解】（1）因为结合正弦定理可得，， 因为，所以，所以，则， 因为，所以，则，得，则； （2）因为是的角平分线，且，，， 所以，得， 在中利用余弦定理得， 在中利用余弦定理得， 因为，，所以， 则在中利用余弦定理得，得， 因为，所以， 所以，解得，解得或， 又，解得，于是. 变式1．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，然后利用两角和的正弦公式化简得，利用辅助角公式得，结合角的范围即可求解. （2）利用正弦定理得，然后利用三角恒等变换得 ，结合，利用基本不等式求解最小值即可． 【详解】（1）由，得， 即， 即， 而，故，所以， 即，因为，所以，所以． （2）因为为的平分线， 在中，由正弦定理得， 即，所以， 因此 ． 又，所以，因此， 则， 当且仅当，即时，上式等号成立． 所以的最小值为． 变式2．在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理的边角互化代入计算，即可得到结果； （2）由角平分线定理可得，结合余弦定理代入计算，即可求得，再由三角形的面积公式以及等面积法代入计算，即可得到结果. 【详解】（1）由正弦定理的边角互化可得， 且， 即， 化简可得，且， 解得，其中，所以. （2）因为是的角平分线，由角平分线定理可得， 且，则，即， 又， 由余弦定理可得， 即，解得，则， 又， 即， 化简可得，即. 【题型7 三角形的内心问题】 例1．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 【答案】(1) (2). 【分析】小问1：若选条件①，应用正弦定理，对等式左侧采用角化边即可统一元素，结合余弦定理可得解；若选择条件②，等式右侧据正弦定理边化角，交叉相乘做恒等变换可得解； 小问2：由面积公式，需求两边乘积和夹角，由三角形的内角和定理和内心的性质，可求出夹角，应用余弦定理求两边的乘积即可. 【详解】（1）选择条件①：. 由正弦定理得， 所以. 由余弦定理，得. 因为，所以. 选择条件②：因为，所以，即. 由正弦定理得，即. 因为，所以，所以. 因为，所以，所以.因为，所以. （2）连接， 因为点是内心，所以. 因为，所以， 所以，所以. 由余弦定理得，即，解得， 所以. 例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据正弦定理求出，然后利用余弦定理求出. （2）根据三角形面积和内心的性质求出内心到的距离，从而求出的面积. 【详解】（1）因为， 根据正弦定理得. 因为，所以， 所以，所以， 又，所以. 根据余弦定理， 所以. （2）因为是的内心，所以点到三边的距离相等，设为， 则， 所以，解得. 所以. 变式1．在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换可得,再根据即可求解； （2）设的内心为，，在中，由正弦定理得，再根据三角恒等变换求解即可. 【详解】（1）由， 根据正弦定理，得， 由，则， 即, 而，故， 又， 所以 （2）由（1）可得， 即， 设的内心为，即， 故. 设，则， 在中，由正弦定理得， 所以， 所以的周长为 因为， 所以， 所以， 所以， 故的周长取值范围为. 变式2．从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若，的内心为I，求周长的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3). 【分析】（1）选①，由正弦定理化角为边，然后由余弦定理求角，选②，由正弦定理化边为角，结合三角恒等变换求角； （2）由条件，结合三角形面积公式可得，根据正弦定理可得，结合内角和关系可得，结合条件确定的范围，由此求结论； （2）先求出，在中，通过设，利用正弦定理求出三边得出三角形周长表达式，将其转化为正弦型函数，利用角的范围即可求得周长范围. 【详解】（1）选择条件①，， 在中，由正弦定理得， 整理得， 则由余弦定理可得，，又， 所以． 选择条件②，， 于是， 在中，由正弦定理得，， 因为，则， 即， 因为，因此， 即，又， 所以． （2）由三角形面积公式可得， 的面积，又 ， 所以， 由正弦定理可得，所以， 又， 所以， 所以， 因为为锐角三角形， 所以，， 所以， 所以，故， 所以 ， 所以的面积的取值范围为. （3）如图，由（1）知，，有， 因为的内心为，所以，于是． 设，则，且， 在中，由正弦定理得，， 所以，， 所以的周长为， 由，得，所以， 所以周长的取值范围为. 【题型8 三角形的外心问题】 例1．锐角的外心为O，满足． (1)求A的值； (2)延长BO交AC于D，若，求的值． 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据给定条件，利用二倍角公式及和角的余弦公式求解. （2）利用几何图形，结合圆的性质求解. 【详解】（1）由，得， 在锐角中，，则， 所以. （2）由是锐角的外心，得点在内，且，则， 由，得，由（1）知， 解得，则，， 所以. 例2．在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由正弦定理结合三角恒等变换进行化简即可求解； （2）利用向量表示出，由余弦定理结合基本不等式、三角形周长公式即可求解. 【详解】（1）由已知及正弦定理得：， 由得： ， 所以，又， 所以，即， 因为，所以， 所以解得. （2）因为为的外心, 且由上问知， 所以, 设（为的外接圆半径）， 因为为边的中点，且， 所以在中易得：， 所以， 即，解得：， 在中由余弦定理可得：， 解得， 在中由余弦定理可得：， 由基本不等式可得： ，当且仅当时等号成立， 所以，即. 所以周长， 当且仅当时等号成立. 故周长的最大值为. 变式1．在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 【答案】(1) (2) 【分析】（1） 直接由三角形的面积公式即可求得答案； （2）首先由等面积法可得内接圆的半径，再结合题干给的公式以及正、余弦定理即可求得外接圆半径为R. 【详解】（1）可知，即，解得． （2）可知内接圆的半径． 连接IB、OB，设，则． 不妨设外接圆半径为R，则． 由角度关系，， 因此代入有 ， 整理：． 右式 由于，因此，解得． 变式2．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先由正弦定理得到，求出的外接圆半径为R，作出辅助线利用余弦定理求出，求出的长. 【详解】由正弦定理得：， 因为，所以，故，即， 因为，所以， 设的外接圆半径为R， 则由正弦定理得：，故， 如图，，且， 因为，所以，， 过点C作CH∥OB交OP的延长线于点H，则， 因为，所以，， 在三角形OCH中，由余弦定理得：， 则， 所以 故选：C 【题型9 边角互化求角/求边长】 例1．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】由余弦定理计算可得. 【详解】由余弦定理可得，化简可得， 因为，所以. 故选：A 例2．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】结合条件利用余弦定理得，然后利用余弦定理和基本不等式求解，然后根据余弦函数的单调性求解即可． 【详解】的内角，，所对的边分别是，，，已知， 则，整理得． 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以，又，故，即的取值范围是. 故选：A 变式1．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 【答案】B 【分析】利用余弦定理结合整体代入思想求解即可. 【详解】因为，所以，而， 在中，，所以，故， 由余弦定理得，代入得， ，故， 故，故B正确. 故选：B 变式2．在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正弦定理及三角恒等变换化简可得角C. 【详解】因为， 由正弦定理得， 因为, 即 所以， 因为，所以， 所以， 故或（舍去），得， 故选：D. 【题型10 解三角形中的恒等变换】 例1．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再结合两角和差公式，即可证明； （2）首先根据正弦定理边化角，再结合（1）的结论，以及三角恒等变换，化简 ，再结合基本不等式求最值. 【详解】（1）由正弦定理可知，， 得，且， 即，整理为， 即； （2）， 由（1）可知，，且， 所以，上下同时除以， ， 因为，得， 所以，当时等号成立， 所以 ， 所以的最大值为. 例2．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】（1）根据已知得，再应用余弦边角关系求角； （2）根据已知及（1）得，应用正弦边角关系易得，再应用三角形内角关系及和角正弦公式可得，变形整理即可证. 【详解】（1）由正弦定理可得，化简可得， 故，因为，所以； （2）因为，所以， 由正弦定理得，易知，所以， 因为，所以， 所以，故. 变式1．在中，，则的取值范围为 ． 【答案】 【分析】先由两角差的正弦公式化简等式，再分和两种情况结合余弦函数的单调性得到，进而有，然后利用换元法结合辅助角公式和二次函数的性质以及正弦函数的取值可得. 【详解】因为，所以， 则有，即． 因为在中，，则． 当时，，所以， 因为在上单调递减，所以，则，所以不成立； 当时，，所以， 而，即，所以不成立； 因此，则， 令，则，则， 因为在中，，则，则， 所以， 令，对称轴为， 所以函数在上单调递增， 所以． 故答案为：. 变式2．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 【答案】 【分析】由题设有，结合正弦边角关系、差角正弦公式及锐角三角形内角性质得，进而确定的范围，再将目标式化为求范围即可. 【详解】由题设，结合正弦边角关系得， 所以，又，则或（舍）， 所以，又为锐角三角形，则，得， 所以，而，所以 ，而， 所以. 故答案为： 【题型11 解三角形的实际应用】 例1．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 【答案】 【分析】根据给定信息确定照射面积最大时情况，再利用正弦定理、三角形面积公式列式，利用基本不等式求出最大值. 【详解】依题意，要使手电筒在ABC内部所能照射到的地面的面积最大，则光线必须经过AB、AC边，如图， 在正中，，，设， 由正弦定理得：，则， ，则， ， 当且仅当，即，亦即时取等号， 所以手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 . 故答案为： 例2．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有 ． 【答案】④ 【分析】将空间几何问题转化为确定塔高与的过程，对于每个数据组，首先判断能否由已知角度和已知边长唯一确定水平距离与两个塔高；若能，则两塔尖的空间坐标唯一确定，距离随之唯一确定，若给出的角度条件不足以唯一确定所有未知的塔高或位置，则存在多解，从而无法唯一确定两塔尖距离. 【详解】①： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由知唯一确定. ②： 与的长度，用余弦定理确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 是点处观测与的夹角， 在中：边（已知） 边（含未知量） 已知 由余弦定理：， 同时又有：， 联立的表达式，建立关于的方程， 因函数单调性及物理意义（塔高），通常有且仅有一个正实数解 故可确定唯一. ③： 与的值，在中可确定唯一， 与的值，在中可确定唯一， 由，及已知，可确定唯一. ④：由可求得；再由，可求得； 而， 故长度不确定. 故答案为：④ 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为 ． 【答案】 【分析】过C作，过B作，由已知条件求出BD、AE，所求高度差即为 【详解】过C作，过B作，如图所示， 已知与的差为，则， 又，则 ， 因 则 ， 又，，则， 由正弦定理， 则， 因， 即 ， 又，所以 ， 则，两点到水平面的高度差 （米）. 故答案为：． 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 【答案】 【分析】先在中利用正弦定理求出的长，再在直角利用三角函数的知识可求得结果. 【详解】在中，，， 则， ， 由正弦定理得， 则，解得， 在直角中，， 则. 故答案为：. 【题型12 多个三角形背景下的解三角形】 例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用余弦定理求出的长，再根据正弦定理即可求得结果； （2）利用余弦定理求得，根据动点的位置得出自变量的取值范围，可求得. 【详解】（1）由，，可知， 因此， 所以， 由正弦定理可得， 由可得. （2）如下图：    由题可知，又， 在中，由余弦定理可知， 因此可得，又在线段（不含端点）上，所以， 所以. 例2．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）在中，结合以及，运用正弦定理以及差角的正弦公式，再运用同角三角函数的基本关系，即可得解； （2）根据（1）中结论，结合，运用正弦定理可求得，再根据二倍角公式求出，最后利用三角形面积公式列出方程，即可解得. 【详解】（1）设，则， 由正弦定理可知，，即， 整理得，又因为，， 可解得，即. （2）由（1）可知，，. 由正弦定理可知，，解得， 又，. ，. ， ，， ， 解得. 变式1．如图，在平面四边形中，，与交于点，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由正弦定理求得，由四点共圆得到，再由正弦定理求得； （2）由题意得四边形的面积，代入边后由三角恒等变换化简，由取值范围求得四边形面积的取值范围； （3）由题意得，然后得分别求得，由此得到它们之间的关系.由题意建立方程后解得的值. 【详解】（1）由及正弦定理， 得，即，解得. 又，所以. 又，所以四点共圆， 所以. 因为，所以由正弦定理，得， 即，所以. （2）由题意得四边形的面积. 易知是四边形外接圆的直径，所以， 所以，所以， 所以 . 因为，所以，所以， 所以四边形面积的取值范围是. （3）由题意，得， ， ， 所以. 因为，所以. 又，所以， 所以当，即时，. 变式2．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，求得，再在中，利用三角形的面积公式，列出方程，求得，结合余弦定理，即可求解； （2）根据题意，求得，结合正弦定理，求得，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）在中，，且，可得， 在中，， 可得，， 在中，，， 可得，由， 可得，解得， 又由余弦定理得：， 所以，所以. （2）因为， 在中，，，可得，， 所以 ， 由正弦定理，可得，解得， 所以 ， 所以. 一、核心基础（必记核心，串联全专题） 1.两大定理核心（公式+本质） 正弦定理：，本质是“边角正弦成正比”，核心作用是“边角互化” 余弦定理：（及变形），本质是“边与角的平方关联”，核心作用是“求边/求角/判断角型” 2.三大关联结论（隐含前提） 内角和：→衍生，（消角关键） 大角对大边：（判断解的合理性、形状的核心） 面积桥梁：（关联正余弦定理、外接/内切圆） 二、题型模块（考点分类，精准定位） 基础型：综合解三角形（知三求三）、判断三角形形状 线段型：中线、角平分线、高线相关计算（含长度、角度、边长关联） 运算型：三角形内恒等变换（边角互化+三角公式化简） 圆相关：外接圆（）、内切圆（）半径计算（关联面积、边长） 应用与最值：实际测量（仰角/俯角/方位角建模）、面积/周长最值（结合不等式/三角函数） 三、方法工具（通用技巧，跨题型适用） 1.边角互化原则 齐次式优先互化（如、） 求角优先角化边，求边优先边化角（简化计算方向） 2.定理选用口诀 两角一边/两边对角→正弦；两边夹角/三边/平方关系→余弦 3.最值求解工具 代数工具：基本不等式（，适用于边长和/积最值） 三角工具：和差化积/二倍角公式（适用于角的三角函数最值） 四、记忆要点（易错区分，强化框架） 1.关键公式速记 特殊线段：中线；角平分线比例；高线 圆半径：，（为半周长） 一、单选题 1．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】根据题意结合余弦定理可得，即可得结果. 【详解】因为，即， 所以，且，所以. 故选：A 2．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】D 【分析】先根据正弦定理求出的长度，然后在直角三角形中根据边长关系求解出结果. 【详解】在中，，，米， 在中，由正弦定理可得，所以， 又因为， 所以，解得米， 在中，，米， 所以米， 故选：D. 3．在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】C 【分析】根据诱导公式和正弦定理化简为，再根据，结合两角和的正弦公式化简，即可求解. 【详解】由条件可知，即， 因为， 所以， 整理为， 所以， 所以是等腰三角形. 故选：C 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】在中，由及正弦定理得到，再利用余弦定理即可求出a的值. 【详解】在中，因为， 所以由正弦定理可得. 因为，所以，所以. 将及，代入余弦定理 可得，即，解得， 因为是三角形的边长，所以. 故选：A 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据余弦定理角化边求出，然后利用基本不等式求出的范围，最后根据面积公式即可求解. 【详解】因为， 所以，整理得， 则，解得. 因为，所以，取等条件为， 则的面积. 故选：A 二、填空题 6．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 【答案】 【分析】利用已知条件先求的值，再根据余弦定理求解即可. 【详解】因为， 所以， 又，， 则， 所以，即， 故答案为：. 7．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为 . 【答案】 【分析】根据得出，再利用基本不等式的常数代换即可求解. 【详解】因为角的平分线为，则， 因，且，则， 所以，所以， 则， 当且仅当，即时取等号． 所以的最小值为．    故答案为： 8．在四边形ABCD中，，，，，则 . 【答案】 【分析】借助余弦定理计算可得，再借助可得A、B、C、D四点共圆，且为圆的直径，最后借助正弦定理计算即可得. 【详解】在中，，则， 因为，则， 所以A、B、C、D四点共圆，其中为圆的直径， 所以. 故答案为：. 9．在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【分析】设，根据和余弦定理得到方程，求出，从而得到，，相加可得答案. 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 10．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是 . 【答案】 【分析】由及和角正切公式得，再结合，将问题化为在有解，求范围可得. 【详解】由及已知，有，故， 于是，由，知， 存在使等价于关于的方程在有解， 由，当且仅当时取等号， 所以的取值范围是，故的最小值是. 故答案为： 11．在中，角的对边分别为．则的面积为 . 【答案】 【分析】利用二倍角公式化简，结合正弦定理得出的关系①，再利用余弦定理结合已知条件得出的关系②，联立①②解出，再利用结合三角形内角的性质求出，最后根据面积公式求解． 【详解】， ， ， ， ， ， ， ， ①， ， ②， 联立①②得：， ，， ， ， 故答案为：． 12．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当 m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 【答案】 151.6 【分析】利用正弦定理及直角三角形边角关系求解；利用直角三角形边角关系及差角的正切公式，结合基本不等式求出取得最大值，借助正切函数单调性求解. 【详解】依题意，，， 在中，，则， 在中，， 所以山高； 依题意，且，， 在中，，在中，， 则 ，当且仅当，即时取等号， 正切函数在上单调递增，而，则当且仅当取得最大值时，最大， 所以当时，观测基站的视角最大. 故答案为：151.6； 三、解答题 13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．求A. 【答案】 【分析】根据正弦定理和余弦定理求出，得到. 【详解】因为， 所以， 所以由正弦定理得：，所以， 因为，所以． 14．如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 【答案】(1)证明见解析 (2)（i）；（ii） 【分析】（1）利用正弦定理和角的关系可证结论； （2）（i）利用正弦定理求出，结合三角形全等可得答案； （ii）设出，利用面积公式得到关于的式子，结合二次函数知识可求答案. 【详解】（1）证明：在中，由正弦定理可得; 在中，由正弦定理可得; 因为，所以，所以; 因为，所以. （2）（i）由（1）可知，又，为公共边，所以与全等，所以. 因为的外接圆半径为1，所以,即， 所以或（舍）， 因为，所以， 因为，所以， 所以,即，所以. （ii）设，则，由可得; 面积为 因为，所以，所以当时，取到最大值. 15．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，结合化简等式得的值，代入目标分式化简求解； （2）由确定角，利用向量中点公式的平方形式建立方程求边，再用三角形面积公式计算面积. 【详解】（1）由及正弦定理，得． 又因为，则， 所以， 即． 又因为，则，即， 所以． （2）由（1）知，所以． 因为是的中点，所以． 则， 又，，则， 则，解得或（负值，舍去）． 所以． 16．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)2 【分析】（1）由半角公式、正弦定理、三角和的正弦公式对已知条件进行化简，得到，进而得到，求出角C的值. （2）找出三角形中存在的边角关系，结合正弦定理即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，即， 由正弦定理得，即， 又，所以， 所以，即， 又，所以，所以， 又，所以. （2）因为，所以. 在中，，则. 在中，；在中，. 因为，所以. 因为，所以. 将，代入上式得，，又， 两式相除得，. 所以. 17．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）在三角形中，由余弦定理求解即可； （2）若选①，先求出，再由展开可求出，再由面积公式得出结果，若选②，在中由余弦定理得，再由三角形面积公式得解. 【详解】（1）∵，∴， ∴. ∵，， ∴由余弦定理得： ， ∴. （2）若选①： 在中，由正弦定理得 ∵，∴. 由（1）知.代入上式可得， 解得， ∵ . ∴. ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 若选②：∵，∴. 在中，由余弦定理得： ∴① ∵，∴② ①-②得： ∴ ∵，∴. ∴. ∴花卉种植区域总面积为. 18．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）由正弦定理和三角形的内角和定理，求得，进而求得的大小； 又因为，所以，可得. （2）分别选择条件①②③，结合题意，利用正弦定理、余弦定理和面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：因为，由正弦定理得， 因为，且， 所以，得， 因为，即， 则，又因为，可得， 所以，可得，可得. （2）解：选择条件①：，因为且， 由余弦定理得， 即，解得， 所以为方程的根，解得或， 即或，所以三角形的元素不唯一，不符合题意. 选择条件②：，因为，可得, 由正弦定理，可得， 因为且，所以为锐角且唯一，所以存在且唯一， 又由 ， 由正弦定理可得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 条件③：，由正弦定理，可得， 因为，所以， 又因为，所以为锐角，且唯一确定，所以存在且唯一， 又由， 因为， 所以， 又由正弦定理得，所以， 可得，即，解得，即边上的高为. 19．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）运用辅助角公式，即可得解； （2）先利用三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，即可求得周长. 【详解】（1）因为，所以，则， 即.又，所以，解得. （2）因为的面积为，所以. 又，所以， 则，解得， 所以的周长为. 20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正弦定理边角化结合三角恒等变换即可求解， （2）根据余弦定理求解，即可由正弦定理求解，进而由锐角三角函数即可求解. 【详解】（1），， 根据正弦定理，得，即，，， ，，，又，. （2），，，根据余弦定理得,， ，， 在中，由正弦定理知，，， ，，， ，. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 重难点突破03 正余弦定理常考题型归纳 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1 ：必备核心知识 1.正余弦定理核心 正弦定理：；核心变形：（边角互化关键）、正弦定理：（为外接圆半径）；核心变形：①边化角：、、（适用于式子为正弦齐次式或需用角表示边的场景）；②角化边：等（适用于用边表示角简化计算）；③隐含结论：（因，适用于消去一个角的恒等变换） 余弦定理：；核心变形：（求角核心）余弦定理：（为角对边）；核心变形：（求角核心，适用于已知三边或两边夹角求角，可直接判断角为锐角、直角或钝角）；适用场景：涉及边的平方关系、已知两边夹角求第三边时优先使用 2.特殊线段公式 中线：；角平分线：（比例）、；高线：①中线：（为边上中线），适用于已知两边求中线或已知中线求边长；辅助思路：可拆分三角形为两个小三角形，用余弦定理列方程求解（当记不清公式时适用）；②角平分线：比例关系（在上），适用于求线段比例或拆分边长；长度公式，适用于直接求角平分线长度；辅助思路：面积法（）建立方程，避免记复杂公式；③高线：（为边上高线），适用于求高线长度或通过高线求角/边；核心要点：高线与对应边垂直，可构建直角三角形用三角函数求解 3.面积与周长核心 面积：；周长：①面积：核心公式（已知两边夹角优先用，高频考点）；关联外接圆：（已知三边和外接圆半径，或已知两边及外接圆半径求面积）；关联内切圆：（已知周长和内切圆半径，或求内切圆半径）；海伦公式（，已知三边直接求面积，无需求角）；②周长：基础公式；转化公式（已知外接圆半径和角，或求周长最值时适用） 4.外接/内切圆关键 外接圆：；内切圆：（）；直角三角形：①外接圆：核心公式（已知一边及对角直接求，最常用）；辅助公式（已知三边或面积时求）；特殊结论：直角三角形（快速求解，无需计算角）；②内切圆：核心公式（为半周长，已知面积和周长即可求）；特殊结论：直角三角形（为斜边，直接用直角边和斜边求解）；实用要点：、常与面积、边长联动，解题时可优先关联面积公式 5.辅助结论 恒等变换：、；最值：基本不等式；内角和①恒等变换：常用公式（二倍角，适用于化简三角函数式）、（和差化积，求角的三角函数和最值时优先用）；核心技巧：利用将多角转化为单角（如），简化运算；②最值相关：基本不等式（，适用于边长乘积或和的最值，注意等号成立条件）；内角范围约束：，故，（求最值时需结合范围判断）；③必备前提：（所有三角形问题的隐含条件，恒等变换、求角范围必用） 知识点2：必备核心解法 1.综合解三角形 ①判断已知条件类型（两角一边/两边一角/三边）；②选定理：两角/两边对角用正弦，两边夹角/三边用余弦；③验证解（大角对大边、内角和）①判断已知条件类型：明确是“两角一边”（如）、“两边一角”（如）还是“三边”（），这是选定理的关键；②精准选定理：两角一边/两边及其中一边的对角→优先正弦定理；两边夹角/三边→优先余弦定理；③验证解的合理性：核心依据“大角对大边”（如则）和“内角和为”；特别注意：两边及对角题型需先算，对比与、的大小，判断解的个数（无解/一解/两解），避免漏解或多解 2.判断三角形形状 ①边化角：正弦定理转化为角，恒等变换判断角关系；②角化边：转化为边，代数运算判断边关系；③结合大角对大边快速判定核心思路：通过边角互化转化为纯边或纯角关系，再判断关系；①边化角法：用正弦定理将边转化为角，结合恒等变换化简，判断角的关系（如则或）；适用场景：式子中角的三角函数形式更易化简时；②角化边法：用正弦定理将角转化为边，通过代数运算（如配方、因式分解）判断边的关系（如则直角三角形）；适用场景：式子中边的关系更直观时；③快速判定技巧：结合“大角对大边”，若已知角的大小关系，可直接对应边的关系，辅助验证形状 3.面积与周长计算 面积：已知两边夹角直接用，三边用海伦公式，边角混合先补全缺失量；周长：已知边角用正弦转化求和，已知特殊线段先求边长再求和①面积计算：按已知条件选公式：已知两边夹角→直接用；已知三边→用海伦公式；已知边角混合（如）→先由正弦定理求另一边，再用夹角面积公式；已知或→用或；关键：若缺少核心量（如、某条边），先通过正余弦定理补全；②周长计算：已知三边→直接相加；已知边角（如）→用正弦定理将角转化为边（、），再求和；已知特殊线段（中线/角平分线）→先通过专用公式求对应边长，再汇总三边求和；实用技巧：周长与面积联动时，可先求面积再反推边长，或反之 4.中线/角平分线/高线题型 中线：中线定理/向量法/拆分三角形列余弦方程；角平分线：比例定理/长度公式/面积法；高线：面积法/拆分直角三角形求解①中线题型：优先策略→中线定理（已知两边求中线或已知中线求边，直接套公式）；备选策略：向量法（），通过向量数量积求角（已知中线和两边，求夹角时适用）；应急策略：拆分三角形（如和），利用两三角形共中线，列余弦定理方程（记不清中线公式时用）；②角平分线题型：核心步骤→先由角平分线比例定理（）求线段比例，拆分边长；求长度→用角平分线长度公式或面积法（，代入面积公式建立方程，计算量更小）；③高线题型：最简方法→面积法（，已知面积和对应边即可求）；核心思路→高线构建直角三角形，利用三角函数（如）或勾股定理求未知量（已知角或其他边时适用）；注意：高线可能在三角形内或外，需结合三角形类型（锐角/钝角）判断 5.恒等变换题型 ①边角互化（齐次式优先）；②用内角和消去一角；③结合二倍角、和差化积化简；④按所求目标定向变形核心目标：化简式子，求出未知角或边的关系；①边角互化：优先处理齐次式（判断标准：各项边的次数相同，或角的正弦次数相同，如、），非齐次式需结合其他定理（如余弦定理）；②消角技巧：利用，将其中一个角用另外两个角表示（如），代入式子消去一个角，减少变量；③化简方向：结合所求目标，若求角则化简为单一角的三角函数（如），若求边则化简为边的代数关系；④常用工具：二倍角公式、和差化积公式、同角三角函数基本关系（），灵活搭配使用 6.外接/内切圆问题 ①求半径：套核心公式，补全缺失量；②关联边/角：将、代入定理建方程；③直角三角形用特殊结论快速解①求半径：核心逻辑→套对应核心公式，缺什么补什么；如求缺，则先由余弦定理求，再求；求缺，则先由正余弦定理求面积；②关联边/角：将、代入正余弦定理或面积公式，建立等式（如已知和，则，可直接用表示）；③特殊三角形简化：直角三角形直接用专用结论（），等边三角形、（为边长），节省计算时间 7.实际应用 ①建模转化为三角形，标注已知量；②选正弦/余弦定理；③计算求解；④验证实际合理性核心步骤：建模→选定理→计算→验证；①建模转化：将实际场景（如测量距离、高度）转化为三角形问题，明确已知量（边长、角度：仰角/俯角/方位角）和所求量；关键：准确标注角度，方位角是“正北顺时针转至目标方向的角”，仰角/俯角是“视线与水平方向的角”，利用平行线性质转化为三角形内角；②选定理：根据建模后的三角形已知条件，按综合解三角形的定理选择原则判断（两角一边用正弦，两边夹角用余弦）；③计算求解：代入定理公式计算，注意单位统一（如海里、米）；④验证合理性：结果需符合实际场景（如长度为正、角度在合理范围），避免因建模错误导致荒谬答案 8.面积与周长最值 面积最值：固定角与对边，用余弦+基本不等式求最大值；周长最值：固定角与对边，和差化积求三角函数最大值，或用基本不等式关联边长核心思路：利用定理和不等式/三角函数单调性求最值，关键验证等号成立条件；①面积最值：常见场景“固定角和对边”→由余弦定理，结合基本不等式，求出的最大值，再代入得面积最大值；等号成立条件：（此时三角形为等腰三角形）；②周长最值：常见场景“固定角和对边”→由正弦定理将周长转化为，利用和差化积公式，当时最大，即周长最大；也可利用基本不等式关联边长求和的最值；注意：所有最值需满足“能构成三角形”，即等号成立时的边/角关系符合内角和为、大角对大边的条件 知识点3：常见误区规避 1.综合解三角形 误区：忽略两边对角的解个数判断、未验证角范围；规避：先算定解数，检查值范围，结合大角对大边验证误区1：忽略两边对角题型的解个数判断，直接得出一个解，导致漏解或多解；原因：未考虑三角形大角对大边的隐含条件；规避：先计算，对比与、的大小（无解，一解，两解，一解），结合示意图辅助判断；误区2：未验证角的范围，出现仍继续计算；规避：先检查值是否在内，再结合大角对大边验证角的合理性（如则，若求出则解错误） 2.判断形状 误区：随意约去公因式漏解；规避：移项用和差化积化简，确保不遗漏解误区：等式变形时随意约去含三角函数或边长的公因式（如由直接约去得，忽略的情况），导致漏解；原因：未考虑公因式可能为0或三角函数的多解性；规避：优先移项，将式子化为“一边为0”的形式（如），再用和差化积等公式化简（转化为），逐一分析因式为0的情况，确保不遗漏解 3.特殊线段题型 误区：混淆公式、误用定理；规避：牢记公式核心，角平分线先求比例再求解，高线标注垂直关系明确对应角误区1：混淆特殊线段公式（如错记中线定理为），导致计算错误；规避：牢记公式核心逻辑（中线定理：4倍中线平方=2倍两边平方和-第三边平方），记不清时用拆分三角形列方程的方法替代；误区2：角平分线题型直接用余弦定理求长度，计算量大且易出错；规避：先由角平分线比例定理拆分边长，再用面积法建立方程，减少计算量；误区3：高线与非对应边关联（如将边上的高线错用为）；规避：画图标注高线与边的垂直关系，明确对应边，关联或（即高线=邻边×对角正弦） 4.恒等变换 误区：忽略内角和关联；规避：优先用内角和消去一角再化简误区：忽略三角形内角和的关联作用，单独化简多个角的三角函数，导致式子复杂无法求解；原因：未利用的隐含条件简化变量；规避：看到式子中有多个角（如、、）时，优先用内角和消去一个角（通常消去，转化为、的关系），再进行恒等变换，减少变量个数 5.外接/内切圆 误区：混淆半径公式；规避：牢记关联边与对角正弦，关联面积与半周长误区：混淆外接圆与内切圆半径公式（如错用、）；原因：未明确两半径的核心关联对象；规避：牢记核心区别：外接圆半径关联“边和对角的正弦”（核心公式），内切圆半径关联“面积和半周长”（核心公式）；辅助记忆：直角三角形的特殊结论（），通过特殊情况验证公式正确性 6.实际应用 误区：混淆角定义、建模错误；规避：明确方位角/仰角定义，用平行线性质转化角度为三角形内角误区1：混淆方位角、仰角/俯角的定义，导致建模错误（如将方位角当作三角形内角、将俯角当作与竖直方向的角）；规避：建模时先明确角的定义，画图标注：方位角从正北顺时针标注，仰角/俯角与水平方向平行标注，再利用平行线的内错角、同旁内角性质，将实际角度转化为三角形的内角；误区2：未验证结果的实际合理性（如求出的距离为负数、角度大于180°）；规避：计算完成后，检查结果是否符合实际场景（长度为正、角度在0°~180°之间），不符则重新建模或检查计算 7.最值问题 误区：忽略基本不等式等号条件、扩大角范围；规避：验证等号成立的边/角关系，结合题设确定角范围误区1：用基本不等式求最值时，忽略等号成立条件（如未验证是否能构成三角形）；原因：未考虑“等号成立”与“三角形存在”的兼容性；规避：求出最值后，必须验证等号成立时的边/角关系是否符合三角形定义（如且，则三角形为等边三角形，符合内角和要求）；误区2：扩大角的范围（如认为的最大值为1，就直接取，忽略题设中的约束条件）；规避：先结合题设已知角，确定未知角的范围（如已知，则，），再在范围内求三角函数的最值 【题型1 正余弦定理面积公式综合解三角形】 例1．记的内角，，的对边分别为，，，若，则 . 例2．（25-26高三上·上海浦东新·期末）中，，，，则 . 变式1．（2025·上海徐汇·一模）在中，角、、的对边分别为、、，已知，． (1)若，求的面积； (2)若内角的对边，求角的正弦值及外接圆的半径． 变式2．（2025·上海静安·一模）在中，将角所对边的边长分别记作.设.若，，则的面积为 ． 【题型2 判断三角形的形状】 例1．（25-26高三上·上海浦东新·期中）在中，，则的形状是（    ）. A．直角三角形 B．底边为的等腰三角形 C．底边为的等腰三角形 D．底边为的等腰三角形 例2．（24-25高一下·上海浦东新·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c.若，则该三角形一定是（    ） A．正三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形 变式1．（24-25高一下·上海青浦·月考）在△ABC中，若，则△ABC的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形或直角三角形 D．无法判断 变式2．（23-24高一·上海·课堂例题）根据下列条件，分别判断三角形ABC的形状： (1)； (2)． 【题型3 三角形面积周长的计算】 例1．（25-26高三上·上海嘉定·期中）在中，，. (1)若，求的值，以及的面积; (2)若，求. 例2．（25-26高三上·上海·月考）在中， . (1)求； (2)求c以及的值. 变式1．（25-26高三上·上海·开学考试）在中，角、、对应边为、、，其中． (1)若，且，求边长的值； (2)若，求的面积． 变式2．（23-24高一下·上海嘉定·期中）在中， 内角所对的边分别为， 已知． (1)求； (2)若的面积为，求的周长． 【题型4 三角形面积周长的最值与范围】 例1．（25-26高三上·上海·期中）在中，角所对边的边长分别为，且满足． (1)求角的值； (2)若外接圆的直径等于4，求面积的最大值． 例2．（25-26高三上·上海松江·期中）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且． (1)若，，求a； (2)若，求的面积的最大值． 变式1．（24-25高一下·上海·期中）在中，，，分别为角，，所对的边，若，且，则面积的最大值为 ． 变式2．（2025·上海·模拟预测）已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 (1)求的值； (2)若，为钝角，求面积的最大值． 【题型5 三角形的中线问题】 例1．记的内角，，的对边分别为，，.已知，，. (1)求； (2)若是的中点，，求的面积. 例2．在中，角，，所对的边分别是，，，且． (1)求； (2)若边上的中线为，，，求的值． 变式1．在中，. (1)求角的大小； (2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度． 条件①．的周长为；条件②．；条件③．边上的高线长为1．注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 变式2．在中，角的对边分别为．已知． (1)求角的大小； (2)若，的面积为，线段的中点为，求的长． 【题型6 三角形的角平分线问题】 例1．已知的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求C； (2)若C的平分线与交于点D，且，求的最小值. 例2．记的内角，，的对边分别为，，，已知，为中点，且，的角平分线交于点，且. (1)求； (2)求. 变式1．在中，角所对的边分别为，满足． (1)求角； (2)为边上一点，若为角的平分线，且，求的最小值． 变式2．在中，内角所对的边分别为. (1)求； (2)若的角平分线交于点，且，求. 【题型7 三角形的内心问题】 例1．在①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并解答.记的内角所对的边分别是，已知__________. (1)求. (2)设为的内心（三角形三条内角平分线的交点），且满足，求的面积. 例2．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知，，且. (1)求； (2)若O为的内心，求的面积. 变式1．在中，角所对的边分别为，已知，且满足 (1)求角的大小 (2)的内心为，求周长的取值范围. 变式2．从①；②这两个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解答． 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足：______．注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分． (1)求角C的大小； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围； (3)若，的内心为I，求周长的取值范围． 【题型8 三角形的外心问题】 例1．锐角的外心为O，满足． (1)求A的值； (2)延长BO交AC于D，若，求的值． 例2．在中，内角的对边分别为，且． (1)求； (2)若为的外心，为边的中点，且，求周长的最大值． 变式1．在中，角所对的边分别记作已知的周长为，且有． (1)求的面积； (2)设内心为，外心为O，，求外接圆半径． 注：在中，有，其中r和R分别为三角形内切圆与外接圆的半径． 变式2．内角，，的对边分别为，，．若，，点在边上，并且，为的外心，则之长为（    ） A． B． C． D． 【题型9 边角互化求角/求边长】 例1．在中，角的对边分别是，若，则 （    ） A．2 B．3 C． D． 例2．的内角，，所对的边分别是，，，已知，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 变式1．在中，角的对边分别为，若，则（    ） A．6 B．4 C．3 D．2 变式2．在中，角所对的边分别为，已知，则角等于（    ） A． B． C． D． 【题型10 解三角形中的恒等变换】 例1．记的内角，，的对边分别为，，，已知. (1)证明：； (2)求的最大值. 例2．已知的内角的对边为，且． (1)求； (2)若，求证：． 变式1．在中，，则的取值范围为 ． 变式2．锐角中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，且，则的取值范围为 【题型11 解三角形的实际应用】 例1．（2025·上海闵行·一模）草坪上有一个带有围栏的边长为30m的正三角形活动区域ABC，点在边BC上，且，小闵同学在该区域玩耍，他在处放置了一个手电筒，若手电筒发出的光线张角（任两条光线的最大夹角）为，则手电筒在ABC内部所能照射到的地面的最大面积为 例2．（2025·上海长宁·一模）如图，两塔的塔尖分别为，塔底分别为，塔身均垂直水平面已测得与的距离，4名同学分别测得如下4组数据： ①，，；②，，； ③；④． 其中不能唯一确定与之间距离的数据的序号有 ． 变式1．（25-26高二上·上海·开学考试）2020年12月8日，中国和尼泊尔联合公布珠穆朗玛峰最新高程为8848．86（单位：m），三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一，如图是三角高程测量法的一个示意图，现有、、三点，且、、在同一水平面上的投影、、满足，，由点测得点的仰角为，与的差为100；由点测得点的仰角为，则、两点到水平面的高度差约为 ． 变式2．（24-25高一下·上海浦东新·月考）塔是一种在亚洲常见的，有着特定的形式和风格的中国传统建筑. 如图，为测量某塔的总高度 ，选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，米，在C点测得塔顶 A 的仰角为，则塔的总高度为 . 【题型12 多个三角形背景下的解三角形】 例1．（25-26高三上·上海徐汇·期中）如图，平面凸四边形中，，且是边长为2的等边三角形.    (1)若，求. (2)若线段（不含端点）上存在动点，满足，记，求关于的函数. 例2．如图，在四边形中，． (1)求的值； (2)若，且的面积是面积的4倍，求的长． 变式1．如图，在平面四边形中，，与交于点，记. (1)用表示； (2)求四边形面积的取值范围； (3)当为何值时，. 变式2．如图，在四边形中，，，平分且与相交于点． (1)若的面积为，求； (2)若，求的面积． 一、核心基础（必记核心，串联全专题） 1.两大定理核心（公式+本质） 正弦定理：，本质是“边角正弦成正比”，核心作用是“边角互化” 余弦定理：（及变形），本质是“边与角的平方关联”，核心作用是“求边/求角/判断角型” 2.三大关联结论（隐含前提） 内角和：→衍生，（消角关键） 大角对大边：（判断解的合理性、形状的核心） 面积桥梁：（关联正余弦定理、外接/内切圆） 二、题型模块（考点分类，精准定位） 基础型：综合解三角形（知三求三）、判断三角形形状 线段型：中线、角平分线、高线相关计算（含长度、角度、边长关联） 运算型：三角形内恒等变换（边角互化+三角公式化简） 圆相关：外接圆（）、内切圆（）半径计算（关联面积、边长） 应用与最值：实际测量（仰角/俯角/方位角建模）、面积/周长最值（结合不等式/三角函数） 三、方法工具（通用技巧，跨题型适用） 1.边角互化原则 齐次式优先互化（如、） 求角优先角化边，求边优先边化角（简化计算方向） 2.定理选用口诀 两角一边/两边对角→正弦；两边夹角/三边/平方关系→余弦 3.最值求解工具 代数工具：基本不等式（，适用于边长和/积最值） 三角工具：和差化积/二倍角公式（适用于角的三角函数最值） 四、记忆要点（易错区分，强化框架） 1.关键公式速记 特殊线段：中线；角平分线比例；高线 圆半径：，（为半周长） 一、单选题 1．在中，满足，则（    ） A． B．或 C． D．或 2．小河的对岸有一棵树，设树底为，树顶为．如图，为了测量这棵树的高度，在河的另一侧选取两点，使得在同一水平面上，且三点共线，米．若在处测得树顶的仰角为，在处测得树顶的仰角为，则这棵树的高度（    ） A．米 B．米 C．米 D．米 3．在中，分别为内角所对的边，若，则此三角形一定是（   ） A．等腰直角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰或直角三角形 4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，，则a的值为（   ） A．2 B．3 C． D．4 5．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的面积的最大值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．的内角的对边分别为，已知，，，则 ． 7．已知在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，，角A的平分线交边于点D.若，则的最小值为 . 8．在四边形ABCD中，，，，，则 . 9．在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 10．已知为锐角，若存在，使得，则的最小值是 . 11．在中，角的对边分别为．则的面积为 . 12．目前，中国已经建成全球最大的5G网络，无论是大山深处还是广袤平原，处处都能见到5G基站的身影.如图，某同学在一条水平公路上观测对面山顶上的一座5G基站AB，已知基站高m，该同学眼高1.6m（眼睛到地面的距离），该同学在初始位置C处（眼睛所在位置）测得基站底部B的仰角为37°，测得基站顶端A的仰角为45°.求出山高 m（用参考数据进行计算）；如图，当该同学面向基站AB前行时（保持在同一铅垂面内），记该同学所在位置C处（眼睛所在位置）到基站AB所在直线的距离m，且记在C处观测基站底部B的仰角为，观测基站顶端A的仰角为.试问当 m时，观测基站的视角∠ACB最大？（参考数据：，，，，.） 三、解答题 13．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．设．求A. 14．如图，在平面四边形ABCD中，. (1)证明：； (2)已知的外接圆半径为1. （i）若，求； （ii）求面积的最大值. 15．在中，内角所对的边分别为，且． (1)求的值； (2)如图，若是边的中点，，，求的面积． 16．在中，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且满足． (1)求角C的大小； (2)若点D在边AB上，且满足，求的值． 17．为助力第四届湖南旅游发展大会，提高游客舒适度，岳阳政府决定新增若干休闲区域.如图，某休闲区域是四边形，其四周是步道，中间是花卉种植区域，为方便观赏，中间穿插了步道，已知，，，. (1)求步道的长； (2)若________；求花卉种植区域总面积. 从①，②这两个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答. 18．在中，，． (1)求A； (2)从下列三个条件中选择一个作为已知，使得存在且唯一，求BC边上的高h． 条件①：；条件②：；条件③：． 注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分． 19．已知的内角的对边分别为，且. (1)求； (2)若的面积为，求的周长. 20．在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且. (1)求B； (2)已知D为边上的一点，且.若，，求的长； 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $