精品解析：山东省临沂第三十四中学2025-2026学年上学期第二次阶段检测九年级数学试题

九年级数学阶段学习验收 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 6. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 7. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ） A. B. C. D. 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 扇形的半径为9，弧所对的圆心角为，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为______． 12. 当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的取值范围是_____． 13. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______． 14. 如图，，分别是的边上的点，且，若，则________． 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 三．解答题（共5小题，共55分） 16. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 18. 如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 19. 利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y＝的图象性质． (1)补充表格，并画出函数的图象． ①列表： x … -3 -1 0 2 3 5 … y … -1 -2 -4 4 1 … ②描点并连线，画图． (2)观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ． (3)函数y=的图象是由函数y=的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 ． (4)根据上述经验，猜一猜函数y=+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 ． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 21. 问题提出 （1）如图①，中，点D在边上，且，过D作，交于点E，若，则 ； 问题解决 （2）如图②，矩形中，点E、F分别在边上，且，过E作，交于点G，连接，交于点M．若，求的最大值； 问题探究 （3）如图，正方形中，点E、F、G、H分别在边上，且，相交于点M，，已知正方形的边长为16，长为20，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学阶段学习验收 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数图象上点的坐标特征，熟知反比例函数图象上各点的坐标一定适合此函数的解析式是解题的关键，根据反比例函数图象上点坐标特点进行判断即可． 【详解】解：反比例函数的， 点所在的反比例函数的， 反比例函数的图象一定经过的点是， 故选：D． 2. 为增强学生健康饮食意识，某中学计划开展“营养健康伴成长，合理膳食筑未来”主题教育活动，从3名志愿者（2名男生，1名女生）中随机抽取2人担任活动宣讲员，抽取的恰好是1名男生和1名女生的概率是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列举法求概率，列举出所有等可能结果数是解题的关键． 通过列举所有可能抽取结果数和恰好抽取1名男生和1名女生，然后运用概率公式求解即可． 【详解】解：∵从3人（2男1女）中随机抽取2人，所有可能结果为：（男1，男2）、（男1，女）、（男2，女），共3种．其中恰好1男1女的结果为：（男1，女）、（男2，女），共2种． ∴恰好是1名男生和1名女生的概率是． 故选D． 3. 下列条件不能判定ADB∽ABC的是（ ） A. ∠ABD＝∠ACB B. ∠ADB＝∠ABC C. ＝ D. AB2＝AD•AC 【答案】C 【解析】 【分析】根据有两个角对应相等的三角形相似，以及根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，分别判断得出即可． 【详解】解：A、∵∠ABD=∠ACB，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； B、∵∠ADB=∠ABC，∠A=∠A， ∴△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； C、=不能判定△ADB∽△ABC，故此选项符合题意． D、∵AB2=AD•AC， ∴，∠A=∠A，△ABC∽△ADB，故此选项不合题意； 故选C． 【点睛】点评：本题考查了相似三角形的判定，利用了有两个角对应相等的三角形相似，两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似． 4. 若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，先确定图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小再根据性质判定大小即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴反比例函数图象分布在第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小． ∵， ∴点A在第三象限， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，一个底部呈球形的烧瓶，球的半径为，瓶内液体的最大深度，则截面圆中弦的长为（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了垂经定理，勾股定理，解题的关键是熟练掌握知识点．由垂径定理和勾股定理求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图所示，连接,可知三点共线， 由题意得：， 在中，根据勾股定理得， 即截面圆中弦AB的长为， 故选：C． 6. 如图，在中，，为斜边上一点，以为直径的圆与相切于点．若，，则的长是（ ）． A. 10 B. 12 C. 13 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查切线的性质，勾股定理及解直角三角形，解题的关键是利用勾股定理建立方程得到圆的半径． 根据题意可得，设半径为，利用勾股定理求出半径，再根据求解即可． 【详解】解：设中点圆心为，半径为，连接， 因为圆与相切于点，所以， 则，即， 解得，， 又， 所以． 故选：B． 7. 自行车的示意图如图所示，其中，，，两车轮的直径均为，现要在自行车两轮的阴影部分（分别以C，D为圆心的两个扇形）装上挡水的铁皮，那么安装单侧（阴影部分）需要A的铁皮面积约（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了扇形的面积计算，是实际应用类题目，需要同学们挖掘隐含的条件．根据自行车的构造，可得四边形是梯形，，从而求出与的度数，代入扇形的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可得，四边形是梯形，， ，， ，， 车轮的直径为， 半径， 则， ∴那么安装单侧（阴影部分）需要的铁皮面积约是． 故选：A． 8. 如图是一把折叠椅子及其侧面的示意图，把一个简易刻度尺与地面垂直放置，其中与“0”刻度线重合，点落在“3”刻度线上，与“5”刻度线重合，若测得，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质．证明，根据相似三角形的性质“相似三角形对应高的比等于相似比”列式计算即可求解． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 9. 如图，点在反比例函数的图象上，轴于点，点在轴上，且．的面积为10，则的值为（ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，在反比例图像上任意一点，从这一点分别向、轴作垂线，所围成的四边形的面积等于．根据比例函数的几何意义可得，根据可得，根据的面积为10列方程即可得答案．正确得出是解题关键． 【详解】解：如图，连接， ∵反比例函数图像在第一象限， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵的面积为10， ∴，即， 解得：． 故选：C． 10. 如图，在平面直角坐标系中，点M坐标为，点A坐标为，以点M为圆心，为半径作，与y轴的另一个交点为B，点C是上的一个动点，连接，，点D是的中点，连接，当线段取得最大值时，点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据三角形中位线的性质得到当为直径（过圆心M）时，最大；然后延长与圆交于点，连接；再由圆周角定理可得，然后由垂径定理得到、求解、，最后求出线段的中点坐标即可． 【详解】解：如图：连接， ∵，点M坐标为，点A坐标为， ∴，， ∵点D是的中点， ∴且， ∴最大时，即当为直径（过圆心M）时，最大； 如图：延长与圆交于点，连接， ∵是直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点， ∵的中点，， ∴的坐标为． 故选：C． 【点睛】本题属于圆的综合题，主要考查了圆周角定理、垂径定理、三角形的中位线、勾股定理、线段的中点等知识，将求线段最大时D的坐标转换成求最大时点D的坐标是解答本题的关键． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 扇形的半径为9，弧所对的圆心角为，则此扇形围成的圆锥底面圆的半径为______． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查了扇形的弧长和圆锥的相关知识，扇形的弧长等于圆锥底面的周长，由此建立方程求解． 【详解】解：扇形的弧长为 ． 设圆锥底面半径为 ，则底面周长为． 由题意，，解得 ． 故答案为：2． 12. 当灯泡两端电压恒定时，通过灯泡的电流与其电阻成反比例，关于的函数图象如图所示，当电流时，电阻的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用．利用待定系数法即可求出电流关于电阻的函数关系式，将代入函数关系式解出即可． 【详解】解：设， 根据题目条件知，当时，， 故， ， ， 当电流时， 即， ， 所以当电路中的电流时，电阻的取值范围是， 故答案为：． 13. 在方格图中，以格点为顶点的三角形叫做格点三角形．在如图所示的平面直角坐标系中，格点、成位似关系，则位似中心的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】主要考查位似图形的性质． 根据题意确定直线的解析式为：，由位似图形的性质得出所在直线与所在直线x轴的交点坐标即为位似中心，即可求解． 【详解】解：由图得：， 设直线的解析式为：，将点代入得： ，解得：， ∴直线的解析式为：， 所在直线与BE所在直线x轴的交点坐标即为位似中心， ∴当时，， ∴位似中心的坐标为， 故答案为：． 14. 如图，，分别是的边上的点，且，若，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，根据题意可得，进而得；根据得，即可求解； 【详解】解：∵， ∴ ∴ ∵ ∴， ∴ ∴ 故答案为： 15. 如图是一块三角形钢材，其中边，高，把它加工成正方形零件，使正方形的一边在上，其余两个顶点分别在上，则这个正方形零件的边长是______cm 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质：相似三角形对应高的比等于相似比，正确理解相似三角形的性质是解题的关键．先根据正方形对边平行，可证得，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求解． 【详解】解：是的高， ， 在正方形中，， ，四边形是矩形， 令厘米，则厘米， ，解得． 这个零件的边长为厘米． 故答案为：． 三．解答题（共5小题，共55分） 16. 一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节，书签除图案外都相同，并将4张书签充分搅匀． （1）若从盒子中任意抽取1张书签，恰好抽到“夏”的概率为______； （2）若从盒子中任意抽取2张书签（先抽取1张书签，且这张书签不放回，再抽取1张书签），求抽取的书签恰好1张为“春”，1张为“秋”的概率．（请用画树状图或列表等方法说明理由） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了利用画树状图或列表的方法求两次事件的概率，解题的关键是： （1）用标有“夏”书签的张数除以书签的总张数即得结果； （2）利用树状图画出所有出现的结果数，再找出1张为“春”，1张为“秋”的结果数，然后利用概率公式计算即可． 【小问1详解】 解：∵有4张书签，分别描绘“春”，“夏”，“秋”，“冬”四个季节， ∴恰好抽到“夏”的概率为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：用树状图列出所有等可的结果： 等可能的结果：（春，夏），（春，秋），（春，冬），（夏，春），（夏，秋），（夏，冬），（秋，春），（秋，夏），（秋，冬），（冬，春），（冬，夏），（冬，秋）． 在12个等可能的结果中，抽取的书签1张为“春”，1张为“秋”出现了2次， P（抽取的书签价好1张为“春”，1张为“秋”）． 17. 如图，四边形ABCD为平行四边形，E为边AD上一点，连接AC、BE，它们相交于点F，且∠ACB＝∠ABE． （1）求证：AE2＝EF•BE； （2）若AE＝2，EF＝1，CF＝4，求AB的长． 【答案】（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB， ∵∠ACB＝∠ABE， ∴∠DAC＝∠ABE， ∵∠EAF＝∠EBA，∠AEF＝∠BEA， ∴△EAF∽△EBA， ∴EA：EB＝EF：EA， ∴AE2＝EF•BE； （2） 【解析】 【分析】（1）利用平行四边形的性质得到AD∥BC，则∠DAC＝∠ACB，然后证明△EAF∽△EBA，则利用相似三角形的性质得到结论； （2）先利用AE2＝EF•BE计算出BE＝4，则BF＝3，再由AE∥BC，利用平行线分线段成比例定理计算出AF＝，然后利用△EAF∽△EBA，根据相似比求出AB的长． 【详解】（1）略 （2）∵AE2＝EF•BE， ∴BE＝＝4， ∴BF＝BE﹣EF＝4﹣1＝3， ∵AE∥BC， ∴＝，即＝，解得AF＝， ∵△EAF∽△EBA， ∴＝，即＝， ∴AB＝． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利用图形中已有的公共角、公共边等隐含条件，以充分发挥基本图形的作用，寻找相似三角形的一般方法是通过作平行线构造相似三角形，灵活运用相似三角形的性质表示线段之间的关系．也考查了平行四边形的性质． 18. 如图，内接于，是的直径，点D在上，点C是的中点，过点C作，垂足为点E，的延长线交的延长线于点F． （1）求证：是的切线； （2）若，求的长． 【答案】（1） 证明：连接，     点C是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ，即：， 是半径， 是的切线； （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆的切线的判定，圆周角定理，等腰三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）连接，由圆周角定理得到，然后证明，由，得到，即可证明； （2）先证明，进一步可求，则，可证明为等边三角形，则，可求，那么． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 连接， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等边三角形， ∴， ，， ， ， ∴的长为． 19. 利用图象解决问题”的学习过程．我们可以借鉴这种方法探究函数y＝的图象性质． (1)补充表格，并画出函数的图象． ①列表： x … -3 -1 0 2 3 5 … y … -1 -2 -4 4 1 … ②描点并连线，画图． (2)观察图象，写出该函数图象的一个增减性特征： ． (3)函数y=的图象是由函数y=的图象如何平移得到的？其对称中心的坐标为 ． (4)根据上述经验，猜一猜函数y=+2的图象大致位置，结合图象直接写出y≥3时，x的取值范围 ． 【答案】(1)① 2； ②图象如图所示： ； (2) 当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小； (3)向右平移一个单位长度，(1，0)；(4) y=的图象向上平移2个单位，1＜x≤5． 【解析】 【分析】（1）①利用函数解析式求值即可． ②利用描点法画出函数图象即可． （2）根据图象解答问题即可． （3）根据图象解答问题即可． （4）根据平移的性质解决问题即可． 【详解】解：① 解：（1）①x=3时，y==2． ②略 (2)当x＞1时，y随x的增大而减小，当x＜1时，y随x的增大而减小． (3)函数y=的图象是由函数y=的图象向右平移1个单位得到．y=的对称中心为（1，0）． (4)函数y=+2的图象是由y=的图象向上平移2个单位得到，y≥3时，1＜x≤5． 【点睛】本题考查反比例函数的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 20. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）若是直线上的一个动点，的面积为21，求点坐标； （3）若，请直接写出关于的不等式的解． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题： （1）把代入可得反比例函数解析式；把代入反比例函数解析式求出n的值，再利用待定系数法求一次函数解析式； （2）记直线与直线的交点为，求出点C的坐标，设点，根据即可求解． （3）运用数形结合思想，得出当时，则或，即可作答． 【小问1详解】 解：依题意把代入，得出， 解得， 反比例函数的解析式为：； 把代入中，得出， ， 则把和分别代入， 得出， 解得， ； 【小问2详解】 解：如图，记直线与直线的交点为， 当时，则 ， 是直线上的一个动点， 设点， 的面积为21， ， 即， ， 解得或， 点坐标为或． 【小问3详解】 解：依题意，一次函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． 则结合图象，当时，则或． 21. 问题提出 （1）如图①，中，点D在边上，且，过D作，交于点E，若，则 ； 问题解决 （2）如图②，矩形中，点E、F分别在边上，且，过E作，交于点G，连接，交于点M．若，求的最大值； 问题探究 （3）如图，正方形中，点E、F、G、H分别在边上，且，相交于点M，，已知正方形的边长为16，长为20，的面积是否存在最大值？若存在，请求出的面积的最大值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）4（2）（3）存在，32 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，二次函数求最值．熟练掌握相似三角形的性质，利用二次函数的性质求最值，是解题的关键． （1）证明，利用相似比，进行求解即可； （2）根据，设，证明，利用相似比用含的式子表示，转化为二次函数求最值即可得解； （3）过点作于点，交于点，先根据．设，，证明四边形为矩形得到，再证明和，进一步求出，最后根据，得到，进一步应用二次函数的性质得到答案． 【详解】解：（1）∵， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴设，，，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为； （3）的面积存在最大值，理由如下： 如图，过点作于点，交于点， ∵， ∴设，， ∵四边形是正方形，边长为， ∴，，， ∴四边形为矩形， ∴； ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∵， ∴当时，有最大值，最大值为32． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $