08 比例的意义（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

08 比例的意义 知识点精讲 知识点一 比例的意义 内容 比例的意义 1、表示两个比相等的式子叫作比例，用字母表示就是a：b=c：d。 2、在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。这叫作比例的基本性质。用字母表示：如果a：b=c：d,那么 ad=bc。 3、求比例中的未知项的过程，叫作解比例。 4、解比例的依据是比例的基本性质。 【典型例题1】能与∶组成比例的是（    ）。 A．4∶5 B．10∶8 C．∶ D．20∶25 【典型例题2】如果＝（A、B均不为0），那么A∶B＝（    ）。 A．2024∶2025 B．2023∶2022 C．2023∶1011 D．1011∶2023 【典型例题3】解比例。                                  【典型例题4】师傅8分钟加工30个零件，徒弟每分钟加工3个零件，师徒二人合作完成一批零件，两人完成加工任务后共得工钱3600元。按照加工零件的数量分工钱，师徒两人各得工钱多少元？ 【变式训练1】下列各组比中，一定能组成比例的是（    ）。 A．3∶4和8∶6 B．0.4∶2.5和4∶0.25C．和 D．和 【变式训练2】比例2∶3＝6∶9的内项3增加9，要使比例成立，外项9应该增加（    ）。 A．9 B．18 C．27 D．36 【变式训练3】解比例。 2.7：3.2＝x÷4.8                【变式训练4】一铁路隧道长2000米，一列火车从车头进入隧道到车尾离开隧道用了1分钟，整列火车完全在隧道内的时间是40秒。求火车的车长及其行驶的速度。 1．把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是（    ）。 A．1.35 B．3.75 C．33.75 D．2.25 2．下列选项中，能与组成比例的是（    ）。 A．1∶3 B．2.5∶3 C．3∶5 D．18∶12 3．希望小学课后开展了丰富的社团活动。若参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多，则人工智能科创人数∶美术社团人数＝（    ）。 A．2∶5 B．5∶2 C．2∶7 D．7∶2 4．如果，且a，b两数互为倒数，那么m的值为（    ）。 A． B． C．5 D．10 5．当一个人的下肢长与身高比的比值接近0.618时，身材是最优美的。溪溪妈妈的身高为165厘米，下肢长100厘米，溪溪妈妈总觉得她的下肢短了些，因而她外出总是穿高跟鞋，当溪溪妈妈穿的高跟鞋高度约是（    ）时，看上去身材最美。 A．2厘米 B．5厘米 C．10厘米 D．8厘米 6．“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”是北宋哲学家邵雍的一首诗。请从中选四个数组成一个比例：（ ）。 7．3，4，12，9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的一个內项，那么这个比例可以写成（ ）；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成（ ）。 8．在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是4，另一个外项是（ ）；两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是6，另一个内项是（ ）。 9．3D打印是一种快速成型技术，可以“打印”出真实的3D物体。它通过扫描实物生成的3D模型与实物的比是1∶20，若物体的高是150cm，则3D模型的高是（ ）cm。 10．一堆黑白围棋子，从中取走了15粒白子，余下黑子数与白子数之比为2∶1，此后又从中取走了45粒黑子，余下黑子数与白子数之比为1∶5，那么这堆棋子原来共有（ ）粒。 11．解方程。                     12．海海3分走了180m，乐乐1小时走了3.6km。你认为谁说得对？请说明理由。 13．用下图中的4个数据组成不同的比例。（写出所有能组成的比例，单位：cm） 14．美术课上，老师把一些彩色铅笔按4∶3分给甲组和乙组同学。甲组比乙组多分到10支彩色铅笔，甲、乙两组各分到多少支彩色铅笔？ 15．乐乐用240mL的酸梅原汁加500mL水调制了酸梅汤。为了使调制的酸梅汤口感最佳，乐乐应往酸梅汤中加酸梅原汁还是水？加多少？ 知识点一： 【典型例题1】B 【分析】根据比例的意义：表示两个比相等的式子叫做比例，算出各选项的比值，找出与∶的比值相等的选项组成比例即可。据此解答。 【解答】∶的比值为： A．比值为： B．比值为： C．比值为： D．比值为： 故答案为：B 【点睛】此题考查比例的意义，只有两个比的比值相等才可以组成比例。 【典型例题2】A 【分析】根据比例的基本性质“两个外项的积等于两个内项的积”，先将比例式改写成乘法的形式，再将其改写成A∶B的比例式即可。 【解答】由＝可得：2025A＝2024B，那么A∶B＝2024∶2025。 故答案为：A 【典型例题3】x＝0.6；x＝20；x＝130 【分析】（1）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式4x＝0.8×3，再根据等式的性质，在方程两边同时除以4即可； （2）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式2x＝25×1.6，再根据等式的性质，在方程两边同时除以2即可； （3）根据比例的基本性质，把比例式化为乘积式，再根据等式的性质，在方程两边同时除以即可。 【解答】 解：4x＝0.8×3 4x＝2.4 4x÷4＝2.4÷4 x＝0.6 解：2x＝25×1.6 2x＝40 2x÷2＝40÷2 x＝20 解： x＝130 【典型例题4】师傅2000元；徒弟1600元 【分析】先求出师傅每分钟加工的零件数：30÷8＝（个）， 再求出师傅和徒弟的工效之比，∶3＝5∶4，再把两人完成加工任务后共得工钱3600元按5∶4进行分配即可。 【解答】30÷8＝（个）， ∶3＝5∶4， 3600×＝2000（个） 3600×＝1600（个） 答：师傅得工钱2000元，徒弟得工钱1600元。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答此题的关键是理解把所得的工钱按工作效率的比进行分配。 【变式训练1】C 【分析】表示两个比相等的式子叫作比例，组成比例的四个数，叫作比例的项，两端的两项叫作比例的外项，中间的两项叫作比例的内项，分别求出各比的比值，再找出比值相等的选项，据此解答。 【解答】A．3∶4＝3÷4＝，8∶6＝8÷6＝，因为≠，所以3∶4和8∶6不能组成比例； B．0.4∶2.5＝0.4÷2.5＝（0.4×10）÷（2.5×10）＝4÷25＝，4∶0.25＝4÷0.25＝（4×100）÷（0.25×100）＝400÷25＝16，因为≠16，所以0.4∶2.5和4∶0.25不能组成比例； C．＝＝＝，＝＝＝，因为＝，所以和一定能组成比例； D．＝＝，＝＝，因为不一定等于，所以和不一定能组成比例。 一定能组成比例的是和。 故答案为：C 【变式训练2】C 【分析】根据比例的基本性质内项积等于外项积， 内项3增加9，即12，内项积就变为，外项积也为72，则，所以外项，则外项9应该增加27。 【解答】 故答案为：C 【变式训练3】x＝4.05；x＝2；x＝19 【分析】根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以3.2； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以24； 根据比例的基本性质，把比例改写成形式，再根据等式的性质2，方程左右两边同时除以。 【解答】 解：                                   解：                              解：                         【变式训练4】师傅2000元；徒弟1600元 【分析】先求出师傅每分钟加工的零件数：30÷8＝（个）， 再求出师傅和徒弟的工效之比，∶3＝5∶4，再把两人完成加工任务后共得工钱3600元按5∶4进行分配即可。 【解答】30÷8＝（个）， ∶3＝5∶4， 3600×＝2000（个） 3600×＝1600（个） 答：师傅得工钱2000元，徒弟得工钱1600元。 【点睛】此题主要考查工作时间、工作效率、工作总量三者之间的数量关系，解答此题的关键是理解把所得的工钱按工作效率的比进行分配。 1．D 【分析】4.5，7.5，，这四个数组成比例，把最大数和最小数做内项，其余两个数做外项，据此写出比例， 再根据比例的基本性质：比例的两个内项之积等于两个外项之积，据此解答。 【解答】4.5∶7.5＝∶ 7.5×＝2.25 把4.5，7.5，，四个数组成比例，其内项的积是2.25。 故答案为：D 2．D 【分析】先计算出的比值，再分别求出各选项的比值，通过比较比值是否相等来判断能否组成比例，＝0.5÷＝0.5×3＝1.5，然后计算各选项的比值，再比较即可。 【解答】A．1∶3＝1÷3，1÷3≈0.333，0.333不等于1.5，所以不能组成比例。 B．2.5∶3＝2.5÷3，2.5÷3≈0.833，0.833不等于1.5，所以不能组成比例。 C．3∶5＝3÷5，3÷5＝0.6，0.6不等于1.5，所以不能组成比例。 D．18∶12＝18÷12，18÷12＝1.5，1.5＝1.5，所以能组成比例。 能与组成比例的是选项D中的18∶12。 故答案为：D 3．A 【分析】根据“参加人工智能科创人数的和参加美术社团人数的同样多”可得出等式：人工智能科创人数×＝美术社团人数×；再根据比例的基本性质把它改写成比例式，并化简。 比例的基本性质：在比例里，两个外项的积等于两个内项的积。 【解答】人工智能科创人数×＝美术社团人数× 人工智能科创人数∶美术社团人数＝∶＝（×10）∶（×10）＝2∶5 则人工智能科创人数∶美术社团人数＝2∶5。 故答案为：A 4．C 【分析】比例的基本性质是两内项之积等于两外项之积；互为倒数的两个数的乘积为1。我们可以先根据比例的基本性质得到与，的关系，再结合，互为倒数的条件求出的值。 【解答】由，根据比例的基本性质“两内项之积等于两外项之积”，可得。因为，两数互为倒数，根据倒数的定义，互为倒数的两个数乘积为1，所以，即。两个互为倒数的数乘积是1，所以是的倒数，即是5。 故答案为：C 5．B 【分析】穿上高跟鞋后，下肢长和身高都会发生变化，设高跟鞋的高度为x厘米，则下肢长变为（100＋x）厘米，身高变为（165＋x）厘米。根据下肢长与身高比的比值接近0.618时，身材是最优美的，可列出方程＝0.618，方程两边同时乘（165＋x），然后根据乘法分配律展开括号计算0.618×165，再两边同时减去0.618x，再两边同时减去100，最后两边同时除以0.382计算出x。 【解答】解：设高跟鞋高度约是x厘米。 所以当溪溪妈妈穿的高跟鞋高度约是5厘米时，看上去身材最美。 故答案为：B 6．2∶4＝3∶6（答案不唯一） 【分析】比例表示两个比相等的式子，即两个比的比值相等。诗中的数字有：1、2、3、4、5、6、7、8、9、10，从中选取4个不同的数字，组成两个比值相等的比，如：，，所以组成比例为（答案不唯一）。 【解答】由分析可知，“一去二三里，烟村四五家。亭台六七座，八九十枝花。”是北宋哲学家邵雍的一首诗。请从中选四个数组成一个比例：。（答案不唯一） 7．4∶3＝12∶9 3∶4＝9∶12 【分析】表示两个比相等的式子叫做比例。在比例中，两内项之积等于两外项之间，据此，把3作为内项或外项，写出两个积相等的式子，再写出比例。 【解答】3×12＝4×9＝36 可以写成的比例有： 4∶3＝12∶9 9∶3＝12∶4 3∶4＝9∶12 3∶9＝4∶12 3，4，12，9这四个数字可以组成比例，如果把“3”作为比例的一个內项，那么这个比例可以写成（4∶3＝12∶9或9∶3＝12∶4）；如果把“3”作为比例的一个外项，那么这个比例可以写成（3∶4＝9∶12或3∶9＝4∶12）。 8． 【分析】根据题意，两个内项互为倒数，则这两个内项的积为1，在比例中，两个内项积=两个外项积，所以两个外项的积也为1，另一个外项=外项积÷其中一个外项；两个外项的积是最小的质数，最小的质数是2，所以两个外项积=两个内项积=2，另一个内项=内项积÷其中一个内项；据此解答。 【解答】另一个外项： 另一个内项： 在一个比例里，两个内项互为倒数，一个外项是4，另一个外项是；两个外项的积是最小的质数，其中一个内项是6，另一个内项是。 9．7.5// 【分析】3D模型与实物的比是1∶20，设3D模型的高是xcm，根据比例的意义列出比例方程为：x∶150＝1∶20，解比例即可解答。 【解答】解：设3D模型的高是xcm。 x∶150＝1∶20 20x＝150 x＝150÷20 x＝7.5 所以3D模型的高是7.5cm。 10．90 【分析】设白子的数量为x粒，余下的黑子数与白子数之比为2∶1，那么黑子的数量为2（x－15）粒，再根据“又取走黑子45粒，余下的黑子数与白子数之比是1∶5，”可列比例式（x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1，再解出未知数就是原来白子的数量，再用原来白子数量减去15，再乘2就是原来黑子的数量，再用原来白子的数量加上原来黑子的数量就是原来这堆棋子的数量。 【解答】解：设原来白子的数量为x粒，那么黑子的数量为2（x－15）粒。 （x－15）∶[2（x－15）－45]＝5∶1 （x－15）∶[2x－30－45]＝5∶1 （x－15）∶（2x－75）＝5∶1 x－15＝（2x－75）×5 x－15＝10x－375 x－15＋15＝10x－375＋15 x＝10x－360 x＋360＝10x－360＋360 x＋360＝10x x＋360－x＝10x－x 9x＝360 9x÷9＝360÷9 x＝40 2×（40－15） ＝2×25 ＝50（粒） 40＋50＝90（粒） 所以这堆棋子原来共有90粒。 11．；；； 【分析】，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.3即可；      ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以4即可；       ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以即可；        ，根据比例的基本性质，两内项之积等于两外项之积，将原式转化为，再根据等式的性质2，等式两边同时除以1.5即可。 【解答】                解：                                                 解：                          解：                                      解：                                12．海海说得对；理由见详解 【分析】根据题意可知：海海利用两人各自的所走路程和所用时间的比，判断是否可以组成比例，在分析过程中注意先统一单位，再写成比，求出比值，进行判断，据此解答。 【解答】答：海海说得对。 理由如下： 比值相等，可以组成比例。 13．一共可以组成8个比例。 、、、 、、、 【分析】依据比例的基本性质：两个外项之积等于两个内项之积，一一列举出所有比例。 【解答】6与4作为外项：、、、； 8与3作为外项：、、、。 答：一共可以组成8个比例： 、、、、 、、、。 14．甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 【分析】设乙组分到支，甲组分到支。由题意可知等量关系式，甲组分得的支数∶乙组分得的支数＝4∶3，据此列方程并求解，可得乙组分得的支数，再加10可得甲组分得的支数。 【解答】解：设乙组分到支，甲组分到支。 甲组：30＋10＝40（支） 答：甲组分到40支彩色铅笔，乙组分到30支彩色铅笔。 15．60毫升 【分析】把240mL：500mL化简，再与3：7比较即可确定需要加水还是加酸梅原汁。加水、不是加酸梅原汁。设乐乐应该再往酸梅汤中加水x毫升，则这时的水是毫升，所以就等于，由此列出比例解答即可。 【解答】因为，，所以应往酸梅汤中加水。 解：设应往酸梅汤中加水x毫升。                                                                答：应往酸梅汤中加水，加60毫升。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $