11 解决问题（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

11 解决问题 知识点精讲 知识点一 解决问题 内容 解决问题 1、用正比例知识解决问题的步骤： ①根据不变量判断题中两种相关联的量是否成正比例关系。 ②若成正比例关系，根据正比例的意义列出比例（即方程）。③解比例。 ④检验。 2、如果两种量成反比例，那么按积相等来列比例，通过解比例来解决问题。用比例知识解决实际问题的关键是根据不变量来判断两种相关联的量成哪种比例关系，然后设未知量为x，列出含有未知数的方程。 3、观察表格中的数据，先判断表格中两种量的关系，然后根据“商=商”或“积=积”列出方程解决问题。 4、在方格纸上按一定的比将图形放大或缩小分为三步： 一看，看原图每边各占几格； 二算，计算按给定的比将图形的各边长放大或缩小后得到的新图形每边各占几格； 三画，按计算出的各边长度画出原图形的放大图或缩小图。 【典型例题1】2022年5月，在中国儿童口罩非常短缺的情况下，某工厂4天生产了2400盒儿童口罩。照这样的速度，再生产5天一共可以生产多少盒儿童口罩？（用比例解答） 【典型例题2】如图是两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转多少圈？（用比例的知识解答） 【典型例题3】一个平行四边形的底边长为18cm，高为12cm，先按5∶1的比放大，再按1∶6的比缩小。缩小后的平行四边形的面积是多少平方厘米？ 【变式训练1】乐乐拼出的图形面积和所需拼板的数量如下表。 图形面积/平方米 0 2.4 4.8 7.2 9.6 12 14.4 16.8 … 拼板数量/块 0 4 8 12 16 20 24 28 … （1）判断乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量是否成正比例，并说明理由。 （2）把上表中乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量所对应的点描在方格纸上，再顺次连接。 （3）乐乐拼出一个形状似“蛇”的图形的面积是45平方米，乐乐用了多少块拼板？（用比例解答） 【变式训练2】某童车厂装配一批童车，每天装配的数量与时间如表。 每天装配的数量/辆 60 90 120 时间/天 60 40 30 （1）每天装配的数量与时间成反比例关系吗？为什么？ （2）如果该童车厂每天装配300辆，那么需要多少天？ 【变式训练3】李君在电脑上把下面的照片按比例放大，放大后照片的长是16.5厘米，放大后照片的宽是多少厘米？ 1．下图是斑马和长颈鹿的奔跑情况，它们的奔跑速度相比，（    ）。 A．长颈鹿的奔跑速度快 B．斑马的奔跑速度快 C．一样快 D．不确定谁的奔跑速度快 2．一种钢筋，30米重75千克，现在称得一捆这样的钢筋重130千克，这捆钢筋长（    ）。 A．2.5米 B．25米 C．62米 D．52米 3．在一根粗细均匀竹竿的中点处打个孔并拴上绳子，然后从中点开始每隔8厘米做一个记号，中点为刻度0。如果在左边刻度4上用塑料袋挂6个棋子，则在右边刻度3上用塑料袋挂（    ）个棋子才能保持平衡。 A．7 B．8 C．9 D．10 4．根据图形按放大后得到的图形是（    ）。 A．图形① B．图形② C．图形③ D．三个图形都不是 5．把一个长4厘米，宽3厘米的长方形按放大，得到的图形的面积是（    ）平方厘米。 A．12 B．48 C．60 D．192 6．下图是一个漏水的水龙头的滴水情况统计。这个水龙头平均每小时滴水（ ）L。 7．制本车间装订一批练习本，装订50本，要用纸1800页。如果要多装订650本同样规格的练习本，需要多用（ ）页纸。 8．把一个长和宽分别是5cm和3cm的长方形按4∶1放大后，长变成（ ）cm，宽变成（ ）cm，它的周长扩大到原来的（ ）倍，面积扩大到原来的（ ）倍。 9．笑笑用60个边长为1cm小正方形摆成长方形。 （1）完成下面表格。 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 （2）宽随着长的增加而（    ），但长方形的（    ）不变，所以长方形的长和宽成（    ）比例。 10．看图填一填。 （1）图中（ ）号图形是①号长方形放大后得到的图形，它是按（ ）的比放大的。 （2）图中（ ）号图形是①号长方形缩小后得到的图形，它是按（ ）的比缩小的。 （3）图中（ ）号图形是②号长方形放大后得到的图形，它是按（ ）的比放大的。 11．按3∶1的比画出下面长方形放大后的图形；再按照1∶2的比画出下面平行四边形缩小后的图形。 12．（1）图中三角形A三个顶点的位置用数对表示是（    ）（    ）（    ）。 （2）画出图形A向右平移10格后得到的图形B；然后再以MN为对称轴，画出图形B的轴对称图形。 （3）按1∶2的比画出图形A缩小后的图形。 13．北京市修建地铁第19号线二期北延及北延支线，天天工程队原计划每天修160米，50天完成。如果要提前10天完成，天天工程队每天要修多少米？ 14．在一张长方形彩纸上摆满小正方形，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量如下表所示。 每个小正方形的面积/ 4 9 16 所需小正方形的数量/个 216 96 54 （1）每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成（    ）比例。 （2）如果用面积是的小正方形来摆满这张长方形彩纸，需要多少个小正方形？ 15．复兴号中国高铁标准动车组已经成为闪耀中国的“世界名片”，其所用时间和行驶路程的关系如下表。 时间/分 0 1 2 3 4 5 60 路程/千米 0 5 10 15 20 （1）把上表填完整。 （2）根据表中的数据，可以判断复兴号所行的时间与路程呈（    ）比例。 （3）根据上表的规律，在如图中描点连线表示出复兴号所行的时间与路程的关系。 （4）点（120，600）会在这条直线上吗？说说你判断的理由。 知识点一： 【典型例题1】5400盒 【分析】因为工作效率一定，工作总量和工作时间成正比例关系。设一共可以生产x盒儿童口罩，根据比例关系列方程2400∶4＝x∶（4＋5），据此解答。 【解答】已知4天生产2400盒，总共生产4＋5＝9天， 解：设一共可以生产x盒儿童口罩。 2400∶4＝x∶9 4x＝2400×9 4x＝21600 4x÷4＝21600÷4 x＝5400 答：一共可以生产5400盒儿童口罩 【典型例题2】85圈 【分析】根据“在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的”，即齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，则齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解即可。 【解答】解：设小齿轮每分钟转圈。 答：小齿轮每分钟转85圈。 【典型例题3】150平方厘米 【分析】一个平行四边形的底边和高先按5：1放大，再按1：6缩小，即原有长度先乘5再除以6，即可求出现在的底边和高；再根据平行四边形的面积公式，即可求出平行四边形的面积，据此解答。 【解答】底边：（厘米） 高：（厘米） 面积：（平方厘米） 答：缩小后的平行四边形的面积是150平方厘米。 【变式训练1】（1）成正比例；理由见详解 （2）图见详解 （3）75块 【分析】（1）判断两个相关联的量之间成什么比例，就看这两个量是对应的比值一定，还是对应的乘积一定；如果是比值一定，就成正比例；如果是乘积一定，则成反比例。 （2）根据表格提供的数据，描出各点，然后按顺序连接即可。 （3）可知，拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例，则拼出的图形面积÷拼板的数量＝每块拼板的面积（一定），据此列出正比例方程，并求解。 【解答】（一定） 每块拼板的面积是定值，所以乐乐拼出的图形面积与所需拼板的数量成正比例。 （2）作图如下： （3）解：设乐乐用了块拼板。 ＝ 2.4＝45×4 2.4＝180 2.4＝180÷2.4 ＝75 答：乐乐用了75块拼板。 【变式训练2】（1）成反比例关系；因为每天装配的数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系； （2）12天 【分析】（1）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，则这两种量成反比例关系； （2）用总装配量除以每天装配的数量，可求出需要的时间。 【解答】（1）60×60＝3600（辆） 90×40＝3600（辆） 120×30＝3600（辆） 所有的乘积都是3600，说明每天装配的数量与时间的乘积一定，因此每天装配的数量与时间成反比例关系。 答：每天装配的数量与时间成反比例关系；因为每天装配数量与时间的乘积始终是3600，说明总装配量一定，所以它们成反比例关系。 （2）3600÷300＝12（天） 答：需要12天。 【变式训练3】11厘米 【分析】将照片按照一定的比例放大，也就是图片的长和宽的比值不变，即可以设放大后照片的宽是x厘米，列出比例，根据比例的性质：内项积＝外项积得出方程的解。 【解答】解：设放大后照片的宽是x厘米。 6∶4＝16.5∶x 6x＝16.5×4 6x＝66 6x÷6＝66÷6 x＝11 答：放大后照片的宽是11厘米。 1．B 【分析】看图可知，长颈鹿10分钟跑了8千米，斑马10分钟跑了16千米。速度＝路程÷时间，据此分别求出长颈鹿和斑马的速度，再比较得出谁的奔跑速度更快即可。 【解答】长颈鹿速度：8÷10＝0.8（千米/分） 斑马速度：16÷10＝1.6（千米/分） 1.6＞0.8，所以斑马的奔跑速度快。 故答案为：B 2．D 【分析】根据题意可知，钢筋的总千克数÷总米数＝每米的千克数（一定），则钢筋的总千克数和总米数的比值一定，它们成正比例关系，据此设130千克的钢筋长x米，列比例为130∶x＝75∶30，然后解出比例即可。 【解答】解：设130千克的钢筋长x米。 130∶x＝75∶30 75x＝130×30 75x＝3900 x＝3900÷75 x＝52 这捆钢筋长52米。 故答案为：D 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，熟练掌握判断相关的量是正比例的方法是解答本题的关键。 3．B 【分析】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，且如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，那么它们就叫做成反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。因为竹竿粗细均匀，中点为支点，所以左边棋子数×左边刻度＝右边棋子数×右边刻度，即“棋子数”和“刻度数”成反比例关系；已知左边刻度4上有6个棋子，设右边刻度3上有x个棋子，据此列出方程3x＝6×4，先计算出6×4，然后根据等式的性质，方程两边同时除以3，求解出x，即右边刻度3上应挂棋子的数量。 【解答】解：设在右边刻度3上用塑料袋挂x个棋子才能保持平衡。 3x＝6×4 3x＝24 3x÷3＝24÷3 x＝8 所以在右边刻度3上用塑料袋挂8个棋子才能保持平衡。 故答案为：B 4．C 【分析】图形缩小的意义：图形按照一定比例变小，但形状没有发生变化。 【解答】图形A中的小青蛙所在长方形长为3个单位长度、宽为2个单位长度。 A：长方形长为5宽为2，不与原图形成比例，不合题意； B：长方形长为3宽为4，不与原图形成比例，不合题意； C：长方形长为6宽为4，与原图形的长之比为6∶3＝2∶1，与原图形的宽之比为4∶2＝2∶1，合题意。 故答案为：C 【点睛】图形的缩小不改变图形的形状，且考虑图上距离与实际距离的比，选择③号图形。 5．D 【解析】要求放大后的图形的面积，可以先分别求出放大后图形的长和宽。按4∶1放大，就是把原来长方形的长和宽都放大为原来的4倍。4∶1表示的是放大后∶原来的。 【解答】（厘米） （厘米） （平方厘米） 故选：D。 【点睛】图形按比例变换，是指长宽按比例变换，此时图形的面积并不是按同等比例变换的，我们需要按照面积的计算方法来求变换后的面积。 6．1.2 【分析】图像是一条直线，所以滴水量和时间成正比例关系。水龙头1分钟滴水20mL，用乘法求出一小时的滴水量。1L＝1000mL，据此换算单位即可。 【解答】1小时＝60分钟 20×60＝1200（mL） 1200mL＝1.2L 这个水龙头平均每小时滴水1.2L。 7．23400 【分析】根据题意可知，用纸的总页数÷总本数＝每本用纸的页数（一定），用纸的总页数和总本数的比值一定，它们成正比例，据此设装订同样规格的练习本650本需要x页纸，列比例为x∶650＝1800∶50，然后解出比例即可。 【解答】解：设装订同样规格的练习本650本需要x页纸。 x∶650＝1800∶50 50x＝650×1800 50x＝1170000 x＝1170000÷50 x＝23400 如果要多装订650本同样规格的练习本，需要多用23400页纸。 【点睛】本题主要考查了正比例的应用，判断相关的量是正比例还是反比例是解答本题的关键。 8．20 12 4 16 【分析】由题意知，长方形的长和宽分别扩大到原来的4倍，分别用长和宽乘放大到原来的倍数，即可求出放大后的长和宽；再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，长方形面积＝长×宽，分别求出扩大后的周长和面积，和原来的周长与面积，最后用扩大后的周长除以扩大前的周长即可求出周长扩大到原来的几倍，用扩大后的面积除以原来的面积即可求出面积扩大到原来的几倍。据此解答。 【解答】（cm） （cm）      （cm）      （cm） （cm） （cm） 把一个长和宽分别是5cm和3cm的长方形按4∶1放大后，长变成20cm，宽变成12cm，它的周长扩大到原来的4倍，面积扩大到原来的16倍。 9．（1）见详解 （2）减少；面积；反 【分析】（1）因为用60个边长为1cm的小正方形摆长方形，所以长方形的面积为60×1×1＝60cm2，根据“宽＝面积÷长”，当长为20cm时，宽为60÷20＝3cm；当长为30cm时，宽为60÷30＝2cm。所以表格中依次应填3，2。 （2）观察表格中长和宽的数据，长从10增加到12，宽从6减少到5，10×6＝12×5，12×5＝15×4，所以宽随着长的增加而减少。因为是用60个小正方形摆长方形，所以长方形的面积不变。根据反比例的定义：两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。由于长×宽＝面积（一定），所以长方形的长和宽成反比例。 【解答】（1）60×1×1＝60（cm2） 60÷20＝3（cm） 60÷30＝2（cm） 填表如下： 长方形的长/cm 10 12 15 20 30 长方形的宽/cm 6 5 4 3 2 （2）10×6＝12×5＝60（一定） 12×5＝15×4＝60（一定） 所以长方形的长和宽成反比例。 宽随着长的增加而减少，但长方形的面积不变，所以长方形的长和宽成反比例。 10．（1）⑤ 2.5∶1 （2）③ 1∶2 （3）④ 2∶1 【分析】（1）找①号长方形放大后的图形，只要看比它大的长方形，而且计算长与宽的比是否相等即可判断；进而求出放大的比； （2）找①号长方形缩小后的图形，只要看比它小的长方形，而且计算长与宽的比是否相等即可判断；进而求出缩小的比； （3）找②号长方形放大后的图形，只要看比它大的长方形，而且计算长与宽的比是否相等即可判断；进而求出放大的比。 【解答】（1）①号长方形的长是4格，宽是2格，长：宽＝4：2＝2：1；⑤号长方形的长是10格，宽是5格，长：宽＝10：5＝2：1，因此图中⑤号图形是①号长方形放大后得到的图形。 ⑤号图形长与①号图形长的比为10：4＝2.5：1，因此图形是按2.5：1的比放大的。 （2）①号长方形的长是4格，宽是2格，长：宽＝4：2＝2：1；③号长方形的长是2格，宽是1格，长：宽＝2：1，因此图中③号图形是①号长方形缩小后得到的图形。 ③号图形长与①号图形长的比为2：4＝1：2，因此图形是按1：2的比缩小的。 （3）②号长方形的长是3格，宽是2格，长：宽＝3：2；④号长方形的长是6格，宽是4格，长：宽＝6：4＝3：2，因此图中④号图形是②号长方形放大后得到的图形。 ④号图形长与②号图形长的比为6：3＝2：1，因此图形是按2：1的比放大的。 11．见详解 【分析】根据图形放大与缩小的意义，把长方形的长和宽均扩大到原来的3倍，所得到的长方形就是原长方形按3：1放大后的图形．同理，把平行四边形的边长均缩小到原来的，对应角大小不变，所到得的平行四边形就是原平行四边形按1：2缩小后的图形。 【解答】3：1的比画出长方形放大后的图形（图中1所示），按1：2的比画出平行四边形缩小后的图形（图中2所示）。 【点睛】图形放大或缩小的倍数是指对应边放大或缩小的倍数，对应角大小不变；即图形放大或缩小后只是大小变了，形状不变。 12．（1）（2，3）（6，3）（6，5） （2）见详解 （3）见详解 【分析】试题分析： （1） 数对表示位置的方法是：第一个数字表示列，第二个数字表示行，据此即可表示出三角形A的三个顶点的数对位置； （2）根据图形平移的方法，先把三角形A的三个顶点分别向右平移10格，再依次连接起 来即可得出平移后的三角形B，再利用轴对称图形的性质：对称点的连线被对称轴垂直平 分，画出以MN为对称轴的轴对称图形B’即可解。 （3）根据图形放大与缩小的方法，把这个图形按1： 2缩小，就是这个图形的各边分别缩小到原来的，据此即可画图. 【解答】（1）（2，3）（6，3）（6，5） （2） （3） 【点睛】此题考查了数对表示位置的方法以及运用平移、放大与缩小和轴对称图形的性质进行图形变换的方法。 13．200米 【分析】由题意可知，工作总量不变，那么每天修的长度和需要的天数成反比例，实际需要的天数×实际每天修的长度＝原计划需要的天数×原计划每天修的长度，据此解答。 【解答】解：设天天工程队每天要修x米。 （50－10）x＝160×50 40x＝160×50 40x＝8000 x＝8000÷40 x＝200 答：天天工程队每天要修200米。 14．（1）反 （2）24个 【分析】（1）每个小正方形的面积×小正方形的数量＝长方形彩纸的面积；长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系。 （2）长方形彩纸的面积＝36×需要小正方形个数，由此解答即可。。 【解答】（1）长方形彩纸的面积一定，每个小正方形的面积与所需小正方形的数量成反比例关系； （2）解：设需要个小正方形。                                    答：需要24个小正方形。 15．（1）见详解； （2）正； （3）见详解； （4）点（120，600）会在这条直线上；理由见详解 【分析】（1）根据表格中的数据可以发现，时间每增加1分钟，路程就增加5千米，所以可以计算出5分钟对应的路程是25千米，60分钟对应的路程就是300千米； （2）两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，它们的关系就叫做正比例关系。根据速度＝路程÷时间，可以计算出复兴号的速度是一定的，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例； （3）根据表格中的数据，可以描点，然后把这些点连接起来，就可以得到复兴号所行的时间与路程的关系图像。正比例关系的图像是一条经过原点的直线。 （4）因为速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 【解答】（1）5×5＝25（千米），60×5＝300（千米） 时间/分 0 1 2 3 4 5 … 60 … 路程/千米 0 5 10 15 20 25 … 300 … （2）5÷1＝5（千米/分），10÷2＝5（千米/分），15÷3＝5（千米/分），速度一定，时间与路程的比值一定，所以复兴号所行的时间与路程呈正比例。 （3） （4）由第（3）小题可得，图像是一条经过原点直线，速度一定，时间×速度＝路程，120×5＝600（千米），所以点（120，600）会在这条直线上。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $