03 圆柱的体积（导学案）六年级数学寒假自学课（北京版）

03 圆柱的体积 知识点精讲 知识点一 圆柱的体积 内容 圆柱的体积 1、圆柱的体积=底面积×高，用字母表示是V=Sh，圆柱的底面积=πr²，所以V=πr²h。 2、根据圆柱的体积公式可以求圆柱的体积。 3、解决与圆柱有关的实际问题时要用转化法，将陌生的、烦琐的问题转化成熟悉的、简洁的问题进行解答。 【典型例题1】用长12cm、宽9cm的长方形硬纸卷成一个圆柱，接口处忽略不计，这个圆柱的体积可能是（ ）cm3，也可能是（ ）cm3。（只列式不计算） 【典型例题2】将1.8L果汁倒入内部底面半径是4cm、高是8cm的圆柱形玻璃杯中，最多能倒满（ ）杯。 【典型例题3】求出下面圆柱体空心钢管的体积。（单位：厘米） 【典型例题4】求下面图形的体积。（单位：cm） 【典型例题5】一家果汁生产商生产一种果汁，采用圆柱形易拉罐包装，从易拉罐的外面量，底面半径是3cm，高是12cm。易拉罐侧面下方印有“净含量340mL”字样，这家果汁生产商是否欺骗了消费者？请说明理由。 【变式训练1】一个长方体木块的长、宽、高分别是40厘米、30厘米、50厘米，现在把它削成一个最大的圆柱。削成的圆柱体积是（ ）立方厘米，占原来长方体体积的（ ）%。 【变式训练2】如图，饮料瓶底面积是30cm2，瓶内饮料高度为15cm，把瓶盖拧紧倒置、放平，无水部分是圆柱形，高度是5cm，这个饮料瓶的容积是（ ）mL。 【变式训练3】如图，求空心圆柱的体积。 【变式训练4】计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 【变式训练5】孙悟空正在打妖怪，他神奇的金箍棒变成了底面周长是25.12cm、高是2m的圆柱形铁棒。 （1）这时金箍棒的体积是多少？ （2）金箍棒体积不变，又变成了一根底面积是100.48cm2的圆柱形铁棒，这时它的高是多少？ 1．如图，已知瓶内药水的体积是19.8毫升。瓶子正放时，瓶内药水液面高6厘米，瓶子倒放时，空余部分高2厘米，则瓶子的容积是（    ）毫升。 A．26.4 B．19.8 C．13.2 D．6.6 2．《九章算术》中记载了圆柱体积计算方法“周自相乘，以高乘之，十二而一”。意思是，用底面周长的平方乘高，再除以12，就是圆柱的体积。这种方法与现在的计算方法是一致的，只不过取π的近似值为3。如果一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，按照古人的方法，计算出的圆柱体积是（    ）。 A．36dm3 B．72dm3 C．144dm3 D．216dm3 3．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是18cm3，原来圆柱的体积是（    ）。 A．9cm3 B．18cm3 C．27cm3 D．36cm3 4．小明买了一瓶水喝掉了一部分后还有剩余（如图所示），已知这个饮料瓶的内直径是8cm。根据图中标出的数据，小明用算式“”计算的是（    ）。 A．喝掉的水的体积 B．瓶子的容积 C．剩余水的体积 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积 5．四个同样大小的圆柱拼成一个高为40厘米的圆柱时，表面积减少了72平方厘米，原来小圆柱的体积是（    ）立方厘米。 A．120 B．360 C．480 D．720 6．一个圆柱形蓄水池最多可蓄水，从里面量，底面积是。这个水池里现有水深是水池深的，现有水深（ ）m。 7．一个平面图形经过平移或旋转可以形成立体图形。如图，将一个边长是2厘米的正方形，绕着它的一条边旋转一周，可以得到一个圆柱，这个圆柱的体积是（ ）立方厘米。 8．把一个圆柱体木料沿直径切成相等的两个半圆柱，它的表面积增加40dm2，已知圆柱的底面半径为4dm，则高是（ ）dm，体积是（ ）dm3。 9．工人把一块长15.7dm、宽8dm、高5dm的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4dm的圆柱形钢材，这根钢材的长度是（ ）dm，如果把这根圆柱形钢材沿底面直径切割成两部分，那么表面积增加（ ）dm2。 10．一个底面半径是5分米，高是12分米的无盖圆柱形铁皮水桶，它的容积是（ ）升；做这样一挑水桶（2个）至少需要（ ）平方分米铁皮。（铁皮厚度不计） 11．在长方体中挖去一个圆柱（如图），计算下面图形的体积。 12．一个圆柱形粮囤，从里面量得底面半径是2米，高2米。如果每立方米玉米约重750千克，这个粮囤大约能装多少吨玉米？（得数保留整数） 13．一个底面周长为28.26厘米的圆柱，斜着截去这个圆柱的一半（如图），剩余部分的体积是多少立方厘米？ 14．工人师傅准备在道路一侧安装栅栏，定制了500个大小相同的圆柱形木块（取π≈3）。 （1）如果给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，需要刷漆的面积约是多少平方分米？（得数保留整数） （2）做这些圆柱形木块一共需要多少立方米的木料？ 15．用如下五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体，面与面相交的棱需要用专业胶水粘连。请你帮忙算一算： 收费标准（含人工费） 亚克力板：2元/平方分米 胶水：0.2元/分米 （1）做一个这样的长方体，买亚克力板至少需要多少钱？ （2）做一个这样的长方体，买胶水至少需要多少钱？ （3）把这个长方体容器装满水，将其中的一部分倒入一个直径为20厘米的空圆柱体容器中，使得两个容器中的水面同样高。那么两个容器中的水面高度是多少分米？（容器厚度忽略不计，取3） 知识点一： 【典型例题1】 【分析】用长方形纸板卷成圆柱可以用长边卷成底面的圆（底面周长是12cm），也可以用宽边卷成底面的圆（底面周长是9cm），根据这两种情况分别求出半径，再应用体积公式，体积＝底面面积×高，求圆柱的体积。 【解答】底面周长是12cm时，体积是； 底面周长是9cm时，体积是。 【典型例题2】4 【分析】根据圆柱体积＝底面积×高，求出玻璃杯容积，根据1L＝1000mL，统一单位，用果汁体积÷圆柱容积，结果用去尾法保留近似数即可。 【解答】 （立方厘米） （杯） 所以最多能倒满4杯。 【典型例题3】2512立方厘米 【分析】由图可知，大圆柱的底面直径是12厘米，小圆柱的底面直径是8厘米，它们的高都是40厘米，，圆柱体空心钢管的体积＝大圆柱的体积－小圆柱的体积，据此解答。 【解答】 ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ＝800×3.14 ＝2512（立方厘米） 所以，圆柱体空心钢管的体积是2512立方厘米。 【典型例题4】7822.5cm3 【分析】该图形可看作一个长方体挖去一个半圆柱得到的，因此体积＝长方体体积－圆柱体积÷2。长方体的长为30cm，宽为20cm，高为15cm，长方体体积公式为：体积＝长×宽×高，把数据代入计算得出长方体的体积。 圆柱的底面直径为10cm，则半径为10÷2＝5cm，高就是长方体的长30cm。圆柱体积公式为：V＝πr2h（π取3.14，r为半径，h为高），把数据代入计算后再除以2得出半圆柱体积。然后用长方体体积减半圆柱体积即可。 【解答】30×20×15＝9000（cm3） 10÷2＝5（cm） 3.14×52×30÷2 ＝3.14×25×30÷2 ＝78.5×30÷2 ＝2355÷2 ＝1177.5（cm3） 9000－1177.5＝7822.5（cm3） 该图形的体积是7822.5cm3。 【典型例题5】这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 【分析】要判断生产商是否欺骗消费者，需先根据圆柱体积公式计算易拉罐从外面量的体积，再与净含量比较。因为易拉罐自身有厚度，其内部容积应小于外部体积，若外部体积小于净含量，则存在欺骗。 【解答】圆柱体积公式为（π取3.14）。 （cm3） 因为1cm3=1mL，所以339.12cm3=339.12mL。 339.12<340。 答：这家果汁生产商欺骗了消费者，因为易拉罐外部体积小于标注的净含量，其内部实际容积更小。 【变式训练1】37680 62.8 【分析】根据题意，把一个长方体削成一个圆柱，有三种情况： 情况一：以长方体的高50厘米作为圆柱的高时，因为30＜40，所以圆柱的底面直径是30厘米； 情况二：以长方体的长40厘米作为圆柱的高，因为30＜50，所以圆柱的底面直径是30厘米； 情况二：以长方体的宽30厘米作为圆柱的高，因为40＜50，所以圆柱的底面直径是40厘米； 根据圆柱的体积公式V＝πr2h，代入数据计算，求出三种圆柱的体积，再比较大小，找出体积最大的圆柱。 根据长方体的体积＝长×宽×高，求出原来长方体的体积，再用削成的最大圆柱的体积除以原来长方体的体积，求出最大圆柱的体积占原来长方体体积的百分之几。 【解答】情况一：以长方体的高50厘米作为圆柱的高，宽30厘米作为圆柱的底面直径； 3.14×（30÷2）2×50 ＝3.14×152×50 ＝3.14×225×50 ＝35325（立方厘米） 情况二：以长方体的长40厘米作为圆柱的高，宽30厘米作为圆柱的底面直径； 3.14×（30÷2）2×40 ＝3.14×152×40 ＝3.14×225×40 ＝28260（立方厘米） 情况三：以长方体的宽30厘米作为圆柱的高，长40厘米作为圆柱的底面直径； 3.14×（40÷2）2×30 ＝3.14×202×30 ＝3.14×400×30 ＝37680（立方厘米） 37680＞35325＞28260 所以，削成最大的圆柱体积是37680立方厘米。 原来长方体的体积： 40×30×50 ＝1200×50 ＝60000（立方厘米） 削成的圆柱的体积占原来长方体体积的： 37680÷60000×100% ＝0.628×100% ＝62.8% 综上可知，削成的圆柱体积是37680立方厘米，占原来长方体体积的62.8%。 【变式训练2】600 【分析】饮料瓶的容积等于瓶内饮料的体积加上倒放时无水部分的体积。根据圆柱体积公式：V＝Sh（S表示底面积，h表示高），已知饮料瓶底面积为30cm2，饮料高度为15cm，则饮料的体积为：30×15＝450cm3；无水部分高度为5cm，则无水部分的体积为：30×5＝150cm3，饮料瓶的容积就是用450加150计算即可，然后把结果的单位换算成mL。 【解答】30×15＝450（cm3） 30×5＝150（cm3） 450＋150＝600（cm3） 1cm3＝1mL 600cm3＝600mL 这个饮料瓶的容积是600mL。 【变式训练3】1413cm3 【分析】根据圆柱的体积＝底面积×高，先计算出底面直径是10cm，高是50cm的圆柱的体积，再计算出底面直径是8cm，高是50cm的圆柱的体积，再用直径10cm圆柱的体积－底面直径8cm的圆柱的体积，即可求出空心圆柱的体积。 【解答】3.14×（10÷2）2×50－3.14×（8÷2）2×50 ＝3.14×52×50－3.14×42×50 ＝3.14×25×50－3.14×16×50 ＝78.5×50－50.24×50 ＝3925－2512 ＝1413（cm3） 空心圆柱的体积是1413cm3。 【变式训练4】471平方厘米；706.5立方厘米 【分析】由图可知，该组合体由大圆柱和小圆柱两部分组成，组合体的表面积＝大圆柱的表面积＋小圆柱的侧面积，“”“”把图中的数据代入公式计算； 组合体的体积＝大圆柱的体积＋小圆柱的体积，“”把图中的数据代入公式计算，即可求得。 【解答】表面积： ＝ ＝ ＝ ＝（平方厘米） 体积： ＝ ＝ ＝ ＝（立方厘米） 所以，该图形的表面积是471平方厘米，体积是706.5立方厘米。 【变式训练5】10048立方厘米；100厘米 【分析】（1）题目给到圆柱的底面周长和高，先用底面周长反求底面圆的半径，再用底面积乘高求出它的体积，注意高需要转换单位。 （2）体积不变底面积变成100.48平方厘米，求高需要用体积除以底面积。 【解答】（1） （平方厘米） （立方厘米） 答：这时金箍棒的体积是10048立方厘米。 （2）（厘米） 答：这时它的高是100厘米。 1．A 【分析】瓶子的容积等于药水的体积加上倒放时空余部分的体积，而药水的体积和倒放时空余部分的体积可看作底面积相同的圆柱体积。已知药水体积为19.8毫升，因为1毫升＝1立方厘米，所以19.8毫升＝19.8立方厘米，正放时药水液面高6厘米，根据圆柱体积公式V＝Sh（S是底面积，h是高），可得S＝V÷h，即：19.8÷6＝3.3（平方厘米）。 倒放时空余部分高为2厘米，那么瓶子的容积相当于高为（6＋2）厘米，底面积为3.3平方厘米的圆柱体积，根据V＝Sh，把数据代入计算即可。 【解答】1毫升＝1立方厘米 19.8毫升＝19.8立方厘米 19.8÷6＝3.3（平方厘米）。 3.3×（6＋2） ＝3.3×8 ＝26.4（立方厘米） 26.4立方厘米＝26.4毫升 所以瓶子的容积是26.4毫升。 故答案为：A 2．B 【分析】按照古人的计算方法，先计算出圆柱的底面周长，再根据体积＝底面周长2×高÷12，据此求出圆柱的题意。 【解答】3×2×2 ＝6×2 ＝12（dm） 12×12×6÷12 ＝144×6÷12 ＝864÷12 ＝72（dm3） 如果一个圆柱的底面半径是2dm，高是6dm，按照古人的方法，计算出的圆柱体积是72dm3。 故答案为：B 3．C 【分析】圆柱内的最大圆锥与原来的圆柱是等底同高的，根据圆柱的体积及圆锥的体积公式：，，可以构建二者体积的关系，利用消去的部分的体积即可求出圆柱的体积。 【解答】由于圆柱与圆锥等底同高，则 即：削去的体积＝（cm3） 圆柱的体积＝（cm3） 故答案为：C 4．B 【分析】喝掉的水即为空白部分的体积，根据圆柱的体积＝πr2h，可判断A的正误。 瓶子的容积＝水的体积＋空白部分的体积。利用圆柱的体积，可求得水的体积和空白部分的体积，二者相加，即可求得瓶子的容积，以此判断B的正误。 剩余水的体积即为阴影部分圆柱的体积，代入圆柱的体积公式，可判断C的正误。 喝掉水和剩余的水相差的体积即为用空白部分的体积减去水的体积，代入圆柱的体积公式，可判断D的正误，以此做出选择。 【解答】A．喝掉的水的体积＝空白部分的体积＝，该选项错误。 B．瓶子的容积＝水的体积＋空白部分的体积＝，该选项正确。 C．剩余水的体积＝，该选项错误。 D．喝掉的水和剩余的水相差的体积＝空白部分的体积－水的体积＝，该选项错误。 故答案为：B 5．A 【分析】四个同样大小的圆柱垂直拼接成一个大圆柱，总高度为40厘米，因此每个小圆柱的高度为10厘米。拼接过程中，每两个圆柱接触会减少两个底面积，四个圆柱拼接三次，共减少六个底面积。表面积减少72平方厘米对应这六个底面积，因此每个底面积为12平方厘米。小圆柱的体积等于底面积乘以高，即12×10＝120立方厘米。 【解答】（4－1）×2 ＝3×2 ＝6（个） 72÷6＝12（平方厘米） 12×10＝120（立方厘米） 所以原来小圆柱的体积是120立方厘米。 故答案为：A 6．2 【分析】已知圆柱形蓄水池的体积和底面积，根据，可以求出该圆柱形蓄水池深。这个水池里现有水深是水池深的，把水池深看作单位“1”，水深＝水池深×，代入数据即可求出现有水深。 【解答】 现有水深2m。 7．25.12 【分析】根据题意，边长为2厘米的正方形绕一条边旋转一周得到圆柱，该圆柱的底面半径和高均为正方形的边长。需要运用圆柱体积公式V＝πr2h来计算体积，据此解答。 【解答】已知正方形边长为2厘米，所以旋转得到的圆柱底面半径r＝2厘米，高h＝2厘米。根据圆柱体积公式V＝πr2h，代入数据可得： V＝3.14×22×2 ＝3.14×4×2 ＝12.56×2 ＝25.12（立方厘米） 这个圆柱的体积是25.12立方厘米。 8．2.5 125.6 【分析】由题意可知，增加的表面积是2个长方形，长方形的一条边是圆柱的高，另一条边是圆柱的底面直径，根据长方形的面积＝长×宽的逆运算，用40除以2再除以圆柱的底面直径可得圆柱的高，再根据圆柱的体积公式，代入数据计算即可。 【解答】 （dm） （dm3） 把一个圆柱体木料沿直径切成相等的两个半圆柱，它的表面积增加40dm2，已知圆柱的底面半径为4dm，则高是2.5dm，体积是125.6dm3。 9．50 400 【分析】当长方体钢坯熔铸成圆柱形钢材时，它们的体积是不变的，根据先计算出长方体的体积，即得到了圆柱的体积，根据，变形为，即可求出钢材的长度；对于沿底面直径切割圆柱形钢材，增加的表面积就是两个以底面直径和圆柱高为边长的长方形的面积。 【解答】 （dm3） （dm2） 628÷12.56＝50（dm） 4×50×2＝400（dm2） 工人把一块长15.7dm、宽8dm、高5dm的长方体钢坯熔铸成一根底面直径为4dm的圆柱形钢材，这根钢材的长度是50dm，如果把这根圆柱形钢材沿底面直径切割成两部分，那么表面积增加400dm2。 【点睛】解题关键在于理解熔铸过程中体积不变以及切割后表面积的变化情况，准确运用公式进行计算。 10．942 910.6 【分析】圆柱的容积计算和它的体积计算方法一样，根据，代入数据计算即可； 这个无盖水桶需要铁皮的面积也就是这个水桶的底面面积加上侧面积，其中底面面积为，侧面面积为，计算出一个水桶需要的铁皮，再乘2即可。 【解答】3.14×52×12 ＝3.14×25×12 ＝78.5×12 ＝942（立方分米） 942立方分米＝942升 （3.14×52＋2×3.14×5×12）×2 ＝（3.14×25＋6.28×5×12）×2 ＝（78.5＋31.4×12）×2 ＝（78.5＋376.8）×2 ＝455.3×2 ＝910.6（平方分米） 所以一个底面半径是5分米，高是12分米的无盖圆柱形铁皮水桶，它的容积是942升；做这样一挑水桶（2个）至少需要910.6平方分米铁皮。 11．8246.4立方厘米 【分析】根据题意可知，图形的体积＝长方体的体积－圆柱的体积，根据长方体的体积＝长×宽×高、圆柱的体积公式：V＝πr2h，代入数据解答。 【解答】（厘米） （立方厘米） （立方厘米） （立方厘米） 图形的体积是8246.4立方厘米。 12．19吨 【分析】圆柱底面积＝圆周率×底面半径的平方，根据圆柱体积＝底面积×高，先求出粮囤的容积，粮囤的容积×每立方米玉米质量＝这个粮囤能装的玉米质量，根据1吨＝1000千克，统一单位，根据四舍五入法保留整数即可。 【解答】3.14×22×2×750 ＝3.14×4×2×750 ＝25.12×750 ＝18840（千克） 18840千克≈19（吨） 答：这个粮囤大约能装19吨玉米。 13．381.51立方厘米 【分析】根据圆的周长公式C＝2πr（C是周长，π取3.14，r是半径），则r＝C÷2÷π，已知底面周长为28.26厘米，则半径为28.26÷2÷3.14＝4.5厘米。观察图形可知，剩余部分的体积相当于一个底面半径为4.5厘米，高为（5＋7）厘米的圆柱体积的一半。根据圆柱体积公式V＝πr2h（π取3.14，r是半径，h为高），把数据代入先计算完整圆柱的体积，再除以2即可。 【解答】28.26÷2÷3.14＝4.5（厘米） 5＋7＝12（厘米） 3.14×4.52×12 ＝3.14×20.25×12 ＝763.02（立方厘米） 763.02÷2＝381.51（立方厘米） 答：剩余部分的体积是381.51立方厘米。 14．（1）21平方分米 （2）3.84立方米 【分析】（1）根据题意，给一个圆柱形木块的侧面和顶部刷漆，根据圆柱的侧面积公式S侧＝πdh，圆柱的底面积公式S底＝πr2，代入数据计算，再相加，即是需要刷漆的面积。 （2）根据圆柱的体积公式V＝πr2h，求出做一个圆柱形木块需要木料的体积，再乘500，即是做500个圆柱形木块一共需要木料的体积；最后根据进率“1立方米＝1000立方分米”换算单位。 【解答】（1）3×1.6×4＋3×（1.6÷2）2 ＝3×1.6×4＋3×0.82 ＝3×1.6×4＋3×0.64 ＝19.2＋1.92 ≈21（平方分米） 答：需要刷漆的面积约是21平方分米。 （2）3×（1.6÷2）2×4 ＝3×0.82×4 ＝3×0.64×4 ＝7.68（立方分米） 7.68×500＝3840（立方分米） 3840立方分米＝3.84立方米 答：做这些圆柱形木块一共需要3.84立方米的木料。 15．（1）32元； （2）2.8元； （3）分米 【分析】（1）要计算购买亚克力板的钱数应该先求出购买亚克力板的面积，即长方体的表面积，求出图中5个长方形的面积之和，最后乘亚克力板的单价； （2）要计算购买胶水的钱数应该先求出长方体的棱长之和，因为这个长方体无盖，所以不用计算顶面4条棱的长度，求出需要计算的棱长之和然后乘胶水的单价； （3）由图可知，长方体的长是3分米，宽是2分米，高是1分米，根据“长方体的体积＝长×宽×高”求出水的体积，因为长方体和圆柱体的体积都可以用“底面积×高”来计算，且两个容器中的水面高度相等，所以两个容器中的水面高度＝水的体积÷（长方体容器的底面积＋圆柱体容器的底面积），据此解答。 【解答】（1）3×2＋（1×2＋3×1）×2 ＝3×2＋（2＋3）×2 ＝3×2＋5×2 ＝6＋10 ＝16（平方分米） 16×2＝32（元） 答：买亚克力板至少需要32元。 （2）（3×2＋2×2＋1×4）×0.2 ＝（6＋4＋4）×0.2 ＝14×0.2 ＝2.8（元） 答：买胶水至少需要2.8元。 （3）20厘米＝2分米 3×2×1 ＝6×1 ＝6（立方分米） 6÷[3×2＋3×（2÷2）2] ＝6÷[3×2＋3×12] ＝6÷[3×2＋3×1] ＝6÷[6＋3] ＝6÷9 ＝（分米） 答：两个容器中的水面高度是分米。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $