精品解析：河南省南阳市唐河县2025-2026学年九年级上学期12月月考数学试题

2025-2026学年度九年级第一学期学习评价 数学（3） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊．小明从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，选择的图画是“梅”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了随机事件，根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，即可求解． 【详解】解：从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，选择的图画是“梅”这个事件是随机事件， 故选：A. 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了锐角三角函数的定义及运用：在直角三角形中，锐角的正弦为对边比斜边，余弦为邻边比斜边，正切为对边比邻边． 在直角三角形中，正弦值定义为对边与斜边的比值，的对边是，斜边是，据此即可求解． 【详解】解：如图， ∵，，， ∴． 故选：A． 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式乘法，利用二次根式的乘法法则，将根号内的数相乘后化简． 【详解】解： ， 故选：B． 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系，掌握知识点是解题的关键． 一元二次方程有两个相等的实数根时，判别式为零，代入系数计算即可． 【详解】解：∵方程有两个相等的实数根， ∴， ∴， ∴． 故选A． 5. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用该定理、找准对应关系是解题的关键．根据平行线分线段成比例定理列出比例式，计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A 6. 河南拥有丰富多样的旅游资源，涵盖历史文化遗迹、自然风景区等多个方面．乐乐计划利用周末去龙门石窟、殷墟、清明上河园景区三个景点游玩，则他先去殷墟景区的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了古典概型的概率计算，熟练掌握简单概率公式是解题的关键．根据概率公式计算概率即可． 【详解】解：∵总共有3个景点，每个景点被先去的概率相等， ∴先去殷墟的概率为， 故选：A． 7. 如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形斜边中线定理和数轴上两点间距离的计算，熟练掌握“直角三角形斜边的中线等于斜边的一半”是解题的关键． 先根据数轴求出的长度，再利用直角三角形斜边中线定理（直角三角形斜边的中线等于斜边的一半），结合是中点的条件，求出的长． 【详解】解：∵、在数轴上对应的数分别为、， ∴． ∵，是的中点， ∴． ∴． 故选：C． 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用，根据题意建立等量关系是解题的关键； 本题属于传播问题，依次表示第一轮传染，第二轮传染后的量，再结合最后共有人感染可得方程． 【详解】解：设每轮传染中平均一个人传染了个人，则第一轮传染增加了个人患了流感，第一轮后共有个人患了流感； 第二轮传染后增加了个人患了流感，第二轮传染后共有个人患了流感，可得方程； 解得：，或（舍去） 第三轮传染后增加了人，此时共有人患流感， 故选项A、B、C、均正确，不符合题意， D选项错误，符合题意； 故选：D． 9. 如图，在正方形中，点E，M是边上的点，与交于点F，G．如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是相似三角形的判定，正方形的性质的应用．推出，可判断选项A；由，可判断选项B；证明，可判断选项C；由于，可判断选项D． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， 即， ∵， ∴，故选项A不合题意； ∵， ∴，故选项B不合题意； ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴，故选项C不合题意； ∵， ∴， ∴， ∴与不相似，故选项D符合题意； 故选：D． 10. 如图，在中，，为的角平分线，交于点．过点作交于点，点在上，且，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，过作于，则，得出，可得，设，，根据，得出，进而证明，得出，求得，即可求解． 【详解】解：为的角平分线， ， ， ， ， ， 过作于， ， ， ，即 设，， ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 新品圣女果在结果时期，研究人员对试验田某批圣女果每株的结果数统计如下表（结果数大于60即为合格）．若从试验田随机选一株，估计合格的概率为________．（结果保留两位小数） 统计株数m 200 400 600 800 1000 合格株数n 169 339 511 681 850 合格率 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由频率估计概率，掌握知识点是解题的关键． 根据频率估计概率的原理，当试验次数足够大时，事件发生的频率稳定于概率，从表格数据可知，随着统计株数增加，合格率稳定在附近，因此估计概率为，即可解答． 【详解】解：由表格数据，合格率随统计株数增加而趋于稳定，且最后几个合格率值均在附近，故估计随机选一株合格的概率为． 故答案为：． 12. 如图，在中，，，，则 _________． 【答案】3 【解析】 【分析】根据含30度角的直角三角形的性质进行求解即可． 【详解】解：∵∠C=90°，∠B=60°， ∴∠A=30°， ∵AB=6， ∴， 故答案为：3． 【点睛】本题主要考查了直角三角形两锐角互余，含30度角的直角三角形的性质，熟知相关知识是解题的关键． 13. 若是一元二次方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值就是一元二次方程的根是解题的关键． 将已知根代入一元二次方程，得到关于的方程，求解即可 【详解】解：把代入方程得： ， 解得， 故答案为：． 14. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则________． 【答案】 【解析】 【详解】本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形中位线等于第三边的一半是解题的关键． 根据等腰三角形的三线合一得到，根据三角形中位线定理计算得到答案． 【解答】解：∵，， ∴． ∵，平分， ∴． ∵是的中点， ∴， ∴是的中位线， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在矩形ABCD中，线段EF，GH分别平行于AD，AB，它们相交于点P，点，分别在线段PF，PH上，，，连接，，与相交于点Q．已知，设四边形的面积为，四边形CFQH的面积为，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】由四边形为矩形及，，证明四边形为矩形，四边形、、均为矩形．由，，结合，证明．可得．从而证明；连接，，证明．可得．再证明．可得，从而可得答案． 【详解】解：连接，，如图， ∵四边形为矩形， ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． ∴四边形为矩形． 同理可得：四边形、、均为矩形． ∵，，， ∴，，，． ∵，， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∵，， ∴． ∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 【点睛】本题考查的是矩形的性质，矩形的判定，相似三角形的判定与性质，相似四边形的判定与性质，构建相似三角形的模型是解题的关键． 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程： …………第一步 ………………第二步 ………………第三步 ………………第四步 或………………第五步 ，．………………第六步 ①小颖上述解题过程中开始出现错误的一步是第________步； ②从错误的一步开始写出正确解题过程． 【答案】（1）1； （2）①三， ②， ， 或， ，． 【解析】 【分析】本题考查负整数指数幂，特殊角的三角函数，平方差公式，实数的混合运算，解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． （1）先计算负整数指数幂，特殊角的三角函数，平方差公式，再进行实数的混合运算即可； （2）根据因式分解法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解：（1） ． （2）①小颖上述解题过程中开始出现错误的一步是第三步． 故答案为：三． ②略 17. 在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F． （1）试说明△AMD∽△EMB； （2）求的值． 【答案】（1）∵ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，∠ADB=∠DBC， ∠AMD=∠BME， ∴△AMD∽△EMB； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据四边形ABCD得出AD∥BC，∠ADB=∠DBC，根据对顶角相等得出∠AMD=∠BME，即可求证△AMD∽△EMB； （2）根据四边形ABCD得出AD∥BC，求证△FND∽△ENB，然后根据相似三角形对应边成比例即可得出结果． 【详解】解：（1） 略 （2）∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC， ∴△FND∽△ENB， ∴． 【点睛】本题主要考查学生对相似三角形的判定与性质和平行四边形的判定与性质的理解和掌握，注意掌握数形结合思想的应用． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于原点O中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （2）若与关于x轴对称，在图中画出，并写出点的坐标； （3）若与关于点位似，相似比为，在图中画出，并写出点的坐标． 【答案】（1）， 如图，为所作， （2）点的坐标为；如图，为所作， （3）点的坐标为或，如图，或为所作 【解析】 【分析】本题考查了关于平面直角坐标系中图形变换的综合题，涉及中心对称、轴对称和位似变换。解题时需明确变换规则，结合坐标系作图，（1）由中心对称的性质画出图形，即可得出对应点坐标； （2）由轴对称图形性质画出关于x轴对称的图形，即可得出对应点坐标； （3）根据相似比为，分两种情况画出位似图形，结合图形即可得出答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 略． 19. 为了让学生近距离了解新能源技术，感受科技创新魅力，某班组织开展了“新能源知多少”的主题活动，要求学生从“太阳能”、“地热能”、“风能”、“潮汐能”这四种新能源中选择相关知识分享． （1）小林恰好选中“风能”的概率为________； （2）若小艺准备从以上四种新能源中任选两个进行知识分享，用树状图或列表的方法求他恰好选中“太阳能”和“潮汐能”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了用列表法或者树状图法求概率，概率所求情况数与总情况数之比，正确掌握这两种方法是解题的关键． （1）直接根据概率公式求解即可； （2）根据题意用列表法得出所有等可能的结果以及选中“太阳能”和“潮汐能”的情况，再利用概率公式即可求得答案； 【小问1详解】 解：∵要求学生从“太阳能”、“地热能”、“风能”、“潮汐能”这四种新能源中选择． ∴小林恰好选中“风能”的概率为； 【小问2详解】 解：从以上四种新能源中任选两个进行知识分享，“太阳能”“地热能”“风能”“潮汐能”分别A、B、C、D表示， 用表格列出所有可能的结果，如图： A B C D A B C D 共有12种等可能的结果，其中恰好选中A“太阳能”和D “潮汐能”的情况有2种， ∴同时选中“太阳能”和D“潮汐能”的概率为 ． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，正确找到直角三角形进行解直角三角形是解题的关键． 由题意得，四边形，四边形为矩形，则，，然后分别解求出，解求出，再由即可求解． 【详解】解：由题意得，四边形，四边形为矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， 答：校徽的高度为． 21. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 【答案】（1） ∵， ∴，∠2＝∠ACE，∠1＝∠E， ∵∠1＝∠2， ∴∠ACE＝∠E， ∴AE＝AC， ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）过C作，交BA的延长线于E，利用平行线分线段成比例定理得到，利用平行线的性质得∠2=∠ACE，∠1=∠E，由∠1=∠2得∠ACE=∠E，所以AE=AC，于是有； （2）先利用勾股定理计算出，再利用（1）中的结论得到，即，则可计算出，然后利用勾股定理计算出，从而可得到△ABD的周长． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图3，∵AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°， ∴， ∵AD平分∠BAC， ∴，即， ∴， ∴， ∴△ABD的周长． 【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，勾股定理，掌握平行线分线段成比例定理，理解角平分线分线段成比例定理是关键． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 【答案】（1）该市参加健身运动人数的年均增长率为 （2）购买的这种健身器材的套数为200套 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该市参加健身运动人数的年均增长率为，根据从2021年的32万人增加到2023年的50万人，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （2）设购买的这种健身器材的套数为套，根据市政府向该公司支付货款24万元，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可． 【小问1详解】 解：设该市参加健身运动人数的年均增长率为， 由题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）， 答：该市参加健身运动人数的年均增长率为； 【小问2详解】 解：∵元， ∴购买的这种健身器材的套数大于100套， 设购买的这种健身器材的套数为套， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 当时，售价元（不符合题意，故舍去）， 答：购买的这种健身器材的套数为200套． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 【答案】（1） 证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上， ∴， ∴ ， ∴． （2） （3） ①证明：设旋转角为， 则， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； ② 【解析】 【分析】（1）根据旋转可得，则，即可证明． （2）根据，，可得，即可得出，过作，则，即，在中勾股定理求出，则，在中勾股定理求出，根据，得出，即可求出． （3）①设旋转角为，则，根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可得出，，根据，得出，，即可得，根据，得出，即可得，证明，得出，结合，得出； ②根据，设，证明四边形是平行四边形，得出，由①得，在中，勾股定理得出，则，则，根据，得出，根据，得出，证明，，则，求出，由①可得，得出，证出点四点共圆，根据圆周角定理得出，证明，得出，设，则，根据旋转可得，则，联立求出，再根据即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， 过作， ∴， ∴， 在中， 即， 解得：，（舍去）， ∴， 在中， ∴， ∵， ∴， 即， ∴． 【小问3详解】 ①略 ②解：∵， ∴设， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 由①得， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即， 即， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 由①可得， ∴， ∴点四点共圆， ∴， ∵， ∴， ∴， 设， 则， 根据旋转可得， ∴， 联立可得， ∴． 【点睛】该题考查了相似三角形的性质和判定，全等三角形的性质和判定，勾股定理，旋转的性质，圆周角定理，圆内接四边形，解直角三角形，平行四边形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点，证明三角形相似． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级第一学期学习评价 数学（3） 注意事项： 1．本试卷共8页，三个大题，满分120分，考试时间100分钟． 2．答题前将装订线内的项目填写清楚． 一、选择题．（每题只有一个正确答案，请将正确答案填在下面的表格里．每题3分，共30分） 1. 中国文化中的“四君子”指的是梅、兰、竹、菊．小明从四幅主题分别为梅、兰、竹、菊的国画中选择一幅进行临摹，选择的图画是“梅”这个事件是（ ） A. 随机事件 B. 确定性事件 C. 必然事件 D. 不可能事件 2. 在中，，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 计算的值为（ ） A. B. C. D. 4. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（　　） A. 1 B. C. 4 D. 5. 透视是一种绘画技巧，通过视平线和消失点的关系来表现物体的立体感和空间感．如图是运用透视法绘制的一个图案，已知，，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 河南拥有丰富多样的旅游资源，涵盖历史文化遗迹、自然风景区等多个方面．乐乐计划利用周末去龙门石窟、殷墟、清明上河园景区三个景点游玩，则他先去殷墟景区的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的顶点与边的中点均在数轴上，且，两点在数轴上对应的数分别为，．若，则的长为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 10 8. 有一个人患了流感，经过两轮传染后，共有144人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下列结论不正确的是（ ） A. 第一轮后有个人患了流感 B. 第二轮后又增加个人患流感 C. 依题意可列方程 D. 按照这样的传染速度，经过三轮传染后共1000人患流感 9. 如图，在正方形中，点E，M是边上的点，与交于点F，G．如果，那么下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，为的角平分线，交于点．过点作交于点，点在上，且，若，，则的长为( ) A. B. C. D. 二、填空题．（每题3分，共15分） 11. 新品圣女果在结果时期，研究人员对试验田某批圣女果每株的结果数统计如下表（结果数大于60即为合格）．若从试验田随机选一株，估计合格的概率为________．（结果保留两位小数） 统计株数m 200 400 600 800 1000 合格株数n 169 339 511 681 850 合格率 12. 如图，在中，，，，则 _________． 13. 若是一元二次方程的一个根，则________． 14. 如图，在中，，平分交于点，点在上，且，连接，若是的中点，连接，则________． 15. 如图，在矩形ABCD中，线段EF，GH分别平行于AD，AB，它们相交于点P，点，分别在线段PF，PH上，，，连接，，与相交于点Q．已知，设四边形的面积为，四边形CFQH的面积为，则________． 三、解答题．（本大题8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）下面是小颖同学解一元二次方程的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程： …………第一步 ………………第二步 ………………第三步 ………………第四步 或………………第五步 ，．………………第六步 ①小颖上述解题过程中开始出现错误的一步是第________步； ②从错误的一步开始写出正确解题过程． 17. 在平行四边形ABCD中，M，N为对角线BD的三等分点，连接AM交BC于E，连接EN并延长交AD于F． （1）试说明△AMD∽△EMB； （2）求的值． 18. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，． （1）若与关于原点O中心对称，在图中画出，并写出点的坐标； （2）若与关于x轴对称，在图中画出，并写出点的坐标； （3）若与关于点位似，相似比为，在图中画出，并写出点的坐标． 19. 为了让学生近距离了解新能源技术，感受科技创新魅力，某班组织开展了“新能源知多少”的主题活动，要求学生从“太阳能”、“地热能”、“风能”、“潮汐能”这四种新能源中选择相关知识分享． （1）小林恰好选中“风能”的概率为________； （2）若小艺准备从以上四种新能源中任选两个进行知识分享，用树状图或列表的方法求他恰好选中“太阳能”和“潮汐能”的概率． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量校徽的高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 1．站在与教学楼底部A同一水平地面的B处，由于大树的遮挡，视线恰能看到悬挂的校徽顶部E处（此时F，C，E三点在同一直线上）； 2．测量A，D两点和B，D两点间的距离； 3．用测角仪测得从眼睛F处看校徽顶部E处的仰角； 4．向后退至点H处时，视线恰能看到校徽底部M处（此时N，C，M三点在同一直线上），测量B，H两点间的距离； 5．用测角仪测得从眼睛N处看校徽底部M处的仰角． 实验图示 测量数据 1． 2． 3． 4． 5． 备注 1．图上所有点均在同一平面内； 2．均与地面垂直． 参考数据：，，； ，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算校徽的高度的值． 21. 请阅读以下材料，并完成相应的问题： 角平分线分线段成比例定理，如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC，则． 下面是这个定理的部分证明过程． 证明：如图2，过点C作．交BA的延长线于点E．… 任务： （1）请按照上面的证明思路，写出该证明过程的剩余部分； （2）如图3，已知Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝90°，AD平分∠BAC，求△ABD的周长． 22. “我运动，我健康，我快乐！”随着人们对身心健康的关注度越来越高．某市参加健身运动的人数逐年增多，从2021年的32万人增加到2023年的50万人． （1）求该市参加健身运动人数的年均增长率； （2）为支持市民的健身运动，市政府决定从公司购买某种套装健身器材．该公司规定：若购买不超过100套，每套售价1600元；若超过100套，每增加10套，售价每套可降低40元．但最低售价不得少于1000元．已知市政府向该公司支付货款24万元，求购买的这种健身器材的套数． 23. 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，当时，求的长； （3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点． ①求证：； ②当时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $