1.1.1～1.1.3 幂的运算（十大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

1.1.1~1.1.3 幂的运算 题型一 同底数幂的运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （3）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； 【详解】（1） ． （2） ． （3） ． 【变式1-1】计算： （1） （2） 【答案】(1) (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可； （2）根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加进行计算即可． 【详解】 （1） （2） ． 【变式1-2】计算． (1)； (2)． 【答案】(1)； (2) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂乘法，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可； （2）根据同底数幂乘法运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：． 【变式1-3】探索、发现与应用： (1)探索：运用有理数乘方的意义，完成如表： 算式 运算过程 结果 (2)发现：如果字母m，n都是正整数，那么 ． (3)应用：直接运用上述发现的规律，完成下列各式计算： ①； ②； ③． 【答案】(1)；；；；；； (2) (3)①；②；③ 【难度】0.65 【来源】广西壮族自治区崇左市天等县东平镇初级中学2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题考查了同底数幂的乘法． （1）根据有理数的乘方的意义计算即可； （2）由（1）可得结论； （3）根据（2）中结论逐一计算即可． 【详解】（1）解：由乘方的意义得： ； ； ； 故答案为：；；；；；； （2）解：由（1）得； 故答案为：； （3）解：① ． ② ． ③ ． 题型二 同底数幂乘法的逆用 【例2】如果，，那么的值为 ． 【答案】35 【难度】0.85 【来源】北京市徐悲鸿中学2025-2026学年 上学期 阶段性检测 八年级数学试卷（11月） 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法法则，掌握同底数幂的乘法法则是解题的关键． 利用同底数幂的乘法法则，将转化为，再代入已知值计算即可． 【详解】解：根据同底数幂的乘法法则，，因此． 已知，，所以． 故答案为35． 【变式2-1】计算： ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省成都市石室天府中学（初中）2025-2026学年七年级上学期12月月考数学试题 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与乘法分配律的逆运算，先利用同底数幂的乘法逆运算法则将原式变形为，再利用乘法分配律逆运算进行计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 【变式2-2】已知，则 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】高效同步练习16.1.1 同底数幂的乘法-【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024） 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查同底数幂乘法公式的逆应用，掌握相关知识是解决问题的关键．根据同底数幂乘法公式，可变形，将已知条件代入即可求出，则题目可解． 【详解】解：∵， ∴ = = 6， ∴ ． 故答案为：． 【变式2-3】（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 【答案】（1）24；（2） 【知识点】同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查的是同底数幂的乘法运算的逆运算，熟记运算法则是解本题的关键； （1）由，再代入数据计算即可； （2）由，再建立方程求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴； （2）∵， ∴， ∴， 解得． 题型三 幂的乘方运算 【例3】计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】湖北省十堰市2025-2026学年上学期八年级数学第三次月考卷 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算 【分析】本题考查了积的乘方、幂的乘方，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 应用积的乘方和幂的乘方法则进行计算即可． 【详解】解：原式． 故答案为 ：． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题主要考查了幂的乘方，同底数幂相乘法则，合并同类项，先根据幂的乘方，同底数幂相乘法则计算，然后合并同类项即可． 【详解】解： ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题主要考查幂的乘方及同底数幂的乘法，熟练掌握幂的乘方及同底数幂的乘法是解题的关键； （1）根据幂的乘方及同底数幂的乘法可进行求解； （2）根据幂的乘方及合并同类项可进行求解 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 【变式3-3】若，，求． 【答案】1 【难度】0.65 【来源】重庆万州中学教育集团2025-2026学年上学期八年级数学期中试题 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、熟练掌握运算法则是解此题的关键． 由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 题型四 幂的乘方的逆用 【例4】．已知，，，是正整数，则 ． 【答案】12 【难度】0.85 【来源】2025-2026学年人教版八年级数学上学期第三次月考模拟试卷（第13章~第17章） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法运算与幂的乘方的逆运算．根据运算法则，将 分解为 ，再代入已知条件计算即可求解． 【详解】解：由已知 ，， ∴， ∴ ． 故答案为：12． 【变式4-1】若，，则 ． 【答案】12 【难度】0.85 【来源】天津市河东区一片2025-2026学年上学期12月月考八年级数学试题 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆运算和同底数幂的乘法的逆运算， 利用指数法则，将分解为，再代入已知值计算． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：12． 【变式4-2】已知 计算：(1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)216 【难度】0.85 【来源】甘肃省平凉市静宁县城关初级中学2025-2026学年八年级上学期期中质量检测数学试卷 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方，解题的关键是熟练掌握计算公式． （1）根据逆用同底数幂的乘法得到，再代入即可求解； （2）根据逆用幂的乘方得到，再代入即可求解． 【详解】（1）解： （2）解：． 【变式4-3】（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【难度】0.65 【来源】广东省广州市第五中学2025-2026学年 八年级数学上学期期中监测卷 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 题型五 积的乘方运算 【例5】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【来源】江苏省镇江市丹徒区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及积的乘方分别运算即可判断求解，掌握整式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：A、，故选项计算错误，不符合题意； B、，故选项计算正确，符合题意； C、，故选项计算错误，不符合题意； D、，故选项计算错误，不符合题意． 故选：B． 【变式5-1】计算： 【答案】0 【难度】0.65 【来源】山东省临沂市莒南县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． 先根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则将各项化简，在合并即可． 【详解】 解： ． 【变式5-2】计算； 【答案】300 【难度】0.65 【来源】四川省南充市南部县振兴初级中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查整式的混合运算，同底数乘法逆用，幂的乘方逆用，熟练掌握相关运算法则是解答本题的关键．先算积的乘方，然后合并同类项即可； 【详解】解： ； 【变式5-3】（1）计算：． （2）若，，求的值． 【答案】（1）；（2）294 【难度】0.65 【来源】广东省惠州市惠城区华侨中学2025-2026学年上学期八年级数学期中考试卷 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方运算 【分析】本题考查了幂的乘方和积的乘方，同底数幂的乘法，掌握运算法则是解题关键． （1）根据积的乘方法则化简，然后进行运算即可； （2）逆用同底数幂乘法和幂的乘方法则计算即可． 【详解】（1） ； （2）∵，， ∴． 题型六 积的乘方的逆用 【例6】若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】 福建省厦门市海沧区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 【变式6-1】求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【答案】(1)x的值为1 (2)184 【难度】0.65 【来源】湖北省黄石市教联体联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了代数式求值、积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算和幂的乘方的逆运算，将原式化为，进而即可求出的值； （2）根据幂的乘方的逆运算化简，然后把代入计算即可． 【详解】（1）解：， ， 即， ， 解得； （2）解：， ， 原式． 【变式6-2】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】福建省泉州市培元中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（1）根据积的乘方运算的逆用即可求解； （2）根据根据同底数幂的乘法、幂的乘方进行计算即可． 本题主要考查了幂运算，掌握相关运算方法是解题的关键． 【详解】（1）解：原式； （2）解：∵ ，， ∴ ，， ∴ ， 又∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 【变式6-3】（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 【答案】（1）；（2）；（3） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、积的乘方的逆用 【分析】（1）由可得，再根据幂的乘方运算法则以及同底数幂的乘法法则可得，再把代入计算即可； （2）根据幂的乘方以及同底数幂的乘法法则求解即可． （3）先整理原式等于，再运算括号内，即可作答． 本题主要考查了同底数幂的乘法以及幂的乘方，积的乘方的逆运算，熟记相关定义与运算法则是解答本题的关键． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∴解得． （3） ． 题型一 幂的混合运算 【例1】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)0 【难度】0.65 【来源】山东省临沂市莒南县2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）根据积的乘方的逆运算进行计算即可； （2）先根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算法则将各项化简，在合并即可． 【详解】（1）解： （2）解： ． 【变式1-1】(1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【来源】16.1.2 幂的乘方与积的乘方（分层作业）数学人教版2024八年级上册 【知识点】积的乘方运算、幂的乘方运算、同底数幂相乘、合并同类项 【分析】本题主要考查了幂的有关运算，解题关键是熟练掌握积的乘方法则、幂的乘方法则、同底数幂相乘法则和合并同类项法则． （1）先把各个幂化成同底数幂，然后按照同底数幂相乘法则进行计算即可； （2）按照积的乘方和幂的乘方法则计算乘方，再根据同底数幂相乘法则计算乘法，最后合并同类项即可； （3）先根据积的乘方和同底数幂相乘法则计算乘方和乘法，再合并同类项即可； （4）先根据乘方的意义，把写成的形式，再逆用积的乘方法则进行简便计算即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）原式 ． （3）原式 ． （4）原式 ． 【变式1-2】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】 福建省厦门市海沧区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算 【分析】本题考查了整式的混合运算，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答； （2）先算乘方，再算乘法，后算加减，即可解答． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1-3】求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【难度】0.65 【来源】湖北省襄阳市枣阳市北城学校2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、积的乘方的逆用 【分析】本题考查的知识点是同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方、积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用、幂的乘方的逆用，解题关键是熟练掌握相关运算法则． （1）根据同底数幂相乘法则进行运算即可得解； （2）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （3）根据同底数幂相乘法则、积的乘方、幂的乘方进行运算即可得解； （4）根据积的乘方的逆用、同底数幂相乘逆用进行运算即可得解； （5）根据幂的乘方、同底数幂相乘法则得出即可得解． 【详解】（1）解：原式， ， ； （2）解：原式, , ； （3）解：原式， ， ； （4）解：原式， ， ， ， ； （5）解：， ， ， ， ， ， ， 解得． 题型二 利用幂的乘方比较大小 【例2】比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】河南省周口市鹿邑县2024-2025学年上学期八年级上学期期末数学试卷 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查比较幂的大小关系，将指数统一为11次幂，比较底数大小即可 【详解】∵ ，，， 又∵， ∴， 即； 故选C． 【变式2-1】已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【来源】2025—2026学年湘教版（2024） 数学八年级上册期末考试试题（拔尖） 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方的逆用；将各数转化为同指数形式，比较底数大小即可． 【详解】∵，，，， 且指数均为， 比较底数：， 故． 故选：D． 【变式2-2】已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 ．（用“”连接） 【答案】 【难度】0.85 【来源】山东省德州市宁津县张宅中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查了幂的乘方逆用，熟练掌握幂的乘方运算法则，是解题的关键．通过幂的乘方的逆运算，将指数化为相同，然后比较底数的大小即可． 【详解】解：∵， ， ， 且， ∴． 故答案为：． 【变式2-3】阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 【答案】(1)指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大 (2)① ；② 【难度】0.4 【来源】广西壮族自治区贵港市覃塘区2022-2023学年七年级下学期期中数学试题 【知识点】幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的大小比较，熟练掌握比较大小的基本方法是解题的关键． （1）根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大解答即可． （2）①化成，，根据底数相同，指数大的幂大解答即可； ②，根据指数相同，底数大的幂大解答即可． 【详解】（1）解：根据题意，先将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为指数相同的两个幂；根据指数相同，底数大的幂大， 故答案为：指数相同的两个幂；指数相同，底数大的幂大． （2）解：①∵，， 根据底数相同，指数大的幂大 ∴， ∴． ②解：∵， 根据指数相同，底数大的幂大， ∴， ∴． 题型三 已知式子的值，求代数式的值 【例3】已知，，则 ． 【答案】15 【难度】0.65 【来源】福建省莆田市擢英中学2025-2026学年 八年级数学上学期期中考试试卷 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握．将已知的 和 转化为以 2 为底的幂形式，再利用同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解：由 ，因 ，故 ． 由 ，因 ，故 ． 则 ． 故答案为：15． 【变式3-1】如果，，那么 ． 【答案】3 【难度】0.85 【来源】江西省南昌市南昌县2025-2026学年上学期12月质量检测八年级数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、幂的乘方运算、含乘方的有理数混合运算 【分析】本题考查代数式求值，幂的乘方，含乘方的有理数混合运算，掌握知识点是解题的关键． 直接代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：3． 【变式3-2】若，，求． 【答案】1 【难度】0.65 【来源】重庆万州中学教育集团2025-2026学年上学期八年级数学期中试题 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘、求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 由幂的乘方与同底数幂相乘法则计算得出，，从而可得，，代入所求式子计算即可得解． 【详解】解： ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3-3】（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 【答案】（1）8；（2）675 【难度】0.65 【来源】广东省广州市第五中学2025-2026学年 八年级数学上学期期中监测卷 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、同底数幂相乘、幂的乘方的逆用、同底数幂乘法的逆用 【分析】本题考查了幂的运算，求代数式的值，解题的关键是掌握相关运算法则． （1）先求出，然后根据幂的乘方法则、同底数幂相乘法则计算，最后把整体代入计算即可； （2）逆用同底数幂相乘法则、幂的乘方法则计算即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴ ； （2）∵，， ∴ ． 题型四 整体思想 【例4】计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】山东省德州市第九中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算. （1）先计算同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，再合并同类项即可； （2）将化为，进而根据多项式的乘方法则计算即可. 【详解】（1）解： （2）解： 【变式4-1】已知： ，则的值为 ． 【答案】 【难度】0.65 【来源】2016-2017学年山东东营市八年级上期中数学试卷 【知识点】幂的乘方的逆用、同底数幂相乘、已知式子的值，求代数式的值 【分析】本题考查了同底数幂的乘法、幂的乘方及整体代入思想，关键是的转换； 由已知条件 ，可得： ，将转换成，即可求得结果. 【详解】解：由 ， 得 ， ∴ 故答案为：. 【变式4-2】若，则 ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】广东省广州市花都区广雅中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试题 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方的逆用 【分析】本题考查了幂的乘方逆用和同底数幂的乘法，将方程中的底数统一为的幂，利用指数运算法则简化方程，再比较指数得出结果． 【详解】解： ， 故答案为：． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】同底数幂相乘 【分析】本题主要考查了同底数幂的乘法运算． （1）按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （2）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． （3）把变成，然后再按照同底数幂的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： （2） （3） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】合并同类项、运用完全平方公式进行运算、同底数幂相乘、幂的乘方运算 【分析】本题考查同底数幂相乘，合并同类项，幂的乘方，完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据同底数幂相乘的运算法则计算并判断A；根据合并同类项的运算法则计算并判断B，根据幂的乘方的运算法则计算并判断C；根据完全平方公式计算并判断D． 【详解】解：A、，原计算错误，故此选项不符合题意； B、，原计算错误，故此选项不符合题意； C、，正确，故此选项符合题意； D、，原计算错误，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．规定：，若，则x的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了新定义运算，同底数幂的乘法， 由新定义得，进而由同底数幂的乘法可得，据此即可求解． 【详解】解：，， ， ∴， ， ， 故答案为：． 3. 求的值的个位数字．（提示） 【答案】2 【难度】0.4 【来源】培优05 有理数的10种规律探究问题（专项训练）数学北师大版2024七年级上册 【知识点】同底数幂乘法的逆用、幂的乘方运算 【分析】本题考查的是积的乘方及同底数幂的逆用，正确运用幂的运算性质是解题的关键．先计算得出结果，找出的个位数字规律，进而求出结论． 【详解】解： ． 的个位数是2， 的个位数字与的个位数字相同， 的个位数字是每四个数为一个循环． ， 的末位数字是6． 其个位数字为7. 原式值的个位数字为的个位数字6与的个位数字7的乘积的个位数字，即的个位数字，故为2， 的值的个位数字为2． 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【分析】本题考查了幂的混合运算，代数式求值，掌握相关知识是解题的关键． （1）由题意可求出，根据幂的乘方逆运算和同底数幂的乘法运算可将式子变形为，整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，将代入求值即可． 【详解】解：（1）∵， ∴， ； （2）∵， ∴ ． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）解答下列各题： (1)若，求x的值． (2)已知，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了积的乘方和幂的乘方的逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先根据积的乘方和幂的乘方的逆运算化简，然后比较指数相等求解即可； （2）首先由得到，然后利用积的乘方和幂的乘方的逆运算求解即可． 【详解】（1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴； （2）解：∵ ∴ ∴ ． 6 （且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】 福建省厦门市海沧区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】积的乘方的逆用、幂的乘方的逆用、幂的乘方运算、同底数幂相乘 【分析】本题考查了幂的乘方，积的乘方，同底数幂的乘法，熟练掌握这些运算法则是解题的关键． （1）根据幂的乘方，同底数幂的乘法运算法则，进行计算即可求解； （2）根据幂的乘方，积的乘方运算法则进行计算即可求解． 【详解】（1）解： ， 即 故， 解得； （2）解： ∵，， 故原式． 7（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 【答案】(1)①；② (2) 【分析】此题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方和积的乘方逆运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）①根据同底数幂的乘法和积的乘方逆运算求解即可； ②根据幂的乘方和积的乘方逆运算求解即可； （2）根据同底数幂的乘法得到，然后指数相等得到，进而求解即可． 【详解】（1）解：① ； ② ； （2）解：∵ ∴ ∴ ∴． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 【答案】(1)6 (2)3 (3) 【分析】本题考查幂的运算，掌握幂的运算法则是解题的关键． （1）利用幂的乘方的逆运算将变形为，再根据题目中的规定即可求解； （2）将变形为，计算出，即可求解； （3）由得，再将变形为即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， 故答案为：． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 【答案】(1)3 (2)3 (3) 【分析】本题主要考查了整式的有关运算，解题关键是熟练掌握同底数幂相乘法则、幂的乘方法则和解一元一次方程． （1）先把已知等式中的等式写成底数是3的幂，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （2）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后根据幂的乘方和同底数幂相乘法则进行计算，然后列出关于x的方程，解方程求出x即可； （3）先把已知等式中的等式写成底数是2的幂，然后逆用乘法分配律进行计算，从而列出关于x的方程，解方程求出x即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ， ， ； （3）解：， ， ， ， ， ， ， 10 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 【答案】(1)4，64 (2) (3)①；② 【难度】0.4 【来源】湖北省荆州市松滋市2022-2023学年八年级上学期期末数学试卷 【知识点】有理数的乘方运算、同底数幂乘法的逆用、幂的乘方的逆用 【分析】（1）由，可直接得出；由，可得出； （2）由题意可得出，，．根据，得出，即，进而即可求出； （3）①由题意可得出，，再根据，，即可求出；②根据，即得出，结合题意可得出．由①知，即得出，进而得出，即说明，代入中求值即可． 【详解】（1）解：， ； ，且， ． 故答案为：，； （2）解：，，，若， ，，． ， ，即， ； （3）解：①，， ，， ，， ； ②， ， ． 由①知：， ， ， ， ． 【点睛】本题考查有理数的乘方，积的乘方与其逆用，幂的乘方与其逆用．熟练掌握各运算法则是解题关键． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.1~1.1.3 幂的运算 题型一 同底数幂的运算 【例1】计算： (1)； (2)； (3)； 【变式1-1】计算： （1） （2） 【变式1-2】计算． (1)； (2)． 【变式1-3】探索、发现与应用： (1)探索：运用有理数乘方的意义，完成如表： 算式 运算过程 结果 (2)发现：如果字母m，n都是正整数，那么 ． (3)应用：直接运用上述发现的规律，完成下列各式计算： ①； ②； ③． 题型二 同底数幂乘法的逆用 【例2】如果，，那么的值为 ． 【变式2-1】计算： ． 【变式2-2】已知，则 ． 【变式2-3】（1）已知，求的值； （2）若，求a的值． 题型三 幂的乘方运算 【例3】计算： ． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： (1)； (2)． 【变式3-3】若，，求． 题型四 幂的乘方的逆用 【例4】．已知，，，是正整数，则 ． 【变式4-1】若，，则 ． 【变式4-2】已知 计算：(1)； (2)． 【变式4-3】（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 题型五 积的乘方运算 【例5】下列运算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】计算： 【变式5-2】计算； 【变式5-3】（1）计算：． （2）若，，求的值． 题型六 积的乘方的逆用 【例6】若（且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 【变式6-1】求值： (1)已知，求的值； (2)已知是正整数，且，求的值． 【变式6-2】下面是小刘同学完成的一道作业题，请你参考小刘的方法解答下列问题： 作业 计算：． 解：原式． (1)计算：； (2)若，请求出的值． 【变式6-3】（1）已知，求的值． （2）已知，求x的值． （3）计算． 题型一 幂的混合运算 【例1】计算： (1) (2) 【变式1-1】(1)； (2)； (3)； (4)． 【变式1-2】计算： (1)； (2) 【变式1-3】求下列各式的值 (1)； (2)； (3)； (4)； (5)若，求的值； 题型二 利用幂的乘方比较大小 【例2】比较，，的大小，正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式2-1】已知，，，，则a、b、c、d的大小关系() A． B． C． D． 【变式2-2】已知，，，则 a 、b 、c 之间的大小关系为 ．（用“”连接） 【变式2-3】阅读理解：我们在学习了幂的有关知识后，对两个幂与（都是正数，都是正整数）的大小进行比较，并归纳总结了如下两个结论： ①若，则．（底数相同，指数大的幂大） ②若，则．（指数相同，底数大的幂大） 尝试应用：试比较与的大小． 解：因为， ，……（第1步） 又， 所以……（第2步） 问题解决： (1)在尝试应用的解题过程中，第1步的思路是将底数和指数都不相同的两个幂转化化归为_______；第2步的依据是_______． (2)请比较下面各组中两个幂的大小： ①与； ②与． 题型三 已知式子的值，求代数式的值 【例3】已知，，则 ． 【变式3-1】如果，，那么 ． 【变式3-2】若，，求． 【变式3-3】（1）已知，求的值； （2）已知，，求的值． 题型四 整体思想 【例4】计算： (1) (2) 【变式4-1】已知： ，则的值为 ． 【变式4-2】若，则 ． 【变式4-3】计算： (1)； (2)； (3)． 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．规定：，若，则x的值为 ． 3. 求的值的个位数字．（提示） 4．（24-25七年级下·江苏扬州·阶段练习）（1）已知，求的值． （2）已知n为正整数，且，求的值． 5．（2025七年级上·全国·专题练习）解答下列各题： (1)若，求x的值． (2)已知，求的值． 6 （且，、是正整数），则．利用上面的结论解决下面的问题： (1)如果，求的值； (2)已知，，用含，的式子表示． 7（24-25七年级下·江苏扬州·期中）【教材研究】：下面方框内是2022年湘教版教材内的一道例题． 【我的感悟】：请参考例题的解法解答下列问题． 计算：． 解：原式， ， ， ． (1)计算： ①； ②． (2)如果，求的值． 8．（24-25七年级下·江苏淮安·阶段练习）在幂的运算中规定：若（且，x、y是正整数），则，利用上面规定解答下列问题： (1)若，求x的值． (2)若，求x的值． (3)若，，用含m的代数式表示 ． 9．（24-25七年级下·江苏连云港·阶段练习）若且，m，n是正整数，则 你能利用上面的结论解决下面的3个问题吗？试试看，相信你一定行！ (1)如果，求x的值； (2)如果，求x的值； (3)已知x满足，求x的值． 10 如果，那么我们规定．例如：因为，所以． (1)______ ；若，则______ ； (2)已知，，，若，求的值； (3)若，，令． ①求的值； ②求的值． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $