1.1.4～1.1.5 单项式和多项式乘法（九大题型）（题型专练）数学新教材湘教版七年级下册

1.1.4-1.1.5单项式和多项式乘法 【题型一】单项式与单项式相乘 【方法点拨】单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【例1】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】计算： ． 【变式1-2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【题型二】单项式与多项式相乘 【方法点拨】单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例2】若，则的值为 ． 【变式2-1】 计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】 先化简后求值：，其中． 【变式2-3】计算 (1) (2) (3) 【题型三】多项式与多项式相乘 【方法点拨】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例3】如果，那么的值是（    ） A． B．1 C．23 D． 【变式3-1】计算：． 【变式3-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【题型四】整式乘法的混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【变式4-3】观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【题型五】整式乘法的化简求值 【例5】先化简再求值：，其中，． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【变式5-2】（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 　　； （2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+， 求（a﹣2）（b﹣2）的值； 【变式5-3】在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【题型六】整式乘法的应用 【例6】图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【变式6-1】如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【变式6-2】一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 【变式6-3】如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【题型七】整式乘法中的不含某项 【例7】若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【变式7-1】已知中不含的二次项，则的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【变式7-2】已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则 ． 【变式7-3】已知的展开式中不含项． (1)求的值； (2)当时，化简求值：． 【题型八】整式乘法与图形面积问题 【例8】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】如图，长方形，则阴影部分面积的表达式为 ． 【变式8-2】小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有三种地砖可供选择，请问需要砖 块，砖 块，砖 块. 【变式8-3】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【题型九】新定义问题 【例9】定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【变式9-1】定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【变式9-2】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 【变式9-3】定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 1计算： (1)； (2) 2．若展开后不含和项，求的值． 3．对于实数，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵），那么当时， ． 4．定义新运算“”：，则 ，若，则 ． 5有甲、乙、丙三种卡片，甲是边长为m的正方形，乙是长为m、宽为n的长方形，丙是边长为n的正方形．用4张卡片拼出两个长方形，面积分别为 (1)①用含m、n的式子表示 ； ②当时， 求 的值； (2)比较 与 的大小，并说明理由． 6在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.1.4-1.1.5单项式和多项式乘法 【题型一】单项式与单项式相乘 【方法点拨】单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． 【例1】下列计算错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.85 【来源】重庆市云阳县第二初级中学教育集团2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试题（A卷） 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查整式的运算，包括同底数幂的乘法、幂的乘方和积的乘方，以及单相式乘单项式的知识点；解题的关键在于熟练掌握各运算法则；运用积的乘方法则时，需注意负数的偶次幂结果为正，奇次幂为负，避免符号错误． 【详解】选项A、，选项A正确，不符合题意； 选项B、，选项B正确， 不符合题意； 选项C、，选项C错误，符合题意； 选项D、，选项D正确，不符合题意． 故选C． 【变式1-1】计算： ． 【答案】 【难度】0.85 【来源】第十六章整式的乘法16.1-16.3周测2025-2026学年人教版八年级数学上册 【知识点】积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了积的乘方以及单项式乘单项式的运算．首先分别计算和，然后将结果相乘，运用同底数幂相乘的法则进行计算，即可作答． 【详解】解：， 故答案为：． 【变式1-2】计算： (1)． (2) (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3)0 (4) 【难度】0.65 【来源】16.2 整式的乘法（第1课时）（分层作业）数学人教版2024八年级上册 【知识点】合并同类项、幂的乘方运算、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查了幂的乘法运算，单项式乘法运算，合并同类项，正确运用幂的运算法则是解题的关键． （1）先进行积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算即可； （2）先进行单项式的乘法和积的乘方运算，再合并同类项； （3）先进行幂的乘方，积的乘方运算，再进行单项式的乘法运算，最后合并同类项； （4）先进行积的乘方，再进行单项式乘法运算，最后合并同类项． 【详解】（1） ． （2） ． （3）原式 ． （4） ． 【变式1-3】计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【难度】0.65 【来源】高效同步练习16.2 整式的乘法 第1课时 整式的乘法-【追梦之旅�大先生】2025-2026学年新教材八年级上册数学活页同步练习（人教版2024） 【知识点】合并同类项、积的乘方运算、计算单项式乘单项式 【分析】本题考查幂的运算，单项式乘单项式，合并同类项，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （2）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式； （3）先计算积的乘方，再计算单项式乘单项式，最后合并同类项． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 【题型二】单项式与多项式相乘 【方法点拨】单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加． 【例2】若，则的值为 ． 【答案】2 【难度】0.65 【来源】江苏省南通市海安市十三校联考2025-2026学年八年级上学期11月期中数学试题 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查了单项式乘多项式的运算法则及整体代入的数学思想．将原式展开，利用已知条件进行代入计算． 【详解】解：原式， 由，得， ∴原式． 故答案为：2． 【变式2-1】 计算：的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【来源】黑龙江省哈尔滨市爱建中学2025-2026学年八年级上学期期中考试数学试卷 【知识点】计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查单项式乘多项式，利用分配律将单项式乘以多项式的每一项，再根据同底数幂的乘法法则计算． 【详解】解： ， 故选：A． 【变式2-2】 先化简后求值：，其中． 【答案】 【分析】本题考查了单项式乘以多项式及合并同类项，熟练掌握单项式乘以多项式及合并同类项是解题的关键．先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项，得到，再将代入计算，即得答案． 【详解】 ， 当时，原式． 【变式2-3】计算 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）           （2）原式 ； （3）           【题型三】多项式与多项式相乘 【方法点拨】多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加． 【例3】如果，那么的值是（    ） A． B．1 C．23 D． 【答案】B 【分析】本题考查了多形式与多形式的乘法，先根据多形式与多形式的乘法法则把左边化简，与右边比较求出m，n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：． ， ，， ． 故选：B． 【变式3-1】计算：． 【答案】 【难度】0.85 【来源】广东省东莞市可园中学2025-2026学年上学期八年级期中数学试卷 【知识点】计算多项式乘多项式、计算单项式乘多项式及求值 【分析】本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 先根据单项式乘多项式、多项式乘多项式的运算法则计算，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【难度】0.65 【来源】16.2 整式的乘法（第3课时 多项式乘多项式）（分层作业）数学人教版2024八年级上册 【知识点】计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查整式的混合运算，掌握其运算法则是关键． （1）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （2）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （3）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可； （4）根据多项式乘以多项式的计算法则计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． （4）解： ． 【变式3-3】探究应用 （1）计算：______． （2）______． （3）上面的整式乘法计算结果很简洁，你又发现一个新的乘法公式______．（请用含a、b的字母表示）． （4）直接用公式计算： ①______． ②______． 【答案】（1） （2） （3） （4）① ；② ； 【难度】0.65 【来源】辽宁省营口市鲅鱼圈区实验学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】多项式乘法中的规律性问题、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式、探索规律题等知识点，熟练掌握多项式乘多项式法则是解题的关键． （1）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （2）两式利用多项式乘以多项式法则计算即可解答； （3）根据（1）（2）归纳总结得到一般性规律即可； （4）利用（3）得出的公式计算即可． 【详解】解：（1） ． （2） ． （3）由（1）（2）可归纳出：． （4）① ； ②中间应补上：， ； ． 【题型四】整式乘法的混合运算 【例4】计算： (1)； (2)． 【答案】(1)0 (2)12 【难度】0.85 【来源】广东省广州市培英中学2025--2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，整式的加减运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算同底数幂的乘法和幂的乘方，再进行合并即可； （2）先利用多项式乘多项式法则计算，再进行合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 【变式4-1】计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【来源】 湖北省武汉市江汉区2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了整式的混合运算，幂的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先计算同底数幂的乘法、幂的乘方，再合并同类项即可得解； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并同类项即可得解． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式4-2】计算： (1)； (2)； (3)； (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】整式乘法混合运算 【分析】本题考查整式乘法的混合运算，熟记单项式乘多项式，合并同类项法则是解题的关键． （1）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （2）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （3）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项； （4）先计算单项式乘以多项式，然后合并同类项． 【详解】（1）解： （2） （3） （4） 【变式4-3】观察下列各式： ①； ②； ③； ④． 请回答下列问题： (1)总结公式：； (2)已知a，b，m均为整数，且，求m的值． 【答案】(1) (2)m的值为6或 【难度】0.85 【来源】江西省上饶市信州区2025-2026学年八年级上学期11月期中联考数学试题 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、计算多项式乘多项式 【分析】本题主要考查了整式的乘法， 对于（1），根据上述过程解答； 对于（2），根据（1）可得，再根据讨论a，b的取值可得答案． 【详解】（1）解：； 故答案为：； （2）解：∵， 由（1）得：， ∵a，b，m均为整数， ∴有以下四种情况： ①；②；③；④， ①当时，； ②当时，； ③当时，； ④当时，， 综上所述：m的值为6或． 【题型五】整式乘法的化简求值 【例5】先化简再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式的乘法、单项式乘多项式与求代数式的值，掌握运算法则是解题的关键；分别用多项式乘多项式、单项式乘多项式展开，再合并同类项，最后代入数值计算即可． 【详解】解： ； 当，时，原式． 【变式5-1】先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题考查单项式乘以多项式．先展开括号，合并同类项化简后，再代入求值． 【详解】解： ， 当 时， 原式． 【变式5-2】（1）如果（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n，那么m的值是 ，n的值是 　　； （2）如果（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+， 求（a﹣2）（b﹣2）的值； 【解答】解：（1）∵（x﹣3）（x+2）＝x2+mx+n， ∴x2﹣x﹣6＝x2+mx+n， ∴m＝﹣1，n＝﹣6， 故答案为：﹣1，﹣6； （2）∵（x+a）（x+b）＝x2﹣2x+， ∴a+b＝﹣2，， （a﹣2）（b﹣2） ＝ab﹣2（a+b）+4 ＝ ＝， 【变式5-3】在计算（x+a）（x+b）时，甲错把b看成了6，得到结果x2+8x+12；乙错把a看成了﹣a，得到结果x2+x﹣6．你能正确计算（x+a）（x+b）吗？（a、b都是常数） 【解答】解：∵（x+a）（a+6）＝x2+（6+a）x+6a＝x2+8x+12， ∴6+a＝8， ∴a＝2； ∵（x﹣a）（x+b）＝x2+（b﹣a）x﹣ab＝x2+x﹣6， ∴b﹣a＝1， ∴b＝3， ∴（x+a）（a+b） ＝（x+2）（x+3） ＝x2+5x+6． 【题型六】整式乘法的应用 【例6】图1的瓶子中盛满水，如果将这个瓶子中的水全部倒入图2的杯子中，那么你知道一共需要多少个这样的杯子吗？（单位：） 【答案】需要杯子个 【分析】本题主要考查整式的混合运算．要计算瓶子中的水可倒满几个杯子，实际上是计算瓶子中水的体积是杯子中水的体积的几倍，列算式计算即可． 【详解】解：由题意可知： 图1几何体的容积为：， 图2几何体的容积为：， 则需要杯子的个数：（个）， 【变式6-1】如图，李伯伯家有一块长为，宽为的长方形土地，李伯伯准备空出两块长都为，宽都为的小长方形土地以备他用，其余部分用来种植蔬菜． (1)用含的代数式表示种植蔬菜的面积；（结果化到最简） (2)若，且种植蔬菜每平方米的成本为10元，请计算种植蔬菜所需的总成本． 【答案】(1) (2)种植蔬菜所需的总成本为元． 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了整式的混合运算，代数式表示式，代数式求值，解题的关键在于根据图形表示出种植蔬菜的面积． （1）根据“种植蔬菜的面积大长方形面积个小长方形面积”列出代数式即可； （2）将代入（1）中代数式求出种植蔬菜的面积，结合种植蔬菜每平方米的成本为10元，即可求出种植蔬菜所需的总成本． 【详解】（1）解：由图知，种植蔬菜的面积为 ； （2）解：若， 则种植蔬菜的面积为（平方米）， 又种植蔬菜每平方米的成本为10元， 所以种植蔬菜所需的总成本为（元）， 答：种植蔬菜所需的总成本为元． 【变式6-2】一个长方体的长、宽、高如图所示，则它的体积为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查单项式的乘法，理解题意，正确列出代数式是解答的关键．先根据长方体的体积等于长、宽、高的乘积列出代数式，再根据单项式乘多项式运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，该长方体的体积为， 故答案为：． 【变式6-3】如图，在长方形中，，其内部有两个正方形，如图放置，且这两个正方形的边长之和为4.5，两个正方形相交于点K，L，连接，四边形的面积是2.5，则正方形的边长为（    ） A．2 B．2.2 C． D．2.5 【答案】D 【分析】设正方形的边长为x，则正方形的边长为，表示出和的长，然后根据列方程求解即可． 【详解】设正方形的边长为x，则正方形的边长为， ∴，， ∵四边形的面积是2.5， ∴， ∴， 解得． 故选D． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，单项式与多项式的乘法计算，根据题意列出方程是解答本题的关键． 【题型七】整式乘法中的不含某项 【例7】若的展开式中不含x项，则实数m的值为（   ） A． B．0 C．4 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘以多项式的法则，不含某一项就是该项的系数等于0．先根据多项式乘以多项式展开式子，合并同类项，不含项，就是项系数为0，进而求出的值． 【详解】解： ， 又展开式中不含项， ， 即； 故选：D． 【变式7-1】已知中不含的二次项，则的值是（    ） A．3 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】整式的混合运算：有乘方、乘除的混合运算中, 要按照先乘方后乘除再加减的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似；若多项式中不含某一项，则该项系数为0． 【详解】解： ∵原式中不含的二次项， ∴，解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算，熟记运算规则是关键． 【变式7-2】已知关于x的多项式与的积不含二次项和三次项，则 ． 【答案】3 【分析】本题主要考查多项式乘多项式，多项式的项、次数的定义以及代数式求值，解题的关键是熟练掌握运算法则正确进行计算．先运用多项式乘多项式的运算法则进行运算并整理，再令二次项和三次项的系数分别为0即可求解． 【详解】解： ， ∵关于x的多项式与的积不含二次项和三次项， ∴，， 解得，， ∴． 故答案为：3． 【变式7-3】已知的展开式中不含项． (1)求的值； (2)当时，化简求值：． 【答案】(1) (2)； 【分析】本题考查整式混合运算，涉及多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、乘方公式等知识，熟练掌握整式混合运算法则是解决问题的关键． （1）利用多项式乘以多项式展开，再由的展开式中不含项得到求解即可得到答案； （2）利用平方差公式、完全平方和公式及整式加减运算化简，再将代入求值即可得到答案． 【详解】（1）解： ， ∵的展开式中不含x3项， ∴， ∴； （2）解： ， 当时，原式 ． 【题型八】整式乘法与图形面积问题 【例8】通过两种不同的方法计算同一图形的面积可以得到一个等式．例如，由图1可得等式．小亮从图1中选择一部分图案涂上阴影得到图2，则利用图2中整个阴影部分的面积可以得到的等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了多项式乘法与图形面积；一方面阴影部分是一个长为，宽为的长方形，另一方面，阴暗部分是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，分别计算出面积即可求解． 【详解】解：阴影部分是一个长为，宽为的长方形，其面积为； 阴暗部分也是由一个边长为a的大正方形、两个边长为b的小正方形加三三个长为a、宽为b的相同长方形组成，其面积为：， 根据面积相等得：； 故选：D． 【变式8-1】如图，长方形，则阴影部分面积的表达式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，根据“”即可求解． 【详解】解：由图形得 ∴ ， 故答案为：． 【变式8-2】小明外祖母家的住房装修三年后，地砖出现破损，破损部分的图形如图：现有三种地砖可供选择，请问需要砖 块，砖 块，砖 块. 【答案】 0 8 2 【分析】根据题意计算出破损的总面积，然后计算分别需要A、B、C三种砖的数量即可补修好破损部分房屋地板. 【详解】解：根据题意得：破损的总面积= 计算每一块A、B、C三种砖的面积为：A砖的面积=a2；B砖的面积=ab；C砖的面积=b2 ∴ 需要A、B、C三种砖分别为：0，8，2块. 故答案为0，8，2 . 【点睛】本题关键是求出破损的面积以及A、B、C三种砖每一块砖的面积，同时需要注意本题要求的是求出共需要这三种砖各多少块即可以补修好破损的地板． 【变式8-3】如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，城市规划部门计划在中间留一块长为米，宽为米的长方形地块修建一座雕像，将阴影部分进行绿化． (1)用含的式子表示绿化面积； (2)求出当时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)69平方米 【分析】本题主要考查多项式乘以多项式与图形面积，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． （1）根据图形及题意可直接进行求解； （2）由（1）可知绿化部分的面积为平方米，然后把代入求解即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）当时， （平方米）， 绿化部分的面积69平方米． 【题型九】新定义问题 【例9】定义：一个多项式乘另一个多项式，化简得到新的多项式．若的项数比多不超过1项，则称是的“友好多项式”．特别地，当的项数和相同时，则称是的“特别友好多项式”． (1)若，，则是不是的“友好多项式”？请说明理由， (2)若，是的“特别友好多项式”． ①请写出一个符合条件的二项式：______． ②若是三项式，请写出一个符合条件的，并说明理由． 【答案】(1)是，理由见解析； (2)①；②，理由见解析． 【难度】0.65 【来源】山西省临汾市侯马市第五中学2025-2026学年上学期期中考试八年级数学试卷 【知识点】多项式的项、项数或次数、计算多项式乘多项式 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义，掌握多项式乘多项式法则及新定义是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“友好多项式”的定义判断； （2）①根据“特别友好多项式”的定义解答； ②根据“特别友好多项式”的定义写出多项式，根据多项式乘多项式的法则证明即可； 【详解】（1）解：是的“友好多项式”，理由如下： ， ∵的项数比多不超过项， ∴是的“友好多项式”； （2）解：①， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”， 故答案为：； ②， ∵与的项数相同， ∴是的“特别友好多项式”． 【变式9-1】定义三角表示，方框表示，则的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了单项式乘以多项式，根据题意结合单项式乘以多项式的运算法则计算即可得解，理解题中的定义是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得： ， 故选：B． 【变式9-2】若定义知识树表示运算，则知识树表示的运算结果为 【答案】m 【分析】本题考查了新定义运算，单项式除以单项式及积的乘方，根据新定义得，即可求解；理解新定义是解题的关键． 【详解】 解：根据题意，表示，， 故答案为：m． 【变式9-3】定义一种新运算，对任意数，，，例如：，． (1)设（为常数） 已知关于的方程为一元一次方程，求：的值及方程的解． 已知与为关于x的多项式，，的值满足，若中不含一次项，求：的值． (2)如果数对满足，我们称数对为“嘉幸数”，已知数对与均为“嘉幸数”，求代数式的值． 【答案】(1)，；； (2)． 【分析】（1）根据规定的新运算可知，又因为方程为一元一次方程，可得为一元一次方程，根据一元一次方程的定义可知、，从而求出的值，把的值代入方程中可得方程为，解方程即可； 根据可以求出，根据中不含一次项可以求出的值，把、的值代入计算求值即可； （2）根据“嘉幸数”的定义列方程求出、的值，根据整式的运算法则把代数式化简，再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解：， 又方程为一元一次方程， 为一元一次方程， ， 解得：， 方程为， 解得：， ，； 解：的值满足， ， ， ， 解得：， ，， ， 整理得：， 不含一次项， ， 解得：， ； （2）解：数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， 数对为“嘉幸数”， ， 整理得：， 解得：， ， 当，时， 原式 ． 【点睛】本题主要考查了新运算、一元一次方程的定义、同底数幂的乘法、整式的化简求值、有理数的混合运算．解决本题的关键是理解题目中规定的新运算，根据规定的新运算，把指定的运算转化为一般的运算；理解“嘉幸数”的意义，根据“嘉幸数”列方程求出字母的值． 1计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了幂的乘方、同底数幂相乘，平方差公式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先运用幂的乘方，再运算同底数幂相乘，最后合并同类项，即可作答． （2）整理原式，再运用平方差公式进行简便运算，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解： 2．若展开后不含和项，求的值． 【答案】 【难度】0.65 【来源】四川省眉山市仁寿县坝达初级中学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷 【知识点】已知多项式乘积不含某项求字母的值、构造二元一次方程组求解 【分析】本题考查整式混合运算不含某项求参数，熟记多项式乘以多项式运算法则是解决问题的关键． 先计算多项式乘以多项式，再合并同类项，再由展开后不含和项，列方程组求解即可得到答案． 【详解】解： 展开后不含和项， ， 解得． 3．对于实数，规定一种运算（二阶行列式又称二阶矩阵），那么当时， ． 【答案】2026 【分析】本题考查的是定义新运算，多项式乘以多项式的运算法则，合并同类项的法则，解一元一次方程，掌握多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据新定义列出方程，然后依据多项式乘以多项式的法则及合并同类项的法则进行化简，最后解关于的一元一次方程． 【详解】解：根据题意得：， 整理得：， 解得：． 故答案为：． 4．定义新运算“”：，则 ，若，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义运算，单项式乘多项式，解一元一次方程，根据新定义计算即可得出的值，再根据新定义列出方程，解方程即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 整理可得：， 故答案为：，． 5有甲、乙、丙三种卡片，甲是边长为m的正方形，乙是长为m、宽为n的长方形，丙是边长为n的正方形．用4张卡片拼出两个长方形，面积分别为 (1)①用含m、n的式子表示 ； ②当时， 求 的值； (2)比较 与 的大小，并说明理由． 【答案】(1)①； ②4 (2)当时，；当时，；当时， 【难度】0.65 【来源】河南省周口市沈丘县中英文等校2025-2026学年八年级上学期12月月考数学试题 【知识点】列代数式、多项式乘多项式与图形面积 【分析】本题考查了列代数式和整式乘法的应用，掌握矩形的面积公式是解题的关键． （1）根据长方形的面积公式求解； （2）把代入分别计算，再作差即可； （3）根据作差法比较大小． 【详解】（1）解：①； ②当时, ； （2）解: ∵，但无法确定的正负, 当时, ； 当时, ； 当时, 6在我国南宋数学家杨辉（约13世纪）所著的《详解九章算术》（1261年）一书中，用如图的三角形解释二项和的乘方规律，法国数学家帕斯卡于1654年才发现此三角形，比中国晚了几百年，杨辉在注释中提到，在他之前北宋数学家贾宪（1050年左右）也用过这种方法，因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”．此图揭示了（n为非负整数）的展开式的项数及各项系数的有关规律： (1)补充完整的展开式， (2)的展开式中共有 项，所有项的系数和为 ； (3)利用上面的规律计算：． 【答案】(1) (2)9，256 (3)32 【难度】0.65 【来源】安徽省六安市裕安区第九中学2025-2026学年七年级上学期期中综合素质评价数学试题 【知识点】多项式乘法中的规律性问题 【分析】本题考查多项式乘以多项式的规律问题，从给出的等式中，找到相应的规律是解题的关键． （1）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图即可得到答案； （2）根据“杨辉三角”或“贾宪三角”的系数的排列图，找到规律共项，所有项系数的和为，即可得到答案； （3）利用（1）（2）的规律，可取，，代入计算即可得到答案． 【详解】（1）解：利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： ∴， 故答案为：； （2）解：由题意得，利用“杨辉三角”或“贾宪三角”，如图所示： 共2项，所有项系数的和为； 共3项，所有项系数的和为； 共4项，所有项系数的和为； …… ∴共项，所有项系数的和为， ∴共9项，所有项系数的和为， 故答案为：9，256； （3）解： ， ∴可取，， 即原式． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $