第03讲 分式方程（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第03讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式方程的概念 1.定义：方程中含有分式，且分母中含有未知数，这样的方程叫作分式方程。 2.必备条件（三者缺一不可）：①是方程（含有等号，表示等量关系）；②含有分式；③分母中含有未知数。 3.与整式方程的区别与联系： 区别：分式方程分母含未知数，整式方程分母不含未知数（仅含常数或不含分母）； 联系：分式方程可通过去分母转化为整式方程求解。 易错辨析：分母中含字母的方程不一定是分式方程。例如关于的方程（为非零常数），虽分母含字母，但是常数不是未知数，因此不是分式方程。 知识点2：分式方程的解法 1.核心思路：将分式方程通过“去分母”转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解（体现“转化思想”）。 2.一般步骤（四步：去→解→验→写）： 去分母：方程两边同乘所有分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程（注意：不含分母的项也要乘最简公分母，分子是多项式时需加括号）； 解整式方程：按照一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解； 验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则该解是原分式方程的解；若为0，则该解不是原分式方程的解（称为增根）； 写结论：明确写出原分式方程的解或“无解”。 3.增根相关： 定义：分式方程去分母转化为整式方程后，整式方程的解使原分式方程分母为0（分式无意义），这样的解叫作增根； 产生原因：分式方程本身限制分母不为0，而去分母后整式方程无此限制，导致整式方程的解可能违背原方程的分母不为0的条件。 知识点3：分式方程的无解情况 1.整式方程无解：分式方程去分母后得到的一元一次方程无解（如化简后为这类矛盾等式），则原分式方程无解； 2.整式方程的解为增根：分式方程去分母后得到的整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根（使原方程分母为0），则原分式方程无解； 3.注意：判断分式方程无解时，需同时考虑以上两种情况，不可遗漏。 知识点4：分式方程的应用 1.列方程的一般步骤（六步：审→设→列→解→验→答）： 审：审清题意，找出能表示题目全部含义的等量关系，区分已知量和未知量； 设：设恰当的未知数（直接设或间接设），注意单位统一； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：求解列出的分式方程； 验：双重检验——①检验解是否为原分式方程的解；②检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度、时间等不为负数或分数）； 答：用完整的语言写出答案。 2.常见应用类型及核心公式： 行程问题：路程=速度×时间（常用等量关系：相遇时间、追及时间、路程差等）； 工程问题：工作量=工作效率×工作时间（无具体工作量时，通常设总工作量为1）； 利润问题：利润=售价-进价，利润率=； 浓度/购买问题：浓度=，质量=。 知识点5：易错点辨析与重点记忆 1.易错点1：去分母时漏乘不含分母的项。例如解方程，易忽略“1”也要乘； 2.易错点2：验根步骤缺失或错误。解分式方程必须验根，不能仅凭整式方程的解直接作为原方程的解； 3.易错点3：混淆“增根”与“无解”。增根是整式方程的解但不是原分式方程的解，而无解是原方程没有符合条件的解（可能是整式方程无解，或所有解都是增根）； 4.易错点4：应用问题中单位不统一。例如速度单位“千米/小时”与时间单位“分钟”未统一就列方程； 5.重点记忆： 最简公分母的找法：取各分母所有因式的最高次幂的积（如分母为和，最简公分母为）； 含字母参数的分式方程：求字母取值范围时，需同时满足“整式方程的解符合条件”和“原方程分母不为0”（如方程的解为正数，需满足且）。 【题型1分式方程的识别】 方法技巧：紧扣三要素判断：①是方程； ②含分式； ③分母含未知数。排除分母含常数字母（非未知数）的方程。 例1. （25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 【答案】①④ 【分析】本题考查了分式方程的定义，熟记分式方程的定义是解题的关键． 根据分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程，逐个判断即可． 【详解】①④的分母中含有未知数，是关于x的分式方程； ②不是方程，故不是关于x的分式方程； ③⑤的分母中不含有未知数，故不是关于x的分式方程； 关于x的分式方程是①④． 故答案为：①④． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 【答案】B 【分析】本题考查的是分式方程的定义，熟知分母中含有未知数的方程叫作分式方程是解答此题的关键． 根据分式方程的定义对各方程进行逐一分析即可． 【详解】解：①是分式方程，符合题意；②是分式方程，符合题意；③是整式方程，不符合题意；④是整式方程，不符合题意． 其中是分式方程的是①②， 故选：B． 变式2. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，分式方程定义：分母中含有未知数的方程叫作分式方程．掌握其定义是解题关键． 【详解】解：①；分母中不含有未知数，故①不是分式方程； ②；分母中含有未知数，故②是分式方程； ③；分母中含有未知数，故③是分式方程； ④．分母中不含有未知数，故④不是分式方程． 故选：． 变式3. （21-22八年级上·河南漯河·期末）下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】利用分式方程的定义，分式方程的解，以及分式方程根的判断即可解决． 【详解】①是分式方程，故正确； ②时，，即分母为0，故不是分式方程的解 ，错误； ③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘，故正确； ④解分式方程时不一定会出现增根，错误． 所以正确的有2个 故选：B 【点睛】本题考查了分式方程的定义、分式方程根的检验、分式方程的增根等知识． 【题型2分式方程的基本解法】 方法技巧：①去分母：两边同乘最简公分母，转化为整式方程（不漏乘常数项）； ②解整式方程； ③验根：代入最简公分母，不为0则为原方程解。 例2. （2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的方法是解题关键．方程两边同乘以化成整式方程，再解一元一次方程，然后进行检验即可得． 【详解】解：， 方程两边同乘以，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 经检验，是分式方程的解， 所以方程的解为． 变式1. （23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 【答案】 【分析】本题主要考查解分式方程，掌握将分式方程转换为一元一次方程求解的方法是关键． 根据题意，先去分母，转换为一元一次方程，再根据解一元一次方程的方法计算，检验根是否符合题意即可． 【详解】解：， 整理得，， 等式两边同时乘以得，， 去括号得，， 移项、合并同类项得，， 系数化为1得，， 检验，当时，原分式方程有意义， ∴原分式方程的解为． 变式2. （24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 【答案】(1)无解 (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的一般方法，是解题的关键． （1）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可； （2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可． 【详解】（1）解：， 去分母得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的增根， ∴原方程无解． （2）解： 去分母得：， 去括号得：， 解整式方程得：， 检验：把代入得：， ∴是原方程的解． 变式3. （25-26八年级上·江西南昌·月考）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程，熟练掌握解分式方程的步骤是解题的关键． （1）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为增根即可； （2）去分母化为整式方程，解整式方程，再检验整式方程的解是否为增根即可． 【详解】（1）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解； （2）解： 去分母，得， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解． 【题型3分式方程的简单实际应用】 方法技巧：①审等量关系（路程=速度×时间；工作量=效率×时间；利润率=利润/进价）； ②设未知数（直接或间接）； ③列方程（含分式）； ④验根（兼顾方程解和实际意义）。 例3. （25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列分式方程解决行程问题，解题的关键是找出等量关系． 根据时间相等，顺流航行速度为静水速度加水流速度，逆流航行速度为静水速度减水流速度，分别表示顺流和逆流的时间，并令其相等即可得到方程． 【详解】解：设江水的流速为千米/时，则顺流速度，逆流速度，根据题意得， ， 故选：A． 变式1. （25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 【答案】甲车间每天生产套“穿楼积木” 【分析】本题考查分式方程的运用，理解数量关系，正确列式求解是解题的关键．设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”，由此列分式方程求解即可． 【详解】解：设甲车间每天生产套“穿楼积木”，则乙车间每天生产套“穿楼积木”， 由题意得，， 即 解得，， 检验，当时，原分式方程有意义， 答：甲车间每天生产套“穿楼积木”． 变式2. （25-26八年级上·全国·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 【答案】(1)该种干果的第一次进价是每千克5元 (2)超市销售这种干果共盈利5820元 【分析】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键是分析题意，找到合适的等量关系列出相应的方程求解． （1）设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元．根据第二次购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，列出方程，解方程即可求解； （2）根据利润=售价−进价，可求出结果． 【详解】（1）解：设该种干果的第一次进价是每千克x元，则第二次进价是每千克元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：该种干果的第一次进价是每千克5元． （2）解：第一次购进（千克）， 第二次购进（千克）． 总购进量为（千克）， 按原价销售量为（千克）， （元）． 答：超市销售这种干果共盈利5820元． 变式3. （2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【答案】小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天 【分析】本题考查分式方程的应用，根据题意可以列出相应的分式方程，然后根据解分式方程的方法即可解答本题． 【详解】解：设小芳家选择住在乐园内，预计在迪士尼乐园游玩x天，根据题意得： ， 解得， 经检验，是原分式方程的解， 答：小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩2天． 【题型4由分式方程的增根求字母的值】 方法技巧：①找增根：令最简公分母=0，求可能的增根； ②去分母得整式方程； ③将增根代入整式方程，求解字母值（注意：增根必满足整式方程）。 例4. （25-26八年级上·湖南怀化·期中）若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是求解分式方程的增根，根据增根的含义可得，再进一步求解即可. 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴， ∴， 故答案为：． 变式1. （25-26七年级上·上海·月考）若方程有增根，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程的增根问题，注意解答增根问题按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值． 将分式方程去分母后，将，代入求出k值即可． 【详解】解： 去分母得， 整理得， ∵方程有增根， ∴增根为或 当时，； 当 时 ∴ 的值为或 变式2. （2025七年级上·全国·专题练习）解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 【答案】或6 【分析】本题主要考查了分式方程的增根，解题的关键在于化分式方程为整式方程，再把增根代入整式方程求出相关字母的值． 将分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根求出x的值，将x的值代入整式方程计算求解，即可求出m的值． 【详解】解：， 去分母得：， ∵分式方程会产生增根， ∴， 解得：或， 把代入整式方程得：， 解得：； 把代入整式方程得：， 解得：， 则m的值是或6． 变式3. （2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【答案】(1) (2)0或4 【分析】本题考查分式方程的解与增根的概念．特别注意增根是使原方程分母为零的根，但在解方程过程中可能引入的无效解，需代入化简后的方程求出对应的值． （1）把代入方程计算即可求出k的值； （2）由分式方程有增根求出的值，分式方程去分母后代入计算即可求出的值． 【详解】（1）解：（1）∵方程的解为， ∴， 解得； （2）由分式方程有增根，得到或，解得， 分式方程去分母得：， 把代入方程得：，解得：， 把代入方程得：， 故的值为0或4． 【题型5由分式方程的无解求字母的值】 方法技巧：分两类：①整式方程无解（如ax=b中a=0且b≠0）； ②整式方程的解是增根。先去分母得整式方程，再分情况讨论求解。 例5. （25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了分式方程无解问题，熟练掌握以上知识是解题的关键． 分式方程无解分两种情况：①整式方程本身无解；②分式方程产生增根．将分式方程转化为整式方程，根据分式方程无解分两种情况，分别求的值即可． 【详解】解：， 整理得：， 解得：， ∵分式方程无解， 当分式方程有增根时，，则， 此时， 解得：； 当整式方程无解时，， 解得：， 综上可知，的值为或， 故答案为：或． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】或 【分析】本题考查分式方程无解问题，将分式方程化为整式方程后，根据分式方程无解，分整式方程无解和分式方程有增根，两种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：， 去分母，得：， 整理，得：； ①当整式方程无解时，，解得； ②当分式方程有增根时，则：，解得； 把代入，得，解得； 综上：或 变式2. （22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 【答案】(1)或2或 (2)或且且 【分析】本题考查了分式方程的增根，解分式方程． （）根据分式方程的解法得出，分当时、当时和当时原分式方程无解，从而求解； （）由得，然后根据方程的解为正数得出且且，最后求解并检验即可． 【详解】（1）解：去分母得， 整理得， 当时，整式方程无解，即时，原方程无解； 当时，，解得； 当时，，解得， 即或时，整式方程的解为2或1，此时分式方程无解， 综上所述，m的值为或2或； （2）解：解方程得， ∵且且， ∴且且， ∴或且且． 变式3. （24-25八年级下·四川达州·月考）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【答案】 【分析】根据不等式组无解确定a的取值范围，再根据分式方程的整数解确定a的取值范围，从而求出符合条件的所有整数即可得结论．本题考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定a的取值范围． 【详解】解：∵ ， 解不等式①得：； 解不等式②得：， ∵不等式组无解， ∴， 解得； ∵， 去分母得：， 整理，得， ∵方程有整数解， ∴，， 解得， ∵， ∴符合题意的整数a的值为， ∵是增根， 此时， 解得， ∴符合条件的所有整数a为，它们的和是， 故答案为：． 【题型6由分式方程解的正负求字母的值】 方法技巧：①去分母转化为整式方程，解出含字母的根的表达式； ②根据解的正负列不等式（正：根>0，负：根<0）； ③排除增根：令原方程各分母≠0，补充不等式； ④联立不等式组，求解字母取值范围。 例6. （25-26八年级上·山东淄博·月考）（1）当a为何值时，关于x的方程无解？ （2）关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 【答案】（1）当、或时，方程无解 （2）、、、 【分析】本题考查了分式方程的无解问题和分式方程的解的应用，解题的关键是掌握分式方程无解的两种情况（整式方程无解或分式方程产生增根）以及分式方程解的取值范围的确定方法． （1）先将分式方程化为整式方程，再分整式方程无解和分式方程产生增根两种情况讨论，求出的值． （2）先解分式方程，再根据解为非负数且分母不为零的条件，确定正整数的值． 【详解】解：（1） 方程两边同乘得： 展开并整理：，即． 当整式方程无解时，，即． 当分式方程产生增根时，增根为或． 把代入，得，解得． 把代入，得，解得． 综上，当、或时，方程无解． （2） 两边同乘得： 展开并整理：，即，解得． 方程的解为非负数，且（即）， ，解得； ，解得． 又 是正整数， 的值为、、、． 变式1. （25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了分式方程的解，以及解一元一次不等式组，先解不等式组，根据关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，确定的取值范围，再把分式方程去分母转化为整式方程，解得，由分式方程的解为正数，确定的取值范围且，进而得到且，根据为正整数，确定出的取值，相加即可得到答案． 【详解】解：， 解①得：， ， ， 解②得：， ， 关于的一元一次不等式组至少有2个整数解， ， 解得， ， ， ， ， 关于的分式方程的解为正整数， 且， 解得且， 且， 由∵为正整数， ∴或 则所有满足条件的整数的值之和是， 故答案为：． 变式2. （24-25九年级下·四川内江·月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 【答案】A 【分析】此题考查了一元一次不等式组和分式方程的求解能力，先通过解一元一次不等式组和分式方程确定所有满足条件的整数的值，再进行相加求解． 【详解】解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， 由题意得， 解得； 解方程得，，且， ∵关于y的分式方程的解均为负整数， ∴，解得， ∴， 当时，； 当时，（不合题意，舍去）； 当时，， ∴符合条件的有 8，4 ， ∴， 即所有满足条件的整数的值之和是 12 ． 故选：A． 变式3. （24-25九年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、解分式方程，熟练掌握不等式组和分式方程的解法是解题关键．先解一元一次不等式组，根据不等式组有解且至多有4个整数解可得，再解分式方程，根据分式方程的解是非负整数可得非负整数，且，，由此即可得． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∵关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解， ∴， 解得， ， 方程两边同乘以得：， 解得， ∵关于的分式方程的解是非负整数， ∴非负整数，且，， 即非负整数，且，， ∴所有满足条件的整数的值为， ∴所有满足条件的整数的值之和为， 故答案为：21． 【题型7换元法解复杂分式方程】 方法技巧：①观察方程结构，设含未知数的分式为新元（如设）； ②转化为整式方程求解新元； ③代回换元式求原未知数； ④验根。 例7. （24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查换元法解分式方程：（1）将代入分式方程即可；（2）令，代入分式方程求解即可． 【详解】（1）将代入中， 得： 即： （2）可化为： 即： 令 则： 解得： 当时，即，此时方程无解 当时，即，解得： 经检验，是原方程的解． 变式1. （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 【答案】(1)② (2)的值为或2 【分析】本题主要考查了分式方程无解的问题，解题的关键是理解题意，注意进行分类讨论． （1）根据解题过程进行判断即可； （2）将原分式方程化为，然后分两种情况讨论，求出结果即可． 【详解】（1）解：上述材料中解题过程体现的数学思想是分类讨论思想； 故答案为：② （2）解：， 去分母得：， 整理得：， ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当时，，解得； 综上所述，的值为或2． 变式2. （23-24八年级下·河南洛阳·期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ， ， ． 小亮的做法是： ， ， ． 学习他们的方法求解： (1)已知，且，求的值； (2)已知，，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分式的求值，分式方程的解法，掌握整体代入法是解本题的关键； （1）由条件得到，再整体代入计算即可； （2）由条件得到，再整体代入可得，再解分式方程即可； 【详解】（1）解：， ， ； （2）解：把去分母变形得， ， ， 整体代入可化为， 即， ， 解分式方程得：． 经检验，是方程的解． 变式3. （23-24八年级下·四川成都·期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：， 解得：，． 经检验：，都是方程的解， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)在方程中，设，则原方程换元后为：　　　　； (2)模仿上述换元法解方程：． 【答案】(1) (2)原分式方程的解为，． 【分析】本题考查了用换元法解分式方程和分式方程的解，能正确换元是解此题的关键． （1）设，则原方程换元后为，再根据等式的性质进行变形即可； （2）设，则原方程化为，求出方程的解，再进行检验，当时，，求出方程的解，当时，，求出方程的解，最后进行检验即可． 【详解】（1）解：， 设，则原方程换元后为， 故答案为：； （2）解：， ， 设，则原方程化为：， ， ， ， 经检验：都是的解， 当时，， ， ， ， ， ； 当时，， ， ， ， ， ， ， 经检验：和都是分式方程的解， 所以分式方程的解是，． 【题型8分式方程的新定义问题】 方法技巧：①理解新定义运算规则（如）； ②将新定义转化为常规分式方程； ③按分式方程解法求解，注意定义域限制。 例8. （23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 【答案】(1)3 (2) (3) 【分析】本题考查有理数的运算，分式的运算，分式方程的解． （1）根据定义列式计算即可； （2）根据定义列式计算即可； （3）根据定义列出分式方程并解方程及检验即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：3； （2） ； （3）由题意得， 解得 经检验，是分式方程的解 原方程的解为． 变式1. （25-26八年级上·河北沧州·月考）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 【答案】(1)是互为“和整分式”， (2)①；② (3)或 【分析】本题考查的是新定义运算的理解，分式的加减运算，分式方程的解法，分式方程无解问题，理解题意是解本题的关键． （1）先计算，再根据结果可得结果； （2）①先求解，结合新定义可得，从而可得答案；②由，且分式的值为正整数．为正整数，可得或，从而可得答案； （3）由题意可得：，可得，整理得：，由方程无解，可得或方程有增根，再分两种情况求解即可． 【详解】（1）解：， ， 与B是互为“和整分式”，“和整数值”； （2）解：①∵， ∴ ， ∵与互为“和整分式”，且“和整数值”， ∴， ∴； ②∵，且分式的值为正整数为正整数， ∴或， ∴（舍去）； （3）解：由题意可得：， ， ， ， 整理得：， ∵方程无解， ∴或方程有增根， 当时， 解得：， 当，方程有增根， ， 解得：， 综上：的值为：1或． 变式2. （24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 【答案】(1)B (2)． 【分析】本题考查了新定义，分式方程的解，读懂题意，准确理解新定义，运用知识的迁移能力求解即可，理解“关联数对”的定义是解题的关键． （1）根据“关联数对”定义逐个计算判断即可得到答案； （2）根据“关联数对”定义，先求分式方程的解及，列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）解：当，时， 分式方程，解得， ， 不是“关联数对”； 当，时， 分式方程，解得， ， 是“关联数对”； 故答案为：B； （2）解：数对是关于的分式方程的“关联数对”， ，， ， 解得， ， ， 解得． 变式3. （2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 【答案】(1) (2)2022 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程、因式分解的应用等知识点，理解十字分式方程的定义是解题关键． （1）将方程改写成，再根据十字分式方程的定义作答即可； （2）先根据十字分式方程的定义以及、、的取值范围求出，，即，，然后代入求解即可． 【详解】（1）解：十字分式方程变形为， 可化为， ∴，或 ∴； （2）解：方程是十字分式方程，可化为， ∴，， ∵，， ∴，，即，， 代入得，， ∴的值为2022． 一、单选题 1．分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的求解，通过去分母，去括号，移项合并同类项，系数化为1，检验分母是否为零求出最后结果即可． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项合并同类项得：， 系数化为1得：， 检验当时，分母且， 故方程解为， 故选：C． 2．对于实数m，n，定义一种新运算“※”：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了新定义运算，解分式方程． 根据新运算的定义，将方程转化为分式方程，然后求解． 【详解】解：∵， ∴， 即， 两边同乘，得：， 化简得：， 即：， ∴， 检验：当时，， 所以原方程的解为． 故选：D． 3．小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，熟练掌握“路程、速度、时间的关系（时间路程速度）”并统一单位是解题的关键．先表示出路线一、路线二的行驶时间，再根据“路线一用时路线二用时分钟（换算为小时）”列方程． 【详解】解：由题意可得， 故选：B． 4．若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式方程无解问题，分式方程无解即方程有增根，分母为零的情况，化简方程后，解出x关于m的表达式，当解为增根时方程无解即可求出m的值． 【详解】解：∵原方程：， 两边同乘（假设）： ， ∴， 即， 由于分母，当时方程有增根，无解， ∴， 解得， 故当时方程无解， 故选D． 5．已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题考查分式方程的解及解的取值范围，解题的关键是先将分式方程化为整式方程求解，再结合分式有意义的条件（分母不为0）和解的正负性确定参数范围． 先将分式方程化为同分母形式，转化为整式方程求解关于的表达式，再根据＂解为正数＂和＂分母不为0＂列不等式，最终确定的取值范围． 【详解】解：∵方程， 又∵， ∴， ∴原方程化为． 左边合并：， 两边同时乘以得：， 解得． 由，得，即． 又∵解为正数，∴，即，． 综上，且． 故选：D． 二、填空题 6．想让关于的分式方程没有增根，则要满足什么条件 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了根据分式方程的根的情况求参数，解分式方程；通过求解分式方程，得到，分式方程没有增根，则方程的解不能使得分母为0，则，据此求解即可． 【详解】解：， 去分母得， 去括号得， 移项，合并同类项得， 系数化为1得， ∵分式方程没有增根， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 7．若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查解分式方程和一元一次不等式，关键是根据题意讨论出最后结果．解分式方程，解得的解含有字母，根据题意列不等式，解不等式确定字母的取值范围． 【详解】解：去分母可得：， 去括号可得：， 解得：， ∵关于x的分式方程的解为正数， ∴， 解得：， ∵，即， ∴， 解得， ∴的取值范围为：且， 故答案为：且． 8．若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式组的无解、分式方程的整数解，解决本题的关键是根据不等式组的无解及分式方程的整数解确定的取值范围．首先解不等式组，得到无解的条件是；然后解分式方程，得到，要求有负整数解且 ，从而得到的取值范围；最后结合两个条件，找出符合条件的整数并求和即可； 【详解】解：不等式组为 ， 解第一个不等式，两边乘得，即， 解第二个不等式：，即， 不等式组无解，需满足，解得； 分式方程为，分母，即， 整理得，则，， ∵分式方程有负整数解， ∴，即且为8的负因数， 则可以取， 又∵，排除， 结合不等式组无解条件，排除， 则符合条件的整数为和， ； 故答案为：． 9．若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 【答案】且 【分析】本题考查了解分式方程． 先通过分母变形化简分式方程，再求解得到x关于m的表达式，根据解为正数及分母不为零的条件列不等式求m的取值范围 【详解】解：原方程可化为， 即， 两边同乘得， 整理得， 解得： 可知且， ∵关于的分式方程的解为正数， ∴， ∵分子为负， ∴分母，即； 由得，解得， 综上且． 故答案为：且． 10．若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 【答案】 4 【分析】本题考查了分式方程，不等式组，整数解的分析及代数运算与逻辑推理．首先解分式方程，得到解为正整数的整数a值，注意排除使分母为零的情况；再解不等式组，根据有且仅有4个整数解的条件确定a的取值范围；最后取交集得到满足条件的整数a，并求它们的和． 【详解】解：分式方程，去分母得，整理得， 当 时方程无解，故，解得， 解为正整数且，则为正整数且（即）， 8的正因数为1、2、4、8，对应 ，得， 排除， 故， 不等式组， 解第一个不等式得， 解第二个不等式得， ∴不等式组解集为，有且仅有4个整数解， 则整数解为0、1、2、3， 故， 解得， ∴整数a为， 取交集，满足条件的整数a为， 和为． 故答案为：4． 三、解答题 11．解分式方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解分式方程的知识，掌握解分式方程的一般步骤是解题的关键． （1）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． （2）首先在方程两边同乘以最简公分母，将原方程转化为整式方程，求解后再检验即可得出答案． 【详解】（1）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是． （2）解：方程两边都乘，得， 整理，得， 解方程，得， 检验：当时，， 所以原方程的解是； 12．下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘________， 得第一步 去括号，得第二步 移项、合并同类项，得第三步 ……………… (1)第一步中横线处应填________，依据是_______； (2)小明在写第四步时已经发现前面的步骤有错误，请正确写出解方程的全部过程． 【答案】(1)；等式的基本性质2（或解分式方程时需两边同乘最简公分母以消去分母） (2)原方程无解，完整过程见解析 【分析】本题主要考查了解分式方程，解题关键是熟练掌握解分式方程的一般步骤． （1）根据等式的基本性质进行判断即可； （2）根据解分式方程的一般步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化成1，检验，进行解答即可． 【详解】（1）解：方程两边同乘，依据是：等式的基本性质2， 故答案为：；等式的基本性质2； （2）解：， 方程两边同乘得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 系数化成1得：， 检验：当时，， 所以是增根， ∴原方程无解． 13．为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 【答案】(1)x的实际意义是足球的数量 (2)足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个 【分析】本题主要考查分式方程的应用，熟练掌握数量关系是解答本题的关键． （1）由嘉嘉所列方程知是足球的单价，是排球的单价，结合足球的数量比排球数量多40个可得x的实际意义是足球的数量； （2）设排球的单价为元/个，根据足球的单价比排球单价高可得足球的单价为元/个，依据足球的数量比排球数量多40个可列方程，再解答即可． 【详解】（1）解：由嘉嘉所列方程知：是足球的单价，是排球的单价， 又足球的数量比排球数量多40个， 所以， x的实际意义是足球的数量； （2）解：设排球的单价为元/个，足球的单价为元/个，根据题意得， ， 解得， 经检验，是方程的解， ∴（元／个） ∴排球的购买数量为（个）， 答：足球的单价为60元/个，排球的购买数量为80个． 14．野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 【答案】(1)A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； (2)至少购进B品牌100袋． 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理解题意，找准等量关系和不等关系，正确列出分式方程与一元一次不等式是解此题的关键． （1）根据“该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同”，列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进B品牌为m袋，A品牌为袋，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得． 经检验：是原方程的解． （元）． 答：A品牌野生木耳的进价为60元，B品牌野生木耳的进价为76元； （2）解：设购进B品牌为m袋，A品牌为袋， 由题意，得， 解得． 答：至少购进B品牌100袋． 15．我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查解分式方程，理解题中解方程的方法是解题的关键． （1）仿照题中求解方法解方程即可； （2）根据“十字分式方程”的解可得，，进而利用完全平方公式化简，代入求解即可． 【详解】（1）解：为“十字分式方程”， ， ， 或， ，； （2）“十字分式方程”的两个解分别为，， ，， ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 分式方程 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：分式方程的概念 1.定义：方程中含有分式，且分母中含有未知数，这样的方程叫做分式方程。 2.必备条件（三者缺一不可）：①是方程（含有等号，表示等量关系）；②含有分式；③分母中含有未知数。 3.与整式方程的区别与联系： 区别：分式方程分母含未知数，整式方程分母不含未知数（仅含常数或不含分母）； 联系：分式方程可通过去分母转化为整式方程求解。 易错辨析：分母中含字母的方程不一定是分式方程。例如关于的方程（为非零常数），虽分母含字母，但是常数不是未知数，因此不是分式方程。 知识点2：分式方程的解法 1.核心思路：将分式方程通过“去分母”转化为整式方程，再利用整式方程的解法求解（体现“转化思想”）。 2.一般步骤（四步：去→解→验→写）： 去分母：方程两边同乘所有分母的最简公分母，把分式方程转化为整式方程（注意：不含分母的项也要乘最简公分母，分子是多项式时需加括号）； 解整式方程：按照一元一次方程的解法（去括号、移项、合并同类项、系数化为1）求解； 验根：将整式方程的解代入最简公分母，若最简公分母的值不为0，则该解是原分式方程的解；若为0，则该解不是原分式方程的解（称为增根）； 写结论：明确写出原分式方程的解或“无解”。 3.增根相关： 定义：分式方程去分母转化为整式方程后，整式方程的解使原分式方程分母为0（分式无意义），这样的解叫做增根； 产生原因：分式方程本身限制分母不为0，而去分母后整式方程无此限制，导致整式方程的解可能违背原方程的分母不为0的条件。 知识点3：分式方程的无解情况 1.整式方程无解：分式方程去分母后得到的一元一次方程无解（如化简后为这类矛盾等式），则原分式方程无解； 2.整式方程的解为增根：分式方程去分母后得到的整式方程有解，但所有解都是原分式方程的增根（使原方程分母为0），则原分式方程无解； 3.注意：判断分式方程无解时，需同时考虑以上两种情况，不可遗漏。 知识点4：分式方程的应用 1.列方程的一般步骤（六步：审→设→列→解→验→答）： 审：审清题意，找出能表示题目全部含义的等量关系，区分已知量和未知量； 设：设恰当的未知数（直接设或间接设），注意单位统一； 列：根据等量关系列出分式方程； 解：求解列出的分式方程； 验：双重检验——①检验解是否为原分式方程的解；②检验解是否符合实际问题的意义（如人数、长度、时间等不为负数或分数）； 答：用完整的语言写出答案。 2.常见应用类型及核心公式： 行程问题：路程=速度×时间（常用等量关系：相遇时间、追及时间、路程差等）； 工程问题：工作量=工作效率×工作时间（无具体工作量时，通常设总工作量为1）； 利润问题：利润=售价-进价，利润率=； 浓度/购买问题：浓度=，质量=。 知识点5：易错点辨析与重点记忆 1.易错点1：去分母时漏乘不含分母的项。例如解方程，易忽略“1”也要乘； 2.易错点2：验根步骤缺失或错误。解分式方程必须验根，不能仅凭整式方程的解直接作为原方程的解； 3.易错点3：混淆“增根”与“无解”。增根是整式方程的解但不是原分式方程的解，而无解是原方程没有符合条件的解（可能是整式方程无解，或所有解都是增根）； 4.易错点4：应用问题中单位不统一。例如速度单位“千米/小时”与时间单位“分钟”未统一就列方程； 5.重点记忆： 最简公分母的找法：取各分母所有因式的最高次幂的积（如分母为和，最简公分母为）； 含字母参数的分式方程：求字母取值范围时，需同时满足“整式方程的解符合条件”和“原方程分母不为0”（如方程的解为正数，需满足且）。 【题型1分式方程的识别】 方法技巧：紧扣三要素判断：①是方程； ②含分式； ③分母含未知数。排除分母含常数字母（非未知数）的方程。 例1. （25-26八年级上·全国·课前预习）下列关于x的式子是分式方程的是 ．（请填写序号） ①；②； ③（a为常数）；④； ⑤． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（    ） A．③④ B．①② C．①③ D．②④ 变式2. （25-26八年级上·全国·课后作业）有下列方程：①；②；③；④．其中是分式方程的是（   ） A．①和③ B．①和④ C．③和④ D．②和③ 变式3. （21-22八年级上·河南漯河·期末）下列说法：①是分式方程：②x=1或x=-1是分式方程=0的解；③分式方程转化成一元一次方程时，方程两边需要同乘x(x+4)；④解分式方程时一定会出现增根，其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型2分式方程的基本解法】 方法技巧：①去分母：两边同乘最简公分母，转化为整式方程（不漏乘常数项）； ②解整式方程； ③验根：代入最简公分母，不为0则为原方程解。 例2. （2025·江苏镇江·中考真题）解方程：． 变式1. （23-24八年级上·天津南开·期末）解分式方程：． 变式2. （24-25八年级上·新疆乌鲁木齐·期末）解分式方程： (1) (2) 变式3. （25-26八年级上·江西南昌·月考）解方程： (1)； (2)． 【题型3分式方程的简单实际应用】 方法技巧：①审等量关系（路程=速度×时间；工作量=效率×时间；利润率=利润/进价）； ②设未知数（直接或间接）； ③列方程（含分式）； ④验根（兼顾方程解和实际意义）。 例3. （25-26八年级上·内蒙古·期末）一艘轮船在静水中的最大航速为30千米/时，它沿江以最大航速顺流航行100千米所用时间，与以最大航速逆流航行60千米所用时间相等，江水的流速为多少？设江水的流速为千米/时，则可列方程（ ） A． B． C． D． 变式1. （25-26八年级上·云南玉溪·月考）某工厂计划生产文创产品“穿楼积木”套，安排甲、乙两车间完成任务，甲车间生产套，乙车间生产套“穿楼积木”、在生产过程中，乙车间每天生产“穿楼积木”的数量是甲车间每天生产“穿楼积木”数量的倍，两个车间同时生产，结果甲车间比乙车间提前2天完成任务，求甲车间每天生产多少套“穿楼积木”？ 变式2. （25-26八年级上·全国·期末）某超市用3000元购进某种干果销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种干果，但这次的进价是第一次进价的1.2倍，购进干果数量是第一次的2倍还多300千克，如果超市按每千克9元的价格出售，当大部分干果售出后，余下的600千克按售价的8折售完． (1)该种干果的第一次进价是每千克多少元？ (2)超市销售这种干果共盈利多少元？ 变式3. （2024·北京·模拟预测）小芳打算在暑假和爸爸、妈妈一起去上海迪士尼乐园游玩，她综合考虑了交通、门票、住宿等方面的因素，得出如下结论： （1）如果选择在乐园内，会比住在乐园外少用1天的时间就能体验完他们感兴趣的项目； （2）一家三口住在乐园内的日均支出是住在乐园外的日均支出的1.5倍； （3）无论是住在乐园内还是乐园外，一家三口这次旅行的总费用都是9810元； 请问：如果小芳家选择住在乐园内，那么他们预计在迪士尼乐园游玩多少天？ 【题型4由分式方程的增根求字母的值】 方法技巧：①找增根：令最简公分母=0，求可能的增根； ②去分母得整式方程； ③将增根代入整式方程，求解字母值（注意：增根必满足整式方程）。 例4. （25-26八年级上·湖南怀化·期中）若关于的分式方程有增根，则此分式方程的增根为 ． 变式1. （25-26七年级上·上海·月考）若方程有增根，求的值． 变式2. （2025七年级上·全国·专题练习）解关于x的分式方程会产生增根，求m的值． 变式3. （2025七年级上·全国·专题练习）已知关于的方程． (1)当此方程的解为时，求的值； (2)当此方程会产生增根时，求的值． 【题型5由分式方程的无解求字母的值】 方法技巧：分两类：①整式方程无解（如ax=b中a=0且b≠0）； ②整式方程的解是增根。先去分母得整式方程，再分情况讨论求解。 例5. （25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程无解，则的值为 ． 变式1. （25-26八年级上·全国·课后作业）若关于的分式方程无解，求的值． 变式2. （22-23八年级上·全国·期中）已知关于x的方程=． (1)若方程无解，求m的值； (2)若方程的解是正数，求m的取值范围． 变式3. （24-25八年级下·四川达州·月考）若关于x的不等式组无解，且关于y的分式方程有整数解，则满足条件的所有整数a的和为 ． 【题型6由分式方程解的正负求字母的值】 方法技巧：①去分母转化为整式方程，解出含字母的根的表达式； ②根据解的正负列不等式（正：根>0，负：根<0）； ③排除增根：令原方程各分母≠0，补充不等式； ④联立不等式组，求解字母取值范围。 例6. （25-26八年级上·山东淄博·月考）（1）当a为何值时，关于x的方程无解？ （2）关于x的分式方程的解为非负数，求正整数m的值． 变式1. （25-26八年级上·全国·单元测试）若关于的一元一次不等式组至少有2个整数解，且关于的分式方程的解是正整数，则所有满足条件的整数的值之和是 ． 变式2. （24-25九年级下·四川内江·月考）若关于x的一元一次不等式组的解集为，且关于y的分式方程的解均为负整数，则所有满足条件的整数a的值之和是（     ） A．12 B．18 C．30 D．42 变式3. （24-25九年级下·重庆·月考）若关于的一元一次不等式组有解且至多有4个整数解，且关于的分式方程的解是非负整数，则所有满足条件的整数的值之和为 ． 【题型7换元法解复杂分式方程】 方法技巧：①观察方程结构，设含未知数的分式为新元（如设）； ②转化为整式方程求解新元； ③代回换元式求原未知数； ④验根。 例7. （24-25七年级下·全国·课后作业）阅读下面材料，解答下列问题： 解方程：． 解：设，则原方程化为．方程两边同乘以y，得，解得．经检验，都是方程的解，所以当时，，解得；当时，，解得．经检验，或都是原分式方程的解，所以原分式方程的解是或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． (1)在方程中，设，则原方程换元后为_______； (2)根据上述换元法解方程：． 变式1. （24-25八年级下·山西晋城·月考）阅读与思考 阅读下列材料，并完成相应的任务 关于“分式方程无解问题”的研究报告研究对象：关于的分式方程的无解问题． 研究思路：化为一元一次方程将使分式方程无解的的值代入求出的值． 问题提出：若关于的分式方程无解，求的值． 问题分析：分式方程无解问题需要考虑两种情况： ①去分母后，所得的整式方程（一元一次方程）无解，将这个一元一次方程化为的形式，只需即可． ②原分式方程有增根（除增根外无其他解），将最简公分母等于0后，将求得的的值代入去分母后的一元一次方程，最后求得的值． 解题过程： 解：原分式方程去分母，得，整理得． ①当关于的方程无解时，原分式方程亦无解，即，解得； ②当分式方程有增根且无其他解时，原分式方程无解，此时增根满足，所以增根为，当 时，，解得．综上所述，的值为或． 任务： (1)上述材料中解题过程体现的数学思想是___________（填序号）．①数形结合思想；②分类讨论思想；③整体思想；④建模思想 (2)若关于的分式方程无解，求的值． 变式2. （23-24八年级下·河南洛阳·期中）小明与小亮发现，已知复杂分式的值求另一个复杂分式的值，通常需要去分母变形为整式关系，然后整体代入后化简求解． 如已知，求的值． 小明的做法是： ， ， ． 小亮的做法是： ， ， ． 学习他们的方法求解： (1)已知，且，求的值； (2)已知，，求m的值． 变式3. （23-24八年级下·四川成都·期中）阅读下面材料，解答后面的问题． 解方程：． 解：设，则原方程化为：， 方程两边同时乘y得：， 解得：，． 经检验：，都是方程的解， 当时，，解得：； 当时，，解得：． 经检验：或都是原分式方程的解． ∴原分式方程的解为或． 上述这种解分式方程的方法称为换元法． 问题： (1)在方程中，设，则原方程换元后为：　　　　； (2)模仿上述换元法解方程：． 【题型8分式方程的新定义问题】 方法技巧：①理解新定义运算规则（如）； ②将新定义转化为常规分式方程； ③按分式方程解法求解，注意定义域限制。 例8. （23-24八年级下·江苏宿迁·期中）定义．根据定义，解答下列问题： (1)________； (2)计算； (3)求方程的解． 变式1. （25-26八年级上·河北沧州·月考）定义：如果两个分式与的和为常数，且为正整数，则称与互为“和整分式”，常数称为“和整数值”． 例如，，，，则与互为“和整分式”，“和整数值”． (1)已知分式，判断与是否互为“和整分式”，若是，请求出“和整数值”；若不是，请说明理由； (2)已知分式，，与互为“和整分式”，且“和整数值”． ①求所代表的代数式； ②若分式的值为正整数，求正整数的值． (3)记（2）中分式的值为正整数，已知分式，，且．若关于的方程无解，直接写出的值． 变式2. （24-25八年级下·山东枣庄·期末）新定义：如果两个实数，使得关于的分式方程的解是成立，那么我们就把实数，组成的数对称为关于的分式方程的一个“关联数对”．例如：使得关于的分式方程的解是成立，所以数对就是关于的分式方程的一个“关联数对” (1)下列数对是关于的分式方程的“关联数对”有________．（填字母） A．； B． (2)若数对是关于的分式方程的“关联数对”，求的值． 变式3. （2023八年级下·江苏南京·竞赛）我们定义：形如（不为零），且两个解分别为的方程称为＂十字分式方程＂． 例如为十字分式方程，可化为． 再如为十字分式方程，可化为．． 应用上面的结论解答下列问题： (1)若十字分式方程的两个解分别为，求的值． (2)若关于的十字分式方程的两个解分别为，求的值． 一、单选题 1．（2026·江苏连云港·模拟预测）分式方程的解为 （    ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·甘肃临夏·期末）对于实数m，n，定义一种新运算“※”：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·上海·月考）小明乘出租车去体育场有两条路线：路线一的全程是千米，但交通比较拥堵；路线二的全程是千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高，因此能比走路线一少用分钟到达．若设走路线一时的平均车速为千米时，则根据题意得（   ） A． B． C． D． 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若关于的分式方程无解，则的值为（    ） A． B． C．1或 D．5 5．（25-26八年级上·山东淄博·期中）已知关于x的方程解为正数，则k的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 6．（25-26八年级上·江西南昌·月考）想让关于的分式方程没有增根，则要满足什么条件 ． 7．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）若关于x的分式方程的解为正数，则m的取值范围是 ． 8．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的不等式组无解，且关于的分式方程有负整数解，则符合条件的所有整数的和为 ． 9．（25-26八年级上·湖南长沙·月考）若关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是 ． 10．（25-26八年级上·贵州铜仁·期中）若关于x的分式方程的解为正整数，且关于y的不等式组有且仅有4个整数解，则满足条件的所有整数a的和是 ． 三、解答题 11．（25-26八年级上·山东潍坊·期中）解分式方程： (1) (2) 12．（25-26九年级上·广东佛山·期中）下面是小明同学解分式方程的过程，请认真阅读并完成相应的学习任务： 解：方程两边同乘________， 得第一步 去括号，得第二步 移项、合并同类项，得第三步 ……………… (1)第一步中横线处应填________，依据是_______； (2)小明在写第四步时已经发现前面的步骤有错误，请正确写出解方程的全部过程． 13．（25-26八年级上·河北唐山·期中）为进一步丰富学生的课间生活，学校打算购买一些排球和足球，某体育用品店给出了报价表不慎被墨水污染了． 球类 单价（元/个） 数量（个） 总金额（元） 足球 7200 排球 3200 王老师：我记得足球的单价比排球单价高； 李老师：我记得足球的数量比排球数量多40个． 在计算足球的单价和排球的购买数量，嘉嘉和琪琪给出部分解答过程： 嘉嘉：列出方程：； 琪琪：解设排球的单价为元/个，足球的单价为___________元/个（用含的代数式表示），依题意列方程得：___________； (1)根据嘉嘉所列的方程，写出的实际意义； (2)补充琪琪的解题过程，并按琪琪的思路帮忙计算足球的单价和排球的购买数量． 14．（2025八年级上·河北沧州·专题练习）野生木耳是本市著名特产之一，某土特产专卖店经销，两种品牌的野生木耳，进价和售价如表所示： 品牌 A B 进货（元/袋） x 销售（元/袋） 80 100 (1)第一次进货时，该专卖店用4800元购进A品牌野生木耳，用6080元购进B品牌野生木耳，且两种品牌所购得的数量相同，请结合表中的数量关系，求，两种品牌野生木耳的进价． (2)第二次进货时，A品牌每袋上涨5元，该土特产专卖店计划购进，两种品牌共180袋，销售时、两种品牌售价不变，则该土特产专卖店至少购进B品牌多少袋，能使第二次进货全部售完后获得的利润不低于3600元． 15．（2025八年级上·全国·专题练习）我们把形如（不为零），且两个解分别为，的方程称为“十字分式方程”． 例如：为“十字分式方程”，可化为，，．再如：为“十字分式方程”，可化为，，． 应用上面的结论，解答下列问题： (1)请利用上述方法求“十字分式方程”的解； (2)若“十字分式方程”的两个解分别为，，求的值． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $