第07讲 反比例函数（寒假预习讲义）八年级数学新教材华东师大版

第07讲 反比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数的概念 1.定义：一般地，形如(是常数，)的函数叫做反比例函数。 2.三种表达形式(为常数，)： 标准形式： 乘积形式： 负指数形式： 3.自变量取值范围：的一切实数(因、、均不为0，函数图象与坐标轴无交点)。 4.反比例关系与反比例函数的区别与联系： 区别：成反比例关系的两个量满足()，、可是单项式或多项式；反比例函数特指形式的函数。 联系：反比例函数中两个变量一定成反比例关系，但成反比例关系的两个量不一定是反比例函数。 知识点2：反比例函数的图象 1.图象形状：反比例函数()的图象是双曲线，由两个断开的分支组成。 2.图象画法(以为例)： 列表：在原点两侧取3~5对互为相反数的值，计算对应值(如)。 描点：以为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点。 连线：用光滑曲线依次连接各点并延伸，注意曲线不与坐标轴相交。 3.图象特点： 对称性：既是中心对称图形(对称中心为坐标原点)，也是轴对称图形(对称轴为直线和)。 趋势：两个分支无限接近坐标轴，但永不与坐标轴相交。 实际问题中：受自变量取值范围限制，可能只出现双曲线的一个分支(如第一象限)。 知识点3：反比例函数的性质 1.核心性质(由的符号决定)： 当时：图象位于第一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小。 当时：图象位于第二、四象限；在每一个象限内，随的增大而增大。 2.关键注意事项： 描述增减性时，必须明确“在每一个象限内”(跨象限无增减性规律)。 的几何意义：越大，双曲线的分支越远离坐标原点。 双曲线与关于轴、轴均对称。 知识点4：反比例函数中的几何意义 1.核心结论：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得图形面积与相关： 矩形面积：过作轴、轴，垂足为、，则。 三角形面积：过作轴(或轴)，连接，则。 2.注意事项： 计算面积时，需加绝对值(因可正可负，面积为非负数)。 若已知矩形面积为，则反比例函数表达式为。 知识点5：反比例函数表达式的求解 1.待定系数法(核心方法)： 设：设函数表达式为()。 列：将一组满足条件的代入表达式，得到关于的方程。 解：解方程求出的值。 写：将代入所设表达式，写出最终函数式。 2.实际问题中表达式求解： 先根据题意找出常量与变量的反比例关系(如面积一定时，长与宽成反比例)。 列出形式的等式，确定的值(注意，因实际问题中自变量多为正数)。 注明自变量的实际取值范围(如长度、时间等需为正数)。 知识点6：易错辨析与重点记忆 1.易错点排查： 忽略：判断反比例函数时，需同时满足形式要求和(如中为常数且不为0)。 增减性描述错误：未说明“在每一个象限内”(如时，不能说“随的增大而减小”，需限定象限)。 几何意义漏加绝对值：计算面积时直接用代替，导致结果符号错误。 实际问题忽略自变量范围：如鱼塘宽度、工期等需为正数，图象仅取对应象限分支。 2.重点记忆： 三种表达形式的灵活转换(尤其乘积形式用于计算值)。 对称性应用：已知双曲线上一点，可通过原点对称快速找另一点(如对称点为)。 增减性比较技巧：同象限用性质，跨象限先判断正负(第一、三象限，第二、四象限)。 知识点7：反比例函数与一次函数的基础综合(预习必备) 1.图象共存判断： 先根据一次函数的图象位置确定、的符号(如过一、三、四象限则、)。 再根据、的符号确定反比例函数中的符号，判断双曲线所在象限。 2.交点问题基础： 若两函数有交点，联立方程，转化为一元二次方程求解（预习阶段重点掌握代入验证交点）。 交点对称性：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。 【题型1反比例函数的概念辨析（含参数求解）】 方法技巧：1.紧扣反比例函数三种表达式：（）、（）、（）； 2.关键点：且自变量指数为（仅针对形式）； 3.求参数时需同时满足表达式形式和的隐含条件。 例1. （24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列式子中，与是反比例关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例关系的判断，正确理解反比例关系是解题的关键． 根据反比例关系的定义“y与x的积是一个常数，则y与x是反比例关系”，据此即可解答． 【详解】解：A．中y与x不是反比例关系，不符合题意； B．中y与x不是反比例关系，不符合题意； C．中y与x是反比例关系，符合题意； D．中y与x不是反比例关系，不符合题意． 故选：C． 变式1. （25-26七年级上·广东广州·期中）下列各说法中的两种量成反比例关系的是（   ） A．圆的面积与它的半径 B．三角形的面积一定，它的边长和该边上的高 C．看一本书，已看页数和未看页数 D．速度一定，行驶路程与时间 【答案】B 【分析】本题考查反比例关系的定义，熟练掌握反比例关系的定义是解题的关键． 根据选项分别得出关系式，再进行判断即可． 【详解】解：选项A、圆的面积半径半径，，则圆的面积与半径不成反比，故不符合题意； 选项B、三角形的面积底高，则三角形的面积一定，它的边长和该边上的高成反比，故符合题意； 选项C、总页数已看页数未看页数，则看一本书，已看页数和未看页数不成反比，故不符合题意； 选项D、速度路程时间，则速度一定，行驶路程与时间不成反比，故不符合题意； 故选：B． 变式2. （2025九年级上·全国·专题练习）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义以及其性质，掌握这些是解题的关键． 根据反比例函数定义以及图象位置建立关于m的方程和不等式，求解后代回解析式即可． 【详解】解：根据题意，得，解得， 所以表达式为：． 故答案为：． 变式3. （25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义． 根据反比例函数的定义，函数形式应为 （），因此指数部分必须为，且系数非零，据此计算即可． 【详解】解：∵是关于x的反比例函数， ∴且 解得：且， 综上所述，． 故答案为：． 【题型2反比例函数图象的识别与象限判断】 方法技巧：1.图象特征：双曲线，永不与坐标轴相交，关于原点中心对称、关于直线和轴对称； 2.象限判断：时图象在第一、三象限，时在第二、四象限； 3.结合的符号快速排除错误选项。 例2. （25-26九年级上·贵州铜仁·月考）反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查反比例函数图象与性质，根据知反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交，故可得答案． 【详解】解：对于反比例函数，， ∴反比例函数图象的两支分布在第一、三象限，无限接近坐标轴，但不与坐标轴相交， 故选：B． 变式1. （25-26九年级上·湖南永州·月考）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数图象的性质，熟练掌握反比例函数的比例系数包括前面的符号是解题的关键．根据反比例函数图象的性质并结合其比例系数解答即可． 【详解】解：， 此函数图象在二、四象限， 故选：A． 变式2. （25-26九年级上·河北·月考）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质的应用，直角坐标系中点所在的象限，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象和性质． 当反比例函数经过第二、四象限时，，根据点，横坐标为负，纵坐标为正，即可得到答案． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴点中，， ∴点在第二象限． 故选：B． 变式3. （25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③随的增大而增大；④当时，则．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数性质逐项判断即可得解，熟练掌握反比例函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵反比例函数为， ∴当时，，即图象必经过点，故①正确； ∵， ∴图象位于第二、四象限，故②正确； ∵当时，在每个象限内随增大而增大，故③错误； 当时，例如时，，故④错误； ∴正确的结论有①②，共2个， 故选：B． 【题型3用待定系数法求反比例函数表达式】 方法技巧：1.核心：只需1组、对应值或1个图象上的点坐标； 2.步骤：设表达式（优先选）→代入已知条件→解出→写出表达式； 3.若已知面积，利用与面积的关系先求，再定符号。 例3. （23-24八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了反比例函数解析式．熟练掌握反比例函数解析式是解题的关键． 将代入可求的值，进而可得反比例函数表达式． 【详解】解：将代入得，， 解得，， ∴反比例函数的表达式是， 故答案为：． 变式1. （24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 【答案】一次函数的表达式为，反比例函数的表达式为 【分析】本题考查了求一次函数解析式，求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．代入到，得到，得出一次函数的表达式，进而得到点的坐标，再代入到即可得出反比例函数的表达式． 【详解】解：代入到，得， 解得， ∴一次函数的表达式为， 代入 到，得， ∴， 代入到，得， ∴反比例函数的表达式为． 变式2. （25-26九年级上·山东淄博·月考）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 【答案】(1) (2)3 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数的解析式，正确进行计算是解题关键． （1）根据待定系数法就可以求出函数的解析式； （2）把代入函数关系式，即可求得x的值． 【详解】（1） 解：设， 当时，，则， 解得， ∴； （2） 解：当时，代入，得， 解得， ∴当时，x的值为3． 变式3. （25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，求函数解析式，根据待定系数法求出函数的解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法即可解答； （2）根据函数图象结合交点坐标即可解答． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的表达式为． ∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴ 点，在一次函数的图象上， ，解得， 一次函数的表达式为； （2）解：根据图象可知使成立的的取值范围是或． 【题型4反比例函数增减性的基础应用】 方法技巧：1.前提：在每一个象限内讨论增减性； 2.规律：时，随的增大而减小；时，随的增大而增大； 3.比较同一象限内点的函数值，直接用增减性；跨象限则先判断正负。 例4. （25-26九年级上·北京·月考）请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查函数的图象和性质，对于反比例函数，当时，在每个象限内，y随x的增大而减小，由此可解． 【详解】解：∵当时，y随x的增大而减小， ∴该函数的解析式可以是． 故答案为：（答案不唯一）． 变式1. （25-26九年级上·云南·月考）若反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，熟练掌握反比例函数的图像性质是解题的关键． 根据反比例函数的性质，当比例系数时，图像经过第一、三象限，且y随x的增大而减小，据此解答即可． 【详解】解：反比例函数的图像在每一个象限内y随x的增大而减小， 则比例系数， 故选：A． 变式2. （25-26九年级上·湖北十堰·月考）已知反比例函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求m的值； (2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查反比例函数上点的坐标特征，反比例函数的性质，运用反比例函数的图象是解题关键． （1）将点坐标代入解析式，计算出m； （2）由反比例函数的增减性与k的关系，判断出的范围，从而得到m的取值范围． 【详解】（1）解：将，代入解析式得， ， 解得，； （2）∵时，y随x的增大而减小， ∴， 解得，． 变式3. （25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知反比例函数的图象经过，两点． (1)求k，m的值； (2)这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出y的取值范围． 【答案】(1)， (2)第一、三象限， 【分析】本题考查用待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数的图象与性质； （1）将，代入即可求解； （2）当时，反比例函数的图象位于第一象限和第三象限，在时，y随着x的增大而减小，据此即可求解． 【详解】（1）解：∵反比例函数的图象经过，两点， 将代入得：， 解得：， ∴反比例函数为， 再将代入得：， 解得：. （2）解：∵反比例函数为， ∴函数图象位于第一、三象限， ∵反比例函数为，在时，y随着x的增大而减小， 当时，；当时，， ∴当时，y的取值范围为． 【题型5一次函数与反比例函数图象共存判断】 方法技巧：1.分类讨论一次函数中系数符号（如的、）； 2.由一次函数图象确定、符号，推导反比例函数（或含、的表达式）的符号； 3.验证反比例函数图象象限是否与推导结果一致，排除矛盾选项。 例5. （25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B． C．D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的图象性质，熟练掌握反比例函数（的符号对应图象所在象限）、一次函数（系数对增减性和与坐标轴交点的影响）的图象特征是解题的关键． 根据，分别分析反比例函数的象限分布，以及一次函数的增减性和与坐标轴的交点，再匹配选项即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 反比例函数的图象位于第一、三象限， ∵ ，一次函数， ∴ 一次函数中，随的增大而增大（图象从左到右上升）， 令，得， ∵ ， ∴ 一次函数与轴的交点为，位于轴负半轴， 结合选项，只有D符合上述特征． 故选：D． 变式1. （25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数图象的综合判断，解题的关键是掌握两类函数的图象与性质． 分两种情况讨论，分别得出两个函数图象的位置，再作出判断． 【详解】解：当时，，反比例函数的图象位于第二、四象限， 对于一次函数，，图象从左向右呈上升趋势；，图象与y轴交于正半轴．没有选项符合； 当时，，反比例函数的图象位于第一、三象限， 对于一次函数：，图象从左向右呈下降趋势；，图象与y轴仍交于正半轴．故B符合． 故选：A． 变式2. （25-26九年级上·河北石家庄·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数及一次函数图像，掌握反比例函数、一次函数图像与系数的关系是解题的关键． 分别根据k的符号判断反比例函数和一次函数的图像即可解答． 【详解】解：A．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，与矛盾，不符合题意； B．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而减小，即与矛盾，不符合题意； C．对于反比例函数图像在二、四象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即与矛盾，不符合题意； D．对于反比例函数图像在一、三象限，即；对于一次函数，y随x的增大而增大，即；但函数图像与y轴的交点在y轴的负半轴，即，即，符合题意． 故选：D． 变式3. （25-26九年级上·广东深圳·月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数图象性质，分两种情况讨论，当时，分析出一次函数和反比例函数所过象限，再分析出时，一次函数和反比例函数所过象限，符合题意者即为正确答案． 【详解】解：①当时，，的图象经过第一、二、四象限，的图象经过第一、三象限； ②当时，，的图象经过第一、三、四象限，的图象经过第二、四象限， 综合以上情况，符合题意的有C选项． 故选：C． 【题型6反比例函数与一次函数的交点问题】 方法技巧：1.求交点坐标：联立两个函数表达式（如），解方程组； 2.无交点时，联立方程后判别式（转化为一元二次方程）； 3.利用交点横坐标（或纵坐标）的关系求参数。 例6. （25-26九年级上·河南商丘·月考）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数图象与一次函数图象的交点问题，与不等式的关系，解题的关键是正确运用数形结合的思想． 的解集即为直线在双曲线上方时对应交点的横坐标的取值范围，据此结合图象即可求解． 【详解】解：由函数图象可得，当时，则或， 故选：D． 变式1. （25-26九年级上·广东汕头·月考）直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，根据直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，且运用数形结合思想进行分析，即可作答． 【详解】解：∵直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5， ∴运用数形结合思想，得不等式的解集是或， 故答案为：或， 变式2. （25-26九年级上·山东日照·月考）已知一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图像直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的综合应用，涉及解析式求解、不等式解集、三角形面积计算，熟练结合函数性质与几何图形是解题关键． （1）先利用反比例函数上的点求反比例函数解析式，再结合交点求一次函数解析式； （2）根据函数图象的上下位置关系，确定一次函数值大于反比例函数值的范围； （3）借助一次函数与轴的交点，将三角形面积拆分为两个三角形面积和，进而求解点坐标． 【详解】（1）解：将代入函数中可得：， 解得：， 反比例函数表达式为：； 将代入函数可得：， 解得：， ， 将和代入可得： 解得：， 一次函数表达式为：； （2）解：由图像可得，当反比例函数图像在一次函数下方时，， 的解集为或； （3）解：设一次函数与轴的交点为， 中，令，则， 解得， ， ， ， ， 点的坐标为或． 变式3. （25-26九年级上·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】此题考查反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，根据函数的解析式求点的坐标，根据三角形的面积求点的坐标，注意数形结合思想的应用．解题关键在于把已知点代入解析式． （1）利用待定系数法求解即可； （2）观察图象写出一次函数的图象在反比例函数的图象上方的自变量的取值范围即可解决问题； （3）首先求出，设，然后根据题意得到，求解即可． 【详解】（1）解：反比例函数的图象经过点， ， 解得：， ， 把的坐标代入得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：观察图象可得， 不等式的解集为：或； （3）解：连接，由一次函数的解析式为可得， ∴， 设， 由题意可得， 解得：， 或． 【题型7反比例函数的几何意义与图形面积计算】 方法技巧：1.核心结论：过双曲线上任一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为； 2.复杂图形（如组合图形）用“割补法”转化为矩形或三角形； 3.注意的正负不影响面积，计算时取绝对值。 例7. （25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 【答案】B 【分析】此题主要考查反比例函数与几何综合，解题的关键是熟知反比例函数的几何意义． 由点在反比例函数（）的图象上，得到即可求解． 【详解】解：点在反比例函数（）的图象上，且， ， 矩形的面积为2，故选B． 变式1. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为． (2)4 (3) 【分析】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，主要考查了待定系数法求一次函数和反比例函数解析式、三角形面积等；解题时着重使用一次函数，体现了方程思想，综合性较强． （1）将已知点坐标代入函数表达式，即可求解； （2）两函数解析式联立成方程组，求出点B的坐标，然后根据的面积即可以解决问题； （3）根据图象即可解决问题． 【详解】（1）解：将，代入，得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为， 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：对于， 当时， ∴点D的坐标为， 由，解得或， ∴点B的坐标为， ∴的面积； （3）解：观察图象，当时，关于的不等式的解集是． 变式2. （25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)的面积______________； (3)根据图象，直接写出的的取值范围_________________． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了一次函数和反比例函数的图象和性质，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数解析式的方法和步骤． （1）先求出点A和点B的坐标，再将点A和点B的坐标代入，求出k和b的值，即可得出一次函数解析式； （2）求出直线与x轴交点C的坐标，然后利用进行计算； （3）根据函数图象，写出当反比例函数图象位于一次函数的图象的上方时自变量的取值范围即可． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得：， ∴， 把代入得， 解得：， ∴， 把，代入得： ， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：如图，设直线交x轴于点C， 在中，令，则， 即直线与x轴交于点． ∴； （3）解：∵，， ∴由图可知，当或时，反比例函数图象位于一次函数的图象的上方， ∴当或时，． 变式3. （25-26九年级上·河南安阳·月考）如图1，点，在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接、． (1)直接写出直线解析式：________ (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【答案】(1) (2) (3)点E的坐标为或 【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，反比例函数的综合应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）把点B的坐标代入函数解析式即可求出k，再把点A的坐标代入函数解析式即可求出m，再根据待定系数法求出直线的解析式即可； （2）先求出直线与轴的交点M的坐标，然后利用三角形面积的和差求解即可； （3）设点E的坐标为，用含m的式子表示出，然后利用建立关于m的方程，解方程即可求出答案． 【详解】（1）解：∵B在反比例函数上， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 把A代入，得， ∴ 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为； （2）由（1）可知：直线的解析式为； ∴当时，， ∴直线与y轴的交点M的坐标为， ∵，， ∴的面积； （3）设点E的坐标为，则点F的坐标为 ， ∴， ∵，轴于点D， ∴， ∴，即， 解得：， ∴点E的坐标为或． 【题型8反比例函数的实际应用】 方法技巧：1.步骤：审题意→确定常量与变量→建立反比例函数模型（）→求值→结合实际意义求解； 2.实际问题中通常为正数，自变量需满足实际范围（如长度>0）； 3.注意单位统一，结合函数性质解决最值或范围问题。 例8. （23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 【答案】(1)反比例函数的解析式为，， (2)陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由见解析 【分析】本题主要考查了反比例函数和一次函数的实际应用： （1）设反比例函数的解析式为，由求出，可得坐标，从而求出的坐标； （2）求出解析式，得到时，，由反比例函数可得时，，根据，即可得到答案． 【详解】（1）解：设当时，反比例函数的解析式为，将代入得： ，解得， 反比例函数的解析式为， 当时，， ， ； （2）解：陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32，理由如下： 设当时，的解析式为，将、代入得： ， 解得， 的解析式为， 在中，当时，， 在中，当时，， 时，注意力指标都不低于32， ∵， 陈老师能经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32． 变式1. （25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 【答案】(1)当时，，当时， (2) (3)5 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的应用，正确得出函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求得反比例函数的解析式，再根据已知条件列出关系式，继而得出一次函数的解析式； （2）结合图象分别求出、4、7时该厂的利润，再进行从大到小的比较即可； （3）利用分别得出x的值，进而得出答案． 【详解】（1）解：当时，将代入得：， ∴在新技术改造阶段的函数关系式为：， 当时，将代入得：，则， 即新技术改造后y与x之间的函数关系式为：． （2）解：当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在反比例函数上， ∴， 当时，该厂的利润在一次函数上， ∴， ∴， 故答案为：． （3）解：对于，当时，， 对于，当时，， ∴资金紧张期有第3、4、5、6、7这5个月， ∴该厂资金紧张期共有5个月． 变式2. （25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 【答案】(1) (2)或 (3)这次“药熏消毒”是有效消毒，理由见解析 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的综合应用、用待定系数法求反比例函数，掌握待定系数法是解题的关键． （1）当时，设y与x的函数关系式为，利用待定系数法求解；当时，设y与x的函数关系式为：（），利用待定系数法求解； （2）将分别代入和求解即可． （3）根据（2）中x的值，作差比较即可解答． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数关系式为， 根据题意得：，解得：， ∴（）， 当时，设y与x的函数关系式为：（）， 由图像可知：， ∴． ∴y与x的函数关系式为：， 综上所述：y与x的函数关系式为：． （2）解：当时，代入得：，解得：， 代入得，解得：． （3）解：这次“药熏消毒”是有效消毒， 理由如下： 根据（2）可得，当时，或， ， ∴这次“药熏消毒”是有效消毒． 变式3. （25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【答案】(1)， (2)至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室 (3)有效，理由见解析 【分析】本题考查了正比例函数和反比例函数的实际应用，熟练掌握用待定系数法求解函数表达式是解答本题的关键． （1）设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为，将代入即可求出反比例函数的表达式，再求出点的坐标，最后将点的坐标代入，即可求出正比例函数的表达式； （2）把代入求出x的值，根据图象，分析其增减性，即可进行解答； （3）将分别代入正比例函数和反比例函数表达式，求出其自变量的值，再计算两个自变量的差与进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：设正比例函数表达式为，反比例函数表达式为， 将点代入中得： 解得： ∴反比例函数的表达式为 把代入中得：， 解得： ∴ 反比例函数的表达式为， 将点代入得：， 解得： ∴正比例函数的表达式为 （2）解：将代入中得：， 解得：， ∴至少需要经过48分钟后，学生才能回到教室． （3）解：有效， 理由：把将代入中得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴， ∴此次消毒有效． 【题型9反比例函数中的存在性问题（等腰/直角三角形）】 方法技巧：1.分类讨论：按顶点位置（如直角顶点、等腰顶点）分情况； 2.利用坐标特征（如两点间距离公式、垂直直线斜率关系）建立方程； 3.结合验证点是否在反比例函数图象上，排除无效解。 例9. （2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)①， ；② (2)或或 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数综合问题，掌握待定系数法是解题关键． （1）①将代入 可求得反比例函数的表达式为： ；进一步可得；将、代入即可求解；②设一次函数与轴交于点，可求得，根据即可求解； （2）设点，分类讨论，，，三种情况即可求解； 【详解】（1）解：①将代入 得： ， 解得：； ∴反比例函数的表达式为： ； ∴，即：； 将、代入得：， 解得：， ∴一次函数的表达式为： ②设一次函数与轴交于点，如图所示： 由得； ∴ ∴ （2）解：设点， ，则， 解得：； ，则， 解得：或（舍）； ，则， 解得：； 综上所述：点P的坐标为或或 变式1. （25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)存在， 、、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题、勾股定理的应用，解题的关键是联立函数解析式求交点坐标，利用勾股定理列方程分析直角三角形的存在性． （1）联立一次函数解析式求出交点A的坐标，将A点代入反比例函数解析式求出k值； （2）设出x轴上点P的坐标，利用两点间距离公式表示出、、，分三种直角情况列方程求解，判断方程是否有解以确定P点坐标． 【详解】（1）解：依题得解得，即 将代入得，即反比例函数解析式为：； （2）解：如图，假设在x轴上存在使为直角三角形， 联立解得：或， 即，， ， ，． 分三种直角情况讨论： 情况1：为直角 ∵， 化简得 ，即 ， 解得 ，对应点 、． 情况2：为直角 则，即 化简得 ，解得 ，对应点 ． 情况3：为直角 则，即， 化简得 ，解得 ，对应点 ． ∴x轴上存在点 、、、，使为直角三角形． 变式2. （25-26九年级上·陕西西安·月考）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的解析式为；反比例函数的解析式为 (2)点的坐标为或 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，勾股定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）将代入反比例函数求出的值即可得出反比例函数的解析式，将代入反比例函数求出的值即可得出点的坐标，最后利用待定系数法计算即可得出结果； （2）由（1）可得，，则，设，则，，再由勾股定理计算即可得出结果． 【详解】（1）解：将代入反比例函数可得：， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 将代入反比例函数可得：， ∴， 将，代入一次函数可得， 解得：， ∴一次函数的解析式为； （2）解：由（1）可得：，， ∴， 设， 则，， ∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∴， 整理可得：， 解得：，， ∴点的坐标为或． 变式3. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 【答案】(1)； (2) (3)点的坐标为、、 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的解析式求解、函数图象与不等式的关系及等腰三角形的存在性问题，解题的关键是利用“点在函数图象上则横纵坐标满足函数解析式”求参数，结合函数图象位置分析不等式，依据等腰三角形“腰相等”的性质计算点的坐标． （1）将点代入一次函数解析式求，得一次函数解析式；再将点代入一次函数求，最后将代入反比例函数求，得反比例函数解析式； （2）结合两函数在第一象限的交点，观察图象确定一次函数图象在反比例函数图象上方时的取值； （3）先计算的长度，分和两种情况，利用两点间距离公式或对称性求点的坐标． 【详解】（1）解：∵一次函数过点， ∴， 解得， ∴一次函数解析式为； ∵点在一次函数上， ∴，即． 又∵在反比例函数上 ∴，解得． ∴反比例函数解析式为； （2）解：由两函数图象可知，在第一象限交点为，当时，一次函数图象在反比例函数图象上方， 故不等式的解集为； （3）解：先算的长度； ①当时 ∵，， ∴点在轴上，． 若在左侧：，即； 若在右侧：，即； ②当时， ∵，，在轴上， 设，则， 解得或（为点，舍去），即； 故点的坐标为、、． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数系数的几何意义，熟练掌握反比例函数系数的几何意义是解决问题的关键．①在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．②在反比例函数的图象上任意一点向坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成的三角形的面积是，且保持不变．根据反比例函数系数的几何意义即可求解． 【详解】解：根据反比例函数系数的几何意义可知：的面积为，的面积为，的面积为， ， 的面积为． 故选D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象必经过 B．随的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象关于原点中心对称 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．当时，，故反比例函数图象必经过，故本选项正确，不符合题意； B．∵，∴反比例函数图象在第二、四象限，在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C．∵，∴反比例函数图象在第二、四象限，故本选项正确，不符合题意； D．反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意； 故选：B． 3．（2025九年级上·河南安阳·专题练习）如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边的中点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了中线与三角形面积，反比例函数的k的几何意义，先理解直角边的中点是，，得，又因为反比例函数经过另一条直角边的中点，轴，即． 【详解】解：∵直角边的中点是，， ， 反比例函数经过另一条直角边的中点，轴， ， 故选B． 4．（2025九年级上·山东济南·专题练习）已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，可以利用函数的增减性来判断，也可以代入后比较．把点的横坐标代入函数解析式求出各纵坐标后再比较大小． 【详解】解：∵， ∴当时，； 当时，； 当时，． ∴． 故选：B． 5．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算，例如：．则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 【答案】A 【分析】本题考查定义新运算，反比例函数的图象；先根据定义新运算写出的解析式，再根据反比例函数的图象确定正确选项. 【详解】解：∵， ∴， ∴当时，反比例函数图象应该在第一象限，当时，反比例函数图象应该在第二象限. 故选：A. 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）反比例函数的部分图像如图所示，则 （写出一个符合题意即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了反比例函数图像、求反比例函数解析式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取，进而求得k的值即可． 【详解】解：由函数图像可得：当时，y的值在之间，可取， 则． 故答案为：（答案不唯一）． 7．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数比例系数的几何意义，掌握反比例函数比例系数的几何意义是解题的关键． 由轴，则，故，然后根据比例系数的几何意义即可求解． 【详解】解：轴 ， ， 反比例函数图象在第二象限， ， 故答案为：． 8．（25-26九年级上·全国·期末）已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了反比例函数的定义，根据反比例函数的定义，指数部分应为，且图象在第二、四象限时比例系数小于0． 【详解】解：∵函数是反比例函数， ∴， 解得，或， 又∵图象在第二、四象限， ∴比例系数，即， ∴不符合，符合， 故答案为． 9．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题考查反比例函数的图像的性质，三角形的面积，掌握知识点是解题的关键． 连接，求出，由，得到，则，即可解答． 【详解】解：连接，如图 ∵点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：6． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 【答案】 【分析】本题主要考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 根据反比例函数的图象和性质作答即可． 【详解】解：由于，故， 故反比例函数的图象在第二、四象限，在每个象限内随的增大而增大， 点在第二象限,故； 点，在第四象限，故； 综上，． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点为轴上一动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，数形结合是解题的关键． （1）将点A代入反比例函数中求解即可； （2）先根据对称性求出B点坐标，然后根据求出，即可求出P点坐标； （3）由图象知，一次函数图象高于反比例函数的图象部分所对应的自变量的范围即为所求． 【详解】（1）解：将代入，得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：点A的坐标为， ， ， ， ∴点P的坐标为或． （3）解：由图象知，当时，x的取值范围是或． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题考查了反比例函数的定义，反比例函数的性质． （1）函数是反比例函数，因此指数为，且系数不为零；点在图像上，代入可求和； （2）求出函数解析式后，根据且，分和讨论的取值范围． 【详解】（1）解：∵函数是反比例函数，，解得 系数， 代入点：， 解得 经检验，，符合要求 ， （2）由（1）得函数解析式为 且 当时， 当时，，且随的增大而增大， 当时， ∴ 综上，或 13．（江西省南昌市2025-2026学年九年级上学期质量监测数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 【答案】(1)反比例函数的解析式为 (2)的面积为3 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数交点问题，三角形的面积，解题的关键是熟练掌握反比例函数和一次函数的性质． （1）先将点代入到一次函数解析式中，求得点的坐标，进而求得k的值，即可解答； （2）根据轴，得到点C的坐标，从而求得的长度，再根据一次函数的图象与轴相交于点，令，即可得到点A的坐标，从而求得的长度，最后由三角形面积公式即可解答． 【详解】（1）解：点是直线与反比例函数交点， 点坐标满足一次函数解析式， ， ， ， ， ， ∴反比例函数的解析式为； （2）解：轴，， ，轴， ， 一次函数的图象与轴相交于点， 令，则， ， ， ， 的面积为3． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 (3)，， 【分析】此题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，等腰三角形的定义，两点之间距离公式，数形结合和分类讨论是解题的关键． （1）先利用一次函数求出得到点A的坐标，再利用待定系数法求出反比例函数解析式即可； （2）先求出直线与双曲线交点的横坐标，再由函数图象即可求解． （3）求出点C的坐标为，得到，再分和两种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象经过， ∴，解得， ∴点， 把点代入得，， 解得， ∴反比例函数的解析式为． （2）解：联立与得，， 解得或 ∴直线与双曲线的交点的横坐标为和6， ∴由图象得，的解集为或； （3）设点P的坐标为， 当时，， ∴点C的坐标为， ∴ 当时，，即， 解得（不合题意，舍去）或， ∴点P坐标为， 当时，，即， 解得或， ∴点P的坐标为或 综上可知，点P的坐标为或或． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； (3)若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的综合、旋转的性质、勾股定理、坐标与图形等知识点，灵活应用相关知识是解题的关键． （1）将点代入反比例函数求得k的值即可解答； （2）先列举出比例函数的整数点，直线绕点B顺时针旋转扫过的整数点（不包含边界）为，再分别求得边界点b的值即可解答； （3）由勾股定理可得，则，即；再求得直线的解析式为，与反比例函数解析式联立可得，然后运用割补法求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数可得：，解得：， 所以反比例函数的解析式为． （2）解：反比例函数的整数点有：等， ∵直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点， ∴扫过了反比例函数图像上的两个整数点是， ∴直线经过两个边界点， 当直线过点和， 则，解得：； 当直线过点和， 则，解得：. 综上，． （3）解：∵， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 则，解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得：或（不合题意舍去）， ∴， ∵，，， ∴如图：的面积 ． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第07讲 反比例函数 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：反比例函数的概念 1.定义：一般地，形如(是常数，)的函数叫做反比例函数。 2.三种表达形式(为常数，)： 标准形式： 乘积形式： 负指数形式： 3.自变量取值范围：的一切实数(因、、均不为0，函数图象与坐标轴无交点)。 4.反比例关系与反比例函数的区别与联系： 区别：成反比例关系的两个量满足()，、可是单项式或多项式；反比例函数特指形式的函数。 联系：反比例函数中两个变量一定成反比例关系，但成反比例关系的两个量不一定是反比例函数。 知识点2：反比例函数的图象 1.图象形状：反比例函数()的图象是双曲线，由两个断开的分支组成。 2.图象画法(以为例)： 列表：在原点两侧取3~5对互为相反数的值，计算对应值(如)。 描点：以为坐标，在平面直角坐标系中描出对应点。 连线：用光滑曲线依次连接各点并延伸，注意曲线不与坐标轴相交。 3.图象特点： 对称性：既是中心对称图形(对称中心为坐标原点)，也是轴对称图形(对称轴为直线和)。 趋势：两个分支无限接近坐标轴，但永不与坐标轴相交。 实际问题中：受自变量取值范围限制，可能只出现双曲线的一个分支(如第一象限)。 知识点3：反比例函数的性质 1.核心性质(由的符号决定)： 当时：图象位于第一、三象限；在每一个象限内，随的增大而减小。 当时：图象位于第二、四象限；在每一个象限内，随的增大而增大。 2.关键注意事项： 描述增减性时，必须明确“在每一个象限内”(跨象限无增减性规律)。 的几何意义：越大，双曲线的分支越远离坐标原点。 双曲线与关于轴、轴均对称。 知识点4：反比例函数中的几何意义 1.核心结论：过双曲线上任意一点作坐标轴的垂线，所得图形面积与相关： 矩形面积：过作轴、轴，垂足为、，则。 三角形面积：过作轴(或轴)，连接，则。 2.注意事项： 计算面积时，需加绝对值(因可正可负，面积为非负数)。 若已知矩形面积为，则反比例函数表达式为。 知识点5：反比例函数表达式的求解 1.待定系数法(核心方法)： 设：设函数表达式为()。 列：将一组满足条件的代入表达式，得到关于的方程。 解：解方程求出的值。 写：将代入所设表达式，写出最终函数式。 2.实际问题中表达式求解： 先根据题意找出常量与变量的反比例关系(如面积一定时，长与宽成反比例)。 列出形式的等式，确定的值(注意，因实际问题中自变量多为正数)。 注明自变量的实际取值范围(如长度、时间等需为正数)。 知识点6：易错辨析与重点记忆 1.易错点排查： 忽略：判断反比例函数时，需同时满足形式要求和(如中为常数且不为0)。 增减性描述错误：未说明“在每一个象限内”(如时，不能说“随的增大而减小”，需限定象限)。 几何意义漏加绝对值：计算面积时直接用代替，导致结果符号错误。 实际问题忽略自变量范围：如鱼塘宽度、工期等需为正数，图象仅取对应象限分支。 2.重点记忆： 三种表达形式的灵活转换(尤其乘积形式用于计算值)。 对称性应用：已知双曲线上一点，可通过原点对称快速找另一点(如对称点为)。 增减性比较技巧：同象限用性质，跨象限先判断正负(第一、三象限，第二、四象限)。 知识点7：反比例函数与一次函数的基础综合(预习必备) 1.图象共存判断： 先根据一次函数的图象位置确定、的符号(如过一、三、四象限则、)。 再根据、的符号确定反比例函数中的符号，判断双曲线所在象限。 2.交点问题基础： 若两函数有交点，联立方程，转化为一元二次方程求解（预习阶段重点掌握代入验证交点）。 交点对称性：过原点的直线与双曲线的两个交点关于原点对称。 【题型1反比例函数的概念辨析（含参数求解）】 方法技巧：1.紧扣反比例函数三种表达式：（）、（）、（）； 2.关键点：且自变量指数为（仅针对形式）； 3.求参数时需同时满足表达式形式和的隐含条件。 例1. （24-25九年级上·安徽合肥·期末）下列式子中，与是反比例关系的是（   ） A． B． C． D． 变式1. （25-26七年级上·广东广州·期中）下列各说法中的两种量成反比例关系的是（   ） A．圆的面积与它的半径 B．三角形的面积一定，它的边长和该边上的高 C．看一本书，已看页数和未看页数 D．速度一定，行驶路程与时间 变式2. （2025九年级上·全国·专题练习）已知函数 是反比例函数，且图象在第二、四象限内，则反比例函数的表达式为 变式3. （25-26九年级上·陕西榆林·期中）已知是关于x的反比例函数，则 ． 【题型2反比例函数图象的识别与象限判断】 方法技巧：1.图象特征：双曲线，永不与坐标轴相交，关于原点中心对称、关于直线和轴对称； 2.象限判断：时图象在第一、三象限，时在第二、四象限； 3.结合的符号快速排除错误选项。 例2. （25-26九年级上·贵州铜仁·月考）反比例函数的图象可能是（     ） A． B． C． D． 变式1. （25-26九年级上·湖南永州·月考）反比例函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式2. （25-26九年级上·河北·月考）若反比例函数的图象经过第二、四象限，则点在平面直角坐标系中位于（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 变式3. （25-26九年级上·陕西西安·月考）已知反比例函数，有下列结论：①图象必经过点；②图象位于第二、四象限；③随的增大而增大；④当时，则．其中正确的有（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【题型3用待定系数法求反比例函数表达式】 方法技巧：1.核心：只需1组、对应值或1个图象上的点坐标； 2.步骤：设表达式（优先选）→代入已知条件→解出→写出表达式； 3.若已知面积，利用与面积的关系先求，再定符号。 例3. （23-24八年级下·江苏苏州·期中）若反比例函数的图像过点，则这个反比例函数的表达式是 ． 变式1. （24-25九年级上·甘肃武威·期末）在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴的交点为，与y轴的交点为B，直线与反比例函数的图象交于点．求一次函数和反比例函数的表达式． 变式2. （25-26九年级上·山东淄博·月考）已知y是x的反比例函数，当时，． (1)求y关于x的函数表达式； (2)当时，求x的值． 变式3. （25-26九年级上·安徽六安·月考）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式（不用写自变量的取值范围）； (2)根据图象，直接写出使成立的的取值范围． 【题型4反比例函数增减性的基础应用】 方法技巧：1.前提：在每一个象限内讨论增减性； 2.规律：时，随的增大而减小；时，随的增大而增大； 3.比较同一象限内点的函数值，直接用增减性；跨象限则先判断正负。 例4. （25-26九年级上·北京·月考）请写出一个函数表达式，使其当时，随增大而减小： ． 变式1. （25-26九年级上·云南·月考）若反比例函数的图像在每一个象限内随的增大而减小，则的取值范围是（　　） A． B． C． D． 变式2. （25-26九年级上·湖北十堰·月考）已知反比例函数（m为常数）． (1)若函数图象经过点，求m的值； (2)若时，y随x的增大而减小，求m的取值范围． 变式3. （25-26九年级上·河北廊坊·月考）已知反比例函数的图象经过，两点． (1)求k，m的值； (2)这个函数图象位于哪些象限？当时，直接写出y的取值范围． 【题型5一次函数与反比例函数图象共存判断】 方法技巧：1.分类讨论一次函数中系数符号（如的、）； 2.由一次函数图象确定、符号，推导反比例函数（或含、的表达式）的符号； 3.验证反比例函数图象象限是否与推导结果一致，排除矛盾选项。 例5. （25-26八年级上·上海·月考）函数和在同一直角坐标系中的大致图像是（    ） A．B． C．D． 变式1. （25-26九年级上·广西桂林·期中）反比例函数与一次函数在同一坐标系中的大致图象是（    ） A． B． C． D． 变式2. （25-26九年级上·河北石家庄·月考）在同一平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像可能是（    ） A． B． C． D． 变式3. （25-26九年级上·广东深圳·月考）函数与在同一坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【题型6反比例函数与一次函数的交点问题】 方法技巧：1.求交点坐标：联立两个函数表达式（如），解方程组； 2.无交点时，联立方程后判别式（转化为一元二次方程）； 3.利用交点横坐标（或纵坐标）的关系求参数。 例6. （25-26九年级上·河南商丘·月考）一次函数和反比例函数的图象如图所示，若，则x的取值范围是（    ） A．或 B． C．或 D．或 变式1. （25-26九年级上·广东汕头·月考）直线与双曲线交于、两点，其横坐标分别为1和5，则不等式的解集是 ． 变式2. （25-26九年级上·山东日照·月考）已知一次函数与反比例函数的图像相交于点和点． (1)试确定一次函数与反比例函数的表达式； (2)结合图像直接写出不等式的解集； (3)若点在轴上，且的面积为，求点的坐标． 变式3. （25-26九年级上·北京·月考）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于，两点，一次函数的图象与轴交于点． (1)求一次函数的解析式； (2)根据函数的图象，直接写出不等式的解集； (3)点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【题型7反比例函数的几何意义与图形面积计算】 方法技巧：1.核心结论：过双曲线上任一点作轴、轴垂线，所得矩形面积为，三角形面积为； 2.复杂图形（如组合图形）用“割补法”转化为矩形或三角形； 3.注意的正负不影响面积，计算时取绝对值。 例7. （25-26九年级上·河北邢台·月考）如图，点在反比例函数（）的图像上，则矩形的面积是（    ） A．1 B．2 C．4 D．6 变式1. （2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线与双曲线相交于，两点，与轴相交于点． (1)分别求一次函数与反比例函数的表达式； (2)连接，，求的面积； (3)直接写出当时，关于的不等式的解集． 变式2. （25-26九年级上·山东青岛·月考）如图，一次函数与反比例函数的图象交于两点． (1)求一次函数的解析式； (2)的面积______________； (3)根据图象，直接写出的的取值范围_________________． 变式3. （25-26九年级上·河南安阳·月考）如图1，点，在反比例函数上，作直线，交坐标轴于点M、N，连接、． (1)直接写出直线解析式：________ (2)求的面积； (3)如图2，E是线段上一点，作轴于点D，过点E作，交反比例函数图象于点F，若，求出点E的坐标． 【题型8反比例函数的实际应用】 方法技巧：1.步骤：审题意→确定常量与变量→建立反比例函数模型（）→求值→结合实际意义求解； 2.实际问题中通常为正数，自变量需满足实际范围（如长度>0）； 3.注意单位统一，结合函数性质解决最值或范围问题。 例8. （23-24九年级上·广东江门·期末）通过试验研究发现：一节40分钟的课堂，初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．如图，学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．    (1)求反比例函数解析式和点A、D的坐标； (2)陈老师在一节课上讲解一道数学综合题需要16分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于32？请说明理由． 变式1. （25-26九年级上·贵州贵阳·月考）我省某化工厂2023年1月的利润为200万元，若设2023年1月为第一个月，第x个月的利润为y万元；由于污染问题，该厂决定从2023年1月底适当限产，同时投入资金进行新技术改造．从1月底到5月，y与x成反比例关系．到5月底，新技术改造任务顺利完成，从这时起，之后该厂每月利润比前月增加20万元（如图）． (1)分别求出在新技术改造阶段及新技术改造后，y与x之间的函数表达式； (2)若设第3个月时该厂的利润为，第4个月时该厂的利润为，第7个月时利润为，则、和的大小关系为：________（用“>”连接）； (3)当月利润少于100万元时，为该厂资金紧张期，请求出该厂资金紧张期共有几个月？ 变式2. （25-26九年级上·安徽亳州·期中）为预防冬季传染病，学校定期对教室进行“药熏消毒”．已知药物释放阶段（图中段），室内每立方米空气中的含药量y（）与释放时间x（）成一次函数关系；释放完毕，y与x成反比例关系（图中段），如图所示，其中点A、B的坐标分别为和点． (1)求y关于x的函数解析式； (2)当时，求x的值； (3)如果教室内每立方米空气中的含药量不低于，且时间持续不低于1小时，才能达到有效消毒，这次“药熏消毒”是否是有效消毒？请说明理由． 变式3. （25-26九年级上·山东东营·月考）某校根据《学校卫生工作条例》，为预防“蚊虫叮咬”，对教室进行“熏药消毒”．已知药物在燃烧释放过程中，室内空气中每立方米含药量y（）与燃烧时间x（）之间的关系如图所示．根据图象所示信息，解答下列问题： (1)求正比例函数和反比例函数表达式，并写出自变量x的取值范围； (2)据测定，当室内空气中每立方米的含药量低于，对人体无毒害作用．从消毒开始，至少需要经过多少分钟后，学生才能回到教室？ (3)当空气中每立方米含药量不低于且持续时间不低于20分钟时，才能有效杀灭空气中的病菌．你认为此次消毒是否有效？并说明理由． 【题型9反比例函数中的存在性问题（等腰/直角三角形）】 方法技巧：1.分类讨论：按顶点位置（如直角顶点、等腰顶点）分情况； 2.利用坐标特征（如两点间距离公式、垂直直线斜率关系）建立方程； 3.结合验证点是否在反比例函数图象上，排除无效解。 例9. （2024·广东·模拟预测）已知一次函数与反比例函数 的图象交于两点． (1)①求一次函数和反比例函数的表达式； ②求的面积． (2)在x轴的负半轴上，是否存在点P，使得为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 变式1. （25-26九年级上·山东威海·期中）如图，一次函数和的图象相交于点A，反比例函数的图象经过点A． (1)求反比例函数的表达式； (2)在x轴上是否存在点P，使为直角三角形，若存在请求出P点坐标，若不存在，请说明理由． 变式2. （25-26九年级上·陕西西安·月考）一次函数的图象与反比例函数的图象交于、两点． (1)求反比例函数与一次函数的关系式； (2)在轴上是否存在一点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，求出点的坐标：若不存在，请说明理由． 变式3. （25-26九年级上·山东淄博·月考）如图，一次函数(k为常数，)的图象与反比例函数(m为常数，)的图象在第一象限交于点，与x轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式． (2)直接写出关于 x 的不等式 ． (3)点P在x轴上，是以为腰的等腰三角形，请直接写出点P的坐标． 一、单选题 1．（2024九年级上·全国·专题练习）如图，直线轴于点，且与反比例函数和的图象分别交于点和，连接和，若，则的面积是（   ） A．5 B．3 C．5 D． 2．（25-26九年级上·广东佛山·期中）已知反比例函数，下列说法中错误的是（    ） A．图象必经过 B．随的增大而增大 C．图象在第二、四象限 D．图象关于原点中心对称 3．（2025九年级上·河南安阳·专题练习）如图，的直角边在轴上，，反比例函数的图象经过另一条直角边的中点，，则的值为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 4．（2025九年级上·山东济南·专题练习）已知点，，是函数图象上的三点，则，，的大小关系是（   ）． A． B． C． D．无法确定 5．（25-26九年级上·河北廊坊·月考）定义新运算，例如：．则函数的图象大致是（    ） A．B．C． D． 二、填空题 6．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）反比例函数的部分图像如图所示，则 （写出一个符合题意即可）． 7．（25-26九年级上·河南郑州·月考）如图，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，点在轴上，且的面积为，则 ． 8．（25-26九年级上·全国·期末）已知函数是反比例函数，图象在第二、四象限，则m的值是 ． 9．（25-26九年级上·江西九江·月考）如图，在平面直角坐标系中，点在函数的图象上，过点作平行轴交轴于点，在轴负半轴上取一点，使，连接，则的面积为 ． 10．（25-26九年级上·陕西西安·期中）若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是 （用“”号连接）． 三、解答题 11．（25-26九年级上·湖北孝感·期末）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，，已知点的坐标为． (1)求反比例函数的解析式； (2)若点为轴上一动点，当的面积为时，求点的坐标； (3)根据图象直接写出当时，的取值范围． 12．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）函数是反比例函数，点在该函数图像上． (1)求，的值； (2)若，求的取值范围． 13．（江西省南昌市2025-2026学年九年级上学期质量监测数学试题）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴相交于点，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点，过点作轴于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)求的面积． 14．（2025九年级上·全国·专题练习）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于点，点，与轴交于点． (1)求反比例函数的解析式； (2)请结合图象直接写出不等式的解集； (3)点是轴上的一个动点，且是为腰的等腰三角形，求点的坐标． 15．（25-26九年级上·河北石家庄·月考）如图，已知反比例函数的图像与直线交于点，，将直线绕点B顺时针旋转得到直线，且与反比例函数的图像交于点C． (1)求反比例函数的解析式； (2)若直线在旋转到的过程中恰好扫过了反比例函数图像上的两个整数点（横、纵坐标都是整数，不包含边界），求b的取值范围； (3)若直线与x轴交于点D，且，求的面积． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $